FLORIDA

12

Ecuaciones y funciones racionales

EJERCICIOS

12.1

HOMEWORK KEY

5 WORKED-OUT SOLUTIONS pág. WS28 del texto para los ejercicios 17, 33 y 57

★

MA.912.A.2.4

5 PRÁCTICA PARA EL EXAMEN ESTANDARIZADO ejercicios 2, 43, 59 y 60 5 REPRESENTACIONES DIVERSAS ejercicio 58

PRÁCTICA 23

1. VOCABULARIO Identifica la constante de variación en la ecuación y 5 } x . 2.

pág. 791 del texto para los ejercicios 3 a 14 y 43

ESCRIBIR Describe la diferencia entre una ecuación de variación directa y una ecuación de variación inversa.

DESCRIBIR ECUACIONES Di si la ecuación representa una variación directa, una variación inversa o ninguna de las dos.

3. y 5 22x

4. xy 5 1

7. xy 5 5

8. }x 5 4

8

11. 2x 5 }y EJEMPLOS 2y3 pág. 792 del texto para los ejercicios 15 a 26

9. x 5 7y

12. x 5 27

10. 2x 1 y 5 6

13. 3x 2 3y 5 0

14. 3xy 5 20

variación inversa. 2 15. y 5 } x

16. y 5 21 } x

25

20. y 5 } x

15

24. y 5 } x

23. y 5 } x

pág. 793 del texto para los ejercicios 27 a 42

y

REPRESENTAR GRÁFICAMENTE ECUACIONES Representa gráficamente la ecuación de

19. y 5 } x

EJEMPLO 4

21 6. x 5 } y

5. y 5 x 1 5

10

27

18. y 5 } x

9

22. y 5 22 } x

212

26. y 5 } x

17. y 5 } x

18

21. y 5 } x

6

25. y 5 } x

27. ANÁLISIS DE ERRORES Las variables x e y varían

inversamente, e y 5 8 cuando x 5 2. Describe y corrige el error cometido al escribir una ecuación de variación inversa que relacione x e y.

28

y 5 ax 8 5 a(2) 45a Entonces, y 5 4x.

USAR VARIACIÓN INVERSA Dado que y varía inversamente con x, usa los valores

indicados para escribir una ecuación de variación inversa que relacione x e y. Luego halla el valor de y cuando x 5 2.

398

28. x 5 5, y 5 2

29. x 5 3, y 5 7

30. x 5 25, y 5 4

31. x 5 13, y 5 21

32. x 5 215, y 5 215

33. x 5 222, y 5 26

34. x 5 8, y 5 3

35. x 5 9, y 5 22

36. x 5 3, y 5 3

37. x 5 22, y 5 210

38. x 5 23, y 5 40

39. x 5 27, y 5 210

40. x 5 217, y 5 8

41. x 5 6, y 5 11

42. x 5 212, y 5 213

Álgebra 1 Recursos para el estudiante: Capítulo 12

5 WORKED-OUT SOLUTIONS pág. WS1 del texto

★

5 PRÁCTICA PARA EL EXAMEN ESTANDARIZADO

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EJEMPLO 1

★

43.

★ ELECCIÓN MÚLTIPLE Las variables x e y varían inversamente, e y 5 6 cuando x 5 4. ¿Cuál es la constante de variación? A 1.5

EJEMPLO 5 pág. 794 del texto para los ejercicios 44 a 47

B 4

C 6

D 24

ESCRIBIR ECUACIONES Di si la tabla representa una variación inversa. Si es así, escribe la ecuación de variación inversa.

44.

46.

x

4

8

12

16

20

y

1

2

3

4

5

x

210

25

15

20

40

y

230

260

20

15

7.5

45.

47.

x

220

25

14

32

50

y

280

220

56

128

200

x

212

210

28

25

24

y

2

2.4

3

4.8

6

48. RAZONAR Las variables x e y varían inversamente. ¿Cómo cambia el valor de y si

se duplica el valor de x? ¿Y si se triplica? Da ejemplos. GEOMETRÍA Usa la fórmula geométrica adecuada para convertir la oración verbal en una ecuación. Luego di si la ecuación representa una variación directa, una variación inversa o ninguna de las dos.

49. La circunferencia de un círculo con r unidades de radio es de C unidades. 50. El perímetro de un rectángulo con l unidades de longitud y a unidades de ancho

es de 27 unidades. 51. El volumen de un prisma rectangular con B unidades cuadradas de base y h

unidades de altura es de 400 unidades cúbicas. 52. DESAFÍO Las variables x e y varían inversamente con la constante de variación a.

Las variables y y z varían inversamente con la constante de variación b. Escribe una ecuación que exprese z como una función de x. Luego di si x y z varían directamente o inversamente. 53. DESAFÍO Los puntos (3, a2 2 7a 1 10) y (3a 1 1, a 1 2) se ubican sobre la gráfica

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de una ecuación de variación inversa. Halla las coordenadas de los puntos.

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EJEMPLO 5 pág. 794 del texto para los ejercicios 54 y 57

54. BICICLETAS La tabla muestra la velocidad de la bicicleta v (en millas por hora)

para distintas velocidades de pedaleo p (en rotaciones de pedal por milla). Di si la tabla representa una variación inversa. Si es así, escribe la ecuación de variación inversa que relacione p y v. Velocidad de pedaleo, p (rotaciones de pedal/milla)

831

612

420

305

Velocidad de la bicicleta, v (millas/h)

4.33

5.88

8.57

11.8

For problem solving help, go to thinkcentral.com EJEMPLO 6 pág. 794 del texto para los ejercicios 55, 56 y 58

55. ECONOMÍA El dueño de un negocio de productos electrónicos determina que la

demanda mensual d (en unidades) de una computadora varía inversamente con el precio p (en dólares) de la computadora. Cuando el precio es de $700, la demanda mensual es de 250 unidades. Escribe la ecuación de variación inversa que relacione p y d. Luego halla la demanda mensual cuando el precio sea de $500. For problem solving help, go to thinkcentral.com

Álgebra 1 Recursos para el estudiante: Capítulo 12

399

56. Deportes  Un atleta está corriendo los 200 metros planos. Escribe y representa

gráficamente una ecuación que relacione la velocidad de carrera promedio del atleta r (en metros por segundo) y el tiempo t (en segundos) que el atleta tarda en terminar la carrera. ¿Es la ecuación una ecuación de variación inversa? Explica. 57. Problema de varios pasos  La tabla muestra las frecuencias de vibración f (en

hercios) para distintas longitudes l (en centímetros) de cuerdas en un instrumento de cuerdas. Longitud de la cuerda, l (cm)

42.1

37.5

33.4

31.5

Frecuencia, f (Hz)

523

587

659

698

a. Decidir Di si puede usarse una ecuación de variación inversa para

representar los datos. Si es así, escribe y representa gráficamente la ecuación de variación inversa. b. Calcular Halla la frecuencia de una cuerda con una longitud de

29.4 centímetros. c. Describir Describe el cambio en la frecuencia a medida que disminuye la

longitud de la cuerda. ¿Sustenta tu descripción la respuesta de la parte (b)? Representaciones diversas  Planeas ahorrar la misma cantidad de dinero todos los meses para pagar una colonia de deportes de verano que cuesta $1200.

58.

a. Hacer una tabla Assume que a representa la cantidad (en dólares) que planeas

ahorrar cada mes. Haz una tabla que muestre el número m de meses que necesitas para ahorrar los siguientes valores de a: 75, 100, 120, 150, 200 y 240. Describe cómo cambia el número de meses a medida que aumenta la cantidad de dinero que ahorras cada mes. b. Representar gráficamente Usa los valores de la tabla para dibujar una

gráfica de la situación. ¿Representa una variación directa o una variación inversa la situación que sugiere la gráfica? Explica tu elección. c. Escribir una ecuación Escribe la ecuación que relacione a y m.

H

Respuesta corta  Como se muestra en el diagrama, la longitud focal de un lente de cámara es la distancia entre el lente y el punto en que se encuentran los rayos de luz después de pasar por la apertura del lente. El f-stop s es la razón entre la longitud focal f (en milímetros) y el diámetro a (en milímetros) de la apertura.

Objeto

Lente de cámara a Imagen

No dibujado a escala

f



a. Representar Un fotógrafo tiene una cámara con una longitud focal de

35 milímetros. Escribe y representa gráficamente una ecuación que relacione a y s. Di si la ecuación representa una variación inversa. b. Comparar Cuanto más grande sea el diámetro de la apertura, más luz

pasará por la apertura. Para la cámara de la parte (a), ¿cuándo pasa más luz por la apertura, cuando el f-stop es 4 o cuando el f-stop f es 8? Explica.

400

Álgebra 1 Recursos para el estudiante: Capítulo 12



5 Worked-out Solutions pág. WS1 del texto

H 5 PRÁCTICA PARA EL EXAMEN ESTANDARIZADO

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59.

60.

★

RESPUESTA DESARROLLADA La foto de abajo muestra una reproducción de un avión diseñado por Orville y Wilbur Wright, pioneros de la aviación a principios del siglo XX. La relación de aspecto r de un ala de aviones semejantes 2

s está dada por la fórmula r 5 } , donde s es la envergadura, o la distancia (en pies) A

entre las puntas de las alas, y A es el área (en pies cuadrados) del ala.

a. Representar La longitud c de la cuerda de un ala es la distancia (en pies)

entre la parte delantera y la trasera del ala. Para el ala rectangular del ejemplo, vuelve a escribir la fórmula para r en términos de c y s. b. Analizar ¿Cómo cambia el valor de r cuando s es constante y c aumenta? ¿Y

cuando c es constante y s aumenta? c. Interpretar Cuanto mayor sea la relación de aspecto, más fácil será que el

avión planee. Orville y Wilbur Wright diseñaron un avión con dos alas rectangulares con una relación de aspecto de 20 } y una envergadura de 40 pies 3

cada una. ¿Para qué valores de c habría planeado más fácilmente el avión? Explica. 61. DESAFÍO Se coloca un fulcro debajo del centro

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de una tabla. Para que dos objetos puedan balancearse sobre la tabla, la distancia (en pies) de cada objeto al centro de la tabla debe variar inversamente con su peso (en libras). En el diagrama que se muestra, ¿cuál es la distancia de cada animal al centro de la tabla?

FLORIDA REPASO EN ESPIRAL 62. Un arco de agua de la boquilla de una fuente se representa

con la gráfica de y 5 24x 2 1 10x, donde la boquilla está en el origen, x es la distancia horizontal (en pies) desde la boquilla e y es la distancia vertical (en pies). La pantalla de la calculadora gráfica muestra la gráfica con una escala de 0.5 (pies) en ambos ejes. ¿A qué distancia de la boquilla cae el agua? (10.3)

MA.912.A.7.10

A 2.5 pies

B 5 pies

C 6.25 pies

D 12.5 pies

63. RESPUESTA GRÁFICA Para el voleibol universitario de mujeres de la NCAA, se

MA.912.A.3.6

debe inflar la pelota a 4.45 libras por pulgada cuadrada (lpc) con un error absoluto de 0.15 lpc. ¿Cuál es la presión de aire mínima aceptable (en lpc)? (6.5)

EXTRA PRACTICE para la lección 12.1, pág. 913 del texto

LAHA111FLSSRB_c12_398-438.indd 401

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Álgebra 1 Recursos para el estudiante: Capítulo 12

401

1/16/10 11:11:41 AM

EJERCICIOS

12.2

HOMEWORK KEY

5 WORKED-OUT SOLUTIONS pág. WS28 del texto para los ejercicios 7, 21 y 41

★

MA.912.A.2.3

5 PRÁCTICA PARA EL EXAMEN ESTANDARIZADO ejercicios 2, 18, 28, 29, 36, 42 y 44 5 REPRESENTACIONES DIVERSAS ejercicio 41

PRÁCTICA 1. VOCABULARIO Identifica la asíntota vertical y la asíntota horizontal de la gráfica 1 2 6. de y 5 } x23

2.

EJEMPLOS 1, 2 y 3 págs. 801 y 802 del texto para los ejercicios 3 a 17

1 ESCRIBIR Describe la diferencia entre la gráfica de y 5 } y la gráfica de x12 1 y5} x.

★

REPRESENTAR GRÁFICAMENTE FUNCIONES Representa gráficamente la función e 1 identifica su dominio y su rango. Compara la gráfica con la gráfica de y = } . x

4. y 5 }

5. y 5 } x

22 3x

7. y 5 21 }

1 8. y 5 } x17

6. y 5 }

23

4x

1 9. y 5 } x25

1 10. y 5 } x14

1 11. y 5 } x18

1 12. y 5 } x26

1 13. y 5 }

1 14. y 5 }

1 15. y 5 }

16. y 5 }

1 x21

1 17. y 5 }

x18

EJEMPLO 4

1 2x

3

3. y 5 } x

18.

pág. 803 del texto para los ejercicios 18 a 31

x27

x13

x26

★

ELECCIÓN MÚLTIPLE ¿Para qué función es el dominio todos los números reales excepto 25 y el rango todos los números reales excepto 0?

A y 5 }5x

5 B y5}

5 C y5}

x25

25 D y5}

x15

x25

1 19. y 5 } 28

2 20. y 5 } 13

4 21. y 5 } 15

22. y 5 } 2 4

21 23. y 5 } 16

2 24. y 5 } 12

1 25. y 5 } 12

4 26. y 5 } 21

27. y 5 } 2 4

x22

23 x13

x24

28.

★

x26

x15

x23

x17

x21

25 x21

ELECCIÓN MÚLTIPLE ¿De qué función es la gráfica que tiene la misma asíntota

1 horizontal que la gráfica de y 5 } x?

A y 5 }2x 1 3 29.

B y 5 }1x 2 1

C y 5 210 } x

210 D y5 } 11 x21

★

RESPUESTA ABIERTA Escribe una ecuación cuya gráfica sea una hipérbola con las siguientes características:

• La asíntota vertical es x 5 21. • La asíntota horizontal es y 5 2.

402

Álgebra 1 Recursos para el estudiante: Capítulo 12

5 WORKED-OUT SOLUTIONS pág. WS1 del texto

★

5 PRÁCTICA PARA EL EXAMEN ESTANDARIZADO

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REPRESENTAR GRÁFICAMENTE FUNCIONES Representa gráficamente la función.

