Funciones y ecuaciones racionales 12A Funciones y expresiones racionales Laboratorio Hacer un modelo de variación inversa 12-1 Variación inversa 12-2 Funciones racionales 12-3 Cómo simplificar expresiones racionales Laboratorio Representar gráficamente funciones racionales
12B Operaciones con expresiones y ecuaciones racionales 12-4 Cómo multiplicar y dividir expresiones racionales 12-5 Cómo sumar y restar expresiones racionales Laboratorio Hacer un modelo: dividir polinomios 12-6 Cómo dividir polinomios 12-7 Cómo resolver ecuaciones racionales Extensión
Razones trigonométricas
Diseño Las razones y las expresiones racionales se pueden usar para explorar la perspectiva en las obras de arte y las dimensiones en el diseño de envases. Intenta usarlas en ambos casos.
CLAVE: MA7 ChProj
846
Capítulo 12
Vocabulario Elige el término de la izquierda que corresponde a cada definición de la derecha. A. máximo divisor compartido por dos o más términos 1. trinomio cuadrado perfecto B. un número, una variable o un producto de números y variables con exponentes de números cabales 2. máximo común divisor C. dos números cuyo producto es 1 3. monomio D. un polinomio con tres términos 4. polinomio E. la suma o diferencia de monomios 5. recíprocos F. trinomio que es el resultado de elevar un binomio al cuadrado
Simplificar fracciones Simplifica. 12 6. _ 4
100 7. _ 36
240 8. _ 18
121 9. _ 66
Sumar y restar fracciones Suma o resta. 1 _ 10. _ +1 3 2
7 1 11. _ - _ 8 6
3 2 _ 12. _ + _ +1 4 3 2
5 1 1 -_ 13. _ + _ 9 12 3
Factorizar el MCD de polinomios Factoriza cada polinomio. 14. x 2 + 2x
15. x 2 + x
16. 2x 2 + x
17. x 2 - x
18. 3x 2 + 2x
19. 4x 2 - 4
20. 3x 2 - 6x
21. x 3 - x 2
Propiedades de los exponentes Simplifica cada expresión. 22. 4x · 3x 2
23. -5 · 2jk
24. -2a 3 · 3a 4
25. 3ab · 4a 2b
26. 2x · 3y · xy
27. a 2b · 3ab 3
28. 3rs · 3rs 3
29. 5m 2n 2 · 4mn 2
Simplificar expresiones polinomiales Simplifica cada expresión. 30. 4x - 2y - 8y
31. 2r - 4s + 3s - 8r
32. ab 2 - ab + 4ab 2 + 2a 2b + a 2b 2
33. 3g (g - 4) + g 2 + g
Funciones y ecuaciones racionales
847
Vocabulario/Key Vocabulary asíntota
asymptote
ecuación racional
rational equation
expresión racional
rational expression
función discontinua
discontinuous function
gráficamente funciones cuadráticas, exponenciales y de raíz cuadrada.
función racional
rational function
valores excluidos
excluded values
• usaste la factorización para
variación inversa
inverse variation
Antes,
• identificaste, escribiste y
representaste gráficamente ecuaciones de variación directa.
• identificaste y representaste
resolver ecuaciones cuadráticas.
• simplificaste expresiones radicales y resolviste ecuaciones radicales.
Conexiones de vocabulario Considera lo siguiente para familiarizarte con algunos de los términos de vocabulario del capítulo. Puedes consultar el capítulo, el glosario o un diccionario si lo deseas.
Estudiarás
•
cómo identificar, escribir y representar gráficamente ecuaciones de variación inversa.
• cómo representar gráficamente
funciones racionales y simplificar expresiones racionales.
• cómo resolver ecuaciones racionales.
Puedes usar las destrezas aprendidas en este capítulo
• para continuar aumentando
tus conocimientos sobre la representación gráfica y la transformación de varios tipos de funciones.
• para resolver problemas en los que se incluye una variación inversa en clases como física y química.
• para calcular los costos
cuando trabajas con un presupuesto fijo.
848
Capítulo 12
1. ¿Qué otras palabras significan lo mismo que continuo? El prefijo dis- por lo general significa “no”. Describe cómo podría ser la gráfica de una función discontinua. 2. ¿Qué significa que alguien o algo esté incluido en un grupo? ¿Y excluido? ¿Qué crees que significa que algunos valores son valores excluidos para una función en particular? 3. Una variación directa es una relación entre dos variables, x e y, que se puede escribir en la forma y = kx, donde k es una constante distinta de cero. El inverso de un número x es __1x . Usa esta información para escribir la forma de una variación inversa. 4. En el Capítulo 1 aprendiste que una expresión algebraica es una expresión que contiene una o más variables, números u operaciones. También aprendiste que un número racional es un número que se puede escribir en forma de fracción. Combina estos términos para definir expresión racional. Da un ejemplo.
Estrategia de estudio: Prepárate para tu examen final Las matemáticas son una materia acumulativa; por lo tanto, tu examen final probablemente cubrirá todos los temas que aprendiste desde el comienzo del curso. La preparación es esencial para que tengas éxito en tu examen final. Puede ser útil hacer un calendario de estudio como el siguiente.
2 semanas antes del examen final: final : • Mirar los exámenes anteriores y las tareas para determinar las áreas en las que debo concentrarme; volver a resolver los problemas incorrectos o incompletos. • Hacer una lista de todas las fórmulas, postulados y teoremas que debo saber para el examen final. • Crear un examen de práctica usando problemas del libro similares a los problemas de cada examen.
1 semana antes del examen final: • Hacer el examen de práctica y comprobarlo. Por cada problema en el que falle, buscar 2 ó 3 similares y resolverlos. • Trabajar con un compañero de la clase para hacernos preguntas sobre las fórmulas, los postulados y los teoremas de mi lista.
1 día antes del examen final: • Asegurarme de que tengo lápices, calculadora (¡revisar las pilas!), regla, compás y transportador.
Inténtalo 1. Crea un calendario que usarás para estudiar para tu examen final. Funciones y ecuaciones racionales
849
12-1
Hacer un modelo: variación inversa La relación entre el ancho y la longitud de un rectángulo con un área constante es una variación inversa. En esta actividad, estudiarás esta relación haciendo modelos de rectángulos con fichas cuadradas o papel cuadriculado. Para usar con la Lección 12-1
Actividad Usa 12 fichas cuadradas para formar un rectángulo con un área de 12 unidades cuadradas o dibuja el rectángulo en un papel cuadriculado. Usa un ancho de 1 unidad y una longitud de 12 unidades. Tu rectángulo debería ser como el que se muestra. Usando las mismas 12 fichas cuadradas, continúa formando rectángulos, cambiando el ancho y la longitud, hasta que hayas formado todos los rectángulos posibles que tengan un área de 12 unidades cuadradas. Copia y completa la tabla a medida que formas cada rectángulo. Ancho (x)
Longitud (y)
Área ( xy)
1
12
12 12 12 12 12 12
Marca los pares ordenados de la tabla en una gráfica. Dibuja una curva suave que una los puntos.
Inténtalo 1. Observa la tabla y la gráfica anteriores. ¿Qué sucede con la longitud cuando aumenta el ancho? ¿Por qué? 2. Este tipo de relación se llama variación inversa. ¿Por qué crees que se llama así? 3. Para cada punto, ¿a qué equivale x y? Completa la ecuación x y = ecuación para hallar y.
. Resuelve esta
4. Forma todos los rectángulos que tengan un área de 24 unidades cuadradas. Anota sus anchos y longitudes en una tabla. Representa gráficamente tus resultados. Escribe una ecuación que relacione el ancho x con la longitud y. 5. Haz una conjetura Usando las ecuaciones que escribiste en 3 y 4, ¿cómo crees que puede ser la ecuación de cualquier variación inversa cuando se resuelve para hallar y?
850
Capítulo 12 Funciones y ecuaciones racionales
12-1
Variación inversa
Objetivo Identificar, escribir y representar gráficamente variaciones inversas
¿Para qué sirve? La variación inversa se puede usar para hallar la frecuencia a la que vibra una cuerda de guitarra. (Ver Ejemplo 3)
Vocabulario variación inversa
Una variación directa es una ecuación que se puede escribir en la forma y = kx, donde k es una constante distinta de cero.
Una relación que se puede escribir en la forma y = _kx_, donde k es una constante distinta de cero y x ≠ 0, es una variación inversa. La constante k es la constante de variación. La variación inversa implica que una cantidad aumenta mientras que la otra cantidad disminuye (lo inverso u opuesto de aumentar). Multiplicar ambos lados de y = _kx_ por x da como resultado xy = k. Por lo tanto, para cualquier variación inversa, el producto de x e y es una constante distinta de cero.
Variaciones inversas CON PALABRAS
CON NÚMEROS
EN ÁLGEBRA
3 y=_ x xy = 3
k y=_ x xy = k (k ≠ 0)
y varía inversamente con x. y es inversamente proporcional a x.
Existen dos métodos para determinar si una relación entre datos es una variación inversa. Puedes escribir una regla de función del tipo y = _kx_ o puedes comprobar si xy es constante para cada par ordenado.
EJEMPLO
1
Identificar una variación inversa Indica si cada relación es una variación inversa. Explica.
A
x
y
1
B
x
y
20
2
6
2
10
3
9
4
5
6
18
Método 1 Escribe una regla de función. Se puede escribir 20 y=_ x en la forma y = _kx_ .
Método 1 Escribe una regla de función.
La relación es una variación inversa.
La relación no es una variación inversa.
Método 2 Halla xy para cada par ordenado.
Método 2 Halla xy para cada par ordenado.
1(20) = 20, 2(10) = 20, 4(5) = 20 El producto xy es constante; por lo tanto, la relación es una variación inversa.
2(6) = 12, 3(9) = 27, 6(18) = 108 El producto xy no es constante; por lo tanto, la relación no es una variación inversa.
y = 3x
No se puede escribir en la forma y = _kx_ .
12-1 Variación inversa
851
Indica si cada relación es una variación inversa. Explica.
C 5xy = -21
5xy _ -21 _ =
Halla xy. Como xy se multiplica por 5, divide ambos lados
5 entre 5 para cancelar la multiplicación. -21 _ Simplifica. xy = 5 -21 ; por lo tanto, la relación es una variación inversa. xy es igual a la constante ____ 5 5
Indica si cada relación es una variación inversa. Explica. 1a.
Como k es una constante distinta de cero, xy ≠ 0. Por lo tanto, ni x ni y pueden ser iguales a 0 y no hay puntos de solución en los ejes x o y.
EJEMPLO
x
1b.
y
x
y
-12
24
3
3
1
-2
9
1
8
-16
18
1c. 2x + y = 10
0.5
Una variación inversa también se puede identificar mediante su gráfica. A la derecha se muestran algunas gráficas de variación inversa. Observa que cada gráfica tiene dos partes que no se conectan. Observa también que ninguna de las gráficas contiene (0, 0). Esto es porque (0, 0) nunca puede ser la solución de una ecuación de variación inversa.
2
Representar gráficamente una variación inversa Escribe y representa gráficamente la variación inversa en la que y = 2 cuando x = 4. Paso 1 Halla k. k = xy
Escribe la regla para la constante de variación.
= 4(2)
Sustituye x por 4 e y por 2.
=8 Paso 2 Usa el valor de k para escribir una ecuación de variación inversa. k y=_ x
Escribe la regla para la variación inversa.
8 y=_ x
Sustituye k por 8.
Paso 3 Usa la ecuación para hacer una tabla de valores. x
-4
-2
-1
0
1
2
4
y
-2
-4
-8
indef.
8
4
2
Paso 4 Marca los puntos y conéctalos con curvas suaves.
2. Escribe y representa gráficamente la variación inversa en la que y = __12 cuando x = 10. 852
Capítulo 12 Funciones y ecuaciones racionales
EJEMPLO
3
Aplicación a la música La variación inversa xy = 2400 relaciona la frecuencia de vibración y en hertzios (Hz) con la longitud x en centímetros de una cuerda de guitarra. Determina un dominio y un rango razonables y luego representa gráficamente esta variación inversa. Usa la gráfica para estimar la frecuencia de vibración cuando la longitud de la cuerda es 100 centímetros. Paso 1 Resuelve la función para hallar y de manera de poder representarla xy = 2400 2400 y=_ x
Divide ambos lados entre x.
Paso 2 Decide cuáles son un dominio y un rango razonables. x>0
La longitud nunca es negativa y x ≠ 0.
y>0
Como x y xy son positivos, y también es positivo.
Recuerda que a veces el dominio y el rango están limitados en situaciones del mundo real.
x
20
40
60
120
y
120
60
40
20
Paso 4 Marca los puntos. Conéctalos con una curva suave. Paso 5 Halla el valor de y donde x = 100. Cuando la longitud de la cuerda es 100 cm, la frecuencia de vibración es aproximadamente 24 Hz.
6IBRACIØNDECUERDADEGUITARRA &RECUENCIADEVIBRACIØN(Z
Paso 3 Usa valores del dominio para generar pares ordenados razonables.
,ONGITUDDELACUERDACM
3. La variación inversa xy = 100 representa la relación entre la presión x en atmósferas (atm) y el volumen y en mm 3 de un determinado gas. Determina un dominio y un rango razonables y luego representa gráficamente esta variación inversa. Usa la gráfica para estimar el volumen del gas cuando la presión es 40 unidades atmosféricas. El hecho de que xy = k sea el mismo para todos los pares ordenados en cualquier variación inversa puede ayudarte a hallar los valores que faltan en la relación.
Regla del producto para la variación inversa Si (x 1, y 1) y (x 2, y 2) son soluciones de una variación inversa, entonces x 1 y 1 = x 2 y 2.
EJEMPLO
4
Usar la regla del producto Sea x 1 = 3, y 1 = 2 e y 2 = 6. Sea y inversamente proporcional a x. Halla x 2. x1 y1 = x2 y2
(3)(2) = x 2(6) 6 = 6x 2
_ _ 6x 2 6 = 6 6 1 = x2
Escribe la regla del producto para la variación inversa. Sustituye x1 por 3, y1 por 2 e y2 por 6. Simplifica. Halla x2 dividiendo ambos lados entre 6. Simplifica.
12-1 Variación inversa
853
4. Sea x 1 = 2, y 1 = -6 e x 2 = -4. Sea y inversamente proporcional a x. Halla y 2.
EJEMPLO
En el Ejemplo 5, x 1 e y 1 representan el volumen y la presión antes de empujar la manivela hacia adentro y x 2 e y 2 representan el volumen y la presión después de empujar la manivela hacia adentro.
5
Aplicación a la física La ley de Boyle afirma que la presión de una cantidad de gas x varía inversamente con el volumen del gas y. El volumen de aire en el interior de una bomba para bicicletas es 5.2 pulg3 3 y la presión es 15.5 psi. Suponiendo que no se pierde aire, ¿cuál es la presión del aire en el interior de la bomba después de que se empuja la manivela hacia adentro y el aire se comprime a un volumen de 2.6 pulg 3? x1 y1 = x2 y2
6OLUMENPULG 0RESIØNPSI
6OLUMENPULG 0RESIØN
Usa la regla del producto para la variación inversa.
(5.2)(15.5) = (2.6)y 2
Sustituye x1 por 5.2, y1 por 15.5 y x2 por 2.6.
80.6 = 2.6y 2
Simplifica.
2.6y 80.6 _ = _
Halla y2 dividiendo ambos lados entre 2.6.
2
2.6
2.6
31 = y 2
Simplifica.
La presión después de empujar la manivela hacia adentro es 31 psi. 5. En una palanca en equilibrio, el peso varía inversamente con la distancia desde el fulcro hasta el peso. En el diagrama se muestra una palanca en equilibrio. ¿Cuánto pesa la niña?
60 lb
4.3 pies
3.2 pies
Fulcro
RAZONAR Y COMENTAR 1. Menciona dos formas en que puedes identificar una variación inversa. 2. ORGANÍZATE Copia y completa el organizador gráfico. En cada recuadro, escribe un ejemplo de las partes de la variación inversa dada.
?
Y X # ONSTANTEDE VARIACIØN
854
Capítulo 12 Funciones y ecuaciones racionales
'RÈFICA
3OLUCIONES
12-1
Ejercicios
CLAVE: MA7 12-1 CLAVE MA7 PARENT
PRÁCTICA GUIADA
*(Disponible sólo en inglés)
1. Vocabulario Describe la gráfica de una variación inversa. VER EJEMPLO
1
pág. 851
Indica si cada relación es una variación inversa. Explica. 2.
x
y
1
8
4
2
2
4
4. x + y = 8 VER EJEMPLO
2
pág. 852
x
y
1 _ 6
1
1 _ 3
2
2
12
5. 4xy = 3
6. Escribe y representa gráficamente la variación inversa en la que y = 2 cuando x = 2. 7. Escribe y representa gráficamente la variación inversa en la que y = 6 cuando x = -1.
3
8. Viajes La variación inversa xy = 30 relaciona la velocidad constante x en mi/h con el tiempo y en horas que se tarda en viajar 30 millas. Determina un dominio y un rango razonables y luego representa gráficamente esta variación inversa. Usa la gráfica para estimar cuántas horas se tardaría viajando a 4 mi/h.
4
9. Sea x 1 = 3, y 1 = 12 y x 2 = 9. Sea y inversamente proporcional a x. Halla y 2.
VER EJEMPLO pág. 853
VER EJEMPLO
3.
pág. 853
VER EJEMPLO
10. Sea x 1 = 1, y 1 = 4 e y 2 = 16. Sea y inversamente proporcional a x. Halla x 2. 5
pág. 854
11. Mecánica La velocidad de rotación de un engranaje varía inversamente con la cantidad de dientes del engranaje. Un engranaje con 12 dientes tiene una velocidad de rotación de 60 rpm. ¿Cuántos dientes hay en un engranaje que tiene una velocidad de rotación de 45 rpm?
PRÁCTICA Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Práctica independiente
Para los Ejercicios
Ver Ejemplo
12–15 16–17 18 19–20 21
1 2 3 4 5
Práctica adicional Práctica de destrezas, pág. S26 Práctica de aplicación, pág. S39
Indica si cada relación es una variación inversa. Explica. 12.
x
y
3
-3
-5
5
7
-7
13 14. x = _ y
13.
x 2 0.5 8
y 5 20 1.25
15. y = 5x
16. Escribe y representa gráficamente la variación inversa en la que y = -2 cuando x = 5. 17. Escribe y representa gráficamente la variación inversa en la que y = -6 cuando x = - __13 . 18. Ingeniería La variación inversa xy = 12 relaciona la corriente x en amperios con la resistencia y en ohmios de un circuito conectado a una batería de 12 voltios. Determina un dominio y un rango razonables y luego representa gráficamente esta variación inversa. Usa la gráfica para estimar la resistencia de un circuito cuando la corriente es 5 amperios. 19. Sea x 1 = -3, y 1 = -4 e y 2 = 6. Sea y inversamente proporcional a x. Halla x 2. 20. Sea x 1 = 7, y 1 = 9 y x 2 = 6. Sea y inversamente proporcional a x. Halla y 2. 12-1 Variación inversa
855
Deportes de invierno
21. Economía doméstica La longitud de la tela que June puede comprar varía inversamente con el precio por yarda de la tela. June puede comprar exactamente 5 yardas de una tela que cuesta $10.50 por yarda. ¿Cuántas yardas de tela que cuesta $4.25 por yarda puede comprar June? (Supongamos que June sólo puede comprar yardas enteras). 22. Deportes de invierno Cuando una persona camina con raquetas para nieve, la presión sobre la parte superior de la nieve en psi varía inversamente con el área de la parte inferior de la raqueta en pulgadas cuadradas. La constante de variación es el peso en libras de la persona que usa las raquetas. a. Helen pesa 120 libras. ¿Aproximadamente cuánta presión ejerce sobre la parte superior de la nieve si usa raquetas que cubren 360 pulg2? b. Max pesa 207 libras. Si ejerce 0.4 psi de presión sobre la parte superior de la nieve, ¿cuál es el área de la parte inferior de sus raquetas en pulgadas cuadradas?
Originalmente, las raquetas para nieve estaban hechas de marcos de madera encordados con intestinos de animales. Las raquetas modernas se hacen con marcos de acero y pueden tener extensiones para aumentar la tracción.
Determina si cada ecuación representa una variación directa, una variación inversa o ninguna de las dos. Halla la constante de variación cuando exista. 1x-2 1x 14 25. y = _ 26. y = _ 23. y = 8x 24. y = _ x 5 3 x 15 3 30. y = 5x 28. y =_ + 7 29. y = _ 27. y = 4 _ x x 2 31. Varios pasos Un equipo de atletismo compite en una carrera de 10 km. La distancia se divide en partes iguales entre los miembros del equipo. Representa con una ecuación la distancia d que recorrerá cada corredor si hay n corredores. ¿Esto representa una variación directa, una variación inversa o ninguna de las dos? Determina si cada conjunto de datos representa una variación directa, una variación inversa o ninguna de las dos. 32.
x
2
4
8
y
5
10
20
33.
x
6
12
15
y
6
8
9
34.
x
1
2
3
y
12
6
4
35. Varios pasos Tu club da una beca de $2000 a un estudiante cada año y cada miembro contribuye con una cantidad equivalente de dinero. Tu contribución y depende de la cantidad de miembros x. Representa esta situación con una ecuación de variación inversa y luego represéntala gráficamente. ¿Cuáles serían un dominio y un rango razonables? 36. Estimación Estima el valor de y si y es inversamente proporcional a x, x = 4 y la constante de variación es 6π. 37. Razonamiento crítico ¿Por qué el punto (0, 0) nunca será una solución de una variación inversa? 38. Escríbelo Explica cómo escribir una ecuación de variación inversa del tipo y = _kx_ cuando se conocen los valores de x e y. 39. Escríbelo Haz una lista de todos los términos matemáticos que conoces que contengan la palabra inverso. ¿En qué se parecen estos términos? ¿En qué se parece la variación inversa a estos términos? 40. Este problema te ayudará a resolver la Preparación de varios pasos para el examen de la página 876. La cantidad total de días de trabajo que se tarda en construir el armazón de una casa varía inversamente con la cantidad de personas que trabajan en el equipo. Sea x la cantidad de personas del equipo y sea y la cantidad de días de trabajo. a. Halla la constante de variación cuando y = 75 y x = 2. b. Escribe la regla para la ecuación de variación inversa. c. Representa gráficamente la ecuación de esta variación inversa.
