Thermodynamik I Formeln Tobi

4. September 2006

Inhaltsverzeichnis 1 Thermodynamische Systeme 1.1 Auftriebskraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 3

2 Erster Hauptsatz der Thermodynamik 2.1 Systemenergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Volumen¨anderungsarbeit WV im geschlossenem System 2.3 Druck¨anderungsarbeit WD im offenem System . . . . . 2.4 Reibarbeit WR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Innere Energie u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Enthalpie h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3 4 4 4 4 4 4

3 Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik 3.1 Entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Entropie¨anderung . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 ideale Gase . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 W¨arme¨ ubergang . . . . . . . . . . . 3.2.3 inkompressibles Fluid . . . . . . . . . 3.3 Exergie eines thermodynamischen Zustands 3.4 Exergiebilanz . . . . . . . . . . . . . . . . .

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5 5 5 5 5 5 6 6

4 Ideales Gas 4.1 Innere Energie u und Enthalpie h . . . . . . . . . . 4.2 Zusammenh¨ange zwischen cp und cv . . . . . . . . . 4.3 Zusammenh¨ange thermischer Zustandsgr¨oßen mit n 4.4 Quasistation¨are Zustands¨anderungen idealer Gase . 4.4.1 isochor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 isobar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.3 isotherm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.4 isentrop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.5 polytrop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Mischungen idealer Gase . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1 Mischungsregel . . . . . . . . . . . . . . . .

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6 6 6 7 7 7 8 8 9 10 11 12

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5 Reales Gas

12

6 Dampftafeln 13 6.1 Zweiphasengebiet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 6.2 Dampfgehalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 6.3 Lineare Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 7 Kreisprozesse 14 7.1 Isentroper Wirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 7.2 Gesamtwirkungsgrad η . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 7.3 Leistungsziffer ε . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 8 Konstanten

15

2

1 Thermodynamische Systeme offen m ˙ sys 6= 0 geschlossen m ˙ sys 6= 0 station¨ ar durchstr¨ omt m ˙ zu = m ˙ ab , E˙ sys = 0 adiabat w¨armeundurchl¨assig: Q˙ = 6 0 diabat w¨armeduchl¨assig: Q˙ = 0 isotherm Temperatur T konstant, n = 1 isobar Druck p konstant, n = 0 isochor Volumen V konstant, n = ∞ isentrop adiabat, reversibel, n = κ ¨ polytrop beliebige Anderung, n∈R

1.1 Auftriebskraft Fa = Vverdr¨angt ρverdr¨angt g − mstattdessen g p = F/A; m = vρ = V /v

2 Erster Hauptsatz der Thermodynamik Leistungsbilanz, bevorzugt f¨ ur station¨are Systeme E˙ sys =

X

Q˙ +

e˙ sys =

X

q˙ +

X

X

˙ + W

w˙ +

X

X

m(h ˙ + gz +

m(h ˙ + gz +

c2 ) 2

c2 ) 2

Energiebilanz, bevorzugt f¨ ur instation¨are Systeme Esys,2 − Esys,1 =

X

Q12 +

esys,2 − esys,1 =

X

q12 +

X

X

W12 +

X

m12 (h + gz +

c2 ) 2

w12 + (ha − he ) + g(za − ze ) + (

3

c2a c2e − ) 2 2

2.1 Systemenergie Esys = Epot + Ekin + Usys

2.2 Volumen¨ anderungsarbeit WV im geschlossenem System dWV = F~ d~s = pA ds = −p dV WV

=

wV

=

2

Z

−p dV

1 2

Z

−p dv

1

Nutzanteil Wn Wn = wn =

Z

2

−(p − p∞ ) dV

1

Z

2

1

−(p − p∞ ) dv

2.3 Druck¨ anderungsarbeit WD im offenem System wd =

Z

2

v dp

1

2.4 Reibarbeit WR WR,R¨uhrer = =

Z

ϕ2

Zϕ1 2

M dϕ M ω dt

1

2.5 Innere Energie u (Geschlossenes System) du = dq + p dv + dwR

2.6 Enthalpie h (Offenes System) dh

= du + v dp + p dv ideales Gas → c dT + v dp + p dv

4

3 Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik S˙ ges = • Adiabates System:

X

S˙ Q +

X

ms ˙ + S˙ irr

P ˙ SQ = 0

• Station¨ares System: S˙ ges = 0 • Geschlossenes System: m ˙ =0

3.1 Entropie

ds =

dh − v dp du + p dv = T T

3.2 Entropie¨ anderung 3.2.1 ideale Gase

s2 − s1

T2 + R ln = cv ln T  1 T2 = cp ln − R ln T1 





3.2.2 W¨ arme¨ ubergang q˙ T q s = T q˙ = T ds s˙ =

T : Temperatur an der Systemgrenze / Wand 3.2.3 inkompressibles Fluid

s2 − s1 = c(TM ) ln

5



T2 T1



v2 v1 ! p2 p1 

3.3 Exergie eines thermodynamischen Zustands geschlossenes System ex = −wmax = −(u1 − u∞ ) − T∞ (s1 − s∞ ) + p∞ (v1 − v∞ ) offenes System ex = −wmax = −(h1 − h∞ ) − T∞ (s1 − s∞ )