ANÁLISIS DE ERRORES Describe y corrige el error cometido al identificar las

asíntotas de la gráfica de la función racional dada. 3 x11

22 31. y 5 } 17

30. y 5 } 2 4

x26

Asíntota vertical: x 5 1

Asíntota vertical: x 5 6

Asíntota horizontal: y 5 24

Asíntota horizontal: y 5 27

ESCRIBIR ECUACIONES Escribe una ecuación cuya gráfica sea una hipérbola con las asíntotas dadas y que pase por el punto dado.

32. x 5 7, y 5 8; (26, 0)

33. x 5 22, y 5 5; (0, 29)

34. x 5 3, y 5 22; (5, 21)

35. x 5 24, y 5 24; (28, 3)

36.

★

a ESCRIBIR Sea f una función de la forma f(x) 5 } 1 k. ¿Puedes x2h

representar gráficamente f si sólo sabes dos puntos sobre la gráfica? Explica. 37.

GEOMETRÍA La altura h de un trapecio está dada por la fórmula 2A h5 }

b1 1 b 2

donde A es el área y b1 y b2 son las bases. a. Sean A 5 50 y b1 5 4. Escribe h como una función de b2. Luego representa

gráficamente la función e identifica su dominio y su rango.

b. Usa la gráfica para calcular aproximadamente el valor de b2 cuando h 5 6. 38. DESAFÍO Describe cómo hallas las asíntotas de la gráfica de 3 g(x) 5 } 1 8. Luego representa gráficamente la función. 2x 2 4

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Copyright © Holt McDougal. All rights reserved.

CALCULADORA GRÁFICA Si deseas, puedes usar una calculadora gráfica para completar los

siguientes ejercicios de la Resolución de problemas. EJEMPLO 5 pág. 804 del texto para los ejercicios 39 a 42

39. DEPORTES DE EQUIPO Un club de patinaje de figuras

está planeando una gira fuera de la ciudad. En el folleto se muestran los gastos de la gira. Escribe una ecuación que exprese el costo C (en dólares por persona) como una función del número p de personas que van de gira. Luego representa gráficamente la ecuación.

Alquiler de bus .......................... $900 Comidas y alojamiento (por persona) ............................. $400

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40. EVENTOS DE BENEFICIENCIA Un comité de 5 personas tiene

la responsabilidad de preparar 500 sándwiches para un picnic de beneficiencia. El comité espera contratar personas extra para la tarea. Escribe una ecuación que exprese el número promedio s de sándwiches preparados por persona como una función del número p de personas extra que se contraten para la tarea. Luego representa gráficamente la ecuación. For problem solving help, go to thinkcentral.com

Álgebra 1 Recursos para el estudiante: Capítulo 12

403

41.

Representaciones diversas  Tu carné para alquilar películas te permite alquilar todas las películas que desees por $22 por mes. Alquilas por lo menos 2 películas por mes.

a. Escribir una ecuación Escribe una ecuación que exprese el costo promedio

C (en dólares por alquiler) como una función del número r de alquileres por encima de 2. b. Representar gráficamente Representa gráficamente la ecuación de la parte

(a). Luego usa la gráfica para calcular aproximadamente el número de alquileres adicionales que se necesitan por mes para que el costo promedio sea de $1.50 por alquiler. 42.

H

Respuesta corta  La Mount Washington Auto Road en New Hampshire es una calle de 7.6 millas cuesta arriba que lleva al pico de la montaña de 6288 pies. El tiempo record anual t (en segundos) para manejar la calle cuesta arriba entre 1904 y 1998 puede representarse mediante 56,000 x 1 40

t 5 }  ​     ​ donde x es el número de años desde 1904. Representa gráficamente la función. Describe cómo cambiaron los tiempos record durante el período. ¿Aumentó o disminuyó el tiempo record de año a año? Explica. 43. Profundidades de inmersión  El porcentaje p (en forma decimal) de tiempo

que una foca se desliza sumergida por el agua puede representarse mediante 228.2 p 5 }  ​    ​  1 0.859 i

donde i es la profundidad (en metros) de la inmersión. Representa la ecuación gráficamente e identifica su dominio y su rango. Describe cómo cambia el porcentaje de tiempo que se desliza la foca a medida que aumenta la profundidad. 44. H Respuesta desarrollada  El gasto de oxígeno es una medida de la

eficiencia al caminar de una persona. Los modelos que dan el gasto de oxígeno g (en milímetros por kilogramo de masa corporal por metro) como una función de la velocidad al caminar v (en metros por minuto) para distintos grupos de 2.61

1.68

2.60

y entre 20 y 59 años g 5 ​ }  v   ​1 0.129. a. Representar gráficamente La velocidad normal al caminar varía entre

40 metros por minuto y 100 metros por minuto. Representa gráficamente los modelos en el mismo plano de coordenadas. Usa el dominio 40 ≤ v ≤ 100. b. Interpretar Cuanto mayor sea el gasto de oxígeno, menor será la eficiencia

al caminar de la persona. Usa las gráficas para decir si una persona es más eficiente o menos eficiente al caminar a medida que aumenta su velocidad. c. Comparar ¿Qué grupo de edades incluye a los caminantes menos eficientes a

las velocidades dadas en la parte (a)? Justifica tu elección. 45. Desafío  Para decidir si una persona reúne las condiciones necesarias para

acceder a un préstamo para comprar una casa, la entidad crediticia usa la razón r entre los gastos mensuales esperados para la casa y el ingreso mensual de la persona. Supongamos que la persona tiene un ingreso mensual de $4150 y espera pagar $1200 por mes en gastos para la casa. La persona también espera recibir un aumento de x dólares este mes. a. Escribe y representa gráficamente una ecuación que exprese r como una

función de x. b. La persona reunirá las condiciones necesarias para acceder a un préstamo si la

razón es de 0.28. ¿De cuánto deberá ser el aumento para que la persona pueda reunir las condiciones necesarias para acceder al préstamo?

404

Álgebra 1 Recursos para el estudiante: Capítulo 12



5 Worked-out Solutions pág. WS1 del texto

H 5 PRÁCTICA PARA EL EXAMEN ESTANDARIZADO

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edades son: entre 6 y 12 años g 5 ​ }  v   ​1 0.188; entre 13 y 19 años g 5 ​ }  v   ​1 0.147;

FLORIDA REPASO EN ESPIRAL 46. La bandera marítima que se muestra se usa internacionalmente como

señal de auxilio. Imagina que la bandera está dibujada en el primer cuadrante de un plano de coordenadas de manera que la esquina inferior izquierda esté en el origen. Una de las rayas diagonales está formada por la recta y 5 x 1 1 y otra recta paralela a ésta. La primera recta comienza en (0, 1). La recta paralela comienza en (1, 0). ¿Cuál es la ecuación de esta recta? (5.5)

MA.912.A.3.10

A y5x

B y5x–1

C y 5 –x

D y 5 –x – 1

47. El total de concurrencia y (en millones) en los juegos de las grandes

ligas de béisbol cada diez años en el período de 1930 a 2000 puede representarse con la ecuación y 5 1.3x 2 1 10, donde x es el número de décadas desde 1930. ¿En qué año el total de asistencias fue de aproximadamente 42.5 millones? (10.4)

MA.912.A.7.8

F 1935

G 1950

H 1970

I 1980

48. Un carpintero construye un archivador de 6 cajones

idénticos con frentes cuadrados y 2 cajones idénticos con frentes rectangulares. La figura muestra las dimensiones de los frentes de los cajones en pulgadas. ¿Qué polinomio representa el área total (en pulgadas cuadradas) de los frentes de los cajones? (9.2)

MA.912.A.4.2

A 6x2 1 12x

B 8x2 1 12x

¿LISTO PARA CONTINUAR?

x pulg

(x 1 6) pulg

x pulg

C 8x2 1 6

D x6 1 6x5

PRUEBA para las lecciones 12.1 y 12.2

Di si la ecuación representa una variación directa, una variación inversa o ninguna de las dos. (12.1) 1 1. } xy 5 1 Copyright © Holt McDougal. All rights reserved.

5

2. y 5 29x

3. 5x 1 y 5 3

Dado que y varía inversamente con x, usa los valores indicados para escribir una ecuación de variación inversa que relacione x e y. Luego halla el valor de y cuando x 5 3. (12.1) 4. x 5 6, y 5 4

5. x 5 23, y 5 7

5 2

6. x 5 } , y 5 2

Representa gráficamente la función. Identifica su dominio y su rango. (12.2) 4 7. y 5 } x

22 8. y 5 }

EXTRA PRACTICE para la lección 12.2, pág. 913 del texto

x26

3 x12

9. y 5 } 2 5

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Álgebra 1 Recursos para el estudiante: Capítulo 12

405

EJERCICIOS

12.3

HOMEWORK KEY

5 WORKED-OUT SOLUTIONS pág. WS29 del texto para los ejercicios 7, 25 y 45

★

MA.912.A.4.4

5 PRÁCTICA PARA EL EXAMEN ESTANDARIZADO ejercicios 2, 19, 33, 34, 38, 47, 48 y 49 5 REPRESENTACIONES DIVERSAS ejercicio 46

PRÁCTICA 1. VOCABULARIO Copia y completa: Para dividir un polinomio entre un(a)

? ,

puedes escribir la división como una fracción o puedes usar una división larga. 2.

★

ESCRIBIR Describe los pasos que seguirías para representar gráficamente

22 la función racional f(x) 5 3x }. x16

EJEMPLOS 1, 2, 3, 4 y 5 págs. 810 a 812 del texto para los ejercicios 3 a 21

DIVIDIR POLINOMIOS Divide.

3. (8x 3 2 12x 2 1 16x) 4 4x

4. (10y 3 1 20y 2 1 55y) 4 5y

5. (12r4 2 30r 2 2 72r) 4 (26r)

6. (21s4 1 49s 3 2 35s 2) 4 (27s)

7. (3v 2 2 v 2 10) 4 (v 2 2)

8. (7w 2 1 3w 2 4) 4 (w 1 1)

9. (2m2 2 5m 2 12) 4 (2m 1 3)

10. (6n2 1 7n 2 3) 4 (3n 2 1)

11. (a2 2 5a 1 3) 4 (a 2 1)

12. (c 2 2 2c 2 4) 4 (c 1 4)

13. (221 2 4p 1 3p2) 4 (3 1 p)

14. (8q 1 q2 1 7) 4 (7 1 q)

15. (9x 1 x 2 1 6) 4 (6 1 x)

16. (4y 2 2 5) 4 (2y 1 5)

17. (5 2 t 2) 4 (t 2 3)

18. (7 2 8x 2) 4 (3 1 2x)

19.

★

ELECCIÓN MÚLTIPLE ¿Cuál es el resto cuando divides x 2 1 4x 1 9

por x 2 4?

A x24

B 41

C x18

D

41 x24

}

ANÁLISIS DE ERRORES Describe y corrige el error cometido al dividir

21. (8x 2 9) 4 (x 2 3)

20. (5x 1 6) 4 (x 1 2)

5 } x 1 2 q 5x 1 6 5x 1 10 24 24 (5x 1 6) 4 (x 1 2) 5 5 1 }

8 } x 2 3 q 8x 2 9 8x 2 24 233 233 (8x 2 9) 4 (x 2 3) 5 8 1 }

5x 1 6

EJEMPLO 6

REPRESENTAR GRÁFICAMENTE FUNCIONES Representa gráficamente la función.

pág. 812 del texto para los ejercicios 22 a 30

22. y 5 } x

x 1 10

23. y 5 } x

2x 2 4 x21

26. y 5 }

22x x19

29. y 5 }

25. y 5 } 28. y 5 }

406

x23

Álgebra 1 Recursos para el estudiante: Capítulo 12

2x 2 7

24. y 5 }

5x 1 2 x13

27. y 5 }

2 1 4x x23

30. y 5 }

5 WORKED-OUT SOLUTIONS pág. WS1 del texto

x14 x23 6x 2 4 x15

7 2 10x x17

★

5 PRÁCTICA PARA EL EXAMEN ESTANDARIZADO

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los polinomios.

POLINOMIOS DE DOS VARIABLES Divide.

31. (12x 4y 2 2 6x 3y 3 1 3xy 4) 4 3xy

32. (210ab 3 1 5a 3b 2 2 20a 5b 4) 4 5ab 2

GEOMETRÍA Divide el área superficial del prisma rectangular entre su volumen.

33.

34.

3 4

longitud 35.

2 ancho

7

★ ELECCIÓN MÚLTIPLE

¿Cuál es la asíntota horizontal de la gráfica de

bx 1 c x2d

y5 } ?

A y5b 36.

B y5c

C y5d

D y50

★ ELECCIÓN MÚLTIPLE

¿De qué función es la gráfica que se muestra?

15 A y 5 2x }

15 B y 5 2x }

25 C y 5 2x }

25 D y 5 2x }

x23

x23

x13

x13

y

1 1

x

RAZONAR En los ejercicios 37 a 38, halla el valor de k con la información dada.

