Modellbildung und Simulation 6. Vorlesung Wintersemester 2007/2008 Klaus Kasper

Value at Risk (VaR)

Gaußdichte Gaußdichte der Normalverteilung: f (x) =

1 2π ⋅ σ x

e

− ( x − µ x )2 / 2σ x2

Gaußdichte der Standardnormalverteilung:

f (x) =

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1 2π

e

− x2 / 2

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Erwartungsvektor und empirische Kovarianzmatrix N

µ
x = ∑ x(n ) / N n =1

 cov( x1, x1 )  ⋅   = cov ⋅ X  ⋅   cov( x , x ) M 1 

⋅

⋅

⋅

⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅

⋅

⋅ ⋅

cov( x1, xM )   ⋅   ⋅  ⋅  cov( xM , xM ) 

N

cov( xi , x j ) = ∑ ( xi − µi )( x j − µ j ) /(N − 1) = cov( x j , xi ) n =1 WS 2007/2008

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Berechnung des Korrelationskoeffizienten cov( x1, x2 ) ρ ( x1, x2 ) = σ ( x1 ) ∗ σ ( x2 ) ρ ( x1, x2 ) = 0 : Unabhängigkeit der beiden Variablen ρ ( x1, x2 ) = 1: exakte positive lineare Abhängigkeit ρ ( x1, x2 ) = −1: exakte negative lineare Abhängigkeit WS 2007/2008

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Mehrdimensionale Gaußdichte

f (x) =

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1 (2π ) ⋅ det(cov x ) n

e

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1 − ( x − µ x )T (cov x )−1 ( x − µ x ) 2

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Konzepte zur Berechnung des VaR • Historische Simulation • Monte Carlo Simulation

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Historische Simulation • Verfahren: historisch/empirisch • Historische Beobachtungen der Modellgrößen werden gesammelt. • Aus den historischen Beobachtungen werden Wertänderungen des aktuellen Portfolio berechnet. • Aus der geordneten (empirischen) Messreihe der berechneten Änderungen des Portfolio wird das Quantil bestimmt. • Hinweis: Für die Anwendung der historischen Simulation muss keine Annahme über die zu Grunde liegende Verteilung getroffen werden.

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Monte Carlo Simulation • Verfahren: parametrisch/empirisch • An Hand empirischer Daten werden die Parameter einer zu Grunde gelegten Verteilung der Modellgrößen geschätzt. • Es werden zufällig Werte (Wertänderungen) erzeugt, die der geschätzten Verteilung gehorchen. • Für jede zufällig erzeugte Wertänderung wird die Auswirkung auf das aktuelle Portfolio berechnet. • Aus der geordneten (empirischen) Messreihe der simulierten Änderungen des Portfolio wird das Quantil bestimmt. WS 2007/2008

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Zufallsprozesse • Radioaktiver atomarer Zerfall • Thermisches Rauschen (Widerstand) • Zufallsprozesse sind reale physikalische Prozesse. • Zur Durchführung von Simulationen werden häufig Zufallszahlen benötigt. • Nur sehr selten werden zur Erzeugung von Zufallszahlen reale Zufallsprozesse beobachtet. WS 2007/2008

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Zufallsgeneratoren • Meist werden für Simulationen Zufallsgeneratoren eingesetzt, die algorithmisch Zufallszahlen erzeugen. • Hierbei handelt es sich um deterministische Pseudo-Zufallszahlen, die sich periodisch wiederholen. • Es werden also immer die selben Zufallszahlen aufeinander folgen. WS 2007/2008

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Beispiel rand() unter BSD-Unix (Linear Kongruenter Generator LCG)

x(n) = (a ∗ x(n − 1) + c) mod m a = 1103515245 c = 12345 m = 231 Periode: 231 x ist die aktuell berechnete Zufallszahl, die von der vorher berechneten eindeutig abhängt. Daher ist die Initialisierung von x von großer Bedeutung. WS 2007/2008

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Anwendung Initialisierung erfolgt über einen Seed (Saat)-Wert. Häufig wird die aktuelle Systemzeit verwendet.

srand( time(0)) Der von rand() generierte Wert liegt im Bereich:

