Thermodynamik I

Skript

Universität der Bundeswehr München Fakultät für Luft- und Raumfahrttechnik Institut für Thermodynamik − September 2011 −

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I ____________________________________________________________________________________________

GLIEDERUNG 1.  EINFÜHRUNG

- 6 - 

1.1. 

Was ist technische Thermodynamik?

- 6 - 

1.2. 

Technische Thermodynamik – Definition und Abgrenzung

- 7 - 

1.3. 

Systematische Einteilung der Untergebiete

- 7 - 

2.  KONZEPTE DER PHÄNOMENOLOGISCHEN THERMODYNAMIK 2.1. 

- 8 -  - 8 - 

Gleichgewichts-Thermodynamik

2.2.  Thermodynamische Systeme 2.2.1.  Abgeschlossenes System 2.2.2.  Geschlossenes System 2.2.3.  Offenes System 2.2.4.  Systeme und Subsysteme 2.2.5.  Austausch zwischen Subsystemen

- 8 -  - 8 -  - 8 -  - 8 -  - 9 -  - 9 - 

2.3.  Thermodynamische Zustandsgrößen 2.3.1.  Extensive Zustandsgrößen 2.3.2.  Intensive Zustandsgrößen 2.3.3.  Spezifische Zustandsgrößen

- 10 -  - 11 -  - 11 -  - 11 - 

2.4. 

- 12 - 

Thermodynamisches Gleichgewicht

- 12 -  - 13 -  - 13 - 

2.5.  Thermodynamische Prozesse 2.5.1.  Idealprozesse – reversible Prozesse 2.5.2.  Reale Prozesse – irreversible Prozesse

3.  DRUCK UND TEMPERATUR – PHÄNOMENOLOGISCHE EINFÜHRUNG 3.1. 

- 15 -  - 15 - 

Thermodynamischer Druck

3.2.  Temperatur 3.2.1.  Definition der thermodynamischen Temperatur 3.2.2.  Messvorschrift mittels Druckmessung 3.2.3.  Absoluttemperatur 3.2.4.  Kelvinskala und andere Temperaturskalen

- 16 -  - 16 -  - 18 -  - 19 -  - 20 - 

3.3. 

Thermische Zustandsgleichung des idealen Gases

- 21 - 

3.4. 

Zusammenfassung

- 22 - 

4.  ERSTER HAUPTSATZ

- 23 - 

4.1.  Massenerhaltung im offenen System 4.1.1.  Vorzeichenkonvention 4.1.2.  Stationäre Umwandlung

- 23 -  - 23 -  - 24 - 

4.2. 

- 24 - 

Energieerhaltungsprinzip

-2-

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I ____________________________________________________________________________________________ 4.3.  Energieformen der Thermodynamik 4.3.1.  Volumenarbeit WV 4.3.2.  Reibungs- / Dissipationsarbeit 4.3.3.  Innere Energie U 4.3.4.  Wärme Q 4.3.5.  Prozess- / Zustandsgrößen 4.3.6.  Erster Hauptsatz für geschlossene Systeme 4.3.6.1.  bewegtes System 4.3.6.2.  ruhendes System

- 25 -  - 25 -  - 26 -  - 27 -  - 29 -  - 30 -  - 30 -  - 31 -  - 32 - 

4.4.  Thermodynamische Prozesse mit Arbeit und Wärme 4.4.1.  Bestimmung der Gesamtarbeit 4.4.2.  Bestimmung der Gesamtwärme 4.4.3.  Messung der Wärme mittels Dissipationsarbeit

- 32 -  - 33 -  - 33 -  - 34 - 

4.5.  Generalisierte Arbeit 4.5.1.  Elektrische Arbeit 4.5.2.  Magnetische Arbeit 4.5.3.  generalisierte Form der Arbeit 4.5.4.  Energiebilanz mit verschiedenen Energieformen 4.5.5.  Zustandspostulat

- 34 -  - 34 -  - 35 -  - 35 -  - 36 -  - 36 - 

5.  OFFENES SYSTEM 5.1. 

- 38 -  - 39 - 

Energiebilanz für offene Systeme

5.2.  Analyse der Strömungsarbeit 5.2.1.  Energiebilanz offenes / geschlossenes System 5.2.2.  Energiegleichung offenes System mit beweglicher Grenze

- 40 -  - 40 -  - 41 - 

5.3.  Erster Hauptsatz für offene Systeme 5.3.1.  Bilanzierung des ersten Hauptsatzes 5.3.2.  Energietransport über starre Systemgrenzen 5.3.3.  Energiebilanz 5.3.4.  Mehrere Zu- / Abflüsse 5.3.5.  Stationärer Zustand

- 42 -  - 43 -  - 43 -  - 44 -  - 44 -  - 45 - 

5.4.  Enthalpie 5.4.1.  Beispiel Ansaugen einer Maschine 5.4.2.  Beispiel Wasserturbine 5.4.3.  Adiabate Drossel 5.4.4.  Düse / Diffuser

- 46 -  - 47 -  - 47 -  - 49 -  - 49 - 

5.5.  Technische Arbeit aus Zustandsänderung 5.5.1.  Anwendung: Druck in reibungsfreier Strömung 5.5.2.  Integrierte Form; reversibel quasistatisch

- 50 -  - 52 -  - 53 - 

5.5.3. 

Zusammenhang von

wt

und

- 54 - 

wv

5.6.  Kreisprozess in stationärer Strömungsmaschine 5.6.1.  Bilanz der Komponenten 5.6.2.  Bilanz am Gesamtsystem 5.6.3.  reversibler statischer Kreisprozess

- 55 -  - 55 -  - 56 -  - 56 - 

5.7. 

Wirkungsgrade

- 57 - 

5.8. 

Prozess- und Zustandsänderungen

- 59 - 

-3-

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I ____________________________________________________________________________________________ 5.9. 

- 61 - 

Spezifische Wärmekapazitäten (Anwendung)

- 65 -  - 66 -  - 66 -  - 67 -  - 69 -  - 70 - 

5.10.  Formen der Energiegleichung 5.10.1.  Variablen T, v 5.10.2.  Variablen T, p 5.10.3.  Variablen v, p 5.10.4.  Joule – Thomson – Effekt (Einführung) 5.10.5.  Berechnung von Energiedifferenzen

6.  IDEALES GAS

- 71 - 

6.1. 

Joule Überströmversuch

- 72 - 

6.2. 

Enthalpie

- 75 - 

6.3. 

Isentropenexponent

- 76 - 

6.4.  Grundlage Idealgas aus kinetischer Theorie 6.4.1.  Ideales Gas 6.4.2.  mehratomige Moleküle 6.4.3.  Gleichverteilungssatz 6.4.4.  Bewegter Kolben (optional)

- 77 -  - 78 -  - 81 -  - 82 -  - 83 - 

6.5. 

Spezialfall konstante spezifische Wärmen

- 84 - 

6.6.  Allgemeine Polytropengleichung 6.6.1.  Volumenarbeit bei polytroper Zustandsänderung 6.6.2.  Wärmemenge bei polytroper Zustandsänderung 6.6.3.  Isotherme Volumenarbeit

- 88 -  - 88 -  - 90 -  - 90 - 

6.7. 

Polytroper Prozess in stationären offenen Prozessen

- 91 - 

6.8. 

Adiabate Drossel

- 94 - 

6.9. 

Adiabate Düse / Diffusor

- 94 - 

6.10.  Analyse des Joule – Versuchs (perfektes Gas) 6.10.1.  Analyse offenes instationäres System 6.10.2.  Alternative Analyse geschlossenes System 6.10.3.  offenes System - Analyse 6.10.4.  mikroskopische Analyse

- 94 -  - 95 -  - 97 -  - 98 -  - 98 - 

6.11. 

- 98 - 

Zusammenfassung ideales, perfektes Gas

7.  ZWEITER HAUPTSATZ

- 101 - 

7.1. 

Formulierungen des 2. Hauptsatzes (CLAUSIUS, PLANCK)

- 102 - 

7.2. 

Äquivalenz der Formulierungen von CLAUSIUS und PLANCK

- 103 - 

7.3. 

Carnot-Folgesätze

- 104 - 

7.4. 

Reversible/Irreversible Prozesse

- 106 - 

7.5.  Carnot-Zyklus 7.5.1.  Wirkungsgrad des Carnot-Prozesses (Arbeitsmittel: perfektes Gas)

-4-

- 109 -  - 110 - 

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I ____________________________________________________________________________________________

Thermodynamische Temperaturskala

- 112 - 

7.7.  Wärmemengen in Carnot-Netzen 7.7.1.  Reversible Ersatz-Prozesse (Carnot-Netz) 7.7.2.  Carnot-Netz: Reversibler Prozess 7.7.3.  reversible Realisierung 7.7.4.  Carnot-Netz irreversibler Prozess

- 113 -  - 113 -  - 115 -  - 116 -  - 116 - 

7.6. 

8.  ZUSTANDSGRÖßE ENTROPIE

- 117 - 

8.1.  Entropieänderung 8.1.1.  Entropieänderung für irreversible Systeme 8.1.2.  Entropieänderung reversible Prozesse

- 117 -  - 117 -  - 118 - 

8.2. 

Kanonische Zustandsgleichung

- 119 - 

8.3. 

Erreichbarkeit von Zuständen

- 120 - 

8.4. 

Anschauliche Interpretation von Entropiedifferenz

- 121 - 

8.5. 

Axiomatische Einführung der Entropie

- 122 - 

8.6. 

Entropiebilanz im offenen System

- 123 - 

8.7. 

Berechnung der Zustandsgröße Entropie

- 128 - 

8.8.  Entropie des idealen und perfekten Gases 8.8.1.  Integration mit Energie 8.8.2.  Integration mit Enthalpie (isotherm-isobarer-Weg) 8.8.3.  Entropie perfektes Gas ( cv ,c p = const. ) 8.8.4.  8.8.5.  8.8.6. 

Temperatur als Funktion von (s,v) bzw. (s,p) (perfektes Gas) Energie und Enthalpie als Funktion von (s,v) bzw. (s,p) (perfektes Gas) thermische Zustandsgleichung aus kanonischer Zustandsgleichung

9.  EINSCHUB: MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN (I)

- 129 -  - 129 -  - 130 -  - 130 -  - 131 -  - 131 -  - 132 - 

- 133 - 

9.1. 

Partielle Ableitungen / totale Differential

- 133 - 

9.2. 

Höhenlinien

- 134 - 

9.3. 

Kettenregel

- 136 - 

9.4. 

Schwarz’scher Satz

- 136 - 

9.5. 

Wegintegrale

- 137 - 

9.6. 

Wegintegrale und Kreisprozesse mit Zustandsgrößen

- 138 - 

10. STICHWORTREGISTER

- 139 - 

-5-

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I 1. Kapitel ___________________________________________________________________________________________

1. Einführung 1.1. Was ist technische Thermodynamik? Thermodynamik ist die Lehre von den Energieumwandlungen und den Zusammenhängen zwischen Eigenschaften der Stoffe.

Phänomenologische Thermodynamik

Chemische Thermodynamik

Technische Thermodynamik

Technische Verbrennung Aerothermodynamik

Kälte- / Klimatechnik

Wärme- / Stoffübertragung

Statistische Thermodynamik

Nichtgleichgewichtsthermodynamik

Technische Thermodynamik: Anwendung der Thermodynamik auf technische Prozesse und Materialien mit dem Ziel: 1. Prozesse zu optimieren (Wirkungsgrad) 2. konsistente Materialdaten zu erhalten

Thermodynamische Analyse

Apparative Realisierung

Beispiele für technische Prozesse der Thermodynamik:    

   

Dampfturbine Gasturbine Kühlschrank Wärmepumpe -6-

Meerwasser-Entsalzung Gas-Verflüssiger Brennstoffzelle Automotor

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I 1. Kapitel ___________________________________________________________________________________________

1.2. Technische Thermodynamik – Definition und Abgrenzung

Gesetze der Thermodynamik werden oft als Erfahrungssätze (Axiome) formuliert. Hauptsätze der Thermodynamik 

Aussagen der Hauptsätze sind mathematisch nicht beweisbar,



basieren auf Beobachtungen und Erfahrungen



und bestätigen sich Tag für Tag neu.

Axiome HS

Theorie Logik

Anwendung

1.3. Systematische Einteilung der Untergebiete

0. HS Transitivität der Temperatur-Messung (Grundlagen der Temperaturmessung)

1. HS Energieerhaltung

2. HS beschränkte Umwandelbarkeit der Energie

3. HS

Nullpunkt der Entropie

-7-

Analyse

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I 2. Kapitel ____________________________________________________________________________________________

2. Konzepte der phänomenologischen Thermodynamik 2.1.

Gleichgewichts-Thermodynamik Umgebung: (Ströme) Temperatur

Masse Impuls Energie

Druck System

2.2. Thermodynamische Systeme 2.2.1.

Abgeschlossenes System

mE  

2.2.2.  

kein Energieaustausch kein Massenaustausch mit der Umwelt

dE dm 0 ; 0 d d

Geschlossenes System Energieaustausch aber kein Massenaustausch

mE

Ep 2.2.3.

dE dm 0 ; 0 d d

EA

Offenes System

mA

mE

me  

dE dm 0 ; 0 d d

sowohl Energie- als auch Massenaustausch

Ep

EA

-8-

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I 2. Kapitel ____________________________________________________________________________________________

2.2.4. Systeme und Subsysteme

- Bilanzierung Gesamtsystem / Subsystem - Zustandsvariablen definiert im Subsystem

Gesamtsystem:

T1 , p1 ,V1

T2 , p2 , V2

T1 , p1 ,V1

Teilsysteme:

T2 , p2 , V2

Zwischen den Teilsystemen / Subsystemen können innerhalb des Gesamtsystems Massen, Mole, Energien, Impulse etc. ausgetauscht werden.

2.2.5. Austausch zwischen Subsystemen

T1 , p1

T2 , p2

T1' , p1'

T2' , p2'

V1

V2

V1'

V2'

-9-

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I 2. Kapitel ____________________________________________________________________________________________

2.3. Thermodynamische Zustandsgrößen Zustandsvariablen sind Werte makroskopischer Beobachtungsvariablen, die den Zustand des Systems eindeutig charakterisieren. Beispiele:      

  

m I D V

Masse Impuls Drehimpuls Volumen  Dichte p Druck

  

T n ni  M  P Q

Temperatur Anzahle der Mole Konzentration magnetisches Moment Polarisation elektr. Ladung

Zustandsvariablen sind direkt oder indirekt messbar

Funktionen von Zustandsvariablen sind neue Zustandsvariablen Beispiel:

Definition der Dichte



m V

Spezifisches Volumen

v

V m

Wenige Zustandsgrößen charakterisieren ein System. Zur rechnerischen Erfassung eines thermodynamischen Problems reicht ein minimaler Satz von unabhängigen Variablen Beispiel:

p, v

p, T

T,v

T  T  p, v 

v  v  p, T 

p  p T , v 

- 10 -

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I 2. Kapitel ____________________________________________________________________________________________

2.3.1. Extensive Zustandsgrößen Proportional zur Systemgröße im homogenen System z.B. Masse, Volumen, Energie

Z   Zi

Z1 Z3 Z2

2.3.2. Intensive Zustandsgrößen Zustandsgrößen können nicht additiv verknüpft werden. Nur für homogene Teilsysteme definiert. z.B. Druck, Temperatur

2.3.3.

Spezifische Zustandsgrößen

Definition: Quotient aus zwei extensiven Variablen

massebezogen:

zm 

Z m

Beispiel:

v

V m

volumenbezogen:

zv 

Z v

Beispiel:



m 1  V v

molar:

zc 

Z n

Beispiel:

M

- 11 -

m n

(Molmasse)

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I 2. Kapitel ____________________________________________________________________________________________

2.4. Thermodynamisches Gleichgewicht Der thermodynamische Zustand wird durch die Zustandsgrößen erfasst. Sie sind definierbar für Gleichgewichtszustände. Wenn Gradienten / Variationen von Zustandsgrößen existieren ist kein thermodynamischer Zustand definierbar, denn nur extensive Zustandsgrößen besitzen definierte Werte. Äußere Randbedingungen können das Gleichgewicht „behindern“

Xi Zustandsgröße : - (stationär)

Xi dX i 0 d

- keine äußeren Einflüsse minimaler Satz von Zustandsgrößen:



Xi

2.5. Thermodynamische Prozesse Ein Prozess ist die Änderung des Systemszustands (Zustandsgrößen). Eine langsame Änderung von Zuständen wird als quasistatischer Prozess bezeichnet. Die Zustandsvariablen sind so auf dem ganzen Weg definiert.

