Zusammenfassung - Thermodynamik I Timothy Habermacher, Ismail Morgenegg auf Basis von S. Liechti

1 Allgemeines

1.4 Zustandsgrässen Variable

1.1 Begriffe

1.5.3 Druck

Beschreibung



p

Druck

• Amorph ⇒ Zähflüssiger Feststoff (Glas)

T

Temperatur

• Latente Energie ⇒ Energie z. Phasenumwandlung

V

Volumen

m

Masse

n

Stoffmenge

h

Entropie

Begriffe

• Thermische Dichtefluktuation ⇒ t. Dichteschwankung

1.2 System Systemgrenzen setzen, dann klassifizieren: • Massenstrom vorhanden ⇒ offenes System ⇒ Enthalpie h.

• kein Wärmeaustausch ⇒ isoliert. ⇒ adiabat ⇒ Q˙ = 0 • chemisch homogen: gleiche Stoffe oder verschiedene gasfärmige. (z.B. Luft)

[K]

p = lim



A→A0

FN A



in

h



kJ kg·K



1.6.1 Die wichtigsten Einheiten 1[bar] = 105 [Pa] 2

1[J] = [Nm] = [Ws] = [ kgm ] = [m3 Pa] s2

1.5.1 Dichte Intensive Zustandsgrässe, ortsabhängig:

V →V 0

m V

h

in

kg m3

1.6.2 Si-Präfixe

i

1.5.2 spezifisches Volumen Intensive Zustandsgrässe: 1 V˙ A·w v= = = in ρ m ˙ m ˙



m3 kg

V =v·m molar: M v= = v · M in ρ



und p = ρ · g · h

1.6 Einheiten

1[N] = [ kgs2m ] N 1[MPa] = [ mm 2] 1[atm] = 101.325[kpa] Wasser: 1[l] = 0.001[m3 ]

1.5 Definitionen

 

i

[kg]

Intensive Zustandsgrässen ändern ihre Werte nicht bei Systemteilung. Extensive Zustandsgrässen sind an die Stoffmenge gebunden. (Grossbuchstabe)

ρ = lim

N m2

[kmol]

• physikalisch homogen: alle Stoffe in gleicher Phase.

1.3 Vorzeichenkonvention

N m2

Intensive Zustandsgrässe, ortsabhängig:



[m3 ]

• kein Massenstrom ⇒ geschlossenes System ⇒ Innere Energie u. • Wärmeaustausch vorhanden ⇒ nicht isoliert ⇒ diatherm.

Einheit

m3 kmol

1





Name

Symbol

Wert

Giga

G

109

M ega

M

106

Kilo

K

103

Hekto

h

102

Dezi

d

10−1

Zenti

c

10−2

M illi

m

10−3

M ikro

µ

10−6

N ano

n

10−9

P ico

p

10−12

Achtung: Für x < 0 und x > 1 befindet man sich ausserhalb des Zweiphasengebiets → kein x.Links von der Kurve ist die subcooled area, rechts davon die superheated.

1.7 Temperaturskalen

p·v =R·T p·V =m·R·T mit T in Kelvin und

Celsius: TC = TK − 273.15 Fahrenheit: TF = 1.8 · TC + 32 Rankine: TR = 1.8 · TC

Im offenen System: hi = hf i + x ·

(hgi − hf i )

{z

|

hf g

i

}

in Tab. A-3

1.8 Lineare Interpolation E=

R = 8.314 R=

J kJ = 0.008314 molK molK

R J ∗ 1000 mit M mol. Masse. und R in M kgK

h

Rair = 286.9864 2.1.3 Diagramme

F −D (B − A) + D C−A

Eine Fläche im p-v-Diagramm [?] entspricht der Arbeit. Bei einem Zustand in der grün schraffierten Fläche spricht man von Nassdampf. Rechts davon befindet man sich im überhitzten Zustand, links davon im unterkühlten.

2 Kompressible Substanzen

i

J kJ = 0.28699 kgK kgK

m =n M

2.2.3 Polytrope Zustandsänderung für ideales Gas n: Polytropenkoeffizient

κ: Isentropenkoeffizient

n

p · v = const und p · V n = const

2.1 Wasser

Im Allgemeinen: 2.1.1 Vorgehen

p2 = p1

Achtung: Bei compressed liquid water und vernünftigen Drücken wegen Inkompressibilität Daten aus den Tabellen A-2 und A-3 nehmen! Achtung: Wenn kein Ideales Gas, dann existiert Dom!

