Labor RT Versuch RT1-1

Versuchsvorbereitung Prof. Dr.-Ing. Gernot Freitag FB: EuI, FH Darmstadt

Darmstadt, den 04.04.2005

Prof. Dr.-Ing. Gernot Freitag Elektrotechnik und Informationstechnik FH Darmstadt

Rev. 1, 04.04.2005

Zu 4 .Versuchvorbereitung 4.1 a.) Zeichnen des Bode-Diagramms und der Ortskurve Bodediagramm: Amplitudengang 20 0 Amplitude in [dB]

-20 -40 -60 -80 -100 -120 -140 -2 10

-1

0

10

1

10

10

Kreisfrequenz in [rad/s] Phasengang 0

Phase in [rad]

-50

-100

-150

-200 -2 10

-1

0

10

1

10

10

Kreisfrequenz in [rad/s]

Nyquist-Ortskurve: Nyquist-Ortskurve 0.2

0

-0.2

Imaginärteil (F(jw))

-0.4

-0.6

-0.8

-1

-1.2

-1.4 -0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8 1 Realteil (F(jw))

1.2

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1.4

1.6

1.8

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b.) Die Differentialgleichung erhält man, indem man für jw = s ersetzt sowie Zähler und Nenner ausmultipliziert. Anschließend wird die Übertragungsfunktion in den Zeitbereich transferiert, indem für jedes s ein d/dt ersetzt wird. 4.2 Der Frequenzgang besitzt die folgenden Zeitkonstanten: 1/Ti = 0,1 Î Ti = 10 s 1/TZ1 = 0,2 Î TZ1 = 5 s 1/TZ2 = 1 Î TZ1 = 1 s 1/TN1 = 10 Î TZ1 = 0,1 s 1/TZ2 = 20 Î TZ1 = 0,05 s Es folgt daraus das Bode-Diagramm: Amplitudengang 50

Amplitude in [dB]

40 30 20 10 0 -10 -20 -2 10

-1

10

0

10 Kreisfrequenz in [rad/s]

1

10

2

10

Phasengang

Phase in [rad]

50

0

-50

-100 -2 10

-1

10

0

10 Kreisfrequenz in [rad/s]

1

10

2

10

Der Phasengang geht dabei davon aus, dass alle Pole- und Nullstellen des Systems minimalphasig sind (alle Zeitkonstanten sind positiv, das System ist stabil und besitzt keine Allpassnullstellen). Der Amplitudengang des Systems ändert sich nicht, jedoch fügt das Totzeitglied eine linear mit der Frequenz wachsende Phase hinzu. 4.3 Das Steuerglied muss die Übertragungsfunktion

F ( jω ) =

jω ⋅ 4 s + 1 jω ⋅ 2 s + 1

enthalten, damit die Zeitkonstante TN=4s gekürzt und durch TN=2s ersetzt werden kann. Man erhält dann genau den gewünschten Frequenzgang.

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4.4 Berechnung der Antwort auf einen Sprung mit 3-facher Amplitude Antwort der Parallelschaltung aus Aufgabe 4.4 auf einen 3*sigma(t)-Sprung 45

40

35

30

Amplitude

25

20

15

10

5

0

-5 0

1

2

3

4

5

6

7

Zeit in [s]

Das System besitzt Allpassverhalten, denn anfangs geht der Systemausgang in die „falsche“ Richtung. Offensichtlich sorgt F2 anfangs aufgrund des negativen Vorzeichens für einen schnellen, negativen Ausgang, bevorder Integrator F1 schließlich die Oberhand gewinnt und das Ausgangsignal auf die positive Seite zieht, während F2 aufgrund seines D-Verhaltens für große Zeiten t keinen Beitrag mehr liefert. Wie hätte das Anfangsverhalten erkennen können? Grenzwertsätze der Laplacetransformation können hier helfen, aber auch ein Gefühl für die einzelnen Übertragungsglieder. Das IGlied wird im ersten Moment kein Ausgangssignal liefern, es ist nicht sprungfähig. Das DT1Glied dagegen ist (siehe Sprungantwort in Tabelle) sprungfähig. Da dessen Signal in der Parallelschaltung subtrahiert wird, ist davon auszugehen, dass das Ausgangssignal des Gesamtsystems zuerst ins Negative geht, bevor das I-Glied mit zunehmender Zeit dominant wird. 4.5 Die Übertragungsfunktion des Regelkreises lautet gemäß Formel für die Kreisschaltung: a.)

F ( jω ) =

0,5 Kp

1 ( jω ) + K1p ( jω ) + 1 2

b.) Durch Koeffizientenvergleich mit der Standardform des PT2-Gliedes erhält man:

2d

ω0

!

=

1 Kp

sowie

1

ω0

!