Beispiel: P

T



1





1

 2

2

V

V - 12 -

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I 2. Kapitel ____________________________________________________________________________________________

P P2



Nicht quasistatische Änderungen sind nur im Anfangs- und Endzustand definiert. (Es existiert keine Kurve.)



P1

V v2

v1

2.5.1. Idealprozesse – reversible Prozesse derartige Prozesse... P  sind „unendlich langsam“  haben keine Gradienten im System  haben keine inneren Dissipation / Reibung  ihre Zustandsvariablen sind an jedem Wegpunkt definiert  verlaufen über Gleichgewichtszustände  quasistatisch



1

2

 V

2.5.2. Reale Prozesse – irreversible Prozesse

    

endliche Zeit Gradienten Reibung / Dissipation irreversibel nicht quasistatisch

P

2  keine Kurve (existiert nicht) 1 

V

- 13 -

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I 2. Kapitel ____________________________________________________________________________________________

Beispiel Kolben:

p0 , T0 ,V0

  0

p1 , T1 , V1

V P

1 0 

0





1





T

 1

0



- 14 -

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I 3. Kapitel ____________________________________________________________________________________________

3. Druck und Temperatur – phänomenologische Einführung

3.1. Thermodynamischer Druck

Symbol Einheit Benennung p

Pa, bar atm

Druck

Definition des thermodynamischen Drucks:

D ru ck 

K ra ft F lä ch e

p

(Kraft, die senkrecht zur Fläche wirkt)

F A

In ruhenden Fluiden ist der Druck (p) isotrop:

Fk

Fa

Gleichgewicht:

A

Fi  Fk  Fa  pi 

Vakuum: Fa  0  Fi  Fk : Absolut  Druck

Fi

p

Fi Fk  Fa  A A

pa

Fk  Kraft Kolben Fa  Kraft von außen Fi  Kraft von innen, Druck gegen den Kolben

- 15 -

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I 3. Kapitel ____________________________________________________________________________________________

Symbol Einheit Benennung t T

3.2. Temperatur

°C K

Temperatur in Grad Celsius Temperatur in Kelvin

Menschliches Empfinden für heißes und kaltes ist nur qualitativ. Exakte thermodynamische Berechnungen von Prozessen und Anlagen erfordern daher exakteres Erfassen der Temperatur. Erfasst wird die Temperatur auf verschiedene Weisen. Die Einheit Kelvin (K) ist die Grundlage für international gleiche Angaben und Berechnungen, weil der Ausgangspunkt der Kelvinskala der absolute Nullpunkt ist. Es werden adiabate und diabate Prozesse unterschieden. adiabat diabat

Es wird keine Wärme mit der Umgebung ausgetauscht entspricht dem Gegenteil; wird aber kaum gebracht

Eine Vielzahl von Messgrößen sind temperaturabhängig. So zum Beispiel das Volumen, der elektrische Widerstand und die Thermospannung

3.2.1.

Definition der thermodynamischen Temperatur Celsius-Skala: T = 0 °C

Eis und Wasser (Bei p = 101325 Pa = 1 atm)

0

100 0 T = 100 °C kochendes Wasser bei 1 atm



Q

- 16 -

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I 3. Kapitel ____________________________________________________________________________________________

 C

Der Skalenbereich kann nun in 100 gleiche Teile gegliedert und linear beschriftet werden. Problematisch ist die nichtlineare Ausdehnung des Messmediums (Wasser, Alkohol, Quecksilber).

100

0

 g

1

0



pg

p1

ps

p

p

Das Gasthermometer Die Forderung nach einem Standardthermometer bedarf einer Lösung bei der das Volumen das Messmediums (hier Gas) gleich bleibt. Eine Möglichkeit der Umsetzung ist unten abgebildet. Das Grundprinzip besteht darin, dass die eigentliche Temperaturmessung in eine Druck- / Kraftmessung überführt wird.

- 17 -

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I 3. Kapitel ____________________________________________________________________________________________

Schematische Darstellung des Gasthermometers: p  0 Vakuum xs  Sdp. 100C x x xE  Eispunkt 0C x0

ideales Gas

Kapillare flexibler Schlauch

V  const

Bäder mit verschiedenen Temperaturen

3.2.2.

Messvorschrift mittels Druckmessung

 ( p  pg ) =

 ( p)

0 °C =  g

 ( p  ps ) = 100 °C = s  ( p) 

 s  g ( p  pg )   0   p p ps  p g g  s

s   g

100   p 

1 p

ps

pg

minimale Temperatur in °C

 0 P0

- 18 -

p1 absoluter Nullpunkt

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I 3. Kapitel ____________________________________________________________________________________________

ps pg Messdaten extrapoliert auf Druck p  0

        p  ( p)  0   s g     ps  1   pg   p   g 

O2 N2

1,3661

p  lim  s  p g 0  p   g

Lässt man pg experimentell gegen 0 gehen so ergibt sich für alle p Gase s als 1,3661. pg

He H2

pg

3.2.3.

Absoluttemperatur

0 C    0 

100  0 1,3661  1

Celsius-Skala:  ( p)  273,15 

0  

100 ps 1 pg

100  273,15[C ] 0,3661

 p     pg 

  p   273,15  1     p     g  

- 19 -

[C ]

( p g  0)

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I 3. Kapitel ____________________________________________________________________________________________

3.2.4.

Kelvinskala und andere Temperaturskalen

Die vier am weitesten verbreiteten und gebräuchlichsten Temperaturskalen sind Kelvin, Celsius, Rankine und Fahrenheit. Wobei sich die Skalen: Kelvin  Celsius und Rankine  Fahrenheit jeweils sehr ähneln.

- 20 -

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I 3. Kapitel ____________________________________________________________________________________________

3.3. Thermische Zustandsgleichung des idealen Gases Die Zustandsgleichung ist eine funktionale Gesetzmäßigkeit, die verschiedene Zustandsgrößen miteinander verbindet. Zustandsgleichungen eines Systems müssen in der Thermodynamik empirisch bestimmt werden. Oftmals verwendet man dazu Polynome in den Zustandsvariablen, deren Virialkoeffizienten dann experimentell bestimmt werden. Solche empirisch bestimmten Zustandsgleichungen geben meist nur in einem sehr eingeschränkten Wertebereich der Zustandsvariablen vernünftige Übereinstimmung mit den Experimenten. Als Spezialfall der Zustandsgleichungen ist die des idealen Gases zu sehen. Sie kann für reale Gase nur bei sehr niedrigem Druck verlässliche Aussagen machen. Für höhere Drücke verwendet man modifizierte Relationen wie die Van-der-Waals-Gleichung oder die Virialentwicklung. pV  mRT

 m

 J  Rm allgemeine Gaskonstante = 8,31451   molK  R  J  R spezifische Gaskonstante R  m   M  kgK 

 kg 

M Molgewicht   mol  m Masse [ kg ]

n

Anzahl der Mole n 

 J  R   kgK 

m M

Rm T  nRmT M

[ mol ]

V

Volumen [m3 ]

H2

Ar

O2

Luft

CO2

N2

He

4120

208

260

287

187

297

2080

Gleichung mit spezifischen Größen v

V 1 m ,    m v V

p

V  pv  RT m

p   RT

F ( p , V , T , m ) = 0 thermische Zustandsgleichung = 0 thermische Zustandsgleichung spezifisch (auf Einheitsmasse normiert) g ( p, v, T )

- 21 -

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I 3. Kapitel ____________________________________________________________________________________________

3.4. Zusammenfassung

 System

Kontrollvolumen



Umgebung

 abgeschlossen dm  0 , dE  0 geschlossen

dm  0 , dE  0

offen

dm  0 , dE  0

 Zustandsgrößen charakteristisch für ein System (Vorgeschichte unwichtig)  Zustand

System vollständig charakteristisch durch Zustandsvariable

 Stationärer Zustand

dX 0 d

 Extensive Variable Summe der Teilsysteme, proportional zur Größe des homogenen Systems Intensive Variable

 Prozess  Ideales Gas

unabhängig von der Größe des homogenen Systems

Zustandsänderung durch Änderung von Systemvariablen p V  m  R  T , p  v  R  T

- 22 -

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I 4. Kapitel ____________________________________________________________________________________________

4. Erster Hauptsatz 4.1. Massenerhaltung im offenen System Zwei Grundsätze gelten in der Thermodynamik:

a m

m  

e m 1. Masse bleibt erhalten 2. Masse kann nicht erzeugt bzw. vernichtet werden Masse kann sich demnach nur durch Zu- oder Abflüsse ändern.

 Änderung    der    Systemmasse   

dm d

4.1.1.



 Summe    Zufluss     Massen   



me



 Summe     Abfluss    Massen   

 



 ma

e

a

Vorzeichenkonvention

m 2

+ ausfließend: einfließend:

(+) m 1

(-)

dm  d





m

i

m 3 Massenerhaltung

- 23 -

i

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I 4. Kapitel ____________________________________________________________________________________________

4.1.2. Stationäre Umwandlung Definitionsgemäß ändert sich bei stationärer Umwandlung die Masse pro Zeit nicht  dm  0 . Das bedeutet, dass zu jeder Zeit gilt:  mi  0 . Für Berechnungen werden langd i sam ablaufende Masseänderungen im infinitesimal kleinen Zeitintervall als stationär angenommen.

4.2. Energieerhaltungsprinzip Symbol Einheit

Eigenschaften des ersten Hauptsatzes:

E

J, Nm, Energie VAs, Ws



Energie bleibt erhalten



Energie kann nicht erzeugt oder verbraucht werden



E ist eine extensive Größe, Zustandsvariable



Umwandlung von Energieformen möglich (Arbeit, Energie, Wärme)



Übertragung über Systemgrenze möglich

Energie

- 24 -

Benennung

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I 4. Kapitel ____________________________________________________________________________________________

4.3. Energieformen der Thermodynamik Symbol Einheit W

 Gestaltänderung / Volumenänderung  Wellenarbeit Thermodynamische Arbeit des Systems „Einzige Änderung könnte das Heben eines Gewichtes sein“

4.3.1.

Volumenarbeit WV



A



 WV   ( F  d s )    pAds    pdv Arbeit vom System Vorzeichen Konvention

p, v

ds

Idealprozess: 2

2

1

1

W12    pdV    p (V ) dV

p

1 2

V

- 25 -

Benennung

J, Nm, Arbeit VAs, Ws

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I 4. Kapitel ____________________________________________________________________________________________

  F  p dA

  Wges    F  d s    F  ds V

P

V

keine Scherkräfte durch Druck

  p  dA  ds

Oberfläche A

V

  p  dA  ds   pV V

 WV   pdV

4.3.2.

Arbeit allgemeiner Volumenänderung

Reibungs- / Dissipationsarbeit    Mechanik  W R  M d   : Wellenleistung





Wt

dF : Winkelgeschwindigkeit d  M d : Drehmoment





 WR  M d  d

Einfaches System: der Rührer erzeugt  Geschwindigkeitsgradient (u)  Spannungen im Fluid   Dissipation  nicht reversibel ; W R  0  Umwandlung von mechanischer in innere Energie - 26 -

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I 4. Kapitel ____________________________________________________________________________________________

4.3.3.

Innere Energie U (-)

1. Hauptsatz

dE (+)

E = Totale Energie des Systems ( E 2  E1 )  ( E kin ,2  E kin ,1 )  ( E pot ,2  E pot ,1 )  (U 2  U 1 )

E

=

Ekin

+

E pot

+

U

U = innere Energie, die in Form von molekularer Bewegung gespeichert ist. 

Translation



Rotation



Schwingung 2

Beispiel: Rührer

U  WR

adiabater Kolben

U  WV   ( p)dV  U 2  U1  1

Mikroskopische Betrachtung

 

 

Makroskopische Betrachtung

p, T

V

m, n

 

n Teilchen

- 27 -

V

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I 4. Kapitel ____________________________________________________________________________________________

Etot    Ekin    E pot    Erot i   Evib i  ... N

i 1

i

Energie

i

N

m   mi

E  Ekin  E pot  U  p, V , m 

Masse

m

i 1

10 23 Variablen, Impulse

Variablen

p, T, V, m, ...

thermische Energie  „unorganisierte“ kinetische Energie

U ist extensive Zustandsgröße :

Symbol Einheit U

Benennung

J, Nm, VAs, Ws

innere Energie

- eindeutige Verknüpfung mit Zustandsgrößen (p,V,T, …)

- U  U 2  U1 unabhängig von Prozessweg

p

in (p,V) oder (T,V)-Diagram

P1

u1  u  p1 , v1 



P2

spezifische innere Energie: J  U u  kg  m  

u2  u  p2 , v2 

V

1

adiabater Prozess, geschlossenes System: U 2  U1  W12 diadiabter Prozess: U 2  U1  W12 Q12  U 2  U 1  W12  U  W12



 E

kin

, E pot  0 

2 

Definition von Q12   Q d ; übertragene Wärme 1

- 28 -

2

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I 4. Kapitel ____________________________________________________________________________________________

Wärme Q Symbol Einheit 

Energietransport durch Temperaturrenz ohne Arbeit

 

Wärmestrom Q über Systemgrenze Keine Zustandsgröße

Q



Benennung diffe-

J, Nm, Wärmeenergie VAs, Ws



T2

Q 2

2 

1

1

Wärmemenge Q12    Q   Q( )d

E U 

T1

  m 2 c2 c  mgz  m  u   gz  2 2  

Q12  12 E  12U  12  Ekin   12  E pot  , wenn das System isochor ist

Definition von Wärme und Arbeit hängt davon ab wie man das System definiert.

System A: U   Q

System B:

- 29 -

U  W

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I 4. Kapitel ____________________________________________________________________________________________

4.3.4.

Prozess- / Zustandsgrößen



Arbeitsflüsse: Leistung am / vom System

Wi

4.3.5.

Erster Hauptsatz für geschlossene Systeme

Masse im System konstant

dm 0 d

,



m



me  ma  0

 Ä nderung    der    E nergie   



dE d



E

 Netto      Arbeits    Ströme   





W



i

 N e tto    W ärm e  S tr ö m e  

Q j

i

- 30 -

j

    

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I 4. Kapitel ____________________________________________________________________________________________

Änderung im Zeitintervall d :

dE 



W

i

d 

i



Q

j

d 

j

 Wi

W

i



i

Q

i

i

 Qj

Änderungen von 1 bis  2 : 2

 dE  E 2  E1  1

2



1

 W 

12 i



 W   i

i

    Q j  d   W12 i    Q12  j j i j 

= W12 : Netto-Arbeitsübertragung

Total

= Q12 : Netto Wärmeübertragung

Total

i

 Q  12

j

j

E 2  E 1   12

E  

W 12  Q 12

4.3.5.1. bewegtes System

 12 E  12 E kin   12 E pot   12U 

W12 i

 W12  a  Q12

Arbeit an Inneren Freiheitsgraden

- 31 -

Arbeit am Schwerpunkt

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I 4. Kapitel ____________________________________________________________________________________________

4.3.5.2. ruhendes System

(W12 ) R

 12 E   12U  (W12 ) i  Q12

m E U

(W12 )i  (W12 )v  (W12 ) R  .... (W12 )V

Q12

12U  W12  Q12 1. Hauptsatz der Thermodynamik

integral differentiell

dU   W   Q

massenspezifisch

du   w   q

4.4. Thermodynamische Prozesse mit Arbeit und Wärme

p

p

adiabat 1



p2 p1

1

2

p4 p3

4

3

Beispiel:

2

nicht adiabat

V

V V1 V4

V2 V3

Frage nach Nettoarbeit Wges Nettowärme Qges - 32 -

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I 4. Kapitel ____________________________________________________________________________________________

4.4.1.

Bestimmung der Gesamtarbeit

Teilarbeiten: 2

2

1 3

1

W 12    pdV   p1  dV   p1 V 2  V1   0 W 23    pdV  0  W 45  W 41

 dV

Arbeit wird vom System geleistet

 0

2 4

W 3 4    pdV   p 3 V 4  V 3   0 3

  p 3 V1  V 3   0

W12   p1 V3  V1  da V3  V2

Gesamtarbeit: W g es  W 1 2  W 2 3  W 3 4  W 4 1

 W 12  W 34

 V 3  V1  p 3  p1   0 W ges  V 3  V1  p 3  p1   0 System leistet also Arbeit.

4.4.2.

Bestimmung der Gesamtwärme

Annahme: einfaches System Wges  WV  ges dU   W   Q

Verlauf von 1 bis 5

5

 dU  U

5

 U1  0 

1

  W    Q  W

 dU ges



  W   Q 

1 2 3 4 5

 Q ges

Zustand bei Punkt 1 ist gleich dem Zustand bei Punkt 5:

U1  U 5

0  Wges  Qges Q g es   W g es

 V3  V1  p1  p 3   0

- 33 -

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I 4. Kapitel ____________________________________________________________________________________________

4.4.3.

