1. Los enteros y los racionales: semejanzas y diferencias 1.1. Introducci´ on. Es usual observar que en el trabajo con los n´ umeros, algunas conclusiones y m´etodos que son correctos y u ´tiles en el contexto de los n´ umeros enteros, se extienden a los racionales a´ un cuando en el nuevo contexto carezcan de validez. Por ejemplo, no es inusual que ante el pedido que se ordenen de menor a mayor los siguientes n´ umeros: 0.9, 0.23 y 1 un alumno responda: 1 < 0.9 < 0.23. Esto se debe a una extrapolaci´on de la siguiente desigualdad que es correcta a nivel de los n´ umeros enteros: 1 < 9 < 23, al caso de la representaci´on decimal de los racionales mencionados. Se podr´ıa decir que el error responde a la l´ogica al extrapolar de un contexto conocido a otro que se est´ a conociendo. Otra situaci´on relacionada tambi´en con el orden, es que trat´andose de fracciones se comparen en forma 2 1 independiente numerador y denominador como por ejemplo para ordenar y . En este caso, como nueve 3 9 2 1 es el mayor de los d´ıgitos involucrados se escribe que < . 3 9 Tambi´en se cometen errores cuando se extiende equivocadamente el concepto de sucesor y predecesor que es v´alido para los enteros al campo num´erico de los racionales en que no es v´alido. Por ejemplo, es frecuente que los alumnos piensen que entre 0.3 y 0.4 no hay ning´ un otro n´ umero racional. Otra confusi´on de ese tipo, aparece cuando se usa la representaci´on decimal y se piensa que a semejanza de lo que sucede con los enteros, un n´ umero con m´as cifras es autom´aticamente mayor que otro con menos cifras (por ejemplo que 1,8 es mayor que 2). Si bien es u ´til que para trabajar sobre los errores se marquen en todas las circunstancias las diferencias, tambi´en es muy importante tener en cuenta que no todo son diferencias entre los enteros y los racionales. Algunas de las propiedades y de las t´ecnicas de trabajo con los enteros, se generalizan a los racionales. Por ejemplo, de la misma forma que todo entero tiene un opuesto (por ejemplo el opuesto de 2 es -2 y el de -7 es 7), tambi´en todo n´ umero racional tiene un opuesto. Y lo mismo vale para muchas de las propiedades operatorias. Otra semejanza importante es que tanto los enteros como los racionales admiten una representaci´ on decimal, aunque en el caso de los racionales en algunos casos esta representaci´on puede ser infinita –ver las notas tituladas: Los racionales. El objetivo de estas notas –y los correspondientes ejercicios– es el de ilustrar este tipo de situaciones de semejanzas y de diferencias. Comenzaremos con las semejanzas m´as notorias y luego trataremos algunas de las diferencias m´as importantes teniendo en cuenta sobre todo los errores m´as frecuentes realizados por los alumnos. Recordamos que los enteros son: Z = {· · · , −n, · · · , −1, 0, 1, · · · , n, · · · }, y los racionales son: a : a, b ∈ Z , b 6= 0}. b n Un entero n se puede interpretar como el racional y de esta forma se logra que Z ⊂ Q1. 1 En estas notas la operaci´ on de suma se representa siempre como + y la operaci´on de producto se representa de las siguientes formas: a × b = a.b = ab, siendo la m´as usual la tercera excepto en caso que pueda haber confusiones. Q={

1.2. Las semejanzas. 1En estas notas trabajaremos principalmente con enteros positivos –n´ umeros naturales– y con racionales positivos. Haremos algunos comentarios sobre el caso general en el ap´endice. 1

