Fachbereich Elektrotechnik und Informatik; Bochum University of Applied Sciences

Modellbildung und Modellierungstiefe in Modelica am Beispiel einer Laufkatze Hausarbeit im Studiengang Mechatronik & Informationstechnologie

Patrick Bouillon

∗

Version vom 26. M¨arz 2014

Betreut von Prof. Dr. rer. nat. J¨org Frochte

∗

[email protected]

Copyright und Bildquellen

Text: Copyright (c) 2014 Patrick Bouillon Bilder und Skizze: Copyright (c) 2014 Patrick Bouillon Lizenz: CC-by-nc-nd (Version 3.0) http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/de/legalcode Den rechtsverbindlichen Lizenzvertrag finden Sie unter dem oben angegebenen Link. Es folgt eine vereinfachte Zusammenfassung des Vertrags in allgemeinverst¨andlicher Sprache ohne juristische Wirkung. Es ist Ihnen gestattet das Skript zu vervielf¨altigen, zu verbreiten und ¨offentlich zug¨anglich zu machen sofern Sie folgende Bedingungen einhalten: • Namensnennung: Sie m¨ ussen die Urheberschaft ausreichend deutlich benennen, einen Link zur Lizenz beif¨ ugen. Diese Angaben d¨ urfen in jeder angemessenen Art und Weise gemacht werden, allerdings nicht so, dass der Eindruck entsteht, der Lizenzgeber unterst¨ utze gerade Sie oder Ihre Nutzung des Werks besonders. • Keine kommerzielle Nutzung: Sie d¨ urfen das Material nicht f¨ ur kommerzielle Zwecke nutzen. • Keine Bearbeitung: Wenn Sie das Material remixen, ver¨andern oder darauf anderweitig direkt aufbauen, d¨ urfen Sie die bearbeitete Fassung des Materials nicht verbreiten. • Lizenzangabe: Sie m¨ ussen anderen alle Lizenzbedingungen mitteilen, die f¨ ur dieses Werk gelten. Am einfachsten ist es, wenn Sie dazu einen Link auf den Lizenzvertrag (siehe oben) einbinden. Abweichende Lizenzen f¨ ur einzelnen Bilder und Skizzen werden ggf. separat angegeben. Es wurde jedoch darauf geachtet, dass keine dieser Lizenzen die M¨oglichkeiten der Rechte im obigen Sinne einschr¨ anken. Codebeispiele d¨ urfen unter der BSD-3-Clause http://opensource.org/licenses/BSD-3-Clause verwendet und weitergegeben werden.

Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung

2

2 Grundlagen 2.1 Simulationsmodell und Modellierungstiefe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Modellierung in der technischen Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Grundlagen der Modellierung in Modelica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 3 3 4

3 Modellierung am Beispiel der Laufkatze 3.1 Herleitung des allgemeinen Modells . . . . . . . . 3.2 Laufkatze mit Punktmasse . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Nichtlineares Modell . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Linearisertes Modell . . . . . . . . . . . . 3.3 Laufkatze mit homogenem Massenstab . . . . . . 3.4 Laufkatze mit inhomogenem Massenstab . . . . . 3.5 Rahmenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Reibungsmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.1 Reibung der Laufkatze . . . . . . . . . . . 3.6.2 Lagerreibung im Drehpunkt P . . . . . . 3.7 Modelica-Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.1 Einfache Fahrten mit geringer Auslenkung 3.7.2 L¨ angenvariation . . . . . . . . . . . . . . 3.7.3 Wegevariation (Stop and go) . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

5 5 7 7 7 8 9 11 11 11 11 13 13 15 17

4 Ergebnisse 4.1 Einfache Fahrten mit geringer Auslenkung 4.2 Einfache Fahrten mit großer Auslenkung . 4.3 Stabl¨ angenvariation . . . . . . . . . . . . 4.4 Wegevariation (Stop and go) . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

18 18 21 24 26

5 Fazit

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

29

1

1 Einleitung

Abbildung 1.1: Portalkran in Rotterdam Portalkr¨ ane oder Turmdrehkr¨ ane besitzen eine bewegliche Laufkatze, welche eine angeh¨angte Last auf der gesamten L¨ ange des Krans verschieben kann. Die Last wird an ein Stahlseil mit Haken geh¨ angt, sodass bei einer Bewegung der Laufkatze die Last als Pendel wirkt. Diese Pendelwirkung vermindert die Kontrolle u ¨ber die Last und muss soweit wie m¨oglich vermieden werden. Deshalb wird die Bewegung der Laufkatze durch einen Regler gesteuert, der verhindert dass sich die Last aufschwingen kann. In der Regelungstechnik wird oft mit linearen Modellen gearbeitet. Eine Linearisierung ist in dem Fall der Laufkatze aber nur m¨ oglich, wenn die Last nicht zu sehr ausgelenkt ist, da das Modell andernfalls zu sehr von der Realit¨ at abweichen w¨ urde. Da aber der Regler genau diese zu starke Auslenkung verhindern soll, und bewiesen wurde, dass das System regelbar ist, kann auch eine Linearisierung vorgenommen werden. Eine solche Regelung ist eine Standartaufgabe der Regelungstechnik. Daher sind entsprechende linearisierte Modelle weit verbreitet. F¨ ur diesen Fall ist das linearisierte Modell auch vollkommen ausreichend. Allerdings sind auch andere Szenarien m¨oglich, in dem von einer h¨oheren Auslenkung ausgegangen wird und das Modell unbrauchbar wird. Hier kann also eine h¨ohere Modellierungstiefe interessant sein, in der die Realit¨ at genauer abgebildet wird. Die Entscheidung, wann ein Modell nicht mehr verwendet werden kann, weil die Modellierungstiefe nicht ausreichend ist, ist nicht trivial. Es kommt darauf an, wof¨ ur das Modell verwendet wird, und unter welchen Vorraussetzungen und Vereinfachungen es erstellt wurde. Im Weiteren soll untersucht werden, wann sich Modelle einer Laufkatze mit verschiedener Modellierungstiefe unterscheiden. Diese Modelle werden hergeleitet und anschließend in Modelica simuliert und untereinander verglichen.

2

2 Grundlagen 2.1 Simulationsmodell und Modellierungstiefe Oft werden Probleme, die in der Realit¨at auftreten, versucht in einer Computersimulation zu l¨osen. Dazu ist es n¨ otig, ein Modell dieses Problems zu erstellen, mit dem der Computer arbeiten kann. Ein Simulationsmodell stellt ein Abbild der Wirklichkeit dar, bei dem nur die f¨ ur Simulation wichtigen Eigenschaften in das Simulationsmodell u ¨bertragen werden. Allerdings bringt diese Beschr¨ ankung auf das wirklich Notwendige auch immer Ungenauigkeiten des Modells mit sich. So wird eine fallende Kugel beispielsweise oft bei der Modellbildung als Massenpunkt gesehen und der Fall in einem luftleeren Raum, um das Modell einfach zu halten. Eine solche Beschr¨ankung des Modells macht das Modell aber wiederum ungenau, da die Luftreibung die Kugel abbremst. So entsteht eine Abweichung zwischen Realit¨at und Modellierung. Wie genau das Modell abbilden muss, – also welcher Unterschied zwischen Modell und Realit¨at noch toleriert wird – h¨angt somit immer von der Situation ab. Die Modellierungstiefe eines Modells beschreibt diese Genauigkeit. Je tiefer ein Modell abbildet, desto genauer und komplexer wird es. Das Modell der Kugel als Massenpunkt in einem luftleeren Raum w¨ are ein Modell mit einer sehr geringen Modellierungstiefe. Ein anderes Modell, welches eine ausgedehnte Kugel in einem luftgef¨ ullten Raum mit Luftreibung, Temperatur und Luftdruck simuliert ist um einiges aufwendiger. Dieses aber besitzt auch eine viel gr¨oßere Modellierungstiefe. In welcher Form das Simulationsmodell abgebildet wird, h¨angt vorallem mit der weiteren Verwendung zusammen. Wird mit Modelica gearbeitet, bietet sich ein mathematisches Modell an. »Mathematical model - a description of a system where the relationships between variables of the system are expressed in mathematical form. Variables can be measurable quantities such as size, length, weight, temperature, unemployment level, information flow, bit rate etc. Most laws of nature are mathematical models in this sense. For example, Ohm’s law describes the relationship between current and voltage for a resistor; Newton’s laws describe relationships between velocity, acceleration, mass, force, etc.« [1] Es muss also eine mathematische Gleichung – bei komplexen Systemen oft mehrere – gefunden werden werden, die das zu simulierende System beschreibt.