3.4 Exergiebilanz d Exsys ˙ q + Ex ˙ w + Ex ˙ m − Ex ˙ v = Ex dt Z 2  T∞ d Exsys (1 − = m ˙ )dq + wt + (ex + c dc + g dz) − exv dt T 1 Exv : Exergieverlust dq durch ersten Hauptsatz am System aufl¨osen mit T2∗ = T1



p2 p1

 κ−1 κ

= T1



v2 v1

κ−1

4 Ideales Gas 4.1 Innere Energie u und Enthalpie h du du u2 − u 1 dh dh

= = = = =

dq + p dv + dwR (allgemein) cv dT cv (TM ) · (T2 − T1 ) du + p dv + v dp (allgemein) cp dT

4.2 Zusammenh¨ ange zwischen cp und cv κ=

cp cv

V = const. / geschlossen: p = const. / offen: zusammen:

6

1 cv = κ−1 R κ cp = κ−1 R R = cp − cv

4.3 Zusammenh¨ ange thermischer Zustandsgr¨ oßen mit n n siehe Kapitel 1, Seite 3 pv n = const. p2 p1

T2 = T1 p2 = p1



v2 = v1



T2 T1 T2 T1

! n−1 n

v2 = v1 

n  n−1

=

v2 v1

=

p2 p1



1  1−n

1−n

−n !− 1

n

u 0 (∆e = 0) q12,rev c¯v 4.4.2 isobar p = p0 = const., dp = 0 n=0 dv = dT , pv = RT = const, v T

p2 p1

=

v2 v1

geschlossen dwv = −p dv = 0 → wv12 = −p0 (V2 − v1 ) w12 = −p0 (V2 − v1 ) + wR12 dq = du + p0 dv − dwR = T ds − dwR q12 = u2 − u1 + p0 (v2 − v1 ) − wR12 =

Z 1

2

T ds − wR12 = h2 − h1 − wR12

= c¯v (T2 − T1 ) − wR12 offen dwD = vdp = 0 Druck¨anderungsarbeit wt12 = wR12 + ∆e q12 = h2 − h1 − wR12 =

v T

=

1

2

T ds − wR12

wt12,rev q12,rev

= c¯v (T2 − T1 ) − wR12 R κ−1 = − =− < 0 (∆e = 0) c¯p κ

R v2 , p0 v1

T2 T1

4.4.3 isotherm T = T0 = const. n=1 v1 = pp21 dp + dv = 0, v2 p v

Z

=

8

geschlossen du = cv dT = 0 dv dw = −p dv + dwR − RT0 + dwR v v2 w12 = − RT ln( ) + wR12 | {z 0} v1 mv

|{z} p1 p2

dq = p dv − dwR = T0 ds − dwR v2 q12 = RT0 ln( ) − wR12 v1 = T0 (s2 − s1 ) − wR12 offen dh = cp dT = 0 wt12 =

Z

2

c dp + wR12 + ∆e p2 = RT0 ln( ) + wR12 + ∆e p1 1

Z

2

Z

2

T0 ds − wR12 v dp − wR12 = 1 1 p2 = −RT0 ln( ) − wR12 = T0 (s2 − s1 ) − wR12 p1 p2 v2 ln( ) = − ln( ) p1 v1 w12,rev = −1 (∆e = 0) q12,rev q12 = −

4.4.4 isentrop ds = dq + dwR = 0 n=κ p2 p1

=



v1 v2

−κ

=



T2 T1



κ κ−1

geschlossen

reversibel adiabat: dq = dwr = 0

dwrev = −p dv w12 = −

Z

2

p dv

1

dq = du + p dv = 0 −p dv = du = cv dT

9

T dv p dv = −(κ − 1) cv v RT1 T2 = u2 − u 1 = −1 κ − 1 T1 ! κ−1 RT1 p2 κ = −1 κ − 1 p1   RT1 v1 κ−1 −1 = κ − 1 v2

dT = − w12,rev

irreversibel diabat: dq = −dwr < 0

dw = −p dv + dwr w12 = −

Z

2

p dv + wR12 = w12,rev + w12,R

1

offen

reversibel adiabat: dq = dwr = 0 Z

wt12,rev =

2

v dp + ∆e

1

q12 = h2 − h1 − Z

Z

2

v dp = 0

1

2

1

v dp = h2 − h1 = cp (T2 − T1 ) v dp T dp = (κ − 1) cp κp   κ T2 = RT1 − 1 + ∆e κ−q  T1 ! κ−1 κ κ p 2 RT1  − 1 + ∆e = κ−q p1 = κw12,rev + ∆e

dT = wt12,rev

irreversibel diabat: dq = dwr = 0

wt12 =

Z 1

2

v dp + wR12 + ∆e = wt12,rev + wR12

wt12,rev = κw12,rev + ∆e 4.4.5 polytrop κ−n W12 κ−1  −n v2 = v1

Q12 = p2 p1

=



T2 T1



n n−1

; TT21 =



v1 v2

n−1

10

geschlossen Z

2

w12 = − p dv + wR12 1   RT1 T2 = − 1 + wR12 n − 1 T1  ! n−1 RT1  p2 n = − 1 + wR12 n−1 p1 Z

q12 = u2 − u1 +

2

p dv − wR12 R (T2 − T1 ) − wR12 cv (T2 − T1 ) − n − 1  T2 n−κ RT1 − 1 − wR12 (κ − 1)(n − 1) T1 κ−1 n−κ   RT1 T2 −1 n − 1 T1