2

1.2.1. Las operaciones. Tanto en los enteros Z como en los racionales Q, se pueden realizar las operaciones de suma y de producto. Ellas tienen las propiedades algebraicas usuales –asociativa, conmutativa, distributiva, existencia del neutro de la suma y del producto –el cero y el uno– y existencia del opuesto –y consecuentemente de la resta–. Todos estos temas se desarrollan en las notas: “Los naturales y los enteros” y “Los racionales” elaboradas por el programa ProRazona. Como se explica en las notas, una diferencia central entre ambos campos num´ericos es que para los enteros en general no hay inverso multiplicativo ni divisi´on exacta2. 1.2.2. La representaci´ on decimal. Tanto los n´ umeros enteros como los racionales admiten una representaci´ on decimal. Esta representaci´ on consiste en escribir a los n´ umeros –ya sean enteros o racionales– a partir de las cifras {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}3. En el caso de los n´ umeros enteros no aparecen t´erminos a la derecha de la coma, que por ser innecesaria se omite. Por ejemplo el n´ umero dos mil doce, se representa como 2012 y eso corresponde a la igualdad 2012 = 2000 + 10 + 2 = 2 · 103 + 0 · 102 + 1 · 10 + 2. Frecuentemente se omiten los sumandos que van multiplicados por cero y en los que est´ an multiplicados por uno tambi´en se omite el correspondiente factor uno. Por ejemplo 10111 = 104 + 102 + 10 + 1. Los n´ umeros racionales tambi´en admiten una representaci´on decimal que puede ser finita o infinita y que –salvo si el n´ umero es entero– necesariamente incluye una coma y t´erminos de ambos lados de la coma. En el caso que sea infinita habr´ a una periodicidad –o sea habr´a un bloque que se repite indefinidamente a la izquierda de la coma. Esto se explica en detalle en las notas mencionadas anteriormente. 5 1 umero = 2, 5 tiene a 2 como parte Por ejemplo el n´ umero admite la representaci´on decimal 0, 5 y el n´ 2 2 entera y 0, 5 como parte fraccionaria –tambi´en llamada parte decimal4. 1 1 es un poco m´as compleja. Esta ser´ıa = 0, 333 . . ., donde los puntos La representaci´on decimal de 3 3 1 suspensivos indican que tenemos una repetici´on infinita del n´ umero 3. En este sentido tenemos que = 3 3 0, 333 . . . 6= 0, 3 = . 10 1 = 0, 142857142857 . . ., donde el “paquete” 142857 se repite indefinidaLa representaci´on decimal de 7 mente. Cuando se da una situaci´ on como las anteriores en que un paquete de cifras se repite indefinidamente se escribe una l´ınea arriba de las cifras que se repiten. Por ejemplo 1 1 1 = 0, 3 = 0, 142857 = 0, 16. 3 7 6 1 1 El paquete que se repite se llama per´ıodo, el per´ıodo de = 0, 333 . . . es 3 y el de = 0, 142857142857 . . . 3 7 es 142857. 1 1 En las representaciones finitas, por ejemplo en el caso de = 0, 5 o = 0, 25, se puede tambi´en interpretar 2 4 1 1 que hay un cero que se repite indefinidamente, o sea que podemos pensar que = 0, 50 y = 0, 250. Estas 2 4 representaciones en definitiva tambi´en pueden verse como peri´odicas. 2Vale la pena aclarar que los u ´nicos enteros que admiten inverso multiplicativo son el uno y el menos uno, mientras que en

casos bastante generales puede asegurarse la existencia de la divisi´ on exacte, p.e. 3, 6, 9, 12, · · · son todos divisibles por tres. 3No s´ olo los racionales admiten una representaci´ on decimal sino que la admite cualquier n´ umero real, la diferencia importante es que en la representaci´ on decimal de los racionales tendremos siempre una periodicidad –ver las notas Los racionales elaboradas por el programa ProRazona. 5 1 4Tambi´ en se puede representar la fracci´ on cinco medios como = 2, 5 = 2 , lo que se llama a veces la representaci´ on mixta. 2 2