Messung der Wärme mittels Dissipationsarbeit



2

1



2

1

m

z1

z1 W  mg z

m

z2

4.5. Generalisierte Arbeit 4.5.1.

Elektrische Arbeit 



 Wel  E  d (V D)

 E : elektrische Feld    D : Polarisationsfeld D   0 E

 Im E -Feld befindet sich dielektrisches Material. Durch die Polarisierung leistet das Feld Arbeit am Medium.

- 34 -

 P  E

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I 4. Kapitel ____________________________________________________________________________________________

4.5.2.

Magnetische Arbeit





 Wmag  H  d (V B)

 B : magnetisches Flussdichte  H : magnetische Feldstärke   B  r 0 H

 B  H

r : Permeabilitätszahl 0 : mag. Feldkonstante

4.5.3.

generalisierte Form der Arbeit

Volumenänderungsarbeit:

W12 V

2

   pdV ;  WV   pdV 1

Wellenarbeit:

Flüssigkeitsfilm: Oberflächenspannung: 

 WR  M D d

Oberflächenarbeit WO  ist zum Beispiel nötig,

 W O   dO

um Wassertropfen zu teilen oder einen Ballon aufzublasen.

dO  B  ds B

ds

- 35 -

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I 4. Kapitel ____________________________________________________________________________________________

A

Längenänderung Festkörper:

 W S   x A dx  x : Spannung d x 

 P

dx Adx   Dehnung L V dx 2

4.5.4.

L

Energiebilanz mit verschiedenen Energieformen

 W ges   WV   W R   W el   W m ag  ........

F

K

dX K

K

 W K  FK dX K

generalisierte Arbeit

FK : generalisierte Kraft (intensiv) dX K : Verschiebung (extensiv) Wenn im System dX K  0 , dann kann WK weggelassen werden.

Energieänderung :

4.5.5.

dU   Q   W ges

Zustandspostulat

Anzahl von unabhängigen thermodynamischen Variablen

n

 W   Fi dX i



Anzahl der relevanten reversiblen Arten von Arbeit

 1*

Hier sind (n+1) thermodynamische Variablen nötig

i 1

- 36 -

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I 4. Kapitel ____________________________________________________________________________________________

Beispiel: a) kompressibles Gas:  W   p d V , dw   pdv n=1  T  T (u , v ), P  P (u , v ), s  s (u , v ) Jeweils Volumen und innere Energie können unabhängig durch Arbeit & Wärme variiert werden. Daraus ergeben sich zwei Freiheitsgrade b) magnetisierbares Salz: B m  T  T ( u , b ), H  H (u , b )

 W  H db , b  n=1

Ein minimaler Satz unabhängiger Parameter U , X i  oder  s, X i  bzw.  u , xi  und

 s, xi 

charakterisiert den Zustand des Systems.

*Thermischer Freiheitsgrad durch Temperaturänderung charakterisiert. (Entropieänderung, siehe Thermodynamik II)

- 37 -

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I 5. Kapitel ____________________________________________________________________________________________

5. Offenes System Systemgrenze = Kontrollvolumen

Wt

Meist starre Systemgrenze  V  const.

Q

 keine Volumenänderungsarbeit WV

Q Um Wellenarbeit Wt leisten zu können ist eine technische Vorrichtung notwendig, die Wt nach außen führt. Analyse des offenen Systems Grenze offenes System

dm1

dm1

m  

m   d   m( )  dm1  dm2

dm2

dm2

Zeit:   d

Zeit  Analyse des geschlossenen Systems

dm1

dm1

m  

m   d   m ( )

dm2

- 38 -

dm2

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I 5. Kapitel ____________________________________________________________________________________________

Zur Zeit  ist die Masse im System: m ( )

  d

Bei

  0:

allgemein:



m (   ) ,

m ( )   m1   m2

 m1 m2 m (    )  m ( ) =      dm = me - ma d   dm =  me -  ma = d e e



m

i

i

Einströmstutzen:

dm1  1 A1  dL1  1 A1  c1   

dm1



d m 1   1 A1 c1

c1

dL1

A1

5.1. Energiebilanz für offene Systeme Energietransport in Form von:





Wärmeströmen Q



Arbeitsströmen Wt / Leistung



materiegebundenen Energieströmen





Arbeitsaustausch mit der Umgebung beim Ein- / Ausströmen:„Strömungsarbeit“



Zustände am Ein- / Austritt verschieden (innere Struktur im System)

- 39 -

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I 5. Kapitel ____________________________________________________________________________________________

5.2. Analyse der Strömungsarbeit A

 c1

dm1

dm1

dL1

Volumenarbeit

Zeit : 

m  const.

AdL1 v1

dm1   1 AdL1 

Zeit :   d

 A  dL1  v1 dm1

Arbeit des einströmenden Fluides am System in Zeit

d :

 WV  F  ds  p1 A dL1  p1v1dm1 F

 WV  dm1 5.2.1.

ds

p1v1

Energiebilanz offenes / geschlossenes System

Sys1

E0 ( )

Sys1

m0 ( )

Sys0 (   )

System2 

Offenes

System0

System

E0   

m0   

Zeit   

Zeit 

dm1

Sysg ( )

Eg  

 c1 geschlossenes System

mg  

Sysg (   ) Eg   

mg   

- 40 -

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I 5. Kapitel ____________________________________________________________________________________________

Zeit   

Zeit 

 WV  F  ds  p1 Ads  p1v1 dm1 E g (    )  E g ( )   WV 

E g ( )  E1 ( )  E 2 ( )   c2 E1 ( )   dm1  u1  1  gz1  2  

geschlossen:

 E g ( )  dm1 p1v1

E0 ( )  E2 ( );

offen:

E0 (   )  Eg (   )

E2 ( )  Eg ( )  E1 ( )

E0 (   )  E0 ( )  Eg (   )  E2 ( )    c2 Eg ( )  dm1 p1v1  Eg ( )  E1 ( )  dm1  u1  1  gz1  p1v1  2   2   c E0 (    )  E0 ( )  dm1  u1  p1v1  1  gz1   dm1htot ,1 2    dE0 h1  m1 htot ,1 d

5.2.2.

Energiegleichung offenes System mit beweglicher Grenze E0 ( )

E1 E2

E0 (   )



Eg (   )

Eg ( )

Zeit   

Zeit 

- 41 -

: d

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I 5. Kapitel ____________________________________________________________________________________________

Zeit   

Zeit  

E0 (    )  E g (    )

E1  m1u1  m1 u1

E g (    )  E g ( )  p1V1  p2 V0 (    )  V0 ( ) 

Eg ( )  E1  E2  E1  E0 ( )

E 0 (    )  E 0 ( )  E g (    )   E g ( )  E1   E g ( )  p1V1  p 2  V0  E g ( )  E1 



E 0 (    )  E 0 ( )  m1 u1    p1 m1   v1  p 2  V0  dE 0 dV  m1  u1  p1v1   p2 0 d d

Beispiel fiktive Ausbreitung:

E0 (   )

 dE  mu d



m

dV ; d

dV   mv d

  dE0  dV  m(u  pv )  p  m(u  pv )  pm v d d

E0 ( )

5.3. Erster Hauptsatz für offene Systeme

Offenes System

A1

p1

- Massenströme über Systemgrenzen

m1

Wt

m( ) E ( )

- massengebundene Energietransporte über Systemgrenzen - Wärmeströme über Systemgrenzen

m2 p2 Q

A2

- 42 -

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I 5. Kapitel ____________________________________________________________________________________________

5.3.1.

Bilanzierung des ersten Hauptsatzes

  massengebundene   Netto    Netto    massengebundene   Netto            einfließende Wärme Arbeits ausfließende Änderung                  Energie   Ströme   Ströme   Energieströme   derEnergie           

Massenbilanz:

5.3.2.

 Summe    der    Zuflussmasse   

 Summe    der    Abflussmasse   



Energietransport über starre Systemgrenzen

Einfließende Masse: 

leistet Strömungsarbeit d m1 p1v1



trägt kinetische Energie



hat potentielle Energie d m1 gz1



trägt innere Energie dm1 u1

d m1 2 c1 2

Ausfließende Masse: 

leistet Strömungsarbeit d m2 p2 v2



fügt kinetische Energie zu: 



fügt potentielle Energie zu: d m2 gz2



fügt innere Energie zu: d m2 u 2

d m2 2 c2 2

- 43 -



 Änderung    der    Systemmasse   

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I 5. Kapitel ____________________________________________________________________________________________

5.3.3.

Energiebilanz

  c2 E (  d )  E ( )   Q   Wt  p1v1dm1  dm1c12  dm1 gz1  dm1u1   p2 v2 dm2  dm2 2  dm2 gz2  dm2u2  2  

etot  u 

spezifische Totalenergie:

c2  gz 2

E (  d )  E ( )   Q   Wt  dm1 ( etot  pv )1  dm2 ( etot  pv ) 2 h  u  pv

spezifische Enthalpie: spezifische Totalenthalpie:

htot

htot

c2  ( etot  pv )  u   gz  pv 2 c2  h   gz 2

E (  d )  E ( )   Q   Wt  dm1htot ,1  dm2 htot ,2

dE d



Wärmestrom 5.3.4.







 Q  W t  m1 htot ,1  m 2 htot ,2 Leistung P

Mehrere Zu- / Abflüsse



me,1

    dE   Q i   W t ,i   m e htot ,e   m a htot , a d i i e a



ma ,1 

Q1

Daraus ergibt sich der Erste Hauptsatz für das offene System in differentieller Form:

Wt ,2

Wt ,1



ma ,2    dE   Q i ( )   W t ,i ( )   mi ( )htot ,i ( ) d i i i    dm   me ( )  m a ( )  mi ( ) d e a i

- 44 -





me,2

Q2

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I 5. Kapitel ____________________________________________________________________________________________ 





Q i ( ), W t , i ( ), m i ( ) sind gegebene Funktionen von 

2







2       dE        E  2   E  1     d Q W m , t i i   htot ,i   d        i    i i  1  d  1  i 2 2     dm    m  2   m  1     d m i   d      1  d  1  i

5.3.5.

Stationärer Zustand

   dm  0   mi   m e   m a d i e a

Index „e“ steht dabei immer für „einströmend“ Index „a“ steht demzufolge für „ausströmend“







dE  0   Qi  W t ,i   mi htot ,i d i i i Einlass / Auslass: „e“=1



m 1

Q

htot ,1

1 Wt

„a“=2

     dm  0  me  ma  0  me  ma  m d

2

    dE  0   Q i   W t ,i  m 1 htot ,1  m 2 htot ,2 d i i  



Q 



Wt  P ; wobei P die gesamte Leistung ist, die in das System fließt.



0  Q ges  W t , ges  m ( htot ,1  htot ,2 )

spezifische Arbeit:

Q ges q12  m

spezifische Leistung:

wt ,12 

Wt , ges m

0  q12  wt ,12  htot ,1  htot ,2

- 45 -

m 2 htot ,2

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I 5. Kapitel ____________________________________________________________________________________________

spezifische Energiebilanz mit stationärem Ein- / Auslass: 12 htot  htot ,2  htot ,1  q12  wt ,12

Durch Wärmeströme und Arbeitsströme wird im stationären offenen System die Totalenthalpie geändert  htot  e  pv  . Die Totalenthalpie enthält die Strömungsarbeit, die am Ein- und Auslass geleistet wird.

q12  wt ,12  ( h2  h1 ) 

1 2 2  c2  c1   g  z2  z1  2

Symbol Einheit

5.4. Enthalpie Die Enthalpie kann prinzipiell für jedes System angegeben wer-

Hh

J, Nm, VAs, Ws

Benennung Enthalpie

den. Sie ist jedoch für isobare  p  const / dp  0  besonders zweckmäßig.

u  pv  h

spezifische Enthalpie

U  pV  H  mh

Enthalpie  Sie geht aus den Zustandsgrößen u, p, und v hervor und ist somit ebenfalls eine Zustandsgröße. Außerdem ist die Enthalpie eine extensive Größe  dH  dU  d  pV   dU  Vdp  pdV

Bleibt die Enthalpie bei einem Vorgang unverändert wird dies mit isenthalp bezeichnet

- 46 -

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I 5. Kapitel ____________________________________________________________________________________________

5.4.1.

Beispiel Ansaugen einer Maschine

Systembilanz:

 c2  q01  wt ,01  h01      g z01  2 01

System 1

c1 keine Wärmezufuhr

keine technische Apparatur

c2

bei Gasen uninteressant c0  0

c12 c 02 0  h1  h0   2  2 0

c12 h1   h0  htot ,0 2

5.4.2.

htot ,0 ist die Ruheenthalpie des Ansaugmediums

Beispiel Wasserturbine

Eine Turbine nimmt Arbeit aus dem Wasser, indem sie den Druck reduziert, aber nicht die Fließgeschwindigkeit. Annahme: - Wasser ist inkompressibel: 1   2  0  v1  v2  v0

-

oben und unten gleicher Druck p1  p2 bedingt durch die Wassertiefe

-

Systemgrenze so, dass c1 , c2  0

-

Ein- und Auslass haben selben Querschnitt A1  A2  A

-

Adiabater Vorgang  Q  0 

Wt

- 47 -

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I 5. Kapitel ____________________________________________________________________________________________

m 1  1c1 A1   0 c1 A   m 2   2 c2 A2   0 c2 A  c1  c2  c2  q 01  w t ,12   12 hto t   12 h   12    g  12 z  2 

c1  c2  weil adiabater Vorgang wt ,12  12 u  12 ( pv )  g 12 z

Keine Erwärmung: T2  T1  u2  u1  12u  0

wt ,12   p2  p1  v0  g  z 2  z1   g  z 2  z1   0 Die technische Arbeit ist negativ. Laut Vor 0 zeichenkonvention wird demnach Arbeit an der Turbine geleistet

m 1  1c1 A1  1c1 A  m 2   2 c2 A  m   0 cA c1  c2  c

Konstanter Rohrquerschnitt: A1  A2  A

bei stationärer Durchströmung und konstantem Rohrquerschnitt ist die Durchströmgeschwindigkeit c ebenfalls konstant.

Rechenbeispiel :

Fallweg: z2  z1  100m ; Rohrquerschnitt: A1  1m 2 ; Flussgeschwindigkeit: c1  2 m s

wt  g 12 z  9,81

m m2 kJ   100  9,81 1 m   2 2 s s kg

m   0 Ac1  1000

kg m kg  1m 2  2  2000 3 m s s

kJ kg  t 1 W t  mw  2000  2 MW kg s

- 48 -

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I 5. Kapitel ______________________________________________________________________________________________

5.4.3.

Adiabate Drossel

A p1  p2

(falls inkompressibel: v1  v2  v  c1  c2 ) Bei Drosseln sind meist

c2 p2

c1 p1

c c m 1  1c1 A1  1 A  m 2  2 A v1 v2

sehr klein, so dass Änderungen vernachlässigt werden können

 c2  q12  w t ,12   12 htot   12 h   12    g  12 z 2       adiabat

 c2   0 falls 12    12 h  2

keine Vorrichtung

 0   12 h  h2  h1 

adiabate Drossel: isenthalper Vorgang (isenthalp = Enthalpie bleibt konstant)

h2  h1

Perfektes Gas: h T , p   c pT ; h2  h1  T2  T1

5.4.4.

Düse / Diffuser 

Q2 Düse:

A1

A2

Definition Düse: c2  c1 ; A2  A1 Durch die Querschnittsverengung wird kinetische Energie in Enthalpie gewandelt.



m1 





m1  m2

m2 

Q2 Diffuser:

A1

A2

- 49 -

Definition Diffuser: c2  c1 ; A2  A1 Querschnittserweiterung

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I 5. Kapitel ______________________________________________________________________________________________

m 1  c1 1 A1  m 2  c2 2 A2 

c1 A1 c2 A2  const. v1 v2

inkompressibel: v1  v2  v :

c1 A2  c2 A1 q12  w t ,12   12 htot   h2  h1  

1 2 c 2  c12   g ( z 2  z1 )  2

keine Vorrichtung

h2 

bei Gasen zu vernachlässigen

c22 c2  h1  1  q12 2 2

adiabat:

c22 c12 q12  0  h2   h1  2 2

Düse:

c2  c1  h2  h1

Diffuser:

c2  c1  h2  h1



T2  T1 Beim perfekten Gas

T2  T1

5.5. Technische Arbeit aus Zustandsänderung 

Q1/ 2

Q

p1 , v1



m

Offenes System:



1

2 W t

q12  wt ,12  12 htot 

1 2 2  c2  c1   g ( z2  z1 ) 2 1  u 2  u1   pv 2   pv 1   c22  c12   g ( z 2  z1 ) 2

 h2  h1 

- 50 -

(I)

m

p2 , v2

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I 5. Kapitel ______________________________________________________________________________________________

mitbewegtes geschlossenes System:

Ein kleines System ( i ) mit der Masse ( dm ) wird durch das offene System transQ portiert. Auf dem Weg muss System ( i ) die Wärmemenge q12  12 aufnehmen. dm W12 Es leistet dabei die Arbeit wi ,12  dm  : dm  md

Masse

U 2  U1  Q12  W12

u2  u1  q12  wi ,12 ; q12 

: dm

Q12 W wi ,12  12 dm dm

(II)

1 2 2  c2  c1   g ( z2  z1 ) 2

(I) - (II): wt ,12  wi ,12  u2  u1   pv 2   pv 1 

p

Arbeit des mitbewegten Systems: Zust .2

wi ,12 = w v ,1 2 + w R ,1 2 =   

Volumenarbeit



pdv  wR ,12

Zust .1

1

Rest 2

2

1

1

 pv 2   pv 1   d ( pv)    pdv  vdp 

v

Die Integration kann hier über beliebigen Weg laufen, da es das vollständige Differential ist.

