Formelsammlung Thermodynamik Inhaltsverzeichnis INHALTSVERZEICHNIS .................................................................................................................... 1 ALLGEMEINES: ................................................................................................................................ 2 1. HAUPTSATZ: ................................................................................................................................ 4 ISOTHERM: ....................................................................................................................................... 4 ISOBAR: ........................................................................................................................................... 5 ISOCHOR:......................................................................................................................................... 5 REVERSIBEL – ADIABAT: (UNTER FALL VON ISENTROP)........................................................................... 5 POLYTROP: ....................................................................................................................................... 6 IDEALES GAS................................................................................................................................... 6 MOLARE GRÖSSEN ............................................................................................................................ 6 THERMISCHE ZUSTANDSGLEICHUNG .................................................................................................... 7 GEMISCHE IDEALER GASE .................................................................................................................. 7

2. HAUPTSATZ: (ENTROPIE S) ........................................................................................................ 8 ENTHALPIE H: .................................................................................................................................. 9 ARBEITEN:........................................................................................................................................ 9 VOLUMENÄNDERUNGSARBEIT: ............................................................................................................ 9 NUTZARBEIT: .................................................................................................................................... 9 TECHNISCHE ARBEIT:......................................................................................................................... 9 2-PHASENGEBIET (NASSDAMPF)................................................................................................. 10 DAMPFGEHALT ................................................................................................................................ 10 INTERPOLATION .............................................................................................................................. 10 EXERGIE:........................................................................................................................................ 10 WIRKUNGSGRAD ........................................................................................................................... 10 VERDICHTUNG ................................................................................................................................ 10 TURBINE ........................................................................................................................................ 11 LEISTUNGSZAHL .............................................................................................................................. 11 KREISPROZESSE........................................................................................................................... 11 MOTOR............................................................................................................................................ 11 DREHZAHL ..................................................................................................................................... 11 DIAGRAMME................................................................................................................................... 12 2 PHASENGEBIET ............................................................................................................................ 12 ALLGEMEIN ..................................................................................................................................... 12 EINHEITENUMRECHNER ............................................................................................................... 12

-1-

Allgemeines: Zeichen p m V H U S

Rm

Einheit bar kg

Druck Masse Volumen Enthalpie Innere Energie

m3 J J

Entropie allgemeine molare Gaskonstante = 8,314 510

J K J molK m3 kg J kg J kg J kgK J kgK

v

spezifisches Volumen

u

spezifische innere Energie

h

spezifische Enthalpie

s

spezifische Entropie

R

spezifische Gaskonstante

T E W Q

Temperatur Energie Arbeit (meist Volumenänderungsarbeit) Wärme

K J J J

E pot

potentielle Energie

J

E kin

J

κ

n

kinetische Energie Polytropenexponent Isentropenexponent

cp

spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck

cv

spezifische Wärmekapazität bei konstantem Volumen

x

Dampfgehalt

M

Molmasse

N n

Teilchenzahl Stoffmenge

NA

Avogardo-Konstante

′ ′′ η ε ε VH VT

gesättigte Flüssigkeit gesättigter, trockener Dampf Wirkungsgrad Leistungsziffer Verdichtungsverhältnis Hubvolumen

r

J kgK J kgK kg g = kmol mol mol

1 mol

Totraumvolumen Verdampfungsenthalpie -2-

ηg η mech η th η eff ϕ γ ξ

Gütegrad mechanischer Wirkungsgrad theoretischer / thermischer Wirkungsgrad effektiver Wirkungsgrad Einspritzverhältnis Volumenverhältnis Massenanteile, Gewichtsanteile

-3-

1. Hauptsatz:

(

dE SYS dU SYS dH SYS = = = E 2 − E1 = U 2 − U 1 = H 2 − H 1 = ∑ Q i + Wi + E Mat,i dt dt dt

)

geschlossen (kein Massen zu– oder abfluss):

∑E

Mat,i

=0⇒

(

dE SYS dU SYS = = E 2 − E1 = U 2 − U 1 = ∑ Q i + Wi dt dt

)

offen (Massen zu– oder abfluss): dann immer mit Enthalpie H!