2.2 Modellierung in der technischen Mechanik Die mathematische Darstellung von Vorg¨angen in der technischen Mechanik kann mit Hilfe von verschiedenen Ans¨ atzen erfolgen: • »Klassische Mechanik« (auch: Newton-Mechanik): Diese basiert auf den Newtonschen Gesetzen. Es werden Kr¨ afte eingef¨ uhrt, die eine Beschleunigung einer Masse hervorrufen. Damit lassen sich Bewegungsgleichungen aufstellen, die die Bewegung zu jedem Zeitpunkt beschreiben. • »Lagrange Mechanik« Beschreibung eines dynamischen Systems durch eine einzige LagrangeFunktion. Betrachtet werden hier die kinetische und potentielle Energie eines Objektes.

3

• » Hamiltonsche Mechanik « Diese Methode ist die am meisten verallgemeinerte Methode in der Mechanik und bedient sich von generalisierten Geschwindigkeiten und Impulsen. Sie spielt vor allem in der Quantenmechanik eine große Rolle. Die Herleitung der mathematischen Beziehungen mit der Newton-Mechanik verl¨auft meißt ¨ahnlich ab. Sie l¨ asst sich in Unterpunkte aufteilen: 1. Gedankliches Isolieren des Systems von der Umwelt. Dazu muss schon bekannt sein, welche Modellierungstiefe das Modell haben soll, da nicht relevante Gr¨oßen nicht mehr aufgef¨ uhrt werden. Es wird eine Skizze angefertigt, in der alle bekannten und unbekannten Kr¨afte des Systems mit Kraftpfeilen eingetragen werden. 2. Freischneiden der Teilobjekte: Da das Gesamtsystem oft aus vielen kleinen Objekten zusammengesetzt wird, ist es einfacher das System aufzuteilen. Dazu schneidet man an geeigneten Stellen das System auf. Diese Verbindungsstellen d¨ urfen aber nicht einfach ignoriert werden, da dort Kr¨ afte u ussen an den Ber¨ uhrungsstellen ¨bertragen werden k¨onnen. Deswegen m¨ Kr¨afte eingef¨ uhrt werden, die an den beiden Objekten in genau entgegen gesetzte Richtungen auftreten. Diese beruhen auf dem 3. Newtonschen Gesetz (Actio = Reactio) und beeinflussen – da sie genau entgegengesetzt mit der gleichen Kraft wirken – das Gesamtsystem nicht. 3. Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen f¨ ur die einzelnen Teilk¨orper. m¨ x=

N X

Fx i

(2.1)

Fy i

(2.2)

MS i

(2.3)

i=1

m¨ y=

N X i=1

θϕ¨ =

N X i=1

Die eingef¨ uhrten Scheinkr¨ afte an den Verbindungsstellen der Teilobjekte lassen sich mit Kombination der einzelnen Gleichgewichtsbedingungen eliminieren. Dadurch lassen sich f¨ ur jedes Objekt Bewegungsgleichungen aufstellen. Diese beschreiben den genauen Verlauf der einzelnen Objekte.

2.3 Grundlagen der Modellierung in Modelica Modelica ist eine objektorientierte Programmiersprache, die speziell f¨ ur die Modellierung von Modellen und ihre Simulation entworfen wurde. Auf OpenSource basis existiert die OpenModelica, welche urspr¨ unglich allerdings ohne grafische Benutzeroberfl¨ache designed worden ist. Sp¨ater wurde dann der OMEdit ver¨ offentlicht, der eine begrenzt funktionsf¨ahige Weboberfl¨ache bietet. Modelica besitzt wie jede Programmiersprache auch einen Compiler. Dieser erzeugt allerdings keine ausf¨ uhrbare Anwendung, sondern wandelt den geschriebenen Code in C/C++ Code, von dem dann – mit einem herk¨ ommlichen C/C++ Compiler – ausf¨ uhrbarer Code erzeugt wird. Das Modell muss vorher vom Anwender in eine oder mehrere mathematische Gleichungen umgewandelt werden, da Modelica vorwiegend nur mit mathematischen Gleichungen arbeitet. Wird die grafische Benutzeroberfl¨ ache benutzt, ist es auch m¨oglich Modelle aus bestehenden Elementen zusammenzusetzen, ohne direkt mathematische Modelle bilden zu m¨ ussen. Allerdings muss beachtet werden, dass diese Elemente auch auf solche mathematischen Modellen basieren. Um mit Differentialgleichungen h¨ oherer Ordnungen zu Arbeiten, m¨ ussen diese immer in ein System von Differentialgleichungen 1. Ordnung u uhrt werden. ¨berf¨

4

3 Modellierung am Beispiel der Laufkatze

M E P F D m

mg Abbildung 3.1: Prinzipskizze der Laufkatze

3.1 Herleitung des allgemeinen Modells Die im Weiteren zu untersuchenden Modelltiefen basieren alle auf den gleichen Bewegungsgleichungen, variieren aber im Massentr¨ agheitsmoment des Pendels. Die Bewegungsgleichungen werden mit einem Modell hergeleitet, bei dem das Massentr¨agheitsmoment θ noch nicht bekannt ist. Zur Herleitung der Differentialgleichungen wird das System im Stab getrennt und einzeln freigeschnitten. Sy Sx E

P

x

l

M E

Sx F

Sy

ϕ

P

m

y¨L x ¨L

D

mg Abbildung 3.2: Freigeschnittener Wagen

Abbildung 3.3: Freigeschnittenes Pendel

Durch Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen ergeben sich folgende Gleichungen: Mx ¨ = −Sx + F − D

(3.1)

m¨ xL = Sx

(3.2)

m¨ yL = −mg + Sy

(3.3)

5

Aufstellen der Gleichung f¨ ur xL und Ableitungen bis x ¨L : xL = x + l sin(ϕ) x˙ L = x˙ + ϕl ˙ cos(ϕ) x ¨L = x ¨ − ϕ˙ 2 l sin(ϕ) + ϕl ¨ cos(ϕ)

(3.4)

Aufstellen der Gleichung f¨ ur yL und Ableitungen bis y¨L yL = l − l cos(ϕ) y˙ L = ϕl ˙ sin(ϕ) y¨L = ϕ˙ 2 l cos(ϕ) + ϕl ¨ sin(ϕ)

(3.5)

Durch Addition von Gl. (3.1) und (3.2) ergibt sich: Mx ¨ − F + D = −m¨ xL

(3.6)

Einsetzen von x ¨L aus Gl. (3.4) in (3.6)   Mx ¨−F +D =−m x ¨ − ϕ˙ 2 l sin(ϕ) + ϕl ¨ cos(ϕ) Mx ¨ − F + D = − m¨ x + ϕ˙ 2 ml sin(ϕ) − ϕml ¨ cos(ϕ) Damit ergibt sich die 1. Differentialgleichung des Systems: (M + m)¨ x = ϕ˙ 2 ml sin(ϕ) − ϕml ¨ cos(ϕ) + F − D

(3.7)

F¨ ur die 2. Differentialgleichung werden die Gleichungen (3.2) und (3.3) des freigeschnittenen Pendels nach S umgestellt. Sx = m¨ xL Sy = m¨ yL + mg Eingesetzt in den Momentensatz um den Schwerpunkt des Pendels ergibt dies: θS ϕ¨ = −Sx l cos(ϕ) − Sy l sin(ϕ) − E θS ϕ¨ = −m¨ xL l cos(ϕ) − m¨ yL l sin(ϕ) − mgl sin(ϕ) − E Einsetzen von x ¨L und y¨L aus Gl. (3.4) und Gl. (3.5)   θS ϕ¨ = −m x ¨ − ϕ˙ 2 l sin(ϕ) + ϕl ¨ cos(ϕ) l cos(ϕ)   − m ϕ˙ 2 l cos(ϕ) + ϕl ¨ sin(ϕ) l sin(ϕ) − mgl sin(ϕ) − E ⇔ θS ϕ¨ = [−m¨ x + ϕ˙ 2 ml sin(ϕ) − ϕml ¨ cos(ϕ)]l cos(ϕ) [−ϕ˙ 2 ml cos(ϕ) − ϕml ¨ sin(ϕ)]l sin(ϕ) − mgl sin(ϕ) − E ( 2 ((((( ⇔ θS ϕ¨ = −¨ xml cos(ϕ) + ( ϕ˙ 2( ml( cos(ϕ) sin(ϕ) − ϕml ¨ 2 cos2 (ϕ) ( ( 2 (((( −ϕ ˙ 2 ml sin(ϕ) − ϕml ¨ 2 sin2 (ϕ) − mgl sin(ϕ) − E ((cos(ϕ) ( ( ⇔ θS ϕ¨ = −¨ xml cos(ϕ) − ϕml ¨ 2 (sin2 (ϕ) + cos2 (ϕ)) − mgl sin(ϕ) − E ⇔ θS ϕ¨ = −¨ xml cos(ϕ) − ϕml ¨ 2 − mgl sin(ϕ) − E Damit ergibt sich die 2. Differentialgleichung des Systems:
θS + ml2 + ϕ¨ = −¨ xml cos(ϕ) − mgl sin(ϕ) − E

(3.8)

Die berechneten Differentialgleichungen sind allgemeing¨ ultig f¨ ur eine pendelnde Masse. Die L¨ange l bezieht sich auf den Schwerpunkt des Pendels, θS ist das Massentr¨agheitsmoment um den Schwerpunkt des Pendels.

