Systemanalyse und Modellbildung Universität Koblenz-Landau Fachbereich 7: Natur- und Umweltwissenschaften Institut für Umweltwissenschaften Dr. Horst Niemes (Lehrbeauftragter)
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Thermodynamik und Informationstheorie in der Systemanalyse
8.1 Energie, Exergie und Anergie • Nur ein Teil der einem System zugeführte freie Energie liefert nutzbare Arbeit, um von einem thermodynamischen Gleichgewichtes aus einen neuen Status zu erreichen, wenn irreversible Prozesse im System vorhanden sind. • Die nutzbare Arbeit wird als entropy-freie Komponente oder Exergy und die restliche entropy-belastete Komponente als Anergy bezeichnet • Hierbei kann zwischen stoffliche, energetische und informatorischen Termen unterschieden werden, welche wieder vereinheitlicht werden können, falls Äquivalenzrelationen zwischen Masse, Energie und Information hergestellt werden können.
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Thermodynamik und Informationstheorie in der Systemanalyse
8.2 Entropie, Temperatur und Wärme • Clausius (1850) hat erkannt, dass Wärme kein Stoff, sondern eine Energieform ist, die – wie die anderen Energieformen in der Physik auch – gleich dem Produkt aus einer extensiven mit einer intensiven Variablen ist. • Die marginale Änderung der Wärme ist gleich dem Produkt der intensiven Variablen, der Temperatur T, und der marginalen Änderung einer extensiven Variablen S, für die Clausius den Begriff Entropie einführte. : =
• Die Entropie ist definiert als Integral der marginalen Änderungen der Wärme bezogen auf die Temperatur für einen reversiblen Prozess, der ein System vom Zustand 1 in den Zustand 2 überführt:
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.
: = 2 − (1)
• Für zirkulären Prozess in einem geschlossenen System, in dem der Wechsel von Zustand 1 nach 2 ein irreversibler und zurück von Zustand 2 nach 1 ein reversibler Prozess ist, gilt: =0∧ (1)
• Jedes offenes System kann so erweitert werden kann, dass man ein geschlossenes System erhält. • Das führt zu der Implikation, dass ein irreversibler Prozess in seine entgegengesetzte Richtung umgekehrt werden kann, wenn genügende freie Energie für das Teilsystem verfügbar ist, wo der irreversible Prozess statt findet.
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• Beispiele: Vermischung zweier zuvor getrennter Gase, Temperatur- oder Konzentrationsausgleich, usw.
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8.3 Entropie, Wahrscheinlichkeit und Information • Während die klassische Thermodynamik den Makrozustand eines Systems erfasst, setzt die Boltzmann‘s Formel die Entropie, S, mit der Wahrscheinlichkeit, W, der Mikrozustände des Systems über die so genannte Boltzmann-Konstante, k in die Beziehung: =
• Sie Beziehung besagt, dass der Zweite Hauptsatz der Thermodynamik auch als Informationsänderungen über die Mikrozustände des Systems formuliert werden kann. Für den Fall, dass das System N Partikels (mit h=1,…,n Eigenschaften) enthält, welche unabhängig voneinander in verschiedener Weise miteinander kombiniert werden können, gilt beispielsweise:
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8.3
Entropie, Wahrscheinlichkeit und Information = −
%
!" ln !"
"& '(
• wobei die Häufigkeiten !" = )'e die Wahrscheinlichkeiten der Partikels mit h-Mengen von Eigenschaften bedeuten. • Shannon´s Formel für die Messung der Information (oder der Informationsentropie): * = −
%
"&
!" +, !"
• kann als Informationsverlust während eines Transfers von kodierter Information verstanden werden, was charakteristisch für irreversibler Prozesse ist.