3

Cuando representamos racionales menores que uno, la parte entera es cero y son de la forma de un cero y una coma seguida de d´ıgitos, como por ejemplo 0, 3. Cuando el racional es mayor que uno, por ejemplo 7 7 , su representaci´on decimal incluye una parte entera y es de la forma = 2, 3. 3 3 En resumen, tanto los enteros como los racionales admiten una representaci´on decimal, pero en el caso de los enteros esta representaci´ on no tiene t´erminos luego de la coma. 1.3. Las diferencias. 1.3.1. La representaci´ on. A nivel de la representaci´on –si bien tanto los enteros como los racionales admiten una representaci´on decimal– y en ese sentido encontramos semejanzas, se presenta una gran diferencia cuando a los racionales los representamos como fracciones. Un n´ umero entero se representa por: Uno o varios d´ıgitos que van del cero al nueve, adem´as el n´ umero posee un signo que en caso de ser positivo se omite. Por ejemplo el n´ umero siete se representa como 7 el dos mil doce como 2012 y el menos treinta y siete5 como −37. Esa representaci´ on se puede tomar ya sea como un paquete indiferenciado o como el resultado de una operaci´ on que involucra potencias positivas o nulas de diez interpretando siempre que 100 = 1 y que 101 = 10. Por ejemplo: • Siete se interpreta simplemente como 7 o si se quiere como 7 = 7 · 100 . • 2012 = 2 · 103 + 0 · 102 + 1 · 10 + 2. • 11111 = 1 · 104 + 1 · 103 + 1 · 102 + 1 · 10 + 1. Un n´ umero racional se representa por: Un par de enteros uno de los cuales se llama numerador y otro –que no puede ser cero– que se llama a denominador. Si a y b son dichos n´ umeros el racional correspondiente se escribe como . b a Adem´as de que necesitamos un par de enteros para representar al n´ umero racional , este par de enteros b a 13a −a no es u ´nico –de hecho hay infinitos pares que representan el mismo racional. Por ejemplo = = b 13b −b 1 2 6 100 o m´as concretamente = = = , etc. Dos pares que representan el mismo racional se dicen 2 4 12 200 equivalentes. El par (a, b) es equivalente con (c, d) si a × d = b × c. Eso se simboliza escribiendo que a c umero (a, b) ∼ (c, d) y en ese caso = y esto se lee: “a sobre b es igual a c sobre d ”. El hecho que un n´ b d racional admita muchas representaciones como par de enteros, es una de las diferencias sustanciales entre los enteros y los racionales y esto lleva frecuentemente a dificultades en la comprensi´on y el trabajo con este tipo de n´ umeros. Sin embargo, a pesar de admitir infinitas representaciones como un par de enteros, hay una de ellas, llamada la representaci´ on irreducibe que tiene propiedades que la distinguen de las otras. Esto lo veremos en el Ap´endice 2. En el gr´afico de abajo ilustramos la igualdad 10 5 = 2 4 | 0

|

1 4

•

1 2

|

3 4

• 1

|

5 4

•

3 2

|

7 4

• 2

|

9 4

• 52 =

10 4

Ejercicio 1.3.1. Representar todos los puntos del segmento dibujado arriba en t´erminos de expresiones con denominador 4. ¿Se pueden representar todos mediante expresiones con denonominador 2?¿ Cu´ ales se pueden representar mediante expresiones con denonominador 8? ¿Cu´ales se pueden representar mediante expresiones con denonominador 3? 5En el ap´ endice consideraremos representaciones de n´ umeros negativos como el -37.

4

1.3.2. El orden. En el conjunto de los enteros el orden queda definido de la siguiente forma: a < b si b est´ a a la derecha de a en la representaci´ on de los enteros en la recta real o en el listado de los enteros como Z = {· · · , −n, · · · , −1, 0, 1, · · · , n, · · · } 6, por ejemplo: −27 < −3 < 2 < 2012. Desde el punto de vista gr´ afico en la recta real –ver las notas tituladas “Los naturales y los enteros”– tenemos la siguiente representaci´ on que nos permite visualizar el orden en el caso anterior: • • −27 · · · · · · −3

| −2

| −1

|

|

0

1

• 2

|

3

············

• 2012

En el conjunto de los racionales representados como fracciones: a : a, b ∈ Z, b 6= 0}, b el orden es algo m´ as complejo pues para representar un racional necesitamos un par de enteros y para representar dos racionales necesitamos cuatro. El orden involucrar´a entonces esos cuatro enteros. La forma m´as r´apida de describir el orden es la siguiente: un n´ umero racional positivo7 siempre se puede representar con denominador y numerador positivos. a c De esta forma si y son dos racionales representados con numerador y denominador positivos, entonces: b d c a < si a × d < b × c. b d Q={

