TEMA 4: Ecuaciones y sistemas de ecuaciones

Tema 4: Ecuaciones y sistemas de ecuaciones

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ESQUEMA DE LA UNIDAD

1.- Ecuaciones de primer grado. 2.- Ecuaciones de segundo grado completas. 3.- Ecuaciones de segundo grado incompletas. 3.1.- Caso b  0 . 3.2.- Caso c  0 . 4.- Ecuaciones bicuadradas. 5.- Ecuaciones racionales. 6.- Ecuaciones de grado mayor que dos. 7.- Ecuaciones irracionales. 8.- Ecuaciones exponenciales. 9.- Sistemas de ecuaciones lineales. 9.1.- Método de sustitución. 9.2.- Método de igualación. 9.3.- Método de reducción. 10.- Sistemas de ecuaciones no lineales.

1.- ECUACIONES DE PRIMER GRADO Para resolver las ecuaciones de primer grado se recomienda seguir los siguientes pasos: 1.

Quitar los paréntesis.

2.

Si hay fracciones ponerle a todas el mismo denominador.

3.

Quitar los denominadores teniendo mucho cuidado con los signos.

4. Pasar todos los términos que contengan la incógnita a la izquierda de la ecuación y todos los términos que no la tengan a la derecha. 5.

Agrupar en ambos lados de la ecuación.

6. Despejar la incógnita pasando el número que tiene delante al otro lado de la ecuación DIVIDIENDO.

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Ejemplos: resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado. a)

3  x  1 2  x  3 7 x 3    2 4 8 2

3  x  1 2  x  3 7 x 3 3x  3 2 x  6 7 x 3 12 x  12 4 x  12 7 x 12            2 4 8 2 2 4 8 2 8 8 8 8

12x  12  4x  12  7 x  12  12x  4x  7 x  12  12  12  x  36

b)

x  2 2  x  1 4  2 x  1 3  x  3    5 3 15 5

x  2 2 x  2 8 x  4 3x  9 3 x  6 10 x  10 8 x  4 9 x  27         5 3 15 5 15 15 15 15

3x  6  10x  10  8x  4  9 x  27  3x  10x  8x  9x  4  27  6  10  14x  35  x 

35 14

2.- ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO COMPLETAS Recordatorio: Son ecuaciones de la forma ax 2  bx  c  0 , donde a, b, c son números distintos de cero. Estas ecuaciones se resuelven aplicando la siguiente fórmula: x 

 b  b2  4  a  c 2a

Observaciones: -

Antes de aplicar la fórmula para resolver la ecuación, hay que asegurarse de que todos los términos de la ecuación están a la izquierda, quedando un cero a la derecha.

-

Al aplicar la fórmula no olvidar quiénes son a, b, c , ya que podemos tener desordenada la ecuación y confundirnos.

Ejemplo: resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado completas. a)

x 2  6x  7  0 6  8 14  7 2 2

x

6

 62  4 1  7 2 1



6  36  28 6  64 6  8    2 2 2

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6 8  2   1 2 2

3

b)

 x 2  3x  10  0

 3  32  4   1 10  3  9  40  3  49  3  7 x     2   1 2 2 2

3 7 4   2 2 2

 3  7  10   5 2 2 3.- ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO INCOMPLETAS Son ecuaciones de la forma ax 2  bx  c  0 donde "b" o "c" vale cero. Aunque se pueden resolver con la misma fórmula que las ecuaciones de segundo grado completas, hay una forma más rápida de resolverlas. 3.1.- Caso b = 0 En este caso el término que le falta a la ecuación es la “x”. Se podría resolver siguiendo los siguientes pasos: 1. Se resuelve la ecuación como si fuera de primer grado; es decir, como si la “x” no estuviera elevada al cuadrado. 2. Cuando esté despejada la “ x 2 ”, el cuadrado se pasa al otro lado en forma de raíz cuadrada, sin olvidar que cuando se saca la raíz cuadrada de un número hay dos soluciones, una positiva y otra negativa. Ejemplo: resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas. a)

3x 2  27  0

3x 2  27  0  3x 2  27  x 2  b)

5x 2  25  0

5x 2  25  0  5x 2  25  x 2  c)

27  x2  9  x   9  x   3 3

25  x2  5  x   5 5

16x 2  64  0

16x 2  64  0  16x 2  64  x 2  d)

64  x2  4  x   4  x   2 16

2 x 2  18  0

2 x 2  18  0  2x 2 18  x 2 

18  x2  9  x   9  x   3 2

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3.2.- Caso c = 0 En este caso el término que le falta a la ecuación es el término independiente. Se podría resolver siguiendo los siguientes pasos: 1.