37. Cuando 8x 2 1 26x 1 k se divide por x 1 3, el resto es 4. kx 1 4 x26

38. La gráfica de y 5 } tiene y 5 25 como su asíntota horizontal. 39.

★ RESPUESTA ABIERTA

1c Escribe una función de la forma f(x) 5 bx } de manera x2h

que la gráfica de la función tenga x 5 4 e y 5 6 como sus asíntotas. DESAFÍO Representa gráficamente la función. 6x 1 10 3x 1 6

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40. y 5 }

12x 2 7 4x 2 8

41. y 5 }

10x 1 3 2x 2 6

42. y 5 }

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EJEMPLO 7 pág. 813 del texto para los ejercicios 42 a 45

42. ALQUILER DE PELÍCULAS Compras de un sitio web cupones para alquilar

películas a $3 cada uno. El costo total de tu pedido incluye $4 de envío. Escribe una ecuación que exprese el costo promedio C (en dólares por cupón) como una función del número r de cupones comprados. Luego representa gráficamente la función. For problem solving help, go to thinkcentral.com

43. COSTO DE ASOCIACIÓN Pagas $80 por año para hacerte socio de un club de

danza y pagas $3 por clase de danza. Escribe una ecuación que exprese el costo promedio C (en dólares por clase) como una función del número d de clases de danza que tomas. Luego representa gráficamente la función. For problem solving help, go to thinkcentral.com

Álgebra 1 Recursos para el estudiante: Capítulo 12

407

45. Invertir  Un inversor planea comprar acciones de una compañía por

intermedio de un banco. Cada acción cuesta $10 y el banco cobra $20 por transacción. a. Representar Escribe y representa gráficamente una ecuación que

exprese el costo promedio C (en dólares por acción) como una función del número s de acciones que compra el inversor. b. Calcular aproximadamente Usa la gráfica para calcular

aproximadamente el número de acciones compradas si el costo promedio es de $12 por acción. 46. Plan de telefonía celular  Piensas suscribirte a un plan de telefonía

celular que incluye 1000 minutos y que cuesta $40.00 por mes por los primeros 1000 minutos y $.40 por cada minuto adicional. a. Representar Escribe una ecuación que exprese el costo promedio C (en

dólares por minuto) como una función del tiempo t (en minutos) de uso del teléfono celular por 1000 minutos o más.

b. Describir Representa gráficamente la función. Describe cómo cambia el

costo promedio por minuto a medida que aumenta el tiempo.

c. Calcular aproximadamente Usa la gráfica para calcular aproximadamente

el número de minutos usados si el costo promedio es de $.05 por minuto. 47.



Representaciones diversas  La tabla muestra distintas cuentas de restaurante y las propinas correspondientes. Cuenta, b (en dólares)

15.42

26.75

42.18

58.66

63.48

75.89

97.14

Propina, t (en dólares)

3.00

5.00

7.50

10.00

10.15

11.50

13.60

a. Escribir una ecuación Haz un diagrama de dispersión de los datos.

Luego escribe una ecuación lineal que represente la propina t como una función de la cuenta b.

b. Escribir una ecuación Escribe una ecuación que exprese el porcentaje de

propina p (en forma decimal) como una función de la cuenta b.

c. Dibujar gráficas Dibuja las gráficas de ambas ecuaciones en el mismo

48.

H Respuesta corta  El número y (en millones) de familias que tenían videocaseteras entre 1984 y 2000 puede representarse mediante 1 120x y 5 ​ 60     ​ } 



71x

donde x es el número de años desde 1984.

a. Describir Representa el modelo gráficamente. Describe cómo cambió el

número de familias que tenían videocaseteras durante este período.

b. Justificar ¿Crees que el número de familias que tengan videocaseteras

superará alguna vez las 150 millones? Justifica tu respuesta. 49.

H Elección múltiple  La razón y entre el área superficial y el volumen de un edificio es una medida de lo bien que el edificio minimiza la pérdida de calor. Una empresa planea construir una tienda en forma de prisma rectangular. La tienda tendrá un largo de 500 pies y un ancho de 300 pies, pero la empresa no se decidió sobre la altura h (en pies). ¿Qué ecuación da la razón y como una función de la altura h?

408



4 2 A y 5 ​ }     ​1 ​ }  ​

1 B y 5 1600 1 ​ }     ​



2 C y 5 1600 1 ​ }   ​ h

D y 5 300 1 ​ 500    ​ }  h

375

Álgebra 1 Recursos para el estudiante: Capítulo 12

h

150,000h



5 Worked-out Solutions pág. WS1 del texto

H 5 PRÁCTICA PARA EL EXAMEN ESTANDARIZADO

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plano de coordenadas. Compara cómo cambia la propina con cómo cambia el porcentaje de propina a medida que aumenta la cuenta.

50.

★ RESPUESTA DESARROLLADA

La razón entre el área superficial de un microorganismo y su volumen es una medida de la eficiencia con que el microorganismo puede llevar a cabo determinadas funciones metabólicas. Supongamos que un microorganismo tiene aproximadamente la forma de un cilindro y que crece aumentando su longitud pero no su radio. a. Representar gráficamente Escribe una ecuación que exprese la razón

y entre el área superficial y el volumen en términos de la longitud l (en micrómetros) y del radio r (en micrómetros). Luego representa gráficamente la ecuación para un microorganismo cuyo radio sea de 50 micrómetros.

b. Interpretar Cuanto mayor sea la razón, menor será la eficiencia con que

un microorganismo lleva a cabo las funciones metabólicas. A medida que aumenta la longitud del microorganismo, ¿es más eficiente o menos eficiente al llevar a cabo las funciones metabólicas? Explica tu elección. c. Explicar ¿Cómo cambiaría la eficiencia del microorganismo si la

longitud permaneciera constante pero el radio aumentara? Explica. Algebra Go to thinkcentral.com 51. DESAFÍO La tasa de impuestos actual es el porcentaje de los ingresos

totales que un trabajador paga en impuestos. Supongamos que un trabajador no paga impuestos si gana menos de $10,000 y paga impuestos del 6% sobre los ingresos totales por encima de $10,000. ¿Será la tasa de impuestos actual del 6% para cualquier cantidad de ingresos totales? Justifica tu respuesta gráficamente.

FLORIDA REPASO EN ESPIRAL 52. Stephen paga $22.25 por 3 boletos de tren y 2 boletos de autobús. James paga

$38.75 por 5 boletos de tren y 4 boletos de autobús. ¿Cuál es el costo de un boletos de autobús? (7.4)

MA.912.A.3.15

A $2.50

B $2.75

C $3.15

D $5.75

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53. Un baúl con forma de prisma rectangular tiene las dimensiones

que se muestran. La altura del baúl es de 20 pulgadas como máximo, y el volumen del baúl es de 7200 pulgadas cúbicas. ¿Cuál es el valor de x? (9.6)

MA.912.A.4.3

F 9

G 10

H 15

I 30

EXTRA PRACTICE para la lección 12.3, pág. 913 del texto

x pulg

16 pulg (45 2 x) pulg

ONLINE QUIZ Go to thinkcentral.com

Álgebra 1 Recursos para el estudiante: Capítulo 12

409

EJERCICIOS

12.4

HOMEWORK KEY

5 WORKED-OUT SOLUTIONS pág. WS29 del texto para los ejercicios 9, 23 y 43

★

MA.912.A.5.1

5 PRÁCTICA PARA EL EXAMEN ESTANDARIZADO ejercicios 2, 33, 34, 35 y 45

PRÁCTICA 1. VOCABULARIO Copia y completa: Un valor que hace que una expresión racional

sea indefinida se llama ? . 2.

★ ESCRIBIR

(x 1 3)(x 2 6) (x 2 3)(6 2 x)

¿Está }} en la forma más simple? Explica.

EJEMPLO 1

HALLAR VALORES EXCLUIDOS Halla los valores excluidos de la expresión, si hubiera

pág. 822 del texto para los ejercicios 3 a 10

alguno. 4x 3. }

13 4. }

5 5. }

2m 7. }} 2

n12 8. } 2

23 9. } 2

20

2y

4m 2 3m 1 9

EJEMPLOS 2, 3 y 4 págs. 823 y 824 del texto para los ejercicios 11 a 33

2s 6. }

r11

n 2 64

3s 1 4 5q

10. } 2

2p 2 p

q 2 6q 1 9

ANÁLISIS DE ERRORES Describe y corrige el error cometido al simplificar la

expresión racional o al enunciar los valores excluidos. 2x2 2 x 2 3 2x 2 11x 1 12

2(x 2 5) (x 2 5)(x 1 2)

11. }} 2

12. }} (x 1 1)(2x 2 3) (2x 2 3)(x 2 4)

2x2 2 x 2 3 2x 2 11x 1 12

2(x 2 5) (x 2 5)(x 1 2)

5 }} }} 2

2(x 2 5) (x 2 5)(x 1 2)

}} 5 }}

2 5}

(x 1 1)(2x 2 3) (2x 2 3)(x 2 4)

x12

5 }}

2 5} x12

x11 5} x24

1 5} x11

El valor excluido es 4.

SIMPLIFICAR EXPRESIONES Simplifica la expresión racional si es posible. Enuncia

los valores excluidos. 13. 10x }

63 14. }

2 15. 248a }

2 16. 27b }5

1 33 17. 3c }

18 18. d}

26 19. 2u }

v12 20. } 2

2 21. } 2

22. } 2

h13 23. } 2

24. } 2

248w 25. } 2

26. } 2

2 2 24z 27. 6z } 2

2 1 21x 28. 14x } 2

m15 31. }} 3 2

2n 2 3n 1 28 32. }} 3 2

25

c 1 11

f 29

16w 2 40w 2

1 16s 1 64 29. s}} 2 s 1 7s 2 8

33.

★ ESCRIBIR

18y

16a

30b

32u

d28 g14

g 2 16 12y4

12y 1 18y 2

t 2 4t 2 45 30. }} 2

2t 2 21t 1 27

v 24 j22

h 2 h 2 12

j 2 6j 1 8

2z 2 8z

2x 1 x 2 3 2

m 1 10m 1 25m

3n 1 9n 2 84n

x2 1 x x2 ¿Son equivalentes las expresiones racionales } y} ? 2 2 x 21

x 2x

Explica cómo lo sabes. ¿Cuáles son los valores excluidos de las expresiones racionales, si hubiera alguno?

410

Álgebra 1 Recursos para el estudiante: Capítulo 12

5 WORKED-OUT SOLUTIONS pág. WS1 del texto

★

5 PRÁCTICA PARA EL EXAMEN ESTANDARIZADO

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Los valores excluidos son 22 y 5.

34.

★ RESPUESTA ABIERTA

Escribe una expresión racional cuyos valores excluidos

sean 23 y 25. 35.

★ ELECCIÓN MÚLTIPLE ¿Qué es a?

A 2x2 1 7x 1 5

a 15 La expresión } se simplifica hasta 2x }. 2 x16

x 1 5x 2 6

B 2x2 1 5x 2 1

C 2x2 1 3x 2 5

D 2x2 1 7x 2 5

GEOMETRÍA Escribe y simplifica una expresión racional para la razón entre el perímetro de la figura dada y su área.

36. Cuadrado

37. Rectángulo

38. Triángulo

2x 1 3

2x

5x

2x

2x 1 1

2x 1 2

x16 3x 2 1 2x 1 1

39. DESAFÍO Halla dos polinomios cuya razón se simplifique hasta } y cuya 2

suma sea 5x 1 20x. Describe los pasos que sigues.

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EJEMPLO 5 pág. 825 del texto para los ejercicios 40 a 43

40. RECARGOS DE TARJETAS DE CRÉDITO El recargo promedio de mora R (en dólares)

en una cuenta de tarjeta de crédito entre 1994 y 2003 puede representarse mediante 2

1 1.6x R 5 12 }2 1 1 0.04x

donde x es el número de años desde 1994. Vuelve a escribir el modelo de manera que sólo tenga coeficientes expresados en números enteros. Luego simplifica el modelo y calcula aproximadamente el recargo promedio de mora en 2003. For problem solving help, go to thinkcentral.com

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41. TELEVISIÓN Entre 1980 y 2003, el porcentaje p (en forma decimal) de avisos

televisivos de emisoras pequeñas en los Estados Unidos que duraron 15 segundos puede representarse mediante 2

2 0.48 p 5 0.12x }} 2

0.88x 1 100

donde x es el número de años desde 1980. Vuelve a escribir el modelo de manera que sólo tenga coeficientes expresados en números enteros. Luego simplifica el modelo y calcula aproximadamente el porcentaje de avisos televisivos de emisoras pequeñas que duraron 15 segundos en 2003. For problem solving help, go to thinkcentral.com

42. RADIOS PARA AUTOMÓVILES Una empresa proyecta que el número R (en miles)

de radios digitales para automóviles vendidas por año y las ventas V (en millones de dólares) de radios digitales para automóviles entre 2004 y 2007 pueden representarse mediante R 5 190x2 1 55x 1 140

Y

V 5 170x 1 60

donde x es el número de años desde 2004. Escribe y simplifica un modelo que dé el precio promedio P (en miles de dólares) de una radio digital para automóvil como una función de x. Luego predice el precio promedio en 2007.

Álgebra 1 Recursos para el estudiante: Capítulo 12

411

43. CASAS El número total C de casas unifamiliares nuevas y el número M de casas

de madera unifamiliares nuevas en los Estados Unidos entre 1990 y 2002 puede representarse mediante C 5 34,500x 1 913,000

y

M 5 220,200x 1 366,000

donde x es el número de años desde 1990. Escribe y simplifica un modelo que dé el porcentaje p (en forma decimal) de las casas que eran de madera como una función de x. Describe cómo cambió el porcentaje de las casas que eran de madera entre 1990 y 2002. 44. AEROPUERTOS El número total A de aeropuertos y el número P de aeropuertos

privados en los Estados Unidos entre 1989 y 2002 pueden representarse mediante A 5 0.18x 3 1 140x 1 17,000

y

P 5 0.16x 3 1 120x 1 12,000

donde x es el número de años desde 1989. Usa sólo coeficientes expresados en números enteros para escribir un modelo que dé el porcentaje p (en forma decimal) de todos los aeropuertos que eran privados. Simplifica el modelo y calcula aproximadamente el porcentaje de aeropuertos que eran privados en 2002. 45.

★ RESPUESTA DESARROLLADA

La ganancia G (en millones de dólares) de las ventas de música impresa en los Estados Unidos entre 1988 y 2002 puede representarse mediante 1 20x G 5 300 }

1 1 0.008x

donde x es el número de años desde 1988. a. Representar y calcular Vuelve a escribir el modelo de manera que sólo tenga

coeficientes expresados en números enteros. Luego simplifica el modelo y calcula aproximadamente la ganancia de las ventas de música impresa en 2002. b. Representar gráficamente Representa el modelo gráficamente. Describe

cómo cambió la ganancia durante el período. c. Decidir ¿Puedes usar el modelo para concluir que el número de copias de

música impresa vendidas aumentó con el tiempo? Explica. 46. DESAFÍO El promedio de los gastos anuales G (en dólares) de una familia de

G 5 1240x 1 24,800

y

T 5 31x 1 620

donde x es el número de años desde 1992. Escribe y simplifica un modelo que muestre que el promedio de la cantidad anual que se gastó en servicios telefónicos fue el 2.5% del promedio de los gastos anuales durante el período.