De esta forma una desigualdad entre racionales se transforma en una desigualdad ahora en Z (observar que tanto ad como bc son enteros) que involucra a los cuatro elementos constitutivos de los dos racionales. 1 1 Ejemplo 1.3.2. • En el caso en que a = c = 1 y b, d > 0, para verificar la desigualdad < , debemos b d saber que d = 1d < b1 = b, o sea que concluimos que: 1 1 < si y s´olo si d < b. b d 1 1 • Por ejemplo < porque 3 < 5. 5 3 • Consideremos el caso en que ambos racionales tienen el mismo denominador que suponemos positivo. a c a c Si aplicamos el criterio anterior para comparar y . Sabemos que < si y solo si ab < cb y como b b b b b es positivo lo podemos cancelar y concluimos que la desigualdad de las fracciones es equivalente a la desigualdad de los numeradores. Entonces, si b > 0: a c < si y solo si a < c. b b 1 3 • Por ejemplo < porque 1 < 3. 5 5 • En la recta real las desigualdades anteriores se ilustran abajo: |

0

|

1 5

|

1 3

|

3 5

6Como b est´ a a la derecha de a si y s´ olo si b se obtiene a partir de a sum´ andole un n´ umero natural, se podr´ıa definir en forma m´ as precisa –ver las notas tituladas: “Los naturales y los enteros”– el orden de la siguiente forma: a < b si y s´ olo si b − a ∈ N. 7En el ap´ endice se considerar´ a el caso de racionales no necesariamente positivos.

5

Como observamos m´ as arriba vemos es insuficiente comparar en forma independiente numerador y denominador para establecer relaciones de orden entre dos fracciones, es necesario considerar todas las componentes de los racionales involucrados. Sin embargo se pueden hacer algunas reducciones usando el hecho que los racionales admiten diferentes representaciones. 2 7 Por ejemplo si tenemos que comparar con usando el m´etodo general, esta desigualdad se reduce a 3 10 2 7 la desigualdad 10 · 2 = 20 < 21 = 7 · 3 de donde concluimos que < . 3 10 Otra posiblidad es usar el m´etodo de unificar denominadores escribiendo ambas fracciones con el mismo 20 7 21 2 y = . Una vez hecho eso basta comparar los numeradores y como denominador. Es claro que = 3 30 10 30 2 7 20 < 21 concluimos que < . 3 10

1.3.3. El orden y la representaci´ on decimal. Queremos considerar el orden y tambi´en otras propiedades de los racionales en t´erminos de la representaci´ on decimal. (1) La representaci´ on decimal y la representaci´ on como fracci´ on. En primer lugar consideraremos c´omo pasar de la representaci´ on decimal de un n´ umero racional a su representaci´on fraccionaria y viceversa. a Dado un n´ umero racional en la forma para hallar su representaci´on decimal, se procede mediante b divisiones sucesivas como se ilustra en el caso que sigue8:

9 Para hallar la representaci´ on decimal de procedemos como 7 sigue: 9 ÷ 7 = 1 resto 2 20 ÷ 7 = 2 resto 6 60 ÷ 7 = 8 resto 4 40 ÷ 7 = 5 resto 5 50 ÷ 7 = 7 resto 1 10 ÷ 7 = 1 resto 3 30 ÷ 7 = 4 resto 2 20 ÷ 7 = 2 resto 6 60 ÷ 7 = 8 resto 4 40 ÷ 7 = 5 resto 5 .. .

