TEMA 4: Ecuaciones y sistemas de ecuaciones

Tema 4: Ecuaciones y sistemas de ecuaciones

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ESQUEMA DE LA UNIDAD 1.- Ecuaciones de primer grado. 2.- Ecuaciones de segundo grado completas. 3.- Ecuaciones de segundo grado incompletas. 3.1.- Caso b  0 . 3.2.- Caso c  0 . 4.- Propiedades de las ecuaciones de segundo grado. 5.- Ecuaciones bicuadradas. 6.- Sistemas de ecuaciones lineales. 6.1.- Método de sustitución. 6.2.- Método de igualación. 6.3.- Método de reducción. 6.4.- Método gráfico.

1.- ECUACIONES DE PRIMER GRADO Para resolver las ecuaciones de primer grado se recomienda seguir los siguientes pasos: 1.

Quitar los paréntesis.

2.

Si hay fracciones ponerle a todas el mismo denominador.

3.

Quitar los denominadores teniendo mucho cuidado con los signos.

4. Pasar todos los términos que contengan la incógnita a la izquierda de la ecuación y todos los términos que no la tengan a la derecha. 5.

Agrupar en ambos lados de la ecuación.

6. Despejar la incógnita pasando el número que tiene delante al otro lado de la ecuación DIVIDIENDO. Ejemplos: resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado. a)

3  x  1 2  x  3 7 x 3    2 4 8 2

3  x  1 2  x  3 7 x 3 3x  3 2 x  6 7 x 3 12 x  12 4 x  12 7 x 12            2 4 8 2 8 8 8 8 2 4 8 2 12 x  12  4 x  12  7 x  12  12 x  4 x  7 x  12  12  12  x  36

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b)

x  2 2  x  1 4  2 x  1 3  x  3    5 3 15 5

x  2 2 x  2 8 x  4 3x  9 3x  6 10 x  10 8 x  4 9 x  27         5 3 15 5 15 15 15 15 3x  6  10 x  10  8x  4  9 x  27  3x  10 x  8x  9 x  4  27  6  10  14x  35  x 

35 14

2.- ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO COMPLETAS Recordatorio: Son ecuaciones de la forma ax 2  bx  c  0 , donde a, b, c son números distintos de cero. Estas ecuaciones se resuelven aplicando la siguiente fórmula: x 

 b  b2  4  a  c 2a

Observaciones:  Antes de aplicar la fórmula para resolver la ecuación, hay que asegurarse de que todos los términos de la ecuación están a la izquierda, quedando un cero a la derecha.  Al aplicar la fórmula no olvidar quiénes son a, b, c , ya que podemos tener desordenada la ecuación y confundirnos.  Al radicando de la raíz que aparece en la fórmula ( b 2  4  a  c ) se le llama discriminante y se representa con el símbolo  . Según sea el discriminante de la ecuación podemos saber, sin resolverla, cuántas soluciones tiene la ecuación de segundo grado:   

Si   0 , entonces la ecuación tiene dos soluciones reales distintas. Si   0 , entonces la ecuación solo tiene una solución real (doble). Si   0 , entonces la ecuación no tiene ninguna solución real.

Ejemplo: resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado completas. a)

x 2  6x  7  0

6  8 14  7 2 2 x

6

 62  4 1  7 2 1



6  36  28 6  64 6  8    2 2 2

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68  2   1 2 2

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b)

 x 2  3x  10  0

 3  32  4   1 10  3  9  40  3  49  3  7 x     2   1 2 2 2

3 7 4   2 2 2

 3  7  10   5 2 2

3.- ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO INCOMPLETAS Son ecuaciones de la forma ax 2  bx  c  0 donde "b" o "c" vale cero. Aunque se pueden resolver con la misma fórmula que las ecuaciones de segundo grado completas, hay una forma más rápida de resolverlas. 3.1.- Caso b = 0 En este caso el término que le falta a la ecuación es la “x”. Se podría resolver siguiendo los siguientes pasos: 1. Se resuelve la ecuación como si fuera de primer grado; es decir, como si la “x” no estuviera elevada al cuadrado. 2. Cuando esté despejada la “ x 2 ”, el cuadrado se pasa al otro lado en forma de raíz cuadrada, sin olvidar que cuando se saca la raíz cuadrada de un número hay dos soluciones, una positiva y otra negativa. Ejemplo: resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas. a)