6

3.2 Laufkatze mit Punktmasse Die Laufkatze soll nun mit einer Punktmasse als Pendel modelliert werden. Die Punktmasse befindet sich im Abstand l vom Drehpunkt P entfernt. Sy Sx

P

l

ϕ mg Abbildung 3.4: Prinzipskizze Pendel 3.2.1 Nichtlineares Modell Eine Punktmasse besitzt kein Massentr¨agheitsmoment um ihren Schwerpunkt. Somit gilt: θS = 0 Damit ergeben sich die beiden Differentialgleichungen: (M + m)¨ x = ϕ˙ 2 ml sin(ϕ) − ϕml ¨ cos(ϕ) + F − D 2

ml ϕ¨ = −¨ xml cos(ϕ) − mgl sin(ϕ) − E

(3.9) (3.10)

3.2.2 Linearisertes Modell Um das Modell der Laufkatze mit Punktmasse zu linearisieren, wird angenommen, dass ϕ nur kleine Auslenkungen haben wird. F¨ ur hinreichend kleine Auslenkungen k¨onnen folgende N¨aherungen getroffen werden: cos(ϕ) ≈ 1 sin(ϕ) ≈ ϕ Bis zu welchem Winkel die N¨ aherung akzeptiert werden kann, h¨angt von der Fehlertoleranz der Simulation ab. H¨ ohere Winkel rufen gr¨oßere Abweichungen hervor. Tabelle 3.1 zeigt einige relative Fehler, die bei unterschiedlichen Auslenkungen entstehen. Trotzdem wird oft die Kleinwinkeln¨ aherung verwendet, da so Probleme oft analytisch gel¨ost werden k¨onnen.

N¨ aherung cos(ϕ) ≈ 1 sin(ϕ) ≈ ϕ

Tabelle 3.1: Relative Abweichungen der Kleinwinkeln¨aherung π π π x = 36 = 5◦ x = 24 = 7, 5◦ x = 18 = 10◦ 3, 8 × 10−3 9 × 10−3 1, 5 × 10−2 −3 −3 1, 3 × 10 3 × 10 5 × 10−3

Damit ergeben sich die beiden Differentialgleichungen: (M + m)¨ x = ϕ˙ 2 mlϕ − ϕml ¨ +F −D 2

ml ϕ¨ = −¨ xml − mglϕ − E

(3.11) (3.12)

7

3.3 Laufkatze mit homogenem Massenstab Die Laufkatze bekommt nun anstatt der Punktmasse einen Massenstab mit homogener Dichte. Die Differentialgleichungen bleiben bestehen, allerdings besitzt der Massenstab ein anderes Massentr¨ agheitsmoment um seinen Schwerpunkt. Dieser liegt genau in der Mitte des Stabes. Der Stab hat die Querschnittsfl¨ ache A, die L¨ ange L und die Dichte ρ. ρ Sy Sx

P

l

L = 2l

ρ

ρ(r) r

ϕ mg

A

−l

0

+l

r

Abbildung 3.6: Dichteverlauf des Pendels

Abbildung 3.5: Prinzipskizze Pendel

Das Massentr¨ agheitsmoment θS bez¨ uglich des Schwerpunkts des Pendels ergibt sich: Z 2 θS = (~r⊥ ) ρ(~r)dV V l

Z =

r2 ρA dr = ρA

Z

−l

r2 dr

−l



1 = ρA r3 3 θS =

l

l

 = ρA

−l

2 2 ρAl3 = ρA 3 3

   1 3 1 2 3 l − (−l) = ρAl3 3 3 3

 3 L 1 = ρAL3 2 12

(3.13)

Mit der Masse des Pendels m = ρAL = 2ρAl, wobei alle Faktoren konstant sind, ergibt sich: θS =

1 1 mL2 = ml2 12 3

(3.14)

Um bei der sp¨ ateren Verwendung auch Vergleichbarkeit herzustellen, ist zu beachten, dass die L¨ ange l hier die L¨ ange bis zum Schwerpunkt des Stabes darstellt, die L¨ange L aber die L¨ange des Stabes selbst. Der Schwerpunkt ist hier, da eine homogene Massenverteilung im Stab vorliegt, genau in der Mitte des Stabes. Damit ergeben sich die beiden Differentialgleichungen: (M + m)¨ x = ϕ˙ 2 ml sin(ϕ) − ϕml ¨ cos(ϕ) + F − D   4 2 ml ϕ¨ = −¨ xml cos(ϕ) − mgl sin(ϕ) − E 3

(3.15) (3.16)

Zudem ergibt sich die L¨ angenzuordnung: l=

8

1 L 2

(3.17)

3.4 Laufkatze mit inhomogenem Massenstab Da in der Realit¨ at das Stahlseil mit dem Kranhaken unterschiedliche Massenverteilungen darstellen, kann es durchaus sinnvoll sein, diese auch zu beachten. Deshalb wird ein weiteres Modell ben¨ otigt, welches beachtet, dass der Massenstab eine nichtkonstante Massenverteilung besitzt. Diese Massenverteilung muss mit einer Funktion beschrieben werden. Diese Funktion ist willk¨ urlich, und soll sich daran anlehnen, dass in der Realit¨at die gr¨oßte Masse im unteren Abschnitt des Massenstabs versammelt ist. Deshalb wird in diesem Beispiel die Dichte des Stabes mit Abstand vom Drehpunkt quadratisch gr¨ oßer. ρ0 und x20 dienen nur zur Korrektur der Einheiten. Der Einfachheit halber haben beide Faktoren den Wert 1. F¨ ur die Berechnung des Massentr¨ agheitsmomentes wird noch die Funktion ρ(r) ben¨otigt. Diese ist nach links verschoben um bei r den gleichen Dichteverlauf im Stab abzubilden. ρ(x) = ρ0

x2 x20

ρ(r) = ρ0

(r + l)2 r0 2

(3.18)

ρ Sy P

x Sx

L l ρ(r)

ϕ

ρ(x)

ρ(r) r A mg −l

Abbildung 3.7: Prinzipskizze Pendel

0

(L − l)

r, x

L

Abbildung 3.8: Dichteverlauf des Pendels

Zur Berechnung des Massentr¨ agheitsmomentes ist es unbedingt notwendig, den Schwerpunkt des Pendels zu bestimmen. Die L¨ ange l stellt hier die L¨ange vom Drehpunkt P bis zum Schwerpunkt dar. Die Gesamtl¨ ange ist L. Bei einem inhomogenen Massenstab liegt der Schwerpunkt nicht genau in der Mitte. Dieser ist abh¨ angig von der Massenverteilung. Da der Querschnitt u ¨ber dem gesamten Stab konstant ist, l¨ asst sich der Schwerpunkt als Fl¨ achenschwerpunkt der Dichtefunktion (3.18) sehen: Z 1 rS = r dA (3.19) Ages A Die Fl¨ ache der Dichtefunktion Aρ(x) u ¨ber die L¨ange L betr¨agt: Z L Z ρ0 L 2 1 ρ0 3 L Aρ(x) = ρ(x) dx = 2 x dx = x 3 x20 0 0 0 Damit ergibt sich der Schwerpunkt des inhomogenen Massenstabs mit: Z L Z L 1 3x20 ρ0 3 ρ(x)x dx = l= x dx Aρ(x) 0 ρ0 L3 0 x20  L 3x20 ρ0 3 4 = x ρ0 L3 x20 4 0 3 l= L 4

(3.20)

(3.21)

9

Die konstante Querschnittsfl¨ ache des Stabes ist A und die L¨ange L. Dieser hat die Masse m. Diese ergibt sich aus dem Integral der Dichte u ¨ber die L¨ange. Um das Massentr¨agheitsmoment einheitenkonform zu berechnen, wird hier schon der berechnete Schwerpunkt benutzt und die Dichtefunktion ρ(r). Deswegen l¨ auft das Integral von − 43 bis 14 L: 1 4L

