Physik I im Studiengang Elektrotechnik

- Systeme von Massenpunkten -

Prof. Dr. Ulrich Hahn WS 2015/2016

System von Massenpunkten ein Massenpunkt:

Bewegungszustand 

extensive Größen

Kapazität * intensive Größe System aus vielen Massenpunkten: keine Wechselwirkung starke Wechselwirkung, relative Positionen fest: starrer Körper starke Wechselwirkung, relative Positionen variabel: deformierkurzfristige Wechselwirkung: Kollisionen

barer Körper

Mengeneigenschaft extensiver Größen   .pSystem   pi i

.ESystem   Ei Systeme von Massenpunkten

i

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Schwerpunkt Newton III: abgeschlossenes System: nur „innere Kräfte“ wirken   dpi d d   i Fi  0  i dt  dt  pi  dt pSystem i   pSystem  const .

  p  pSystem : gleichförmige Bewegung  „Ersatzobjekt“ mit  „Ersatzobjekt“: Schwerpunkt, Massenmittelpunkt Ortsvektor des Schwerpunktes:

M S   mi i

1   sS    mi  si MS i

Schwerpunktsatz: Der Schwerpunkt eines abgeschlossenen Systems ist in Ruhe oder bewegt sich gleichförmig Systeme von Massenpunkten

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Berechnung des Schwerpunktes  sS 



 mi  si

i

M

 mi  (si )  Vi Kontinuierliche Massenverteilung:      ( x)  x  dV   ( xi )  xi  Vi      V   x i   S  1    1  ( y )  y  dV  sS   yS   ( yi )  yi  Vi  Vi  0 s S     M M  z i   V  S    ( zi )  zi  Vi   ( z )  z  dV       i  V  

  

  

 Zusammengesetzter Körper: sS 

Aussparungen: Dynamik Drehbewegungen

  1  ( M 1  s1  M 2  s2  ....) M 1  M 2  ...

 " mA  rA" 4

Einfluss von äußeren Kräften äußere Kräfte:

ändern die Impulse einzelner Massenpunkte  ext dp i Fi  dt   ext  dpi d d   pi  p Syst   Fi   dt i dt i i dt

Gesamtkraft auf das System

beschleunigt den Schwerpunkt

gleiche Kraft auf alle Massenpunkte unterschiedliche Kräfte auf einzelne Massenpunkte  ext  F  M S  aS Systeme von Massenpunkten

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Unelastische Stöße Keine äußeren Kräfte:

 p1

2 Objekte kollidieren und bleiben in Kontakt

 pS

 p2

  p1  p2   vend  vS  m1  m2   d p 1 Änderung der Impulse:  F1 (t ) dt   dp1  F1 (t )  dt tE    p1 (Ende)  p1 (Anfang)   F1 (t )  dt Systeme von Massenpunkten

Kraftstoß

tA

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Kraftstöße Modelle für den zeitlichen Verlauf der Kraft:

F1 (t ) : t  t1 :

F1 (t )  0

F1

F1 (t ) : t  t2 : F1 (t )  0

t1

t2

t

Konkreter Verlauf von F1(t) spielt keine Rolle! Relevante Größen für eine Kollision: Impulse vor der Kollision Impulse nach der Kollision Systeme von Massenpunkten

leicht messbar

Art des Stoßes

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Stoßgeometrie unterscheiden:

geraden Stoß schiefer Stoß

  p1 , p2 kollinear   p1 , p2 nicht kollinear

Transformation in ein Koordinatensystem, in dem der Schwerpunkt ruht (Schwerpunktsystem):  pS  vS  Schwerpunktgeschwindigkeit: m1  m2

*   Impulse im Schwerpunktsystem: p1  m1  (v1  vS )    p*2  m2  (v2  vS )

   µ  (v1  v2 )    µ  (v2  v1 )

reduzierte Masse

Schwerpunktsystem: immer gerader Stoß Systeme von Massenpunkten

  p*2   p1* 8

„umgekehrter“ unelastischer Stoß ' p2

 pS     p(Anfang)  pS  p1'  p'2

 p1'

 Rückstoß beim Gewehr  Entkorken einer Sektflasche  Zerfall von Atomkernen

Systeme von Massenpunkten

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Energiebilanz beim unelastischen Stoß Keine Beeinflussung durch äußere Kräfte vor dem Stoß: nach dem Stoß:

p1 ² p2 ² Ekin   2  m1 2  m2 E

' kin

pS ²  2  ( m1  m2 )

' Ekin  Ekin

Entzug mechanischer Energie

 Wärme

Umgekehrter unelastischer Stoß: Zufuhr mechanischer Energie chemische Energie Entspannen von Gas Kernenergie Systeme von Massenpunkten

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Sonderfälle: Massenströme mT

Massenstrom m T  const . relativ zur Rakete : vT  const .