∑E

Mat,i

≠0

stationär (keine Änderung über die Zeit):

(

0 = ∑ Q i + Wi + E Mat,i

)

instationär (Änderung über die Zeit):

dE SYS ≠0 dt Q. Wärme adiabat:

∑Q

i

=0⇒

dE SYS dU SYS = = E 2 − E1 = U 2 − U1 = ∑ (Wi + E Mat,i ) dt dt

diabat:

∑Q

i

≠0

W: mechanische Arbeit, elektrische Energie EMat,i: Materialfluss

∑E

Mat, i

[

= ∆H + ∆E pot + ∆E kin

]

∆H = m ∗ (h 2 − h 1 ) = m ∗ (u 2 − u 1 + p 2 ∗ v 2 − p1 ∗ v1 ) ∆E pot = m ∗ g ∗ z 2 − m ∗ g ∗ z1 = ρ ∗ v ∗ g ∗ z 2 − ρ ∗ v ∗ g ∗ z 1 ∆E kin =

1 1 m ∗ w 22 − m ∗ w 12 2 2

Isotherm: Polytropenexponent: n = 1

Temperatur (T) = konstant; p ∗ v = konstant 1

p v dp dv + = 0; p ∗ v = R ∗ T0 = konstant; 2 = 1 p v p1 v 2 1. Hauptsatz

Q12 + W12 = 0

Wärmeenergie

Q12 = − m ∗ R ∗ T ∗ ln

Volumenänderungsarbeit

W12 = m ∗ R ∗ T ∗ ln

Änderung der inneren Energie

∆U = 0

Änderung der Entropie

∆S = m ∗ R ∗ ln

V1 p V = − m ∗ R ∗ T ∗ ln 2 = −p1 * V1 * ln 2 V2 p1 V1

V1 p V = m ∗ R ∗ T ∗ ln 2 = p1 ∗ V1 ∗ ln 2 V2 p1 V1

V2 p = m ∗ R ∗ ln 1 V1 p2

-4-

Isobar: Polytropenexponent: n = 0 Druck (p) = konstant; p ∗ v = konstant 0

dv dT v R v 2 T2 = ; = ; = v T T p 0 v1 T1 Q12 + W12 = ∆U Q12 = c p ∗ m ∗ ∆T

1. Hauptsatz Wärmeenergie

W12 = − p∆V = − m ∗ R ∗ ∆T R ∆U = c v ∗ m ∗ ∆T = * m * ∆T = Q12 + W12 κ -1 T V ∆S = c p ∗ m ∗ ln 2 = c p ∗ m ∗ ln 2 T1 V1

Volumenänderungsarbeit Änderung der inneren Energie Änderung der Entropie

Isochor: Polytropenexponent: n → ∞ Volumen (V) = konstant; p ∗ v

∞

= konstant

dp dT p R p 2 T2 = ; = ; = p T T v 0 p1 T1 1. Hauptsatz

Q12 = ∆U

Wärmeenergie

Q12 = ∆U = c v ∗ m ∗ ∆T =

Volumenänderungsarbeit

W=0

Änderung der inneren Energie

∆U = Q12 = c v ∗ m ∗ ∆T =

Änderung der Entropie

R ∗ m ∗ ∆T κ -1

R ∗ m ∗ ∆T κ -1 T p ∆S = c v ∗ m ∗ ln 2 = c v ∗ m ∗ ln 2 T1 p1

reversibel – adiabat: (unter Fall von isentrop) Polytropenexponent: n = κ : Isentropenexponent κ Wärme (Q): dq = 0 ; p ∗ v = konstant ; ds = dq + dw R = 0  v2   v1

κ

 v  p T  = 1 ; 2 =  1  p 2 T1  v 2  

1. Hauptsatz Wärmeenergie

κ −1

Volumenänderungsarbeit Änderung der inneren Energie Änderung der Entropie

κ

 T  κ −1 p ; 2 =  2  p1  T1  W12 = ∆U Q12 = 0 p ∗ v2 m∗R ∆T = 2 κ -1 κ p ∗ v2 m∗R ∆U = W12 = c v ∗ m ∗ ∆T = ∆T = 2 κ -1 κ ∆S = 0 W12 = ∆U = c v ∗ m ∗ ∆T =

-5-

− p1 * v1 −1 − p1 * v1 −1

polytrop: Polytropenexponent: n ≠ κ : Isentropenexponent

p ∗ v n = konstant

-n

n

n −1

v   T  n -1 T v  dp dv p = − n ; 2 =  2  =  2  ; 2 =  1  p v p1  v1  T1  v 2   T1  Q12 n − κ = W12 κ − 1 1. Hauptsatz Q12 + W12 = ∆U n −κ R n −κ Wärmeenergie Q12 = c v ∗ m ∗ ∗ ∆T = ∗m∗ ∗ ∆T n −1 κ -1 n −1 p ∗ v 2 − p1 ∗ v1 m∗R W12 = ∗ ∆T = 2 = n −1 n −1 n −1 n −1         m ∗ R ∗ T1 v1 n ∗ R ∗ T1  p 2 n = *   − 1 = *   − 1 =  p1   n −1 n −1  v 2   Volumenänderungsarbeit    p1 ∗ V1  p 2 = *  n − 1  p1  Änderung der inneren Energie Änderung der Entropie