Estas operaciones se ilustran en la figura de abajo:

8Por m´ as detalles ver las notas “Los racionales” mencionadas anteriormente

6

Por lo tanto

9 = 1, 285714. 7

En este caso tenemos una representaci´on infinita y peri´odica. Cuando se repite un resto, en este caso el 2, los restos sucesivos tambi´en se repiten y se obtiene la periodicidad. Es claro que este procedimiento de divisiones sucesivas produce una representaci´on peri´ odica o una representaci´ on finita. La representaci´on finita se obtiene cuando en determinado momento se obtiene un resto cero como se ilustra el siguiente ejemplo. 71 procedemos como Para hallar la representaci´ on decimal de 16 sigue: 71 ÷ 16 = 4 resto 7 70 ÷ 16 = 4 resto 6 60 ÷ 16 = 3 resto 12 120 ÷ 16 = 7 resto 8 80 ÷ 16 = 5 resto 0 Por lo tanto

71 = 4, 4375. 16

Para realizar el proceso opuesto en que a partir de la representaci´on decimal pretendemos encontrar una fracci´on correspondiente, debemos tomar ciertos cuidados. Si la representaci´ on es finita el proceso es simple y siempre se obtiene con un denominador que es 1123 375 231 una potencia de diez, por ejemplo: 1, 123 = , 3, 75 = y 23, 1 = . 1000 100 10 Ilustremos con ejemplos el procedimiento para calcular la fracci´on correspondiente a un n´ umero racional de representaci´ on peri´ odica. Por ejemplo si queremos calcular una fracci´on que me da como resultado 0, 12 procedemos como sigue.

7

x = 0, 12 100x = 12, 12 100x − x = 12 99x = 12 12 x= 99 Si el n´ umero fuera por ejemplo 5, 7 se separa como 5 + 0, 7 y se calcula primero la representaci´ on como fracci´ on de 0, 7 por el mismo procedimiento que antes. 5, 7 = 5 + 0, 7 x = 0, 7 10x = 7, 7 10x − x = 7 9x = 7 7 x= 9 5, 7 = 5 + 0, 7 = 5 +

7 52 = 9 9

(2) La representaci´ on decimal y el orden. Si bien, la relaci´ on de orden entre dos n´ umeros enteros –que suponemos positivos– es intuitivamente evidente, puede valer la pena considerarla desde la siguiente perspectiva. Para ordenar dos n´ umeros enteros dados en su representaci´on decimal, el primer paso consiste en escribirlos con la misma cantidad de d´ıgitos usando el principio que el cero a la izquierda no tiene ning´ un valor. Por ejemplo, supongamos que queremos comparar los n´ umeros 1324 y 234. Primero escribimos 234 como 0234 y luego nos planteamos el problema de comparar dos n´ umeros que ahora cuentan con cuatro d´ıgitos: 0234 y 1234. Para compararlos los empezamos a recorrer de izquierda a derecha. Como el primer d´ıgito de 0234 es menor que el primer d´ıgito de 1234 concluimos que 234 = 0234 < 1234. En situaciones menos evidentes, p.e. si queremos comparar 12345678777 con 12345679333 hacemos el mismo procedimiento. Vamos de izquierda a derecha con los d´ıgitos y en este caso tenemos que los siete primeros d´ıgitos, que son 1,2,3,4,5,6,7 son iguales. El octavo d´ıgito del primer n´ umero es 8 y del segundo n´ umero es 9. Esto nos asegura que 12345678777 < 12345679333 independiente de lo que pasa despu´es del octavo d´ıgito. En definitiva, para decidir si un entero es menor que otro –suponiendo que son ambos positivos– se escriben ambos con la misma cantidad de d´ıgitos –agregando eventualmente ceros a la izquierda– y se van comparando los d´ıgitos de izquierda a derecha hasta el momento que uno de los d´ıgitos es menor que el correspondiente en el otro n´ umero. Sabremos de ese modo cu´al es menor. En particular de ah´ı se deduce que cualquier n´ umero que tenga menos d´ıgitos que otro es menor. Esto puesto que cuando los escribimos como teniendo la misma longitud, le agregamos ceros que son menores que cualquier otro n´ umero. Por ejemplo: 1999 < 11111 porque lo que tenemos que comparar son 01999 con 11111 y como cero es menor que uno concluimos lo que quer´ıamos. Para n´ umeros racionales se procede de manera semejante, ya sea su representaci´on finita o infinita.

