4.

Funciones racionales e irracionales

Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I

160

1.

Hipérbolas: tendencias y asíntotas

2.

Fracciones algebraicas

3.

Funciones definidas a trozos

4.

Funciones raíz

5.

Ecuaciones irracionales

Funciones racionales e irracionales

1. HIPÉRBOLAS: TENDENCIAS Y ASÍNTOTAS  LA PALANCA La palanca es un dispositivo mecánico que consiste en una barra rígida apoyada sobre un eje, alrededor del cual puede girar.

Si el brazo largo es de longitud doble que el corto, entonces el peso que levanta el brazo corto es doble que el que levanta el brazo largo. Si el brazo largo es de longitud triple que el corto, entonces el peso que levanta el brazo corto es triple que el que levanta el brazo largo.

a) En general, si a y b son las longitudes de cada brazo de la palanca, y m y n los pesos respectivos en sus extremos, escribe la relación que hay entre a, b, m y n. b) Imagina que a=1 metro y m= 1 kg. Escribe la relación entre b y n. Dibuja una gráfica que muestre la variación de n al variar b. ¿Toca la gráfica a los ejes de coordenadas?.



VELOCIDAD CONSTANTE

Un vehículo debe recorrer 180 km a velocidad constante. Busca una fórmula que relacione la velocidad V con el tiempo T. Representa gráficamente esta relación dando a T los valores oportunos.



ÁREA CONSTANTE 2

Un rectángulo de base x cm. tiene 25 cm de superficie. Expresa la altura Y del rectángulo en función de la base y representa gráficamente esta relación funcional.



HIPÉRBOLAS

a) Dibuja la gráfica de la función y 

1 para valores positivos y negativos de x. ¿Qué le ocurre a la x

función para valores de x alejados de cero (tanto positivos como negativos)?. ¿Y para valores de x próximos a cero (por la derecha y por la izquierda)?

161

Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I

La gráfica obtenida para la función y 

1 se llama HIPÉRBOLA EQUILÁTERA y tiene las x

siguientes propiedades: 1)

Es simétrica respecto del origen de coordenadas (se trata de una función impar).

2)

Presenta un salto infinito en x=0. No es continua en x=0. Es discontinua en x=0.

3)

Dom(f)=R{0}=(, 0) (0, +).

4)

Cuando x tiende a 0 por la derecha, los valores de y son cada vez más grandes y positivos; mientras que cuando x tiende a 0 por la izquierda, los valores de y son cada vez más grandes y negativos. Se expresa esto de la siguiente forma: +

Si x 0 , entonces y + Si x 0, entonces y 

1   y x x  0 lim

Se escribe:

1   x x  0 lim

Se dice que la recta x=0 (eje de ordenadas) es ASÍNTOTA VERTICAL de la curva. 5)

Para valores de x alejados de 0 y positivos, los valores de y son cada vez más pequeños y positivos, es decir tienden a 0 por la derecha; mientras que para valores de x alejados de 0 y negativos, los valores de y son cada vez más pequeños y negativos, es decir tienden a 0 por la izquierda. Se expresa esto de la siguiente forma: Si x  +, entonces y  0

+

Si x  , entonces y  0 Se escribe:

lim

x  

1  0 y x

lim

x  

1  0 x

Se dice que la recta y = 0 (eje de abcisas) es ASÍNTOTA HORIZONTAL de la curva. Una ASÍNTOTA es una recta hacia la cual se acerca más y más la curva (se dice que la curva "tiende" a la asíntota). 6)

162

Es decreciente en todo su dominio y no tiene máximos ni mínimos.