856
Capítulo 12 Funciones y ecuaciones racionales
41. ¿Qué ecuación representa mejor la gráfica? 1 y = -_x 4 1 _ y= x 4
4 y = -_ x 4 y=_ x
42. Determina la constante de variación si y varía inversamente con x e y = 2 cuando x = 7. 2 _ 7
7 _ 2
3.5
14
43. ¿Cuál de las siguientes relaciones NO representa una variación inversa? x
2
4
5
x
2
4
5
y
10
5
4
y
8
16
20
17.5 y=_ x
11 _ = xy 2 44. Respuesta gráfica En una feria, la cantidad de boletos para juegos que Brad puede comprar es inversamente proporcional al precio de los boletos. Puede comprar 12 boletos que cuestan $2.50 cada uno. ¿Cuántos boletos puede comprar si cada uno cuesta $3.00?
DESAFÍO Y EXTENSIÓN 45. La definición de variación inversa dice que k es una constante distinta de cero. ¿Qué función representaría y = __kx si k = 0? 46. Mecánica Una parte del sistema de freno de un automóvil usa una palanca para multiplicar la fuerza aplicada al pedal de freno. La fuerza en el extremo de una palanca varía inversamente con la distancia desde el fulcro. El punto P es el extremo de la palanca. Se aplica una fuerza de 2 lb al pedal de freno. ¿Cuál es la fuerza que se crea en el punto P?
6 pulg
3 pies P Fulcro Pedal del freno
47. Comunicación La potencia de una señal de radio varía inversamente con el cuadrado de la distancia desde el transmisor. Una señal tiene una potencia de 2000 vatios cuando está a 4 kilómetros del transmisor. ¿Cuál es la potencia de una señal a 6 kilómetros del transmisor?
REPASO EN ESPIRAL Halla el dominio y el rango para cada relación. Indica si la relación es una función. (Lección 4-2) ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ 48. ⎨(-2, -4), (-2, -2), (-2, 0), (-2, 2)⎬ 49. ⎨(-4, 5), (-2, 3), (0, 1), (2, 3), (4, 5)⎬ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ Resuelve completando el cuadrado. (Lección 9-8) 5 52. 2y 2 + 6y = - _ 2 53. Un rectángulo tiene una longitud de 6 cm y un ancho de 2 cm. Halla la longitud de la diagonal y escríbela como una expresión radical simplificada. (Lección 11-6)
50. x 2 + 12x = 45
51. d 2 - 6d - 7 = 0
12-1 Variación inversa
857
12-2
Funciones racionales ¿Quién lo usa?
Objetivos Identificar valores excluidos de funciones racionales
Los gemólogos pueden usar funciones racionales para maximizar la luz reflejada. (Ver Ejemplo 4)
Representar gráficamente funciones racionales Vocabulario función racional valor excluido función discontinua asíntota
Una función racional es una función cuya regla es un cociente de polinomios en el que el denominador tiene un grado de al menos 1. Es decir, debe haber una variable en el denominador. Las variaciones inversas que estudiaste en la lección anterior son un tipo especial de función racional.
_
_
_
3 1 Funciones racionales: y = 2 x , y = 4 - 2x , y = x 2 x Funciones no racionales: y = , y = 3x 4
_
Para cualquier función que incluya a x e y, un valor excluido es cualquier valor de x que haga que el valor y de la función sea indefinido. Para una función racional, un valor excluido es cualquier valor que hace que el denominador sea igual a 0.
EJEMPLO
1
Identificar valores excluidos Identifica el valor excluido para cada función racional. 8 A y=_ x Haz que el denominador sea igual a 0. x=0 El valor excluido es 0.
3 B y=_
x+3 Haz que el denominador sea igual a 0. x+3=0 Halla x. x = -3 El valor excluido es -3. Identifica el valor excluido para cada función racional. 5 10 4 1c. y = - _ 1a. y = _ 1b. y = _ x x+4 x-1
La mayoría de las funciones racionales son funciones discontinuas, lo que significa que sus gráficas contienen uno o más saltos, discontinuidades u hoyos. Esto ocurre en un valor excluido. Un lugar en el que la gráfica de una función racional es discontinua es en una asíntota. Una asíntota es una línea a la que una gráfica se acerca a medida que el valor absoluto de una variable aumenta. En la gráfica que se muestra, tanto el eje x como el eje y son asíntotas. Las gráficas de las funciones racionales se acercan más y más pero nunca tocan las asíntotas. 858
Capítulo 12 Funciones y ecuaciones racionales
Para las funciones racionales, las asíntotas verticales ocurrirán en los valores excluidos.
Las líneas verticales se escriben en la forma x = b y las líneas horizontales se escriben en la forma y = c.
Observa la gráfica de y = __1x . El denominador es 0 cuando x = 0; por lo tanto, 0 es un valor excluido. Esto significa que hay una asíntota vertical en x = 0. Observa la asíntota horizontal en y = 0. 1 Observa la gráfica de y = ____ + 2. Observa que x-3 la gráfica de la función madre y = __1x ha sido trasladada 3 unidades hacia la derecha y que hay una asíntota vertical en x = 3. La gráfica también se trasladó 2 unidades hacia arriba y hay una asíntota horizontal en y = 2.
Estas traslaciones llevan a las siguientes fórmulas para identificar asíntotas en funciones racionales.
Identificar asíntotas CON PALABRAS
EJEMPLOS
Una función racional del tipo a +c y=_ x-b tiene una asíntota vertical en el valor excluido, o x = b, y una asíntota horizontal en y = c.
EJEMPLO
2
1 +4 y=_ x +2 1 =_ +4 x - (-2)
2 y=_ x 2 +0 =_ x-0 Asíntota vertical: x=0
Asíntota vertical: x = -2
Asíntota horizontal: y=0
Asíntota horizontal: y=4
Identificar asíntotas Identifica las asíntotas. 1 A y=_ x-6
1 +c. Paso 1 Escribe en la forma y = _ x-b 1 +0 y=_ x-6 Paso 2 Identifica las asíntotas. vertical: x=6 horizontal: y = 0 2 -7 B y=_
3x - 10 Paso 1 Identifica la asíntota vertical. 3x - 10 =
0
+10 +10 −−−−− −−− 3x = 10 10 x= _ 3
Halla el valor excluido. Haz que el denominador sea igual a 0. Suma 10 a ambos lados. 10 Halla x. __ es un valor excluido. 3
12-2 Funciones racionales
859
Paso 2 Identifica la asíntota horizontal. c = -7 -7 se puede escribir como + (-7) y = -7 y=c 10 asíntota vertical: x = __ ; asíntota horizontal: y = -7 3
Identifica las asíntotas. 2 1 +5 2a. y = _ 2b. y = _ x-5 4x + 16
3 2c. y = _ - 15 x + 77
a + c cuando Para representar gráficamente una función racional del tipo y = ____ x-b
a = 1, puedes representar gráficamente las asíntotas y luego trasladar la función madre y = __1x . Sin embargo, si a ≠ 1, la gráfica no es una traslación de la función madre. En este caso, puedes usar las asíntotas y una tabla de valores.
EJEMPLO
3
Representar gráficamente funciones racionales usando asíntotas Representa gráficamente cada función. 2 A y=_
x+1 Como el numerador no es 1, usa las asíntotas y una tabla de valores. Paso 1 Identifica las asíntotas vertical y horizontal. Usa x = b. x + 1 = x - (-1), entonces b = -1. vertical: x = -1 Usa y = c. c = 0
horizontal : y = 0
Paso 2 Representa gráficamente las asíntotas usando líneas discontinuas. Paso 3 Haz una tabla de valores. Elige valores de x en ambos lados de la asíntota vertical. x
-3
-2
- __32
- __12
0
1
y
-1
-2
-4
4
2
1
Paso 4 Marca los puntos y conéctalos con curvas suaves. Las curvas se acercan mucho a las asíntotas pero no las tocan. 1 -4 B y=_
x-2 Como el numerador es 1, usa las asíntotas y traslada y = __1x . Paso 1 Identifica las asíntotas vertical y horizontal. vertical:
x=2
horizontal: y = -4
Usa x = b. b = 2 Usa y = c. c = -4
Paso 2 Representa gráficamente las asíntotas usando líneas discontinuas. Paso 3 Dibuja curvas suaves para mostrar la traslación. Representa gráficamente cada función. 1 2 +2 3a. y = _ +3 3b. y = _ x+7 x-3
860
Capítulo 12 Funciones y ecuaciones racionales
4
Aplicación a la gemología Algunos diamantes se cortan usando razones que fueron calculadas por el matemático Marcel Tolkowsky en 1919. La cantidad de luz que se refleja hacia arriba a través de la parte superior de un diamante (resplandor) se puede maximizar usando la razón entre el ancho y la profundidad del diamante. Un gemólogo tiene un diamante con un ancho de 90 milímetros. Si x representa la profundidad del diamante, entonces 90 y = __ x representa la razón de resplandor y.
Poco profundo
Demasiado profundo
Ideal
a. Describe los valores razonables del rango y del dominio. Tanto la profundidad del diamante como la razón de resplandor serán no negativas, por lo tanto, los valores no negativos son razonables para el dominio y el rango. b. Representa gráficamente la función. Paso 1 Identifica las asíntotas vertical y horizontal. vertical: x=0 horizontal: y = 0
Usa x = b. b = 0 Usa y = c. c = 0
Paso 2 Representa gráficamente las asíntotas usando líneas discontinuas. Las asíntotas serán los ejes x e y. Paso 3 Como el dominio se limita a valores no negativos, elige valores de x sólo en el lado derecho de la asíntota vertical. Profundidad del diamante (mm)
2
10
20
45
Razón de resplandor
45
9
4.5
2
Resplandor de un corte de diamante
Paso 4 Marca los puntos y conéctalos con curvas suaves. Razón de resplandor
EJEMPLO
40 30 20 10 0
10
20
30
40
Profundidad (mm)
4. Una bibliotecaria tiene un presupuesto de $500 para comprar copias de un programa de software. Recibirá 10 copias gratis cuando abra una cuenta en la tienda del proveedor. La cantidad de copias y del programa que puede comprar está 500 dada por y = ___ x + 10, donde x es el precio por copia. a. Describe los valores razonables del dominio y del rango. b. Representa gráficamente la función.
12-2 Funciones racionales
861
En la tabla se muestran algunas de las propiedades de las cuatro familias de funciones que has estudiado y sus gráficas.
Familias de funciones FUNCIÓN LINEAL
FUNCIÓN CUADRÁTICA
y = mx + b
y = ax 2 + bx + c
• Función madre: y = x
• Función madre: y = x 2
• m es la pendiente. Rota la gráfica alrededor de (0, b).
• a determina el ancho de la parábola y la dirección hacia la que se abre.
• b es la intersección con el eje y. Traslada la gráfica de y = x verticalmente.
• c traslada la gráfica de y = ax 2 verticalmente. • El eje de simetría es la línea vertical b x = - ___ . 2a
FUNCIÓN DE RAÍZ CUADRADA
FUNCIÓN RACIONAL
y = √
x-a+b
1 +c y=_ x-b
• Función madre: y =
• Función madre: y = __1x
√
x
• a traslada la gráfica de y = horizontalmente.
√x
• b traslada la gráfica y = __1x horizontalmente.
• b traslada la gráfica de y = verticalmente.
√x
• c traslada la gráfica de y = _1x_ verticalmente.
RAZONAR Y COMENTAR 1 1. ¿Hay valores excluidos en y = ____ ? Explica. x-5
1 - 5. 2. Indica cómo hallar las asíntotas vertical y horizontal de y = ____ x+9
3. ORGANÍZATE Copia y completa el organizador gráfico. En cada recuadro, halla las asíntotas para la función racional dada.
862
Capítulo 12 Funciones y ecuaciones racionales
12-2
Ejercicios
CLAVE: MA7 12-2 CLAVE: MA7 Parent *(Disponible sólo en inglés)
PRÁCTICA GUIADA
1. Vocabulario Un valor de x que hace que una función sea indefinida es un(a) ? . (asíntota o valor excluido) VER EJEMPLO
1
pág. 858
VER EJEMPLO
2
pág. 859
VER EJEMPLO
3
pág. 860
VER EJEMPLO
4
pág. 861
Identifica el valor excluido para cada función racional. 2 4 2 4. y = - _ 2. y = _ 3. y = _ x x x+3
16 5. y = _ x-4
Identifica las asíntotas. 4 1 7. y = _ 6. y = _ x-3 3x + 15
1 - 10 9. y = _ x+9
Representa gráficamente cada función. 1 -6 2 11. y = _ 10. y = _ x+6 x-2
2 8. y = _ +2 3x - 5 1 12. y = _ +2 x
1 -2 13. y = _ x-3
14. Servicios de comida y bebida Una proveedora de servicios de comida y bebida tiene un presupuesto de $100 para frutas. El corte y la entrega de cada libra de fruta 100 representa cuesta $5. Si x representa el costo por libra de fruta, entonces y = _____ x+5 la cantidad de libras y que puede comprar. a. Describe los valores razonables de dominio y de rango. b. Representa gráficamente la función.
PRÁCTICA Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Práctica independiente
Para los Ejercicios
Ver Ejemplo
15–18 19–22 23–26 27
1 2 3 4
Práctica adicional Práctica de destrezas, pág. S26 Práctica de aplicación, pág. S39
Identifica el valor excluido para cada función racional. 7 15 1 15. y = _ 16. y = _ 17. y = - _ x x x-4
12 18. y = _ x-5
Identifica las asíntotas. 9 2 20. y = _ 19. y = _ x-4 x+4
7 21. y = _ + 4 4x - 12
7 22. y = _ - 9 3x + 5
Representa gráficamente cada función. 5 1 -6 23. y = _ 24. y = _ x-5 x+5
1 25. y = _ x+4
1 +2 26. y = _ x-4
27. Negocios Un mayorista compra repuestos de automóviles. Tiene $200 para gastar. Recibe 5 repuestos gratis con el pedido. La cantidad de repuestos y que puede comprar, si el 200 precio promedio de los repuestos es x dólares, es y = ___ x + 5. a. Describe los valores razonables del dominio y del rango. b. Representa gráficamente la función. Halla el valor excluido para cada función racional. 4 1 2 28. y = _ 29. y = _ 30. y = _ x x-7 x+4
3 31. y = _ 2x + 1
Representa gráficamente cada función racional. Muestra las asíntotas. 3 1 2 1 32. y = _ 33. y = _ 35. y = _ +3 34. y = _ + 2 -1 x x-4 x-2 x+1 60 relaciona la luminiscencia en lúmenes y de un foco de 60 36. Varios pasos La función y = __ x2 vatios visto desde una distancia de x pies. Representa gráficamente la función. Usa la gráfica para hallar la luminiscencia de un foco de 60 vatios visto desde una distancia de 6 pies.
12-2 Funciones racionales
863
Identifica las asíntotas de cada función racional. 7 1 12 + 5 38. y = _ 37. y = _ -5 39. y = _ x x+1 x-2 Relaciona cada gráfica con una de las siguientes funciones. 1 1 -1 A. y = _ +2 B. y = _ x+1 x+2 41.
44.
42.
18 40. y = _ - 9 x+3
1 +1 C. y = _ x-2 43.
1 Al hallar la asíntota horizontal de y = ____ - 3, x+2 el estudiante A dijo que la asíntota está en y = -3 y el estudiante B dijo que está en y = -2. ¿Quién se equivoca? Explica el error.
/////ANÁLISIS DE ERRORES/////
45. Finanzas El tiempo en meses y que llevará cancelar una cuenta de $1200, cuando se pagan x dólares cada mes y la tarifa de financiación es 1200 . Describe los valores $15 por mes, es y = _____ x - 15 razonables del dominio y del rango y representa gráficamente la función. 46. En la tabla se muestra cuánto tiempo tardan grupos con distintas cantidades de paisajistas en completar un proyecto. a. Representa gráficamente los datos. b. Representa los datos con una función racional. c. ¿Cuántas horas tardarían 12 paisajistas en completar el proyecto? 1 Representa gráficamente cada función. Compara su gráfica con la gráfica de y = __ x. 1 1 1 _ _ _ _ 48. y = 47. y = 50. y = 1 - 9 49. y = + 4 x x+7 x-6 x-2
Halla el dominio que hace que el rango sea positivo. 10 10 5 51. y = _ 52. y = _ 53. y = _ x-2 x+2 5x + 1
4 54. y = _ 3x - 7
55. Razonamiento crítico ¿En qué cuadrantes hallarías la gráfica de y = _ax_ cuando a es positivo? ¿Y cuando a es negativo? 56. Este problema te ayudará a resolver la Preparación de varios pasos para el examen de la página 876. Para construir una casa para beneficencia se necesita un total de 250 días de trabajo. Por ejemplo, si 2 trabajadores construyen la casa, tardan 125 días de construcción. Si trabajan 10 obreros, tardan 25 días. a. Escribe una función que represente la cantidad de días de construcción en función de la cantidad de trabajadores. b. ¿Cuál es el dominio de esta función? c. Traza una gráfica de la función. 864
Capítulo 12 Funciones y ecuaciones racionales
57. Escríbelo Representa gráficamente cada par de funciones en una calculadora de gráficas. Luego haz una conjetura sobre la relación entre las gráficas de las funciones racionales -k y = __kx e y = ___ x . 3 -3 b. y = _; y = _ x x
1 -1 a. y = _ ;y=_ x x
5 -5 c. y = _; y = _ x x
58. ¿Qué función se representa gráficamente? 2 2 y=_-4 y=_+4 x+3 x-3 2 2 y=_-3 y=_+3 x+4 x-4 59. ¿Qué función racional tiene una gráfica con la asíntota horizontal y = -1? -1 1 y=_ y=_ x x+1 1 1 y=_ y=_-1 x x-1 60. Respuesta breve Escribe una función racional cuya gráfica tenga la misma forma que la gráfica de f (x) = __1x , pero que esté trasladada 2 unidades a la izquierda y 3 unidades hacia abajo. Representa gráficamente la función.
DESAFÍO Y EXTENSIÓN 1 61. Representa gráficamente la ecuación y = _____ . 2 x +1
a. ¿Esta ecuación representa una función racional? Explica. b. ¿Cuál es el dominio de la función? c. ¿Cuál es el rango de la función? d. ¿La gráfica es discontinua? (x - 3)(x - 1) 62. Calculadora de gráficas ¿Las gráficas de f (x) = __________ y g (x) = x - 1 ( x - 3)
son idénticas? Explica. (Pista: ¿Hay valores excluidos?). 63. Razonamiento crítico Escribe la ecuación de la función racional que tiene una asíntota horizontal en y = 3 y una asíntota vertical en x = -2 y que contiene el punto (1, 4).
REPASO EN ESPIRAL Resuelve cada ecuación representando gráficamente la función relacionada. (Lección 9-5) 64. 4 - x 2 = 0
65. 3x 2 = x 2 + 2x + 12
66. -x 2 = -6x + 9
67. En las primeras cinco etapas de un diseño fractal, un segmento de recta tiene las siguientes longitudes en centímetros: 240, 120, 60, 30, 15. Usa este patrón y tus conocimientos sobre sucesiones geométricas para determinar la longitud del segmento en la décima etapa. (Lección 11-1) Determina si cada función representa una variación inversa. Explica. (Lección 12-1) 68. x + y = 12
69.
x
30
60
90
120
y
10
20
30
40
70. xy = -4
12-2 Funciones racionales
865
12-3
Cómo simplificar expresiones racionales ¿Para qué sirve?
Objetivos Simplificar expresiones racionales
Las formas y los tamaños de las plantas y los animales se determinan en parte mediante la razón entre el área total y el volumen.
Identificar valores excluidos de expresiones racionales Vocabulario expresión racional
Si el cuerpo de un animal es pequeño y su área total es grande, la tasa de pérdida de calor será alta. Los colibríes mantienen un metabolismo alto para compensar la pérdida de calor corporal que se produce porque la razón del área total al volumen es alta. Las fórmulas para las razones de área total a volumen son expresiones racionales. Una expresión racional es una expresión algebraica cuyo numerador y denominador son polinomios. El valor de la expresión polinomial en el denominador no puede ser cero porque la división entre cero es indefinida. Esto significa que las expresiones racionales pueden tener valores excluidos.
EJEMPLO
1
Identificar valores excluidos Halla los valores excluidos de cada expresión racional.
A
5 _
8r 8r = 0
Haz que el denominador sea igual a 0.
0 r=_=0 8 El valor excluido es 0.
B
Halla el valor de r dividiendo ambos lados entre 8.
9d + 1 _ d 2 - 2d
d 2 - 2d = 0 Si deseas repasar la propiedad del producto cero, consulta la Lección 9-6. Si deseas repasar la factorización de trinomios, consulta el Capítulo 8.
Haz que el denominador sea igual a 0.
d (d - 2) = 0
Factoriza.
d=0
Usa la propiedad del producto cero.
ó d-2=0
d=2 Los valores excluidos son 0 y 2.
C
Halla d.
x+4 __ x 2 + 5x + 6
x 2 + 5x + 6 = 0
Haz que el denominador sea igual a 0.
(x + 3)(x + 2) = 0
Factoriza.
ó x+2=0
x+3=0 x = -3
ó
x = -2
Usa la propiedad del producto cero. Resuelve cada ecuación para hallar x.
Los valores excluidos son –3 y –2. Halla los valores excluidos de cada expresión racional. 3k 2 3b 12 __ 1a. _ 1c. 1b. _ t+5 b 2 + 5b k 2 + 7k + 12
866
Capítulo 12 Funciones y ecuaciones racionales
Una expresión racional está en su mínima expresión cuando el numerador y el denominador no tienen factores comunes excepto 1. Recuerda que para simplificar fracciones puedes cancelar los factores comunes que aparecen en el numerador y en el denominador. Puedes hacer lo mismo para simplificar expresiones racionales.
EJEMPLO
2
Simplificar expresiones racionales Simplifica cada expresión racional, si es posible. Identifica los valores excluidos.
A
3t _ 3
12t 3t 2 _ 3 · 4t
Factoriza 12. Cancela los factores comunes. Observa que si t = 0, la expresión es indefinida.
2
1 3t 3 _ 1 13 · 4t
Asegúrate de usar el denominador original al hallar valores excluidos. Los valores excluidos pueden no “verse” en el denominador simplificado.
Simplifica. El valor excluido es 0.
t2 _ ;t≠0 4
B
3x - 9x _ 2
x-3
3x (x - 3) _ x-3 3x (x - 3)1 _ x - 31
Factoriza el numerador. Cancela los factores comunes. Observa que si x = 3, la expresión es indefinida. Simplifica. El valor excluido es 3.