8

Para poder ordenar racionales necesitamos en forma semejante a lo anterior agregarle d´ıgitos a uno de ellos para luego poderlo comparar con el segundo. Esto es posible pues a diferencia de lo que suced´ıa con los enteros, agregar ceros a la derecha de la coma no afecta el resultado siempre que la representaci´ on del n´ umero sea finita9. Por ejemplo 1, 2 = 1, 20 = 1, 200 = · · · y tambi´en 7, 123123 = 7, 1231230 = 7, 12312300 = · · · . Ahora queremos ilustrar porqu´e el n´ umero 17, 3 es menor que 17, 3. Al agregar los ceros para que sean comparables, deber´ıamos considerar 17, 3000 · · · y 17, 3333 · · · y si los recorremos de izquierda a derecha como antes, las tres primeras cifras son iguales (el uno el siete y el tres) pero en la cuarta cifra (la segunda despu´es de la coma) tenemos una diferencia, en el primer n´ umero aparece el cero y el en segundo el 3. De esta forma concluimos que 17, 3 < 17, 3 independientemente de lo que sucede con el resto de las cifras. Por otro lado obtenemos la misma conclusi´on si los representamos como fracciones, el primero es 17, 3 = 173/10 y el segundo es 17, 3 = 17 + 1/3 = 52/3. Ahora: 173 52 < 10 3

si

519 = 173 × 3 < 10 × 52 = 520.

De esta forma tambi´en conclu´ımos que 17, 3 < 17, 3. En definitiva, al considerar el orden y la representaci´on decimal se ven algunas semejanzas y algunas diferencias entre los enteros y los racionales. Como semejanza tenemos que en ambos casos hay un procedimiento mec´ anico para decidir sobre el orden entre dos n´ umeros. El procedimiento consiste en agregar ceros hasta obtener la misma cantidad de d´ıgitos para luego ir recorriendo el n´ umero de izquierda a derecha. Sin embargo hay tambi´en diferencias significativas. Por ejemplo, no basta con que un n´ umero fraccionario tenga m´ as d´ıgitos que otro para que sea mayor, cosa que s´ı sucede entre enteros. Por ejemplo 567 < 1234 porque 1234 tiene cuatro d´ıgitos –y consecuentemente es mayor que mil– mientras que 567 al tener tres es menor que mil. Por otro lado 0, 567 > 0, 1234 y esto se puede comprobar mediante el procedimiento explicado m´as arriba. (3) El concepto de sucesor y predecesor en Z, la densidad de Q Una de las diferencias m´ as importantes entre los enteros y los racionales es que fijado un racional, 1 por ejemplo siempre podemos encontrar otro racional tan cerca como se quiera del original, esta 2 propiedad se conoce con el nombre de densidad de Q. Esta propiedad no vale para los enteros pues todo entero tiene un sucesor y un predecesor. 1 Por ejemplo, si representamos a = 0, 5 es claro que 0, 51 es otro racional (que vale 51/100) que 2 est´a muy cerca de 0, 5. Esto porque 0, 51 − 0, 5 = 0, 01 = 1/100 por lo que la diferencia entre ambos es de un cent´esimo. Si quisi´eramos aproximarnos m´ as a´ un a 0, 5 podr´ıamos tomar 0, 501 (que de hecho vale 501/1000) 1 y al compararlo con el original tenemos 0, 501 − 0, 5 = 0, 001 = . 1000 Si el racional fuera de representaci´ on decimal infinita se procede en forma semejante. Si el racional 12 es 0, 12 = podemos tomar por ejemplo 0, 122212 · · · y de esa forma 0, 122212 · · · − 0, 121212 · · · = 99 1 12 1 0, 001 = . O sea que el racional 0, 122212 · · · se aproxima al original 0, 12 = en . 1000 99 1000 Ejercicio 1.3.3. Escribir el n´ umero racional 0, 122212 como fracci´on. 9Observar que agregar ceros a la derecha en representaciones infinitas carece de sentido. ¿C´ omo podr´ıamos agregar un cero