Se saca factor común.

2. Se plantean dos ecuaciones, una en la que se iguala a cero lo que ha quedado fuera del paréntesis después de haber sacado factor común, y otra igualando a cero lo que ha quedado dentro del paréntesis. 3. Las soluciones de esas dos ecuaciones serán las soluciones de la ecuación de segundo grado que estamos buscando. Ejemplo: resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas.

5x 2  25x  0

a)

5x  25x  0  5x  x  5  0 

5x  0  x  0

2

x 5  0  x  5 7 x 2  2x  0

b)

7 x  2 x  0  x  7 x  2  0 

x0  x 0

2

7x  2  0  7x  2  x 

2 7

6x 2  12x  0

c)

6x  12x  0  6x  x  2  0 

6x  0  x  0

2

x20  x  2 d) 8x 2  24x  0

8x  24x  0  8x  x  3  0 

8x  0  x  0

2

x 3  0  x  3

4.- ECUACIONES BICUADRADAS Son ecuaciones de la forma ax 4  bx 2  c  0 , donde a, b, c son números reales y "a" no puede valer cero. Cuando "b" y "c" tampoco valen cero, a la ecuación bicuadrada se le llama completa, y en el caso de que o "b" o "c" sean cero, se le llama incompleta, al igual que sucede con las ecuaciones de segundo grado.

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Las ecuaciones bicuadradas hay que transformarlas mediante lo que se conoce como un cambio de variable en una ecuación de segundo grado. Los pasos que hay que seguir para resolverlas, de una manera más detallada, son los siguientes: 1. Hacer el cambio de variable x 2  y , quedando así una ecuación de segundo grado. Vamos a verlo:

 

ax 4  bx 2  c  0  a  x 2

2

cambio de variable x2  y



 bx 2  c  0

ay 2  by  c  0

2. Resolver la ecuación de segundo grado, obteniendo así el valor de "y", que no es la incógnita de la ecuación que tenemos que resolver. 3. Deshacer el cambio de variable que se hizo en el paso 1 para obtener el valor de "x", que es el que nos interesa:

x2  y  x   y Ejemplo: resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas. a) x 4  5x 2  4  0

 

x  5x  4  0  x 4

2

2 2

 5x  4  0  y  5 y  4  0  y  2

2

5

 52  4 1 4 2 1



53 8   4  x2  4  x   4  x   2 2 2 

5  25  16 5  9 5  3    2 2 2

53 2   1  x2  1  x   1  x   1 2 2

b) x 4  4 x 2  21  0

 

x 4  4 x 2  21  0  x 2

2

 4 x 2  21  0  y 2  4 y  21  0  y 

4

4  8 12   6  x2  6  x   2 2 

4  16  48 4  64 4  8    2 2 2

 42  4 1  21 2 1

6

48  4    2  x 2  2  x   2 2

 2 No es real

c) 2 x 4  x 2  3  0

 

2x 4  x 2  3  0  2  x 2

2

 x2  3  0  2y2  y  3  0  y 

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

 1  12  4  2   3  22

6

3 1 5 6 3  x2   x   2 4 4 2 

 1  1  24 1  25 1  5    4 4 4

3 2

1 5  4    1  x 2  1  x   4 4

 1 No es real

5.- ECUACIONES RACIONALES Son ecuaciones en las aparecen fracciones algebraicas. Para resolverlas se aconseja seguir los siguientes pasos: 1. Si no lo tienen, ponerle a todas las fracciones el mismo denominador (que será el m.c.m. de todos ellos). 2.

Realizar las operaciones que quedan en los numeradores.