2

wt ,12   v( p ) dp  wR ,12  1

1 2 2  c2  c1   g ( z2  z1 ) 2

2

reversibler Übergang:

wR ,12  0  wt ,12   v( p ) dp  1

reversible Änderung: 2

Ekin ,  E pot  0 :

2

wt ,12   vdp 1

- 51 -

c22  c12  g ( z2  z1 ) 2

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I 5. Kapitel ______________________________________________________________________________________________

5.5.1.

Anwendung: Druck in reibungsfreier Strömung

inkompressibel: v  v0

z.B. Fallrohr

m  const  m 

cA cA  const  1 1 v v1

v  v0

 c1 A1 mv  0 A A

 c

Die lokale Geschwindigkeit ist durch m , v0 und lokalen Querschnitt festgelegt. 2

w t ,12 

 vdp  w R  1

keine Vorrichtung 2

c 22  c12  g ( z 2  z1 ) 2

keine Reibung 2

c22  c12   vdp  v0  dp   v0 ( p2  p1 )   g ( z2  z1 ) 2 1 1  1  c22  c12 p2  p1     g ( z2  z1 )  v0  2 

konstanter Querschnitt:

c2  c1  p2  p1 

g ( z2  z1 ) (hydrostatischer Druck: Druck wirkt v0 von allen Seiten gleich auf das System)

nicht konstanter Querschnitt: z2  z1  p2  p1 

1  c22  c12    Bernoulli-Satz v0  2 

horizontales Rohr: z2  z1 ; A2  A1  p2  p1  0  p2  p1  const.

- 52 -

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I 5. Kapitel ______________________________________________________________________________________________

5.5.2.

Integrierte Form; reversibel quasistatisch

Reversible Prozesse sind eine Idealisierung, die es streng genommen nicht gibt, denn wenn sich ein System im Gleichgewicht befindet, so haben die Zustandsvariablen zeitunabhängige Werte, und es passiert makroskopisch nichts. Reversible Zustandsänderungen lassen sich aber näherungsweise durch kleine (infinitesimale) Änderungen der Zustandsvariablen simulieren, bei denen das Gleichgewicht nur wenig gestört wird. Wenn diese Änderungen genügend langsam erfolgen, hat das System genügend Zeit, immer wieder ins Gleichgewicht zu kommen. Man spricht von quasistatischen Prozessen.

2

 c2  vdp      g z12 1  2 12 2

wt ,12 

wt ,12 

 vdp : reversibel 1

Wir vernachlässigen im Weiteren die potentiellen und kinetischen Energieanteile. 2

p

 vdp : „Druckänderungsarbeit“

1

1

wt   vdp

p



technische Arbeit

1 

2

v

2 v

wv    pdv

Volumenänderungsarbeit

p

1

Spezialfall: inkompressibel v  v0 : 2

wt ,12   vdp  v0 ( p2  p1 )



1

2

daher Druckänderungsarbeit - 53 -

v

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I 5. Kapitel ______________________________________________________________________________________________

5.5.3.

Zusammenhang von wt und wv

q12  wt ,12  htot ,12 2  c2   c2  q12  wR ,12   vdp      g z12  h2  h1      g z12 quasistatisch  2 12  2 12 1

2

2

1

1

q12  wR ,12   vdp  u 2  u1  ( pv ) 2  ( pv )1  u2  u1   d ( pv )

2

2

u2  u1  q12  wR ,12   vdp  p2 v2  p1v1  q12  wR ,12   pdv  q12  wR ,12  wV ,12 1 1    2

2

2

1

1

1

 vdp   d ( pv )    pdv

- 54 -

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I 5. Kapitel ______________________________________________________________________________________________

5.6. Kreisprozess in stationärer Strömungsmaschine 5.6.1.

Bilanz der Komponenten

m e

Wt ,23

Turbine

Q12

Boiler System 2 System 1

System 3

System 4

Q 34

Wt ,41 Gesamtbilanz: 1 2 2  c2  c1   g ( z2  z1 ) 2 1 q23  wt ,23  h3  h2   c32  c22   g ( z3  z2 ) 2 1 q34  wt ,34  h4  h3   c42  c32  ....... 2 q41  wt ,41  h4  h.........................

q12  wt ,12  h2  h1 

 m  q

ik

 wt ,ik   0



 Q   P ik

i

i

ik

Summe:

 q

ik

k  i 1

0

i

Energieerhaltung im stationären Kreisprozess:

 Summe     Netto    Arbeit   



 wt ,ik   0

i

 Summe     Netto    Wärme   

- 55 -

0

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I 5. Kapitel ______________________________________________________________________________________________

5.6.2.

Bilanz am Gesamtsystem

Geschlossenes System (stationär) mit starrer Systemgrenze

U1  u ( ) , U 2  u (   )

Wt ,23

Turbine

Q12

Boiler

U 2  U1

stationär:

System 1

1. HS: U 2  U1    Qi    Wi i

i

  Qi d  Wi d i

i

0   Qi   Pi  Q  P i

5.6.3.

Q 34

Wt ,41

i

reversibler statischer Kreisprozess

Die gesamte technische Arbeit ergibt sich aus der Summer der einzelnen technischen Arbeiten in den Teilschritten gesamten Prozesses  wt   wi eines mitbewegten geschlossenen Systems. 2

 wt ,i ,i 1   vdp  i

1

w i

t , i , i 1



1 2  c2  c12   g ( z 2  z1 )  2

3

1

 vdp  2  c

2 3

 c 22   g ( z 3  z 2 )  ......

2

 vdp p

 vdp    pdv Im Uhrzeigersinn:

2

1

 vdp  0 :

 v dp

Arbeit wird abgegeben

rechtslaufender Prozess  Arbeitsmaschine

4

3

V - 56 -

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I 5. Kapitel ______________________________________________________________________________________________

gegen Uhrzeigersinn:

 vdp  0 :

Arbeit wird aufgenommen

p

linkslaufender Prozess  Wärmepumpe (WP) Kältemaschine (KM)

1

4

2

3

V

5.7. Wirkungsgrade Wirkungsgrad  ist das Verhältnis der Arbeit, die bei einer Energieumwandlung abgegeben wird (effektive Leistung) zu der dazu aufgenommenen Arbeit (Nennleistung). Da Maschinen im Allgemeinen kontinuierlich Arbeit leisten, wird der Wirkungsgrad meist als das Verhältnis von Ausgangsleistung zu Eingangsleistung definiert:

Wirkungsgrad 

Netto  Arbeit geleistet Nutzen  Aufwand Wärmezufuhr

Beispiel Dampfturbine: WT  0 , W P  0 ,

Q H  0 Q  0

WT

Turbine

L

Q H

Boiler

Nutzen: WT , W P  WT oder allgemein

 W

i

 WT  W P  WT  W P

i

Aufwand: Q H

W P

- 57 -

Q L

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I 5. Kapitel ______________________________________________________________________________________________

 Q   W

1. HS:

i

i

i

0

i

Q H  Q L  WT  W P  0 Q H  Q L  WT  W P  0

WT  W P  Q H  Q L



Q H  Q L WT  WP Nutzen    1 Aufwand Q H Q H

Q L Q

   1

H

Q L Q

H

falls W P  WT  Nutzen  WT

Kreisprozess im geschlossenen System

1. HS:

p

 Qi   Wi  0 i

 th   th 

i

  W i i

Q H



 m  vdp Q

1

2

4

3

H

  vdp qH

V

Beispiel WP/KM:

Q H Kondensator

Verdichter

Verdampfer

Q L

- 58 -

Win

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I 5. Kapitel ______________________________________________________________________________________________

1. HS:

 Q   W i

i

i

0

i

Q L  Q H  Win  0 Win  Q H  Q L

Wärmepumpe:

Q H

WP    Win

1 ≥1 Q L 1 Q H

i : Leistungsziffer Kältemaschine:

 KM

Q L 1   ≥1   Win QH 1 Q L

5.8. Prozess- und Zustandsänderungen Zustandsänderung: Zustandsvariablen des Systems ändern sich

T 

2

1



V

Wichtig: Eine Zustandsänderung bezieht sich nur auf das eigentliche System und nicht auf seine Umgebung !!!

- 59 -

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I 5. Kapitel ______________________________________________________________________________________________

quasistatische Zustandsänderung

Es gibt:



extensive Zustandsgrößen o sind proportional zur Stoffmenge (Größe) des Systems o ändern ihren Wert, bei einer Unterteilung des Systems in mehrere J Teilsysteme, z.B.: V [m³], U [J], S   , H [J] K 



intensive Zustandsgrößen o sind unabhängig von der Größe des Systems, z.B.: p, T

Beispiel für eine quasistatische / nicht-quasistatische Zustandsänderung : nicht-quasistatische Zustandsänderung :

z

z

x

x

quasistatische Zustandsänderung :

z

z

x

x

Prozess: Ist eine Zustandsänderung + die jeweilige Realisierung in seiner Umgebung, sowie die Wechselwirkung mit der Umgebung (z.B. Wärmeströme, verrichtete Arbeit).

- 60 -

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I 5. Kapitel ______________________________________________________________________________________________

man unterscheidet: - quasistatische Prozesse └ Zustandsänderung ist quasistatisch - reversible Prozesse └ Zustandsänderung ist quasistatisch und kann vorwärts / rückwärts ablaufen Zustandsgrößen : intensiv extensiv spezifische

quasistatisch √ √ √

reversibel √ √ √

nicht quasistatisch √ global √ / lokal -

Definitionen von Prozessen :  isobar : p = const. (Druck)  isochor : v = const. (Volumen)  isotherm : T = const. (Temperatur)  isenthalp : h = const. (Enthalpie)  isentrop : s = const. (Entropie)  isoenergetisch : e, u = const. ---------------------------------------------------------------- Adiabat :  Q , Q  0 (bei Realisierung keine Wärmeab- bzw. Wärmezufuhr)

5.9. Spezifische Wärmekapazitäten (Anwendung) Bei dem Begriff Wärmekapazität handelt es sich um eine „Altlast“, da es sich bei Wärme um keine Erhaltungsgröße handelt.

 U   U  dU T ,V     dT    dV  T V  V T T

Wärmekapazität bei konstanten Volumen:

 U  CV T ,V      T V



2



1 V

- 61 -

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I 5. Kapitel ______________________________________________________________________________________________

 WV  0

dV  0

isochorer Prozeß: reversibler Prozeß:

dU   Q   W

0

dU  CV dT   Q CV :

V

 WR  0

 U   U    dT    dV T V V T    

0

U,T, p

CV

Wärmemenge / (in Grad je T – Erhöhung)

( V = const.)

Daher kommt der Name! Wieviel Wärme muß man aufwenden, um Material zu erwärmen, wenn V  const. spezifisch:

cV 

CV , m

q 

Q m

 dv  0

du  cV dT   q

 u   u   u  du T , v     dT    dv  cv T , v  dT    dv v T  T v  v T    " Realteil "

 u  cv  T , v      T v

: spezifische Wärmekapazität bei konstanten Volumen

Diese Beziehung ist allgemein gültig und nicht nur für diesen speziellen Prozeß (isochor, reversibel).

p

konstanter Druck: dU   Q   W

p reversibel

  Q  pdV : m

U 2 , T2 , V 2

U 1 , T1 ,V1

du   q  pdv

p  q  du  pdv

- 62 -

p Q

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I 5. Kapitel ______________________________________________________________________________________________

Man sieht, dass Wärmemenge a) zur Erhöhung von u und b) zur Volumenarbeit benötigt wird. Daher rechnet man bei p  const. lieber mit h, welches direkt die Wärmemenge wiedergibt.

Enthalpie

h  u  pv ,

dh  du  pdv  vdp

daraus folgt:

dh   q  vdp ,

dp  0  dh   q

bei einem isobaren und reversiblen Prozess:

h2  h1  q1,2

 h   h  dh    dT    dp  T  p  p  T

So ergibt sich die spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck.

 h  cp     T  p

 h  dh  c p T , p  dT    dp p T    " Realteil "

c p : „Wieviel Wärme“ muss pro Grad T – Erhöhung bei p  const.

zugeführt werden?

 1  v  const.  v0 ,   const.  0   v0  

Spezialfall: inkompressibel

inkompressibel: kann keine Volumenarbeit leisten.

 wV   pdv

0

 0,

u  T , v   u  T , v0   u  T 

T

u  T , v  hängt nur von T ab, da sich v nicht ändern kann 0  u  du  cv  T , v0  dT    dv  cv  T  dT     v T

cv T 

- 63 -

v0

V

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I 5. Kapitel ______________________________________________________________________________________________

dh   q  vdp   q  v0 dp

isobar:

0

q

0  h   h  dh    dT    dp  c p dT  T  p  p T

du   q  pdv 

0

  q  cv dT

inkompr .

cv  T   c p  T   c T  ,

du  c  T  dT  dv

T

u T   u0   c T dT  T0

inkompressibel

h  u T   v0  p  p0 

Die Kenntnis von v0 , c T  reicht für eine thermodynamische Beschreibung aus. Bei konstant gehaltenen Index, wie 1-d differenzieren. Definiere:

   v  T  p

1  v 

1 in   K 

isobarer Ausdehnungskoeffizient

1  p    p  T  v

1 in   K 

Spannungskoeffizient

1  v 

1 in    Pa 

isotherme Kompressibilität

 

   v  p  T

Alle Größen können direkt mit p, v, T - Messungen bestimmt werden.

Bringt man diese 6 Gleichungen zusammen, so ergibt sich:  v    p    T   p   T   v    1 v  p  T   1   v   p     1  v 

  p Diese Relation kann direkt aus den Messungen verifiziert werden.

- 64 -

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I 5. Kapitel ______________________________________________________________________________________________

Anwendung auf ideales Gas:

pv  RT

,

R 1  pv T R 1   pv T

RT v RT v  p, T   p pv T  p, v   R p  v, T  

1  RT 

p



1

      v  p ²  p ² p

dadurch entsteht:



1 P1 1  p   T T p T



OK

5.10. Formen der Energiegleichung thermische Zustandsgleichung:

f1  T , v , p   0

kalorische Zustandsgleichung:

f 2  u, T , v , p   0

 u T , v  ,

u T , p  ,

h  T , p  oder u  p, v 

Interessant sind hier die Eigenschaften des Mediums. u hängt von jeweils 2 Variablen ab. Ziel ist es, die Ableitungen von u durch messbare Größen auszudrücken.

- 65 -

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I 5. Kapitel ______________________________________________________________________________________________

5.10.1. Variablen T, v

 u   u  du    dT    dv T v v T    

 u   cv dT    dv  v T

" Realfaktor  Energie "

cv

 wR  0 : du   q   w   q  pdv

für quasistatisch:

u     dv   v T 



 q  du  pdv  cv dT   p  

 Dies gilt allgemein für quasistatische Prozesse mit  wR  0 .

isochor:

dv  0

isobar:

dp  0

 qv  cv dT ,

du  cv dT



u     dv p  c p dTp  v T 

 q p  cv dTp   p   

c

p

  u    v   cv    p        v T   T  p 

c p  cv  u   T  p     c p  cv    p v  v T  v  p  u  c p , cv ,  sind leicht messbar, z.B.: cv    .  T v Jetzt sind beide Ableitungen bekannt und u  T , v  kann durch Integration bestimmt werden!