FLORIDA REPASO EN ESPIRAL una obra de teatro escolar como una función del número x de boletos que compraste. ¿Cuál es el rango de la función? (4.2 Enfoque en las funciones)

MA.912.A.2.4

A 1, 2, 3, 4, 5

B 10, 20, 30, 40, 50

C 1≤x≤5

D 10 ≤ y ≤ 50

48. La pantalla rectangular de un monitor de computadora mide 15

Costo (dólares)

47. La gráfica muestra el costo y (en dólares) de comprar boletos para

y 50 40 30 20 10 0

0 1 2 3 4 5 x Boletos

pulgadas de ancho por 12 pulgadas de alto. ¿Cuál es la medida diagonal exacta de la pantalla? (11.4)

MA.912.A.6.1

412

F 3 pulgadas

Álgebra 1 Recursos para el estudiante: Capítulo 12

G 3 √ 3 pulgadas

H 19 pulgadas

EXTRA PRACTICE para la lección 12.5, pág. 913 del texto

I 3 √ 41 pulgadas

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ingresos medios y el promedio de la cantidad anual T (en dólares) que se gastó en servicios telefónicos entre 1992 y 2001 pueden representarse mediante

¿LISTO PARA CONTINUAR?

Prueba para las lecciones 12.3 y 12.4

Divide. (12.3) 1. (y 2 2 5y 1 6) 4 (y 2 3)

2. (x 2 1 3x 2 28) 4 (x 2 6)

Representa gráficamente la función. (12.3) x13 x24

2x 2 1 x13

3. y 5 ​ }    ​

4. y 5 ​ }     ​

Simplifica la expresión racional si es posible. Enuncia los valores excluidos. (12.4) w 1 10 5. ​ }    ​ 2

14x

y17 y27

7. ​ }    ​

2

z 2 4z 2 45 8. ​  }}        ​ 2 3z 1 25z 1 50

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w 2 100

3 6. ​ 250x    ​ } 

Álgebra 1 Recursos para el estudiante: Capítulo 12

413

Resolución de problemas:

FLORIDA

CONEXIONES

Florida Test Practice Go to thinkcentral.com

Repaso de las lecciones 12.1 a 12.4 1. PROBLEMA DE VARIOS PASOS Un vendedor

de libros usa cajas de transporte en forma de prismas rectangulares. Las cajas tienen una base del mismo tamaño pero una altura distinta. h cm 24 cm

entre el área superficial y el volumen como una función de la altura h. Luego representa la ecuación gráficamente. b. Cuanto menor sea la razón, más eficiente será

la caja. Describe cómo cambia la eficiencia de la caja a medida que aumenta la altura. 2. RESPUESTA ABIERTA La densidad poblacional de

una ciudad (en personas por milla cuadrada) es la razón entre la población de la ciudad y el área (en millas cuadradas) de la ciudad. Supongamos que una ciudad tiene una población de 150,000 personas y un área de 40 millas cuadradas. Describe dos maneras en que la densidad poblacional puede disminuir a 3125 personas por milla cuadrada. 3. RESPUESTA CORTA La tabla muestra la relación

que existe entre el volumen V (en litros) y la presión P (en kilopascales) de un gas en un recipiente cilíndrico. Volumen, V (L)

Presión, P (kPa)

20

1

5

4

2.5

8

1.6

12.5

0.4

50

a. Explica por qué el volumen y la presión se

relacionan inversamente. Luego escribe una ecuación que relacione el volumen y la presión. b. Supongamos que sólo puede cambiarse la

altura del recipiente. Describe cómo cambia la presión a medida que aumenta la altura.

béisbol profesional puede pagar impuestos de lujo si el salario anual combinado del equipo excede una determinada suma. En 2003, un equipo cuyo salario anual combinado excedió los $117 millones pagó un impuesto de lujo del 17.5% sobre la suma por encima de los $117 millones. a. Escribe una ecuación que exprese el

porcentaje p (en forma decimal) del salario pagado en impuestos de lujo como una función del salario s (en millones de dólares) para s > 117. b. Representa gráficamente la función. Describe

cómo cambió el porcentaje a medida que aumentó el salario. c. ¿Fue posible que el equipo pagara el 17.5% de

su salario en impuestos de lujo? Explica. 6. RESPUESTA CORTA Planeas ir de caminata por un

sendero que tiene 15 millas de largo y parar en un camping durante 10 horas para pasar la noche. a. Escribe una ecuación que exprese el tiempo

combinado t (en horas) para caminar y acampar como una función de la velocidad promedio r (en millas por hora) a la cual caminas. Luego representa gráficamente la función. b. Explica cómo cambiaría la gráfica si acamparas

durante 12 horas en lugar de 10 horas.

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a. Escribe una ecuación que exprese la razón r

Álgebra 1 Recursos para el estudiante: Capítulo 12

RESPUESTA GRÁFICA Un grupo de amigos planea un viaje en aerobote en el río Homosassa y luego nadar con manatíes en el río Crystal. La tarifa del aerobote es de $315, que los amigos compartirán equitativamente. Nadar con los manatíes cuesta $50 por persona. ¿Cuánto más (en dólares) pagará una persona si viajan 5 personas en lugar de 6 personas?

5. RESPUESTA DESARROLLADA Un equipo de

26 cm

414

4.

12.5

EJERCICIOS

HOMEWORK KEY

Anticipo de Álgebra 2 MA.912.A.5.2

5 WORKED-OUT SOLUTIONS pág. WS30 del texto para los ejercicios 5, 15 y 35

★

5 PRÁCTICA PARA EL EXAMEN ESTANDARIZADO ejercicios 2, 21, 26, 27, 28, 36 y 37 5 REPRESENTACIONES DIVERSAS ejercicio 35

PRÁCTICA 1. VOCABULARIO Copia y completa: Para dividir por una expresión racional,

multiplica por su ? . 2.

EJEMPLOS 1, 2 y 3 págs. 830 y 831 del texto para los ejercicios 3 a 10 y 12

★ ESCRIBIR

Describe cómo se debe multiplicar una expresión racional por un polinomio.

MULTIPLICAR EXPRESIONES Halla el producto. 9p2 7

5 6p

8q

2v 2 2 1 v 2 12 5. v}}}}} p }}}}} 2 5v 1 10

6. } p } 2 2

v 1 5v 1 4 4x 2 20x 2 144 20

5

r 8. } p (r 2 1 8) 3 7r 1 56r

2n 2 6 10. }}}}}} p (3n2 1 14n 1 8) 2

23m 9. }} p (m 2 5) 2 m 2 7m 1 10

pág. 832 del texto para los ejercicios 11 y 13 a 21

3n 2 7n 2 6

ANÁLISIS DE ERRORES Describe y corrige el error cometido al buscar el producto o el

cociente. 3 x3 11. } 4 15x }

x 22 12. x} p}

2

5

x3

15x3

x15

15x3

5 x

22x

x22

4 } 5 }3 p } } 2 2 5

x

(x 2 2)x (x 1 5)(2 2 x)

p}5} } x15 22x (x 2 2)x (x 1 5)(2 2 x)

3

75x 5} 3

5}

75 5}

5} x15

2x

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y 24

22y 2 10y

5x 7. }}}}}}} p }}}}}}} 3 2 2x 2 17x 2 9x

4y2 1 20y

y22

2

2

EJEMPLOS 4y5

4q5 3

5 4. } p} 6

3. } p }4

x

2

DIVIDIR EXPRESIONES Halla el cociente. 12 5s6 14. 25s }4}

2 12 13. 16r }4} 5r 3

2

w 1 5w 15. 2w 4} } 2 w 2 81

2

18

2

2

c26 c 2 11c 1 30

c 1c 16. }}}}} 4 }}}}}} 2 2

w19

c 1 c 2 30

3

2

2 9a 2 18a 1 3a 2 10 17. a}} 4 }} 2 2

2 23x2 1 13x 2 12 2 9x 1 9 18. 2x }}}}}} 4 }} 2

2 1 4k 2 15 19. 4k }} 4 (2k 1 5)

2 2 9t 2 22 20. t} 4 (5t 2 1 9t 2 2)

3a 1 18a 2 21

a 1 6a 2 7

★ ELECCIÓN MÚLTIPLE 2

15x 2 14x 2 8

5t 2 1

2k 2 3

21.

35x 1 14

¿Por qué factor común divides cuando buscas el cociente

2

x 2 3x 1 2 x 1 4x 1 3 4 }}}}}} ? }}}}} 2 2

x 2 2x 2 3

A x21

x 2 7x 1 12

B x23

C x11

D x13

Álgebra 1 Recursos para el estudiante: Capítulo 12

415

CONVERTIR FRASES Escribe la frase verbal en un producto o un cociente de

expresiones racionales. Luego halla el producto o el cociente. 22. El producto de x 1 3 y la razón entre x 1 5 y x 2 2 9 23. El producto de 8x 2 y el inverso multiplicativo de 2x 3 24. El cociente de x 2 1 3x 2 18 y la razón entre x 1 6 y 2 25. El cociente del inverso multiplicativo de x 2 2 3x 2 4 y dos veces el inverso

multiplicativo de x 2 2 1 26.

★ ELECCIÓN MÚLTIPLE A 21

x2 2 1 ¿Cuál es el cociente de } 4 (x 2 1)? 2(x 1 1)

B 0

★ RESPUESTA ABIERTA

D x2 2 1

C 1

Sean a, b, c y d polinomios diferentes. Halla dos

a c y } que satisfagan las condiciones dadas. expresiones racionales } b d x23 x12

27. El producto de las expresiones racionales es } y los valores excluidos son

22, 21, 4 y 5.

x26 x14

28. El cociente de las expresiones racionales es } y los valores excluidos son

24, 22, 3 y 6.

GEOMETRÍA Escribe una expresión para el área de la figura. Halla un valor de x menor de 5 para el cual las dimensiones y el área dadas sean positivas.

29. Rectángulo

30. Triángulo 2x 2 1 2x 2 24 2x 1 1

x 2 2 6x 1 5 x12 2x 2 2 x 2 1 x23

x2 2 x 2 6 x25

DESAFÍO Sea a un polinomio en la ecuación dada. Halla a. x12

2 2x 1 1 2 2x 2 3 2 32. 8x }}}}}} 4 } a 5 12x 2 x 2 6 x25

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EJEMPLO 6 pág. 833 del texto para los ejercicios 33 a 35

33. VEHÍCULOS La distancia total M (en mil millones de millas) que recorrieron

todos los vehículos y la distancia C (en mil millones de millas) que recorrieron los camiones en los Estados Unidos entre 1980 y 2002 pueden representarse mediante M 5 1500 1 63x

y

1 2.2x C 5 100 }

1 2 0.014x

donde x es el número de años desde 1980. Escribe un modelo que dé el porcentaje p (en forma decimal) de la distancia total de todos los vehículos recorrida por los camiones como una función de x. Luego calcula aproximadamente el porcentaje que recorrieron los camiones en 2002. For problem solving help, go to thinkcentral.com

416

Álgebra 1 Recursos para el estudiante: Capítulo 12

5 WORKED-OUT SOLUTIONS pág. WS1 del texto

★

5 PRÁCTICA PARA EL EXAMEN ESTANDARIZADO

Copyright © Holt McDougal. All rights reserved.

3x2 1 5x 2 2 x24

a 31. } p }}}}}} 5 6x 2 1 7x 2 3

34. GASTOS DE LOS CONSUMIDORES La cantidad anual promedio T (en dólares) que

gastaron los consumidores en lectura y entretenimiento, y la cantidad anual promedio E (en dólares) que gastaron los consumidores en entretenimiento en los Estados Unidos entre 1985 y 2002 pueden representarse mediante 1 84x T 5 1300 }

1 1 0.015x

y

1 64x E 5 1100 }

1 1 0.0062x

donde x es el número de años desde 1985. Escribe un modelo que dé el porcentaje p (en forma decimal) de la cantidad gastada en lectura y entretenimiento que se gastó en entretenimiento como una función de x. Luego calcula aproximadamente el porcentaje que se gastó en entretenimiento en 2000. For problem solving help, go to thinkcentral.com

35.

REPRESENTACIONES DIVERSAS El número Y de yardas ganadas corriendo con el balón y el número I de intentos corriendo con el balón que el jugador de fútbol americano Emmitt Smith hizo en su carrera desde 1990 (cuando comenzó a jugar fútbol profesional) hasta el final de la temporada de fútbol de 2002 pueden representarse mediante 1 1800x Y 5 860 }} 1 1 0.024x

e

1 380x I 5 230 }

1 1 0.014x

donde x es el número de años desde 1990. a. Escribir una ecuación El promedio de corridas con el balón de un jugador de

fútbol americano es el número de yardas ganadas corriendo con el balón dividido por el número de intentos corriendo con el balón. Escribe un modelo que dé el promedio de corridas con el balón R en la carrera de Smith como una función de x para el período desde 1990 hasta 2002. b. Hacer una tabla Haz una tabla que muestre el promedio aproximado de

corridas con el balón en la carrera de Smith (redondeado al centésimo más cercano) para todos los años del período. Describe cómo cambió el promedio de corridas con el balón en la carrera con el tiempo.

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36.

★ RESPUESTA CORTA El número B de veces al bate y el número H de hits en la carrera del jugador de béisbol Hank Aaron entre 1954 y 1976 pueden representarse mediante 1 700x B 5 300 } 1 1 0.01x

y

1 240x H 5 62 }

1 1 0.017x

donde x es el número de años desde 1954. a. Representa El promedio de bateo de un jugador de béisbol es el número de

hits dividido por el número de veces al bate. Escribe un modelo que dé el promedio de bateo en la carrera P de Hank Aaron como una función de x. b. Decide La tabla muestra el número de veces al bate y el número de hits en la

carrera real de Aaron en tres años distintos. ¿Para qué año da el modelo la mejor aproximación de P? Explica tu elección. Año

1954

1959

1976

Veces al bate en la carrera

468

3524

12,364

Hits en la carrera

131

1137

3771

Álgebra 1 Recursos para el estudiante: Capítulo 12

417

37.