3x 2  27  0

3x 2  27  0  3x 2  27  x 2 

27  x2  9  x   9  x   3 3

b) 5x 2  25  0 5x 2  25  0  5x 2  25  x 2 

c)

25  x2  5  x   5 5

16 x 2  64  0

16 x 2  64  0  16 x 2  64  x 2 

d)

64  x2  4  x   4  x   2 16

2 x 2  18  0

2 x 2  18  0  2 x 2 18  x 2 

18  x2  9  x   9  x   3 2

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3.2.- Caso c = 0 En este caso el término que le falta a la ecuación es el término independiente. Se podría resolver siguiendo los siguientes pasos: 1.

Se saca factor común.

2. Se plantean dos ecuaciones, una en la que se iguala a cero lo que ha quedado fuera del paréntesis después de haber sacado factor común, y otra igualando a cero lo que ha quedado dentro del paréntesis. 3. Las soluciones de esas dos ecuaciones serán las soluciones de la ecuación de segundo grado que estamos buscando. Ejemplo: resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas. 5x 2  25x  0

a)

5x  25x  0  5x  x  5  0 

5x  0  x  0

2

x 5  0  x  5 7 x 2  2x  0

b)

x0  x 0

7 x  2 x  0  x  7 x  2  0  2

7x  2  0  7x  2  x 

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6 x 2  12 x  0

c)

6 x  12 x  0  6 x  x  2  0 

6x  0  x  0

2

x20  x  2

d) 8x 2  24 x  0 8x  24 x  0  8x  x  3  0 

8x  0  x  0

2

x 3  0  x  3

4.- PROPIEDADES DE LAS ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Si llamamos x1 y x 2 a las soluciones de una ecuación de segundo grado de la forma ax 2  bx  c  0 , se cumple lo siguiente: 

La suma de las soluciones vale

b b ; es decir: S  x1  x2  a a

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

El producto de las soluciones vale

c c ; es decir, P  x1  x2  a a

 Si la ecuación ax 2  bx  c  0 se divide término a término entre “a” se obtiene lo siguiente: ax 2 b  x c 0 b c ax  bx  c  0      x2   x   0 a a a a a a 2

b c y P  , la ecuación de segundo grado se puede terminar escribiendo a a 2 también de esta manera: x  Sx  P  0 Pero como S 

 La descomposición en factores de una ecuación de segundo grado de la forma ax 2  bx  c  0 , es la siguientes: a  x  x1   x  x2   0 , donde x1 y x 2 son las soluciones de la ecuación. Ejemplo: expresa la ecuación 3x 2  3x  6  0 como producto de factores. Primero resolvemos la ecuación para hallar las soluciones:

Así, la ecuación se puede expresar factorizada de esta manera: 3  x  1  x  2  0

5.- ECUACIONES BICUADRADAS Son ecuaciones de la forma ax 4  bx 2  c  0 , donde a, b, c son números reales y "a" no puede valer cero. Cuando "b" y "c" tampoco valen cero, a la ecuación bicuadrada se le llama completa, y en el caso de que o "b" o "c" sean cero, se le llama incompleta, al igual que sucede con las ecuaciones de segundo grado. Las ecuaciones bicuadradas hay que transformarlas mediante lo que se conoce como un cambio de variable en una ecuación de segundo grado. Los pasos que hay que seguir para resolverlas, de una manera más detallada, son los siguientes: 1. Hacer el cambio de variable x 2  y , quedando así una ecuación de segundo grado. Vamos a verlo:

 

ax 4  bx 2  c  0  a  x 2

2

cambio de variable x 2  y

 bx 2  c  0

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

ay 2  by  c  0

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2. Resolver la ecuación de segundo grado, obteniendo así el valor de "y", que no es la incógnita de la ecuación que tenemos que resolver. 3. Deshacer el cambio de variable que se hizo en el paso 1 para obtener el valor de "x", que es el que nos interesa: x2  y  x   y

Ejemplo: resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas. a) x 4  5x 2  4  0