* Zum Zeitpunkt t = 0 im Schwerpunktsystem: mR (0), vR  vR  0 t  t (mR (0)  mT )vR* (t )  mT vT  0 vS (t )  0

vS (2t )  vR (t ) mT vT Geschwindigkeitszuwachs: vR  vR (nt )  vR ((n  1)t )   mR (nt ) Nebenbedingung: mT  mR m vE  vT  ln E lim mT  0: Differentialgleichung: mA mT v   v  ln ( 1  ) Ziolkowskische Raketengleichung E T mleer Systeme von Massenpunkten 12

t  2t

(mR (t )  mT )vR* (2t )  mT vT  0

Elastische Stöße Wechselwirkung beim Stoß ist konservativ  Erhaltung der mechanischen Energie:

p1 ² p ² p' ² p' ²  2  1  2 2  m1 2  m2 2  m1 2  m2     p1  p2  p'1  p'2 Schwerpunktsystem:

* * p1   p2 ;

* * p   p zentrale gerade Stöße: 1 1' ;

Rücktransformation:

Systeme von Massenpunkten

‘ : nach dem Stoß

* * p1 '   p2'



p*2   p*2'

   p'1   p1  2  m1  vS    v'1  v1  2  vS

   p'2   p2  2  m2  vS    v'2  v2  2  vS 13

Stoßgeometrie p1* ²  p1* '² 

 p*2 ' * p1

* = 180°:

* p2

* * p1 '

Beträge der Impulse sind gleich:

Streuwinkel *: Stoßgeometrie Kraftwirkung

zentraler Stoß gerade

*  180°: Systeme von Massenpunkten

schief

 Rotation



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gerader elastischer Stoß: Sonderfälle m1  m2 :

v1'  v2 ;

v2'  v1

Impulsübertrag: p1 : p1  p1'  p2

 m1  (v1  v2 )

m1 (v1 ²  v1'² )  Ekin,2 2 m1 Ekin,1  (v1 ²  v2 ² ) 2

Energieübertrag: Ekin,1 

m1  m2 :

Kollision mit einer Wand:

p1'   p1 ; p2'  p2  0

p1  2  p1  2  m1  v1

Ekin  0 Überlagerung mit v // Wand: Einfallswinkel = Ausfallswinkel Systeme von Massenpunkten

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Elastische Mehrkörperstöße (eindimensional) Während des Stoßes: alle Objekte in Kontakt nach dem Stoß: keine weitere Wechselwirkung Impulserhaltung Energieerhaltung

Keine eindeutige Berechnung der Impulse nach dem Stoß

Vereinfachung:

vor dem Stoß: 2 Gruppen von Kugeln, die sich berühren

eine der Gruppen ruht im Laborsystem

Systeme von Massenpunkten

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3 Kugeln: m1= m2= m3; 2 Kugeln ruhen Impulserhaltung: pges  mv1

v2

p‘i  Ebene

Energieerhaltung: m 2 E ges  v1 2 p‘i  Kugel p- & E-Erhaltung: p‘i  Kreis Ordnung der vi: p‘i  Kreissegment Systeme von Massenpunkten

v1 v3

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3 Kugeln: m1= m2= m3; 1 Kugel ruht v2

Impulserhaltung: pges  2mv1 p‘i  Ebene

Energieerhaltung: m 2 E ges  2 v1 2 p‘i  Kugel p- & E-Erhaltung: p‘i  Kreis Ordnung der vi: p‘i  Kreissegment Systeme von Massenpunkten

v3

v1 18

Beispiele Mehrkörperstöße Beispiele:

 3 Kugeln: m1 = m2 = m3 = m; 2 Kugeln ruhen  3 Kugeln: m1 = m2 = m3 = m; 1 Kugel ruht  

5 Kugeln: m1 = m2 = m3 = m4 = m; m5 = 4m; 1 Kugel ruht 5 Kugeln: m2 = m3 = m4 = m; m1 = 2m; m5 = 3m; 1 Kugel ruht

Endgeschwindigkeiten werden am besten beschrieben durch paarweise Stöße, die immer dann erfolgen, wenn die Geschwindigkeiten benachbarter Kugeln nicht geordnet sind.

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