★ RESPUESTA DESARROLLADA La ganancia bruta I (en millones de dólares) de ventas de entradas para cine y el precio promedio P de entradas para cine (en dólares) en los Estados Unidos entre 1991 y 2002 pueden representarse mediante 2 74x I 5 4700 }

1 2 0.053x

P 5 0.015x 2 1 4.1

y

donde x es el número de años desde 1991. a. Representar Escribe un modelo que dé el número E de ventas de entradas

para cine (en millones) como una función de x. b. Describir Representa gráficamente el modelo sobre una calculadora gráfica

y describe cómo cambió con el tiempo el número de entradas vendidas. ¿Puedes usar la gráfica para describir cómo cambió la ganancia bruta y los precios de las entradas con el tiempo? Explica tu razonamiento. c. Comparar La tabla muestra el número real de entradas vendidas para todos

los años durante el período. Haz un diagrama de dispersión de los datos sobre la misma pantalla que la gráfica del modelo de la parte (b). Compara el diagrama de dispersión con la gráfica del modelo. Año

1991

1992

1993

1994

1995

1996

Entradas (millones)

1141

1173

1244

1292

1263

1339

Año

1997

1998

1999

2000

2001

2002

Entradas (millones)

1388

1481

1465

1421

1487

1639

38. DESAFÍO La cantidad total C (en millares de millones de dólares) gastada en

comida aparte de comestibles y la cantidad E (en mil millones de dólares) gastada en restaurantes en los Estados Unidos entre 1977 y 2003 pueden representarse mediante 88 1 9.2x C 5 }}}}}

54 1 6.5x E5 }

y

1 2 0.0097x

1 2 0.012x

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donde x es el número de años desde 1977. Escribe un modelo que dé el porcentaje p (en forma decimal) de la cantidad gastada en comida aparte de comestibles que se gastó en restaurantes como una función de x. Calcula aproximadamente el porcentaje que se gastó en otros lugares aparte de los restaurantes en 2002.

FLORIDA REPASO EN ESPIRAL 3 4

39. RESPUESTA GRÁFICA La ecuación y 5 } x 1 2 está en forma pendiente-intercepto.

MA.912.A.3.7

Cuando escribes la ecuación en forma normal 3x 1 By 5 28, ¿cuál es el valor de B? (4.2) 40. Las dimensiones (en pulgadas) de un letrero triangular son las

que se muestran. ¿Qué expresión representa la razón (en su mínima expresión) del perímetro del letrero con respecto a su área? (12.4) 4 3x

B }

3x } 2

D

A }

MA.912.A.5.1

418

C

Álgebra 1 Recursos para el estudiante: Capítulo 12

2 3x

3x } 4

EXTRA PRACTICE para la lección 12.5, pág. 913 del texto

6x 62x

62x x13

ONLINE QUIZ Go to thinkcentral.com

EJERCICIOS

12.6

HOMEWORK KEY

5 WORKED-OUT SOLUTIONS pág. WS30 del texto para los ejercicios 7, 29 y 45

★

Anticipo de Álgebra 2 MA.912.A.5.2

5 PRÁCTICA PARA EL EXAMEN ESTANDARIZADO ejercicios 2, 32, 44 y 48

PRÁCTICA 1. VOCABULARIO Copia y completa: El

? de dos expresiones racionales es el producto de los factores de sus denominadores usando cada factor común una sola vez.

2.

★

ESCRIBIR Describe los pasos que seguirías al volver a escribir las expresiones

2x 1 para que tengan el mismo denominador. } y} x 12 x2 2 4

EJEMPLO 1 pág. 840 del texto para los ejercicios 3 a 11

SUMAR Y RESTAR EXPRESIONES Halla la suma o la diferencia. y11 2y

3 2 3. } 1}

3a a12

7 6. } 2} a12

5. }2 2 }2

6z z

b11 b23

8. } 1 }

b23

8 m 11

m 11

n 2n 1 1 10. } 2} 2 2 n 2 16

3r r 1r27

HALLAR EL M.C.D. Halla el m.c.d. de las expresiones racionales.

pág. 841 del texto para los ejercicios 12 a 17 y 32

1 12. } ,} 3

3 13. } , } 3 2

21 s12 15. s} ,}

1 16. } ,} 2 2

15v

EJEMPLOS 3, 4 y 5 pág. 842 del texto para los ejercicios 18 a 31

v2 2 4 20v

r 1r27

4w w13 w15 w22

14. } , }

6 t 2 4t t 2 2t 2 8

s12 s21

c15 c29

1 11. } 1} 2 2

n 2 16

EJEMPLO 2

x12 24x 6x

2z z

c12 c29

b 7. } 1}

7 9. } 2} 2 2

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5 2y

4. } 1 }

5x

5x

u19 23 u 1 8u 1 7 u 2 2u 2 3

17. } ,} 2 2

ANÁLISIS DE ERRORES Describe y corrige el error cometido al buscar la suma o la

diferencia. 4x x12

2 5x 19. } 1}

8 18. } 2} 2x 1 3

8 2x 1 3

4x x12

x24

8 2 4x 2x 1 3 2 (x 1 2)

} 2 } 5 }}

5x x24

x13 2 x13

5x(x 2 4) 1 2(x 1 3) (x 2 4)(x 1 3)

} 1 } 5 }} 2

8 2 4x 5 }}

5x 2 20x 1 2x 1 6 5 }}

8 2 4x 5} x11

5x2 2 18x 1 6 5 }} (x 2 4)(x 1 3)

2x 1 3 2 x 2 2

(x 2 4)(x 1 3)

Álgebra 1 Recursos para el estudiante: Capítulo 12

419

Sumar y restar expresiones  Halla la suma o la diferencia. 2 5x 20. ​ }    ​1 ​ }     ​

7 2z

2 13 21. ​ }   ​1 ​ }     ​

2 22. ​ }    2 ​ }   2 ​

7r 23. ​ }     ​2 ​ }     ​

1 s 24. ​ }     ​2 ​ }     ​

25. ​ }    ​1 ​ }     ​

d25 25 26. ​ d}     ​1 ​ }     ​

27. ​ }     ​ 2  ​ }     ​

5x

4

r22

2r r23

j21

2j

c 3c 1 10

1 1 28. ​ }     ​2 ​ }     ​ 2 2 g 1 5g 1 6

k25 k 2 5k 2 24

g 24

v12 2v 2 v 2 15

v22 v 1 2v 2 15

k17 30. ​ }     ​1 ​ }}     ​ 31. ​ }}     ​2 ​ }}    2 2 2 2

29. ​ }     ​ 1  ​ }     ​ 2 2 j 2 7j 1 6

k 1 6k 1 9

3 4x Elección múltiple  ¿Cuál es un factor del m.c.d. de ​ }     ​ y ​ }     ​? x2 2 4x x 1 2

32.

H



A 3

33.

3f f14

f13 7f

3z

c13 c26

4s 1 1

5s 2 2

4d

d17

j 21

11y

3y

B x 2 4

C 4x

D x 2 2

 Geometría  La altura h de un prisma rectangular está dada por S h 5 ​ }     ​2 }  ​  la   ​



2(l 1 a)

l1a

donde S es el área superficial, l es la longitud y a es el ancho. Halla la diferencia de las expresiones en el lado derecho de la ecuación. Usar el orden de operaciones  Usa el orden de operaciones para escribir la

expresión como una sola expresión racional. 3x 1 x 2 2

1 xx 21 42 2

34. 2​1 ​ }     ​ 2​2 3​ ​ }    ​  ​ x x11

5x x12

4 35. 5​ ​ }     ​1 ​ }}     ​ 2 2 3x2 1 2x 2 1 2 3x 2 4 15 37. ​ x}    ​2 ​ }}      ​4 ​ x}     ​ 2

12 x23 36. ​ }}     ​1 ​ }     ​p ​ }     ​ 2 x 1 9x 1 20

x 1 6x 2 16

x14

x14

x29

x 2 16

Escribir ecuaciones  Para la parábola dada, escribe una ecuación de a la forma y 5 ​ }   ​, donde a y b sean polinomios de primer grado. b



y

y52

39.

2

2

2

x

y 5 24 4

y

40.

x 5 26

(4, 4)

4



y

y 5 23

(21, 21)

2 x

(2, 26)

x

x51

x 5 22

41. Desafío  Sean a, b, c y d polinomios de primer grado. Halla las dos a b

c d

a b

c d

5x 1 7 (x 1 2)(x 1 3)



5 Worked-out Solutions pág. WS1 del texto

expresiones racionales ​ }  ​y ​ }   ​de manera que ​ }  ​2 ​ }   ​ 5 ​ }}       ​.

420

Álgebra 1 Recursos para el estudiante: Capítulo 12

H 5 PRÁCTICA PARA EL EXAMEN ESTANDARIZADO

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38.

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EJEMPLO 6

42. CANOTAJE Un remero recorre 16 millas río arriba (contra la corriente) y 16 millas

río abajo (con la corriente). La velocidad de la corriente es de 1 milla por hora. Escribe una ecuación que exprese el tiempo recorrido total t (en horas) como una función de la velocidad promedio del remero r (en millas por hora) en aguas tranquilas. Luego halla el tiempo recorrido total si la velocidad promedio del remero en aguas tranquilas es de 6 millas por hora.

pág. 843 del texto para los ejercicios 42 a 46

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43. MANEJAR Matt maneja 200 millas hasta otra ciudad. De regreso a su casa, su

velocidad promedio disminuye en 5 millas por hora. Escribe una ecuación que exprese el tiempo total de manejo t (en horas) como una función de su velocidad promedio r (en millas por hora) cuando maneja hasta la ciudad. Luego halla el tiempo total de manejo si maneja hasta la ciudad a una velocidad promedio de 50 millas por hora. For problem solving help, go to thinkcentral.com

44.

★

RESPUESTA CORTA Un avión hace un viaje de ida y vuelta entre dos destinos, como se muestra en el diagrama. El avión vuela contra el viento cuando viaja hacia el oeste y vuela con el viento cuando viaja hacia el este. Supongamos que la velocidad del viento permanece constante durante cada vuelo.

670 millas

Chicago, IL

Philadelphia, PA

Velocidad del avión en el aire en calma: 300 millas por hora a. Representar Escribe una ecuación que exprese el tiempo total de vuelo t (en

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horas) como una función de la velocidad del viento v (en millas por hora). Luego halla el tiempo total de vuelo si la velocidad del viento es de 15 millas por hora. b. Decidir ¿Para qué valor de v el tiempo de vuelo de ida lleva la mitad del tiempo

total de vuelo? Explica tu razonamiento. 45. ASCENSORES Según la ley en un estado, el peso mínimo P (en libras) que debe

mantener un ascensor de pasajeros está dado por 2 200A P 5 2A } 1 } si A ≤ 50

3

3

y

7A2 P5} 1 (125A 2 1367) si A > 50 150

donde A representa el área (en pies cuadrados) de la plataforma del ascensor. a. Escribe el lado derecho de cada ecuación como una sola expresión racional. b. ¿Cuál es el peso mínimo que debe mantener un ascensor si el área de la

plataforma es de 30 pies cuadrados? ¿Y si es de 60 pies cuadrados?

Álgebra 1 Recursos para el estudiante: Capítulo 12

421

resistencias

46. Problema de varios pasos  Un circuito eléctrico

en paralelo consta de una fuente eléctrica y varios resistores en paralelo a través de las cuales pasa la electricidad. Para un circuito en paralelo con dos resistores, asume que r 1 representa la resistencia (en ohmios) de un resistor y que r 2 representa la resistencia (en ohmios) del otro resistor.

fuente eléctrica

r1

r2

Circuito en paralelo

a. Representar La resistencia total r T es igual al inverso multiplicativo de



1 1 1 1  ​}  r   ​ 1 ​ }  r   ​. Escribe ​ }  r   ​1 ​ }  r   ​como una sola expresión racional. Luego escribe una



ecuación que exprese r T en términos de r1 y r 2.

1

2

1

2

b. Calcular Halla la resistencia total cuando un resistor tiene una resistencia de

2 ohmios y el otro resistor tiene una resistencia de 6 ohmios. 47. Estaciones de radio  Las estaciones de radio usan transmisión de amplitud

modulada (AM) o de frecuencia modulada (FM). El porcentaje a (en forma decimal) de las estaciones de radio comerciales que usaron transmisión AM entre 1990 y 2003 puede representarse mediante 2.8 1 0.085x a 5 }}  ​     ​



5.3 1 0.30x



donde x es el número de años desde 1990. Escribe un modelo que dé el porcentaje f (en forma decimal) de estaciones de radio comerciales que usaron transmisión FM como una función de x. Luego calcula aproximadamente el valor de f en 2003.

48.

H

Respuesta desarrollada La carga axial de un vehículo de remolque es el peso (en libras) que sostiene un eje del vehículo. La carga del eje trasero T y la carga del eje delantero D están dadas por las fórmulas



t(w 1 h)

T 5 ​ }  ​ w   

y

th D 5 ​ }  w ​

donde t representa el peso (en libras) que el remolque ejerce hacia abajo sobre el

enganche, y w y h representan las distancias (en pies) que se muestran. a. Calcular Para un determinado vehículo de remolque, t 5 300, w 5 9 y h 5 3.5.

Halla la carga del eje trasero y la carga del eje delantero. eje delantero halladas en la parte (a). Compara tu respuesta con el valor de t dado. c. Representar Expresa t en términos de T y D. Justifica tu respuesta

algebraicamente. 49. Desafío  Planeas tardar 10 minutos en cortar el césped de tu familia con un

amigo. Puedes cortar todo el césped solo en 30 minutos. a. Escribe una ecuación que exprese la fracción y del césped que tú y tu amigo

pueden cortar en 10 minutos como una función del tiempo t (en minutos) que tu amigo tardaría en cortar todo el césped solo. b. Supongamos que tu amigo puede cortar todo el césped solo en 20 minutos.

¿Puede cortarse todo el césped si tú y tu amigo trabajan juntos durante 10 minutos? Explica.