a la derecha de la infinita sucesi´ on de tres en la escritura de

1 = 0, 333333 · · · ? 3

9

Otra propiedad relacionada con la anteriormente mencionada para los n´ umeros racionales, es la siguiente. Dados dos n´ umeros racionales siempre existe uno que est´a entre ellos –para obtenerlo basta tomar el promedio–. Ejercicio 1.3.4. (a) Mostrar usando representaciones decimales que entre los racionales 0, 12 y un n´ umero racional.u 0, 13 hay alg´ (b) Dado el racional de representaci´on decimal 0, 31 hallar un racional que se aproxime a ´el en 1 menos de y que no sea el original. 100 (c) ¿Se pueden hacer aproximaciones por ambos lados tan chicas como se quieran? O sea, preguntamos por ejemplo, si se pueden encontrar n´ umeros mayores que 0, 31 que lo aproximan en 1 y otro que sea menor y lo aproxime tambi´en en menos del mismo valor. menos de 100 Por otro lado, si nos limitamos a trabajar con los n´ umeros enteros la propiedad de la aproximaci´ on no se cumple y la de la existencia de enteros intermedios no vale. Si miramos la propiedad de la aproximaci´on observamos que los dos enteros m´as pr´oximos a n son n+1 y n−1, que se llaman el sucesor y el predecesor. Es claro entonces que la aproximaci´on m´ axima que se puede obtener al n´ umero n es de una unidad. Como hemos observado esto es notoriamente diferente de lo que sucede en Q. Por otro lado, dados dos enteros no siempre existe un entero entre ellos, por ejemplo entre n y n + 1 no hay ning´ un entero. Ejercicio 1.3.5. Explicar porque falla el m´etodo de tomar el promedio en el caso de los enteros. ´ndice 1: enteros y racionales negativos 2. Ape En este Ap´endice para completar las observaciones anteriores que est´an concentradas en el caso de n´ umeros positivos, consideraremos el caso de n´ umeros enteros y racionales negativos. (1) La representaci´ on decimal. En el caso que el n´ umero sea negativo, simplemente se le agrega un signo de menos antes de la representaci´on decimal del correspondiente n´ umero positivo. Por ejemplo 1 4 2 −10111 = −(10 + 10 + 10 + 1) y el − admite la representaci´on decimal −0, 5. 2 1 (2) Otros ejemplos son: −37 = −(3 · 10 + 7), − = −0, 3. 3 (3) El orden entre fracciones no necesariamente positivas. Un n´ umero racional cualquiera – negativo o positivo– siempre se puede representar con denominador positivo. Por ejemplo, el racional 1 −1 1 −11 1 = , el racional ya est´a expresado como queremos y el racional −11 = , etc. En − = 2 −2 2 2 1 a c este caso, si y son dos racionales representados con denominadores positivos, entonces: b d a c < b d

si ad < bc.

De la misma forma que antes, una desigualdad entre racionales se transforma en una desigualdad ahora en Z (observar que tanto ad como bc son enteros) y que involucra a los cuatro elementos constitutivos de los dos racionales. 1 1 (4) En el caso en que a = c = 1 y b, d < 0, para verificar la desigualdad < , debemos primero b d escribirlos con denominador positivo. O sea que b = −B y d = −D con B, D > 0 y en ese 1 −1 1 −1 −1 −1 caso escribimos: = y < . Una vez hecho eso observamos que < si y s´ olo si b B d D B D −1 · D < −1 · B o sea que −D = d < −B = b. Llegamos entonces a la misma conclusi´on que antes a´ un cuando los denominadores sean negativos.