Funciones racionales e irracionales

b) Utilizando la gráfica de la función y 

3 x5 , dibuja la gráfica de la función y  . Haz un estudio x x2

completo de estas funciones, indicando crecimiento, decrecimiento, asíntotas,… La división de polinomios

x5 da de cociente 1 y de recto 3. Teniendo en cuenta que x2

DIVIDENDO = DIVISOR  COCIENTE + RESTO, tenemos que:

x  5  1 x  2   3  y 

x5 3  1 x2 x2

Por tanto, para dibujar la gráfica hemos de seguir los siguientes pasos:

3 . x

1)

Dibujar la gráfica de y 

2)

Trasladar la gráfica anterior 2 unidades hacia la derecha, dibujando así la función

y

3 . x2

3 . x2

3)

Dibujar la simétrica respecto del eje OX, esto es, y  

4)

Trasladar la gráfica anterior 1 unidad hacia arriba, obteniendo así y  1 

3 x2

163

Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I

 GRAFICAS a) Representa gráficamente las siguientes funciones: b) Representa gráficamente las siguientes funciones:

La gráfica de la función y = propiedades:

y= y=

2 ; x

2 +5; x

y=

6 . x

y=

5 3 . x

a es una curva llamada hipérbola que tiene las siguientes x

1) No existe para x = 0, es decir su dominio es R-{ 0 }=(, ) 2) Para valores de x cercanos a 0 (por la izquierda o por la derecha) los valores de y se hacen cada vez mayores y positivos (o negativos), lo que se expresa así: Si x  0+ entonces y  +  (y  -  ) Si x  0- entonces y  -  (y  +  ) Se dice que la recta x = 0 (eje de las y) es asíntota vertical de la curva. 3) Para valores de x alejados de 0 (por la izquierda y por la derecha), los valores de y se hacen cada vez más cercanos a 0 (por la izquierda o por la derecha); se expresa así: Si x  +  entonces y  0+ (y  0- ) Si x  -  entonces y  0- (y  0+ ) Se dice que la recta y = 0 (eje de las x) es una asíntota horizontal de la curva. 

HIPÉRBOLAS Para dibujar la gráfica de la función

y=

a + c empezamos dibujando la gráfica de x+b

a y = . A continuación trasladamos esta gráfica b unidades hacia la izquierda, obteniendo la x a gráfica de y = . Por último, trasladamos esta segunda gráfica c unidades hacia arriba, x+b obteniendo como resultado la gráfica buscada.

El dominio de la función es R  { b}=(, b)(b, ) Representa gráficamente las siguientes funciones:

164

a) y =

1 3 x +2

b) y =

3 +5 x4

Funciones racionales e irracionales

 FUNCIONES HOMOGRAFICAS Las funciones de la forma

y=

ax + b cx + d

se llaman funciones homográficas. Antes de

dibujar la gráfica , efectuamos el cociente de polinomios, obteniendo como cociente un número m y como resto un número n. Teniendo en cuenta que DIVIDENDO=DIVISOR x COCIENTE + RESTO, podemos escribir:

ax + b = mcx + d + n

de donde:

ax + b n =m+ cx + d cx + d

La gráfica de la función inicial coincide con la de la función y = m +

n . Para dibujar cx + d

esta, seguieremos los mismos pasos que en el problema anterior, representando inicialmente la función y = hacia la derecha.

n y trasladándola d unidades hacia la izquierda y m unidades cx

ax + b se obtiene hallando los valores de x que cx + d d anulan el denominador, en este caso x = - . Por lo tanto el dominio es R {  d / c }. c El dominio de la función homográfica y =

Dibuja las gráficas de las funciones:

a) y =

x +1 x +2

b) y =

3x + 1 x 2

 MÁS HIPÉRBOLAS Representa gráficamente las siguientes funciones:

a) y = 

4 x

b) y = 

4 x

c) y =

4 x-3

d) y =

4 2 x-3

e) y =

3x + 2 x +1

DOMINIO Y ASÍNTOTAS Para determinar el dominio de una función racional f ( x) =

p( x) hallaremos los valores q( x)

de x que anulan el denominador, resolviendo la ecuación q(x) = 0, es decir hallando las raices del polinomio q(x). Para dichos valores de x la función no está definida. Asíntotas verticales: Se determinan hallando los valores de x que anulan el denominador.