2.2 Modell idealer Gase

Im Zweiphasengebiet spricht man von saturated water. Man definiert den Dampfgehalt v − vf u − uf s − sf h − hf mg = = = = mf + mg vg − vf ug − uf sg − sf hg − hf mf = (1 − x) · m

mg = x · m

Massenanteil des Flüssigen an der Gesamtmasse: xf =

vg − v vg − vf

v1 v2

n

Isobar

p = const

p · v 0 = const

n=0

Isotherm

T = const

R · T = p · v = c.

n=1

Isochor

v = const

v1 v2


1 p2 n

Isentrop

p · v κ = c.

n=κ=

adiabat

p·V T

isenthalp

h = const

=1=

p1

cP cV

n=∞ n=κ

= const

2.2.1 Allgemeines

2.1.2 Zwei-Phasen-Gebiet

x=



2.2.4 Polytropes Temperaturverhältnis

Z ∆U = m ·

cV (T ) · dT

= m · (cV2 T2 − cV1 T1 )

T2 = T1



p2 p1

 n−1 n

=



v1 v2

n−1

2.3 Reales Gas

2.2.2 Ideales Gasgesetz Das ideale Gasgesetz ist da zur Berechnung von Zuständen, nicht zur Berechnung von Prozessen!

p · V = Z(T, p) · R · T Z(T, p) = T =

p·V =n·R·T

2

p·v R·T

=

p·V R·T

Realgasfaktor

3 Der 1. Hauptsatz 3.1 Energie eines Systems 3.1.1 Geschlossene Systeme

3.3 Arbeit W

3.5 Innere Energie

Ein System leistet Arbeit an seiner Umgebung, wenn der alleinige Effekt der Wechselwirkung auf alles ausserhalb die Hebung eines Gewichtes sein kännte. W > 0: System leistet Arbeit, d.h. abgeführte W. W < 0: Umgebung leistet Arbeit, d.h. zugeführte W.

Für ideale Gase gilt: innere Energie U ist nur eine F kt(T )!

Systemmasse konstant!

V2

Z

∆E = ∆KE + ∆P E + ∆U

Z p · Adx =

F dx in [J]

V1

1 (m2 · v22 − m1 · v12 ) 2 ∆P E = ∆(m · g · z)

Z

Z

dE ˙ = Q˙ − W dt Q > 0: Dem System zugeführte Wärme. Q < 0: Vom System abgeführte Wärme.

1 · (p2 · V2 − p1 · V1 ) p(V ) · dV = 1−n

W12 =

für ideales Gas, n ungleich 1:

Z Beachte: dass die Gleichung natürlich auch aus Summe geschrieben werden kann! Achtung: Wenn mit [KJ] gerechnet wird, muss auch die Geschwindigkeit [m/s] · 103 angepasst werden! dE ˙S +m = Q˙ − W ˙ in · dt



 hin +

2 vin

2

cv (T2 −T1 )

= |{z}

für cv =const.

Ideales Gas: cv (T ) =

∂u ∂T

cp (T ) =



v

perfektes Gas: cv (T ) = const.

∂h ∂T

 p

cp (T ) = const.

cv = cp − R

kg s

WKP = QKP = Qzu − Qab

m3 s

3.4 Polytrope Zustandsänderung n: Polytropenkoeffizient Polytropenbeziehung: n−1

p·



T ·p

R·T p 1−n n

p(V ) =

3.2 Klassifizierung von Prozessen • Stationärer Prozess ↔

= konst.

i



dm dt

=0↔

dE dt

(∆E = 0)

Bei Kreisprozessen gilt:



Volumenstrom:



3.7 Kreisprozesse

W12 = mw12 (v)

T ·v

h

R(T2 − T1 ) 1−n

+ g · zin

v2 hout + out + g · zout 2

A · vgeschw. m ˙ =ρ·A·v = v

p(V ) · dV =

W12 =



Massenstrom:

A · vgeschw. = m ˙ ·v

cv (T )dT T1

siehe cp in A-19 und A-20

3.1.2 Offene Systeme

−m ˙ out ·

T2

3.6 Spezifische Wärmekapazität  

Fuer n ungleich 1:

Z

Z du =

c V2 2 ·dV = c ln(V )V ) V1 = c ln( V V1

V1

bzw.

u2

cv siehe A20

V2

p(V )·dV =

∆U = Q − W = m · (u2 − u1 ) = U2 − U1 ∆E = Q − W

Z ∆u = u2 −u1 =

u1

∆KE =

W12 =

u u siehe A-23 und folgende M du = cv (T )dT u=

Z

p · dV =

W12 =

∆U = m2 · u2 − m1 · u1

n= =0

n

X

Q=

X

W

geschlossenes System ⇒ cV offenes System ⇒ cP Table A-20 Q12 = m · (u2 − u1 ) + m · p · (v2 − v1 ) = m · (h2 − h1 )

= konst.