= = w12,rev = q12,rev w12,rev =

1

offen wt12 = −

Z

2

v dp + wR12 + ∆e   T2 n RT1 − 1 + wR12 + ∆e = n−1 T1 ! n−1  n p n 2 = RT1  − 1 + wR12 + ∆e n−1 p1 1

q12 = h2 − h1 + = = wt12,rev = q12,rev w12,rev =

Z

2

v dp − wR12 nR cv (T2 − T1 ) − (T2 − T1 ) − wR12 n − 1  n−κ T2 RT1 − 1 − wR12 (κ − 1)(n − 1) T1 κ−1 (f¨ ur ∆e = 0) n n−κ   RT1 T2 n −1 n − 1 T1 1

4.5 Mischungen idealer Gase Index M : Mischung mi Mi Rm = γi = γi mM MM Ri vi Ri MM ni Molenbruch γi = = = ξi = ξi nM vM RM Mi

Massenverh¨altnis

ξi =

11

cv,M =

X

ξi · cv,i

i

pi = γi · pM RM MM i P X Rm mi = = γi · Mi = P RM ni i

RM = MM

X

ξi · Ri =

4.5.1 Mischungsregel

c1 m1 T1 + c2 m2 T2 + · · · = TM c1 m1 (T1 − TM ) = c2 m2 (TM − T2 )

??? Sonst u¨ber ersten Hauptsatz. 5 Reales Gas thermisch (Van der Waals) (p +

a ) · (v − b) = RT v2 2 a = 3pkrit vkrit =

b =

1 vkrit = 3 3ρkrit

kalorisch du = dv DT + f¨ ur du = 0:

T2 = T1 −

a cv



1 v2

−

1 v1



12

3pkrit ρ2krit

a dv v2

6 Dampftafeln 6.1 Zweiphasengebiet p6

u ¨berkritisch

s T6

p

KP

unterk¨ uhlt v

T u ¨berhitzt

Taulinie z’

T Siedelinie z” h

-

-

v

s T-s Diagramm und p-v-Diagramm f¨ ur Nassdampfgebiet u = h − pv verl¨auft mit st¨ arkerer Steigung als h

6.2 Dampfgehalt m00 mD = 0 mF l + mD m + m00 f¨ ur Zustandsgr¨oßen z : h, u, v, s z − z0 x = z 00 − z 0 ⇒ z = z 0 + x(z 00 − z 0 ) x =

Innere Energie: u = h − pv , p in [bar] · 100

6.3 Lineare Interpolation y − y0 y 00 − y 0 = x − x0 x00 − x0 y = y 0 + (x − x0 ) ·

13

y 00 − y 0 x00 − x0

7 Kreisprozesse rechtslaufend W¨armekraftprozesse einphasig

Joule s-p-s-p Rankine s-p-s-p

zweiphasig

Otto s-v-s-v

Diesel s-p-s-v

Seiliger s-v-p-s-v

Carnot s-T-s-T

Stirling T-v-T-v

Ericsson T-p-T-p

Bei Carnot, Stirling und Ericsson-Prozess gilt: ηc = ηth (Nur theoretisch funktionierene Prozesse) linkslaufend K¨alteprozesse, W¨armepumpen

7.1 Isentroper Wirkungsgrad Turbine Verdichter

h2 − h1 ideales Gas T2 − T1 → h∗2 − h1 T2∗ − T1 ∗ h − h1 ideales Gas T2∗ − T1 = 2 → h2 − h1 T2 − T1

ηis,T = ηis,V

h∗2 hat die selbe Entropie s wie in Zustand h1 ! T2∗ T1

=



p2 p1

 κ−1 κ

=



v2 v1

1−κ

7.2 Gesamtwirkungsgrad η

ηges =

|Nutzen| − |Pel,Speisepumpe | |Aufwand|

7.3 Leistungsziffer ε |Q| |Pel |

P

ε=

14

8 Konstanten Rm = 8, 314 molJ K R = RMm V v=m g pV A M=m = nRT = mN n N mol N 1 NA = 6, 022 · 1023 mol N b · 105 m bar ↔ N/m2 1bar=1 2 −3 3 1` 10 m 1cm3 10−6 m3 0◦ C 273, 15K

allgemeine Gaskonstante spezifische Gaskonstante spezifisches Volumen Molmasse Teilchenzahl Avogadrokonstante

15