 

x  5x  4  0  x 4

2

2 2

 5x  4  0  y  5 y  4  0  y  2

2

5

 52  4 1 4 2 1



53 8   4  x2  4  x   4  x   2 2 2



5  25  16 5  9 5  3    2 2 2

53 2   1  x2  1  x   1  x   1 2 2

b) x 4  4 x 2  21  0

 

x  4 x  21  0  x 4

2

2 2

 4 x  21  0  y  4 y  21  0  y  2

2

4

 42  4 1  21 2 1

4  8 12   6  x2  6  x   2 2



4  16  48 4  64 4  8    2 2 2

6

48  4    2  x 2  2  x   2 2

 2 No es real

c) 2 x 4  x 2  3  0

 

2x  x  3  0  2  x 4

2

2 2

 1  12  4  2   3  x  3  0  2y  y  3  0  y   22 2

2

3 1 5 6 3    x2   x 4 4 2 2



 1  1  24 1  25 1  5    4 4 4

3 2

1 5  4    1  x 2  1  x   4 4

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

 1 No es real

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6.- SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Un sistema de ecuaciones es un conjunto de varias ecuaciones con varias incógnitas. Según el número de soluciones que tengan, los sistemas pueden ser de tres tipos:  Sistema compatible determinado: es aquel que tiene solamente una solución.

Gráficamente este tipo de sistemas viene representado por dos rectas secantes; es decir, por dos rectas que se cortan en un solo punto (que es la solución del sistema). Analíticamente, cuando se resuelve el sistema, sale un valor para cada una de las incógnitas.

 Sistema compatible indeterminado: es aquel que tiene infinitas soluciones. Gráficamente este tipo de sistemas viene representado por dos rectas coincidentes; es decir, dos rectas que son la misma (las soluciones del sistema son los infinitos puntos de cualquiera de las rectas):

Analíticamente, cuando se resuelve el sistema, sale una igualdad entre dos números que es cierta (por ejemplo 4  4 ).  Sistema incompatible: es aquel que no tiene solución. Gráficamente este tipo de sistemas viene representado por dos rectas paralelas; es decir, que no se cortan nunca:

Analíticamente, cuando se resuelve el sistema, sale una igualdad entre dos números que no es cierta (por ejemplo 9 = 4).

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6.1.- Método de sustitución Para resolver un sistema de ecuaciones por el método de sustitución se aconseja seguir los siguientes pasos: 1. Despejar una incógnita de una de las ecuaciones. Observaciones: - Para evitar errores con los signos, se aconseja despejar una incógnita que tiene delante un número positivo. Si interesa despejar una incógnita que tiene delante un número negativo, antes de hacerlo se le puede cambiar el signo a toda la ecuación para que pase a ser positivo. - Aunque se puede despejar la incógnita que se quiera, lo más fácil es despejar una incógnita que tenga delante un “1”. 2. Sustituir la incógnita despejada en la otra ecuación, quedando así una ecuación de primer grado. 3. Resolver la ecuación resultante en el paso anterior, así se obtiene el valor de una de las incógnitas. 4. Hallar el valor de la otra incógnita. Ejemplo: resuelve los siguientes sistemas por el método de sustitución  3x  y  5

a)

2x  5 y  9

Despejamos la “y” de la primera ecuación:  3x  y  5  y  3x  5

Sustituimos en la segunda ecuación la “y” despejada y resolvemos la ecuación que queda: 2 x  5 y  9  2 x  5  3x  5  9  2 x  15x  25  9  2 x  15x  9  25  17 x  34   x

34  x2 17

Calculamos el valor de “y”: Una vez que se tiene el valor de una de las incógnitas, para hallar lo que vale la otra se puede coger cualquiera de las ecuaciones que han aparecido a lo largo del ejercicio en la que aparezca la incógnita que falta por calcular. Aquí vamos a coger la ecuación que salió cuando se despejó la “y” en el primer paso: y  3x  5  y  3  2  5  y  6  5  y  1

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b)

x  3y  7 3x  2 y  12

Despejamos la “y” de la segunda ecuación, pero para no tener problemas con los signos, como tiene delante un número negativo, antes le cambiamos el signo a la ecuación entera: 3x  2 y  12   3x  2 y  12  2 y  3x  12  y 

3x  12 2

Sustituimos en la primera ecuación la “y” despejada y resolvemos la ecuación que queda: 3  3x  12 9 x  36 2 x 9 x  36 14 7  x 7     2 2 2 2 2  22  2 x  9 x  36  14  2 x  9 x  14  36  11x  22  x   x  2 11 x  3y  7  x 