Z

Z

2

L

(r + l) dr r02 − 34 L 0 2 Z 1  Z 1 ρ0 4 L 2 3 ρ0 4 L 9 3 dr = A 2 =A 2 r+ L r + Lr + L2 dr r0 − 34 L 4 r0 − 43 L 2 16   41 L ρ0 1 3 3 2 9 =A 2 r + Lr + L2 r r0 3 4 16 − 34 L     1 3 ρ0 3 9 27 3 27 3 27 3 =A 2 L + L3 + L3 − − L + L − L r0 192 64 64 192 64 64 1 ρ0 AL3 m= 3 r02

m=

ρ(r)A dr = A

ρ0

(3.22)

Das Massentr¨ agheitsmoment Z 2 θS = (~r⊥ ) ρ(~r)dV V

Z

1 4L

r2 ρ(r)A dr

= − 43 L

  Z 1 3 ρ0 4 L 4 3 3 9 r r + L dr = A 2 r + Lr + L2 r2 dr 3 3 4 r 2 16 −4L 0 −4L   41 L ρ0 1 5 3 4 9 =A 2 r + Lr + L2 r3 r0 5 8 48 −3L ρ0 =A 2 r0

Z

1 4L

2

4

1 ρ0 AL5 θS = 80 r02

(3.23)

Durch ausklammern der Masse m aus Gl. 3.22 l¨asst sich das Massentr¨agheitsmoment aus Gl. 3.23 vereinfachen zu:   1 ρ0 3 2 3 θS = AL L 3 r02 80 3 1 θS = mL2 = ml2 (3.24) 80 15 Um bei der sp¨ ateren Verwendung auch Vergleichbarkeit herzustellen, ist zu beachten, dass die L¨ ange l hier die L¨ ange bis zum Schwerpunkt des Stabes darstellt, die L¨ange L aber die L¨ange des Stabes selbst. Damit ergeben sich die beiden Differentialgleichungen: (M + m)¨ x = ϕ˙ 2 ml sin(ϕ) − ϕml ¨ cos(ϕ) + F − D   16 2 ml ϕ¨ = −¨ xml cos(ϕ) − mgl sin(ϕ) − E 15

(3.25) (3.26)

Zudem ergibt sich die L¨ angenzuordnung: l=

10

3 L 4

(3.27)

3.5 Rahmenbedingungen F¨ ur realistische Szenarien wurden hier die technischen Daten des Turmdrehkranes »Liebherr 112 EC-H10« benutzt. Diese stammen aus dem Datenblatt des Herstellers (siehe [5]) und sind in Tabelle 3.2 aufgelistet. Tabelle 3.2: Rahmenbedingungen f¨ ur die Simulation Masse Laufkatze 915 kg Max. Last 2000 kg Hubh¨ ohe max. 68.0 m Hubh¨ ohe min. 22.4 m

3.6 Reibungsmodelle Bis zu diesem Punkt wurde die Reibkraft D und das Reibmoment E nicht weiter definiert. F¨ ur realistische Ergebnisse werden hier Annahmen getroffen, die nicht f¨ ur jeden Fall so gelten m¨ ussen. Auch werden hier verschiedene andere Reibungsarten außer Acht gelassen, welche in der Realit¨at einen nicht geringen Einfluss haben k¨onnen. 3.6.1 Reibung der Laufkatze Die Reibkraft D beschreibt den Fahrwiderstand der Laufkatze. Zum Fahrwiderstand zusammengefasst ist der Rollwiderstand und der Widerstand der Lagerreibung. Der Fahrwiderstand FW ist proportional zur Normalkraft FN R an den R¨adern, und kann mit der Fahrwiderstandszahl µf berechnet werden: D = FW = µf · FN R

(3.28)

Die R¨ ader der Laufkatze werden auf dem Ger¨ ust durch Stahlschienen gef¨ uhrt. Es wird also die Fahrwiderstandszahl f¨ ur Schinenfahrzeuge-Bahn mit µf = 0.0025 angenommen (vgl. [4], S.117). Die Normalkraft auf die R¨ ader ist abh¨angig von ϕ, ϕ˙ und ϕ. ¨ Zus¨atzlich z¨ahlt noch die Gewichtkraft des Wagens. Somit ergibt sich f¨ ur die Normalkraft: FN R = M g + Sy = (M − m)g + m¨ yL
= (M − m)g + m ϕ˙ 2 l cos(ϕ) + ϕl ¨ sin(ϕ) 
 D = 0.0025 (M − m)g + m ϕ˙ 2 l cos(ϕ) + ϕl ¨ sin(ϕ)

(3.29)

3.6.2 Lagerreibung im Drehpunkt P Auch wenn in der Praxis hinterher kein wirkliches Gelenk im Drehpunkt P vorhanden ist, gibt es dort ein Reibmoment E. Dieses kann durch die Befestigung des Tragseiles oder durch andere konstruktive Gegebenheiten gerechtfertigt werden. Um f¨ ur dort einen Anhaltspunkt f¨ ur die gr¨oße der wirkenden Reibung zu erhalten, wird hier ein ¨ einfaches Querlager angenommen (vgl. [4], S.117). Durch die Gegebenheit, dass keine Uberschl¨ age vorkommen sollten, tritt hier vorallem Mischreibung auf. Die Welle ist aus Stahl, das Lager aus CuPb105n10-C. Der Durchmesser der Welle betr¨agt 100mm. Der Reibungskoeffizient f¨ ur die Mischreibung wird mit µ = 0.1 angenommen, damit ergibt sich das Reibmoment E mit dem Radius der Welle r, der Normalkraft am Gelenk FN G : E = MR = FN G µr

(3.30)

11

Die Normalkraft der Last ist abh¨ angig von ϕ, ϕ˙ und ϕ. ¨ Mithilfe der Kr¨afte im Gelenk Sx und Sy l¨ asst sich die Normalkraft aufstellen: q q 2 2 xL ) + (m¨ yL − mg) FN G = Sx 2 + Sy 2 = (m¨ q 2 2 = [m (¨ x − ϕ˙ 2 l sin(ϕ) + ϕl ¨ cos(ϕ))] + [m (ϕ˙ 2 l cos(ϕ) + ϕl ¨ sin(ϕ) − mg)] q 2 2 E = 0.01 · [m (¨ x − ϕ˙ 2 l sin(ϕ) + ϕl ¨ cos(ϕ))] + [m (ϕ˙ 2 l cos(ϕ) + ϕl ¨ sin(ϕ) − mg)] (3.31)

12

3.7 Modelica-Modelle Das Modell f¨ ur einfache Fahrten mit großer Auslenkung wird hier nicht aufgef¨ uhrt, da es sich mit dem Modell f¨ ur die kleine Auslenkung lediglich im Anfangswert von F unterscheidet. Dies gilt f¨ ur das Modell der Wegevariation analog, hier wurde lediglich der »stop and go« -Codeteil abgebildet. 3.7.1 Einfache Fahrten mit geringer Auslenkung 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

model l a u f k a t z e k l e i n e a u s l e n k u n g constant Real g = 9.81 ” Erdbeschleunigung ”; c o n s t a n t R e a l M = 915 ” Masse d e r L a u f k a t z e ” ; c o n s t a n t R e a l m = 2000 ” Masse d e r L a s t ” ; c o n s t a n t R e a l l = 22 ” P e n d e l l a e n g e ” ; constant Real D = 0.0025 ” Reibkonstante f u e r Fahrwiderstand ”; constant Real E = 0.01 ” Reibkonstante f u e r Gelenkreibung ”; //1. F a l l Real x 1 ( s t a r t = 0 ) ; Real x1 1 ( s t a r t = 0 ) ; Real x2 1 ( s t a r t = 0 ) ; Real phi 1 ( s t a r t = 0 ) ; Real phi1 1 ( s t a r t = 0 ) ; Real phi2 1 ( s t a r t = 0 ) ; Real sign1 1 ( s t a r t = 0 ) ; Real sign2 1 ( s t a r t = 0 ) ; R e a l E1 ( s t a r t = 0 ) ; R e a l D1( s t a r t = 0 ) ; //2. F a l l Real x 2 ( s t a r t = 0 ) ; Real x1 2 ( s t a r t = 0 ) ; Real x2 2 ( s t a r t = 0 ) ; Real phi 2 ( s t a r t = 0 ) ; Real phi1 2 ( s t a r t = 0 ) ; Real phi2 2 ( s t a r t = 0 ) ; Real sign1 2 ( s t a r t = 0 ) ; Real sign2 2 ( s t a r t = 0 ) ; R e a l E2 ( s t a r t = 0 ) ; R e a l D2( s t a r t = 0 ) ; //3. F a l l Real x 3 ( s t a r t = 0 ) ; Real x1 3 ( s t a r t = 0 ) ; Real x2 3 ( s t a r t = 0 ) ; Real phi 3 ( s t a r t = 0 ) ; Real phi1 3 ( s t a r t = 0 ) ; Real phi2 3 ( s t a r t = 0 ) ; Real sign1 3 ( s t a r t = 0 ) ; Real sign2 3 ( s t a r t = 0 ) ; R e a l E3 ( s t a r t = 0 ) ; R e a l D3( s t a r t = 0 ) ; //4. F a l l Real x 4 ( s t a r t = 0 ) ; Real x1 4 ( s t a r t = 0 ) ; Real x2 4 ( s t a r t = 0 ) ; Real phi 4 ( s t a r t = 0 ) ; Real phi1 4 ( s t a r t = 0 ) ; Real phi2 4 ( s t a r t = 0 ) ; Real sign1 4 ( s t a r t = 0 ) ; Real sign2 4 ( s t a r t = 0 ) ; R e a l E4 ( s t a r t = 0 ) ;