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1 1 < si y s´olo si d < b. b d 1 1 < . −2 −3 (5) Consideremos el caso en que ambos racionales tienen el mismo denominador que suponemos positivo. a c a c Si aplicamos el criterio anterior para comparar y . Sabemos que < si y solo si ab < cb y como b b b b b es positivo lo podemos cancelar y concluimos que la desigualdad de las fracciones es equivalente a la desigualdad de los numeradores. Entonces, si b > 0: Por ejemplo

a c < si y solo si a < c. b b (6) El orden en el caso de n´ umeros racionales cualesquiera tambi´en se puede ver de la siguiente manera. Si r, s ∈ Q son racionales cualesquiera y los queremos ordenar, se pueden dar las siguientes situaciones. (a) Tanto r como s son positivos. En ese caso se procede como indicamos anteriormente. (b) Uno es positivo y el otro es negativo. En ese caso es claro que el negativo ser´a menor que el positivo. (c) Ambos son negativos. En ese caso se toman los opuestos que son positivos R = −r y S = −s. El orden entre r y s es el contrario del orden entre R y s. Por ejemplo: si queremos comparar −1, 3 con −1, 3 y con −1 en primer lugar consideramos sus opuestos: 1, 3 , 1, 3 y 1, como 1 < 1, 3 < 1, 3, concluimos que 1, 3 < −1, 3 < −1.

••

−1

−1.3 −1.3

•

•

0

1

•

•• 1.3

1.3

´ndice 2: ma ´ s sobre las representaciones de los racionales 3. Ape 3.1. N´ umeros con varias representaciones decimales. En primer lugar realicemos el c´alculo de 0, 9. x = 0, 9 10x = 9, 9 10x − x = 9 9x = 9 x=1 De esta forma nos encontramos con la sorpresa de que la igualdad 1 = 0, 9 es v´alida. Esto tiene importantes consecuencias. La primera es que la representaci´on decimal de un racional no es u ´nica. Por ejemplo podemos representar 2 = 1, 9, 2012 = 2011, 9, etc. Por otro lado es claro que de la igualdad 1 = 0, 9 se deduce dividiendo por 10, por 100,... que 0, 1 = 0, 09

0, 01 = 0, 009...

Ejercicio 3.1.1. (1) Mediante la representaci´on de 0, 9, 0, 99, 0, 999, .. en la recta real, interpretar la igualdad 0, 9 = 1. (2) Mostrar que valen las igualdades 1, 25 = 1, 249, 12345678, 12345678 = 12345678, 123456779. (3) Escribir otras igualdades del mismo tipo.

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(4) Sea r un n´ umero racional de representaci´on finita (o sea con la propiedad que a la derecha de la coma hay solo una cantidad finita de cifras, como por ejemplo los considerados anteriormente: 1, 25, 12345678, 12345678). Probar que r se puede representar con una cantidad infinita de nueves. 3.2. N´ umeros racionales escritos como fracciones irreducibles. Una fracci´on p/q se dice que es irreducible, si no hay factores comunes al numerador y al denominador. Por ejemplo 2/3 es irreducible pero 4/6 no lo es. Es f´acil ver que todo n´ umero racional se representa por una fracci´on irreducible. Para probarlo, basta tomar una fracci´on cualquiera y eliminar todos los factores comunes al numerador y al denominador. Al final del proceso se llega a una fracci´ on irreducible que representa al mismo racional que la original. Por ejemplo 30/45 = 10/15 = 2/3. Un resultado importante que aparece probado en las notas “Los racionales” asegura que si se tienen dos representaciones del mismo n´ umero racional r = a/b = c/d donde la primera representaci´on es irreducible, entonces c = ma y d = mb para alg´ un entero m. O sea, estamos diciendo que si conocemos la representaci´on irreducible de un racional, conocemos todas las otras que se obtienen multiplicando el numerador y el denominador por el mismo entero.