5.10.2. Variablen T, p

Es wird bei den Variablen  T , p  mit h gerechnet, da hier bei der Wärmezufuhr und mit dp  0 direkt dh   q herauskommt. h  u  pv ,

u  h  pv

du  dh  pdv  vdp

 q  du  pdv  dh  vdp

- 66 -

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I 5. Kapitel ______________________________________________________________________________________________

 h  dh    dT   T  p  cp

 h   h    dp  c p dT    dp p T   p T 

" Realfaktor  Energie "

  h 



 q  c p dT      v  dp ,   p T 

isochor:

dp  0 :  p  c p dT

  h    v  dpv    p T     c p  cv    v   hp    Tp   T  v  c p  cv  h   T   p   v   c p  cv   p   v  p  T  v

 qv  cv dTv  c p dTv   

Die nächsten Ableitungen sind optional, da sie selten benutzt werden, im Grunde aber leicht zu berechnen sind.

   pv    h  u   h  pv  p        cp      T  p T  T  p  T  p

 v  p   c p  pv   T  p

   h  pv    u   h   h   v         pv T     v  1  p    p    T  T   p T  p T  p  p T p c p  cv v   u   h   p    p   v  pv    p    T  T

5.10.3. Variablen v, p

Diese Variablen sind in Prozessen häufig, aber selten für Stoffeigenschaften, da sich  p, T  genauer messen lässt als  p, v  .  u   u  du    dv    dp  v  p  p  v

- 67 -

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I 5. Kapitel ______________________________________________________________________________________________

 u   u  Berechne:   ,    v  p  p  v  u   u   u  du    dT    dv  cv dT    dv  T v  v T  v T und

 T   T  dT   dp    dv   v  p  p  v

  u   T   u   !  u   u   T   u  du   dp            dv    dp    dv   T  v  p  v  v  p  p  v   T  v  v  p  v T 

 u   u   T  cv  p    T   p   p v   v  v c cv  u   u   u   T   u     p  p           v  p  T  v  v  p  v T v   v T v 

allgemein:

F  x, y , z   0 ,

G  u, x , y , z   0

 u   u   z         x  y  z  y  x  y  u   u   z   u           x  y  z  x  x  y  x  z  u  x, y  u  x, z  x, y   u  x, z  u  x, z  z  x, y        x x z x   x

Diese Regel kann durch nachdifferenzieren erhalten werden. Weiteres siehe Kapitel 9 „Einschub: Mathematische Grundlagen“

- 68 -

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I 5. Kapitel ______________________________________________________________________________________________

5.10.4. Joule – Thomson – Effekt (Einführung)

Der Joule – Thomson – Effekt wird unter anderen zur Luftverflüssigung eingesetzt, aber nur, wenn  j  0 .

Luft

p1, T1, h1

p2 , T2 , h2

adiabate Drossel

q12

0

 wt ,12

0

c²  12htot 12 h  12 2

0

 12 g ²

0

h1  h2 Joule – Thomson – Koeffizient:

 T 

j     p h

 j ist die Steigung der Kurve T  p  bei h  const. im Zustandsdiagramm.

- 69 -

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I 5. Kapitel ______________________________________________________________________________________________

 T   p   h   p   h   T   1 p  h  T 

 T 

j    ,  p h  T  j         h

h p

T

cp

cp

,

ideales Gas:

 T   p   0  T

j  0

5.10.5. Berechnung von Energiedifferenzen

T Variablen T , v :

2

u1  u T1 , v1 

1

u2  u T2 , v2 

2

v

2

   u  u2  u1   du    cv dT    dv   v T  1 1 

T1 ,va 

T2 ,va 

 u      dv   cv T , va  dT  T1 ,va   v T T1 ,va 

 u  cv  T , v  ,   T , v  sind bekannt, also ist u2  u1 berechenbar  v T

T , p 

und  p, v  analog!

- 70 -

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I 6. Kapitel ______________________________________________________________________________________________

6. Ideales Gas

pV  mRT , pv  RT  Z

pv RT

Rm T M

: Realgasfaktor

pv  RT , v  const. : p  const. :

RT , p RT  p v

v

RT1 RT2 T T  1  2  p1 p2 p1 p2 T1 T2 (isobar)  v1 v2

- 71 -

(isochor)

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I 6. Kapitel ______________________________________________________________________________________________

6.1. Joule Überströmversuch Ziel des Versuchs ist es, die Abhängigkeit der inneren Energie von T , v , zunächst mit Gas in der linken Kammer und Vakuum in der rechten Kammer, darzustellen und zu berechnen.

T1 V1

T2

Zustand 1

V2

Zustand 2

U 2  U T2 , V2 

U1  U T1 , V1 

 mu T2,V2 

 mu T1 , V1 

gedachter Zwischenschritt

Experimenteller Aufbau: ∆V = V2-V1 ≠ 0 Messergebnis: ∆T = T2-T1 = 0

- 72 -

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I 6. Kapitel ______________________________________________________________________________________________

vorher: U1  U  T1 ,V1   mu  T1 , v1 

Analyse:

Zwischenschritt: U z  U1  U   U1 0,da m 0

nachher: U 2  U  T2 ,V2   mu  T2 , v2 

0

0

U2  U z  Q   W 0 

1. Hauptsatz:

adiabat

mu  T2 , v2   mu  T1 , v1 

U 2  U z  U1 , Resultat:

T1  T2 

u1  u2 , da Q und T von außen = 0

dV 0 keine Vorrichtung

u T1 , v1   u  T1 , v2  u T , v   u T 

T1, v1, v2 beliebig 



 u    0  v T

differentiell:

 u   u  du    dT    dv T v v T    cv 0







u  u T , v  cv T , v



du  cv T  dT T

u T   u0   cv T  dT  T0 T2

u2  u1   cv T  dT T1

- 73 -

ideales Gas

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik 6. Kapitel Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I ______________________________________________________________________________________________

Wenn u nicht von v abhängt, dann hängt cv auch nicht von v ab. Optional:

u  const. gemessen T1 , T2 ,V1 ,V2 , m    v1 ,v2

differentiell:

T  T    v  v u

ideales Gas T  0

 x   y   z  aus Mathe:        1  y  z  z  x  x  y

 T   v   u         1 T v  v u  u T  cv

1  T      v  v u u





 T

cv

u v 

T

cv

- 74 -

 T    0  v v

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik 6. Kapitel Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I ______________________________________________________________________________________________





T u bei u  0 und daraus folgt, das   const .  0 ist, dann ist auch der Realfaktor v v exp. Aufbau u nicht von v abhängt ( bei T  const . )

Wenn

falls: cv  0 :

 T    0  v u



 u    0 v T   Re alfaktor

u  u T  :

u  const. auf Isotherme

u1  u  T1  ua  ub  uc  ud  u  T2 

für alle Prozesse zwischen Isothermen

6.2. Enthalpie Beim idealen Gas hängt h  T  und c p  T  nicht von p ab.



h T , p   u  pv  u  T   RT  h T , p



 h   p   0  T

 h   h  dh    dT    dp p T  T  p    0

cp



cp  cp T , p



:

 c p    h   ²h !  ²h   h         p   p 0 T  T p  T  p pT T p T   0

- 75 -

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik 6. Kapitel Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I ______________________________________________________________________________________________

dh  c p  T  dT  dp  du  RdT  cv  T  dT  RdT

c p T   cv  T   R du  cv  T  dT  dv dh  c p T  dT  dp

 u   T      c p  cv    p  v T  v  p p R  p0 R  h   T   p   v   c p  cv   p   T  v v vR 0 R

Kontrolle:

Die Realfaktoren sind tatsächlich = 0. Es ergibt sich ein Zusammenhang zwischen  p, v, T  - Daten und u - Gleichung.

6.3. Isentropenexponent 

c p T  cv T 



cv  T   R , cv  T 

 1

 fällt mit T , da immer nur mehrere Freiheitsgrade angeregt werden.

c p , cv :

tabellierte Mittelwerte

T

h  T   h0   c p  T  dT  0

definiere:

c p T  

T

1 c p  T  dT   T 0

h  T   h0  T c p  T 

h2  h1  h T2   h  T1   T2 c p T2   T1 c p  T1 

- 76 -

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik 6. Kapitel Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I ______________________________________________________________________________________________

c p  T  wächst langsamer, als h  T  und lässt sich daher genauer aus Tabellenwert interpolieren

6.4. Grundlage Idealgas aus kinetischer Theorie Beispiel hier:

einatomiges Gas

Annahmen: 1) 2) 3) 4) 5)

Sehr viele gleichartige Teilchen Teilchengröße  Abstand Alle Bewegungsrichtungen gleich wahrscheinlich Kleine harte Kugeln: vollkommen elastische Stöße keine Kräfte außer Stöße Newton – Bewegungsgesetze Stöße mit Behälter, wie Stöße zwischen Teilchen

- 77 -

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik 6. Kapitel Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I ______________________________________________________________________________________________

6.4.1.

Ideales Gas

Luft bei Zimmertemperatur ( T  300 K )  2,5  1025 Moleküle/m³

v  500 m

s

8  10 9 Stöße / Molekül / Sekunde 6  10 8 m freie Weglänge 3  10 9 m mittlerer Abstand 5  10 10 m Molekülgröße

Faktor 20

Viel mehr freier Weg zwischen den Teilchen, als ihre Größe  langer freier Flug. Ideales Gas: Teilchendurchmesser  0 und Stöße dienen nur der Gleichgewichtseinstellung.

Eges   Ekin   E pot n

n

in der Summe über alle Moleküle Ideales Gas  langreichweitige Wechselwirkung = 0  U pot  0

Eges   Ekin   m n

n

cn ² 2

Kinetische Gastheorie

( nur Translation )

Impulsänderung

Gasvolumen hat sich geändert keine Änderung von  Ekin n

- 78 -

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik 6. Kapitel Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I ______________________________________________________________________________________________

Teilchen stößt mit y  z  Wand

Lz

cx  cx cy  cy

z

y

cz  cz

Ly x

Lx cy Teilchenmasse: m 

d Newton: Fx  x d Fx 

 x mc x m2c x     

Kraft eines Teilchens pro Stoß

Zeit zum durchqueren des Behälters:   Fx 

mcx ² Lx

2 Lx cx

( jedes Teilchen )

Gesamt Kraft:

Fx   i

Fx 





cx

p

mcxi ² Lx



m  cx ² Lx i i

cx ² 

m N cx ² Lx

c

x1

²  cx2 ²  ...  cxn ²



N

( cx Mittelwert der x-Geschwindigkeit)

Fx mN cx ²  Fläche V

(N Anzahl der Teilchen)

- 79 -

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik 6. Kapitel Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I ______________________________________________________________________________________________

gleiche Geschwindigkeiten in alle Richtungen:

cx ²  c y ²  cz ² : Gleichverteilungssatz c n ²  c xn ²  c y n ²  c z n ²

mN c ² , 3V

p

N pV  m  m

pv 

Vergleich:

c² c² m 3 3

!



 id .  Gasgesetz

mRT

c² !  RT 3

c²  RT , 3

c ²  3RT

c ²  3 pv

,

Luft: R  0, 287

c ²  cx ²  c y ²  cz ²  3cx ²



,

cx ²  RT

cmittel  c ²  3 pv  3RT

kg m m kJ Nm m²  287  287  287 kg  K kg  K s ² kg  K s²  K

cmittel  3RT ,

T  300 K :

cmittel  508, 2

m s

Rm 831 kJ kJ   4155 kg M 2 KMol  K kg  K KMol m  cmittel  3  4155  300  1934 s Größenordnung: Schallgeschwindigkeit  cmittel  je leichter das Gas, desto schneller sind die Teilchen bei gegebenen T und umso höher ist die Schallgeschwindigkeit!

H2 : R 

Ekin   m n

cn ² c² 3 c² 3  Nm  Nm  mRT 2 2 2  3 2 mRT

Innere Energie:

U  Ekin 

pro Masseneinheit: u 

3 3 m mRT  RmT 2 2M

U 3  RT  u  T  , m 2

 u  3 cv     R  T v 2

- 80 -

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik 6. Kapitel Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I ______________________________________________________________________________________________

pro Mol:

um 

U U m 3 3 R TM  RmT   uM   n m n 2 Rm 2 M

Bei einem einatomigen Gas gibt es nur Translationsbewegungen. Die Gesamtheit der kinetischen Energie, der inneren Freiheitsgrade ist gleich der durch die Translation erzeugten thermodynamischen inneren Energie. um x  um y  um z 

1 RmT 2 1 RmT pro Mol 2

u pro Translationsfreiheitsgrad und Mol :

Rm  N L K B

N L  6, 022  1023

u pro Teilchen und Freiheitsgrad

:

1 (Loschmidt – Zahl) Mol

1 K BT 2 K B  1,38  10 23

6.4.2.

J (Boltzmann – Konstante) K

mehratomige Moleküle

Zweiatomige Moleküle:

Translation:

3 Freiheitsgrade

Rotation:

2 Freiheitsgrade

e : Mol Schwingung/Vibration: Je unabhängiger Schwingung gibt es 1 Freiheitsgrad, der bei der Berechnung der inneren Energie doppelt gewertet wird (aufgrund des kin. und pot. Anteils) Gesamt: Energiespeicherung durch Ekin (ungeordnete Molekülbewegungen)

- 81 -

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik 6. Kapitel Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I ______________________________________________________________________________________________

Dreiatomige Moleküle:

Translation:

3 Freiheitsgrade

Rotation:

linear 2 Freiheitsgrade gewinkelt 3 Freiheitsgrade

Schwingung:

Je unabhängiger die Schwingung ist, gibt es 1 Freiheitsgrad, der bei der Berechnung der inneren Energie doppelt gewertet wird (kin. und pot. Anteil)

 CO2 

 H2O

Energie mit vielen Molekül – Freiheitsgraden m m   m  E ges    cx ²  c y ²  cz ²  1 1 ²  ...  2 2 2  n  2 3    m  RT  e1 T   ...   m  ex  e y  ez  e1  ...  2 

Die Gleichung zwischen Druck, c² und T bleibt unverändert – die Energie erhält lediglich zusätzliche Terme, die aber nur von T abhängen.

6.4.3.

Gleichverteilungssatz

Anteil in u pro voll angeregten Freiheitsgrad: R T , 2 R u  m T , 2

pro Masseneinheit u  pro KMol

R , 2 R  m , 2

cv  cv m

cv 1  R 2 m cv 1  2 Rm

n f Freiheitsgrade:

c cv n f c  R nf  2  p  v   R R R 2 2



cp cv



nf  2 nf

n f  n f T 

Freiheitsgrad = ein quadratischer Term in E ges pro Teilchen.

- 82 -

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik 6. Kapitel Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I ______________________________________________________________________________________________

6.4.4.

Bewegter Kolben

(optional) y

cx vor  ck

Annahme:

(sonst kein Stoß)

cx  0

c : mitbewegt ,

x

c : ruhend

ck

nach vor   cx mitbewegtes System: cx

cx  cx  ck c  c  c

Transformation:

x

ruhendes System:

x

k

nach vor cx nach  cx  ck   cx  ck

   c x vor  ck   ck   c x vor  2ck

E  x

kin

E 

vor

x

kin

nach

Ekin x

m vor 2  cx  2 2 2 2 m m m   c x nach     c x vor  2ck   c x vor   4ck c x vor  4ck 2  2 2 2  m ck    Ekin x    Ekin x    4ck 2  4ck cx vor   2mcx vor ck  1  vor 0 nach vor c 2 x  







Ekin nimmt ab 

T nimmt ab 

U nimmt ab

Durch Impulsübertrag am bewegten Kolben ändert sich die mittlere Geschwindigkeit, also auch T und U ! (trotzdem ist u  u  T  ) Annahme: dL  Lx , ck  cx (Wenn der ck2 - Term nicht vernachlässigbar ist, so gilt die quasistatische Annahme nicht!)

dLx ck 2L   x Zeit zwischen den Stößen: cx  dL c ns   x x Anzahl Stöße: ck 2 Lx 



Zeit für Kolbenbewegung:

A  L y Lz

V  Lx A

Lx dL x

 - 83 -

1 cx dLx 2 ck Lx

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik 6. Kapitel Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I ______________________________________________________________________________________________

pro Stoß:

 c  s Ekin  2mcx ck  1  k   2mcx ck  cx  1 cx dLx dL dV hs Ekin  ns Ekin   2 mcx ck  mcx2 x  mcx2 Lx V 2 ck Lx



N Moleküle:



ges U  Ekin   Nmcx2

V c 2 V V   Nm   pV   pdV V V V 3    2 Ekin  mRT  pV 3

U   pdV

quasistatische Arbeit

6.5. Spezialfall konstante spezifische Wärmen Ziel ist die vereinfachte Beschreibung für Abschätzungen, z.B.:  Analytische Formeln, falls T - Variation klein oder Edelgas  Gültig in Aerodynamik  Entwicklung von Verständnis durch analytische Ausdrücke  Vorsicht bei Dampf- / Gasturbinen und Hyperschall „perfektes Gas“

cv  const.

c p  const.  cv  R c c R R   const.  p  v  1 cv cv cv Ableitung von Relationen zwischen p, v, T für adiabate, isotherme, isochore und isobare Prozesse. ( pv  RT gilt zusätzlich immer für ideales Gas)

adiabate, reversible Zustandsänderung = „isentrop“

p, v

du   q     q  V  R   adiabat

du   pdv du  cv dT - 84 -

reversibel

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik 6. Kapitel Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I ______________________________________________________________________________________________

Gesucht ist ein Zusammenhang für p, v  cv dT   pdv perfektes Gas :

pv  RT

T



ersetzt man dT :

pv R



 pv   pdv  vdp  dT  d    R  R 

cv  pdv  vdp    pdv R Auflösen nach dp, dv :

pdv  vdp  

R pdv cv  cv  R    pdv   vdp cv    

 R  1   pdv   vdp , cv  



dp dv   p v 2

d ln  p     d ln  v    d ln  v  

, 2

  d ln  p    d ln  v  1





ln  p2   ln  p1   ln  v2   ln  v1 

1

p2 v2  v1     p1 v1  v2 



Zustandsänderung perfektes Gas:

 p2   v1        p1   v2  





p 2 v 2  p1v1

Z u sa m m enh a n g

pv  const.

p,v 

- 85 -

Isentropengleichung U 2  U1  Q12  W12  0

adiabat, reversibel

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik 6. Kapitel Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I ______________________________________________________________________________________________

T , v  , T , p  :

Zusammenhänge

pv  RT

Zustandsgleichung

pv   pv  v  1  RTv  1

 T2   v1        T1   v2 





1

Tv  1   const .