 − 1   R ∆U = c v ∗ m ∗ ∆T = * m * ∆T = Q12 + W12 κ -1 T κ -n ∆S = c v ∗ m ∗ ∗ ln 1 n -1 T2   

n −1 n

ideales Gas molare Grössen R=

Rm M

N NA N Molmasse u = NA Molzahl u =

V = M∗v n U = M∗u molare innere Energie U m = n H = M∗h molare Enthalpie H m = n S molare Entropie S m = = M ∗ s n C = M∗c molare Wärmekapazität c m = n Molvolumen Vm =

-6-

molare Masse: M =

m n

thermische Zustandsgleichung p1 ∗ V1 p 2 ∗ V2 = T1 T2 p∗v = R ∗T p∗V = m∗R ∗T p∗V = n ∗Rm ∗T 1 v R N R = m = ∗Rm M m R cv = κ -1 κ ∗R cp = κ -1 cp κ= cv R = cp − cv

ρ=

Gemische idealer Gase c v, Mischung = ∑ ξ i ∗ c v,i c p, Mischung = ∑ ξ i ∗ c p,i

mi ξi ∗ m = V V R Mischung m mi Mi ξi = i = =γi ∗ =γi ∗ ; ∑ ξ i = 1;∑ m i = m m ∑ mi M Mischung Ri

ρi =

M Mischung n i vi pi ; ∑ γ i = 1;∑ n i = n = = = ξi ∗ n v p Mi v vor der Mischung (Volumenverhältnis): i ; ∑ v i = v v i p nach der Mischung (Partialdruckverhältnis): i ; ∑ p i = p; p i = γ i ∗ p p i

γi =

spezifische Gaskonstante der Mischung:

R Mischung = ∑ ξ i ∗ R i =

1 = γi ∑R i

ξ Rm Rm = Rm ∗∑ i = M i M Mischung ∑ (γ i ∗ M i )

molare Masse der Mischung: M Mischung =

∑m ∑n

i

i

=

Rm R Mischung

-7-

= ∑γ i Mi

M Mischung vi p i n i = = = ξi ∗ =γi v p n Mi Verhältnis der spezifischen Wärmekapazitäten:

κ Mischung = 1 +

1 γ ∑ κ −i 1 i

Wärmemenge:

Q = E 2 − E 1 = U 2 − U 1 = H 2 − H 1 = m ∗ c ∗ ∆T U = m ∗ cv ∗ T Q = m ∗ cp ∗ T H = m ∗ cp ∗ T Wärmeinhalt:

Q = H = U = m∗c∗T

(c: Wärmekapazität; T: Temperatur; ∆T : Temperaturänderung)

2. Hauptsatz: (Entropie S) Aggregat- und Temperaturwechsel (flüssig -> gasförmig,...) beachten

dS = dSa + dSi dQ ( dSa = : Austauschvorgänge mit der Umgebung, Entropietransport; T dWR dSi = : Dissipation, Entropieerzeugung, Entropieproduktion; nur innerhalb des Systems) T dSi < 0 : nicht möglich dSa < 0 : Wärmeabfuhr dSi = 0 : reversibler Prozess

dSa = 0 : adiabetes System

dSi > 0 : irreversibler Prozess dS < 0 dSa < 0 und dSa > dSi

dSa > 0 : Wärmetransport

dS = 0

dSa = 0 = dSi

dS > 0

dSa ≤ 0 und dSa < dSi oder dSa > 0

geschlossene Systeme: dU = TdS − pdV offene Systeme: dH = TdS + Vdp ideale Gase:

T2 v + R ∗ ln 2 T1 v1 T p offen (geg.: T, p): s 2 - s 1 = c p ∗ ln 2 − R ∗ ln 2 T1 p1 p v geg.: p, v: s 2 - s 1 = c v ∗ ln 2 − R ∗ ln 2 p1 v1 geschlossen (geg.: T, v): s 2 - s 1 = c v ∗ ln

-8-

flüssige Stoffe: geschlossen: s 2 - s 1 = c v ∗ ln offen: s 2 - s 1 = c p ∗ ln

T2 T1

T2 T1

Enthalpie H: (bei offenen Systemen)

H = p∗V + U h = p ∗ v + u (gilt auch im 2 Phasengebiet) dH = pdV + Vdp + U dh = pdv + vdp + u Isobar: (dp = 0) ⇒ dh = du + pdv Isochor: (dv = 0) ⇒ dh = du + vdp Ideales Gas: dh = c p dT h = cpT du = c v dT u = c vT adiabate Drosselung: dh = 0 ideales Gas: T1 = T2 da dh = 0 ↔ c p ∗ (T1 −T 2 ) Arbeiten: Volumenänderungsarbeit: 2