422

Álgebra 1 Recursos para el estudiante: Capítulo 12



5 Worked-out Solutions pág. WS1 del texto

H 5 PRÁCTICA PARA EL EXAMEN ESTANDARIZADO

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b. Comparar Halla la diferencia entre la carga del eje trasero y la carga del

FLORIDA REPASO EN ESPIRAL 50. Un club organiza un viaje al museo. El club alquilará 2 camionetas por $60 cada

una y cada camioneta llevará x personas. La entrada al museo cuesta $15 por persona. Si los gastos totales se comparten por partes iguales entre los que van, el 30x 1 60

costo por persona C (en dólares) viene dado por C 5 } . ¿Qué opción es una 2x forma equivalente de esta función? (12.3)

A C 5 45

MA.912.A.4.4

B C 5 15 1 60 } x

30

C C 5 75

D C 5 15 1 } x

51. En el período de 2004 a 2007, el número total de las ventas de todos los tipos de

álbumes musicales A (en millones de unidades) y el número total de ventas de álbumes digitales D (en millones de unidades) puede representarse con

A 5 29t 2 2 3t 1 677

D 5 2t 2 1 10t 1 5

y

donde t es el número de años desde 2004. ¿Cuál es un modelo para N, el número total de ventas de álbumes musicales (en millones de unidades) que no fueron ventas de álbumes digitales? (9.1)

MA.912.A.4.2

F N 5 27t 2 1 7t 1 682

G N 5 211t 2 1 7t 1 682

H N 5 211t 2 2 13t 1 672

I N 5 11t 2 1 13t 2 672

EXTRA PRACTICE para la lección 12.6, pág. 913 del texto

EJERCICIOS

12.7

HOMEWORK KEY

5 WORKED-OUT SOLUTIONS pág. WS31 del texto para los ejercicios 7, 15 y 33

★

MA.912.A.5.5, MA.912.A.5.7

ONLINE QUIZ Go to thinkcentral.com

5 PRÁCTICA PARA EL EXAMEN ESTANDARIZADO ejercicios 2, 24, 28 y 35

PRÁCTICA 3

7

1. VOCABULARIO La ecuación } 5 } 1 4 es un ejemplo de un(a) x x21

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2.

EJEMPLO 1 pág. 848 del texto para los ejercicios 3 a 13 y 24

? .

★

ESCRIBIR Describe dos métodos para resolver una ecuación racional. ¿Qué método puedes usar para resolver cualquier tipo de ecuación racional? Explica.

RESOLVER ECUACIONES Resuelve la ecuación. Comprueba tu solución. 5

r 20

3 s 2 13

3. } 5 } r 2 c13

25 c21

6. } 5 } w 2

s 10

4. } 5 }

15 w11

9. } 5 }

2m m14

3 m21

7. } 5 } 2x 42x

x x24

10. } 5 }

10 t26

2

5. } 5} t n23 n26

n11 n15

8. } 5 } 2y

24

11. } 5 } y y23

Álgebra 1 Recursos para el estudiante: Capítulo 12

423

ANÁLISIS DE ERRORES Describe y corrige el error cometido al resolver la ecuación. 3 11 13. 4x } 5} 5 8x 2 1

3 x11 12. } 5} 2x 1 2

2x 3 2x

x11 2x 1 2

4x 1 1 8x 2 1

}5}

(x 1 1)2x 5 3(2x 1 2)

5(4x 1 1) 5 3(8x 2 1)

2

2x 1 2x 5 6x 1 6

20x 1 1 5 24x 2 3

2

2x 2 4x 2 6 5 0

1 5 4x 2 3

2(x 2 3)(x 1 1) 5 0 x2350

ó

x53

ó

3

}5} 5

4 5 4x

x1150

15x

x 5 21

La solución es 1.

Las soluciones son 3 y 21.

EJEMPLOS 2y3 pág. 849 del texto para los ejercicios 14 a 23

RESOLVER ECUACIONES Resuelve la ecuación. Comprueba tu solución. 3 x 2 11

6x 14. } 115}

15.

} 235}

1 10 17 16. a} 2 1 5 a}

17.

} 1 2 5 }} 2

m 18. } 2 } 5 }} 2

19.

1} } 5} 2

2 3 20. } 2} 5} 2

21.

} 5} 1 } 2

23.

5} } 2

x 2 11

2a 1 8

a14

m22

p21

3m m24

p21

22m 1 2 m 2 6m 1 8

26 p 2 3p 1 2

8 r 1 3r 2 4

r12 22. } 5} 2 2 r 1 6r 2 7

24.

z z17

21 z17 b2 2 3 b 1 12b 1 27

1 b13

3n n11

12 n 21

5 q14

q q23

9 s 24

4 2 5s s22

n14 n21 2q 2 27

q 1 q 2 12

★

RESPUESTA ABIERTA Escribe una ecuación racional que pueda resolverse con la propiedad de productos cruzados. Luego resuelve la ecuación. x

qué valor o valores de a tiene la ecuación exactamente una solución? ¿Y ninguna solución? Explica tus respuestas. 26. RESOLVER SISTEMAS DE ECUACIONES Considera el siguiente sistema:

y 5 3x 1 1 25 26 y5 } x23

a. Resuelve el sistema algebraicamente. b. Representa gráficamente las ecuaciones para comprobar tu respuesta.

27.

★ ELECCIÓN MÚLTIPLE

Sea a un número real. ¿Cuántas soluciones

2a 2 1 tiene la ecuación } 1} ? x2a 5 } x1a x2 2 a2

A Cero

424

Álgebra 1 Recursos para el estudiante: Capítulo 12

B Una

C Dos

5 WORKED-OUT SOLUTIONS pág. WS1 del texto

D Infinitas

★

5 PRÁCTICA PARA EL EXAMEN ESTANDARIZADO

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2 25. RAZONAR Considera la ecuación } x2a 5 } x 2 a , donde a es un número real. ¿Para

x1a x111a

x x11

28. RAZONAR ¿Es alguna vez la expresión } equivalente a } para

algunos valores de a distintos de cero? Justifica tu respuesta algebraicamente. 29.. DESAFÍO Sean a y b números reales. Las soluciones de la ecuación 30 2 1 son 28 y 8. ¿Cuáles son los valores de a y b? Explica tu ax 1 b 5 } x12

respuesta.

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EJEMPLO 4 pág. 850 del texto para los ejercicios 30 a 34

30. HOCKEY SOBRE HIELO En hockey sobre hielo, el porcentaje de despeje de un

portero (en forma decimal) es el número de tiros que bloquea dividido por el número de tiros que hace un equipo contrario. Supongamos que un portero ha bloqueado 160 de 200 tiros. ¿Cuántos tiros consecutivos necesita bloquear el portero para aumentar el porcentaje de despeje a 0.840? For problem solving help, go to thinkcentral.com

31. TIEMPOS DE CARRERA Estás compitiendo en una carrera de beneficiencia de

6000 metros. Tu velocidad promedio en la primera mitad de la carrera es de 50 metros por minuto mayor que tu velocidad promedio en la segunda mitad. Terminas la carrera en 27 minutos. ¿Cuál es tu velocidad promedio en la segunda mitad de la carrera? For problem solving help, go to thinkcentral.com

32. SOLUCIONES DE LIMPIEZA Tienes una solución de limpieza que consta de 2 tazas

de vinagre y 7 tazas de agua. Necesitas una solución de limpieza que conste de 5 partes de agua y 1 parte de vinagre para limpiar ventanas. ¿Cuántas tazas de agua necesitas agregar a tu solución de limpieza para poder usarla para limpiar ventanas?

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33. INTERÉS Una persona invirtió un total de $3000 en dos cuentas que pagan

interés simple a tasas anuales del r% y (r 1 1)%. Después de 1 año, la persona recibió $40 en intereses de la primera cuenta y $100 en intereses de la segunda cuenta. ¿Cuánto invirtió la persona en cada cuenta? 34. PROBLEMA DE VARIOS PASOS Un pintor y su asistente pueden pintar una

determinada sala en 2 horas si trabajan juntos. El pintor tarda la mitad del tiempo que el asistente en pintar la sala solo. Asume que t representa el tiempo (en horas) que tarda el pintor en pintar la sala solo. a. Copia y completa la tabla.

Persona

Fracción de la sala pintada cada hora

Tiempo (horas)

Fracción de la sala pintada

Pintor

}

1 t

2

?

Asistente

?

2

?

b. Explica por qué la suma de las expresiones en la cuarta columna de la tabla

debe ser 1. c. Escribe una ecuación racional que puedas usar para hallar el tiempo que

tarda el pintor en pintar la sala solo. Luego resuelve la ecuación. d. ¿Cuánto tarda el asistente en pintar la sala solo?

Álgebra 1 Recursos para el estudiante: Capítulo 12

425

35.

H

Respuesta desarrollada  Tú y tu hermana pueden rastrillar juntas el césped del vecino en 30 minutos. Tu hermana tarda 1.5 veces lo que tú tardas en rastrillar el césped sola.

a. Resolver Escribe una ecuación que puedas usar para hallar el tiempo t (en

minutos) que tardas en rastrillar el césped sola. Luego resuelve la ecuación. b. Comparar Con más experiencia, las dos pueden rastrillar el césped juntas

en 20 minutos y tu hermana puede rastrillar el césped sola en la misma cantidad de tiempo que tú. Di cómo cambiarías la ecuación de la parte (a) para describir esta situación. Luego resuelve la ecuación. c. Explicar Explica por qué tiene sentido tu solución de la parte (b). Luego

justifica tu explicación algebraicamente para cualquier cantidad de tiempo dada en que las dos juntas rastrillan el césped. 36. Televisión  El tiempo promedio t (en minutos) que una persona en los Estados

Unidos miró televisión por día entre 1950 y 2000 puede representarse mediante 1 8.85x t 5 ​ 265    ​ } 



1 1 0.0114x

donde x es el número de años desde 1950. a. Calcula aproximadamente el año en que una persona miró televisión durante

un promedio de 6 horas por día. b. ¿Cuántos años aproximadamente habían pasado cuando el tiempo promedio

que una persona miró televisión por día aumentó de 5 a 7 horas? 37. Ciencia  La presión atmosférica, medida en libras por pulgada cuadrada (psi),

es la presión que el peso de la atmósfera ejerce sobre un objeto. La presión atmosférica p (en psi) puede representarse mediante

14.55(56,267 2 a) 55,545 1 a

p 5 ​  }}         ​

donde a es la altitud (en pies). ¿Es el cambio de altitud mayor cuando la presión atmosférica cambia de 10 psi a 9 psi o de 8 psi a 7 psi? Explica tu respuesta.

del volumen en la leche descremada puede constar de grasas. Un recipiente contiene 15 onzas de leche al 1%. ¿Cuántas onzas de grasa deben sacarse para que la leche pueda considerarse descremada? Redondea tu respuesta a la centésima más cercana.

426

Álgebra 1 Recursos para el estudiante: Capítulo 12



5 Worked-out Solutions pág. WS1 del texto

H 5 PRÁCTICA PARA EL EXAMEN ESTANDARIZADO

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38. Desafío  Un 1% del volumen en la leche al 1% consta de grasas. No más del 0.2%

FLORIDA REPASO EN ESPIRAL 39. RESPUESTA GRÁFICA El número y (en millones) de CD de música que los

fabricantes enviaron por año durante el período de 2000 a 2007 se representa con y 5 940 2 55x, donde x es el número de años desde 2000. ¿Qué tasa de cambio de CD enviados (en millones de CD por año) expresa el modelo? (5.6)

MA.912.A.3.11 40.

MA.912.A.6.2

Un pedazo de vidrio de color es un trapecio con las tres longitudes de lados que se muestran. La distancia entre los lados paralelos es de 4 centímetros. ¿Cuál es la longitud exacta del cuarto lado? (11.4) }

A 8Ï 5 cm

6 cm 14 cm

6 cm

}

B (6 1 8Ï 5 ) cm

¿LISTO PARA CONTINUAR?

C 24 cm

D 26 cm

PRUEBA para las lecciones 12.5 a 12.7

Halla el producto o el cociente. (12.5) 4x 3 15

5 1. } p} 2 8x

2.

y2 y24

3y2 1 6y

4} } 2 y 2 16

Halla la suma o la diferencia. (12.6) 5a 2 1 a 1 11

8a 3. } 2} a 1 11

n21 n 1 5n 1 6

6n 4. } 1 } 2 n13

Resuelve la ecuación. Comprueba tu solución. (12.7) z z23

2z 5. } 5} z15

32x 24 2x 6. } 2 x 1 } 5} x11

x 1x

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7. PROMEDIOS DE BATEO El promedio de bateo de un jugador de softball es el

número de golpes dividido por el número de veces al bate. Un jugador de softball tiene un promedio de bateo de .200 después de 90 veces al bate. ¿Cuántos golpes consecutivos necesita el jugador para aumentar el promedio de bateo a .250? (12.7)

EXTRA PRACTICE para la lección 12.7, pág. 913 del texto

ONLINE QUIZ Go to thinkcentral.com

Álgebra 1 Recursos para el estudiante: Capítulo 12

427

FLORIDA

CONEXIONES

Resolución de problemas:

Florida Test Practice Go to thinkcentral.com

Repaso de las lecciones 12.5 a 12.7 1. PROBLEMA DE VARIOS PASOS Desde 1991

hasta 2002 el promedio de la ganancia total T (en dólares por admisión) que ganó un cine y el promedio de la ganancia C (en dólares por admisión) de concesiones en los Estados Unidos pueden representarse mediante 2 1 5.4 0.013x 2 1 1.1 T 5 0.018x }}2 y C 5 }} 2

1 2 0.0011x

0.0011x 1 1

donde x es el número de años desde 1991. a. Escribe un modelo que exprese el porcentaje

p (en forma decimal) del promedio de la ganancia total por admisión que provino de concesiones como una función de x. b. ¿Qué porcentaje aproximado del promedio de

la ganancia total provino de concesiones en 2001? 2. RESPUESTA CORTA El diagrama del camión

muestra la distancia entre el primer eje y el último eje para cada uno de los dos grupos de ejes consecutivos.

3.