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• Treten Informationsverluste auf, muss freie Energie verfügbar sein, um potentiell auftretende irreversible Prozesse an Informationsverluste auszugleichen. • Bei der Vermischung zweier Gase beispielsweise Schadstoffen gehen Informationen über die Lokalität der Partikel verloren. • Offensichtlich existiert eine Äquivalenzbeziehung zwischen Entropie und Information. • Im Zusammenhang mit der Entdeckung von Bekenstein (1974) schwarzer Löchern und deren theoretischen Begründung durch ´Hawkins (1975) scheint auch Äquivalenzbeziehung zwischen Entropie, Information und Masse zu existieren: ∆ = ∆* = + ./. 012 0345.
• Verschwindet ein Objekt der Mobj. in einem Schwarzen Loch mit der Masse MBW , dann ist das mit einem Informationsverlust bzw. einer Entropiezunahme verbunden.
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8.4 Beziehung zwischen Arbeit und Exergie • Angenommen: ein System befinde sich im thermodynamischen Gleichgewicht mit seiner Umgebung (Environment). • Eine gewisse Menge an Arbeit aus der Umgebung wird gebraucht, um das System von seinen Ausgangszustand 0 in den Zustand 1 zu bringen. Bei der Rückkehr von Zustand 1 nach 0 wird eine gewisse Menge an Arbeit auf die Umgebung ausgeübt. • Zu einem direkten Übergang von 0 nach 1, welcher eine Mindestmenge an Arbeit aus der Umgebung braucht min 89 = 8:;% , gibt es einen korrespondierenden Übergang von 1 nach 0, wo das System eine maximale Arbeit =>? 8:9 = 8:;@A erbringt. Es gilt: 8:;% = 8:;@A .
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8.4 Beziehung zwischen Arbeit und Exergie • Für die zugeführte Arbeit gilt, dass die extern dem System zugeführte Menge an Arbeit ist mindestens gleich der Summe der Änderungen der inneren Energie U, der Wärme, der Kompressionsarbeit und des chemischen Potentials ist. 8: ≥ ∆C − 9 ∆ + !9 ∆D −
%
"&
E" 9 ∆ " FGH.
8:;% = 8:;@A = ∆C − 9 ∆ + !9 ∆D − ∑%"& E" 9 ∆ "
• Mit der sogenannten Gibbs‘ Gleichung C = − !D +
%
"&
E" 9 ∆ "
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• können wir hierfür auch schreiben: :;% = :;@A = − 9 − ! − !9 D −
% "&
E" 9 ∆ "
• Die maximale Arbeit kann auch in die Form gebracht werden: 8:;@A = 9 ΔK3K = K3K − 9 L = ∆C − 9 ∆ + !9 ∆D −
% "&
E" 9 ∆ "
• ΔC, Δ, ΔD N Δ " geben die Differenzen des thermodynamischen Gleichgewichtes von den Werten der Energie, der Entropie, des Volumens und der Zahl der Partikel des Systems an.
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• Da das Konzept der maximalen Arbeit häufig besser geeignet ist, wird der Begriff der Exergie eingeführt. Es ist jene entropiefreie Menge an Energie, die ein System liefern kann, wenn das System in das thermodynamische Gleichgewicht mit seiner Umgebung gebracht wird oder übergeht. Es gilt: :;@A = O?