3x; x ≠ 3
C
c _
c+5 c _ ; c ≠ -5 c+5
El numerador y el denominador no tienen factores comunes. El valor excluido es –5.
Simplifica cada expresión racional, si es posible. Identifica los valores excluidos. 6p 3 + 12p 5m 2 3n 2b. _ 2a. _ 2c. _ 2 15m n -2 p +2 De ahora en adelante, en este capítulo puedes suponer que los valores de las variables que hacen que el denominador sea igual a 0 son valores excluidos. No necesitas incluir valores excluidos en tus respuestas a menos que se pida.
EJEMPLO
3
Simplificar expresiones racionales con trinomios Simplifica cada expresión racional, si es posible.
A
2
k+1 __
B
k 2 - 4k - 5
k+1 __ (k + 1)(k - 5) k + 11 __ (k + 1)1(k - 5) 1 _ k-5
Factoriza el numerador y el denominador cuando sea posible. Cancela los factores comunes. Simplifica.
y - 16 __ y 2 - 8y + 16
(y + 4)(y - 4) __ (y - 4)(y - 4) (y + 4)(y - 4)1 __ (y - 4)(y - 4)1 y+4 _ y-4
12-3 Cómo simplificar expresiones racionales
867
Simplifica cada expresión racional, si es posible. r+2 b 2 - 25 3a. __ 3b. __ 2 2 r + 7r + 10 b + 10b + 25 Recuerda del Capítulo 8 que los binomios opuestos pueden ayudarte a factorizar polinomios. Reconocer binomios opuestos también puede ayudarte a simplificar expresiones racionales. x-3 . El numerador y el denominador son binomios opuestos. Por lo tanto, Considera ____ 3-x x - 31 x-3 x-3 _ 1 = -1. _ = = __1 = _ 3-x -x + 3 -1 ( ) -1 x - 3
EJEMPLO
4
Simplificar expresiones racionales usando binomios opuestos Simplifica cada expresión racional, si es posible.
A
2x - 10 _
B
25 - x 2 2(x - 5) __
Factoriza.
(5 - x)(5 + x) 2(x - 5) __ Identifica los binomios opuestos. (5 - x)(5 + x) 2(x - 5) __ Vuelve a escribir un binomio -1(x - 5)(5 + x) opuesto. ( ) 2 x 5 __ Cancela los factores comunes. -1(x - 5)(5 + x) 2 -_ 5+x
Simplifica.
2 - 2m __
2m 2 + 2m - 4 2(1 - m) __
2(m + 2)(m - 1) 2(1 - m) __ 2(m + 2)(m - 1)
2(1 - m) ___ 2(m + 2)(-1)(1 - m) 2 1(1 - m)1 ___ 2 1(m + 2)(-1)(1 - m)1 1 -_ m+2
Simplifica cada expresión racional, si es posible. 3x - 12 4a. _2 16 - x
6 - 2x 4b. __ 2x 2 - 4x - 6
3x - 33 tude 4c. _ x 2 - 121
Simplificar expresiones racionales Cuando no sé si puedo cancelar parte de una expresión, sustituyo un número en la expresión original y la simplifico. Luego simplifico la expresión original cancelando el término en cuestión. Compruebo viendo si los resultados son los mismos. 4x Por ejemplo, usaré x = 2 para ver si puedo cancelar 4x en _____ . 4x - 7
Sustituyo x = 2.
Tanika Brown, Escuela Superior Washington
4x _ 4x - 7 4(2) _
4(2) - 7 8 =_ 8 =8 _ 1 8-7 1 4x no se puede cancelar porque 8 ≠ ___ . -6
868
Capítulo 12 Funciones y ecuaciones racionales
Cancelo 4x. 4 1x 1 _ 1 1 4 x -7 1 _ 1-7 1 _ -6
EJEMPLO
5
Aplicación a la biología Las plantas del desierto deben conservar el agua. El agua se evapora de la superficie de una planta. El volumen determina cuánta agua hay en una planta. Por lo tanto, cuanto mayor sea la razón del área total al volumen, menor será la probabilidad de que una planta sobreviva en el desierto. Un cactus barril de oro es una planta del desierto cuya forma es casi esférica. a. ¿Cuál es la razón del área total al volumen de un cactus barril de oro esférico? (Pista: Para una esfera, A = 4πr 2 y V = _43_ πr 3). 4πr 2 _ _4_ πr 3 3
Escribe la razón del área total al volumen.
4π 1r 2 _ _4_ π 1r 3 3
Cancela los factores comunes.
1
Cuando hay dos fracciones con el mismo numerador, el valor de la fracción con el denominador mayor es menor que el valor de la otra fracción. 9>3 2 2 4 7 El cactus barril de oro de 7 pulgadas de radio tiene mayores posibilidades de sobrevivir. Su razón del área total al volumen es menor que la de un cactus de 4 pulgadas de radio. 5. ¿Qué cactus barril de oro tiene menos posibilidades de sobrevivir en el desierto: uno con un radio de 6 pulgadas o uno con un radio de 3 pulgadas? Explica.
RAZONAR Y COMENTAR 1. Escribe una expresión racional que tenga un valor excluido que no se pueda identificar cuando la expresión está en su forma simplificada. 2. ORGANÍZATE Copia y completa el organizador gráfico. En cada recuadro, escribe y simplifica una de las expresiones racionales dadas usando x-3 5x ____ x _______ - 4x el método más apropiado. ________ , ___ , 4x , 4x 8x 2 2 -4 4
x - 6x + 9
5SANDOLASPROPIEDADES DELOSEXPONENTES
2
x
5SANDOBINOMIOSOPUESTOS
&ORMASDESIMPLIFICAR EXPRESIONESRACIONALES &ACTORIZANDOELNUMERADOR
&ACTORIZANDOELDENOMINADOR
12-3 Cómo simplificar expresiones racionales
869
12-3
Ejercicios
CLAVE: MA7 12-3 CLAVE: MA7 Parent *(Disponible sólo en inglés)
PRÁCTICA GUIADA
1. Vocabulario ¿Qué es verdadero sobre el numerador y el denominador de las expresiones racionales? VER EJEMPLO
1
pág. 866
VER EJEMPLO
2
3
pág. 867
VER EJEMPLO
4
pág. 868
VER EJEMPLO pág. 869
5
p2 4. __ p 2 - 2p - 15
x+2 3. _ x 2 - 8x
5 2. _ m
pág. 867
VER EJEMPLO
Halla los valores excluidos de cada expresión racional.
Simplifica cada expresión racional, si es posible. Identifica los valores excluidos. 4a 2 5. _ 8a
2d 2 + 12d 6. _ d+6
10 8. _ 5-y
2h 9. _ 2h + 4
2 7. _ y+3 3(x + 4) 10. _ 6x
Simplifica cada expresión racional, si es posible. b+4 11. __ 2 b + 5b + 4
s2 - 4 12. _ 2 s + 4s + 4
c 2 + 5c + 6 13. __ (c + 3)(c - 4)
(x - 2)(x + 1) 14. __ x 2 + 4x + 3
j 2 - 25 15. __ j 2 + 2j - 15
p+1 16. __ 2 p - 4p - 5
2n - 16 17. _2 64 - n
8 - 4x 18. __ 2x 2 - 12x + 16
10 - 5r 19. __ r 2 - 4r - 12
2x - 14 20. _2 49 - x
5q - 50 21. _2 100 - q
36 - 12a 22. __ a 2 + 2a - 15
23. Construcción El lado de un techo triangular tendrá la misma altura h y base b 2 que el lado de un techo trapezoidal.
a. ¿Cuál es la razón del área del techo triangular al área del techo trapezoidal?
LÓ
(Pista: Para un triángulo, A = __12 b 2h.
L£
b +b
1 2 h). Para un trapecio, A = ______ 2
b. Compara la razón de la parte a con lo que será la razón si b 1 se duplica para el techo trapezoidal y b 2 se duplica para ambos techos.
LÓ
PRÁCTICA Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Halla los valores excluidos de cada expresión racional. c 24. _ c2 + c
2 25. _ -3x
4 26. __ x 2 - 3x - 10
n2 - 1 27. __ 2 2n - 7n - 4
Simplifica cada expresión racional, si es posible. Identifica los valores excluidos. 4d 3 + 4d 2 28. _ d+1
870
3m 2 29. _ m-4
Capítulo 12 Funciones y ecuaciones racionales
10y 4 30. _ 2y
2t 2 31. _ 16t
Práctica independiente
Para los Ejercicios
Ver Ejemplo
24–27 28–31 32–37 38–40 41
1 2 3 4 5
Práctica adicional Práctica de destrezas, pág. S26 Práctica de aplicación, pág. S39
Biología
Simplifica cada expresión racional, si es posible. q-6 z 2 - 2z + 1 __ 32. __ 33. q 2 - 9q + 18 z2 - 1
t-3 34. _ t 2 - 5t + 6
p 2 - 6p - 7 35. __ p 2 - 4p - 5
x2 - 1 36. __ 2 x + 4x + 3
2x - 4 37. __ x 2 - 6x + 8
20 - 4x 38. _ x 2 - 25
3 - 3b 39. __ 3b 2 + 18b - 21
3v - 36 40. _2 144 - v #AJA!
41. Geometría Al elegir tamaños de paquetes, una empresa quiere un paquete que use la menor cantidad de material y contenga el mayor volumen de producto. a. ¿Cuál es la razón del área total al volumen para un prisma rectangular? (Pista: Para un prisma rectangular, A = 2la + 2lh + 2ah y V = lah).
PULG PULG
b. ¿Qué caja debería elegir la empresa? Explica.
de pesca y vida silvestre de Estados Unidos
PULG
PULG
PULG
42. Biología En la tabla se da información sobre dos poblaciones de animales que se liberaron a su hábitat natural. Supongamos que se liberan en el área 16 predadores y 20 presas más. Escribe y simplifica una expresión racional para mostrar la razón entre predadores y presas. Como resultado de una política nacional de protección y reintroducción, la población de águilas calvas en los 48 estados contiguos creció de 417 parejas reproductoras en 1963 a más de 6400 parejas reproductoras en 2000. Fuente: Servicio
#AJA"
PULG
Predador
Presa
Población original
x
x
Población 5 años después
4x
5x
Simplifica cada expresión racional, si es posible. p 2 + 12p + 36 43. __ 12p + 72
3n 3 + 33n 2 + 15n 44. __ 3n 3 + 15n
a 45. _ 2a + a
j-5 46. _ 2 j - 25
6w 2 + 11w - 7 47. __ 6w - 3
n 2 - n - 56 48. __ n 2 - 16n + 64
(x + 1)2 49. __ x 2 + 2x + 1
5 50. _2 (x + 5)
25 - x 2 51. __ 2 x - 3x - 10
52. Este problema te ayudará a resolver la Preparación de varios pasos para el examen de la página 876. Se necesitan 250 días de trabajo para construir una casa. La cantidad de días de construcción está determinada por la cantidad de trabajadores del equipo. El equipo incluye a un encargado que supervisa a los trabajadores y comprueba que no haya problemas pero no construye. Cantidad de
a. En la tabla se muestra la cantidad trabajadores (x) de días de construcción en función 2 de la cantidad de trabajadores. Copia y completa la tabla. b. Usa la tabla para escribir una función que represente la cantidad de días de construcción. c. Identifica los valores excluidos de la función.
3
Días de trabajo __ Trabajadores 250 _ 2-1 250 _ 3-1
Días de construcción (y) 250
6 11
25
12-3 Cómo simplificar expresiones racionales
871
53. Geometría Sea l la longitud de una arista de un cubo. a. Escribe la razón del área total al volumen de un cubo en forma simplificada. (Pista: Para un cubo, A = 6s 2). b. ¿Cuál es la razón del área total al volumen del cubo cuando l = 2? c. ¿Cuál es la razón del área total al volumen del cubo cuando l = 6? l
54. Escríbelo Explica cómo hallar valores excluidos para una expresión racional.
55. Razonamiento crítico Da un ejemplo de una expresión racional que tenga a x en el numerador y en el denominador, pero que no se pueda simplificar.
56. ¿Qué expresión es indefinida para x = 4 y x = -1? x-1 x-4 x _ _ __ 2 x+4 x+4 x + 3x - 4
x __ 2 x - 3x - 4
57. ¿Qué expresión es la razón del área de un triángulo al área de un rectángulo que tiene la misma base y altura? (bh)2 bh 1 _ _ _ 2 2 2 2 x-4 58. Respuesta gráfica ¿Cuál es el valor excluido para __ ? x 2 - 8x + 16
DESAFÍO Y EXTENSIÓN Indica si cada enunciado es verdadero algunas veces, siempre o nunca. Explica. 59. Una expresión radical tiene un valor excluido. 60. Una expresión racional tiene una raíz cuadrada en el numerador. 61. La gráfica de una función racional tiene al menos una asíntota. Simplifica cada expresión racional. 9v - 6v 2 62. __ 4v 2 - 4v - 3
2a 2 - 7a + 3 63. __ 2a 2 + 9a - 5
0.25y - 0.10 64. __ 0.25y 2 - 0.04
Identifica los valores excluidos de cada expresión racional. _1_ x 2 - 7x + 49 4 65. __ _1_ x 2 - 49 4
-80x + 40x 2 + 40 66. __ -30 - 30x 2 + 60x
6x + 12 67. _2 12x + 6x
REPASO EN ESPIRAL 68. El área de un rectángulo mide 24 pies cuadrados. Cada dimensión se multiplica por un factor de escala y el área del nuevo rectángulo mide 864 pies cuadrados. ¿Cuál es el factor de escala? (Lección 2-7) Usa intersecciones para representar gráficamente la línea descrita por cada ecuación. (Lección 5-2) 1 69. 5x - 3y = -15 70. y = 8x - 8 71. _ x + y = 2 2 Para cada una de las siguientes expresiones, y varía inversamente con x. (Lección 12-1) 1 . Halla x . 72. x 1 = 2, y 1 = 4 y x 2 = 1. Halla y 2. 73. x 1 = 2, y 1 = -1 y y 2 = _ 2 3
872
Capítulo 12 Funciones y ecuaciones racionales
12-3
Representar gráficamente funciones racionales Puedes usar una calculadora de gráficas para representar gráficamente funciones racionales y para comparar gráficas de funciones racionales antes y después de simplificarlas. Para usar con la Lección 12-3 CLAVE: MA7 Lab12
Actividad x-1 Simplifica y = _________ y da los valores excluidos. Luego representa gráficamente la 2 x - 5x + 4
función original y la función simplificada y compara las gráficas. 1
2
Simplifica la función y halla los valores excluidos. x-1 x-1 1 ; valores excluidos: 4, 1 __ = __ =_ (x - 1)(x - 4) x - 4 x 2 - 5x + 4 x-1 1 Escribe y = ________ e y = ____ en tu calculadora como se muestra 2 x-4 x - 5x + 4
y oprime
.
3
Para comparar las gráficas, oprime . En la parte superior de la pantalla puedes ver en qué gráfica está el cursor. Para alternar entre gráficas, oprime y .
4
Las gráficas parecen ser las mismas, pero comprueba los valores . Observa que no excluidos, 4 y 1. Mientras estás en Y1, oprime 4 hay valor de y en x = 4. La función es indefinida.
5
Oprime para cambiar a Y2 y oprime 4 . Esta función también es indefinida en x = 4. Las gráficas son las mismas en este valor excluido.
6
Regresa a Y1 y oprime 1 . Esta función es indefinida en x = 1. Sin embargo, ésta no es una asíntota vertical. En cambio, esta gráfica tiene un “hoyo” en x = 1.
7
Cambia a Y2 y oprime 1 . Esta función está definida en x = 1. Por lo tanto las dos gráficas son las mismas excepto en x = 1.
Inténtalo 1. ¿Por qué x = 1 es un valor excluido para una función pero no para la otra? x-1 1 2. Las funciones y = ________ e y = ____ ¿son realmente equivalentes para todos los valores x-4 x 2 - 5x + 4 de x? Explica.
3. Haz una conjetura Completa cada enunciado. a. Si un valor de x es excluido de una función y de su forma simplificada, aparece en la gráfica como un(a) ? . −−−−− b. Si un valor de x es excluido de una función pero no de su forma simplificada, aparece en la gráfica como un(a) ? . −−−−−
12- 3 Laboratorio de tecnología
873
Representar cuerpos geométricos geometría
Ver Banco de destrezas, página S65
Una plantilla es un patrón plano que se puede plegar para construir un cuerpo geométrico. La plantilla muestra todas las caras y superficies del cuerpo.
Para identificar el cuerpo que muestra una plantilla, recuerda estas propiedades de los cuerpos.
Prismas
Pirámides
Cilindro
• Un prisma tiene dos bases paralelas y congruentes que son polígonos. Las otras caras son rectángulos o paralelogramos. • La base de una pirámide es un polígono. Las otras caras son triángulos. • Un cilindro tiene dos círculos congruentes como bases. • Un cono tiene un círculo como base.
Ejemplo 1 Identifica el cuerpo que muestra esta plantilla. Todas las caras son polígonos; por lo tanto, esto es un prisma o una pirámide. Busca un par de polígonos congruentes. Hay dos triángulos rectángulos congruentes. El cuerpo es un prisma. Un prisma se identifica por la forma de sus bases, por lo tanto, este es un prisma triangular.
Inténtalo Identifica el cuerpo que muestra cada plantilla. 1.
874
2.
Capítulo 12 Funciones y ecuaciones racionales
3.
Cono
Identifica el cuerpo que muestra cada plantilla. 4.
5.
6.
Un plano de cimentación es un dibujo que representa un cuerpo hecho con cubos. Los cuadrados del plano de cimentación son una vista superior del cuerpo. El número en cada cuadrado muestra la altura del cuerpo en ese punto. El plano de cimentación que se muestra es un conjunto de instrucciones para construir el cuerpo que está al lado.
Ejemplo 2 Dibuja un plano de cimentación para este cuerpo geométrico. Usa cuadrados para mostrar una vista superior del cuerpo.
Escribe un número en cada cuadrado para mostrar la altura en ese punto.
Inténtalo Dibuja un plano de cimentación para cada cuerpo geométrico. 7.
8.
9.
10.
11.
12.
Conexión entre el álgebra y la geometría
875
SECCIÓN 12A
Funciones y expresiones racionales Días de construcción Robert forma parte de un equipo de voluntarios que construyen casas para familias de bajos ingresos. En la tabla se muestra cuántos días de construcción tardan en completar una casa varios equipos con distintas cantidades de trabajadores.
Cantidad de trabajadores
Días de construcción
Días de trabajo
2
100
200
4
50
200
8
25
200
10
20
200
20
10
200
1. Trabajando a la misma velocidad, ¿cuántos días de construcción tarda un equipo de 40 trabajadores en construir la casa?
2. Expresa la cantidad de días de construcción en función de la cantidad de trabajadores del equipo. Define las variables. ¿Qué tipo de relación se forma en la situación?
3. Explica cómo la cantidad de trabajadores del equipo afecta la cantidad de días de construcción.
4. ¿Aproximadamente cuántos días de construcción tarda un equipo de 32 trabajadores en terminar una casa?
5. Si un equipo puede terminar una casa en 12.5 días, ¿cuántos trabajadores hay en el equipo?
6. ¿Cuáles son un dominio y un rango razonables de la función?
7. Supongamos que hay dos encargados que no realizan trabajo de construcción pero que se cuentan como parte del equipo. Expresa la cantidad de días de construcción en función de la cantidad de integrantes del equipo. ¿Cuáles son las asíntotas de esta función? Explica. Representa gráficamente la función.
876
Capítulo 12 Funciones y ecuaciones racionales
SECCIÓN 12A
Prueba de las Lecciones 12-1 a 12-3 12-1 Variación inversa Indica si cada relación representa una variación inversa. Explica. 1.
x
-5
-4
-3
y
10
-8
6
2.
x
18
9
6
y
2
4
6
x 3 5. x y = -2 6. y = _ 4. y + x = _ 4 5 7. Escribe y representa gráficamente la variación inversa en la que y = 3 cuando x = 2. 3 3. y = _ x
8. Escribe y representa gráficamente la variación inversa en la que y = 4 cuando x = -1. 9. La cantidad de calculadoras que la maestra Hopkins puede comprar para el salón de clases varía inversamente con el costo de cada calculadora. Puede comprar 24 calculadoras que cuestan $60 cada una. ¿Cuántas calculadoras puede comprar si cuestan $80 cada una?
12-2 Funciones racionales Identifica el valor excluido y las asíntotas vertical y horizontal para cada función racional. Luego representa gráficamente cada función. 6 4 2 -3 12. y = _ 13. y = _ 11. y = _ x+2 x-1 x+1 14. Jeff construye maquetas de trenes. Tiene $75 para gastar en paquetes de elementos para el paisaje en miniatura. Recibe 6 paquetes gratis con cada pedido. La cantidad 75 de paquetes y que Jeff puede comprar se da en y = __ x + 6, donde x representa el costo de cada paquete en dólares. Describe los valores razonables del dominio y del rango y representa gráficamente la función.
12 10. y = _ x
12-3 Cómo simplificar expresiones racionales Halla los valores excluidos de cada expresión racional. p x+2 15 15. _ 17. __ 16. _ n p-8 x 2 + 6x + 8
t-1 18. _ t2 + t
Simplifica cada expresión racional, si es posible. Identifica los valores excluidos. s+1 2n 12 - 3x 3x 2 20. _ 21. __ 22. __ 19. _ 6x 3 n 2 - 3n s 2 - 4s - 5 x 2 - 8x + 16 23. Supongamos que un cono y un cilindro tienen el mismo radio y que la altura inclinada l del cono es la misma que la altura h del cilindro. Halla la razón del área total del cono al área total del cilindro.
¿Listo para seguir?
877
12-4
Cómo multiplicar y dividir expresiones racionales ¿Para qué sirve?
Objetivo Multiplicar y dividir expresiones racionales
Puedes multiplicar expresiones racionales para determinar las probabilidades de ganar premios en las ferias. (Ver Ejemplo 5) Las reglas para multiplicar expresiones racionales son las mismas que para multiplicar fracciones. Multiplicas los numeradores y multiplicas los denominadores.
Multiplicar expresiones racionales a ·_ c =_ ac . Si a, b, c y d son polinomios distintos de cero, entonces _ b d bd
EJEMPLO
1
Multiplicar expresiones racionales Multiplica. Simplifica tu respuesta.