3.7.1 Isochorer Prozess

= konst.

W = 0,

const Vn

ln( pp2 )

v1 = v2 ,

Q12 = ∆U = m · (u2 − u1 ) in [kJ]

3.7.2 Isothermer Prozess

1

1 ln( V ) V

∆U = 0,

2

3

p1 · V1 = p2 · V2 ,

W12 = Q12

Prozess 3.7.3 Isentroper Prozess

1→2

Q=

Beschreibung

Q12 = W12 > 0

isotherme Expansion w12 = R · T1 · ln pp1

Q12 = 0

2

2→3

isentrope Expansion

Q23 = 0

w23 = −cV · (T3 − T2 )

W23 > 0

3.7.4 Isobarer Prozess 3→4

w34 = R · T3 · ln

W12 = m · p · (v2 − v1 ) = p · (V2 − V1 ) = m · R · (T2 − T1 ) 4→1

Beachte: für das Ideale Gas kann pv = RT geschrieben werden

Total

Q34 = W34 < 0

isotherme Kompression p3 p2

isentrope Kompression

Q41 = 0

w41 = −cV · (T1 − T4 )

W41 < 0

wges = R · (T1 − T3 ) ·

ln pp1 2

>0

4 Der 2. Hauptsatz Clausius: Wärme kann nicht von selbst (spontan) von einem Körper mit tieferer Temperatur auf einen Körper mit höherer Temperatur übertragen werden. Kelvin-Planck: Es ist unmöglich eine Maschine zu bauen, welche in einem thermischen Kreisprozess kontinuierlich Arbeit an die Umgebung abgibt und dabei nur in Kontakt mit einem einzigen Wärmereservoir steht, aus welchem es diese Wärme bezieht.

4.3 Beispiel Arbeitsprozess

4.1 Reversibilität Alle in der Natur auftretenden Prozesse sind grundsätzlich irreversibel. Reversibler Prozess: Serz = 0 Irreversible Expansion:

• Uhrzeigersinn: Wärme-Kraft-Prozess → Wtot > 0 (wir gewinnen Arbeit)

4.4 Wirkungsgrad Wirr = η · Wrev

• Gegen-UZS: Wärmepumpen-Prozess ⇒ Wtot < 0 (wir müssen Arbeit leisten)

Irreversible Kompression:

Wirr =

1 · Wrev η

Z W =

Z p · dV

Q=

T dS

4.2 Carnot-Kreisprozess Idealisierter, reversibler Kreisprozess zwischen zwei Temperaturniveaus T1 und T2 .

du = T · ds − p · dV

dh = T · ds + v · dp

4

4.4.1 Wirkungsgrad Carnot / reversible KreisProzesse Nach dem 2. Hauptsatz gilt der Carnot-Wirkungsgrad auch für jeden beliebigen anderen reversiblen Kreisprozess zwischen zwei Wärmereservoiren und stellt das theoretische Maximum dar, welches ein Kreisprozess erreichen kann. Siehe für maximale Leistungszahl bei Wärmepumpe und Kältemasch.

ηC = 1 −

TCold |QC | TH − TC =1− = THot QH TH

Für reversible Prozesse gilt:

η=

Tkalt Qkalt = Qheiss Theiss

Wmin,ref Wreal = Wmax,ref Wreal

4.7 Ts- Diagramm 4.5 isentroper Prozess

4.4.2 (thermischer) Wirkungsgrad Kreisprozess ηth

|Qout | Wnetto TC = =1− =1− Qzugeführt |Qin | TH

Prozess bei konstanter Entropie (∆S = 0) . Es darf keine Wärme übertragen werden und der Prozess muss reversibel sein → adiabatischer reversibler Prozess

Beachte: Qc > 0 und QH > 0 (Vorzeichen wurde schon beachtet)

