Escuela de Ciencias de la Computación – UTPL Fundamentos Matemáticos Autores: Ing. Germania Rodríguez, Ing. Ricardo Blacio

UNIDAD 4: FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES En la Sección anterior se abordó contenidos relacionados con las funciones y gráficas, continuamos aprendiendo más sobre funciones; en la presente unidad abordaremos dos tipos de funciones, quizá las más conocidas y utilizadas como son las funciones polinomiales y racionales, en las que se revisará su forma estándar, características y gráficas. Un polinomio por definición es una suma o resta de monomios de la forma axn, mientras una función racional no es más que un cociente de polinomios; esta sección muestra las formas estándar, características y gráficas de este tipo de funciones. 4.1 Funciones polinomiales de grado mayor que 2 Vaya al texto básico ubique, lea y familiarícese con el tema: Funciones polinomiales de grado mayor que 2.

Una función se considera polinomial si tiene la forma: f(x) = an xn + an-1 xn-1 + ….. + a1 x + a0 Se denomina polinomio de grado n; si an ≠ 0, entonces el dominio de la función son todos los números reales. Los casos para polinomios de grado de 0 a 2 se resumen en la siguiente tabla: Grado de f 0 1 2

Forma de f(x) f(x) = a0 f(x) = a1x + a0 f(x) = a2x2 + a1x + a0

Gráfica de f (con intersección en y) Recta horizontal Recta con pendiente a1 Parábola con eje vertical

Las gráficas de las funciones polinomiales tienen algunas características que es importante conocer y aplicar cuando así se requiera. Revisemos las más importantes:
Las gráfica de las funciones polinomiales son continuas.
Al observar el valor de n se puede determinar simetrías como las siguientes: 

Si n es impar es una función impar por tanto simétrica al origen.

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Veamos el siguiente ejemplo: f(x) = ½ x3 y=½ x



x

y

3

-2

-8/2 = -4

-1,5

-27/16 = -1,7

-1

-1/2 = -0,5

0

0

1

½ = 0,5

1,5

27/16 = 1,7

2

8/2 = 4

Si n es par f es una función par, por tanto, la gráfica es simétrica respecto al eje y. Observemos algunos ejemplos:


Para graficar una función polinomial de grado mayor a 2, al igual que para graficar cualquier función se debe reemplazar f(x) por y; damos valores a la variable independiente x (valores positivos y negativos), obtenemos los valores correspondientes a y; para posteriormente graficar los puntos determinados por x, y. Una guía del proceso para realizar la gráfica específica de una función polinomial podría ser: 1.

Determinar las simetrías para ello se obtiene f(-x).

2.

Obtener la intersección con el eje y, al obtener (0).

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3.

Factorizar el polinomio.

4.

Encontrar las intersecciones con x, al encontrar las soluciones reales de la ecuación.

5.

Determinar los signos de los factores, para observar en qué intervalos la gráfica está sobre o debajo del eje x cuando f(x) < 0 o f(x) > 0.

6.

Dar valores a x para obtener y, luego graficar la función considerando los resultados obtenidos de los pasos 1 al 5 y marcando puntos adicionales.

Además del contenido abordado en el texto básico usted encontrará algunas formas de obtener las soluciones reales de la función; entre las que están: la división de polinomios, el teorema del residuo, el teorema del factor y ceros del polinomio. Estos temas si bien son interesantes no se los ha incluido en la presente asignatura, por lo tanto, no serán considerados en la evaluación; si los encuentra de su interés puede profundizar en ellos.

Actividad recomendada  Analice y comprenda los ejemplos 3, 4 y 5 en el texto básico, correspondientes al apartado 4.1, los mismos que se encuentran resueltos; además resuelva los ejercicios planteados al final del mismo apartado.  Identifique y resuelva en su trabajo a distancia la parte objetiva o de ensayo que corresponda a los contenidos abordados.

4.2 Funciones racionales

Recurra una vez más al texto y lea comprensivamente el tema: Funciones racionales.

Las funciones racionales son aquellas que tienen la forma: R(x) = P(x) donde P(x) y Q(x) son funciones polinomiales y Q(x) ≠ 0 Q(x) Sea R una función racional definida como cociente de dos polinomios de la forma:

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R(x) = amxm + ....... + a1x + a0 bnxn + ....... + b1x + b0 donde am,bn ≠ 0 Las gráficas de este tipo de funciones poseen un nuevo elemento llamado asíntota, que son líneas que no se grafican, sin embargo, sirven de referencia como líneas a las cuales la gráfica se aproxima. Éstas pueden ser horizontales, verticales u oblicuas.  Asíntotas horizontales para identificar su existencia basta observar los exponentes de los polinomios en la forma estándar (m exponente mayor del polinomio del numerador y n exponente mayor del polinomio del denominador) y aplicar el siguiente teorema: 1. Sí m < n, el eje x (y = 0) es una asíntota horizontal. 2. Sí m = n, la recta y = ambn es una asíntota horizontal. 3. Sí m > n, no hay asíntotas. Las funciones racionales no pueden tener más de una asíntota horizontal.  Asíntotas verticales se obtienen al igualar a cero el polinomio del denominador por fundamento matemático; al dividir una cantidad por cero el resultado es indeterminado, lo que indica que en ese punto de x no existe un punto en y que le corresponda. Para graficar una función racional, en el texto básico se proporciona una guía para trazar la gráfica que se podría resumir en: Dada la función racional f(x) = g(x) / h(x) se debe realizar lo siguiente: 1.

Encontrar las intersecciones con x, haciendo g(x) = 0.

2.

Hallar la asíntota vertical resolviendo h(x) = 0.

3.

Encontrar las intersecciones con y, obteniendo f(0), trazamos la intersección (0, f(0)).

4.

Aplicar teorema de asíntotas horizontales y = c.

5.

Si existen asíntotas horizontales, determinar si corta la gráfica con f(x) = c.

6.

Trazar la gráfica en cada región.

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 Finalmente, se pueden identificar también asíntotas oblicuas, su existencia se da cuando m es mayor en una unidad a n, que es otra función de tipo polinomial que se obtiene de: f(x) = g(x) / h(x) = (ax + b ) + r(x) / h(x)

Ejemplos: En el texto básico los ejemplos 3, 6, 7 y 8 del apartado 4.5 muestran la aplicación de esta guía al trazo de gráficas de funciones racionales. El ejemplo 9 del mismo apartado 4.5 muestra el proceso de identificación y aplicación de una asíntota oblicua.

Actividad recomendada  Analice y comprenda los ejercicios resueltos respecto al trazo de gráficas racionales que se mencionan en el texto básico; es recomendable que los resuelva de manera conjunta. Además, aplique el proceso analizado para resolver algunos de los ejercicios planteados al final del mismo apartado.  Identifique y resuelva en su trabajo a distancia la parte objetiva o de ensayo que corresponda a los contenidos abordados.

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