A
Puedes consultar la propiedad del cociente de potencias en la Lección 7-4. a m = a m-n _ an
a+3 _ 6 _ · 3a + 9
2
6(a + 3) _ 2(3a + 9)
Multiplica los numeradores y los denominadores.
6(a + 3) __ 2 · 3(a + 3)
Factoriza.
6 1(a + 3)1 _ 6 1(a + 3)1 1
B
Cancela los factores comunes. Simplifica.
12b c _ 15a b _ · 3 2
5ac
2
3b 2c
(12)(15)a 2(b 3 · b)c 2 __ (5)(3)ab 2(c · c) 180a 2b 4c 2 _ 15ab 2c 2 12a 1b 2c 0 12ab 2
C
878
Multiplica los numeradores y los denominadores. Ordena la expresión para que las variables semejantes estén juntas. Simplifica. Cancela los factores comunes. Usa las propiedades de los exponentes. Simplifica. Recuerda que c 0 = 1.
5x _ 3x _ · 2
2y
3
2y 2 15x 3 _ 4y 5
Capítulo 12 Funciones y ecuaciones racionales
Multiplica. No hay factores comunes; por lo tanto, el producto no se puede simplificar.
Multiplica. Simplifica tu respuesta. 5 (c - 4) 5y z _ 2x 4y 2 45 1a. _ · __ 1b. _ · 5 4xy 3xy 2z (-4c + 16)
EJEMPLO
2
Multiplicar una expresión racional por un polinomio 4 Multiplica (x 2 + 8x + 15)_____ . Simplifica tu respuesta. 2x + 6
Así como puedes escribir un entero como fracción, puedes escribir cualquier expresión como una expresión racional, escribiéndola con denominador 1.
x 2 + 8x + 15 _ __ · 4 1 2x + 6
Escribe el polinomio sobre 1.
(x + 3)(x + 5) _ 4 __ · 1 2(x + 3)
Factoriza el numerador y el denominador.
(__ x + 3)1 (x + 5)4 2 2 1(x + 3)1
Cancela los factores comunes.
2x + 10
Multiplica los factores que quedan. m-5 2. Multiplica __________ · 3m + 6. Simplifica tu respuesta. 2 m - 4m - 12
Existen dos métodos para simplificar expresiones racionales. Puedes simplificar primero cancelando los factores comunes y luego multiplicando los factores que quedan. También puedes multiplicar primero y luego simplificar. Con cualquiera de los dos métodos se obtiene la misma respuesta.
EJEMPLO
3
Multiplicar expresiones racionales que contienen polinomios 4d + 4d _______ Multiplica _______ · 2 . Simplifica tu respuesta. 16f 2f
3
7d f + 7f
Método 1 Simplifica primero.
Método 2 Multiplica primero.
2f 4d 3 + 4d _ _ · 16f 7d 2f + 7f
2f 4d 3 + 4d _ _ · 16f 7d 2 f + 7f
4d(d 2 + 1) _ 2f __ · 16f 7f (d 2 + 1)
Factoriza.
(4d 3 + 4d)2f __ 16f (7d 2f + 7f )
Multiplica.
4 1d (d 2 + 1) __ 2 1f 1 __ · 2 1 1 16 f 7f (d 2 + 1)
Cancela los factores comunes.
8d 3f + 8df __ 112d 2f 2 + 112f 2
Distribuye.
1
Luego multiplica. d _ 14f
Luego simplifica. Simplifica.
8df (d 2 + 1) __ 112f 2(d 2 + 1)
Factoriza.
8 1d f 1(d 2 + 1 ) __ 1 1 112 14 f 2 (d 2 + 1)
Cancela los factores comunes.
d f _ 14
Simplifica.
1
Multiplica. Simplifica tu respuesta. 2 - 3p - 10 p+4 p n 2 + 8n + 16 n-5 __ _ __ · 3b. · 3a. _ 2 2 2 n + 4n n - 3n - 10 p + 2p p 2 + 16
12-4 Cómo multiplicar y dividir expresiones racionales
879
Las reglas para dividir expresiones racionales son las mismas que para dividir fracciones. Para dividir entre una expression racional, multiplica por su recíproco.
Dividir expresiones racionales a ÷_ c =_ a ·_ d =_ ad . Si a, b, c, y d son polinomios distintos de cero, entonces _ b d b c bc
EJEMPLO
4
Dividir entre expresiones racionales y polinomios Divide. Simplifica tu respuesta.
A
x-2 _1 ÷ _ x 2x 2x 1 ·_ _
Escribe como una multiplicación por el recíproco.
x-2 ) ( 1 2x _ x
Multiplica los numeradores y los denominadores.
x(x - 2) 2 x1 _ 1 x (x - 2) 2 _ x-2
B
Cancela los factores comunes. Simplifica.
2-x x - 2x __ _ ÷ 2
x
x 2 + 2x + 1 2 x 2 - 2x x + 2x + 1 _ · x 2-x x + 1)(x + 1) ( ( ) x x 2 _ · __ x 2-x ( ) ( x + 1)(x + 1) x x 2 _ · __ x -1(x - 2)
__
(x + 1)(x + 1) x 1(x - 2)1 __ _ · 1 x -1(x - 2)1 2 -(x + 1)
C
3a b ( _ ÷ 3a + 6a) b 3a + 6a 3a b _ _ ÷ 1 b 1 b 3a _ _· 2
Escribe como una multiplicación por el recíproco. Factoriza. Vuelve a escribir un binomio opuesto. Cancela los factores comunes. Multiplica.
2
2
2
2
3a + 6a 3a 2b __ b(3a 2 + 6a) 2
b
Escribe el binomio sobre 1. Escribe como una multiplicación por el recíproco. Multiplica los numeradores y los denominadores.
1
3 1a 2 b 1 __ 1⎡ 1 1 b ⎣3 a (a + 2)⎤⎦ a _ (a + 2)
Factoriza. Cancela los factores comunes. Simplifica.
Divide. Simplifica tu respuesta. 18vw 2 3v 2x 4 x3 3 4b. _ ÷ _ 4a. _2 ÷ _ 6v (x - 5) 2w 4x x x2 - x 4c. _ ÷ (x 2 + 2x - 3) x+2
880
Capítulo 12 Funciones y ecuaciones racionales
EJEMPLO
5
Aplicación a la probabilidad Marty participa en un juego en una feria. Debe sacar dos objetos de una bolsa sin mirar. La bolsa tiene objetos rojos y azules, pero hay tres objetos rojos más que objetos azules. a. Escribe y simplifica una expresión que represente la probabilidad de que Marty saque dos objetos azules sin devolver a la bolsa el primer objeto. Sea x = la cantidad de objetos azules.
Azul + Rojo = x
Total
+ x + 3 = 2x + 3
Escribe expresiones para la cantidad de objetos de cada color y para la cantidad total de objetos.
La probabilidad de elegir un objeto azul y luego otro azul es el producto de las probabilidades de los sucesos individuales. 2da elección: objetos azules
1ra elección: objetos azules
Si deseas repasar los temas de probabilidad, consulta el Capítulo 10.
2da elección: objetos totales
1ra elección: objetos totales
x x-1 =_·_ (2x + 3) 2(x + 1) x(x - 1) = __ 2(2x + 3)(x + 1) b. ¿Cuál es la probabilidad de que Marty elija dos objetos azules si hay 10 objetos azules en la bolsa antes de elegir el primero? Usa la probabilidad de elegir dos objetos azules. Como x representa la cantidad de objetos azules, sustituye x por 10. 10(10 - 1) P (azul, azul) = __ 2(2 · 10 + 3)(10 + 1)
Sustituye.
10(9) 90 = _ = _ ≈ 0.18 506 2(23)(11)
Usa el orden de las operaciones para simplificar.
La probabilidad de elegir dos objetos azules si hay 10 objetos azules en la bolsa antes de elegir el primero es aproximadamente 0.18. 5. ¿Y si...? Hay 50 objetos azules en la bolsa antes de que Marty elija el primero. ¿Cuál es la probabilidad de que Marty elija dos objetos azules?
RAZONAR Y COMENTAR 1. Explica cómo dividir entre un polinomio. 2. ORGANÍZATE Copia y completa el organizador gráfico. En cada recuadro, describe cómo realizar la operación con expresiones racionales. %XPRESIONESRACIONALES -ULTIPLICAR
$IVIDIR
12-4 Cómo multiplicar y dividir expresiones racionales
881
12-4
Ejercicios
CLAVE: MA7 12-4 CLAVE: MA7 Parent *(Disponible sólo en inglés)
PRÁCTICA GUIADA VER EJEMPLO
1
pág. 878
VER EJEMPLO
2
pág. 879
4hj 2 3h 3k 1. _3 · _ 10j h 3k 3
4y 2yz 2 2. _5 · _ x 9x 2
x - 2 4x + 12 3. _ · _ x+3 6
ab _ 2a 2 4. _ c · 3c
7c 4d 5a 5. _ · _ 10c 21c 3d
12p 2q 15p 4q 3 6. _ · _ 5p 12q
12 7. _ (y 2 - 4) 4y + 8
x+2 (5x + 10) 8. _ 6x 2
3m 9. _ (m 2 - 7m - 30) 6m + 18
4p 10. _ (p 2 - 5p - 14) 8p + 16
VER EJEMPLO
3
pág. 879
VER EJEMPLO
Multiplica. Simplifica tu respuesta.
4
pág. 880
VER EJEMPLO
5
-c 12. _ (c 2 - c - 2) 4c + 4
a 2 + 6ab 5 + 3a 13. _ · __ b 3a 2b + 5ab
x 2 + 5x + 4 x 2 - 2x - 8 14. __ · __ x-4 x 2 + 6x + 8
j-1 j 2 - 5j + 6 _ · 15. _ 2j - 4 j 2 - 4j + 3
p 3 + 4pq _ 6q 3 - 8 16. _ · p 2q
r 2 + 15r + 14 _ 2r + 8 · 17. __ r+1 r 2 - 16
y-8 _ y+2 · 2 18. _ 2 y - 1 y - 49
Divide. Simplifica tu respuesta. 3a 4b 12a 2c ÷_ 19. _ 2 3 8c 4 2a c
pág. 881
a2 ( 2 ) 11. _ a a + 10a + 25
2m 3 + 2m 4m 2 + 4 ÷_ 20. _ 2 m-1 m - 2m
x 2 + 4x - 5 21. __ ÷ (x 2 - 25) 3x - 3
22. Probabilidad En un juego, Rachel saca dos fichas de una bolsa sin mirar y sin devolver la primera ficha a la bolsa. La bolsa tiene dos colores de fichas: negras y blancas. Hay 10 fichas blancas más que fichas negras. a. Escribe y simplifica una expresión que represente la probabilidad de que Rachel saque una ficha negra y luego una ficha blanca. b. ¿Cuál es la probabilidad de que Rachel saque una ficha negra y luego una blanca si hay 5 fichas negras en la bolsa antes de elegir la primera ficha?
PRÁCTICA Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Práctica independiente
Para los Ejercicios
Ver Ejemplo
23–25 26–28 29–31 32–34 35
1 2 3 4 5
Práctica adicional Práctica de destrezas, pág. S27 Práctica de aplicación, pág. S39
882
Multiplica. Simplifica tu respuesta. p 6q 2 _ -3p 2 · 23. _ r 7r 3
3r 2t 2r 2s 3t 2 24. _3 · _ 6st 8r 4s 2
y+2 10 25. _ · _ y+5 3
3 26. _ (a 2 + 4a + 3) 2a + 6
4m 2 - 8m ( 2 27. __ m + 7m - 8) m 2 + 6m - 16
x (2x 2 - 4x - 6) 28. __ 2x 2 - 12x + 18
6n 2 + 18n _ n2 - 1 · 29. __ 2 n + 9n + 8 2n + 6
2a + 4b 3a 2b · __ 30. __ 3 5a + 10a 2b 6a 3b + 6a 2b 2
t 2 - 100 5 31. _ · _ 5t + 50 t - 10
Divide. Simplifica tu respuesta. 6j 2k 5 4j 3k 3 32. _ ÷ _ 5j 3j
Capítulo 12 Funciones y ecuaciones racionales
a-4 ( ÷ 8a - 2a 2) 33. _ a2
x2 - 9 4x 2 - 12x ÷_ 34. __ 2 16x x + 6x + 9
35. Entretenimiento El tablero de un juego de feria está completamente cubierto de pequeños globos. El juego consiste en lanzar dados al tablero y hacer estallar los globos.
Ý
a. Escribe y simplifica una expresión que describa la probabilidad de que los siguientes dos globos en estallar sean rojo y azul. (Pista: Escribe las probabilidades como razones de las áreas de rectángulos).
Ý ÓÝ{
Ý
b. ¿Cuál es la probabilidad de que los siguientes dos globos en estallar sean rojo y luego azul si x = 3? 36.
ÝÓ
/////ANÁLISIS DE ERRORES///// ¿Qué opción es incorrecta? Explica el error. !
"
Z -Z+[+ XXXXXXXXX XXXXXXXXXXX u Z+ +Z[
Z -Z+[+ XXXXXXXXX XXXXXXXXXXX u Z+
+-Z+[+
Z +[+ XXXXXXXXXXXXuXXXXXXXXX XXXXXXXXX Z+
+Z[
ÓÝ
[
+Z[
!+Z["!+Z [" XXXXXXXXX Z XXXXXXXXX +Z [ XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX u ZZ
+
+Z[
Z
37. Razonamiento crítico ¿Cuál de las siguientes expresiones NO es equivalente a las otras tres? Explica por qué. 10x 4y 4x 2 2x - 6 _ _ · ÷ 2x 2y a. _ c. x 2 - 3x 5xy 2 8y 2 6xy 2 _ 3y 4 4x x2 - 4 ÷ ·_ b. _ d. _ 2 2 2 2 4x - 8 x xy + 2y 2x Multiplica o divide. Simplifica tu respuesta. 5p 3 _ 2q 3 38. _ · p 2q p 2
6m 2 - 18m m2 - 9 ÷ __ 39. __ 3 2 2 12m + 12m m + 4m + 3
x 2 - 5x + 6 2x 2 40. _ · __ 4x - 8 x5
x2 - 9 41. _ ÷ (4x 2 - 36) 4x
33m - 3m 2 6m - 66 42. __ ÷ _ -2m - 4 m 2 - 4m
12w 4x 7 _ w -1x -7 · 43. _ 3 4 3w
3 1 ___ 44. Escríbelo Explica cómo dividir __ m ÷ 4m .
45. Este problema te ayudará a resolver la Preparación de varios pasos para el examen de la página 906. El tamaño de una imagen proyectada en una pantalla depende de la distancia entre el objeto y la lente, el aumento de la lente y la distancia entre la imagen y la lente. El aumento y I = __x , donde I es la altura de la imagen, O es la altura del objeto, x es de una lente es A = __ O la distancia entre el objeto y la lente e y es la distancia entre la imagen y la lente. a. Si un objeto de 16 cm de altura está ubicado a 15 cm de la lente, forma una imagen a 60 cm de la lente. ¿Cuál es la altura de la imagen? b. Marie mueve el mismo objeto a una distancia de 20 cm de la lente. Si la imagen tiene el mismo tamaño que en la parte a, ¿cuál es la distancia entre la imagen y la lente? c. ¿Cuál es el aumento de la lente?
12-4 Cómo multiplicar y dividir expresiones racionales
883
t+4 t+4 46. ¿Qué expresión es equivalente a _ · _? 9 3 2 (_ t + 4)2 + 16 t_ 27 27 3ab . 20b 2 · _ 47. Identifica el producto - _ 15b a2 a - _2 -4b 2 4b
1 _ 3
1 _ 27
4b 2 b2 -_ -_ a 4a 2x _ 48. ¿Cuál de las siguientes opciones es equivalente a ? x+5 x 2 + 3x - 10 x - 2 __ x-2 4 _ _ ÷ __ · 2 4 8x 8x x + 3x - 10 2 x__ - 3x - 10 _ 4 · 8x x-2
2 x__ - 3x - 10 x-2 ÷_ 4 8x
x 2 - 10x + 24 49. Respuesta breve Simplifica __ ÷ (x 2 - 3x - 18). Muestra tu trabajo. 3x 2 - 12x
DESAFÍO Y EXTENSIÓN Simplifica. x - 3 3x + 12 2x - 4 50. _ · _ · __ 3x - 6 x+1 x 2 + x - 12
3x + 3 x2 - 1 51. _ ÷ _ ÷ (x - 1) x+2 x+2
Una fracción compleja es una fracción que contiene una o más fracciones en el numerador o en el denominador. Simplifica cada fracción compleja. _a_
c a _ b _ ÷ ). (Pista: Usa la regla _ c = __ b d d
c+5 _ c2 - 4 52. __ 2 c + 6c + 5 __ c+2
x 2y _ xz 3 53. _ x 2y _ x 2z
x2 _ x _ · 2 3 _ 54. x _ 6
a+1 __ 2 a + 6a + 5 55. __ 2a + 2 _ a+5
REPASO EN ESPIRAL 56. La madre de Jillian le dijo que precalentara el horno al menos a 325° F. Cuando Jillian fue a la cocina, el horno ya estaba a 200° F. Escribe y resuelve una desigualdad para determinar cuántos grados Jillian debe aumentar la temperatura. (Lección 3-2) 57. Pierce tiene $30 para gastar en una salida nocturna. Ya gastó $12 en la cena y $9 en una entrada de cine. Gastará algo de dinero d en refrigerios para el cine. Escribe y resuelve una desigualdad que muestre todos los valores de d que Pierce puede gastar en refrigerios. (Lección 3-2) Simplifica cada radical. Luego suma o resta, si es posible. (Lección 11-7)
58. √
18 - √
8 59. √
3t + 5 √
3t + √
12t 60. √
20 - √
80 + √3 Identifica el valor excluido y las asíntotas para cada función racional. (Lección 12-2) 1 1 4 62. y = _ 63. y = - _ 61. y = _ +3 x x-3 2x + 4 2 64. y = - _ x+5
884
Capítulo 12 Funciones y ecuaciones racionales
12 65. y = _ 4x
1 66. y = - _ 3x - 2
12-5
Cómo sumar y restar expresiones racionales ¿Quién lo usa?
Objetivos Sumar y restar expresiones racionales con denominadores semejantes Sumar y restar expresiones racionales con denominadores distintos
Quienes andan en kayak pueden usar expresiones racionales para calcular el tiempo de viaje para distintas excursiones por el río. (Ver Ejemplo 5) Las reglas para sumar expresiones racionales son las mismas que para sumar fracciones. Si los denominadores son los mismos, sumas los numeradores y mantienes el denominador común. 3+2 _ 3 +_ 2=_ _ =5 8 8 8 8
Sumar expresiones racionales con denominadores semejantes a+b a +_ b =_ Si a, b y c representan polinomios y c ≠ 0, entonces _ c c c .
EJEMPLO
1
Sumar expresiones racionales con denominadores semejantes Suma. Simplifica tu respuesta.
A
B
3b _ 5b _ +
b2 b2 3b + 5b 8b 1 _=_ 1 2 b b2 8 =_ b 2x + 8 x 2 - 8x + x-4 x-4 2 x__ - 8x + 2x + 8 __ x 2 - 6x + 8 = x-4 x-4 (__ x - 2)(x - 4)1 = x - 41
_ _
= (x - 2)
C
Combina los términos semejantes del numerador. Cancela los factores comunes. Simplifica.
Combina los términos semejantes del numerador. Factoriza. Cancela los factores comunes. Simplifica.
_ _
2m + 4 2 + 2 m2 - 9 m -9 2m + 4 + 2 _ 2m + 6 __ = 2 m2 - 9 m -9 2(m + 3)1 = __1 (m - 3)(m + 3) 2 =_ m-3 Suma. Simplifica tu respuesta. 3n n 1a. _ + _ 2n 2n
Combina los términos semejantes del numerador. Factoriza. Cancela los factores comunes. Simplifica.
3y 2 3y 1b. _ + _ y+1 y+1
Cómo sumar y restar expresiones racionales
885
Para restar expresiones racionales con denominadores semejantes, recuerda sumar el opuesto de cada término en el segundo numerador.
EJEMPLO
2
Restar expresiones racionales con denominadores semejantes Resta. Simplifica tu respuesta. -m + 2 3m - 6 - __ __ m2 + m - 6 m2 + m - 6 3m - 6 - (-m + 2) 3m - 6 + m - 2 __ = __ m2 + m - 6 m2 + m - 6
Asegúrate de sumar los opuestos de todos los términos del numerador de la segunda expresión cuando restas expresiones racionales.
Resta los numeradores.
4m - 8 = __ m2 + m - 6
Combina los términos semejantes.
4(m - 2)1 = __1 (m + 3)(m - 2)
Factoriza. Cancela los factores comunes.
4 =_ m+3
Simplifica.
Resta. Simplifica tu respuesta. 5a + 2 _ 2a - 4 2a. _ - 2 a2 - 4 a -4
2b + 14 -2b + 2 2b. __ - __ b 2 + 3b - 4 b 2 + 3b - 4
Al igual que las fracciones, las expresiones racionales deben tener un denominador común antes de sumarlas o restarlas. Si no tienen un denominador común, puedes usar el mínimo común múltiplo, o mcm, de los denominadores para hallar uno. Para hallar el mcm, escribe la factorización prima de ambas expresiones. Usa cada factor la mayor cantidad de veces que aparezca en cualquiera de las expresiones. 6x 2 = 2
·3·x·x
8x = 2 · 2 · 2 ·
·x
mcm = 2 · 2 · 2 · 3 · x · x = 24x 2
EJEMPLO
3
5x + 15 = 5 (x + 3) x 2 - 9 = (x + 3) (x - 3) mcm = 5(x + 3)(x - 3)
Identificar el mínimo común múltiplo Halla el mcm de las expresiones dadas.
A 24a 3, 4a 24a 3 = 2 · 2 · 2 · 3 · a · a · a 4a = 2 · 2 · a mcm = 2 · 2 · 2 · 3 · a · a · a = 24a 3
B 2d 2 + 10d + 12, d 2 + 7d + 12
Escribe la factorización prima de cada expresión. Usa cada factor de ambas expresiones la mayor cantidad de veces que aparezca en cualquiera de las expresiones.
2d 2 + 10d + 12 = 2(d 2 + 5d + 6)
Factoriza cada expresión.