13

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108

14

R e a l D4( s t a r t = 0 ) ; // G l o b a l Real F( s t a r t = 1000); equation der (F) = 0; / / 1 . F a l l : P e n d e l m i t Punktmasse , e x a k t x 1 1=d e r ( x 1 ) ; x 2 1=d e r ( x 1 1 ) ; p h i 1 1=d e r ( p h i 1 ) ; p h i 2 1=d e r ( p h i 1 1 ) ; E1=E∗ s q r t ( (m∗ ( x2 1 −p h i 1 1 ˆ2∗ l ∗ s i n ( p h i 1 )+ p h i 2 1 ∗ l ∗ cos ( p h i 1 ) ) ) ˆ 2 + (m∗ ( p h i 1 1 ˆ2∗ l ∗ cos ( p h i 1 )+ p h i 2 1 ∗ l ∗ s i n ( p h i 1 )) −m∗ g ) ˆ 2 ) ; D1=D∗ (M∗g−m∗ g+m∗ ( p h i 1 1 ˆ2∗ l ∗ cos ( p h i 1 )+ p h i 2 1 ∗ l ∗ s i n ( p h i 1 ) ) ) ; (M+m) ∗ x 2 1=p h i 1 1 ∗ p h i 1 1 ∗m∗ l ∗ s i n ( p h i 1 )− p h i 2 1 ∗m∗ l ∗ cos ( p h i 1 )+F −D1∗ s i g n 2 1 ; m∗ l ∗ l ∗ p h i 2 1 =(−x 2 1 ∗m∗ l ∗ cos ( p h i 1 )) −m∗ g ∗ l ∗ s i n ( p h i 1 )−E1∗ s i g n 1 1 ; s i g n 1 1 =2/ M o d e l i c a . C o n s t a n t s . p i ∗ atan ( 1 0 0 0 0 ∗ p h i 1 1 ) ; s i g n 2 1 =2/ M o d e l i c a . C o n s t a n t s . p i ∗ atan (10000∗( − x 1 1 ) ) ; / / 2 . F a l l : P e n d e l m i t Punktmasse , K l e i n w i n k e l n a e h e r u n g x 1 2=d e r ( x 2 ) ; x 2 2=d e r ( x 1 2 ) ; p h i 1 2=d e r ( p h i 2 ) ; p h i 2 2=d e r ( p h i 1 2 ) ; E2=E∗ s q r t ( (m∗ ( x2 2 −p h i 1 2 ˆ2∗ l ∗ p h i 2+p h i 2 2 ∗ l ) ) ˆ 2 +(m∗ ( p h i 1 2 ˆ2∗ l+p h i 2 2 ∗ l ∗ p h i 2 )−m∗ g ) ˆ 2 ) ; D2=D∗ (M∗g−m∗ g+m∗ ( p h i 1 2 ˆ2∗ l ∗ cos ( p h i 2 )+ p h i 2 2 ∗ l ∗ s i n ( p h i 2 ) ) ) ; (M+m) ∗ x 2 2=p h i 1 2 ∗ p h i 1 2 ∗m∗ l ∗ p h i 2 −p h i 2 2 ∗m∗ l+F −D2∗ s i g n 2 2 ; m∗ l ∗ l ∗ p h i 2 2 =(−x 2 2 ∗m∗ l )−m∗ g ∗ l ∗ p h i 2 −E2∗ s i g n 1 2 ; s i g n 1 2 =2/ M o d e l i c a . C o n s t a n t s . p i ∗ atan ( 1 0 0 0 0 ∗ p h i 1 2 ) ; s i g n 2 2 =2/ M o d e l i c a . C o n s t a n t s . p i ∗ atan (10000∗( − x 1 2 ) ) ; / / 3 . F a l l : P e n d e l m i t homogenem M a s s e n s t a b x 1 3=d e r ( x 3 ) ; x 2 3=d e r ( x 1 3 ) ; p h i 1 3=d e r ( p h i 3 ) ; p h i 2 3=d e r ( p h i 1 3 ) ; E3=E∗ s q r t ( (m∗ ( x2 3 −p h i 1 3 ˆ2∗ l ∗ s i n ( p h i 3 )+ p h i 2 3 ∗ l ∗ cos ( p h i 3 ) ) ) ˆ 2 +(m∗ ( p h i 1 3 ˆ2∗ l ∗ cos ( p h i 3 )+ p h i 2 3 ∗ l ∗ s i n ( p h i 3 )) −m∗ g ) ˆ 2 ) ; D3=D∗ (M∗g−m∗ g+m∗ ( p h i 1 3 ˆ2∗ l ∗ cos ( p h i 3 )+ p h i 2 3 ∗ l ∗ s i n ( p h i 3 ) ) ) ; (M+m) ∗ x 2 3=p h i 1 3 ∗ p h i 1 3 ∗m∗ l ∗ s i n ( p h i 3 )− p h i 2 3 ∗m∗ l ∗ cos ( p h i 3 )+F −D3∗ s i g n 2 3 ; 13/12∗m∗ l ∗ l ∗ p h i 2 3 =(−x 2 3 ∗m∗ l ∗ cos ( p h i 3 )) −m∗ g ∗ l ∗ s i n ( p h i 3 )−E3∗ s i g n 1 3 ; s i g n 1 3 =2/ M o d e l i c a . C o n s t a n t s . p i ∗ atan ( 1 0 0 0 0 ∗ p h i 1 3 ) ; s i g n 2 3 =2/ M o d e l i c a . C o n s t a n t s . p i ∗ atan (10000∗( − x 1 3 ) ) ; / / 4 . F a l l : P e n d e l m i t inhomogenem M a s s e n s t a b x 1 4=d e r ( x 4 ) ; x 2 4=d e r ( x 1 4 ) ; p h i 1 4=d e r ( p h i 4 ) ; p h i 2 4=d e r ( p h i 1 4 ) ; E4=E∗ s q r t ( (m∗ ( x2 4 −p h i 1 4 ˆ2∗ l ∗ s i n ( p h i 4 )+ p h i 2 4 ∗ l ∗ cos ( p h i 4 ) ) ) ˆ 2 +(m∗ ( p h i 1 4 ˆ2∗ l ∗ cos ( p h i 4 )+ p h i 2 4 ∗ l ∗ s i n ( p h i 4 )) −m∗ g ) ˆ 2 ) ; D4=D∗ (M∗g−m∗ g+m∗ ( p h i 1 4 ˆ2∗ l ∗ cos ( p h i 4 )+ p h i 2 4 ∗ l ∗ s i n ( p h i 4 ) ) ) ; (M+m) ∗ x 2 4=p h i 1 4 ∗ p h i 1 4 ∗m∗ l ∗ s i n ( p h i 4 )− p h i 2 4 ∗m∗ l ∗ cos ( p h i 4 )+F −D4∗ s i g n 2 4 ; 83/80∗m∗ l ∗ l ∗ p h i 2 4 =(−x 2 4 ∗m∗ l ∗ cos ( p h i 4 )) −m∗ g ∗ l ∗ s i n ( p h i 4 )−E4∗ s i g n 1 4 ; s i g n 1 4 =2/ M o d e l i c a . C o n s t a n t s . p i ∗ atan ( 1 0 0 0 0 ∗ p h i 1 4 ) ; s i g n 2 4 =2/ M o d e l i c a . C o n s t a n t s . p i ∗ atan (10000∗( − x 1 4 ) ) ; // R e i n i t F

109 110 111 112

whentime >1t h e n r e i n i t (F , 0 ) ; end when ; end l a u f k a t z e k l e i n e a u s l e n k u n g ;