P V κ = const

dS = 0

P 1−κ T κ = const

κ :=

p2 = p1 ·



4.4.3 Leistungszahl Kältemaschine

T1 T2

cp cv

κ  1−κ

4.8 Entropie

¨ Leistungszahl (Chiffre of Performance=COP): K =

V2 = V1 ·

QC QC Q˙ C = = ˙ WKP QH − WC QH − Q˙ C



T1 T2

In Worten: Die Entropieänderung ist die zugeführte Wärme durch die Temperatur des Behälters. S = S(T , p)

1  κ−1

für das Ideale Gas:

Für reversiblen Kreisprozess (Carnot rückwärts): max =

4.6 Enthalpie

TC TH − TC

QH,out Q˙ H Qout = = Kältem +1 = ˙ Wcycle Qout − Win QH − Q˙ C

Verdampfungsenthalpie wird benätigt, um ein Fluid in den gasförmigen Zustand überzuführen:

du ∆S = = T

h(T ) nur von der Temperatur T abhängig!

Wenn adiabat:

cv (T ) =

h1 − h2 = h1 − h2s

du dT

=

v22 /2 Wenn 2 (v2,max /2)

adiabat: =

h(T, p) = u(T ) + pv → h2 − h1 =

h2 − h1 h2s − h1

/ Pumpe,s

ZT2

c(T ) dT T

T1

c(T )dT + v(p2 − p1 ) ∆s = sout − sin = c · ln

für c=const: h2 − h1 = c(T2 − T1 ) + v(p2 − p1 )

Z ηKompressor,s

p2 ) P1

h

T2 T1

i

Berechnung der Identropen Enthalpie: (Es gilt s1 = s2,s ) und v1 ≈ v2

(mit v = Geschwindigkeit) h2s − h1 = h2 − h1

}

mit c=const (z.B. bei Wasser, durchschnitts Temp nehmen T-A19, int.):

ZT2 T1

v22 /2 2 (v2 /2)rev



1 · si 0 (Ti ) und n = V ·p in [mol] Dabei wobei: si 0 (Ti ) = M R·T ist Ti die abs. Temp. an der Systemgrenze, wo die Wärme ∆Q übertragen wird.

für das ideale Gas gilt:

TH TH − TC

Ws12 = (Ws12 )rev

p2 p1

Wenn inkompressibel folgt aus Tds:

4.4.5 Wirkungsgrad Isentrop

ηDüse,s =

{z

ideales Gas



hf g = hg − hf

für inkompressible Fluide cv = cp = c(T )

ηTurbine,s



∆S = n(s0 (T2 ) − s0 (T1 ) − R · ln(

h=u+p·v

Für reversiblen Kreisprozess (Carnot rückwärts): max =

∆Q = m · s02 (T2 ) − s01 (T1 ) − R · ln T

| H =U +p·V H =u+p·v h= m

4.4.4 Wirkungsgrad Wärmepumpe W =

∆S =

h2,s − h1 =

Z dh =

Z (T ds + vdp) =

5

vdp

Prozessart

Entropie

Kreisprizess

∆SKP = 0

4.8.1 Entropiebilanz (geschlossenes System) S2 −S1 −

X Qi i

TG

= Serz ≥ 0

TG : Temp an Systemgrenze

In Worten: Serz gibt an, wieviel Wärme flöten ging, ohne Arbeit zu verrichten.

Serz = S2 − S1 −

Z2 

δQ T



= Serz,

12

+ Serz,

23 + ...

Tabelle A-2 (T) , A-3 (p)

subcooled water

Tabelle A-5; s(T, p) ≈ sf (T ) s(x, T ) = sf + x · (sg − sf )

Ti 4.8.4 Tds-Gleichungen

Prozessart

erzeugte Entropie

Reversibel

Serz = 0

Stationär

Serz = −

P Qi

Serz = −

P Qi

Verbindet Entropie mit U;p,v T · dS = dU + p · dV = δQ

| {z }

Ti

i

δW

T · dS = dH − V · dp

Ti

i

Abgeschlossen

Tabelle A-4

X Qi i

Kreisprozess

s=

saturated water

Nassdampf

Momentane Produktionsrate: S˙ erz = m ˙ · (s2 − s1 ) −

4.8.3 Entropie einer reinen einfachen Substanz

superheated vapor

Erzeugte Entropie kann addiert werden: Kreisprozess

4.8.6 Kondensator / Verflüssiger

Gebiet

1

Serz,

Bei stationären Prozessen: X Q˙ i +m ˙ · (sout − sin ) S˙ erz = − Ti da gilt m ˙ in = m ˙ out gilt.