T , v  Z u sa m m en h a n g

T , p 

Is e n tr o p e

- Zusammenhang:

v

RT p 

 RT  pv  p    const.  p  

p1 T   const. 

 T2   p2       T  1   p1 



T p 1 1



T  1

p p ,T  Z usam m enhang

 const.



Is e n tr o p e

Isotherme Zustandsänderung:

pv  RT

,

T  const. 

pv  const.

p2 v1  p1 v2

pv  const.

isotherm

- 86 -

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik 6. Kapitel Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I ______________________________________________________________________________________________

Isobare Zustandsänderung:

pv  RT

,

T  const. v

p  const. 

T  const. v

T2 v2  T1 v1

isobar

Isochore Zustandsänderung:

pv  RT

,

T  const. p

v  const. 

T  const. p

T2 p2  T1 p1

isochor

Bis auf adiabate Zustandsänderung gelten die Formeln auch für das ideale Gas. (perfekt und nicht perfekt) P

Isentrope (1) :

pv  const.

Isotherme (2):

pv  const.

p

p

(2)

(1)

c v

c v

v



cv  R 1 cv

Isentropen sind immer steiler als Isothermen im pv / pV Diagramm!

- 87 -

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik 6. Kapitel Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I ______________________________________________________________________________________________

6.6. Allgemeine Polytropengleichung Ziel ist es, eine Beziehung zwischen Zustandsgrößen zu definieren, die für verschiedene Prozesse gültig ist. Ersetzt wird  in der Adiabatenformel durch den Polytropenkoeffizient n . Sie ist nützlich zur Analyse vieler technischer Prozesse. Beziehung zwischen  p, v, T  , gültig für verschiedene Prozesse:

pv n  const.

„Polytropengleichung“

n: Polytropen – Exponent Beispiel für Prozesse: pv 0  const. n0  pv  const.  RT n 1  n 

pv  const.



n



isobar isotherm isentrop

1 n

p v  const.

isochor

6.6.1. Volumenarbeit bei polytroper Zustandsänderung Polytrope Zustandsänderung erfasst mehrere verschiedene Fälle. Es lohnt sich hier, die Arbeit und Wärme direkt auszurechnen und später nur einzusetzen.

pv n  const. ,

pV n  const. 2

1. Hauptsatz: U 2  U1  Q12  W12  Q12   pdV

(quasistatisch, reversibel)

1

2

W12    pdV

, U 2  U1  mcv  T2  T1 

pV n  const.



1

p1V1n  p2V2n  pV n

n

V  p V   p1  1   p1V1nV   n  V  V2

V2

V1

V1

W12    p V  dV   p1V1n  V

n

V2

 1  dV   p1V1n  V   n 1    n  1 V1

 n 1  p1V1n p1V1  V1    n 1   n 1   V2   V1   1  n  1  n  1  V2  





- 88 -

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik 6. Kapitel Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I ______________________________________________________________________________________________

 n 1  p1V1  V1    W12   1  n  1  V2  

Volumenarbeit bei polytroper Zustandsänderung (Volumenverhältnis)

n

pV n  const.



 V1  p2    p1  V2 



 n 1   p1V1  p2  n  1 W12    n  1  p1   

 V1     V2 

 n 1

p   2  p1 

 n 1 n

polytrope Volumenarbeit (Druckverhältnis)

n

V   p2  p1  1  pV  p V  V2    1  p1V1n 1  p1V1n 1 W12   p2V2  p1V1    n 1  p1V1    n V2  p1V1    n  1  V2   n  1   n  1  V2 n 1 1

n 2 2

W12 

pV  mRT

W12 

1  p V  pV   n  1 2 2 1 1



polytrope Volumenarbeit (Verschiebearbeit)

R   1 cv

  1 T  T mR T2  T1   mcv    n  1  n  1 2 1

polytrope Volumenarbeit (Temperaturdifferenz)

- 89 -

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik 6. Kapitel Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I ______________________________________________________________________________________________

6.6.2.

Wärmemenge bei polytroper Zustandsänderung

1. Hauptsatz:

U 2  U1  Q12  W12  mcv T2  T1 

   1   Q12  mcv T2  T1   W12  mcv  1   T2  T1    n  1      1   Q12  mcv   1    T2  T1   n 1    Q12  n    q12   W12   1 W12

Diskussion:

6.6.3.

n 

: Wärmezufuhr

n 

: Wärmeabfuhr

n 

: keine Wärmeab-/zufuhr

Wärmezufuhr eines polytropen Prozesses

Q12  0, Q12 W12  0 Q12  0, Q12 W12  0

Wärme, Arbeit haben die gleiche Richtung Wärme, Arbeit haben eine gegenläufige Richtung

(adiabat) Q12  0

Isotherme Volumenarbeit

pV  const.



p V  

p1V1 V

V  V  dV   p1V1 ln  2   p1V1 ln  1  V  V1   V2  V1

V2

V2

W12   p V dV   p1V1  V1

V  p  W12  p1V1 ln  1   p1V1 ln  2   V2   p1 

Volumenarbeit bei isothermer Zustandsänderung

U 2  U1  mcv T2  T1   0  Q12  W12    0

V  V  Q12  W12   p1V1 ln  1   p1V1 ln  2   V2   V1  V  p  Q12  p1V1 ln  2   p1V1 ln  1   W12  V1   p2 

Isotherme Wärmezufuhr - 90 -

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik 6. Kapitel Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I ______________________________________________________________________________________________

6.7. Polytroper Prozess in stationären offenen Prozessen  c2 c2  q12  wt ,12  htot ,12   h2  h1    2  1   g  z2  z1  2 2 2

 c2  quasistatisch reversible Zustandsänderung: wt ,12   vdp    2   g z12  2 12 1 2

vernachlässigbar:

wt ,12   vdp 1

polytrope Zustandsänderung:

pv n  const. ,

vp

1

n

1

 n 1      n   p2 n   v  p  dp  v1 p1   1 polytrope, reversible, technische Arbeit      n  1   p1  1   2

wt ,12

1

 const.  v1 p1 n  v2 p2 n

 n 1   v1 p1  p2  n  1 w12   p  v  dv      n  1  p1  1   2

Vergleich:

wt ,12  nw12

Diskussion der Arbeit, technische Arbeit, Wärme im polytropen Prozess:

  1 w12  cv    T2  T1   n 1   n   q12  cv    T2  T1   n 1  n wt ,12  cv   1T2  T1   n  1

q12  n      w12    1  wt ,12 n w12

- 91 -

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik 6. Kapitel Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I ______________________________________________________________________________________________

n  : w + -

q

wt + -

+ -

Arbeit und Wärme gleichläufig n  : w + -

q

wt + -

+

Arbeit und Wärme gegenläufig

w12 und wt ,12 haben immer gleiches Vorzeichen und wt ist immer größer als w .

Grenzfälle n0 : 

n 1 :

wt ,12  0

w12  cv  T2  T1  ,

q12  0 wt ,12  cv  T2  T1   c p  T2  T1 

isentrop

n : 

q12  cv  T2  T1   c p  T2  T1 

isobar

n  : 

w12   cv   1 T2  T1  ,

w12  0 ,

q12  cv  T2  T1  wt ,12  cv  T2  T1 

isochor

V  W12  RT ln  1  ,  V2 

V  q12   RT ln  1   V2 

- 92 -

V  Wt ,12  RT ln  1   V2 

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik 6. Kapitel Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I ______________________________________________________________________________________________

Arbeit / technische Arbeit bei polytropen Prozessen p

p

1

1 2

2

v

v p

p

n 1 n 

p2 T const. n 

p1 v

v

Beispiel: Kompressor: isochor schlecht, da wt groß isentrop besser, noch besser isotherm (gekühlt) Turbine:

isotherm wäre gut, (Zwischenheizung nötig) in der Praxis meist isentrope Entspannung

- 93 -

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik 6. Kapitel Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I ______________________________________________________________________________________________

6.8. Adiabate Drossel

Luft

h1, c1

h2 , c2

adiabate Drossel

c12 c22 ,  h1 , h2  h2  h1  0 2 2 h2  h1  c p  T2  T1   0  T2  T1 htot ,1  htot ,2

jetzt:

,

isenthalp

Beim idealen Gas ändert sich die Temperatur in adiabater Drossel nicht!

6.9. Adiabate Düse / Diffusor c12 c2  h2  2 2 2 2 c c2 c pT1  1  c pT2  2 jetzt: 2 2 2 c definiere: Ttot  T   2c p h1 

Ttot ,1  Ttot ,2

In einer adiabaten Düse bleibt die Totaltemperatur Ttot unverändert !

Ttot : die Temperatur, die sich bei adiabater Verzögerung auf c  0 einstellt. ( Ttot = T bei c  0 )

6.10. Analyse des Joule – Versuchs (perfektes Gas) V L ,V R adiabat isoliert

Syst. 1

Zeit – Koordinate ersetzt durch x  gesucht:

T L mR  ,T R mR  p m L

R

, p m  R

R

Syst. 2

mR m1L

U  m  ,U  m   L

R

R

R

- 94 -

R    1  cv

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik 6. Kapitel Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I ______________________________________________________________________________________________

6.10.1. Analyse offenes instationäres System

System links: 0

dE L  dU L  Q dU  d  m cvT L

L

L

 Wt

  dmi htot ,i

0

  c  m dT L

v

i

L

 T L dm L   dm L  u L  p L v L   dm L  cV T L  RT L    dm L c pT L 

Die Zeit ist hier uninteressant, solange therm. Gleichgewicht während des Prozesses angenommen werden kann.

T L  x   T1L 1  x 

 1

pV  mRT

Einsetzen Gasgleichung

p L  x   p1L 1  x 



Gesamt – Energiebilanz:

U ges  U L  x   U R  x   U L  0  U R  0 U R  x   m R cvT R  x   U1L  U L  x 

0

 U1L  m1LcvT1L  m1L cvT1L  m L  x  cvT L  x   m1L cvT1L  m1L 1  x  cvT1L 1  x 



 m1LcvT1L 1  1  x 

U L  x   m1L xcvT R  x 

1  1  x  T  x  T x



R

x0 :

L 1

pR  x 



 1



mRT R  x   V L  L    R  p1 1  1  x   R  V V  

1   T R  x   T1L       1 x    x 2   2  

- 95 -

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik 6. Kapitel Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I ______________________________________________________________________________________________

Mechanisches Gleichgewicht: !

p L  xe   p R  xe  1

 VL  xe  1     VL  VR 

 VL  L p L  xe   p R  xe   p1L    p1 y VL  VR    



y

1

xe  1  y  T T y 2 e

2 1

TeR  T1L

( y : Volumenexpansionsverhältnis)

 1 

1  y 

1  y  1



 T1L

1  y  xe

Zahlen:

V1  V2 

1 y 2

7 , 5

T1L  300 K





1 xe  1    2

1



 0,39

 1

1  TeL  T1L    0,82T1L  246 K 2 0,5 TeR  T1L  T1L1,28  384 K 0,39 thermischer Ausgleich: !

1.Hauptsatz

T L  T R  Tg ,

Massenerhaltung

p L  p R  pg ,

!

U L  U R  U 1L m L  m R  m1L

U L  U R  U1L  m L cvTg   m R cvTg    m L  m R  cvTg  m1L cvTg  U1L  m1L cvT1L L

Tg  T1L

R

(Temperatur am Ende wie am Anfang  Ideales Gas U  T ,V   U  T  )

Gasgleichung links:

pg LV L  m L RTg

Gasgleichung rechts: pg V R  m R RTg R

- 96 -

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik 6. Kapitel Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I ______________________________________________________________________________________________

pg V L  V R    m L  m R  RTg  m1L RT1L    p1LV L

 VL  L pg   L p  yp1L R  1 V V  pgV L  V L  p1LV L VL L  L  m  m1L RTg  V  V R   RT1L V L  V R m1L

 VL  VR m  m  m  m 1  L  L m1L R  R  V V  V V Druck im vollen thermischen Gleichgewicht, wie nach adiabaten Ausgleich. R

L 1

L

L 1

6.10.2. Alternative Analyse geschlossenes System

VL

V1

V1  V L 1  x 

m2  xm1L

m 1  m1L 1  x   const. x

System 1 leistet Arbeit

Wv    p1  x  dV1  x  an dem System 2 0

dU1   p1  x  dV1   R dV1 dT  1 cv V1 T1  V10  T1  T   V  0 1

R

cv



m1RT1 dV1  m1cv dT1 V1

T  R V   ln  10   ln  10   T1  cv  V1 

 V L 1  x   T   L  V 

 1

0 1

T L  x   T1L 1  x 

 1

- 97 -

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik 6. Kapitel Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I ______________________________________________________________________________________________

6.10.3. offenes System - Analyse hL

hR hL

TL

hL

TL

adiabate Drossel:

isenthalp

Einströmen:

h L im Gleichgewicht mit System L

Ausströmen:

h L nicht im Gleichgewicht mit System R

Dissipation der Strahl – Energie  Temperaturerhöhung

6.10.4. mikroskopische Analyse

schnelle Moleküle:

größere Wahrscheinlichkeit durch das Loch zu kommen

langsame Moleküle bleiben (zunächst) links  thermisches Gleichgewicht

cL2  cR2 



Abkühlen

TL TR

6.11. Zusammenfassung ideales, perfektes Gas R Ideales Gas – thermische Zustandsgleichung: pv  RT  m T , M

 für   pV  mRT  p  0  T    

Zusammenhang p  v / v  T T

Ideales Gas – kalorische Zustandsgleichung: U  T ,V   U T   U 0  m  cv  T  dT  T0 T

u  u  T   u0   cv  T  dT  T0 T

h  h T   h0   c p  T  dT  T0

- 98 -

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik 6. Kapitel Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I ______________________________________________________________________________________________

Spezifische Wärmekapazität

Ideales Gas:

 h   v  cv  T ,V      , c p T , p     T  p  T v

cv  cv  T 

,

c p  c p T 

Isentropenexponent:

 T  

Kinetische Gastheorie:

cv n f  R 2

c p T 

 1

cv  T 

,

c p  T   cv  T   R

,

cp R

R cv  T 



nf  2 2

,

  1

2 nf

n f : Anzahl der voll angeregten Freiheitsgrade

Einatomiges Gas:

n f  3 (Translation)

Zweiatomiges Gas:

n f  7 (linear)

(Trans- + Rot. + Vibrationen)

Perfektes Gas cv , c p ,   const.

Isentrope Zustandsänderung (isentrop = adiabat, reibungsfrei)

pv  const. offen

pV   const. geschlossen

Tv  1  const.

Tp 

 1    

 const.

Polytrope Zustandsänderung

pv n  const. , n : Polytropenexponent isobar n0 n  n isotherm n 1   1 w12    pdv  cv   T2  T1   n 1  1

isentrop isochor

2

2

wt ,12   vdp  nw12

 n   q12  cv   T2  T1   n 1 

1

- 99 -

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik 6. Kapitel Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I ______________________________________________________________________________________________

quasistatische, polytrope Prozesse P

T to t  T 

c2 2c p

bleibt konstant

v

Adiabate Düse / Diffusor / Drossel

 c2  Drossel  T :  2c   p 

adiabate Drossel lässt Temperatur beim idealen Gas konstant.