= 2(d + 3)(d + 2)
(d + 3) (d + 4) mcm = 2(d + 3)(d + 2)(d + 4)
d + 7d + 12 = 2
Usa cada factor de ambas expresiones la mayor cantidad de veces que aparezca en cualquiera de las expresiones.
Halla el mcm de las expresiones dadas. 3a. 5f 2h, 15f h 2
886
Capítulo 12 Funciones y ecuaciones racionales
3b. x 2 - 4x - 12, (x - 6)(x + 5)
El mcm de los denominadores de fracciones o de expresiones racionales también se llama mínimo común denominador, o mcd. Se usa el mismo método para sumar o restar expresiones racionales. Sumar o restar expresiones racionales Paso 1 Identifica el mcd. Paso 2 Multiplica cada expresión por una forma apropiada de 1 para que cada término tenga el mcd como denominador. Paso 3 Escribe cada expresión usando el mcd.. Paso 4 Suma o resta los numeradores, combinando los términos semejantes según sea necesario. Paso 5 Factoriza. Paso 6 Simplifica según sea necesario.
EJEMPLO
4
Sumar y restar con denominadores distintos Suma o resta. Simplifica tu respuesta.
A
3x 2x _ +_ 6x 2
4x
6x 2 = 2 Paso 1
·3·x·x
Identifica el mcd. 4x = 2 · 2 ·x LCD = 2 · 2 · 3 · x · x = 12x 2
(_)
(_)
3x 2 2x 3x Paso 2 _2 +_ 4x 3x 6x 2
Las expresiones como m - 3 y 3 - m son binomios opuestos. 3 - m = -1(m - 3) y m - 3 = -1(3 - m)
Paso 3
6x 2 6x + _ _ 2 12x 12x 2
Paso 4
6x + 6x 2 _ 12x 2
Paso 6
B
Escribe cada expresión usando el mcd. Suma los numeradores
6 1x 1(1 + x) __ 1 6 1 · 2x 2 1+x _ 2x
Paso 5
Multiplica cada expresión por una forma apropiada de 1.
Factoriza y cancela los factores comunes. Simplifica.
5 1 _ -_ m-3
3-m
Paso 1 Los denominadores son binomios opuestos. Identifica el mcd. El mcd puede ser m - 3 ó 3 - m.
(_ )
-1 5 1 -_ Paso 2 _ m - 3 3 - m -1 -5 1 -_ _ m-3 m-3 1 - (-5) _ m-3
Paso 3 Paso 4 Pasos 5, 6
6 _ m-3
-1 Multiplica la segunda expresión por ___ -1 para obtener un mcd de m - 3.
Escribe cada expresión usando el mcd. Resta los numeradores. No es necesario factorizar, por lo tanto, sólo simplifica.
Suma o resta. Simplifica tu respuesta. a 2 + 4a 8 2d 4 4a. _ 4b. __ +_ - _3 3d 2d a 2 + 2a - 8 a - 2
12-5 Cómo sumar y restar expresiones racionales
887
EJEMPLO
5
Aplicación al tiempo libre Katy quiere calcular cuánto tiempo tardará en recorrer en kayak 1 milla río arriba y regresar al punto de partida. La velocidad promedio de remo de Katy es 4 veces la velocidad de la corriente del río. a. Escribe y simplifica una expresión para el tiempo que Katy tardará en el recorrido de ida y vuelta en función de la velocidad de la corriente del río. Paso 1 Escribe expresiones para las distancias y velocidades del problema. La distancia en ambas direcciones es 1 milla. Sea x la velocidad de la corriente y sea 4x la velocidad de remo de Katy. La velocidad de Katy contra la corriente es 4x - x ó 3x. La velocidad de Katy a favor de la corriente es 4x + x ó 5x. Paso 2 Usa una tabla para escribir expresiones para el tiempo.
Para escribir expresiones para el tiempo en función de la distancia y la velocidad, resuelve d = vt para t. d t=_ v
distancia Tiempo (h) = ________ velocidad
Distancia (mi)
Velocidad (mi/h)
Río arriba (contra la corriente)
1
3x
1 _ 3x
Río abajo (a favor de la corriente)
1
5x
1 _ 5x
Dirección
Paso 3 Escribe y simplifica una expresión para el tiempo total. tiempo total = tiempo río arriba + tiempo río abajo 1 1 Sustituye los valores conocidos. tiempo total = _ + _ 5x 3x Multiplica cada fracción por 1 5 +_ 1 3 =_ una forma apropiada de 1. 5x 3 3x 5 Escribe cada expresión usando 5 3 =_+_ el mcd, 15x. 15x 15x 8 Suma los numeradores. =_ 15x b. Si la velocidad del río es 2 millas por hora, ¿cuánto tiempo le llevará a Katy el recorrido de ida y vuelta en kayak? 8 4 _ Sustituye x por 2. Simplifica. =_ 15(2) 15
(_)
( _)
4 Katy tardará __ de hora, o 16 minutos, en el recorrido ida y vuelta en kayak. 15
5. ¿Y si...? La velocidad de remo promedio de Katy aumenta a 5 veces la velocidad de la corriente. ¿Cuánto tiempo tardará Katy ahora en el recorrido ida y vuelta en kayak?
RAZONAR Y COMENTAR 1. Explica cómo hallar el mínimo común denominador de expresiones racionales. 2. ORGANÍZATE Copia y completa el organizador gráfico. En cada recuadro, compara y contrasta operaciones con fracciones y expresiones racionales. 3UMAR 3EMEJANZAS
888
$IFERENCIAS
Capítulo 12 Funciones y ecuaciones racionales
&RACCIONESNUMÏRICASY EXPRESIONESRACIONALES
2ESTAR 3EMEJANZAS
$IFERENCIAS
12-5
Ejercicios
CLAVE: MA7 12-5 CLAVE: MA7 Parent *(Disponible sólo en inglés)
PRÁCTICA GUIADA VER EJEMPLO
1
pág. 885
VER EJEMPLO
2
pág. 886
3
4
pág. 887
VER EJEMPLO
5
3x 2 + 1 2x 2 - 2x 6. _ - _ 2x + 2 2x + 2
8. x 2 + 9x + 20, (x + 5)(x - 4)
9. y 2 - 16, (y + 9)(y - 4)
Suma o resta. Simplifica tu respuesta. 3 _ 4 10. _ c - 3c
pág. 888
7a - 2 5a - 6 - __ 5. __ a 2 + 3a + 2 a 2 + 3a + 2
Halla el mcm de las expresiones que se dan. 7. 3xy 2, 6x 3yz
pág. 886
x 4 +_ 3. _ x 2 - 16 x 2 - 16
Resta. Simplifica tu respuesta. 7 3 4. _3 - _3 2x 2x
VER EJEMPLO
VER EJEMPLO
Suma. Simplifica tu respuesta. y 5y 4m + 30 m 2 + 8m + 5 1. _2 + _2 2. _ + __ m+5 m+5 3y 3y
x2 + x 3 +_ 11. __ 2 x + 2 x + 3x + 2
2x x 12. _ + _ x-5 5-x
13. Viajes La familia Escobar hizo un viaje en automóvil. Recorrieron 100 millas por caminos rurales y 240 millas por carretera. Condujeron 50% más rápido en la carretera que en los caminos rurales. Sea v su velocidad en los caminos rurales en millas por hora. a. Escribe y simplifica una expresión que represente la cantidad de horas que tardó la familia Escobar en completar su viaje en función de v. (Pista: 50% más rápido significa 150% de la velocidad original). b. Halla el tiempo total de viaje si viajaron al límite de velocidad que se indica en el cartel.
PRÁCTICA Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Práctica independiente
Para los Ejercicios
Ver Ejemplo
14–16 17–19 20–25 26–31 32
1 2 3 4 5
Suma. Simplifica tu respuesta. 4y _ 4y a2 - 3 2a + 3 14. _ 15. _ + _ 3 a+3 a+3 y y
4x - 13 1 + __ 16. __ x 2 - 5x + 6 x 2 - 5x + 6
Resta. Simplifica tu respuesta. c+3 -c + 8 m2 6m -_ 17. _ - _ 18. _ m-6 m-6 4c 2 - 25 4c 2 - 25
-5a 2 - 4a + 2 -2a 2 - 9a 19. _ - __ a-2 a-2
Halla el mcm de las expresiones que se dan. Práctica adicional Práctica de destrezas, pág. S27 Práctica de aplicación, pág. S39
20. 4jk 4m, 25jm
21. 12a 2 + 4a, 27a + 9
22. p 2 - 3p, pqr 2
23. 5xy 2z, 10y 3
24. 5x 2, 7x - 14
25. y 2 + 7y + 10, y 2 + 9y + 20
Suma o resta. Simplifica tu respuesta. y2 - y 2y - 2 2x 10x -_ 26. _ + _2 27. __ 2 5x 3y - 9 y - 4y + 3 3x z 4 29. _2 + _ 7z 3z
x+2 5x 30. _ + _ 2x - 6 3-x
2t + 4 -3t 28. _ - _ t-4 4-t 3m m2 31. _ - __ 2 4m - 8 m - 4m + 4
12-5 Cómo sumar y restar expresiones racionales
889
32. Estado físico Ira camina una milla desde su casa hasta el centro de esparcimiento. Después de jugar al básquetbol, vuelve a su casa caminando a un 85% de su velocidad normal de caminata. Sea c la velocidad normal de caminata de Ira. a. Escribe una expresión para representar el tiempo de caminata de ida y de vuelta de Ira.
Viajes
b. Si la velocidad normal de Ira es 3 millas por hora, ¿cuánto tiempo tardó en completar la caminata? 33. Trenes Un tren viaja 500 millas a través de la región central de Estados Unidos: 50 millas a través de ciudades y 450 millas a través del campo. Al pasar por las ciudades, disminuye la velocidad a un quinto de la velocidad a la que viaja en terreno abierto. Sea v la velocidad en terreno abierto en millas por hora. a. Escribe y simplifica una expresión que represente la cantidad de horas que tarda el tren en viajar 500 millas en función de v.
El primer ferrocarril transcontinental se terminó en Utah el 10 de mayo de 1869. La ocasión se conmemoró con un clavo de oro que conectaba las vías este y oeste.
b. Halla el tiempo total de viaje si la velocidad del tren en terreno abierto es 50 millas por hora. c. Razonamiento crítico Si supieras el tiempo que tardó el tren en hacer el viaje de ida y vuelta, ¿cómo podrías hallar su velocidad promedio? Suma o resta. Simplifica tu respuesta. 2y 10 34. _ + _ 5+y 5+y
7 c 35. _2 - _2 49 - c 49 - c
6a 4 36. _ + _ a - 12 12 - a
b 3 37. _3 + _2 2b 3b
r 2 + 2r 2r + 9 38. _ - _ r+3 r+3
x 2 - 2x 8x - 25 39. _ - _ 3x - 15 3x - 15
2y 9 40. _2 + _3 8y 4y
6 2 41. _ + _ x+2 x+4
2y y+1 42. _ - _ 3y - 9 y2 - 9
43.
/////ANÁLISIS DE ERRORES/////p Se pidió a dos estudiantes que hallaran los valores 4 - _________ . El estudiante A identificó el valor excluidos de la expresión _________ 2 2 p - p - 12
p - p - 12
excluido como p = -3. El estudiante B identificó los valores excluidos como p = -3 y p = 4. ¿Quién se equivoca? ¿Cuál es el error? Ý ÎÝ 44. Varios pasos En la feria de primavera hay un blanco Ý cuadrado de velcro como el que se muestra. Un jugador lanza una pelota, que se pegará al blanco en un lugar aleatorio. Si la pelota se pega en un lugar dentro del cuadrado pequeño o del círculo, el jugador gana un premio. ¿Cuál es la probabilidad de que un jugador gane un premio, suponiendo que la pelota ÎÝ se pega en algún lugar del blanco? Redondea tu respuesta a la centésima más cercana.
Ý
45. Razonamiento crítico Escribe dos expresiones cuya suma x . sea ____ x+1
46. Este problema te ayudará a resolver la Preparación de varios pasos para el examen de la página 906. Jonathan estudia la luz en la clase de ciencias. Descubre que una lupa se puede usar para proyectar imágenes al revés sobre un trozo de papel. La ecuación _1_ = _1x_ + __1y f relaciona la longitud focal de la lente f, la distancia entre el objeto y la lente x y la distancia entre la imagen y la lente y. La longitud focal de la lente de Jonathan es 12 cm. a. Jonathan quiere escribir y, la distancia entre la imagen y la lente, en función de x, la distancia entre el objeto y la lente. Para comenzar, volvió a escribir la ecuación 1 - __1x . Explica cómo hizo esto. como __1y = __ 12
x - 12 b. Explica cómo simplificó Jonathan la ecuación de la parte a en _1y_ = _____ . 12x
890
Capítulo 12 Funciones y ecuaciones racionales
47. Razonamiento crítico Identifica tres denominadores comunes que se pueden usar 3 3 a __ . para sumar ___ 2 4x 2x
48. Escríbelo Explica cómo hallar el mínimo común denominador de dos expresiones racionales cuando los denominadores son binomios opuestos.
6 4 49. ¿Cuál es el mcd de _ y _? 3p + 3 p + 1 p+1 1. 4 -_ 50. Simplifica _ x 2x 1 _ x
3p + 1
12
3p + 3
3 _ x
5 _ x 2x ? 51. ¿Cuál de las siguientes opciones es equivalente a _ x-2
3 _ 2x
x x _ +_ x+2 x-2
2 + 4x x_ x +_ 2 x + 2 x -4
2x 4 _ +_ x-2 x2 - 4
x 2 + 6x x _ +_ x+2 x2 - 4
52. Respuesta desarrollada Andrea recorrió en bicicleta 3 millas hasta la oficina de correos y 5 millas hasta la biblioteca. La velocidad hasta la biblioteca fue tres veces mayor que la velocidad hasta la oficina de correos v. a. Escribe una expresión que represente el tiempo total en horas que Andrea recorrió en bicicleta. Explica qué significa cada parte de tu expresión en la situación. b. Simplifica la expresión. c. ¿Cuánto tiempo tardó Andrea en recorrer las 8 millas si su velocidad hasta la oficina de correos fue 3 millas por hora?
DESAFÍO Y EXTENSIÓN Suma o resta y simplifica. Halla los valores excluidos. 2x + y 3 3 4 2 53. _ - _ 54. _ + _2 + _ 2 2 x+y 5m 2m x -y m
a c b _ _ 55. _ xy + xz + yz
1 __ _1_ x - y _ 56. Simplifica la fracción compleja . (Pista: Simplifica el numerador y el denominador x 1 __ ___ xy - x de la fracción compleja primero).
REPASO EN ESPIRAL Traza una gráfica para cada situación. (Lección 4-1) 57. Al principio cae poca nieve, luego cae mucha nieve a una tasa constante. 58. La nieve se derrite rápidamente durante la tarde, luego deja de derretirse a la noche. 59. Cae mucha nieve, se limpia con una pala y luego cae poca nieve. Factoriza para resolver cada ecuación cuadrática. (Lección 9-6) 60. d 2 - 4d - 12 = 0
61. 2g 2 - 9g = -4
62. 9x 2 + 6x + 1 = 0
Simplifica cada expresión racional, si es posible. Identifica los valores excluidos. (Lección 12-3) n 2 + 5n 4-x 2t 2 - 8 64. __ 65. _ 63. _ 2 2 t -4 n + 3n - 10 x 2 - 16
12-5 Cómo sumar y restar expresiones racionales
891
12-6
Hacer un modelo: dividir polinomios Algunas divisiones polinomiales se pueden representar con fichas de álgebra. Si un polinomio se puede representar con un rectángulo, entonces sus factores se representan con la longitud y el ancho del rectángulo. Si un factor es un divisor, entonces el otro factor es un cociente.
Para usar con la Lección 12-6
CLAVE =1
=x
= -1
= x2
= -x
Actividad 1 Usa fichas de álgebra para hallar el cociente de (x 2 + 5x + 6) ÷ (x + 2). Haz un modelo de x 2 + 5x + 6.
ÝÊ ÊÓ
Intenta formar un rectángulo con una longitud de x + 2. Ubica la ficha x 2 en el ángulo superior izquierdo. Luego ubica dos fichas de unidades en una fila en el ángulo inferior derecho. ÝÊ ÊÓ
Intenta usar todas las fichas que quedan para completar un rectángulo. Si puedes completar un rectángulo, entonces el ancho del rectángulo es el cociente.
ÝÊ ÊÎ
El rectángulo tiene una longitud x + 2 y un ancho x + 3. Por lo tanto, (x 2 + 5x + 6) ÷ (x + 2) = x + 3. Puedes comprobar tu respuesta multiplicando.
(x + 3)(x + 2)
x 2 + 2x + 3x + 6 x 2 + 5x + 6 ✓
Usa el método FOIL.
Inténtalo Usa fichas de álgebra para hallar cada cociente. 1. 4. 7. 892
(x 2 + 5x + 4) ÷ (x + 1) (2x 2 + 5x + 2) ÷ (x + 2)
(x 2 + 7x + 10) ÷ (x + 5) 3. (x 2 + 4x - 5) ÷ (x - 1) 5. (x 2 - 6x + 8) ÷ (x - 2) 6. (2x 2 - x - 3) ÷ (x + 1) Describe qué sucede cuando intentas hacer un modelo de (x 2 - 4x + 3) ÷ (x + 1). 2.
Capítulo 12 Funciones y ecuaciones racionales
12-6
Cómo dividir polinomios ¿Para qué sirve?
Objetivo Dividir un polinomio entre un monomio o un binomio
La división de polinomios se puede usar para comparar la energía producida por paneles solares. (Ver Ejercicio 50) La potencia eléctrica (en vatios) que produce un panel solar es directamente proporcional al área total del panel solar. La división de polinomios se puede usar para comparar la producción de energía mediante paneles solares de distintos tamaños. Para dividir un polinomio entre un monomio, primero puedes escribir la división como una expresión racional. Luego divide cada término del polinomio entre el monomio.
EJEMPLO
1
Dividir un polinomio entre un monomio Divide (6x 3 + 8x 2 - 4x) ÷ 2x.
6x + 8x - 4x __ 3
2
2x 6x 3 + _ 8x 2 - _ 4x _ 2x 2x 2x 2
1
Escribe como una expresión racional. Divide cada término del polinomio entre el monomio 2x.
3 3 6 x +_ 84 x2 - _ 4 2 x 1 Cancela los factores comunes. _ 1 1 1 1 2 x 2 x 21 x1
3x 2 + 4x - 2
Simplifica.
Divide.
1a. (8p 3 - 4p 2 + 12p) ÷ (-4p 2) 1b. (6x 3 + 2x - 15) ÷ 6x
La división de un polinomio entre un binomio es similar a la división de números cabales.
Dividir polinomios CON PALABRAS Paso 1
Factoriza el numerador y/o el denominador si es posible.
Paso 2
Cancela los factores comunes.
Paso 3
Simplifica.
CON NÚMEROS 168 56 · 3 _ =_ 3 3 56 · 3 _ 3 56
POLINOMIOS 2 (r + 2)(r + 1) + 3r + 2 r__ = __ r+2 (r + 2)
r + 2) (r + 1) (__ (r + 2) r+1
12-6 Cómo dividir polinomios
893
EJEMPLO
2
Dividir un polinomio entre un binomio Divide.
A
c + 4c - 5 __ 2
c-1
(c + 5)(c - 1) __ Coloca cada término del numerador sobre el denominador sólo cuando el denominador es un monomio. Si el denominador es un polinomio, intenta factorizar primero.
c-1 (__ c + 5)(c - 1)1
(c - 1)1 c+5
B
Factoriza el numerador. Cancela los factores comunes. Simplifica.
3x - 10x - 8 __ 2
4-x (3x + 2)(x - 4) __ 4-x
Factoriza el numerador.
(3x + 2)(x - 4) __ -1(x - 4)
Factoriza un binomio opuesto.
(3x + 2)(x - 4)1 __ -1(x - 4) 1
Cancela los factores comunes.
-3x - 2
Simplifica.
Divide.
10 + 7k + k 2 2a. __ k+2
b 2 - 49 2b. _ b+7
s 2 + 12s + 36 2c. __ s+6
Recuerda cómo usaste la división larga para dividir números cabales como se muestra a la derecha. También puedes usar la división larga para dividir polinomios. A continuación se muestra un ejemplo.
Divisor
15 23
345 -23 −−− 115 -115 −−−− 0
Cociente
Dividendo
Usar la división larga para dividir un polinomio entre un binomio Paso 1 Escribe el binomio y el polinomio en forma de división larga. Paso 2 Divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor. Este es el primer término del cociente. Paso 3 Multiplica el primer término del cociente por el divisor binomial y ubica el producto debajo del dividendo, alineando los términos semejantes. Paso 4 Resta el producto al dividendo. Paso 5 Baja el siguiente término del dividendo. Paso 6 Repite los Pasos 2-5 según sea necesario hasta que obtengas 0 ó hasta que el grado del residuo sea menor que el grado del binomio. 894
Capítulo 12 Funciones y ecuaciones racionales
EJEMPLO
3
División larga de polinomios Divide usando la división larga.
A
(x 2 + 2 + 3x) ÷ (x + 2) x 2 + 3x + 2 Paso 1 x + 2
Escribe en forma de división larga con expresiones en forma estándar.
x
Paso 2 x + 2
x 2 + 3x + 2 x 2
Paso 3 x + 2 x + 3x + 2 x 2 + 2x x
Divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor para obtener el primer término del cociente. Multiplica el primer término del cociente por el divisor binomial. Ubica el producto debajo del dividendo, alineando términos semejantes.
x 2 + 3x + 2 Paso 4 x + 2
2 -(x + 2x) −−−−− 0+ x
x 2
Paso 5 x + 2 x + 3x + 2 2 -(x + 2x) −−−−− x+2
Puedes comprobar tu respuesta simplificada multiplicándola por el divisor. Cuando el residuo es 0, deberías obtener el numerador.
x+1 Paso 6 x + 2
x 2 + 3x + 2 2 + 2x) -(x −−−−− x+2 - (x + 2) −−−−−− 0
Resta el producto del dividendo.
Baja el siguiente término del dividendo.
Repite los Pasos del 2 al 5 según sea necesario. El residuo es 0.
Comprueba Multiplica la respuesta y el divisor.