RESPUESTA DESARROLLADA Las autopistas

interestatales en Florida son parte del Sistema de Autopistas Intraestatales de Florida (SAIF). Durante el período de 1995 a 2006, el número I de millas vehiculares, o millas que viajaron los vehículos, (en millones) recorridas a diario en las autopistas interestatales en Florida y el número H de millas vehiculares (en millones) recorridas a diario en todas las autopistas del SAIF pueden representarse con 71 1 2.1t I5 } y H5 1 2 0.0061t

112 1 2 0.031t

},

donde t es el número de años desde 1995. a. Escribe un modelo que exprese el porcentaje

p (en forma decimal) de las millas vehiculares del SAIF recorridas en las autopistas interestatales de Florida durante el período de 1995 a 2006. b. Aproxima el porcentaje de millas vehiculares del SAIF recorridas en las autopistas interestatales en Florida en 1995.

El peso máximo P (a las 500 libras más cercanas) que un camión puede llevar en una autopista sobre un grupo de ejes consecutivos está dado por la fórmula

1n21

d P 5 500 } 1 12n 1 36

2

donde d es la distancia (en pies) entre el primer eje y el último eje del grupo y n es el número de ejes del grupo. a. Vuelve a escribir la expresión del lado derecho

de la ecuación como una sola expresión racional. Luego halla el peso máximo que el camión de la figura puede llevar sobre los ejes 1 a 3. b. ¿Puede el camión llevar 65,500 libras sobre los

ejes 2 a 5? Explica tu respuesta.

428

Álgebra 1 Recursos para el estudiante: Capítulo 12

la parte (a) en una calculadora gráfica. Describe cómo cambió el porcentaje de millas vehiculares del SAIF recorridas en las autopistas interestatales en Florida durante el período de 1995 a 2006. ¿Puedes usar la gráfica para describir cómo el número de millas vehiculares recorridas en las autopistas interestatales de Florida cambió durante el período? Explica. 4. RESPUESTA GRÁFICA Tardas 7 minutos en llenar

tu lavadora si utilizas sólo la válvula de agua fría. Tardas 4 minutos en llenarla si usas la válvula de agua fría y la de agua caliente. ¿Cuántos minutos tardarás en llenar tu lavadora si usas sólo la válvula de agua caliente?

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c. Representa gráficamente la ecuación de

12

RESUMEN DEL CAPÍTULO

FLORIDA

Algebra Go to thinkcentral.com Electronic Function Library

IDEAS CLAVE Para tu cuaderno Idea clave 1

Representar gráficamente funciones racionales a a Las gráficas de y 5 } (a Þ 0) e y 5 } 1 k (a Þ 0) son hipérbolas que tienen dos x

x2h

ramas simétricas. A continuación se dan las características de las funciones y sus gráficas. Para representar gráficamente una función racional cuyo numerador y denominador sean polinomios de primer grado, puedes usar primero la división larga a para volver a escribir la función de manera que tenga la forma y 5 } 1 k. x2h

Asíntota vertical

Asíntota horizontal

Dominio

Rango

y5}

a x

x50

y50

Todos son números reales excepto x 5 0

Todos son números reales excepto y 5 0

a x2h

x5h

y5k

Todos son números reales excepto x 5 h

Todos son números reales excepto y 5 k

Función

y5}1k

Idea clave 2

Realizar operaciones con expresiones racionales Realizar operaciones con expresiones racionales es como realizar operaciones con fracciones numéricas. Deberán dividirse todos los factores comunes en el numerador y el denominador y deberá usarse la expresión original al buscar los valores excluidos.

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Operación a b

c d

ac bd

Multiplicación

} p } 5 } cuando b

División

} 4 } 5 } p } cuando b

Suma

Resta

Idea clave 3

Regla

a b

c d

a b

d c

Þ0ydÞ0 Þ 0, c Þ 0 y d Þ 0 a c

b c

a1b c

Mismo denominador: } 1 } 5 } cuando c Þ 0 Distintos denominadores: usa el m.c.d. de expresiones racionales. a c

b c

a2b c

Mismo denominador: } 2 } 5 } cuando c Þ 0 Distintos denominadores: usa el m.c.d. de expresiones racionales.

Resolver ecuaciones racionales Puedes seguir los siguientes pasos para resolver una ecuación racional. 1. Vuelve a escribir la ecuación racional; usa la propiedad de productos

cruzados o multiplica cada lado por el mínimo común denominador (m.c.d.) de las expresiones racionales en la ecuación. 2. Resuelve la nueva ecuación. 3. Busca soluciones extrañas.

Álgebra 1 Recursos para el estudiante: Capítulo 12

429

12

FLORIDA

REPASO DEL CAPÍTULO Go to thinkcentral.com Vocabulary Practice

REPASAR EL VOCABULARIO CLAVE • variación inversa, pág. 791

• función racional, pág. 801

• constante de variación, pág. 791

• división sintética, pág. 820

• hipérbola, ramas de una hipérbola, asíntotas de una hipérbola, pág. 793

• expresión racional, pág. 820

• expresión racional en su mínima expresión pág. 823 • fracción compleja, pág. 838 • mínimo común denominador (m.c.d.) de expresiones racionales, pág. 841

• valor excluido, pág. 822

• ecuación racional, pág. 848

EJERCICIOS DE VOCABULARIO 1. Copia y completa: Un(a) ? de una hipérbola es una recta a la que la hipérbola se

acerca pero no interseca. 2. ESCRIBIR Explica cómo puedes usar un m.c.d. para resolver una ecuación racional. 3. Identifica la asíntota vertical y la asíntota horizontal de la gráfica de 25

y5 } 2 4. x12

REPASAR LOS EJEMPLOS Y LOS EJERCICIOS Usa los siguientes ejemplos y ejercicios de repaso para comprobar si comprendiste los conceptos tratados en cada lección del capítulo 12.

Representar una variación inversa

págs. 791 a 798

MA.912.A.2.4

EJEMPLO

Las variables x e y varían inversamente, e y 5 14 cuando x 5 4. Escribe la ecuación de variación inversa que relacione x e y. Luego halla el valor de y cuando x 5 7. a y5} x

Escribe la ecuación de variación inversa.

a 14 5 }

Sustituye x por 4 e y por 14.

56 5 a

Simplifica.

4

56 56 c La ecuación de variación inversa es y 5 } . Cuando x 5 7, y 5 } 5 8. x

7

EJERCICIOS EJEMPLOS 4y5 págs. 793 y 794 del texto para los ejercicios 4 a 6

430

Dado que y varía inversamente con x, usa los valores indicados para escribir una ecuación de variación inversa que relacione x e y. Luego halla y cuando x 5 5. Halla el dominio y el rango de la función de variación inversa. 4. x 5 9, y 5 2 5. x 5 3, y 5 21 6. x 5 26, y 5 6

Álgebra 1 Recursos para el estudiante: Capítulo 12

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12.1

Go to thinkcentral.com Chapter Review Practice

12.2

Representar gráficamente funciones racionales

págs. 801 a 808

MA.912.A.2.3

EJEMPLO 21 Representa gráficamente y 5 } 2 3.

1

x22

PASO 1

y 1

Identifica las asíntotas de la gráfica. La asíntota

x

y 5 x2212 – 3

vertical es x 5 2 y la asíntota horizontal es y 5 23.

PASO 2

Marca varios puntos en cada lado de la

asíntota vertical.

PASO 3 Representa gráficamente dos ramas que pasen por los puntos marcados y que se acerquen a las asíntotas.

EJEMPLOS 2, 3 y 4 págs. 802 y 803 del texto para los ejercicios 7 a 9

12.3

EJERCICIOS

n1pe-12cr-01-t

Representa gráficamente la función. 1 x26

4 7. y 5 } 11

8. y 5 }

x

2 9. y 5 } 11 x11

Dividir polinomios

págs. 810 a 817

MA.912.A.4.4

EJEMPLO Divide x 2 1 7x 2 2 por x 2 2. x19 }}

x 2 2q x2 1 7x 2 2

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x 2 2 2x

Multiplica x y x 2 2.

9x 2 2

Resta x2 2 2x. Baja 22.

9x 2 18

Multiplica 9 y x 2 2.

16

Resta 9x 2 18.

16 c (x2 1 7x 2 2) 4 (x 2 2) 5 x 1 9 1 }

x22

EJERCICIOS EJEMPLOS 2, 3, 4, 5 y 7 págs. 811 a 813 del texto para los ejercicios 10 a 13

Divide. 10. (x 2 1 12x 1 35) 4 (x 1 7)

11. (y 2 2 5y 2 8) 4 (y 2 3)

12. (4z 1 z2 2 1) 4 (5 1 z)

13. (3a2 2 2) 4 (3 1 3a)

12.3

ENFOQUE EN LAS OPERACIONES Divide usando división sintética.

14. (x 2 1 2x 2 25) 4 (x 1 6)

15. (3x 2 2 x 2 12) 4 (x 2 2)

16. (x 3 1 2x 2 2 5x 1 2) 4 (x 2 1)

17. (2x 3 2 14x 1 1) 4 (x 1 3)

Álgebra 1 Recursos para el estudiante: Capítulo 12

431

12.4

Simplificar expresiones racionales

págs. 822 a 828

MA.912.A.5.1

EJEMPLO x2 2 3x 2 18 Simplifica }} . Enuncia los valores excluidos. 2 x 1 11x 1 24

2

x 2 3x 2 18 x 1 11x 1 24

(x 1 3)(x 2 6) (x 1 3)(x 1 8)

Factoriza el numerador y el denominador.

5 }}

(x 1 3)(x 2 6) (x 1 3)(x 1 8)

Divide el factor común.

26 5 x}

Simplifica.

5 }} }} 2

x18

c Los valores excluidos son 28 y 23. EJERCICIOS EJEMPLOS 1, 2, 3 y 4

Halla los valores excluidos de la expresión, si hubiera alguno.

págs. 823 a 824 del texto para los ejercicios 18 a 20

Simplifica la expresión si es posible. Enuncia los valores excluidos. 3 2 15m2 18. 5m } 2

20m

12.5

4 2 r2 r 2r22

3n2 2 n 2 2 19. }} 2

20. } 2

2n 2 3n 1 1

Multiplicar y dividir expresiones racionales

págs. 830 a 837

MA.912.A.5.2

EJEMPLO 2

1 3x 2 2 Halla el cociente 5x }} 4 (5x 2 2). 4x

Vuelve a escribir el polinomio como fracción.

2

1 3x 2 2 1 5 5x }} p } 4x

5x 2 2

2

Multiplica los numeradores y los denominadores.

1 3x 2 2 5 5x }} 4x(5x 2 2)

5 }}

Factoriza y divide el factor común.

11 5 x}

Simplifica.

(5x 2 2)(x 1 1) 4x(5x 2 2) 4x

EJEMPLOS 3y4 págs. 831 y 832 del texto para los ejercicios 21 a 23

EJERCICIOS Halla el producto o el cociente. 3

2x 21. }} p (2 2 x) 2 x 1 5x 2 14

12.5 24.

432

Multiplica por el inverso multiplicativo.

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5x2 1 3x 2 2 5x2 1 3x 2 2 5x 2 2 }} 4 (5x 2 2) 5 }} 4 } 4x 4x 1

8 8v 22. 6v }5 4 }5

2v

14v

w2 2 9 2w 1 1

w13 4w 2 1

23. } 4 } 2

ENFOQUE EN LAS OPERACIONES Simplifica la fracción compleja. 4x 3 } 8 }

2x

25.

x13 } x14 }}

x 2 1 7x 1 12

26.

x 2 2 25 } 6x } x15 } 3

Álgebra 1 Recursos para el estudiante: Capítulo 12

LAHA111FLSSRB_c12_398-438.indd 432

1/16/10 11:12:31 AM

Go to thinkcentral.com Chapter Review Practice

12.6

Sumar y restar expresiones racionales

págs. 840 a 847

MA.912.A.5.2

EJEMPLO x 5 Halla la diferencia } 2} . x24

x x24

x13

x(x 1 3) (x 2 4)(x 1 3)

5 x13

Vuelve a escribir las fracciones con el m.c.d., (x 2 4)(x 1 3).

5(x 2 4) (x 1 3)(x 2 4)

} 2 } 5 }} 2 }}

x(x 1 3) 2 5(x 2 4) (x 2 4)(x 1 3)

5 }}

Resta las fracciones.

x2 2 2x 1 20 5 }}

Simplifica el numerador.

(x 2 4)(x 1 3)

EJERCICIOS EJEMPLOS 1, 3, 5 y 6 págs. 840 a 843 del texto para los ejercicios 27 a 30

Halla la suma o la diferencia. 2 20 1 13 27. x} 2 9x }

6 c11

1 5 28. } 1} 3

5x 2 3

5x 2 3

6a

c c 2 2c 2 8

29. } 2 } 2

9a

30. MONTAR EN BICICLETA Vas en bicicleta hasta una playa que queda a 15 millas.

Tu velocidad promedio de camino a tu casa es de 5 millas por hora menos que tu velocidad promedio de camino a la playa. Escribe una ecuación que exprese el tiempo total recorrido t (en horas) como una función de tu velocidad promedio r (en millas por hora) de camino a la playa. Luego halla el tiempo total recorrido si fuiste a la playa en bicicleta a una velocidad promedio de 15 millas por hora.

12.7

Resolver ecuaciones racionales

págs. 848 a 854

MA.912.A.5.5

EJEMPLO Copyright © Holt McDougal. All rights reserved.

2x 10 2 Resuelve } 1} 5} . x21

3

x21

2x x21

2 3

10 x21

Escribe la ecuación original.

10 x21

Multiplica cada expresión por el m.c.d., 3(x 2 1).

} 1} 5}

2x x21

2 3

} p 3(x 2 1) 1 } p 3(x 2 1) 5 } p 3(x 2 1)

10 p 3(x 2 1) 2x p 3(x 2 1) 2 p 3(x 2 1) }} 1 } 5 }} (x 2 1) 3 (x 2 1)

6x 1 2x 2 2 5 30 8x 2 2 5 30 x54 EJEMPLOS 1, 2 y 3 págs. 848 a 849 del texto para los ejercicios 31 a 33

Divide los factores comunes. Simplifica. Combina los términos iguales. Halla x.