4 tiene como asíntota vertical la recta de ecuación x = 0 (eje x de ordenadas), ya que se cumple: Si x  0+ , entonces y  +  y si x  0- , entonces y  -. Por ejemplo, la función y =

Asíntotas horizontales: Se determinan estudiando el comportamiento de la función para valores de x alejados de 0. La recta de ecuación y = a es una ásíntota horizontal de la función si: cuando x  +  y cuando x  -  , ocurre que y  a + o bien y  a- . Por

2x tiene como asíntota horizontal la recta y = 2, ya que si x +1 x  +  , y  2- y si x  -  , y  2+ .

ejemplo, la función

y=

165

Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I

Asintotas oblícuas: Se determinan también estudiando el comportamiento de la función para valores de x alejados de 0. Para hallar las asíntotas oblicuas de la función y =

x2 , x +1

empezamos efectuando la división de polinomios, obteniendo x-1 como cociente y resto 1. Teniendo en cuenta que DIVIDENDO = DIVISOR x COCIENTE + RESTO, resulta

x 2 = x + 1x - 1 + 1, de donde obtenemos: y=

x2 1 = x - 1 + x +1 x +1

Para valores de x alejados de 0, el cociente

1 tiende a 0, de forma que la función se x +1

comporta como la recta y = x - 1, ya que se acerca a ella cada vez más. Decimos entonces que la recta de ecuación y = x - 1 es una asíntota oblícua de la curva. Una función racional no está definida para aquellos valores de x que anulan el denominador. Por tanto, para hallar el dominio de una función racional hay que obtener las raíces del denominador. El dominio estará formado por todos los números reales que no sean raíces del denominador.

Halla el dominio de cada una de las siguientes funciones. Halla las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas, si tienen:

a) y =

e) y =

i)y =

x2 + 1 x x 2

x -1 1 3

x -x

b) y =

f) y =

j) y =

x2 x -1 x3 2

x -4

3x 2 - 2 x -3

c) y =

4x x2 + 4

g) g(x) =

k) p(x) =

5 2

x -4

d) y =

x2 x2 - 1

h) h(x) =

x -1 2

x - 5x + 6

2x + 5 x -3

 EQUILIBRIO Las funciones de oferta, q = S(p), y demanda, q = D(p), que determinan la cantidad q para un 260000 D(p) = S(p) = p  20 producto, en función del precio p, son respectivamente: p a) Encuentra el precio de equilibrio (cuando la oferta y la demanda se igualan) y el correspondiente número de unidades demandadas. b) Dibuja las gráficas en el mismo sistema de ejes cartesianos.  POBLACION Se estima que el movimiento de la población de una comunidad urbana obedecerá a la función:

P(t) = 200000 +

50000 , donde t se mide en años y P(t) es el número de habitantes. t

a) ¿Cuál es el significado de P(0) ?. b) Estudia el crecimiento y decrecimiento de la función. ¿Es acotada?. c) Representa gráficamente la función. 166

Funciones racionales e irracionales

 DEMANDA

50 , donde D es el número de artículos p  10 demandados y p el precio unitario, que siempre es superior a 10 y alcanza, a lo sumo, 30. Dibuja la gráfica de la función y estudia sus características. La función de demanda de cierto producto es D(p) = 100 +

 COSTE DE UN ARTICULO El coste de un determinado artículo varía según el número de unidades fabricadas, de acuerdo con la siguiente tabla: o

n unidades fabricadas precio por unidad

1 60

10 55

20 52

30 50

40 48

50 45

60 39

70 36

Representa gráficamente la relación precio unidad / número de unidades fabricadas. La variación del precio por unidad, ¿ es directa o inversamente proporcional al número de unidades fabricadas?.

 CADENA DE MONTAJE Una empresa dedicada a montajes en cadena ha determinado que la media, M(t), de montajes realizados por un trabajador sin experiencia depende de los días de entrenamiento, de acuerdo con la función:

M(t) =

50 t , donde t es el tiempo en días. t+4

a) ¿Cuántos montajes realizará el primer día?. ¿Y el décimo?. ¿Y el vigésimo?. b) Traza una gráfica aproximada de M(t). c) Conforme aumenta la experiencia del trabajador, ¿cómo evoluciona el número medio de montajes?. 