Calculamos el valor de “y”: Una vez que se tiene el valor de una de las incógnitas, para hallar lo que vale la otra se puede coger cualquiera de las ecuaciones que han aparecido a lo largo del ejercicio en la que aparezca la incógnita que falta por calcular. Aquí vamos a coger la primera ecuación del sistema de partida: x  3 y  7  2  3 y  7  3 y  7  2  3 y  9  y 

9  y 1 3

6.2.- Método de igualación Para resolver un sistema de ecuaciones por el método de igualación se aconseja seguir los siguientes pasos: 1. Despejar una incógnita de una de las ecuaciones. (Recordar la observación que se hizo en el punto anterior). 2. Despejar la misma incógnita de la otra ecuación. 3. Igualar las incógnitas despejadas en los pasos anteriores y resolver la ecuación que queda. 4. Hallar el valor de la otra incógnita. Ejemplo: resuelve los siguientes sistemas por el método de igualación a)

3x  y  5 2x  5 y  9

Despejamos la “y” de la primera ecuación: 3x  y  5  3x  y  5  y  3x  5

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Despejamos la “y” de la segunda ecuación: 2x  5 y  9  5 y  9  2x  y 

9  2x 5

Igualamos y resolvemos: 3x  5 

9  2x 15 x  25 9  2 x    15 x  25  9  2 x  15 x  2 x  9  25  17 x  34  5 5 5

 x

34  x2 17

Calculamos la otra incógnita: y  3x  5  y  3  2  5  y  6  5  y  1

b)

x  3y  7 3x  2 y  12

Despejamos la “x” de la primera ecuación:

x  3y  7  x  7  3 y Despejamos la “x” de la segunda ecuación: 3x  2 y  12  3x  2 y  12  x 

2 y  12 3

Igualamos y resolvemos: 7  3y 

2 y  12 21  9 y 2 y  12    21  9 y  2 y  12  9 y  2 y  12  21  3 3 3

 9 y  2 y  12  21  11y  33  y 

 33  y 3  11

Calculamos la otra incógnita: x  7  3 y  x  7  3  3  y  7  9  x  2

6.3.- Método de reducción Para resolver un sistema de ecuaciones por el método de reducción se aconseja seguir los siguientes pasos:

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1. Multiplicar la primera ecuación por el coeficiente que tenga en la otra ecuación una de las incógnitas. 2. Multiplicar la segunda ecuación por el coeficiente que tenga en la primera ecuación la misma incógnita que antes. Observación: si antes de multiplicar las ecuaciones observamos que se pueden simplificar los números por los que vamos a multiplicarlas, se simplifican. 3. Comprobar que una de las incógnitas aparece con coeficientes opuestos (mismo número pero de signo contrario) en las ecuaciones. Si es así hay que sumar dichas ecuaciones. Si hay una incógnita que tiene el mismo coeficiente en las dos ecuaciones, con el mismo signo, antes de sumarlas a una de las ecuaciones hay que cambiarle el signo a cada uno de sus términos. 4. Despejar la incógnita. 5. Calcular el valor de la otra incógnita.

Ejemplo: resuelve los siguientes sistemas por el método de reducción a)

3x  y  5 2x  5 y  9

Multiplicamos cada ecuación por el coeficiente que tenga la “x” en la otra ecuación: 3x  y  5 2x  5 y  9

2  3x  y  5

→

3  2 x  5 y  9

→

6 x  2 y  10 6 x  15 y  27

→

 6 x  2 y  10 6 x  15 y  27

17 y  17 Como la “x” ha quedado con el mismo número y signo delante, se le cambia el signo a una de las ecuaciones, por ejemplo a la primera.

17 y  17  y 

17  y 1 17

Calculamos el valor de la otra incógnita: 3x  y  5  3x  1  5  3x  5  1  3x  6  x 

b)

6  x2 3

2x  3 y  9 5 x  6 y  45

Multiplicamos cada ecuación por el coeficiente que tenga la “y” en la otra ecuación: 2x  3 y  9 5 x  6 y  45

→

6  2 x  3 y  9

3  5 x  6 y  45

→

2  2 x  3 y  9

1  5 x  6 y  45

→

4 x  6 y  18 5 x  6 y  45

Como estos números se pueden simplificar dividiéndolos entre 3, lo hacemos para trabajar con números más pequeños.