(x + 2)(x + 1) x 2 + x + 2x + 2 x 2 + 3x + 2 ✓
B
x + 4x + 3 __ 2
x+1
x + 1
x 2 + 4x + 3 x+3 2
x + 1 x + 4x + 3 2 -(x + x) −−−− 3x + 3 -(3x + 3) −−−− 0
Escribe en forma de división larga.
x2 ÷ x = x Multiplica x · (x + 1). Resta. Baja el 3. 3x ÷ x = 3 Multiplica 3(x + 1). Resta. El residuo es 0.
Comprueba Multiplica la respuesta y el divisor.
(x + 1)(x + 3) x 2 + 3x + 1x + 3 x 2 + 4x + 3 ✓
Divide usando la división larga.
3a. (2y 2 - 5y - 3) ÷ (y - 3)
3b. (a 2 - 8a + 12) ÷ (a - 6)
12-6 Cómo dividir polinomios
895
A veces el divisor no es un factor del dividendo, entonces el residuo no es 0 y se puede escribir como una expresión racional.
EJEMPLO
4
División larga con un residuo Divide (2x 2 + 3x - 6) ÷ (x - 2).
x - 2
2x 2 + 3x - 6
Escribe en forma de división larga.
2x + 7 x - 2
2x 2 + 3x - 6 -(2x 2 - 4x) −−−−−−−− 7x - 6 -(7x - 14) −−−−−−− 8 8 _ x-2 8 2x + 7 + _ x-2
2x 2 ÷ x = 2x Multiplica 2x(x - 2). Resta. Baja -6. 7x ÷ x = 7 Multiplica 7(x - 2). Resta. El residuo es 8. Escribe el residuo como una expresión racional usando el divisor como denominador. Escribe el cociente con el residuo.
Divide.
4a. (3m 2 + 4m - 2) ÷ (m + 3)
4b. (y 2 + 3y + 2) ÷ (y - 3)
A veces debes escribir un marcador de posición para un término usando un coeficiente cero. Esto se ve mejor si escribes los polinomios en forma estándar.
EJEMPLO
5
Dividir polinomios que tienen un coeficiente cero Divide (3x - 4x 3 - 15) ÷ (2x + 3).
(-4x 3 + 3x - 15) ÷ (2x + 3) 2x + 3
-4x 3 + 0x 2 + 3x - 15 En el Capítulo 7 estudiaste que un polinomio en una variable se escribe en forma estándar cuando los grados de los términos van de mayor a menor.
-2x 2 + 3x - 3 2x + 3
-4x 3 + 0x 2 + 3x - 15 -(-4x 3 - 6x 2) −−−−−−−−−− 6x 2 + 3x -(6x 2 + 9x) −−−−−−−− -6x - 15 -(-6x - 9) −−−−−−−− -6
Escribe los polinomios en forma estándar. Escribe en forma de división larga. Usa 0x 2 como marcador de posición para el término x 2. -4x 3 ÷ 2x = -2x 2 Multiplica -2x 2(2x + 3). Resta. Baja 3x. 6x 2 ÷ 2x = 3x Multiplica 3x(2x + 3). Resta. Baja -15. -6x ÷ 2x = -3 Multiplica -3(2x + 3). Resta. El residuo es -6.
-6 . (3x - 4x 3 - 15) ÷ (2x + 3) = -2x 2 + 3x - 3 + _ 2x + 3
Divide.
5a. (1 - 4x 2 + x 3) ÷ (x - 2)
5b. (4p - 1 + 2p 3) ÷ (p + 1)
896
Capítulo 12 Funciones y ecuaciones racionales
RAZONAR Y COMENTAR 1. Al dividir un polinomio entre un binomio, ¿qué significa cuando el residuo es 0? 2. Supongamos que la respuesta final a un problema de división de polinomios es 3 x - 5 + ____ . Halla un valor excluido. Justifica tu respuesta. x+2 3. ORGANÍZATE Copia y completa el organizador gráfico. En cada recuadro, muestra un ejemplo.
$IVISIØNLARGA 0OLINOMIOS
12-6
.ÞMEROSCABALES
Ejercicios
CLAVE: MA7 12-6 CLAVE: MA7 Parent *(Disponible sólo en inglés)
PRÁCTICA GUIADA VER EJEMPLO
1
pág. 893
Divide. 1.
(4x 2 - x) ÷ 2x
2.
(16a 4 - 4a 3) ÷ 4a
3.
4.
(18r 2 - 12r + 6) ÷ -6r
5.
(6x 3 + 12x 2 + 9x) ÷ 3x 2
6.
2x - x - 3 7. __ x+1
VER EJEMPLO
2
pág. 894
VER EJEMPLO
t 2 - 6t + 8 10. _ t-4 3
pág. 895
2
Divide usando la división larga. 13.
4
pág. 896
VER EJEMPLO
(c 2 + 7c + 12) ÷ (c + 4)
pág. 896
21.
(a 2 + 4a + 3) ÷ (a + 2) (n 2 + 8n + 15) ÷ (n + 4) (8n 2 - 6n - 7) ÷ (2n + 1)
23.
(3x - 2x 3 - 10) ÷ (3 + x)
17. 19.
5
p 2 - p - 20 12. __ p+4
x 2 + 16x + 15 11. __ x + 15
14.
x 2 + 5x - 14 15. __ x+7 VER EJEMPLO
6y 2 + 11y - 10 9. __ 3y - 2
a - a - 12 8. __ a-4
2
(21b 2 - 14b + 24) ÷ 3b (5m 4 + 15m 2 - 10) ÷ 5m 3
25. 27.
(3s 2 - 12s - 15) ÷ (s - 5)
x 2 + 4x - 12 16. __ x-2
22.
(2r 2 + 11r + 5) ÷ (r - 3) (2t 2 - t + 4) ÷ (t - 1) (b 2 - b + 1) ÷ (b + 2)
24.
(3p 3 - 2p 2 - 4) ÷ (p - 2)
18. 20.
(m 2 + 2) ÷ (m - 1) (4k 3 - 2k - 8) ÷ (k + 1)
26.
(3x 2 + 4x 3 - 5) ÷ (5 + x)
28.
(j 3 + 6j + 2) ÷ (j + 4)
PRÁCTICA Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Divide. 29.
(9t 3 + 12t 2 - 6t) ÷ 3t 2
4r 2 - 9r + 2 32. __ r-2
30.
(5n 3 - 10n + 15) ÷ -5n
8t 2 + 2t - 3 33. __ 2t - 1
31.
(-16p 4 + 4p 3 + 8) ÷ 4p 3
3g 2 + 7g - 6 34. __ g+3
12-6 Cómo dividir polinomios
897
Práctica independiente
Divide usando la división larga.
Para los Ejercicios
Ver Ejemplo
35.
29–31 32–34 35–38 39–41 42–44
1 2 3 4 5
37.
Práctica adicional Práctica de destrezas, pág. S27 Práctica de aplicación, pág. S39
39. 41. 43.
(x 2 - 5x + 6) ÷ (x - 2) (6a 2 + 7a - 3) ÷ (2a + 3) (3x 2 - 2x + 6) ÷ (x - 2) (6x 2 - x - 3) ÷ (2x - 1) (6t 3 + 21t + 9) ÷ (3t + 9)
42.
(2m 2 + 8m + 8) ÷ (m + 2) (3x 2 - 10x - 8) ÷ (x - 4) (2m 2 + 5m + 8) ÷ (m + 1) (2m3 - 4m - 30) ÷ (2m - 10)
44.
(p 4 - 7p 2 + p + 1) ÷ (p - 3)
36. 38. 40.
45. Varios pasos Halla el valor de n, para que x - 4 sea un factor de x 2 + x + n.
Geometría El área de cada uno de tres rectángulos es 2x 2 - 3x - 2 cm 2. A continuación se dan los distintos anchos de los rectángulos. Halla cada longitud correspondiente. 46. x - 2
47. x + 1
48. 2x + 1
(x 2 + 3x + 4) 49. Calculadora de gráficas Usa la tabla de valores de f (x) = __ x-5 para responder. a. Describe qué les sucede a los valores de y a medida que x aumenta de 2 a 4. b. Describe qué les sucede a los valores de y a medida que x aumenta de 6 a 8.
Energía solar
c. Explica por qué no hay un valor en la columna y cuando x es 5. x 2 + 10x + 25 x 4 - 4x 3 - 45x 2 para x = 2.88. ÷ __ 50. Estimación Estima el valor de __ 2 x - 25 x 2 - 14x + 45 51. Energía solar Cuanto mayor es el área de un panel solar, mayor es la cantidad de vatios de energía que se produce. El área de dos paneles solares A y B, en metros cuadrados, se puede representar con A = m 2 + 3m + 2 y B = 2m + 2. Divide los polinomios para hallar una expresión que represente la razón del área de A al área de B.
La NASA está investigando aviones de alimentación solar sin tripulación. En el futuro, estos aviones podrían permanecer en el aire indefinidamente.
52.
4x 2 - 6x + 12 Dos estudiantes intentaron dividir __. -2x ¿Qué opción es incorrecta? Explica el error.
/////ANÁLISIS DE ERRORES/////
53. Este problema te ayudará a resolver la Preparación de varios pasos para el examen de la página 906. x - 12 . Jonathan continúa estudiando las lentes y usa la ecuación __1y = _____ 12x
a. Jonathan quiere escribir y, la distancia entre la imagen y la lente, en función de x, la distancia entre el objeto y la lente. ¿Cuál es la ecuación para hallar y? b. Usa una calculadora de gráficas para crear una tabla de valores para la función y(x). ¿Para qué valor de x la función es indefinida?
898
Capítulo 12 Funciones y ecuaciones racionales
54. Escríbelo Al dividir un polinomio entre un binomio, ¿qué significa cuando hay un residuo? 55. Razonamiento crítico Divide 2x + 3
2x 2 + 7x + 6 . Halla un valor para cada expresión sustituyendo x por 10 en el problema original. Repite la división. Compara los resultados de cada división. 56. Escríbelo ¿Es 3x + 2 un factor de 3x 2 + 14x + 8? Explica.
1 57. ¿Qué expresión tiene un valor excluido de - _? 2 2 2 4x 4x - 2x - 2 - 2x - 2 __ __ 4x - 2 2x - 4
58. Halla (x 2 - 1) ÷ (x + 2). -5 x-2+_ x+2
3 x-2+_ x+2
2 4x - 2x - 2 __ 4x + 2
2 4x - 2x - 2 __ 2x + 4
-5 x+2+_ x-2
3 x+2+_ x-2
x-4
x+5
59. ¿Qué expresión es un factor de x 2 - 4x - 5? x-1
x+1
60. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a (x 3 + 2x 2 + 3x + 1) ÷ (x - 1)? -5 x 2 + 3x + 6 + _ x-1 3 x2 + x + 2 + _ x-1
7 x 2 + 3x + 6 + _ x-1 -1 x2 + x + 2 + _ x-1
DESAFÍO Y EXTENSIÓN Divide. Simplifica tu respuesta. 61. 63.
(6x 3y - x2 + 4xy2) ÷ (2x2y)
(x 3 + 2x 2 - x - 2) ÷ (x 2 - 1)
62.
(x 3 - 1) ÷ (x - 1)
64.
(x 3 + 8) ÷ (x + 2)
65. Geometría La base de un triángulo es 2x + 4 m y el área es 2x 2 + 5x + 2 m 2. ¿Cuánto más larga es la base que la altura? 66. Geometría La fórmula para hallar el volumen de un cilindro es V = BH, donde B es el área de la base del cilindro y H es la altura. a. Halla la altura del cilindro si V = π (x 3 + 4x 2 + 5x + 2) y B = π (x 2 + 2x + 1).
b. Halla una expresión para el radio de la base.
REPASO EN ESPIRAL 67. Halla la probabilidad de que un punto dentro de los límites del rectángulo más grande esté en la región sombreada. Expresa tu respuesta como una expresión radical simplificada. (Lección 11-8) Multiplica. Escribe cada producto en su mínima expresión. (Lección 11-8)
+ 5)
(6 - √
68. 3 √
3 · √6 69. √5 10 ) 70. ( √
3 + 2)( √3 Multiplica. Simplifica tu respuesta. (Lección 12-4) 9xy 2 _ 8y 8 · 4 71. x 2 + 4x + 3 · _ 72. _ 3 3x 2x 2(x + 3)
2k 2 + 4k 3 k 2 + 3k + 2 73. _ · __ k+1 2k 2
12-6 Cómo dividir polinomios
899
12-7
Cómo resolver ecuaciones racionales ¿Quién lo usa?
Objetivos Resolver ecuaciones racionales
Las ecuaciones racionales se pueden usar para calcular cuánto tiempo tardan dos o más personas que trabajan juntas en completar una tarea. (Ver Ejemplo 3)
Identificar soluciones extrañas Vocabulario ecuación racional
EJEMPLO
Una ecuación racional es una ecuación que contiene una o más expresiones racionales. Si una ecuación racional es una proporción, se puede resolver usando la propiedad de productos cruzados.
1
Resolver ecuaciones racionales usando productos cruzados Resuelve
3 2 . Comprueba tu respuesta. _ =_
t-3 3 =_ 2 _ t t-3
t
Usa productos cruzados.
Comprueba 3 2 _ = _ t t-3
Distribuye 2 en el lado derecho.
3 _ -6 - 3 3 _ -9 1 -_ 3
3t = (t - 3)(2) 3t = 2t - 6 t = -6
Resta 2t de ambos lados.
Resuelve. Comprueba tu respuesta. 3 1 _ 2 4 =_ 1a. _ = 1b. _ n n+4 h+1 h
2 _ -6 2 _ -6 1 ✓ -_ 3
3 21 1c. _ =_ x x-7
Algunas ecuaciones racionales contienen sumas o diferencias de expresiones racionales. Para resolverlas, debes hallar el mcd de todas las expresiones racionales de la ecuación.
EJEMPLO
2
Resolver ecuaciones racionales usando el mcd
_ _ _
3 2 Resuelve 1 c + 2c = c + 1 . Paso 1 Halla el mcd. 2c(c + 1)
Incluye cada factor de los denominadores.
Paso 2 Multiplica ambos lados por el mcd.
(
) ( ) 1 + 2c c + 1 _ 2 2c(c + 1)(_ ( )( 3 ) = 2c(c + 1)(_ c) 2c c + 1) 3 = 2c(c + 1) _ 1 +_ 2 2c(c + 1) _ c 2c c+1
900
Capítulo 12 Funciones y ecuaciones racionales
Distribuye en el lado izquierdo.
Paso 3 Simplifica y resuelve.
( )
( )
(
3 1 + 2c 1(c + 1) _ 2 2c 1(c + 1) _ = 2c(c + 1)1 _ c1 2c 1 c + 11 2(c + 1) + (c + 1)3 = (2c)2 2c + 2 + 3c + 3 = 4c 5c + 5 = 4c c+5=0 c = -5
)
Cancela los factores comunes.
Simplifica. Distribuye y multiplica. Combina los términos semejantes. Resta 4c de ambos lados. Resta 5 de ambos lados.
3 = _ 2 1 +_ _ c 2c c+1
Comprueba Verifica que tu solución no sea extraña.
3 1 +_ _ -5 2(-5) 3 2 +_ _ -10 -10 5 -_ 10 1 -_ 2
2 _ -5 + 1 2 _ -4 1 -_ 2 1 _ - ✓ 2
Resuelve cada ecuación. Comprueba tu respuesta. 6 10 1 =_ 4 2 +_ 4 2a. _ 2b. _ - _ = _ a+1 a+1 a j+2 j 2j 8 1 2c. _ = _ + 1 t t+3
EJEMPLO RESOLUCIÓN
3
Aplicación a la resolución de problemas Greg puede limpiar una casa en 5 horas. Armin tarda 7 horas en limpiar la misma casa. ¿Cuánto tiempo les llevará limpiar la casa si trabajan juntos?
DE PROBLEMAS
1
Comprende el problema
La respuesta será la cantidad de horas h que necesitan Greg y Armin para limpiar la casa.
Armin 7 horas
Greg 5 horas
Haz una lista de la información importante: • Greg limpia la casa en 5 horas, por lo tanto, limpia __15 de la casa por hora. • Armin limpia la casa en 7 horas; por lo tanto, limpia __17 de la casa por hora.
2 Haz un plan La parte de la casa que limpia Greg más la parte de la casa que limpia Armin equivalen al trabajo completo. La velocidad de Greg multiplicada por la cantidad de horas trabajadas más la velocidad de Armin multiplicada por la cantidad de horas trabajadas dará el tiempo completo para limpiar la casa. Sea h la cantidad de horas trabajadas.
(Velocidad de Greg)
_1 5
h
h + (Velocidad de Armin) h = trabajo completo +
_1 7
h
=
1
12-7 Cómo resolver ecuaciones racionales
901
3 Resuelve
(
)
1h 1h+_ 35 _ = 35(1) 5 7 7h + 5h = 35 12h = 35 35 11 h = _ = 2_ 12 12
Multiplica ambos lados por el mcd, 35. Distribuye 35 en el lado izquierdo. Combina los términos semejantes. Divide entre 12 en ambos lados.
11 horas, ó 2 horas Trabajando juntos, Greg y Armin pueden limpiar la casa en 2 __ 12 55 minutos.
4 Repasa Greg limpia __15 de la casa por hora y Armin limpia _17_ de la casa por hora. 35 _1_ 7 11 horas, Greg limpia __ · = __ de la casa y Armin Por lo tanto, en 2 __ 12 12 5 12 35 5 7 5 1 __ = __ de la casa. Juntos, limpian __ + __ · = 1 casa. limpia __ 12 7 12 12 12 3. Cindy corta el césped de un jardín en 50 minutos. Sara tarda 40 minutos en cortar el mismo césped. ¿Cuánto tiempo tardarán en cortar el césped si trabajan juntas? Cuando multiplicas cada lado de una ecuación por el mcd, puedes obtener una solución extraña. Recuerda del Capítulo 11 que una solución extraña es una solución de una ecuación resultante que no es una solución de la ecuación original.
EJEMPLO
4
Soluciones extrañas Resuelve
x-9 -3 _ = _ . Identifica las soluciones extrañas. x2 - 9
x-3
Paso 1 Resuelve.
(x - 9)(x - 3) = -3(x 2 - 9)
Usa productos cruzados. Multiplica el lado izquierdo. Distribuye -3 en el lado derecho. Suma 3x 2 a ambos lados.
x - 12x + 27 = -3x + 27 2
2
4x 2 - 12x + 27 = 27
Las soluciones extrañas se pueden introducir elevando ambos lados de una ecuación al cuadrado o multiplicando ambos lados de una ecuación por una expresión variable.
4x 2 - 12x = 0
Resta 27 de ambos lados.
4x(x - 3) = 0
Factoriza la expresión cuadrática.
4x = 0 ó x - 3 = 0
Usa la propiedad del producto cero.
x=0óx=3
Halla x.
Paso 2 Halla soluciones extrañas. x-9 =_ -3 _ x2 - 9 x - 3 -3 0-9 _ _ 0-3 02 - 9 -9 -3 _ _ -9 -3 1
x-9 =_ -3 _ x2 - 9 x - 3 3-9 -3 _ _ 3-3 32 - 9 -6 _ -3 _ 0 0
-6 -3 Como ___ y ___ son 0 0 indefinidos, 3 no es una solución.
1 ✓
La única solución es 0, por lo tanto, 3 es una solución extraña. Resuelve. Identifica las soluciones extrañas. x+1 3 x-2 4 4a. _ = _ 4b. _ = _ x-7 x-7 x-2 x-3
902
Capítulo 12 Funciones y ecuaciones racionales
9 6 4c. _ =_ x 2 + 2x x 2
RAZONAR Y COMENTAR 1. ¿Por qué es importante comprobar tus respuestas a las ecuaciones racionales? 2. ¿Para qué valores de x las expresiones racionales en la ecuación x 2 ____ = ____ son indefinidas? x-3 x+3
x 4 = ____ , 3. Explica por qué algunas ecuaciones racionales, como ____ x-4 x-4 no tienen soluciones.
4. ORGANÍZATE Copia y completa el organizador gráfico. En cada recuadro, escribe la solución y comprueba.
2ESOLVERECUACIONESRACIONALES 2ESUELVEUSANDO PRODUCTOSCRUZADOS Ý Ý
? ?
12-7
Ejercicios
2ESUELVEUSANDO ELMCD Ý Ý Ý
? ? ?
CLAVE: MA7 12-7 CLAVE: MA7 Parent *(Disponible sólo en inglés)
PRÁCTICA GUIADA 1. Vocabulario Un(a) ? extraña o ecuación racional)
contiene una o más expresiones racionales. (solución
Resuelve. Comprueba tu respuesta. VER EJEMPLO
1
pág. 900
VER EJEMPLO
2
pág. 900
VER EJEMPLO
3
pág. 901
3 2 2. _ = _ x x+4
5 4 3. _ = _ s s-6
20 -10 4. _ = _ p + 100 2p
4 1 5. _ = _ j j+2
3 9 6. _ = _ x-4 x-2
6 7. _ = 3 2x - 1
6 _ 5 _ 1 8. _ x-x=3
a 1 2 9. _ + _ = _ 9 3 5
3 3 2 +_ 10. _ = _ x x x+1
8 3 1 11. _ = _ -_ d d+2 d
3 1 4 +_ 12. _ = _ s s-6 2s
7 _ -1 2 _ 13. _ r + r - 1 = 2r
3 a 14. _ = _ a-4 a-2
r 5 2 _ 15. _ - _ = r 2 6
6 _ 7 16. _ n = n2 - 1
4 17. _ = x - 2 x+1
5 -4 18. _2 = _ + 1 a a
-3 1 _ 19. _ p = p2 + 2
20. Pintura Summer puede pintar una habitación en 3 horas. Louise puede pintar la misma habitación en 5 horas. ¿Cuántas horas tardarán en pintar la habitación si trabajan juntas? 21. Tecnología La vieja aspiradora robótica de Lawrence puede limpiar su apartamento en 1 __12 hora. Su nueva aspiradora robótica puede limpiar el apartamento en 45 minutos. ¿Cuánto tiempo tardarán ambas aspiradoras juntas en limpiar el apartamento?