(bei geschlossenen Systemen) Wv12 =

∫ − pdV 1

2

2

1 2

1

p = konstant : w v12 = ∫ − pdv = − p ∫ dv = − p ∗ (v 2 − v1 ) 2

= RT T = konstant : w v12 = ∫ − pdv mit :pv → ∫ 1

1

2 v R ∗T 1 dv = − R ∗ T ∫ dv = − R ∗ T ∗ ln  2 v v  v1 1

Nutzarbeit: Wn12 = − ∫ (p System − p ∞ )dV = Wv12 − W∞12 2

1

Aufgabe Nr. 26: die Arbeit, die man aus dem System abgreifen kann. Unter Umständen mit Volumenänderungsarbeit kombiniert.

technische Arbeit: 2

(bei offenen Systemen) Wt12 =

∫ Vdp 1

-9-

  

2-Phasengebiet (Nassdampf) Dampfgehalt mD mD m ′′ z − z′ = = = ; (z = v, u, h, s,...) m ges m Fl + m D m ′ + m ′′ z ′′ − z ′ z = z ′ + x ∗ (z ′′ − z ′ ); (z = v, u, s, h,...) falls u nicht tabellisiert ist: u = h − p ∗ v h = h ′ + x ∗ (h ′′ − h ′ ) = h ′ + x ∗ r ; r := T ∗ (s ′′ − s ′) = (h ′′ − h ′) Z z = ; (z = v, V, u, U, h, H, s, S, ...) m x=

Interpolation z - zb y - yb = ; (z = h, v, u, s,...) z b −z a y b − y a Exergie: maximal abgebare Leistung:

c2 + g ∗ (z 2 − z1 ) 2 = u 2 - u 1 − T∞ ∗ (s 2 − s 1 ) + p ∞ ∗ (v 2 − v1 )

w max = -w t = w ex = h 2 - h 1 − T∞ ∗ (s 2 − s 1 ) +

offen:

geschlossen: w max = w t = − w ex Anergie:

Wirkungsgrad

η=

Nutzen Aufwand

; bei konstanter Temperatur:

η Carnot =

TA − TB TA

Verdichtung adiabat ⇔ isentrop

ηV = V

z * - z1 1 * ; (z = h, T); ( z =ideal (Wirkungsgrad = 1)) = z 2 − z1 η T *

zuerst z mit Formeln Seite 4 ff. lösen

- 10 -

Turbine adiabat ⇔ isentrop

ηT = T

z 2 − z1 1 * ; (z = h, T); ( z =ideal (Wirkungsgrad = 1)) = * z - z1 ηV *

zuerst z mit Formeln Seite 4 ff. lösen

Leistungszahl

ε=

TB Nutzen ; bei konstanter Temperatur: ε Carnot = Aufwand TA - TB

Kreisprozesse rechtsläufig (Uhrzeigersinn): linksläufig:

Carnotprozess Ericssonprozess Stirlingprozess Jouleprozess Dieselprozess Seilingerprozess Ottoprozess

Wärmekraftmaschinen (Motoren,...): bringen Wärme vom wärmeren ins kältere Kältemaschinen, Kühlung, Wärmepumpen: bringen „Wärme“ (Kälte) vom kühleren ins wärmere

s-T-s-T T-p-T-p T-v-T-v s-p-s-p s-p-s-v s-v-p-s-v s-v-s-v

Motor V V + VH ε= 1 = T ; V1 : 1. Hub; V2 : 2. Hub V2 VT

π ∗d2 VH = V2 − V1 = A ∗ h = ∗h 4 w eff = η m ∗ η g ∗ w th η eff = η th ∗η g ∗η mech Peff = n d ∗ m ∗ w eff Drehzahl nD 2 bei Zweitaktmotor: n = n D bei Viertaktmotor: n =

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Diagramme bei Flüssigkeitsabscheidern befindet man sich unter der Dampfdruckkurve. Vorgehensweise: Einzeichnen der Zustände und der Zustandsänderungen im T-s-Diagramm: isobare zuerst im p-V-Diagramm: isotherme zuerst isentrope s = konstant

n =κ

isobare p = konstant

isochore v = konstant

isotherme T = konstant

isenthalpe h = konstant

2 Phasengebiet KP

T

KP

p

gesättigte Flüssigkeit

gesättigte Flüssigkeit

trocken, gesättigter Dampf

trocken, gesättigter Dampf

s

V

allgemein

T

p

s

V

Einheitenumrechner N = 1bar m2 J m2 Nm 1W = 1 = 1kg 2 = 1 s s s 3 3 3 1m = 1 ∗ 10 dm = 1 ∗ 10 6 cm 3 = 1 ∗ 10 9 mm 3 10 5 Pa = 10 5

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