0≤ x≤m Für die Erzeugung von Zufallszahlen aus einem speziellen Wertebereich sollte das Ergebnis von rand() sollte mit m und dem gewünschten Wertebereich skaliert werden. Üblicherweise kann m als Konstante abgefragt werden. WS 2007/2008

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Erzeugung normalverteilter Zufallszahlen Eine Normalverteilung N ist mit einer Kovarianzmatrix  vollständig definiert.  und einem Erwartungsvektor µ cov x x Zufallsvektoren y, die der Normalverteilung N genügen, können durch folgende Operation erzeugt werden:

 , y = Du + µ x wobei u ein Zufallsvektor ist, der einer Standardnormalverteilung folgt, und D die untere Dreiecksmatrix der Cholesky-Zerlegung der Kovarianzmatrix ist. WS 2007/2008

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Cholesky-Zerlegung
. B sei die Kovarianzmatrix cov x T

B = DD wird als Cholesky-Zerlegung bezeichnet.

Die Koeffizienten dij der Matrix D können in folgender Weise berechnet werden:

  0  i −1 dij =  bii − ∑ dik2 k =1  j −1 1    bij − ∑ dik d jk   d jj  k =1  WS 2007/2008

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für i < j für i = j für i > j 15

Erzeugung standardisierter normalverteilter Zufallszahlen 1. Erzeugung zweier gleichverteilter unabhängiger Zufallszahlen x1 und x2 zwischen 0 und 1. 2 2 2. Umformungen: v1 = 2 x1 − 1 , v 2 = 2 x2 − 1 , s = v1 + v 2

3. Falls s ≥ 1 , zurück zu 1. 4. u1 = v1 −(2 / s )ln(s ) , u2 = v 2 −(2 / s )ln(s ) u1 und u2 sind zwei unabhängige Zufallszahlen, die der Standardnormalverteilung folgen. WS 2007/2008

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Zusammenfassung 1. Berechnung von Kovarianzmatrix und Erwartungsvektor. 2. Berechnung der Cholesky-Zerlegung der Kovarianzmatrix. 3. Erzeugung von Zufallsvektoren, die der Standardnormalverteilung folgen. 4. Auf Basis des Erwartungsvektors und der Cholesky-Zerlegung der Kovarianzmatrix kann für jeden erzeugten Zufallsvektor aus 3. ein Zufallsvektor generiert werden, der der Normalverteilung folgt, die durch die in 1. berechneten Parameter definiert wird. WS 2007/2008

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Berechnung des VaR mit einer Monte Carlo Simulation • An Hand historischer Daten werden der Erwartungsvektor und die empirische Kovarianzmatrix für den Vektor der Kursänderungen geschätzt. Wobei der Vektor die Kurse der Papiere enthält, die im aktuellen Portfolio enthalten sind. • Es wird eine große Zahl von Zufallsvektoren erzeugt, die der geschätzten Normalverteilung der Kursänderungen der Werte des Portfolios folgen. • Für jede zufällig erzeugte Wertänderung wird die Auswirkung auf das aktuelle Portfolio berechnet. • Aus der geordneten (empirischen) Messreihe der simulierten Änderungen des Portfolio wird das Quantil bestimmt. WS 2007/2008

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Berechnung des VaR • • • •

Monte Carlo Simulation Sammlung und Analyse historischer Daten. Modellierung der Verteilung. Simulation von Kursentwicklungen gemäß der modellierten Verteilung. • Große Zahl an Simulationen. • Prognose von Kursentwicklungen. • Berechnung des monetären Risikos für die Entwicklung des Portfolios. WS 2007/2008

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Gehirn - Mikroprozessor Gehirn

Mikroprozessor

Zeitskala

ms (10-3s)

ns (10-9s)

Anzahl Prozessoren

1010-1014 Neuronen

~109 Transistoren

Parallelität

fein

grob

Konnektivität

103-105 Synapsen

< 10 direkte Verbindungen

Repräsentation

verteilt

lokal

Zuverlässigkeit

einzelne Neurone sterben, wenig Einfluss auf das System

Transistoren fallen selten aus, Ausfall hat großen Einfluss auf das System

Leistung