MONTAJES

En una empresa se hacen montajes en cadena. El número de montajes realizados por un trabajador sin experiencia depende de los días de entrenamiento según la función: M(t) 

30 t (t en días). t4

a) ¿Cuántos montajes realiza el primer día?. ¿Y el décimo?. b) Representa la función sabiendo que el periodo de entrenamiento es de un mes. c) ¿Qué ocurriría con el número de montajes si nunca acabara el entrenamiento?.

167

Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I



MEMORIZACIÓN

En una clase de psicología se realizó el siguiente experimento de memorización. A cada estudiante se le dio una lista de 40 palabras y un día para memorizarlas. Durante 20 días seguidos cada estudiante escribía todas las palabras de la lista que era capaz de recordar. Se halló la media de aciertos y se determinó que una buena aproximación de esta media venía dada por la función

R(x) 

5d  30 (d en días). d

a) ¿Cuántos aciertos se producen el cuarto día? ¿Y el décimo?. b) Dibuja la gráfica de esta función y estudia sus características. c) Si el número de días sigue aumentando, ¿qué tendencia se observa en el número de aciertos?.

2. FRACCIONES ALGEBRAICAS 

SIMPLIFICA Una expresión del tipo

f ( x) , donde f(x) y g(x) son polinomios se llama fracción g( x)

algebraica. Una fracción algebraica solamente está definida para aquellos valores de x que no anulan al denominador g(x). Para simplificar una expresión algebraica se deben utilizar las técnicas conocidas de polinomios: sacar factor común, suma por diferencia, etc. Además hay que asegurarse que la simplificación se puede hacer y que no estamos dividiendo entre 0. Veamos dos ejemplos:





x 4 + x x x3 + 1 x3 + 1 = = donde hemos sacado factor común x en el numerador. La xx + 2 xx + 2 x + 2 simplificación es válida, siempre que x  0. 1)

x 2 - 4 x + 2x - 2 = = x + 2 donde hemos usado que suma por diferencia es diferencia x-2 x-2 de cuadrados. La simplificación es válida siempre que x - 2  0, es decir x  2. 2)

Simplifica las siguientes fracciones algebraicas:

a)

x3 + x x +1

b)

x2 - 9 x-3

c)

4x + 3 4x + 12

d)

x3 + 8 x+2

 EQUIVALENTES Dos fracciones algebraicas

r p r p = . y son equivalentes si q s q s

¿Son equivalentes las fracciones

x -1 x-2

y

x 2 - 2x + 1 x 2 - 3x + 2

?.

Sugerencia: Factoriza previamente el numerador y el denominador de la segunda fracción y trata de simplificar dicha fracción todo lo que puedas.

168

Funciones racionales e irracionales

 COMUN DENOMINADOR Reducir dos fracciones algebraicas a común denominador consiste en transformar dichas fracciones en otras equivalentes que tengan el mismo denominador. Reduce a común denominador las fracciones:

1 1 1 y . , 2 x -1 x +1 x -1

Sugerencia: ¿Por qué expresión has de multiplicar numerador y denominador de cada fracción para que todas ellas tengan el mismo denominador?. Recuerda que suma por diferencia es diferencia de cuadrados. 

OPERACIONES Para efectuar sumas y restas combinadas de fracciones algebraicas, es conveniente reducirlas previamente a común denominador. Después se suman y restan los numeradores de las fracciones, dejando como denominador el denominador común. Ejemplo: Reduciendo a común denominador tenemos:

x 5 2x xx - 3 5x + 3 2x x 2 - 3x + 5x + 15 - 2x x 2 + 15 + = + = = x + 3 x - 3 x2 - 9 x2 - 9 x2 - 9 x2 - 9 x2 - 9 x2 - 9 Efectúa las siguientes operaciones con fracciones algebraicas:

a)

c)

1 1 1 + 2 + 3 x x x 3

4 3 + x2 - 9 x - 3 x + 3 -

b)

1

1 1 x -1 x +1 x -1

d)

3 2 x -1 +  x x +1 x + 2

2

-

 SIMPLIFICA OTRA VEZ Simplifica, cuando sea posible, las siguientes fracciones algebraicas:

a)

3x 2 - 15x + 18 3x - 9

b)

x 2 - 4x - 21 2x + 6

Sugerencia: Factoriza previamente numerador y denominador de cada fracción. 