EJERCICIOS Resuelve la ecuación. Comprueba tu solución. x 3

18 31. } 5} x23

20 y 1 3y 2 18

4 32. } 225 } 2 y16

5 6

2 1 33. } 2}5} z13

z13

Álgebra 1 Recursos para el estudiante: Capítulo 12

433

12

FLORIDA

EXAMEN DEL CAPÍTULO

Dado que y varía inversamente con x, usa los valores indicados para escribir una ecuación de variación inversa que relacione x e y. Luego halla y cuando x 5 3. 1. x 5 2, y 5 5

9 2

2. x 5 9, y 5 9

3. x 5 } , y 5 4

Representa gráficamente la función. 26

4. y 5 } x

3x 2 1 x14

2 5. y 5 } 12

6. y 5 }

8. (8w 2 2w 2 2 6) 4 (w 2 1)

9. (6x 2 1 x) 4 (2x 1 1)

x25

Divide. 7. (v 2 2 16v 1 49) 4 (v 2 8)

10. Divide usando división sintética: (x 3 1 7x 2 1 5x 1 35) 4 (x 1 7).

Simplifica la expresión cuando sea posible. Enuncia los valores excluidos. 2y 2 8 42y

4 11. 42x } 2

z2 2 4z 2 77 z 2 13z 1 22

12. }

3x

13. }} 2

Halla la suma, la diferencia, el producto o el cociente. r15 r2 2 9r 1 18 14. }} p} 2 2 r 1 11r 1 30

r 2 36

3m m23

4 17. } 2} m12

2 22 1 3s 2 10 15. s} 4 s} 2

s13

s 29

8n 17 18. 2n } 2} n21

20. Simplifica la fracción compleja

n15

x2 2 9x x13

16. } 4 (x 2 2 6x 2 27) p11

p21

19. } 1 }} 2 2 p 2 49

p 1 10p 1 21

26x5 } 9 }.

3x 2

4 7 21. } 5} u11

u14

11t 1 121 1 11 22. t} 5 } 2 t 2 11

t 2 6t 2 55

8 x14

5x x 2 2x 2 24

23. } 5 }} 21 2

24. GOLF El club de golf de tu pueblo ofrece dos opciones de pago para cualquier

persona que desee usar su cancha. Con la primera opción, pagas una suma de $750 una sola vez para hacerte socio durante la temporada más $25 cada vez que usas la cancha de golf. Con la segunda opción, pagas $45 cada vez que usas la cancha de golf. a. Usa la primera opción y escribe una ecuación que exprese tu costo promedio

C (en dólares) por uso de la cancha de golf como una función del número g de veces que usas la cancha. Luego representa la ecuación gráficamente. b. Usa la gráfica para calcular aproximadamente el número de veces que necesitas

usar la cancha de golf antes de que el costo promedio sea menor de $45. 25. LIMPIEZA Durante el verano comienzas un negocio de limpieza doméstica con tu

hermano. Tu hermano necesita dos veces el tiempo que tú necesitas para limpiar una determinada sala. Trabajando juntos, los dos necesitan 60 minutos para limpiar la sala. Escribe una ecuación que puedas usar para hallar el tiempo t (en minutos) que necesitas para limpiar la sala sola. Luego resuelve la ecuación.

434

Álgebra 1 Recursos para el estudiante: Capítulo 12

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Resuelve la ecuación. Comprueba tu solución.

12

FLORIDA

APOYO PARA EL EXAMEN Estrategias para PREGUNTAS DE RESPUESTA CORTA Puedes necesitar extraer información de un texto, una tabla, un diagrama o una gráfica para resolver preguntas de elección múltiple.

PROBLEM A 1 Gary compite en el triatlón que se describe en el folleto. Su velocidad promedio al andar en bicicleta es 8 veces su velocidad promedio al nadar. Su velocidad promedio al correr es 4 veces su velocidad promedio al nadar. Tarda 0.75 minutos en cambiar de nadar a andar en bicicleta y 0.25 minutos en cambiar de andar en bicicleta a correr. Termina el triatlón en 2 horas y 25 minutos. ¿Cuál es su velocidad promedio al nadar?

29 de julio, 8 a.m. Nadar: 1.5 kilómetros Andar en bicicleta: 40 kilómetros Correr: 10 kilómetros

A 0.0625 kilómetros por minuto

B 0.125 kilómetros por minuto

C 0.25 kilómetros por minuto

D 0.5 kilómetros por minuto

Plan

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INTERPRETAR LA INFORMACIÓN Usa la distancia en cada etapa del triatlón y la

velocidad promedio de Gary en cada etapa para escribir una ecuación racional que describa la situación. Luego resuelve la ecuación para hallar su velocidad promedio al nadar.

PASO 1 Usa la información en el problema para escribir una ecuación que describa la situación.

Solución El tiempo que Gary tarda en completar cada etapa del triatlón es la distancia de la etapa dividida por la velocidad promedio en esa etapa. La suma de los tiempos de cada etapa y los tiempos de cambio es igual a 2 horas y 25 minutos, o 145 minutos. Supongamos que x representa la velocidad promedio de Gary al nadar (en kilómetros por minuto). 1.5 x

40 8x

10 4x

} 1 } 1 } 1 0.75 1 0.25 5 145

PASO 2 Resuelve la ecuación para hallar la velocidad promedio de Gary al nadar.

1.5 x

40 8x

10 4x

} p 8x 1 } p 8x 1 } p 8x 1 0.75 p 8x 1 0.25 p 8x 5 145 p 8x

1.5 p 8x x

40 p 8x 8x

10 p 8x 4x

} 1 } 1 } 1 0.75 p 8x 1 0.25 p 8x 5 145 p 8x

12 1 40 1 20 1 6x 1 2x 5 1160x 72 1 8x 5 1160x 0.0625 5 x La velocidad promedio de Gary al nadar es de 0.0625 kilómetros por minuto. La respuesta correcta es la A. A B C D

Álgebra 1 Recursos para el estudiante: Capítulo 12

435

PROBLEM A 2 y

¿Qué función muestra la gráfica? 2 A y5} 14

2 B y5} 14

1 C y5} 14

1 D y5} 23

x23 x13

x13

(25, 3)

x14

1 1

x

Plan INTERPRETAR LA GRÁFICA La gráfica es una hipérbola que representa una a 1 k. Usa las asíntotas y el hecho de que función racional de la forma y 5 } x2h

(25, 3) se ubica sobre la gráfica para hallar la función.

PASO 1

Solución La hipérbola tiene una asíntota vertical de x 5 23 y una asíntota horizontal

Halla los valores de h y k.

a a 1 4, ó y 5 } 1 4. de y 5 4. Entonces, la función tiene la forma y 5 }

PASO 2

Para hallar el valor de a, sustituye las coordenadas de (25, 3) en la función.

Halla el valor de a.

x13

x 2 (23)

a 14 35}

Sustituye x por 25 e y por 3.

25a

Halla.

25 1 3

2 La función es y 5 } 1 4. La respuesta correcta es la B. A B C D x13

1. Un club de servicios para la comunidad

está contratando voluntarios para trabajar en un evento de beneficiencia. La tabla muestra el número de horas que necesita trabajar cada voluntario para distintos números de voluntarios que contrate el club. Si el club contrata 50 voluntarios, ¿cuántas horas necesita trabajar cada voluntario?

A 1 hora

B 1.6 hora

Voluntarios

Tiempo de trabajo (horas/ persona)

20

4

25

3.2

32

2.5

C 2 hora

D 2.8 hora

2. ¿Cuál es el área del triángulo rectángulo que se muestra? 2 2 12x 1 35 A x}}

2 1 12x 2 35 B x}} 2

2 1 12x 2 35 C x}} 4

D x2 2 12x 1 35

2

436

Álgebra 1 Recursos para el estudiante: Capítulo 12

x 2 2 2x 2 35 x19 x 2 1 4x 2 45 x15

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PRÁCTICA

12

DOMINAR los ESTÁNDARES

FLORIDA

ELECCIÓN MÚLTIPLE En los ejercicios 1 y 2, usa la siguiente información. La longitud de una cuerda en un instrumento de cuerdas varía inversamente con la frecuencia de vibración. La tabla muestra varias notas y sus frecuencias aproximadas (en hercios). Nota

Frecuencia (Hz)

C

65.4

D

73.4

una asíntota vertical en x 5 1, y tiene una asíntota horizontal en y 5 3. ¿Qué punto está en la hipérbola?

A (27, 2.5)

B (29, 2.6)

C (9, 3.4)

D (11, 3.2)

5. Para una constante a dada, las soluciones de la a

4 x25

son 24 y 2. ecuación } 1 1 5 }} 2 x 2 2x 2 15

E

82.4

Para el mismo valor de a, ¿cuáles son las

F

87.3

5}? soluciones de la ecuación } a

G

98.0

m

longitud de 56 centímetros, ¿cuál es la longitud aproximada de la cuerda que produce la nota G?

A 31 cm

B 35 cm

C 42 cm

D 65 cm

2. ¿Cuál de los siguientes enunciados es verdadero?

A A medida que la longitud de la cuerda disminuye, la frecuencia de vibración disminuye.

B La cuerda que corresponde a la nota sol tiene la longitud mayor.

C A medida que la longitud de la cuerda aumenta, la frecuencia de vibración disminuye.

D La cuerda que corresponde a la nota do tiene la longitud menor.

7 m12

A 27 y 5

B 25 y 7

C 25 y 5

D 5y7

En los ejercicios 6 y 7, usa la siguiente información. Jan camina por un sendero y piensa descansar durante 2 horas en el camino. La hipérbola que se muestra es la gráfica del tiempo combinado t (en horas) que tarda en caminar y descansar como una función de su velocidad de caminata promedio r (en millas por hora). Tiempo combinado (horas)

1. Si la cuerda que produce la nota D tiene una

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4. Una hipérbola que pasa por el punto (2, 5), tiene

t 12

(2, 12)

8 4 0

r 0 2 4 6 8 Velocidad promedio (millas/hora)

6. ¿Cuál es la longitud del sendero? 3. ¿Qué ecuación expresa la razón r entre el área

superficial del prisma rectangular y su volumen como una función de la altura h?

A 10 millas

B 20 millas

C 30 millas

D 40 millas

7. Mientras camina, Jan quema 340 calorías por

h pulg

10 pulg

4 pulg

A r 5 }2 1 0.7

1 B r5} 1 0.7

1 C r5} 1 28

D r 5 }2 1 0.05

h

20h

hora. Quema un total de 2125 calorías. ¿Cuál es su velocidad promedio al caminar?

A 3 millas/hora

B 3.2 millas/hora

C 3.4 millas/hora

D 3.6 millas/hora

20h h

Álgebra 1 Recursos para el estudiante: Capítulo 12

437

Respuesta GRÁFICA

Respuesta corta

8. Las variables x e y varían inversamente, e y 5 15

13. Juntas, dos barredoras de una ciudad pueden

cuando x 5 2. ¿Cuál es el valor de y cuando x 5 5? 9. Para recaudar dinero para el club de la escuela,

tu amigo y tú lavan autos. Los dos pueden lavar un determinado carro en 10 minutos cuando trabajan juntos. Tu amigo puede lavar el carro solo en dos veces el tiempo en que tú puedes lavar el carro solo. ¿Cuántos minutos tardas en lavar el carro solo? 10. ¿Cuál es el residuo si divides 2x 2 2 5x 1 10

por 2x 1 1? 11. ¿Cuál es el valor excluido de la expresión racional 2 1 19x 2 7 ​ 6x        ​? }} 2

x 2 8x 1 16

12. Estás planeando un viaje de ski con varios amigos.

Tu pasaje de avión cuesta $180. El costo de alquilar una cabaña en el centro de ski es de $2000. Todos compartirán el costo del alquiler por igual. ¿Cuánto dinero más (en dólares) gastarías si en lugar de 10 personas van 8 en el viaje?

limpiar las calles en 20 horas. A la barredora más vieja le toma 4 veces lo que le toma a la barredora más nueva limpiar sola las calles. a. Escribe una ecuación que puedas usar para

hallar el tiempo t (en horas) que le toma a la barredora más nueva limpiar sola las calles. Luego resuelve la ecuación. b. Imagina que a la barredora más vieja sólo le

toma el doble de lo que le toma a la barredora más nueva limpiar sola las calles. ¿Les tomará 10 horas a las dos barredoras limpiar juntas las calles? Explica. 14. Tu prima está manejando 500 millas hasta tu

casa. En camino, tarda 45 minutos en almorzar. Escribe y representa gráficamente una ecuación que exprese el tiempo total t (en horas) del viaje de tu prima como una función de su velocidad de manejo promedio r (en millas por hora). ¿Cómo cambiaría la gráfica si tardara 60 minutos en almorzar? Explica tu respuesta.

15. La tabla muestra los impuestos pagados para distintos ingresos. a. Escribe una ecuación lineal que exprese los impuestos pagados i

(en dólares) como una función de los ingresos l (en dólares).

Ingresos (dólares)

Impuestos pagados (dólares)

10,000

420

15,000

720

20,000

1020

25,000

1320

b. Escribe una ecuación racional que exprese el porcentaje p (en forma

decimal) de los ingresos que se paga en impuestos como una función de los ingresos l (en dólares). Usa la ecuación para hallar los ingresos de una persona que paga 4.5% de sus ingresos en impuestos. c. ¿Tiene sentido la función de la parte (b) para ingresos menores de

$3000? Justifica tu respuesta algebraicamente. 16. Una empresa de tarjetas de navidad te ofrece la oportunidad de vender sus

tarjetas, pero primero debes pagarle a la empresa un derecho de $300 una sola vez más $2 por cada tarjeta que vendas. a. Escribe y representa gráficamente una ecuación que exprese el costo promedio

C por tarjeta (incluyendo el derecho) como una función del número de tarjetas v que vendes. b. Quieres vender suficientes tarjetas de manera que el costo promedio por

tarjeta (incluyendo el derecho) baje a $3. Escribe y resuelve una ecuación para hallar el número de tarjetas que necesitas vender. c. ¿Es posible que vendas suficientes tarjetas de manera que el costo promedio

por tarjeta baje a $1.75? Explica tu respuesta.

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Respuesta desarrollada