Instationäre Analyse des Joule – Versuchs

Zunächst Abkühlung beim Ausströmen Erwärmung beim Einströmen

adiabat

Therm. Ausgleich: Tg  T1

- 100 -

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik 7. Kapitel Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I ______________________________________________________________________________________________

7.

Zweiter Hauptsatz

Unterschied zum 1. Hauptsatz:

1. Hauptsatz postuliert nur Energieerhaltung, daher sind nach dem 1. Hauptsatz viele Prozesse erlaubt

Erfahrung:

Spontaner Abbau (räumlicher) Gradienten:  Temperaturunterschiede  Druckunterschiede  Konzentrationsunterschiede

Aspekte:  Quantifiziere: 

reversibel / irreversibel



maximal möglicher Wirkungsgrad th von Prozessen



Faktoren, die th beeinflussen

 Richtung spontan ablaufender Prozesse  Identifikation unmöglicher Prozesse  Thermodynamisches Gleichgewicht  Grenzen der Umwandelbarkeit von Energien  Thermodynamische Temperaturskala

- 101 -

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik 7. Kapitel Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I ______________________________________________________________________________________________

7.1.

Formulierungen des 2. Hauptsatzes (CLAUSIUS, PLANCK)

CLAUSIUS: Ein Prozess, dessen einziges Ergebnis eine Wärmeübertragung von einem kühleren auf einen heißeren Körper ist, ist unmöglich.

PLANCK: Es ist unmöglich, eine periodisch arbeitende Maschine zu konstruieren, die nichts weiter bewirkt, als eine Last zu heben und einem Wärmebehälter dauernd Wärme zu entziehen.

Nicht möglich, weil:

1. Hauptsatz: W  Q  0 

Q  W

- 102 -



zyklischer Prozess



ein Wärmereservoir



Richtung Q → W

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik 7. Kapitel Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I ______________________________________________________________________________________________

7.2.

Äquivalenz der Formulierungen von CLAUSIUS und PLANCK

Annahme: Clausius falsch, d.h.:

Reine Umwandlung von QLR  QLI in Wnetto  Widerspruch zu Planck! Annahme: Planck falsch, d.h.

Wärmepumpe

verletzt Clausius 1. HS: QH  W

- 103 -

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik 7. Kapitel Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I ______________________________________________________________________________________________

Prozesse mit 2 Reservoiren bei T  TL , TH Zyklus, 1. HS: U  0  QH  QL  W  QH  QL  W W  QH  QL ;

W  QH  QL

thermischer Wirkungsgrad:

th 

Q W QH  QL   1 L QH QH QH

oder: QL  QH (1  th )

2. HS (Planck): QL  0

7.3.

 th 1

Carnot-Folgesätze

a) th für irreversiblen Prozess kann nicht größer sein als th für reversiblen Prozess b) th für alle reversiblen Prozesse gleich

- 104 -

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik 7. Kapitel Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I ______________________________________________________________________________________________

Beweis für a):

QLR WR    1 QH QH R th

QLI WI    1 QH QH I th

Annahme:    R  QLI  QLR , WI  WR

Reversible Maschine → kann Laufrichtung umdrehen

Wnetto  WI  WR  0

verletzt Planck-Satz

Beweis für b): Analog, verwende Maschine mit niedrigerem Wirkungsgrad als Wärmepumpe

Ann.:  R   R2  QL1  QL2

Wnetto 

rückwärts:  Wnetto  0

0

- 105 -

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik 7. Kapitel Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I ______________________________________________________________________________________________

7.4.

Reversible/Irreversible Prozesse

Reversible Prozesse    

„keine“ Reibung „keine“ Gradienten bei Temperatur, Konzentration, Geschwindigkeit Wärmeübergang bei    quasistatisch

 Idealisierung

Irreversible Prozesse     

Ausgleich Gradienten: Diffusion (Konzentration), Wärmeleitung (Temperatur), Turbulenz (Impuls) Reibung Ekin  thermische Energie (manche) chemische Reaktionen Drosselung von Gasen etc.

2. Hauptsatz verbietet Rückwärts-Ablauf von irreversiblen Prozessen (spontan)

- 106 -

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik 7. Kapitel Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I ______________________________________________________________________________________________

Beispiele reversibler Prozesse Quasistatische, isotherme Kompression/Expansion

mechanische Prozesse (ohne Reibung) 

Feder



Gewicht heben (siehe Abbildung)



Reversible Umwandlung Ekin  E pot

Adiabate, reibungsfreie Düsenströmung

Wt  Q  0

 h1  h3

A1  A3  c1  c3 , T1  T3

- 107 -

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik 7. Kapitel Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I ______________________________________________________________________________________________

Gegenbeispiel irreversibler Prozess Schnelle, nicht quasistatische, adiabate (  q  0 ) Kompression/Expansion

schnelle Kompression

p1'  p1

schnelle Expansion

 w   wrev

T1'  T1

U 2'  U1  U 2  U1

U1'  U1

U 2'  U 2

 w   wrev

 U 2'  U1    U 2  U1  U 2'  U 2

- 108 -

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik 7. Kapitel Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I ______________________________________________________________________________________________

7.5.

Carnot-Zyklus

Beispiel reversibler Zyklus: isotherm-adiabat

Wnetto

Carnot-Prozess im geschlossenen System (Kolben)

siehe Foliensatz 5.16

- 109 -

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik 7. Kapitel Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I ______________________________________________________________________________________________

7.5.1. Wirkungsgrad des Carnot-Prozesses (Arbeitsmittel: perfektes Gas)

th  1 

qL ; qH T  const.

1  2, 3  4 isotherm  T1  T2 , T3  T4 v  qH  q12  RT1 ln  2  ( 0)  v1  v  qL  q34  RT3 ln  4  ( 0)  v3 

qij  0

2  3, 4  1 adiabat reversibel (q  0)

v3  T2  v2   T   3

1  

1

v4  T1    v1   T   4

   T1       T3   v2 v3  v4 v3     v v2 v1 v4 1  1  T1         T3    1  

Beispiel:

v  RT3 ln  4  T T  v3   1 3  1 L th  1  T1 TH v  RT1 ln  2   v1 

th  C  1 

TL TH

TL  20C  Tu  293,15K

Carnot-Wirkungsgrad

TH

100°C

500°C

1000°C

1600°C

C

71%

62%

77%

84%

- 110 -

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik 7. Kapitel Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I ______________________________________________________________________________________________

maximaler thermischer Wirkungsgrad C  1   

TL TH

höher mit höherer T-Differenz unabhängig vom Arbeitsmedium und Prozess (solange reversibel)

C 1

TH TL Definitionen: voll reversibel:

System und Umgebung reversibel

intern reversibel:

System reversibel, Umgebung nicht

extern reversibel:

Umgebung reversibel, System nicht

- 111 -

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik 7. Kapitel Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I ______________________________________________________________________________________________

7.6.

Thermodynamische Temperaturskala

Reservoire nur charakterisisert durch TL , TH

th  1 

QL : gleich für alle reversiblen Kreisprozesse QH

 th   (TH , TL ) hängt nur von TH und TL ab (nicht von den Prozessdetails) Schritte: 

Ausrechnen von th für einen reversiblen Kreisprozess (Carnot: C  1 



 (TH , TL ) automatisch gültig für alle anderen reversiblen Kreisprozesse 1   T , T0 )  (T ) ist neue Temperaturskala



TL ) TH

QTR T (T )  1  C T , T0 )   R proportional zur Temperaturskala des idealen Gases! T0 Q0

Definition: Internationale Temperaturskala(Tripelpunkt von Wasser) T [ K ]  TTP

QTP

T [ K ]  TTP

QT Q  273,16 T (T  TTP ) QTP QTP

QT

 273,16

QTP QT

(T  TTP )

- 112 -

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik 7. Kapitel Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I ______________________________________________________________________________________________

Messung von QTP , Q ergibt T in [K]

7.7.

Wärmemengen in Carnot-Netzen

th  1 

QL Q  1 H QH QL

reversibel: thR  1  

QLR T  1 L R QH TH

QLR QHR  0 TL TH

7.7.1. Reversible Ersatz-Prozesse (Carnot-Netz)

Netze aus Isothermen und reversiblen Adiabaten (siehe Foliensatz 5.17)

Koordinaten-Transformation: ( p  v )  (T  v )  (T  a )

- 113 -

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik 7. Kapitel Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I ______________________________________________________________________________________________

Mehrere Carnot-Prozesse:

siehe Foliensatz 5.20 Koordinaten-Transformation: (T  v )  (T  a )

siehe Foliensatz 5.22

 QH ,1 QL ,1   QH ,2 QL ,2          0 T T T T L ,1  L ,2   H ,1  H ,2

- 114 -

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik 7. Kapitel Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I ______________________________________________________________________________________________

7.7.2. Carnot-Netz: Reversibler Prozess

Quasistatischer Kreisprozess im T-v- und T-a-Diagramm:

Jede Zustandsänderung (jeder quasistatische Kreisprozess) lässt sich beliebig genau durch ein Carnot-Netz approximieren:

siehe Foliensatz 5.25

QH , j TH , j



QL , j TL , j

0 

QiR i Ti  0

QH , j

T j

H, j



QL , j TL , j

QiR   0 Ti i

Wärmemengen-Relation Carnot-Netz

- 115 -

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik 7. Kapitel Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I ______________________________________________________________________________________________

7.7.3. reversible Realisierung

vollständig reversibler Prozess mit vielen Wärmereservoiren

QiR 0 Reversibler Ersatzprozess Carnot-Netz:  i 1 T0 n

Grenzübergang n   :



 QR T

 0 für alle reversiblen Kreisprozesse

speziell: Carnot-Kreisprozess

7.7.4. Carnot-Netz irreversibler Prozess

thI  1  

QLI TL QLI T    1    L C I I QH TH QH TH

QLI QHI  0 TL TH

QiI i T  0 i



 QI T

0

Carnot-Netz: irreversibel

 Q I : im realen Prozess übertragbare Wärmemenge  Q I  Q I d 

- 116 -

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik 8. Kapitel Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I ______________________________________________________________________________________________

8.

Zustandsgröße Entropie



 QR

 QR  QR 0 1  2 T T1 T2 1 1     2

2

Weg 1



 Potential



S 2  S1  

2

1



 QR

Weg 2

extensive Zustandsgröße

T

S: Entropie des Arbeitsmittels (extensive Zustandsgröße) S s  : spezifische Entropie m

8.1. Entropieänderung 8.1.1. Entropieänderung für irreversible Systeme

I B

Irreversibler Kreisprozess:  Q  B  QI   A  QR  0         T  A T  I  B T  R I R   B  QI     S ( A)S (B)  A T I

A

B

R

 S (B)  S ( A)   A

- 117 -

 QI T

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik 8. Kapitel Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I ______________________________________________________________________________________________

Adiabater irreversibler Prozess:  Q I  0 

S ( B )  S ( A)

Abgeschlossenes System (  Q  0 ):

S ( B )  S ( A)

Entropie kann im adiabaten System nur wachsen!

8.1.2. Entropieänderung reversible Prozesse

Zustandsgröße Entropie: B   QR  S ( B)  S ( A )     T  A

B

 dS

 

S Zustandsgröße A

reversibler Prozess, geschlossenes System:

dU  Q R  W R  Q R  pdV

 Q R dU  pdV eingesetzt in Entropiegleichung: B

( A

 QR T

dU  pdV  dS  1.HS  A B

B

)   

 dU  pdV  dS      B

 

Zustände A, B und Weg sind beliebig 

oder in spezifischen Größen: dU  TdS  pdV du  Tds  pdv

dU  pdV  dS 

du  pdv  ds 

Gleichung zwischen Differentialen von Zustandsgrößen => gültig auf Zustandsfläche

- 118 -

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik 8. Kapitel Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I ______________________________________________________________________________________________

8.2.

Kanonische Zustandsgleichung

u  u ( s, v) : kanonische Zustandsgleichung du  Tds  pdv totales Differential:  u   u  du    ds    dv  s v  v  s  u      T  T ( s, v)  s v  u      p   p ( s, v )  v  s u  u ( s , v ) bekannte Funktion  alle Zustandsgrößen durch Ableitungen festgelegt

p, v, T -Daten-Relationen: thermische Zustandsgleichungen u (T , v)  u (T ( s, v), v) : kalorische Zustandsgleichungen

- 119 -

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik 8. Kapitel Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I ______________________________________________________________________________________________

8.3.

Erreichbarkeit von Zuständen

adiabates, geschlossenes System (siehe Foliensatz 5.33)

dU   Q  W  Wv  WR   0,adiabat

0

dU  pdV TdS dV = 0  Energie kann im adiabaten System nicht abnehmen ( 2. HS ) (p, T) / (p, v) – Ebene wird schlicht überdeckt von Adiabaten – Kurven:

S3  S 2  S1

- 120 -

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik 8. Kapitel Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I ______________________________________________________________________________________________



jeder Adiabaten kann ein bestimmter Wert einer Zustandsgröße zugeordnet werden (Entropie)



Zustandsgröße S existiert, für irreversible Prozesse ist S2 > S1 (adiabates System)

8.4.

Anschauliche Interpretation von Entropiedifferenz

S2  S1 

Q0R T0

T0  0C  273.15K

V1 , T1

Va , Ta  T0

Vb , Tb  T0

V2 , T2

U1 , S1

U a , Sa  S1

U b , Sb  S 2

U 2 , S2

(siehe Foliensatz 5.28)

- 121 -

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik 8. Kapitel Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I ______________________________________________________________________________________________

8.5.

Axiomatische Einführung der Entropie



jedes System besitzt extensive Zustandsgröße S



für homogenes Teilsystem gilt:

    Q  1 dS  dU  pdV  xi dX i    R  GIBBS´sche Hauptgleichung T i     T   allegeneralisierten Arbeitsformen   T > 0: thermodynamische Temperatur

S S1S2 ...Sn extensive Zustandsgröße: S1 S 2 ... S n  S ges



( S2 S1 )adiabat 0 , „=“ für reversible Prozesse



s 





S : (massen-)spezifische Entropie m

Entropieänderung durch: - Wärmetransport (-flüsse) - Materialtransport (offenes System) - Entropieerzeugung durch irreversible Prozesse

 SQ

dS 





Wärmefluss

 Sirr



Q

Produktion

T

  Sirr  0

  QR    T  

Q i

zeitabhängig:

Ti

  S d S d dS Sd Q irr dS  d

SQ  Entropiestrom durch Wärmetransport

Q SQ   i i Ti



Sirr  Entropieerzeugung

Summe der tatsächlichen

Wärmeströme im System Temperaturen an der Grenze

- 122 -

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I 8. Kapitel ______________________________________________________________________________________________

8.6.

Entropiebilanz im offenen System

dSoffen d

 i

SQ ,i  

  m e se  m a sa e a Produktion aus irreversiblen   



Q  Systemgrenze kreuzt , T an der Stelle, wo Q T   reversibler Wärmetransport

Sirr 

Prozessen

Spezialfälle: stationärer, linearer Ein- / Auslass:

dS offen dm  0, m e m a m , 0 d d

SQ Sirr m e (se sa )

spezifische Größen: sQ ,i s  ,sirr  irr   m m    sQ ,i sirr se sa 0 Q i qi i  sQ ,i    Ti m Ti sQ ,i 

sa se  sQ ,i  sirr

spezifische Entropie

i

m e se

S  

SQ

sirr

m a sa

Q

- 123 -

massegebunden

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I 8. Kapitel ______________________________________________________________________________________________

Spezialfälle:

a)

b)

dS  SQ Sirr  m i si d i

adiabat, geschlossen  Q  0   SQ  0  , m  0 : reversibel

Sirr 0S const

irreversibel

dS Sirr 0 0 d

adiabat, offen, stationär: dS    Sirr  m e se  m a sa   SQ ,i  d stationär i e a  0 0adiabat

  m e se  m a sa "materieller Abtransport der erzeugten Energie" e

a

"  ":reversibel "  ":irreversibel

c)

irreversibel, geschlossen, stationär:

 S

Q ,i

i  

Sirr  : ist möglich, Verluste werden „weggekühlt“ 

SQ ,ges 0

0

- 124 -

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I 8. Kapitel ______________________________________________________________________________________________

Transportgleichungen Masse, Energie, Entropie für offenes System

dm   m i d i dE   Q i   W j   m k htot ,k d i j k dS   SQ ,i   m k sk  Sirr d i k

- 125 -

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I 8. Kapitel ______________________________________________________________________________________________

Beispiele für 1./2. HS-Anwendung: Beispiel 1: Planck-Maschine, stationär !

dU Q Wt  0 d    Q  Wt

1. HS:

2. HS:

dS ! SQ , ges  Sirr   SQ , ges Sirr  d 0 2.HS Q Q Sges   i  H  SQ TH i Ti

Q Sirr   SQ   H  0 TH TH 0   Q H 0  Q H 0  Wt 0 Q H 0 , Wt 0 : alle hineingesteckte technische Arbeit wird komplett in Wärme umgewandelt und an TReservoir abgegeben

Beispiel 2: Wärmekraftmaschine stationär (Ableitung Carnot-Wirkungsgrad) !

dU 0 1. HS: Q H Q L Wt  d 2. HS:

! dS   SQ ,i  Sirr  0 d i

Q Q  SQ , H SQ , L  Sirr 0  H  L Sirr TH TL  Q  Q L  TL  H Sirr   TH 

- 126 -

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I 8. Kapitel ______________________________________________________________________________________________

W Q Wirkungsgrad: th   t 1  L QH QH

S S TL  TL irr  C (TH , TL )  TL irr TH QH QH 

th 1

C

T reversibel: Sirr  0  th  1  L  C TH

2.HS geschlossenes System, quasistatisch 1. HS: dU   Q   WV   WI

  Q  pdV   WI : m du   q  pdv   wI ; du  pdv   q   wI 1.& 2. HS: du  Tds  pdv; Tds   q   wI

2. HS: dS   SQ   Sirr 

Q T

m

  Sirr

q

  sirr ; T 0 Tds   q  T  sirr ds 

 WI

0

  sirr 

Q

 wI T

Spezialfälle: adiabat (  q  0 ): ds   sirr  0

 wI

  sirr  0 T T  0   wI  0 ds 

reversibel (  wI  0;  q  0 ):  s 

 qR T

allgemein: ds=

q T

>0

  sirr wI T

- 127 -

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I 8. Kapitel ______________________________________________________________________________________________

8.7.