PRODUCTOS Y COCIENTES Para multiplicar dos fracciones algebraicas, denominadores respectivos. Así:

p r pr  = . q s qs

Para dividir dos fracciones algebraicas, del divisor. Así:

p r , , basta multiplicar los numeradores y los q s

p r p s ps : =  = . q s q r qr

p r , , basta multiplicar el dividendo por el inverso q s

169

Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I

a) Multiplica

c) Divide



x 2 + 3x x 2 + 5x + 6

x+2 . x +1

por

b) Multiplica

x-2 x2 - 4 entre . x +1 x2 - 1

2 x 2 - 5x - 24 por . 8-x x+3

x +1 x2 - 1 entre . x+2 x2 - 4

d) Divide

SIMPLIFICA

Simplifica las siguientes fracciones algebraicas:

x  x - y  a) y  y - x  d)



x2  x - 2 b) 2 x  4x  3

3a - 3b 2b 2  2a 2

e)

2a 2  5a - 12 c) 16 - a 2

x2  x x 3  2x 2  x

f)

b  b2 a  ab

d)

xy x-y : x 3x 2

OPERACIONES

Realiza las siguientes operaciones con fracciones algebraicas: a)



4 x  x-2 x-2

2a a -1  a 1 a

c)

2 x  x  1 x -1

b)

1 1 : x  1 x -1

c)

y2 x : 3x y - 2

b)

1  1  5   : 2 -  x  x 

b)

DIVISIONES

Efectúa las siguientes divisiones: a)



x 2x : 2 5

MÁS OPERACIONES

Opera y simplifica: a)

1 1 : 2 x  y x -1 2

c)

xy - x ay - a : 2 y y

3. FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS  A TROZOS a) Representa gráficamente las funciones

f(x) x 3

comportamiento en las cercanías del punto x=2.

170

y

 x, si x  2 g(x)   2  x , si x  2

y estudia su

Funciones racionales e irracionales

Se observa que la función g(x) presenta un salto en el punto x=2, a diferencia de lo que ocurre con la función f(x) cuya gráfica no presenta saltos. Utilizando la calculadora, completa la tabla siguiente: x f(x) g(x)

1'9

1'99

1'999

1'9999

2

2'0001

2'001

2'01

2'1

En la función f(x) cuando x tiende a 2, bien por la izquierda o bien por la derecha, los valores de y tienden al valor que toma la función cuando x=2. Se dice entonces que dicha función es continua en x=2. En realidad es continua para todos los valores de x. En cambio, en la gráfica de g(x), cuando x tiende a 2 por la izquierda, los valores de y tienden a 2, mientras que cuando x tiende a 2 por la derecha, los valores de y tienden a 4. Por lo tanto, la función g(x) no es continua en x=2. En general, una función y=f(x) es CONTINUA en x=a, si cuando x tiende a a, bien por la izquierda o bien por la derecha, f(x) tiende a f(a). En caso contrario, se dice que f(x) es DISCONTINUA en x=a.

b) Representa gráficamente las siguientes funciones y estudia en qué puntos son continuas y en qué puntos son discontinuas:

x, si x  0  x, si x  0

si 0  x  1 2x, 2  x, si 1  x  2

1) y=x= valor absoluto de x = 

2) y  

 x  4, si x  3 3) y   2  si x  3 x ,

1,  4) y  x, 1, 

si x  1 si  1  x  1 si x  1

171

Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I

 TROZOS Dibuja la gráfica de la siguiente función, estudiando su continuidad y crecimiento:

si x  0 0,  F(x) =  x , si x > 0   x +1  MÁS TROZOS Escribe la fórmula de la siguiente función, sabiendo que el lado curvo corresponde a una función polinómica de segundo grado que tiene un mínimo en el punto (0, 1). ¿Es continua?.