3.7.2 L¨ angenvariation 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52

model l a u f k a t z e l a e n g e constant Real g = 9.81 ” Erdbeschleunigung ”; c o n s t a n t R e a l M = 915 ” Masse d e r L a u f k a t z e ” ; c o n s t a n t R e a l m = 2000 ” Masse d e r L a s t ” ; c o n s t a n t R e a l l 1 = 10 ” P e n d e l l a e n g e ” ; c o n s t a n t R e a l l 2 = 25 ” P e n d e l l a e n g e ” ; c o n s t a n t R e a l l 3 = 50 ” P e n d e l l a e n g e ” ; c o n s t a n t R e a l l 4 = 68 ” P e n d e l l a e n g e ” ; constant Real D = 0.0025 ” Reibkonstante f u e r Fahrwiderstand ”; constant Real E = 0.01 ” Reibkonstante f u e r Gelenkreibung ”; //1. F a l l Real x 1 ( s t a r t = 0 ) ; Real x1 1 ( s t a r t = 0 ) ; Real x2 1 ( s t a r t = 0 ) ; Real phi 1 ( s t a r t = 0 ) ; Real phi1 1 ( s t a r t = 0 ) ; Real phi2 1 ( s t a r t = 0 ) ; Real sign1 1 ( s t a r t = 0 ) ; Real sign2 1 ( s t a r t = 0 ) ; R e a l E1 ( s t a r t = 0 ) ; R e a l D1( s t a r t = 0 ) ; //2. F a l l Real x 2 ( s t a r t = 0 ) ; Real x1 2 ( s t a r t = 0 ) ; Real x2 2 ( s t a r t = 0 ) ; Real phi 2 ( s t a r t = 0 ) ; Real phi1 2 ( s t a r t = 0 ) ; Real phi2 2 ( s t a r t = 0 ) ; Real sign1 2 ( s t a r t = 0 ) ; Real sign2 2 ( s t a r t = 0 ) ; R e a l E2 ( s t a r t = 0 ) ; R e a l D2( s t a r t = 0 ) ; //3. F a l l Real x 3 ( s t a r t = 0 ) ; Real x1 3 ( s t a r t = 0 ) ; Real x2 3 ( s t a r t = 0 ) ; Real phi 3 ( s t a r t = 0 ) ; Real phi1 3 ( s t a r t = 0 ) ; Real phi2 3 ( s t a r t = 0 ) ; Real sign1 3 ( s t a r t = 0 ) ; Real sign2 3 ( s t a r t = 0 ) ; R e a l E3 ( s t a r t = 0 ) ; R e a l D3( s t a r t = 0 ) ; //4. F a l l Real x 4 ( s t a r t = 0 ) ; Real x1 4 ( s t a r t = 0 ) ; Real x2 4 ( s t a r t = 0 ) ; Real phi 4 ( s t a r t = 0 ) ; Real phi1 4 ( s t a r t = 0 ) ; Real phi2 4 ( s t a r t = 0 ) ; Real sign1 4 ( s t a r t = 0 ) ; Real sign2 4 ( s t a r t = 0 ) ;

15

53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110

16

R e a l E4 ( s t a r t = 0 ) ; R e a l D4( s t a r t = 0 ) ; Real F( s t a r t = 5000); equation der (F) = 0; / / 1 . F a l l : Laenge L1 x 1 1=d e r ( x 1 ) ; x 2 1=d e r ( x 1 1 ) ; p h i 1 1=d e r ( p h i 1 ) ; p h i 2 1=d e r ( p h i 1 1 ) ; E1=E∗ s q r t ( (m∗ ( x2 1 −p h i 1 1 ˆ2∗ l 1 ∗ s i n ( p h i 1 )+ p h i 2 1 ∗ l 1 ∗ cos ( p h i 1 ) ) ) ˆ 2 +(m∗ ( p h i 1 1 ˆ2∗ l 1 ∗ cos ( p h i 1 )+ p h i 2 1 ∗ l 1 ∗ s i n ( p h i 1 )) −m∗ g ) ˆ 2 ) ; D1=D∗ (M∗g−m∗ g+m∗ ( p h i 1 1 ˆ2∗ l 1 ∗ cos ( p h i 1 )+ p h i 2 1 ∗ l 1 ∗ s i n ( p h i 1 ) ) ) ; (M+m) ∗ x 2 1=p h i 1 1 ∗ p h i 1 1 ∗m∗ l 1 ∗ s i n ( p h i 1 )− p h i 2 1 ∗m∗ l 1 ∗ cos ( p h i 1 )+F −D1∗ s i g n 2 1 ; 13/12∗m∗ l 1 ∗ l 1 ∗ p h i 2 1 =(−x 2 1 ∗m∗ l 1 ∗ cos ( p h i 1 )) −m∗ g ∗ l 1 ∗ s i n ( p h i 1 )−E1∗ s i g n 1 s i g n 1 1 =2/ M o d e l i c a . C o n s t a n t s . p i ∗ atan ( 1 0 0 0 0 ∗ p h i 1 1 ) ; s i g n 2 1 =2/ M o d e l i c a . C o n s t a n t s . p i ∗ atan (10000∗( − x 1 1 ) ) ; / / 3 . F a l l : Laenge l 2 x 1 2=d e r ( x 2 ) ; x 2 2=d e r ( x 1 2 ) ; p h i 1 2=d e r ( p h i 2 ) ; p h i 2 2=d e r ( p h i 1 2 ) ; E2=E∗ s q r t ( (m∗ ( x2 2 −p h i 1 2 ˆ2∗ l 2 ∗ s i n ( p h i 2 )+ p h i 2 2 ∗ l 2 ∗ cos ( p h i 2 ) ) ) ˆ 2 +(m∗ ( p h i 1 2 ˆ2∗ l 2 ∗ cos ( p h i 2 )+ p h i 2 2 ∗ l 2 ∗ s i n ( p h i 2 )) −m∗ g ) ˆ 2 ) ; D2=D∗ (M∗g−m∗ g+m∗ ( p h i 1 2 ˆ2∗ l 2 ∗ cos ( p h i 2 )+ p h i 2 2 ∗ l 2 ∗ s i n ( p h i 2 ) ) ) ; (M+m) ∗ x 2 2=p h i 1 2 ∗ p h i 1 2 ∗m∗ l 2 ∗ s i n ( p h i 2 )− p h i 2 2 ∗m∗ l 2 ∗ cos ( p h i 2 )+F −D2∗ s i g n 2 2 ; 13/12∗m∗ l 2 ∗ l 2 ∗ p h i 2 2 =(−x 2 2 ∗m∗ l 2 ∗ cos ( p h i 2 )) −m∗ g ∗ l 2 ∗ s i n ( p h i 2 )−E2∗ s i g n 1 s i g n 1 2 =2/ M o d e l i c a . C o n s t a n t s . p i ∗ atan ( 1 0 0 0 0 ∗ p h i 1 2 ) ; s i g n 2 2 =2/ M o d e l i c a . C o n s t a n t s . p i ∗ atan (10000∗( − x 1 2 ) ) ; / / 3 . F a l l : Laenge l 3 x 1 3=d e r ( x 3 ) ; x 2 3=d e r ( x 1 3 ) ; p h i 1 3=d e r ( p h i 3 ) ; p h i 2 3=d e r ( p h i 1 3 ) ; E3=E∗ s q r t ( (m∗ ( x2 3 −p h i 1 3 ˆ2∗ l 3 ∗ s i n ( p h i 3 )+ p h i 2 3 ∗ l 3 ∗ cos ( p h i 3 ) ) ) ˆ 2 +(m∗ ( p h i 1 3 ˆ2∗ l 3 ∗ cos ( p h i 3 )+ p h i 2 3 ∗ l 3 ∗ s i n ( p h i 3 )) −m∗ g ) ˆ 2 ) ; D3=D∗ (M∗g−m∗ g+m∗ ( p h i 1 3 ˆ2∗ l 3 ∗ cos ( p h i 3 )+ p h i 2 3 ∗ l 3 ∗ s i n ( p h i 3 ) ) ) ; (M+m) ∗ x 2 3=p h i 1 3 ∗ p h i 1 3 ∗m∗ l 3 ∗ s i n ( p h i 3 )− p h i 2 3 ∗m∗ l 3 ∗ cos ( p h i 3 )+F −D3∗ s i g n 2 3 ; 13/12∗m∗ l 3 ∗ l 3 ∗ p h i 2 3 =(−x 2 3 ∗m∗ l 3 ∗ cos ( p h i 3 )) −m∗ g ∗ l 3 ∗ s i n ( p h i 3 )−E3∗ s i g n 1 s i g n 1 3 =2/ M o d e l i c a . C o n s t a n t s . p i ∗ atan ( 1 0 0 0 0 ∗ p h i 1 3 ) ; s i g n 2 3 =2/ M o d e l i c a . C o n s t a n t s . p i ∗ atan (10000∗( − x 1 3 ) ) ; / / 4 . F a l l : Laenge l 4 x 1 4=d e r ( x 4 ) ; x 2 4=d e r ( x 1 4 ) ; p h i 1 4=d e r ( p h i 4 ) ; p h i 2 4=d e r ( p h i 1 4 ) ; E4=E∗ s q r t ( (m∗ ( x2 4 −p h i 1 4 ˆ2∗ l 4 ∗ s i n ( p h i 4 )+ p h i 2 4 ∗ l 4 ∗ cos ( p h i 4 ) ) ) ˆ 2 +(m∗ ( p h i 1 4 ˆ2∗ l 4 ∗ cos ( p h i 4 )+ p h i 2 4 ∗ l 4 ∗ s i n ( p h i 4 )) −m∗ g ) ˆ 2 ) ; D4=D∗ (M∗g−m∗ g+m∗ ( p h i 1 4 ˆ2∗ l 4 ∗ cos ( p h i 4 )+ p h i 2 4 ∗ l 4 ∗ s i n ( p h i 4 ) ) ) ; (M+m) ∗ x 2 4=p h i 1 4 ∗ p h i 1 4 ∗m∗ l 4 ∗ s i n ( p h i 4 )− p h i 2 4 ∗m∗ l 4 ∗ cos ( p h i 4 )+F −D4∗ s i g n 2 4 ; 13/12∗m∗ l 4 ∗ l 4 ∗ p h i 2 4 =(−x 2 4 ∗m∗ l 4 ∗ cos ( p h i 4 )) −m∗ g ∗ l 4 ∗ s i n ( p h i 4 )−E4∗ s i g n 1 s i g n 1 4 =2/ M o d e l i c a . C o n s t a n t s . p i ∗ atan ( 1 0 0 0 0 ∗ p h i 1 4 ) ; s i g n 2 4 =2/ M o d e l i c a . C o n s t a n t s . p i ∗ atan (10000∗( − x 1 4 ) ) ; // R e i n i t F