Serz = ∆S 4.8.5 Turbine 4.8.7 Wärmetauscher

4.8.2 Entropiebilanz (offenes System) Vorgehen: 1. Ersten HS aufstellen. 2. Jeden Wärmestrom SQ , Arbeitsstrom mit dissipativem Anteil Wdiss und Massenstrom m ˙ dem zugehärigen Entropiestrom S˙ zuordnen. 3. Entropiebilanz aufstellen.

X dS X Q˙ i X S˙ erz = − + m ˙ out · sout − m ˙ in · sin dt Ti i

differentiell: S˙ erz

d = dt

Z

Z ρ · sdV +

V

A

˙ · dA ~q + T

Z A

~ ρ · s · (~v · dA)

Der Prozess von 2 nach 2s erfolgt isobar Leistung der reversiblen Turbine: W = m(h ˙ 1 − h2 ) + Q˙

wobei

6

Q˙ = T0 (s2 − s1 )

4.8.10 Boiler / Kühler

4.8.8 Düse / Diffusor

0 = Q˙ B + m ˙ · (h1 − h2 )

ηD,s =

1 2 w 2 2 1 2 w 2 2,max

=

h2 − h1 h2,s − h1

4.8.11 Drossel

w: Geschwindigkeit.

4.8.9 Kompressor / Pumpe

ηK,s =

˙ rev h2,s − h1 W = ˙ h2 − h1 W

7

Achtung: Auf Vorzeichen Achten!

Für Turbine / Pumpe:

4.9 Exergie ε= Energie setzt sich aus Exergie und Anergie zusammen: Exergie: Maximaler Anteil, der mittels eines Prozesses in Ar- beit umgewandelt werden kann, wenn das System bis zum vollständigen Gleichgewicht mit der Umgebung betrieben wird. Anergie: Anteil, der nach dem Erreichen des Gleichgewichtes zurückbleibt. Ein System im Gleichgewicht besitzt nur noch Anergie. Es befindet sich in einem thermodynamischen toten Zustand → Entropie ist maximal

4.9.2 Offenes System ∆E˙ x = m ˙ · [h2 − h1 − T0 (s − s0 ) + KE + PE]

˙ 0,Nutz W ˙ 0,Nutz T0 · Serz + W

Verhältnis exergetischer / energetischer Wirkungsgrad: 1 − T T0 ε Nutz = η 1 − T T0

4.9.3 Exergieverlust

Quelle

Ex,verl = T0 · Serz

5 Anhang 4.9.4 Verlust der Arbeitsfähigkeit ˙ Verl = W ˙ rev − W ˙ 0 = E˙ x,rev − E˙ x = E˙ x,Verl W

4.9.1 Geschlossenes System

Ex = U − U0 + p0 · (V − V0 ) − T0 · (S − S0 ) + KE + PE

Z

4.9.5 Exergie einer Wärme

Exergiebilanz: ∆Ex = Ex,2 − Ex,1 = −T0 · Serz

|

{z

Ex,Q =

}

abgeschl. Systeme

Z2 

1−

1

Exergieänderung:

∆Ex = U2 −U1 +p0 ·(V2 −V1 )−T0 ·(S2 −S1 )+

Z2 

|

T0 T

{z

ηC





{z

Ex,Q

vdp

δQ − [W − p0 (V2 − V1 )] − T0 · Serz

|

{z

Ex,W

n=1

für Polytrope, n 6= 1

Z



Z = −n ·

vdp δQ T

 pdv

} n6=1

 4.9.6 Exergetischer Wirkungsgrad ε=

1

|

Z =− n=1

δQ

Beachte Das Integral

1

∆Ex =

 vdp

T0 1− TG

R

für Polytrope, n = 1

Absolute Exergie:

Z2 

5.1 Ausführung des Integrals

genutzter Exergiestrom = zugeführter Exergiestrom

1−



1−

} | {z } Ex,verl

=

}

8

T0




· Q˙ Nutz



· Q˙ Quelle

TNutz

T0 TQuelle

E˙ x,Nutz T0 · Serz + E˙ x,Nutz

 pdv n=1

R

pdv ist bei der Arbeit zu finden.

Literatur [1] http://elearning.zhaw.ch/