VER EJEMPLO pág. 902
4
Resuelve. Identifica las soluciones extrañas. w+3 3 2w c-1 -_=1 22. _ = _ 23. _ c-4 c-4 w2 - 1 w - 1
3x - 7 x 8 24. _ + _ = _ x-5 2 x-5
12-7 Cómo resolver ecuaciones racionales
903
PRÁCTICA Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Práctica independiente
Para los Ejercicios
Ver Ejemplo
25–28 29–36 37 38–41
1 2 3 4
Práctica adicional Práctica de destrezas, pág. S27 Práctica de aplicación, pág. S39
Resuelve. Comprueba tu respuesta. 8 3 12 2 26. _ = _ 25. _ = _ x-2 x+1 3n - 1 n
x x 27. _ = _ x+4 x-1
9 4 28. _ = _ x x+5
6 _ 2 29. _ s - s =5
7 1 1 30. _ + _ =_ 2x 4x 8x
7 _ 2 _ 4 31. _ c - c = c-1
9 15 3 _ _ 32. _ m - 2m = m
3 2 33. _2 = _ x x
r 6 34. _ - 3 = - _ r 3
6 1 1 35. _2 = _ + _ 2x 2 x
8 2 1 36. _2 = _ - _ x 3 3x
37. Mel puede alfombrar un piso en 10 horas. Sandy puede alfombrar el mismo piso en 15 horas. ¿Cuántas horas les llevará alfombrar el piso si trabajan juntos? Resuelve. Identifica las soluciones extrañas. 5x 15 38. _ = 8 + _ x-3 x-3
t+4 3t 39. _ = _ t-3 t-3
x+1 2 _ 40. _ x = x2 - 1
x-4 1 _ 41. _ x = x 2 - 16
42. Varios pasos Clancy ha registrado su estadística de tiros libres. Usa sus datos para escribir la razón de la cantidad de tiros libres que Clancy ha anotado a la cantidad de intentos. a. ¿Qué porcentaje ha anotado?
Tiros libres de Clancy Intentos
Anotados
45
39
43. Viajes Un tren de pasajeros viaja 20 mi/h más rápido que un tren de carga. El tren de pasajeros tardó 2 horas menos que el tren de carga en recorrer 240 millas. El tren de carga tardó t horas. Copia y completa la tabla. Luego halla la velocidad del tren de carga. Distancia
Velocidad
Tren de pasajeros
240
240 ____
Tren de carga
240
Tiempo
t-2
t
44. El tubo A llena un tanque de almacenamiento con determinado producto químico en 12 horas. El tubo B llena el tanque en 18 horas. ¿Cuánto tiempo tardarían ambos tubos en llenar el tanque?
45. Este problema te ayudará a resolver la Preparación de varios pasos para el examen de la página 906. Blanca instala una lente con una longitud focal f de 15 cm y coloca una vela a 24 cm de la lente. Sabe que __1 = _1x_ + __1y , donde x es la distancia entre el objeto y la lente e y es la f distancia entre la imagen y la lente. a. Escribe la ecuación usando los valores que se dan. b. Para los valores de f y x que se dieron, ¿a qué distancia de la lente aparecerá la imagen? c. ¿En qué se verá afectada la distancia entre la imagen y la lente si Blanca usa una lente con una longitud focal de 18 cm? 904
Capítulo 12 Funciones y ecuaciones racionales
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b. Escribe y resuelve una ecuación para hallar cuántos tiros libres t seguidos tendría que anotar Clancy para mejorar su porcentaje de tiros libres a 90%. (Pista: Clancy debe anotar t tiros libres más en t intentos más).
46. Razonamiento crítico ¿Puedes multiplicar en forma cruzada para resolver todas las ecuaciones racionales? Si es así, explica. Si no, ¿cómo identificas cuáles pueden resolverse usando productos cruzados? 3 47. Escríbelo Resuelve _1x_ + __3x = ____ . Explica cada paso y por qué elegiste el método x-1 que usaste.
x 2 + 16 4 x 48. ¿Qué valor es una solución extraña de _ - _ = _ ? x+4 x-4 x 2 - 16 -16 -4 4 x + 2 3 1 _ 49. ¿Qué opción es una solución de _ - _ x = x 2 - 3x ? x-3 -1 0 1
16
3
5 =_ 2? 1 +_ 50. ¿Cuáles son las soluciones de _ 3 3x x2 -3 y 5
-3 y 2
3 y -5
2y3
DESAFÍO Y EXTENSIÓN 51. A continuación se muestra una solución de una ecuación racional. Usa una propiedad algebraica para justificar cada paso. 6 3 Resuelve _ = _ . x x+4 Enunciados
Razones
a. 3(x + 4) = 6x b. 3x + 12 = 6x c. 12 = 3x d. 4 = x x+4 7 ____ 52. ¿Para qué valor de a la ecuación ____ x - a = x - a no tiene solución?
53. Luke, Eddie y Ryan pueden hacer un trabajo en 1 hora y 20 minutos si trabajan juntos. Trabajando solo, Ryan tarda 1 hora más que Luke en hacer el trabajo y Luke hace el trabajo el doble de rápido que Eddie. ¿Cuánto tiempo tarda cada uno en hacer el trabajo si trabaja solo?
REPASO EN ESPIRAL Identifica qué líneas son paralelas y qué líneas son perpendiculares. (Lección 5-8) 1x+4 1 x; y = 3x + 1; y = 3x - 1 55. y = -2x; y = 2x - 2; y = _ 54. y = _ 3 2 56. y = -x - 3; y = x - 2; y = x + 3
3 3 2 57. y = - _ x + 2; y = _ x + 3; y = - _ x - 1 3 2 2
Resuelve cada ecuación. Comprueba tu respuesta. (Lección 11-9) 58. 2 √x
= 24
59. √
x + 15 = √
4x
60. √
2-x=x
Representa gráficamente cada función racional. (Lección 12-2) 1 4 2 63. y = - _ 61. y = _ 62. y = _ +3 x x x+1
12-7 Cómo resolver ecuaciones racionales
905
SECCIÓN 12B
Operaciones con expresiones y ecuaciones racionales Un mundo al revés Jamal está estudiando las lentes y sus imágenes para un proyecto de ciencias. En un libro de ciencias descubre que una lupa se puede usar para proyectar imágenes al revés en una pantalla. La ecuación __f1 = __1x + __1y relaciona x la longitud focal de la lente f, la distancia entre el objeto y la O Objeto lente x, y la distancia entre la Imagen f imagen y la lente y. La longitud focal de la lente de Jamal es 10 cm.
1. Resuelve la ecuación dada para hallar y usando el valor dado de f.
y
2. Jamal experimenta con un vela, la lente y una pantalla. Suponiendo que la longitud focal permanece constante, usa una tabla para los valores de x 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 y 16 cm. ¿Para qué valores de x son positivos los valores de y?
3. Representa gráficamente la función y(x). Rotula los ejes. El aumento de las imágenes es la razón de la altura de la imagen a la altura del objeto. Esto también equivale a la razón de la distancia entre la imagen y la lente y I y la distancia entre el objeto y la lente: A = __ = __x . I es la altura de la imagen, O es O la altura del objeto, y es la distancia entre la imagen y la lente y x es la distancia entre el objeto y la lente.
4. Si la altura de una vela es 15 cm y la imagen que se proyecta de esa vela mide 37.5 cm, ¿cuál es el aumento de la lente?
5. Cuando Jamal aleja la vela de la lente (aumenta x), y la distancia entre la lente y la pantalla disminuye (y disminuye), ¿el aumento A permanece constante, se hace mayor o menor?
906
Capítulo 12 Funciones y ecuaciones racionales
I
SECCIÓN 12B
Prueba de las Lecciones 12-4 a 12-7 12-4 Cómo multiplicar y dividir expresiones racionales Multiplica. Simplifica tu respuesta. n+3 1. _ · (n 2 - 5n) n-5
8 2. _ · (x 2 + 6x + 9) 2x + 6 6xy 2 _ 6x 4 y 4 · 4. _ 2x 2 y 6 9x 3 2 m + m - 2 __ m 2 - 8m + 16 · 6. __ 3m - 3 m 2 - 2m - 8
5a 2 b 3 _ 2a 4 bc 5 3. _ · 20c ab 5 3 4g 3h - 6h _ 5. _ · 2 10g 2 gh - 2g Divide. Simplifica tu respuesta. n-6 2 ÷_ 7. _ n5 n3
2x 2 + 8x + 6 _ 2x 2 + 2x 8. __ ÷ x x3 - x2
8b 3 c ( 2 ÷ 4b + 4b) 9. _ b2c
12-5 Cómo sumar y restar expresiones racionales Suma o resta. Simplifica tu respuesta. 15 13 10. _ - _ 2p 2p
3m 2 _ 5m 2 11. _ + 5 4m 4m 5
x 2 + 8x 3x + 14 12. _ - _ x-2 x-2
2t m2 - m - 2 4x 3x 2 2 __ _ 13. _ + -_ 14. 15. _ + _ 2 2 t m + 5 x 2 2 -x 4t m + 6m + 5 16. Julianne compite en un biatlón que consiste en una etapa de 25 millas corriendo y una etapa de 45 millas en bicicleta. Julianne tiene un promedio de 3 veces la velocidad en bicicleta con respecto a su velocidad corriendo. Sea v la velocidad de Julianne corriendo. Escribe y simplifica una expresión, en función de v, que represente el tiempo que tarda Julianne en completar ambas etapas de la carrera. Luego determina cuánto tiempo tardará Julianne en completar la carrera si corre a un promedio de 10 mi/h.
12-6 Cómo dividir polinomios Divide. 17.
(6d 2 + 4d) ÷ 2d
18.
(15x 4 + 3x 3 - x) ÷ (-3x 2 )
19.
(2x 2 - 7x - 4) ÷ (2x + 1)
21.
(4y 2 - 9) ÷ (2y - 3)
22.
(2x 2 + 5x - 8) ÷ (x + 2)
Divide usando la división larga. 20.
(a 2 + 3a - 10) ÷ (a - 2)
12-7 Cómo resolver ecuaciones racionales Resuelve. Identifica las soluciones extrañas. 3 _ 4 23. _ x = x-1
1 _ 2 24. _ x = x2
2 4 4 25. _ + _ = _ t 3t t + 2
d+2 x-6 7 -6 4 -4 =_+2 =_ 26. _ 27. _ = _ 28. _ 2 n d+8 d+8 n x2 - 6 x - 4 29. Dustin tarda 2 horas en quitar la nieve de la entrada de su casa y de la acera con una pala. Su hermana tarda 3 horas en quitar la nieve de la misma área. ¿Cuánto tiempo tardarán en quitar la nieve si trabajan juntos?
¿Listo para seguir?
907
EXTENSIÓN
Objetivos Hallar las tres razones trigonométricas básicas de un triángulo rectángulo Usar razones trigonométricas para hallar longitudes que faltan
Razones trigonométricas Una razón trigonométrica es una razón de las longitudes de dos lados de un triángulo rectángulo. Tres razones trigonométricas básicas son seno, coseno y tangente, cuyas abreviaturas son sen, cos y tan, respectivamente.
Razones trigonométricas cateto opuesto a ∠A hipotenusa
a sen A = __ = _ c
Vocabulario razones trigonométricas seno coseno tangente
EJEMPLO
cateto adyacente a ∠A hipotenusa
b cos A = ___ = _ c cateto opuesto a ∠A lado adyacente a ∠A
a tan A = __ = _
1
b
Hallar el valor de una razón trigonométrica Halla cada razón trigonométrica a la milésima más cercana.
A sen A B C
opuesto 3 sen A = __ = _ = 0.600 hipotenusa 5 cos A adyacente 4 = 0.800 cos A = __ = _ hipotenusa 5 tan A opuesto 3 tan A = _ = _ ≈ 0.750 adyacente 4 1. Usa la figura anterior para hallar sen B, cos B y tan B.
EJEMPLO
2
Aplicación a la aviación Un avión despega con un ángulo de ascenso de 9°. ¿Cuál es la altitud del avión cuando ha recorrido una distancia horizontal de 184,800 pies? Redondea tu respuesta al pie más cercano.
Para hallar razones trigonométricas en una calculadora de gráficas, , o oprime y luego escribe el valor del grado. Asegúrate de que tu calculadora esté en grados.
Dibuja un diagrama para representar el problema. opuesto tan A = _ adyacente h tan 9° = _ 184,800 184,800(tan 9°) = h
Multiplica ambos lados por 184,800.
29,269.4 ≈ h
Simplifica el lado izquierdo con una calculadora.
La altitud del avión es aproximadamente 29,269 pies.
908
Capítulo 12 Funciones y ecuaciones racionales
2. Construcción Una escalera de 14 pies está apoyada contra un edificio. La escalera forma un ángulo de 70° con el suelo. ¿A qué distancia del edificio está la base de la escalera? Redondea tu respuesta a la décima de pie más cercana.
EXTENSIÓN
Ejercicios Usa el diagrama para los Ejercicios 1 y 2. 1. Halla sen A, cos A y tan A a la milésima más cercana. 2. Halla sen B, cos B y tan B a la milésima más cercana. Halla el valor de x. Redondea las respuestas a la décima más cercana. 3.
4.
5.
6. Bajo el mar Si un submarino recorre 3 millas mientras sube a la superficie a un ángulo de 9°, ¿a qué profundidad estaba el submarino cuando comenzó a subir? Redondea tu respuesta a la décima de milla más cercana.
7. Construcción Una rampa para sillas de ruedas formará un ángulo de 4.5° con el suelo. El piso en la parte superior de la rampa está 20 pulgadas sobre el nivel del suelo. a. Dibuja un diagrama que ilustre la situación. b. ¿Qué longitud debería tener la rampa? Redondea tu respuesta a la décima de pulgada más cercana. c. ¿A qué distancia del piso debería comenzar la rampa? Redondea tu respuesta a la décima de pulgada más cercana. 8. Navegación La parte superior de un faro está 40 metros sobre el nivel del mar. El ángulo de elevación desde un barco hasta la parte superior del faro es 20°. ¿A qué distancia está el barco de la base del faro? Redondea tu respuesta a la décima de metro más cercana. 9. Escríbelo ¿Qué debe ser cierto sobre los catetos de un triángulo rectángulo para que un ángulo tenga una tangente de 1? ¿Cuál es la medida de ese ángulo?
Extensión
909
Vocabulario asíntota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 858
función racional . . . . . . . . . . . . 858
ecuación racional. . . . . . . . . . . 900
valor excluido . . . . . . . . . . . . . . 858
expresión racional . . . . . . . . . . 866
variación inversa . . . . . . . . . . . 851
función discontinua . . . . . . . . 858 Completa los enunciados con las palabras del vocabulario. 1. Un(a) ? es una expresión algebraica cuyo numerador y denominador −−−−−− son polinomios. 2. Una función cuya regla es un cociente de polinomios en el que el denominador tiene un grado de al menos 1 es un(a) ? . −−−−−− 3. Un(a) ? es una ecuación que contiene una o más expresiones racionales. −−−−−− k , donde k es 4. Un(a) ? es una relación que se puede escribir en la forma y = _ x −−−−−− una constante distinta de cero. 5. Una función es un(a) ? si su gráfica contiene uno o más saltos, discontinuidades −−−−−− u hoyos.
12-1 Variación inversa (págs. 851–857) EJERCICIOS
EJEMPLOS ■ Escribe y representa gráficamente la variación
inversa en la que y = 2 cuando x = 3.
k y=_ x k 2=_ 3 6=k 6 y=_ x
k Usa la forma y = __ x.
6.
Sustituye los valores conocidos. Multiplica por 3 para hallar el valor de k. k Sustituye k por 6 en y = __ x.
x
-6
-3
-2
-1
0
1
2
3
6
y
-1
-2
-3
-6
ind.
6
3
2
1
Haz una tabla de valores y marca los puntos.
910
Indica si cada relación representa una variación inversa. Explica.
Capítulo 12 Funciones y ecuaciones racionales
x
y
7.
x
y
4
-3
2
4
-12
1
6
8
6
-2
10
12
8. Escribe y representa gráficamente la variación inversa en la que y = 4 cuando x = -1. 9. Escribe y representa gráficamente la variación 1 cuando x = 2. inversa en la que y = _ 2 10. Sea x 1 = 5, y 1 = -6, y x 2 = 2. Sea y inversamente proporcional a x. Halla y 2. 11. La cantidad de vehículos de flota que una ciudad puede comprar varía inversamente con el precio de cada automóvil. Si la ciudad puede comprar 3 automóviles que valen $22,000 cada uno, ¿cuál debe ser el precio de un automóvil para que la ciudad compre 5?
12-2 Funciones racionales (págs. 858–865) EJEMPLOS ■
1 + 3. Representa gráficamente la función y = _
EJERCICIOS
x+1 Como el numerador es 1, usa las asíntotas y 1. traslada y = _ x
Identifica los valores excluidos y las asíntotas vertical y horizontal para cada función racional. 1 1 +3 12. y = _ 13. y = _ x+4 x+1
Halla las asíntotas. b = -1 x = -1 c=3 y=3
-5 - 4 14. y = _ 2x + 6
Representa gráficamente las asíntotas. Dibuja curvas suaves para mostrar la traslación.
2 +5 15. y = _ 4x - 7
Representa gráficamente cada función. 3 4 16. y = _ 17. y = _ x x+5 1 -2 18. y = _ x+4
1 +2 19. y = _ x-6
20. Un rectángulo tiene un área de 24 cm 2. Si x 24 representa el ancho, entonces y = __ x representa
la longitud y. Describe los valores razonables del dominio y del rango y representa gráficamente la función.
12-3 Cómo simplificar expresiones racionales (págs. 866–872) EJERCICIOS
EJEMPLOS Simplifica la expresión racional, si es posible. Identifica los valores excluidos. x-1 __ 2 ■ x + 2x - 3 x-1 __ (x + 3)(x - 1) x - 11 __ (x + 3)(x - 1)1 1 _ (x + 3)
Factoriza el denominador.
Cancela los factores comunes. Simplifica.
Identifica los valores excluidos. x 2 + 2x - 3 = 0
Para hallar los valores excluidos, haz que el denominador sea igual a 0.
(x + 3)(x - 1) = 0
Factoriza.
x+3=0óx-1=0
Usa la propiedad del producto cero. Resuelve cada ecuación para hallar x.
x = -3 ó x = 1
Halla los valores excluidos de cada expresión racional. 3 -2 21. _ 22. _ 5p r-7 t 23. _ t2 - t x-1 25. _ x 2 - 25
-4 24. __ x 2 - 4x - 5 x+4 26. __ x 2 - 11x + 28
Simplifica cada expresión racional, si es posible. Identifica los valores excluidos. 7r 2 27. _3 21r
3k 2 28. _ 3 6k - 9k 2
x+6 29. __ x 2 + 4x - 12
2x - 6 30. _ 9 - x2
3x + 15 31. __ x 2 + 4x - 5
x 2 + 9x + 18 32. __ x 2 + x - 30
33. ¿Cuál es la razón del área del cuadrado al área del círculo? Ý
Los valores excluidos son -3 y 1.
Guía de estudio: Repaso
911
12-4 Cómo multiplicar y dividir expresiones racionales (págs. 878–884) EJERCICIOS
EJEMPLOS ■ Multiplica. Simplifica tu respuesta.
6x 2 5x 3 - 10x · __ _ 4 4x 7x - 14x 2 5x(x - 2) __ 6x _ · 2( 2 4x 7x x - 2) 2
2
Factoriza.
1 5x 1 (x 2 - 2) __ 6 3x 2 __ · 1 1 4 2x 1 7x 2 (x 2 - 2) 15 _ 14 1
Cancela los factores comunes. Simplifica.
■ Divide. Simplifica tu respuesta. 2 2
2
2xy 32x y _ ÷ _3 7z 28xz 3 32x 2y 2 _ _ · 28xz2 7z 2xy
Multiplica por el recíproco.
1 2 Cancela los factores 32 16 x 2 y 2 _ 28 4 x 1 z 3 _ · comunes. 1 71 z 1 21 x 1 y 2 Simplifica. 64x 2z 2
Multiplica. Simplifica tu respuesta. 2b 34. _ · (b 2 - b - 2) 3b - 6
4x 35. _ · (x 2 - 9) 3x + 9
5ab 2 · _ 3a 2b 2 36. _ 2ab a 2b
-4c 2d 3c · _ 37. _ 2d 8d 2
b 2 + 2b - 24 b+2 · __ 38. _ 2 2b + 12b b 2 - 16 n 2 + 3n + 2 n 2 - n - 12 · __ 39. __ 2 n + 2n - 24 n 2 - 4n - 21 Divide. Simplifica tu respuesta. 3b + b 2 b2 - 9 7 21 40. _2 ÷ _ 41. _ ÷ _ y 3b + 1 b + 3b y3 2 2 x + 2x - 3 x2 - 4 4m n 43. __ ÷ _ 42. 16n 3 ÷ _ x 4x 3mn 44. Una bolsa contiene canicas rojas y azules. Tiene 8 canicas rojas más que azules. Verónica mete la mano en la bolsa y elige una canica al azar. Deja la canica a un lado y luego elige otra. ¿Cuál es la probabilidad de que elija dos canicas rojas?
12-5 Cómo sumar y restar expresiones racionales (págs. 885–891) EJEMPLOS Suma o resta. Simplifica tu respuesta. 7x _ x 2 - 3x ■ 3xy - _ 3xy 7x -(x 2 - 3x) __ Resta los numeradores. 3xy 7x - x 2 + 3x __ Distribuye. 3xy 10x - x 2 _ Simplifica. 3xy 3w _ 4 ■ w - 5 + __ w 2 - 2w - 15 3w 4 Factoriza para hallar _ + __ w - 5 (w - 5)(w + 3) el mcd. 3w (w + 3) 4 __ Escribe cada + __ (w - 5)(w + 3) (w - 5)(w + 3) expresión 3w 2 + 9w usando 4 __ __ + el mcd. (w - 5)(w + 3) (w - 5)(w + 3) 2 3w + 9w + 4 __ Suma y simplifica. (w - 5)(w + 3) 912
Capítulo 12 Funciones y ecuaciones racionales
EJERCICIOS Halla el mcd de las expresiones que se dan. 45. 5a 2b, 10ab 2
46. 2x 2 - 6x, 5x - 15
Suma o resta. Simplifica tu respuesta. b2 8 47. _ + _ 2b 2b
2x 3x 2 - 4 _ + 2 48. _ 2 x -2 x -2
8p 2 49. __ - __ 2 p - 4p + 2 p 2 - 4p + 2 3b + 4 5 - 2b 50. _ - _ 7-b 7-b
n+5 n-5 -_ 51. _ 2 n -1 n2 - 1
m+2 3 +_ 52. _ 5m 10m 2
h 2 + 2h 3h - 1 53. _ - _ h-5 5-h
54. Una tropa de exploradores camina 10 millas hasta la cima de una montaña. Como el viaje de regreso es cuesta abajo, la tropa puede caminar 3 veces más rápido en el descenso. Sea v la velocidad de la tropa hasta la cima de la montaña. Escribe y simplifica una expresión para el tiempo de caminata del viaje de ida y vuelta en función de v.