1;

2;

3;

4;

111 112 113 114

when t i m e > 0 . 3 t h e n r e i n i t (F , 0 ) ; end when ; end l a u f k a t z e l a e n g e ;

3.7.3 Wegevariation (Stop and go) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

// R e i n i t F when t i m e > r e i n i t (F , end when ; when t i m e > r e i n i t (F , end when ; when t i m e > r e i n i t (F , end when ; when t i m e > r e i n i t (F , end when ; when t i m e > r e i n i t (F , end when ;

0.3 then 0); 10 t h e n 20000); 10.3 then 0); 20.0 then 60000); 20.3 then 0);

17

4 Ergebnisse 4.1 Einfache Fahrten mit geringer Auslenkung Diese Fahrt soll eine einfache Fahrt mit geringer Auslenkung darstellen. Dabei galt:

Variable g M m l

Variable F

Tabelle 4.1: Anfangsbedingungen Wert Variable Wert m 9.81 s2 ϕ0 0 rad 915 kg ϕ˙ 0 0 rad s 2000 kg ϕ¨0 0 rad s2 22 m x0 0m x˙ 0 0 m s x ¨0 0 sm2 Zeitintervall Wert 0s < t < 1.0s 1000 N

Zudem ist der zeitliche Verlauf der Antriebskraft F in der Abbildung 4.1 zu sehen. In der gleichen Abbildung ist auch der zur¨ uckgelegte Weg x auf der Zeit aufgetragen. Bei dieser Fahrt liegt die Kleinwinkeln¨aherung sehr nahe an der Punktmasse. Die kleinen Auslenkungen des Pendels verursachen einen zu kleinen Fehler, als das man diesen in einem normalen Diagramm erkennen k¨ onnte. In Abbildung 4.3 wird zus¨atzlich der Fehler der Kleinwinkeln¨aherung auf die Zeit aufgetragen. Der maximale Fehler liegt hier betraglich unter 0.0004 – also unter einem halben Tausendstel – was f¨ ur eine gute N¨aherung spricht. In Abbildung 4.2 lassen sich die Winkelunterschiede der einzelnen Modelltiefen erkennen. Punktmasse und Kleinwinkeln¨ aherung liegen wie erwartet aufeinander. Der homogene Massenstab besitz die kleinste Amplitude, die Punktmasse hat die gr¨oßte Amplitude. Auch sind Unterschiede in der Frequenz zu erkennen. Die Punktmasse schwingt am schnellsten, der homogene Massenstab am langsamsten. Dies ist zu erwarten, da der homogene Massenstab von den drei Alternativen die gr¨ oßte Massentr¨ agheit besitzt. Der zur¨ uckgelegte Weg der Laufkatze ist in Abbildung 4.1 zu sehen. Punktmasse und Kleinwinkeln¨ aherung liegen wieder aufeinander. Hier ist die R¨ uckkopplung des Pendels gut zu sehen, welches ¨ seine Schwingung in die Laufkatze u ur die bessere Ubersicht wurde der Wegunterschied ¨bertr¨agt. F¨ des homogenen Massenstabes zur Punktmasse in Abbildung 4.4 aufgetragen. Im Diagramm ist zusehen, dass die Differenz bis zu 0.15m betragen kann. Die Fehler zwischen den beiden Modellen addieren sich zu sp¨ aterer Zeit und schwingen nicht mehr um 0.

18

Abbildung 4.1: Antriebskraft F (t) und zur¨ uckgelegter Weg x(t)

Abbildung 4.2: Pendelwinkel ϕ(t)

19

Abbildung 4.3: Abs. Winkelabweichung ϕ(t) der Kleinwinkeln¨aherung

Abbildung 4.4: Abs. Wegabweichung x(t) des homogenen Massenstabs zur Punktmasse

20

4.2 Einfache Fahrten mit großer Auslenkung Diese Fahrt soll eine einfache Fahrt mit großer Auslenkung des Pendels darstellen. Dabei galt:

Variable g M m l

Variable F

Tabelle 4.2: Anfangsbedingungen Wert Variable Wert m 9.81 s2 ϕ0 0 rad 915 kg ϕ˙ 0 0 rad s 2000 kg ϕ¨0 0 rad s2 22 m x0 0m x˙ 0 0 m s x ¨0 0 sm2 Zeitintervall Wert 0s < t < 1.0s 25000 N

Zudem ist der zeitliche Verlauf der Antriebskraft F in der Abbildung 4.5 zu sehen. In der gleichen Abbildung ist auch der zur¨ uckgelegte Weg x auf der Zeit aufgetragen. Dort ist sehr gut zu erkennen, dass bei großen Pendelwinkeln die Kleinwinkeln¨aherung Abweichungen verursacht. Anschaulicher zeigt das Abbildung 4.7. Die Fehler gegen¨ uber der exakten L¨ osung steigen betraglich hier bei großen Winkeln bis auf u ¨ber 1.5 (≈ 90◦ ). Dadurch wird auch der zur¨ uckgelegte Weg der Laufkatze beeinflusst. Zudem hat der Pendelwinkel im Vergleich zu den anderen ein ebenfalls abweichendes Verhalten. In Abbildung 4.6 ist ersichtlich, dass das Pendel mit der Kleinwinkeln¨ aherung schneller schwingt als alle anderen. Die Amplitude ist auch im Vergleich viel geringer. Die Kleinwinkeln¨ aherung ist somit nicht geeignet, wenn große Pendelwinkel auftreten. Wie in der vorrangegangenen Simulation gelten auch hier wieder die Aussagen bez¨ uglich Amplitude und Frequenz. Interessant sind zudem noch die Wegabweichungen zwischen der Punktmasse und dem homogenen Massenstab. Auch wenn die Frequenzen der Winkel unterschiedlich sind, addieren sich die Wegfehler nicht auf. Abbildung 4.8 zeigt sehr deutlich, dass die Fehler f¨ ur eine Simulationszeit von 40 Sekunden um 0 schwingen. Das wird im Verhalten aus Abbildung 4.5 verdeutlicht. Die Wegverl¨ aufe schwingen – bedingt durch die Pendellast – und sind nicht in der gleichen Frequenz, bleiben aber bis auf die Kleinwinkeln¨ aherung zusammen.