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Como la “y” ha quedado con el mismo número y signo delante en las dos ecuaciones, se le cambia el signo a una de ellas, por ejemplo a la primera.

4 x  6 y  18 5 x  6 y  45

→

 4 x  6 y  18 5 x  6 y  45 x  63

Calculamos el valor de la otra incógnita: 2 x  3 y  9  2   63  3 y  9  126  3 y  9  3 y  9  126  3 y  135   y

135  y  45 3

6.4.- Método gráfico En un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, cada una de las ecuaciones representa a una recta. Si representamos gráficamente las dos ecuaciones podemos determinar de qué tipo es el sistema sin necesidad de resolverlo, bastará ver la posición relativa de dichas rectas. Recordatorio: 

Rectas secantes (las que se cortan en un puno): S.C.D.



Rectas coincidentes (cuando las dos rectas son la misma): S.C.I.



Rectas paralelas (que no se cortan): S.I.

Para representar gráficamente cada ecuación, hay que despejar una de las incógnitas (normalmente se despeja la "y"), elaborar una tabla de valores y representar los valores de la tabla en unos ejes de ordenadas. Ejemplo: estudia gráficamente la compatibilidad de los siguientes sistemas, indicando la solución en caso de ser compatible determinado. a)

x y 6  x  y  2

Primera ecuación: x  y  6  Se despeja la "y": x y  6  y  6 x

 Se hace la tabla de valores: A la incógnita que no se ha despejado (en nuestro caso la "x") se le dan tres o cuatro valores, los que uno quiera, y después se va sustituyendo cada uno de ellos en la expresión donde está la "y" despejada para saber cuánto vale esa incógnita en cada caso:

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x

y 5

x  1  y  6 1  y  5

3 3

x  3  y  63  y  3

5 1

x  5  y  6 5  y 1

1

Segunda ecuación:  x  y  2  Se despeja la "y":  x  y  2  y  x  2

 Se hace la tabla de valores: A la incógnita que no se ha despejado (en nuestro caso la "x") se le dan tres o cuatro valores, los que uno quiera, y después se va sustituyendo cada uno de ellos en la expresión donde está la "y" despejada para saber cuánto vale esa incógnita en cada caso: x

y

1

-1

x  1  y  1  2  y  1

3 1

x  3  y  3 2  y 1

5 3

x  5  y  52  y  3

 Se representan las rectas: Rectas secantes → S.C.D. Solución: x  4, y  2

b)

2x  2 y  6 x y 3

Primera ecuación: 2 x  2 y  6  Se despeja la "y": 2x  2 y  6  2 y  6  2x  y 

6  2x 2

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 Se hace la tabla de valores: x

y

-1

4

1 2 2 -2

6  2   1 62 8  y  y  y4 2 2 2 6  2 1 62 4 x 1  y   y  y  y2 2 2 2 6  25 6  10 4 x5  y   y  y  y  2 2 2 2

x  1  y 

Segunda ecuación: x  y  3  Se despeja la "y": x  y  3  y  3 x

 Se hace la tabla de valores: x

y

1

2

x  1  y  3 1  y  2

3

0

x  3  y  33  y  0

5

-2

x  5  y  3  5  y  2

 Se representan las rectas:

Rectas coincidentes → S.C.I.

c)

x y 5 x  y 1

Primera ecuación: x  y  5  Se despeja la "y": x  y  5  y  5 x

Tema 4: Ecuaciones y sistemas de ecuaciones

16

 Se hace la tabla de valores: x

y

-1

6

x  1  y  5   1  y  5  1  y  6

1

4

x  1  y  5 1  y  4

2

3

x  5  y  52  y  3

Segunda ecuación: x  y  1  Se despeja la "y": x  y  1  y  1 x

 Se hace la tabla de valores: x

y

1

0

x  1  y  1 1  y  0

3

-2

x  3  y  1  3  y  2

5

-4

x  5  y  1  5  y  4

 Se representan las rectas:

Rectas paralelas → S.I.

FIN DEL TEMA

Tema 4: Ecuaciones y sistemas de ecuaciones

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