12-6 Cómo dividir polinomios (págs. 893–899) EJERCICIOS
EJEMPLOS Divide. ■
Divide. 3
2
6x - 9x + 3x __ 4
3
2
Escribe como una expresión racional.
3x 3 6x 9x 3x 2 _-_+_ 3x 3x 3x 4
2 43
Divide cada término por separado. 1 21
3 32
6 x 9 x 3 x _ -_ +_ 3 1x 1 3 1x 1 3 1x 1 3 2 2x - 3x + x ■
55. (4n 3 - 6n 2 - 10n) ÷ 2n
(6x - 9x + 3x ) ÷ 3x 4
Cancela los factores comunes. Simplifica.
(4x 3 - 2x 2 + 5x - 1) ÷ (x - 2) 4x 2 + 6x + 17 3 x - 2
4x - 2x 2 + 5x - 1 - (4x 3 - 8x 2) −−−−−−−−−2 6x + 5x - (6x 2 - 12x) −−−−−−−−− 17x - 1 - (17x - 34) −−−−−−−− 33 33 2 _ 4x + 6x + 17 + x-2
56. (-5x 3 + 10x - 25) ÷ (-5x 2) x 2 - 8x - 20 57. __ x - 10
6n 2 - 13n - 5 58. __ 2n - 5
h 2 - 144 59. _ h - 12
9x 2 + 12x + 4 60. __ 3x + 2
m 2 - 2m - 24 61. __ m+4
3m 2 + m - 4 62. __ m-1
Divide usando la división larga. 63. (x 2 + 5x + 6) ÷ (x + 3)
64. (x 2 + x - 30) ÷ (x - 5) 65. (p 2 + 2p - 8) ÷ (p + 4)
66. (2x 2 + 3x - 5) ÷ (x + 2) 67. (2n 2 - 3n + 1) ÷ (n - 5) 68. (3b 3 - 4b + 2) ÷ (b - 2) 69. (2x 2 - 4x 3 + 3x) ÷ (x + 2)
12-7 Cómo resolver ecuaciones racionales (págs. 900–905) EJERCICIOS
EJEMPLOS Resuelve. Identifica las soluciones extrañas. 3 _ 2 ■ x+3 -4=_ x 3 2 x(x + 3) _ - 4 = x(x + 3)_ x x+3 3 2 x(x + 3) _ - x(x + 3)4 = x(x + 3)_ x x+3 3 1 _ 1 _ - x(x + 3)4 = x (x + 3) 21 x(x + 3) x + 31 x 3x - 4x(x + 3) = 2(x + 3) 3x - 4x 2 - 12x = 2x + 6 0 = 4x 2 + 11x + 6 0 = (4x + 3)(x + 2) 4x + 3 = 0 ó x + 2 = 0 3 x =- _ ó x = -2 x ≠ -3 ó 0, por lo 4
(
(
)
(
)
)
tanto, no hay soluciones extrañas.
Resuelve. Identifica las soluciones extrañas. x 6 3 71. _ = _ 70. -4 = _ r 7 2 6 =_ -5 72. _ b 3+b
7 =_ -2 73. _ y 3y 2
3x 2 =_ 74. _ x-1 1-x
2x + _ 1 =3 75. _ x2 x2
6 2 +_ 4 =_ 76. _ x 3x 3
x = -_ 1 +_ 1 77. - _ 3x 4 12x
2 +4=_ 1 78. _ 3b 3b
8 4 =_ 79. _ x - 4 x 2 - 16
x 5x - 10 = _ 80. _ x+1 2
x =_ 3 2x + _ 81. _ x+3 4 x+3
3 9m = 7 - _ 82. _ m-5 m-5
x-4 =_ -2 83. _ x2 - 4 x - 2
Guía de estudio: Repaso
913
1. Escribe y representa gráficamente la variación inversa en la que y = -4 cuando x = 2. 2. La cantidad de carteles que el club de español puede comprar varía inversamente con el costo de cada cartel. El club puede comprar 15 carteles que cuestan $2.60 cada uno. ¿Cuántos carteles puede comprar si cuestan $3.25 cada uno? Identifica los valores excluidos y las asíntotas vertical y horizontal para cada función racional. 3 3. y = _ x+1
1 4. y = _ +5 2x - 1
1 -3 5. y = _ x+3
Simplifica cada expresión racional, si es posible. Identifica los valores excluidos. 2b 6. _2 4b
x 2 - 16 7. __ 2 x + 3x - 4
b 2 - 2b - 15 8. __ 5-b
x 2 + 4x - 5 9. __ x 2 - 25
Multiplica. Simplifica tu respuesta. -4 · ( 10. _ x - 3) x2 - 9
15a 2b 2a 2b 2 _ · 11. _ 3 8a 4 5b
x 2 + x - 12 x 2 - x - 12 __ · 2 12. __ 2 x - 16 x + 3x + 2
3b 2 - 6b 2b - 4 14. _ ÷_ 8b + 12 2b 3 + 3b 2
x 2 + 2x - 15 x 2 - 25 ÷ __ 15. __ 2 2 x -9 x + 3x + 2
Divide. Simplifica tu respuesta. 12xy 4x 2y 4 _ ÷ 13. _ 2 3xy 15x 3y 2
Suma o resta. Simplifica tu respuesta. b2 + 3 4 16. _ + _ 5b 5b
2x 5x - 2 _ - 2 17. _ 2 x +2 x +2
5 - 2x 2 18. _ -_ 2 3x 3x 2
3m 1 19. _2 + _ 2m 2m
3x 1 20. _ - _ 2x + 4 x + 2
y2 + 4 y2 21. _ + _ y-3 3-y
3x 2 + 2x - 8 23. __ x+2
k 2 - 2k - 35 24. __ k+5
Divide. 22. (8t 2 - 2t) ÷ 2t Divide usando la división larga. 25. (2w 2 + 5w - 12) ÷ (w + 4) 26. (x 2 - 4x + 9) ÷ (x + 2) 27. El área de un rectángulo se puede representar mediante A(x) = x 3 - 1. La longitud es x - 1. a. Halla un polinomio que represente el ancho del rectángulo. b. Halla el ancho cuando x mide 6 cm. Resuelve. Identifica las soluciones extrañas. 9 2 =_ 28. _ x - 1 2x - 3
3 n 29. _ = _ n-1 n+4
n-4 2 =_ 30. _ n+2 n2 - 4
31. Julio puede lavar y encerar el automóvil de la familia en 2 horas. Leo tarda 3 horas en lavar y encerar el mismo automóvil. ¿Cuánto tiempo tardarán en lavar y encerar el automóvil si trabajan juntos?
914
Capítulo 12 Funciones y ecuaciones racionales
ENFOQUE EN LOS EXÁMENES DE MATEMÁTICAS SAT Para prepararte para los exámenes de matemáticas SAT, comienza a repasar el material varios meses antes de la fecha del examen. Haz exámenes de prueba para saber en qué áreas necesitas concentrarte. No se espera que hayas estudiado todos los temas del examen.
Los temas que se incluyen en cada examen de matemáticas SAT varían muy poco cada vez que se toma el examen. Averigua la distribución general de los puntos del examen según los temas y luego identifica las áreas en las que necesitas concentrarte cuando estudias. Te recomendamos que tomes el tiempo que te lleva hacer este examen de práctica. Deberías tardar aproximadamente 6 minutos en terminar. 1. ¿Qué conjunto de pares ordenados satisface una variación inversa? (A)
(6, 3) y (8, 4)
(B) (2, -3) y (4, 5) (C) (4, -2) y (-5, 10) (D) (2, 6) y (-3, -4) (E)
(4, _14 ) y (-4, _14 )
3 =_ 7x , ¿cuál es el valor de x? 2. Si _ x + 3 x2 - 9 (A) -12 (B) -3 9 (C) - _ 4 9 (D) _ 4 (E) 3
3. ¿Cuál es el valor de h si (x 3 + 2x 2 - 4x + h) ÷ (x + 1) tiene un residuo de 15? (A) -10 (B) -5
4. ¿La gráfica de qué función se muestra? 2 +1 (A) f (x) = _ x+4 4 -1 (B) f (x) = _ x+2 4 +1 (C) f (x) = _ x-2 4 -1 (D) f (x) = _ x-2 2 +1 (E) f (x) = _ x-4
5. ¿Qué función tiene la misma gráfica que x 2 - 4x - 5 excepto en x = 5? f (x) = __ x 2 - 3x - 10 x-1 (A) g(x) = _ x-2 x+1 (B) g(x) = _ x+2 x+1 (C) g(x) = __ (x - 5)(x + 2)
(x + 5)(x - 1) (D) g(x) = __ x+2 (x - 5)(x + 1) (E) g(x) = __ x-2
(C) 5 (D) 10 (E) 20
Práctica para el examen de ingreso a la universidad
915
Opción múltiple: elige combinaciones de respuestas. Algunas preguntas de opción múltiple en los exámenes requieren que se elija una combinación de respuestas correctas. La respuesta correcta es la opción más completa disponible. Para resolver este tipo de preguntas en el examen, determina si cada enunciado es verdadero o falso. Luego elige la opción que incluye cada enunciado correcto.
¿Cuál de las siguientes opciones tiene un valor excluido de -5? 5 I. _ x-5
x 2 - 10 · _ 5 III. _ 5x + 25 x - 10
8x 2 + 36x - 20 II. __ 2(x + 5)
2(x + 2) IV. __ 2 2x + 12x + 10
sólo I
II, III y IV
II y III
III y IV
Observa cada enunciado por separado y determina si es verdadero. Puedes llevar un registro de los enunciados que son verdaderos en una tabla.
Enunciado I El denominador, x - 5, es igual a 0 cuando x = 5.
Enunciado
Verdadero / Falso
I
Falso
II
Verdadero
III
Verdadero
IV
Verdadero
El enunciado I no responde a la pregunta, por lo tanto es falso.
Enunciado II El denominador, 2(x + 5), es igual a 0 cuando x = -5. El enunciado II responde a la pregunta, por lo tanto es verdadero.
Enunciado III El denominador, (5x + 25)(x + 10), es igual a 0 cuando x = -5 ó x = -10. El enunciado III responde a la pregunta, por lo tanto es verdadero.
Enunciado IV El denominador, 2x 2 + 12x + 10, se puede factorizar como 2(x + 5)(x + 1). Esta expresión es igual a 0 cuando x = -5 ó x = -1. El enunciado IV responde a la pregunta, por lo tanto es verdadero.
Los enunciados II, III y IV son verdaderos. La opción C es la respuesta correcta porque incluye a todos los enunciados verdaderos. Las opciones B y D contienen algunos de los enunciados verdaderos, pero la opción C es la respuesta más completa.
916
Capítulo 12 Funciones y ecuaciones racionales
Evalúa todos los enunciados antes de elegir una respuesta. Haz una tabla para anotar si cada enunciado es verdadero o falso.
B
¿Qué expresión es indefinida para x = 3 ó x = -2?
Lee cada recuadro y contesta las preguntas que le siguen. A
¿Qué dimensiones representan un rectángulo que tiene un área equivalente a la expresión 2x 2 + 18x + 16? I. = x + 8
I. 2x + 12 · _4_ 2(x - 3)(x + 6)
(x - 2) III. __ (x + 2)(x - 1)
9x - 1 II. _ x2 + 3
14 IV. _ x2 - x - 6
I, III y IV
III y IV
I y II
I y IV
6. ¿Cuándo es indefinida una expresión?
a = 2(x + 1)
7. Henry determinó que el enunciado I es indefinido cuando x = 3. Decide que es una respuesta incorrecta porque la expresión es definida cuando x = -2. ¿Debería elegir la opción H mediante un proceso de eliminación? Explica tu razonamiento.
II. = 2x + 2 x 2 + 3x - 40 a = __ x-5 III. = x + 2
(2x + 2)(x + 4) (3x - 1) a = __ · __ 1 (3x 2 - 11x - 4) sólo I
I y II
sólo III
I, II y III
8. Haz una tabla para determinar la respuesta correcta.
C
¿Qué función racional tiene una gráfica con una asíntota horizontal de y = 4? 1. ¿Cómo determinas el área de un rectángulo? 2. Daisy descubrió que el área del rectángulo I era equivalente al área dada y eligió la opción A como respuesta. ¿Estás de acuerdo? Explica tu razonamiento. 3. Escribe una expresión simplificada para el ancho del rectángulo II. 4. Explica cada paso para determinar el área del rectángulo III. 5. Si el rectángulo II tiene un área equivalente a la expresión dada, ¿qué opciones puedes eliminar?
-4 I. y = _ x
1 III. y = _ x-4
1 +4 II. y = _ x
1 +4 IV. y = - _ x
I y III
I y II
sólo II
II y IV
9. ¿Dónde ocurre la asíntota horizontal de la función del enunciado I? 10. Usando tu respuesta al Problema 9, ¿qué opción u opciones puedes eliminar? Explica tu razonamiento. 11. Observa las opciones que quedan. ¿Qué enunciado sería mejor comprobar a continuación? Explica tu razonamiento.
Ayuda para examen
917
EVALUACIÓN ACUMULATIVA, CAPÍTULOS 1-12
CLAVE: MA7 TestPrep
6. ¿Qué situación describe mejor una
Opción múltiple 1. Simplifica la expresión 4(2d - 1) - 6d. 2d
-4d + 3
2d - 4
2d - 1
2. ¿Qué ecuación es el resultado de resolver 3x + 2y = 8 para hallar y? 3x-4 y=_ 2
y = -3x + 8
y = 3x + 4
3x+4 y = -_ 2
correlación negativa? El nivel de intensidad de un ejercicio y la cantidad de calorías que se queman por minuto La cantidad de tiempo que un juego electrónico está encendido y la cantidad de energía que queda en las pilas del juego La altura de un árbol y la cantidad de tinta en un bolígrafo La temperatura durante el día y la cantidad de personas en un puesto de venta de helados 2
20mn ? 3m n · _ 7. ¿Qué expresión es equivalente a _ 6
3. ¿Qué función
5m
se muestra en la gráfica? y = 3x x y=_ 3 y = √
x+3
12m 2 _ n4
12m 2n 3
12m 3 _ n3
12m _ n
n
3. 3 +_ 8. Simplifica _ x 5x 1 _ x
1 +3 y=_ x
4. El club de teatro necesita recaudar al menos $1400 para un viaje de estudio. La administración de la escuela aportó al club $150. Los miembros del club venden cadenas para llaves a $5 cada una. ¿Qué desigualdad representa la cantidad de cadenas para llaves c que el club de teatro necesita vender para realizar su viaje de estudio?
9 _ 5x
18 _ 5x 1 _ 2x
9. ¿Cuál de las siguientes gráficas tiene una pendiente de -3?
150 + 5k ≥ 1400 5k - 150 ≥ 1400 5k + 150 ≤ 1400 150 ≤ 5k + 1400 3 ? 5. ¿Qué expresión NO es equivalente a _ 3x + 6 _ x2 + x - 2
x-1 3x + 3 _ x2 - 1
3x - 3 __ x 2 - 2x + 1
3x - 3 _ x-1
10. ¿Cuál es el resultado de (-12x 6 + x) ÷ (-4x 2)? 1 3x 3 - _ 4x 1 3x 4 - _ 4x
918
Capítulo 12 Funciones y ecuaciones racionales
3x 5 3x 4 + x
11. Abe lanza dos monedas. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas monedas caigan cara? 1 _ 2 1 _ 4
15 - 5x 20. El maestro Lui escribió __ en el pizarrón. 2
1 _ 8 1 _ 16
x - 9x + 18
-8 ? n =_ 12. ¿Qué opción es una solución de _ n n+2 -4
2
-2
4
(
)
-2
8
x _ 16y 4
21. Describe las semejanzas y las diferencias entre
22. ¿Qué dos valores de b permiten factorizar 2x 2 - bx - 20? Explica tu respuesta.
?
16 _ x 8y 4
a. Explica qué tipo de expresión es. b. Simplifica la expresión. Muestra tu trabajo. c. Identifica los valores excluidos. la gráfica de f (x) = x 2 + 4 y la gráfica de 1 x 2 + 3. g(x) = _ 2
13. ¿Cuál de las siguientes opciones es equivalente a 2x 5y 2 _ 8x
Respuesta breve
4 _ x 4y 2 5
x _ 16
14. ¿Qué situación se puede representar mediante la 140 ? función y = _ x El costo de una excursión de esquí es $140 por cada persona que participa. El área de un rectángulo con un ancho de 140 metros es directamente proporcional a su longitud. El costo por persona del alquiler de un barco es $140 dividido entre la cantidad de personas. La asistencia al concierto de este año fue 140 personas más que al concierto del año pasado.
23. Brandee recibe un salario por hora. En el último periodo de pago, ganó $800 por horas regulares y $240 por horas extra. Su tasa de pago por horas extra es 50% más por hora que su tasa de pago regular r. Escribe y simplifica una expresión, en función de r, que represente la cantidad de horas h que trabajó Brandee durante el periodo de pago. Muestra tu trabajo.
Respuesta desarrollada 24. El director Farley tiene $200 para que algunos maestros asistan a una conferencia sobre tecnología. La empresa que organiza la conferencia permite que 2 maestros asistan gratis. La cantidad de maestros y que pueden ir a la 200 + 2, conferencia está dada por la función y = _ x donde x es el costo por maestro.
a. Describe los valores razonables del dominio y Aprende las reglas para escribir respuestas gráficas. Por ejemplo, ¿puedes escribir la fracción __23 como 0.6666 ó como 0.67? Los distintos exámenes pueden tener reglas diferentes; por lo tanto, presta mucha atención a las instrucciones.
del rango para esta función.
b. Identifica las asíntotas vertical y horizontal. c. Representa gráficamente la función. d. Da dos soluciones en números cabales para la ecuación y describe qué significan en el contexto de esta situación.
Respuesta gráfica 15. ¿Cuál es el valor excluido para la expresión x2 - 4 ? racional _ 3x - 6
16. ¿Cuál es el siguiente término de la sucesión geométrica 2000, 1600, 1280, 1024,…?
17. ¿Cuál es la constante de variación si y varía inversamente a x e y = 3 cuando x = 6?
18. ¿Cuál es el valor de 4 0 -(2 -3)? x - 4. 19. Identifica el valor excluido para y = _ x-2
Evaluación acumulativa, Capítulos 1–12
919
OHIO New Bremen
Cincinnati
Cincinnati Reds Los Cincinnati Reds, que al formarse en 1866 se llamaban Cincinnati Red Stockings, fueron el primer equipo de béisbol de la liga nacional. Ahora juegan en un estadio que se llama Great American Ballpark y que se construyó en 2003. Elige una o más estrategias para resolver cada problema. 1. En la tabla se muestra la nómina total de salarios de los Reds desde 2000 hasta 2005. ¿Qué porcentaje aumentó la nómina desde 2000 hasta 2005? 2. Supongamos que el porcentaje de incremento de la nómina de salarios para los próximos x años es el mismo que de 2004 a 2005. Representa esta situación con una función de crecimiento exponencial. 3. Usando la función que hallaste en el Problema 2, ¿cuál podría ser la nómina total de salarios de los Reds en el año 2010? 4. Supongamos que en un partido de los Cincinnati Reds, las entradas para la zona azul cuestan en promedio $28 y que las entradas para la zona verde cuestan en promedio $20. Supongamos que se vendió el doble de entradas a los aficionados para la zona verde que para la azul y que el total de ventas de entradas para estas dos zonas fue $204,000. Los aficionados compraron 14,197 entradas en otras zonas y secciones. ¿Cuántas personas tenían entradas para el partido?
920
Capítulo 12 Funciones y ecuaciones racionales
Nómina de salarios de los Cincinnati Reds Año
Nómina total ($)
2000
44,217,500
2001
48,784,000
2002
45,050,390
2003
59,355,667
2004
46,615,250
2005
61,892,583
Estrategias de resolución de problemas
Museo de bicicletas de Estados Unidos El museo de bicicletas de Estados Unidos en New Bremen, Ohio, alberga una de las colecciones de bicicletas y objetos de interés relacionados con las bicicletas más grandes del mundo. La colección representa cada época, incluyendo las bicicletas antiguas del siglo XIX, las clásicas con llantas-globo de las décadas de 1940 y 1950 y las bicicletas con asientos en forma de plátanos y manubrios altos de la década de 1960.
Dibujar un diagrama Hacer un modelo Calcular y poner a prueba Trabajar en sentido inverso Hallar un patrón Hacer una tabla Resolver un problema más sencillo Usar el razonamiento lógico Usar un diagrama de Venn Hacer una lista organizada
Elige una o más estrategias para resolver cada problema. 1. Alfred Letourner fue uno de los mejores ciclistas de su época. El 17 de mayo de 1941, en una carrera patrocinada por Schwinn, Letourner montó una bicicleta similar a la que se muestra en la fotografía con una razón de cambios de 9 __12 a 1. La bicicleta pesaba sólo 20 libras. En esa carrera, Letourner batió los récords de velocidad al recorrer una milla en 33.05 segundos. A este ritmo, ¿aproximadamente a cuántas millas por hora iba Letourner? En el diagrama se muestra la relación entre la cantidad de dientes de la corona y la cantidad de dientes del piñón de una bicicleta. Esta relación afecta la velocidad y el esfuerzo al pedalear. Por ejemplo, si la corona 39 dientes tiene 39 dientes y el piñón tiene 17 dientes, la razón de 39 53 dientes cambios es __ = 2.294. Este 17 número representa la cantidad de vueltas de la rueda por cada vuelta completa del pedal.
Corona
Piñón 14 dientes 16 dientes 19 dientes 21 dientes 23 dientes
2. ¿Qué combinación de cambios que se muestra en el diagrama permite la mayor cantidad de rotaciones de las llantas con respecto a las vueltas del pedal? ¿Aproximadamente cuántas vueltas de la rueda por cada vuelta completa del pedal son posibles con esta combinación? 3. Si una bicicleta de montaña tiene llantas de 26 pulgadas de diámetro, ¿qué distancia en pies recorrerá un ciclista por cada vuelta completa del pedal si la corona tiene 39 dientes y el piñón tiene 14 dientes?
Resolución de problemas en lugares
921