Berechnung der Zustandsgröße Entropie

du pdv dhvdp  T T 2 2 du pdv s2 s1 ds Integral beliebiger quasistatischer Prozess T 1 1

ds

T

2 irr.

s ( p, v) oder s (T , v) s ( p, T )

quasistatische Ersatzwege

1 v Ziel: s (T , v ) :

Ideales Gas: du (T , v)cv (T )dT  pdv; mit p

ds

RT v

du pdv cv (T )dT RTdv cv (T ) R dT  dv     T T T Tv T v    s     T v

 s     v T

Check: Ist s eine Zustandsvariable?    s   ?    s     cv (T )  ?   R               v   T v  T   v T v v  T T T  v v 00

OK .

- 128 -

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I 8. Kapitel ______________________________________________________________________________________________

8.8.

Entropie des idealen und perfekten Gases

8.8.1. Integration mit Energie

T

pv  RT du  cv (T )dT , u  u (T , v )

2

T2

dh  c p (T )dT , h  h(T , p )

dv  0 ds T1

1

a

dT  0

du pdv T 2

v1

v

v2

T1 ,v2 

 c (T ) s2  s1    v 1 dT T1 ,v1   T1

dT 0

T

,v

s2 s1 1



dv0  R  2 2  c (T ) R dT  dv  dv     v  v  T1 ,v2   T v 

2  v2  c (T ) dT  R ln    v  v1  T T1 T1 T

T

v  v2

 v  2 c (T ) Entropie ideales Gas  pv  RT  : s2  s1  R ln  2    v dT  v1  T1 T T

- 129 -

2

du pdv R   c (T ) dT  dv    v T T v  1 

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik 8. Kapitel Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I ______________________________________________________________________________________________

8.8.2. Integration mit Enthalpie (isotherm-isobarer-Weg)

s(T,p):

dhvdp c p (T )dT RTdp   T T Tp c (T )dT Rdp  p  T p

ds

T 2

T2

2  c (T )dT dhvdp dp    p R  T T p 1 1  2

s2 s1

dp  0

T1

1

dT  0

p1

a

T1 , p2 

dp s2 s1   R p T1 , p1 

p2

T2

T1



T1

c p (T )dT T

T T1



c p (T )dT

T1 , p2 

T

p p2

c p (T )dT T

p  R ln  2   p1 

p1v1 p v  p  v  T   R  2 2 ;  2  2  1   1 T1 T2  p1  v1  T2 

p  v  T  ln  2   ln  2   ln  2   0  p1   v1   T1  T2



p s2 s1 

Check:

T2 , p2 

(ideales Gas)

 p2  2 c p (T )dT  v2   v2  2 (c p (T )  R) v  R ln     R ln    R ln     dT R ln  2  T T  p1  T1  v1   v1  T1  v1  T

T

Vergleich: c p (T )  cv (T )  R

8.8.3. Entropie perfektes Gas ( cv ,c p = const. )

Entropie perfektes Gas  cv  T   cv  const. :

  T2   v2  cv ln  R ln     T1   v1  s2 s1  T2   p2   c p ln  T R ln  p   1  1 

- 130 -

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik 8. Kapitel Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I ______________________________________________________________________________________________

8.8.4. Temperatur als Funktion von (s,v) bzw. (s,p) (perfektes Gas)

T  v s T , v   s0  cv ln   R ln    T0   v0  T   p  s T , p   s0  c p ln   R ln    T0   p0  R

 s  s0 R  v    s  s0   v  cv  ln     T0  0  exp  T  s, v   T0 exp   cv  v0   v  cv   cv R

 s  s0 R  p    s  s0   p  cp  ln     T0  0  exp  T  s, p   T0 exp   c  c p  p0    c p  p  p 

R   1 cv R  1  cp 

8.8.5. Energie und Enthalpie als Funktion von (s,v) bzw. (s,p) (perfektes Gas)

perfektes Gas: u T , v   u0  cv T  T0  h T , p   h0  c p T  T0  u  s, v   u0  cv T  s, v   T0  h  s, p   h0  c p T  s, p   T0 

Kanonische Zustandsgleichung perfektes Gas:

R  cv  s  s0   v   0  u  s, v   u0  cvT0   exp   1  v  cv     

- 131 -

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik 8. Kapitel Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I ______________________________________________________________________________________________

8.8.6. thermische Zustandsgleichung aus kanonischer Zustandsgleichung

 u    u     T ,   p  s v  v T Check: R

 s  s0    v0  cv 1  u  c T  exp     s, v  v 0     s v  v  cv  cv  R

  R  1  v0  cv  s  s0  R  u       s, v   p    cvT0      exp  v  v T  cv  v  v   cv 

falls p 

RT  pv  RT  p  s, v   v  RT  s, v  thermische Zustandsgleichung v

- 132 -

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik 9. Kapitel Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I ____________________________________________________________________________________________

9. Einschub: Mathematische Grundlagen (I) 9.1. Partielle Ableitungen / totale Differential Nicht alle Zustandsgrößen sind analytisch bekannt. Es sind vielmehr nur messbare Größen, welche mit Hilfe von partiellen Ableitungen bestimmt werden müssen. Was hier am Anfang noch sehr trivial erscheint, stellt sich beim tieferen Vorstoß in die Thermodynamik komplexer als zunächst angenommen dar. Dieselben Variablen, wie z.B.: p werden nun als Funktion von mehreren, unterschiedlichen Variablensätzen berechnet. Zudem ist die Umrechnung zwischen den einzelnen Variablensätzen sehr schwierig und unanschaulich.

u = (x, y) Zum Beispiel:

ist eine eindeutige Funktion von x, y

x  p, y  v , u  T

:

T

pv R

legen wir nun fest: x  p

yv uT

u  x, y  u  x  x , y   u  x , y   u   lim    x  0 x x  x  y u  x, y  u  x , y  y   u  x , y   u   lim  y   y  0 y y  x

 u  u  x  x, y   u  x, y     x  o  x ²   x  y  u  u  x , y  y   u  x , y     y  o  y ²   y  x

- 133 -

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik 9. Kapitel Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I ____________________________________________________________________________________________

 u   u  u  x  x, y  y   u  x, y     x    y  o  x ², xy , y ²,...  x  y  y  x  u   u  du  x, y   u  x  dx, y  dy   u  x, y     dx    dy  x  y  y  x

daraus folgt:  u   u  du    dx    dy  x  y  y  x

das totale Differential

9.2. Höhenlinien Höhenlinien sind bei thermodynamischen Analysen zwingend notwendig, da hier eine Berechnung mit nicht mehr darstellbar vielen Variablen erfolgt. u  u  x, y  ,

Höhenlinienniveau : y  x  u u

0

wenn u  u0 , dann

 u   u  du  0    dx    dy  x  y  y  x

du  f  x, y  dx  g  x, y  du  fdx  gdy

u  u0  const. , daraus folgt:

du  0  fdx  gdy

so ergibt sich:

f  dy     g  dx u

direkte Auflösung : u0  u  x , yu0  x   

die Differentialgleichung für Höhenlinien

auflösen nach yu0  x 

p pT2  v

Beispiel :

Isothermes ideales Gas RT pv  RT , Isotherm: pT0  v   0 v

T2

T1

v

- 134 -

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik 9. Kapitel Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I ____________________________________________________________________________________________

Ableitungen von p, v, T - Daten: Die Zustandsfläche p  v, T  kann gut gemessen werden, inkl. seiner Ableitungen. Von 6 Ableitungen sind je 3 invers gleich und es gibt eine zyklische Relation. Daraus folgt, es gibt nur 2 wirkliche unabhängige Ableitungen. F  p,V , T , m   0

Thermische Zustandsgleichung: bei einer Einheitsmasse m:

F  p, v, T   0

Daraus ergeben sich folgende Gleichungen: T  v, T  : p  v, T  : v T , p  :

 T   T  dT    dv    dp  v  p  p  v  p   p  dp    dT    dv  T v  v T



 v   v  dv    dT    dp  T  p  p T

  

  

dp von    in    :

 v   v   p     v   p   1       dv         dT   p T  v T   T  p  p T  T v 

dv, dT sind unabhängig daraus folgt.  v   p   v  1 1      0 ,     p T  v T  p T  p     v T  v   v   p   T   v   p  ,       0       1  T  p  p T  T  v  v  p  p T  T  v

z  x, y 

allgemein gilt:

1  z     x  x  y z





y

 z   z   x         w  y  x  y  w  y  x   y   z   y   z   x   1  z  x   y

(quasi 1-d)

(zyklisch)

- 135 -

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik 9. Kapitel Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I ____________________________________________________________________________________________

9.3. Kettenregel u  vw

u  x, y   v  x, y   w  x, y 

 u   w   v   y   v  y   w  y   x  x  x  u   w   v     v    w   x  y  x  y  x  y

(x bleibt konstant) (y bleibt konstant)

 u   u  du    dx    dy  x  y  y  x

  v    v   w    w   du     w  v    dx     w  v    dy     x x y y         y y x x     w    v    w   v  du  v  dy     dx    dy  w  dx     y  x   x  y  y  x   x  y       dw dv

Daraus folgt

u v  w du  v  dw  w  dv

die Kettenregel

9.4. Schwarz’scher Satz  r  f  x, y  dx  g  x, y  dy Wenn:

 f   g   y    x   x   y

dann gibt es eine Funktion r  x, y  mit  r   r   ,g    x  y  y  x

dr  f  dx  g  dy , f  

- 136 -

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik 9. Kapitel Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I ____________________________________________________________________________________________

Beispiel 1:

Druck p  T , v  , ideales Gas

pv  RT RT v  p   p  dp    dT    dv  T v  v T R  RT  dp  dT     dv v ²  v 

p T , v  

f  T ,v 

f R  v v² R  g     v²  T v

Beispiel 2:

g  T ,v 

ok

 p  dV Arbeit  W  p,V      dp  

f

g



9.5. Wegintegrale y

 R  f  x, y  dx  g  x, y  dy Weg s :



x  x  s y  y s

s  s1 , s2 

2

1 x

dx dx   ds  x ' ds ds dy dy   ds  y ' ds ds

- 137 -

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik 9. Kapitel Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I ____________________________________________________________________________________________ 2

s2

R1,2    R    f  x  s  , y  s   x ' ds  g  x  s  , y  s   y '  s  ds  1

s1

2

s2

1

s1   

R1,2    R    fx ' gy '  ds y

Spezialfall: y '  0

1

y0 2

2

1

1



R1,2   f  x  'ds   f  x, y0 dt

x

9.6. Wegintegrale und Kreisprozesse mit Zustandsgrößen  z   z  dz    dx    dy  x  y  y  x

Falls eine Zustandsgröße mit

z  z  x, y  ;

dann gilt für das Wegintegral

s2  z  dx  z  dy   dz  1 dz  s  x  y ds   y  ds ds  s  ds ds x  1  1

2

 z2  z1

existiert,

s2

( beliebiger Weg )

1 2

y



2

 dz   dz  z

geschlossener Weg

2

 z1  0

1

falls

  R  0

x

für alle Wege, so gilt

2

 R

ist unabhängig vom Weg, da

1

2

2

2

2

1

1

1

1

y

  R    R    R  0 , d.h.  R   R  s1  s2 

 es existiert ein

1



s1

 s1  s2  R  x, y   R0 

 x, y 



R

 x0 , y0 

R0  R  x0 , y0 

- 138 -

2

s2



2 x

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I Stichwörter ____________________________________________________________________________________________

10. Stichwortregister Kapitel

G

A abgeschlossen adiabat Arbeit Axiome

Kapitel

2.2.1. 3.2. 4.3.1. 2.1.

Gas ideal perfekt Gasthermometer generalisierte Arbeit Gesamtarbeit Gesamtwärme

B Bewegtes System Bernoulli Satz Bilanzierungsgrenze

4.4.6.1. 5.5.1. 2.2.4.

H

C Carnot Celsiusskala

7.3. 3.2.

3.2. 4.4.6.2. 5.4.4. 5.4.3. 3. 5.5.1. 3.1. 5.4.4.

9.2. 5.5.1.

Inkompressibel innere Energie integral isenthalp isentrop Isentropenexponent isobar isochor isoenergetisch isotherm

5.5.2. 4.4.3. 4.4.6.2. 5.8. 5.8. 6.3. 5.8. 5.8. 5.8. 5.8.

J

E elektrische Polarisierung Energiebilanz

Höhenlinien Hydrostatischer Druck

I

D diabat differentiell Diffusor Drossel Druck hydrostatisch isotrop Düse

6. 6.5. 3.2.2. 4.6. 4.5.1. 4.5.2.

Energiedifferenzen Energieerhaltung Energieformen Energiegleichung Enthalpie Entropie Erster Hauptsatz Erster Hpts. f. geschlossene Systeme Erster Hpts. f. offene Systeme extensiv

4.6.1. 4.6.4. 5.1. 5.10.5. 4.2f 4.2. 5.2.2. 5.4. 8. 4. 4.4.6. 5.3. 4.4.6.

Freitheitsgrade

6.4.2.

F

Joule–Thomson–Effekt

5.10.4.

K Kettenregel kompressibel Kontrollvolumen Kreisprozesse

9.3. 5.5.2. 3.4. 5.6.

L M Magnetische Arbeit massenspezifisch molar Moleküle

- 139 -

4.6.2. 6.14. 2.3.3. 6.4.1.

UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN Lehrstuhl für Thermodynamik Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I Stichwörter ____________________________________________________________________________________________

T

N O P perfektes Gas Polytropengleichung Prozess polytroper quasistatische Prozessgrößen

6.5. 6.6. 2.5 6.7. 2.5.

Q quasistatische Prozesse quasistatische Zustandsänderung

2.5. 5.8.

R reale Prozesse reversibel

2.5.2. 2.5.1.

Schwarz’scher Satz Skalen (Temp.) spezifische Variable stationär stationärer Zustand Strömungsarbeit Subsysteme Systeme abgeschlossene geschlossene offen

9.4. 3.2.5. 2.3.3. 5.3.5. 5.3.5. 5.2. 2.2.4. 2.2. 2.2.1. 2.2.2. 2.2.2.

S

Temperatur Temperaturskala Temperaturskalen (versch.) thermodynamisches Gleichgewicht thermodynamisches Prozesse

3.2. 3.2. 3.2.5. 2.4. 2.5.

U Überströmversuch

6.1.

V Volumenarbeit Volumenänderungsarbeit Vorzeichenkonvention

6.6.1. 4.6.3. 4.1.1.

W Wärme Q Wärmekapazität Wegintegrale Wellenarbeit Wirkungsgrad

4.4.4. 5.9. 9.5. 4.4. 5.7.

X Y Z Zustandsgleichung allgemeine kanonische Zustandspostulat Zustandsvariable Zweiter Hauptsatz

- 140 -

3.3. 3.3. 8.2 4.6.5. 5.5.2. 7.