2

=

0,5 Kp

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Der aperiodische Grenzfall liegt bei d = 1 vor. Einsetzen dieses Wertes und Eliminieren von ω0 liefert:

1 2

Kp =

Für Kp-Werte größer als ½ sinkt die Dämpfung und der Kreis wird schwingfähig, für KpWerte kleiner als ½ steigt die Dämpfung über 1 und man erhält aperiodisches Einschwingverhalten. c.) Die gewünschte Dämpfung von d = 0,2 erhält man für ein Kp von 12,5. Die Antwort auf das Eingangssignal xe(t) = 2*σ(t) stellt sich wie folgt dar: Antwort auf doppelten Einheitssprung bei d=0,2 (Kp=12,5) 3.5

3

2.5

Amplitude

2

1.5

1

0.5

0

0

0.5

1

1.5

2

2.5 Zeit in [s]

3

3.5

4

4.5

5

Das zugehörige Bode-Diagramm zeigt den folgenden Verlauf: 10 0

Gain dB

-10 -20 -30 -40 -50 -60 0 10

1

10 Frequency (rad/sec)

2

10

0

Phase deg

-50

-100

-150

-200 0 10

1

10 Frequency (rad/sec)

2

10

Man erkennt die Resonanzüberhöhung sowie denn typischen Phasenverlauf.

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Zu 5. Aufgaben für Laborversuch 5.1 (im Labor auszuführen) 5.2 (im Labor auszuführen) 5.3 Übertragungsglied mit Allpassverhalten sowie globalem P-Verhalten b.) Der Frequenzgang des Systems lautet:

F ( jω ) =

1 − jωTN 1 1 + jωTN 1

Die Sprungantwort hat den folgenden Verlauf (siehe auch Aufgabenblatt): Allpassglied 1.Ordnung 2

1.5

1

Amplitude

0.5

0

-0.5

-1

-1.5

-2

0

0.5

1

1.5 Time (secs)

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2

2.5

3

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c.) Die Nyquist-Ortskurve des Allpass-Gliedes 1.Ordnung hat den folgenden Verlauf: Nyquist-Ortskurve Allpass 1.Ordnung 0.2

0

Imaginärteil (F(jw))

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1

-1.2 -0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0 Realteil (F(jw))

0.2

0.4

0.6

0.8

d.) Vergleich zwischen berechnetem Frequenzgang und der Ortskurve Unabhängig vom Vorzeichen des Imaginäranteils in Zähler bzw. Nenner des Frequenzganges ergibt sich immer der gleiche Betrag 1:

F ( jω ) =

1 − jωTN 1 1 + jωTN 1

=

(− ωTN1 )2 + 12 (ωTN1 )2 + 12

=

ω 2TN 12 + 1 ω 2TN 12 + 1

=1

Es ist eine besondere Eigenschaft von Allpassgliedern, alle Frequenzen im Betrag gleich zu übertragen. Dies äußert sich in der Ortskurve dadurch, dass diese einen (Halb-)Kreis mit konstantem Abstand 1 vom Ursprung beschreibt.

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Anmerkungen zur praktischen Durchführung der Laborversuche •

• •

Zusammenbau von Übertragungsfunktionen und Kreisen Es ist kein reines Verstärkerglied verfügbar, d.h. wenn z.B. eine Verstärkung des offenen Kreises von Kges eingestellt werden soll, so ist dies entweder einem oder mehreren der sonst beteiligten Übertragungsgliedern zuzuordnen. Bei Aufgabe 4.5 der Vorbereitung musste ein K = 12,5 eingestellt werden. Dies kann z.B. dadurch erreicht werden, dass man diesen Faktor aufteilt in 12,5 = 5 * 2,5. Stellt man die 2,5 beim Integrator ein, so muss dieser ein Tn = ½,5 = 0,4 erhalten. Zusätzlich erschwert wird das Einstellen der Parameter dadurch, dass die verwendeten 10-Gang-Potis z.B. bei einem Zahlenbereich von 0 bis 10 eine Verstärkung K von 0 bis 5 erlauben, so dass die doppelten Zahlenwerte an der Poti-Skala einzustellen sind.

Zu Aufgabe 5.3: Das Allpassglied kann man sich aus einem P- und einem DT1-Glied zusammengesetzt denken:

G Allpass = 2 +

Td s T1s + 1

Dabei kann mit Hilfe der Grenzwertsätze der Laplacetransformation gezeigt werden, dass die Sprunghöhe des DT1-Glieds bei t=0 gerade durch den Quotienten

Stationäre r Endwert = G Allpass (s ) = lim s → ∞

Td ! =4 T1

bestimmt wird. Bei einer Zeitkonstanten T1 von 0,5s ergibt sich hieraus ein Td von 2.

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