 EL TELÉFONO Para que comience a funcionar un teléfono público se necesita una moneda de 10 céntimos; al cabo de tres minutos, para continuar la comunicación, se tiene que introducir otra moneda de 10 céntimos que permite hablar durante los tres minutos siguientes, y así sucesivamente. Haz una gráfica que nos permita ver cómo varía el precio de una llamada telefónica (Y) según su duración (X). ¿Es continua?.  GASTO MENSUAL En cierto colectivo de familias, el gasto mensual en ocio, G(x), en decenas de euros, está relacionado con sus ingresos mensuales, x, en decenas de euros, a través de la siguiente función:

0'02 x - 1, si 0  x  100  G(x) =  30x , si 100 < x   2x + 2300 a) Estudia la discontinuidad del gasto. ¿El gasto en ocio de una familia es sensiblemente distinto si sus ingresos son “ligeramente” inferiores o superiores a los 1000 euros ?. b) Justifica que el gasto en ocio es siempre creciente con los ingresos. c) Justifica que ninguna familia realiza un gasto en ocio superior a los 150 euros.

172

Funciones racionales e irracionales

 LÍMITES Dada una función y=f(x), decimos que el límite de dicha función cuando x tiende a a es el número L si se cumple que: Si xa , entonces yL, lo que se escribe así: lim f(x) L +

xa



Si xa , entonces yL, lo que se escribe así: lim f(x) L xa

Se escribe: lim f(x) L xa

Para que exista el límite es necesario y suficiente que existan los dos límites laterales y que sean iguales a L. Es decir, debe cumplirse:

lim f(x) L = lim f(x)

xa

xa

Si alguno de los límites laterales no existe, o son diferentes, entonces el límite no existe. Puede ocurrir que a sea + o  y también puede ocurrir que L sea + o .

1) Dada la función y=f(x) cuya gráfica es la de la figura adjunta, calcula los siguientes límites: a) lim f(x) x

b) lim f(x) x  2

c) lim f(x) x 0

d) lim f(x) x2

173

Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I

2) Esta es la gráfica de una función y=f(x). Calcula estos límites: a)

lim f(x)

x  

b) lim f(x) x  2

c) lim f(x) x 0

d) lim f(x) x2

e)

lim f(x)

x  

 TIPOS DE DISCONTINUIDADES

Una función y=f(x) es continua en x=a si cuando x tiende a a, la función f(x) tiende a f(a), es decir, si existe lim f(x) y se cumple lim f(x)  f(a) xa

xa

Si una función es discontinua, puede presentar discontinuidades de distinto tipo: a) Discontinuidad evitable: existe lim f(x) pero no coincide con f(a). xa

b) Discontinuidad de primera especie o finita: los límites laterales existen, son finitos, pero son distintos. La función presenta un salto finito. c) Discontinuidad de segunda especie o infinita: alguno de los límites laterales es infinito y la función presenta un salto infinito.

174

Funciones racionales e irracionales

 TRES TROZOS Observando la gráfica, justifica los siguientes apartados: a) Tipo de discontinuidad en x=2 y en x=4. b) ¿Existe un a tal que lim f(x)   ?. x a xa

c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos relativos.

 A TROZOS Representa gráficamente la siguiente función, estudiando su continuidad y crecimiento:

 x 2 + 1, si x  0 G(x) =   si x < 0 x - 1,  ENTRE 0 Y 3 Estudia en el intervalo (0, 3) la continuidad de la siguiente función:

x 2 , si 0 < x < 1  f(x)= 0, si 1  x < 2 x - 1, si 2  x < 3   PRECIOS Cierto artículo se vende a un precio u otro según la cantidad comprada, de acuerdo con los siguientes datos: a 1 euro el kg a 0,90 euros el kg a 0,75 euros el kg a 0,55 euros el kg

si si si si

0  x