• Die freie Energie, E, präsentiert die Summe der entropiefreien Energie, Ex, und der Anergie, An, d.h. die Entropie, S, der irreversiblen Prozesse im System: O = O? + :
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8.5 Exergie und thermodynamisches Gleichgewicht für ein chemisches System als Beispiel • Wir untersuchen den Übergang eines chemischen Systems beim Übergang vom Zustand 1, dem thermodynamischen Gleichgewicht, in einen Zustand 2. • Annahme: Eine infinitesimale Änderung der Exergie eines chemischen Systems fände in einer sehr kurzen Zeit statt, dass die Umwelt des Systems sich nicht ändert. Dann gilt: O? = /
%
"&
E" −
E"9
" /
• Mit dem wie folgt definierten chemischen Potential E" = E"9 + P " ,
ℎ = 1, … ,
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8.5 Exergie und thermodynamisches Gleichgewicht für ein chemisches System als Beispiel • erhalten wir für vorherige Gleichung, wobei Nh die molare Konzentrationen der Substanzen h sind, R die Gaskonstante ist und T=T0 unterstellt wird: O? = P9 /
%
"&
" " 9 " /
• Berücksichtigt man, dass Ex(T0= 0) ist, dann erhalten wir durch Integration auf beiden Seiten für die Exergie: O?(/) = P9 P9
%
'(
S "& '(
K %
KS "&
" " 9 / = P9 / "
" − "9 " = 9
%
"&
%
"&
K
" " 9 / = / " KS
"
" 9 − − " " "9
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• Bezogen auf die Gesamtmenge N aller Partikel (gleichbedeutend mit dem von ihnen eingenommene Volumen) erhalten wir für die marginale Änderung der Exergie und für diese selbst folgende Ausdrücke: O? = P9 /
%
"&
O?(/) = P9
T" T" 9 / , T" %
"&
=U/ ≔
%
"&
"
T" T" 9 − T" − T"9 T"
• Diese Relationen geben die entropiefreie Arbeit an, die durch die Umwelt aufgebracht werden muss, um das System von einem Zustand in einen anderen zu bringen. WU.. T 9 → Y = WU.. Y → Y 9 = −O?(T , T 9 )
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• Im Einzelnen bedeutet diese Beziehung: 1. Die externe Arbeit der Umwelt auf das System, mit der Übergang von der Konzentration c0 → c1 erzwungen wird, ist gleich :9 = −WU.. T 9 → T 2. In einem geschlossenen System kehrt dieses System spontan in den Zustand c0 zurück und dissipatiert Exergie in diesen Prozess. Der Prozess ist abgeschlossen, wenn: :9 = −WU.. T − T 9 = O? T , T 9 .
3. Hierdurch akkumuliert das System Exergie: O? T , T 9 = :9 = −WU.. T 9 − T
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8.6
Beziehungen zwischen Exergie und Information
• Konzentrationen lassen sich auch als Wahrscheinlichkeiten formulieren und hierfür die Variable !" = % ⁄ = T" eingeführt wird. Wir erhalten für die Exergie die äquivalente Beziehung: O?(/) =
%
"&
!" !" 9 + − − 9 9 !"
• Der Vektor der intensiven Variable ![ = ! , … , !% beschreibt die Komposition und die extensive Variable N den Zustand des Systems. ] • Der Wert \ = ∑%"& !" (S mit dem konstanten Faktor ](
1⁄ 2 bezeichnet man als das Kullback-Maß für die Änderung der Information.
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8.6
Beziehungen zwischen Exergie und Information
• Damit kann die Exergie in eine informative und eine materielle Komponente unterteilt werden: O?%^
O? = O?%^ + O?;@K =U/ _ _`=_ = \ !, !9 ≥ 0 N O?;@K = ⁄ 9 − − 9 ≥ 0
• Der erste Term steht für die strukturelle Änderungen und der zweite Term für die Änderung der Gesamtmasse des Systems. • Verfolgt man den Evolutionsprozess von der Bildung physikalischen Systemen hin zu chemischen, biologischen, sozialen Systemen usw., kann man die Exergie unterteilen in: ]"ca
43 b"; a3b + O?%^ + O?%^ O? = O?%^ + O?%^ ]"ca
a3b 43 b"; +O?;@K + O?;@K + O?;@K + O?;@K
a3b steht für die kumulierte Information einzelner • O?%^
Individuen und den sozialen Erziehungsprozess.
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• Entscheidend ist immer die gewählte Ebene, von der die nutzbare Arbeit (Exergie) in Form von Informationen oder materiellen (oder energetischen) Komponenten bezogen wird. • Will man beispielsweise die chemische Exergie nutzen, interessieren die anderen Ebenen nicht; sie bleiben ungenutzt und können als Anergie verloren. • Der genetischen Information für die Reproduktion von Kartoffeln beispielsweisen interessieren bei deren Konsumtion nicht und gehen dabei verloren.
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8.7
Ökonomische Transformationsprozess aus thermodynamischer Sicht