21

Abbildung 4.5: Antriebskraft F (t) und zur¨ uckgelegter Weg x(t)

Abbildung 4.6: Pendelwinkel ϕ(t)

22

Abbildung 4.7: Abs. Winkelabweichung ϕ(t) der Kleinwinkeln¨aherung

Abbildung 4.8: Abs. Wegabweichung x(t) des homogenen Massenstabs zur Punktmasse

23

4.3 Stabl¨ angenvariation Es wird hier nur der homogene Massenstab simuliert mit einer einfachen Fahrt. Variiert wurde die L¨ ange des Stabes zwischen 1m und 50m. Dabei galt:

Variable g M m l

Variable F

Tabelle 4.3: Anfangsbedingungen Wert Variable Wert m 9.81 s2 ϕ0 0 rad 915 kg ϕ˙ 0 0 rad s 2000 kg ϕ¨0 0 rad s2 – x0 0m x˙ 0 0 m s x ¨0 0 sm2 Zeitintervall Wert 0s < t < 0.3s 5000 N

Bei dieser Simulation soll die Auswirkung von verschiedenen Pendell¨angen gezeigt werden. Da alle Modelltiefen der Laufkatze auf physikalische Pendel beruhen, gelten auch die bekannten Gegebenheiten von physikalischen Pendeln. In Abbildung 4.10 l¨ asst sich sehr gut die Auswirkungen der L¨angen¨anderung erkennen. Es lassen sich folgende Aussagen best¨ atigen, wenn sich nur die L¨ange ¨andert: • Je L¨ anger der Massenstab, desto niedriger ist die Schwingfrequenz: Der Massenstab schwingt langsamer • Je L¨ anger der Massenstab, desto niedriger ist die Amplitude: Die Auslenkung des Massenstabs ist geringer Abbildung 4.9 best¨ atigt ebenso die Aussagen. Das Pendel u ¨bertr¨agt die Schwingungen auf die Laufkatze, somit sind diese auch im Wegdiagramm zu erkennen. Es wurde bewusst der homogene Massenstab benutzt, da dieser die gr¨oßte Massentr¨agheit besitzt und somit sich am meisten von der normalen Punktmasse abhebt.

24

Abbildung 4.9: Antriebskraft F (t) und zur¨ uckgelegter Weg x(t)

Abbildung 4.10: Pendelwinkel ϕ(t)

25

4.4 Wegevariation (Stop and go) ¨ Bei dieser Fahrt wird die Laufkatze mehrmals stark beschleunigt und dann durch die Anderung des Reibungskoeffizienten D wieder stark abgebremst. Dabei galt:

Variable g M m l

Tabelle 4.4: Anfangsbedingungen Wert Variable Wert m 9.81 s2 ϕ0 0 rad 915 kg ϕ˙ 0 0 rad s 2000 kg ϕ¨0 0 rad s2 22 m x0 0m x˙ 0 0 m s x ¨0 0 sm2

Die Kleinwinkeln¨ aherung f¨ uhrt erst sp¨ ater zu besonders hohen Ungenauigkeiten. Das liegt nat¨ urlich daran, dass auch erst im sp¨ ateren Verlauf große Winkel auftreten. Dann f¨allt die Ungenauhigkeit der Kleinwinkeln¨ aherung sogar im Pendelwinkel-Diagramm auf. Die Wegabweichungen von dem homogenen Massenstab und der Punktmasse, in Abbildung 4.14 ersichtlich, pendeln bei einer Simulationsl¨ange von 40 Sekunden nicht ausschließlich um die Nullage. Das Frequenz und Amplitudenverhalten ist analog zu den vorrangegangenen Simulationen.

26

Abbildung 4.11: Antriebskraft F (t) und zur¨ uckgelegter Weg x(t)

Abbildung 4.12: Pendelwinkel ϕ(t)

27

Abbildung 4.13: Abs. Winkelabweichung ϕ(t) der Kleinwinkeln¨aherung

Abbildung 4.14: Abs. Wegabweichung x(t) des homogenen Massenstabs zur Punktmasse

28

5 Fazit Durch die Simulation der Laufkatze mit den verschiedenen Modellierungstiefen: • Laufkatze mit Punktmasse als Pendel • Laufkatze mit Punktmasse als Pendel und Kleinwinkeln¨aherung • Homogener Massenstab als Pendel • Inhomogener Massenstab als Pendel lassen sich verschiedene Beobachtungen zusammenfassen. Beginnend mit der Kleinwinkeln¨ aherung zeigen die Simulationen, dass diese wirklich nur in kleinen Winkelbereichen auch eine gute N¨aherung bietet. In der Regelungstechnik wird die Kleinwinkeln¨ aherung angewandt, da durch die Regelung sichergestellt ist, dass am Pendel nur kleine Winkel auftreten. Die Simulation hat die Berechtigung der Kleinwinkeln¨aherung in kleinen Winkelbereichen also best¨ atigt. Es zeigt sich außerdem, dass der inhomogene Massenstab durch seine gew¨ahlte Dichtefunktion immer relativ nah an der Punktmasse als Pendel liegt. Dies liegt nat¨ urlich daran, dass die Dichtefunktion darauf ausgelegt ist, die Masse vornehmlich im unteren Teil des Pendels zu verteilen. F¨ ur eine erneute Simulation w¨ are ggf. eine andere Dichtefunktion interressant. Das k¨onnte z.B. eine Funktion sein, welche zu Beginn eine relativ konstante Funktion beinhaltet, um das Seil des Krans zu simulieren und anschließend eine entsprechende Verteilung, die die Last simuliert. Durch die Simulationen hat sich außerdem gezeigt, dass die Art der Modelltiefe, also die Art des modellierten Pendels eine Auswirkung auf die Eigenfrequenz des Pendels hat. Es l¨asst sich also mit der Modelltiefe beeinflussen, wie schnell und mit welcher Amplitude das Pendel an der Laufkatze schwingt. Im Direktvergleich zwischen verschiedenen Massenstabsl¨angen wurde die Abh¨angigkeit der Schwingfrequenz und der Amplitude von der Pendell¨ange beobachtet. Abschließend l¨ asst sich sagen, dass es sehr auf die Anwendung ankommt, wie tief das Modell modelliert werden sollte. Alle Pendel – in seinen Grenzen auch die Kleinwinkeln¨aherung – haben im Prinzip den Verlauf der Laufkatze angen¨ahert. Je nachdem wie grob das gew¨ unschte Ergebnis sein soll, reicht also z.B. die Punktmasse mit der Kleinwinkeln¨aherung. Bei großen Pendelwinkeln wird ein passendes Modell immer wichtiger.

29

Abbildungsverzeichnis

30

1.1

Portalkran in Rotterdam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8

Prinzipskizze der Laufkatze Freigeschnittener Wagen . . Freigeschnittenes Pendel . . Prinzipskizze Pendel . . . . Prinzipskizze Pendel . . . . Dichteverlauf des Pendels . Prinzipskizze Pendel . . . . Dichteverlauf des Pendels .

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11 4.12 4.13 4.14

Antriebskraft F (t) und zur¨ uckgelegter Weg x(t) . . . Pendelwinkel ϕ(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Abs. Winkelabweichung ϕ(t) der Kleinwinkeln¨aherung Abs. Wegabweichung x(t) des homogenen Massenstabs Antriebskraft F (t) und zur¨ uckgelegter Weg x(t) . . . Pendelwinkel ϕ(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Abs. Winkelabweichung ϕ(t) der Kleinwinkeln¨aherung Abs. Wegabweichung x(t) des homogenen Massenstabs Antriebskraft F (t) und zur¨ uckgelegter Weg x(t) . . . Pendelwinkel ϕ(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Antriebskraft F (t) und zur¨ uckgelegter Weg x(t) . . . Pendelwinkel ϕ(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Abs. Winkelabweichung ϕ(t) der Kleinwinkeln¨aherung Abs. Wegabweichung x(t) des homogenen Massenstabs

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . zur . . . . . . zur . . . . . . . . . . zur

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

5 5 5 7 8 8 9 9

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Punktmasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Punktmasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Punktmasse

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

19 19 20 20 22 22 23 23 25 25 27 27 28 28

Literaturverzeichnis [1] Peter A. Fritzson. Principles of object-oriented modeling and simulation with Modelica 2.1. Wiley, 2004 [2] J¨ urgen Dankert, Helga Dankert. Technische Mechanik. Statik, Festigkeitslehre, Kinematik/Kinetik. Teubner, 2004. [3] Helmut Scherf. Modellbildung und Simulation dynamischer Systeme. Eine Sammlung von Simulink-Beispielen. Oldenbourg, 2010. [4] Alfred B¨ oge. Technische Mechanik. Statik – Reibung – Dynamik – Festigkeitslehre – Fluidmechanik. Springer-Verlag, 2013. [5] Liebherr Turmdrehkran 112 EC-H10. Datenblatt Nr. 121 P-2860 H 1 B 3 DIN 15018, 1991. http://apps.liebherr.com/lgz/datenblaetter/80LBC/112EC-H10_07_91.pdf

31