3. Quitar los denominadores teniendo cuidado con los signos. Recordar que si hay un signo "-" delante de una fracción, al quitar el denominador hay que cambiarle el signo a todos los términos del numerador. 4. Resolver la ecuación resultante, así se obtendrán POSIBLES soluciones de la ecuación inicial. 5. Comprobar si las posibles soluciones obtenidas en el paso anterior son realmente soluciones de nuestra ecuación. Observación: la comprobación es necesaria por aparecer la incógnita en los denominadores de las fracciones, ya que sabemos que no se puede dividir entre cero y cabe la posibilidad de que al sustituir las posibles soluciones en los denominadores nos dé ese número, en cuyo caso el número sustituido no podríamos considerar que es solución de la ecuación. Ejemplo: resuelve las siguientes ecuaciones a)

x2  2 x  0 2 x 4 x2

x2  2 x  0  2 x 4 x2 

x



 2 1 x  x  2 0  x  2  x  2    x  2  x  2 x  2  x  2 x  2  x  2 2

x2  2 x 2  2x 0    x 2  2  x 2  2x  0  x  2  x  2 x  2  x  2 x  2  x  2

 2 x  2  x 

2  x  1 Posible solución 2

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Comprobación: para ver si x  1 es solución de nuestra ecuación tenemos que comprobar si anula algún denominador. x2  2 x  0 2 x 4 x2

x 1 12  4

3  0

x 1 1 2

1  0

Como al sustituir la "x" de los denominadores por "1", no se ha anulado ninguno de ellos, podemos afirmar que x  1 SÍ es solución de nuestra ecuación.

b)

x2 3  2 1 x  3 x  6x  9

x2 3  2 1  x  3 x  6x  9

x  2 x  3  3 1 x  32 x  32

1 x  3 x  32

2





x 2  3x  2 x  6 3 x 2  9  6x    x 2  3x  2 x  6  3  x 2  9  6 x  2 2 2 x  3 x  3 x  3



 x 2  3x  2x  x 2  6x  9  6  3   x  0  x  0 Posible solución Comprobación: para ver si x  0 es solución de nuestra ecuación tenemos que comprobar si anula algún denominador.

x2 3  2 1 x  3 x  6x  9

x0 03 30

x0

02  6  0  9 90

Como al sustituir la "x" de los denominadores por "0", no se ha anulado ninguno de ellos, podemos afirmar que x  0 SÍ es solución de nuestra ecuación.

1 1  0 x  x x 1

c)

2

1 1 1 1 1 x 0  x  x  1  0     x   x  1 x   x  1 x   x  1 x  x x 1 2

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

1 x 0    1  x  0   x  1  x  1 Posible solución x  x  1 x  x  1 x  x  1

Comprobación: para ver si x  1 es solución de nuestra ecuación tenemos que comprobar si anula algún denominador.

1 1  0 x  x x 1 2

x 1 12  1

0 Como al sustituir la "x" de los denominadores por "1", se ha anulado uno de ellos, podemos afirmar que x  1 NO es solución de nuestra ecuación, y como no hay otras posibles soluciones, nuestra ecuación no tiene solución.

6.- ECUACIONES DE GRADO MAYOR QUE DOS Son ecuaciones en las que la incógnita aparece elevada a un número mayor que dos. Para resolverlas se aconseja seguir los siguientes pasos: 1.

Descomponer o factorizar la ecuación.

2. Igualar a cero cada uno de los factores de la factorización, quedando así tantas ecuaciones como factores tenga la ecuación, pero serán de grados menores que la inicial. 3.

Resolver las ecuaciones planteadas en el paso anterior.

Ejemplo: resuelve las siguientes ecuaciones de grado mayor que dos a)

4 x 4  4 x 3  13x 2  7 x  6  0 Factorización de la ecuación: 4

x  1

-1

-2 4

4x

-13

-7

0

13

-4 4

x  2

4

2

0

-13

-8

16

-6

3

0

-8

6

6 -6 0



 8x  3

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



Así, la ecuación factorizada queda de esta manera: x  1  x  2  4 x 2  8x  3  0 Igualar a cero cada uno de los factores y resolver:

x  1 x  2 4x 2  8x  3  0

b)



x  1  0  x  1



x  2  0  x  2



4 x  8x  3  0  x  2



8  4 12 3   2 8 8



84 4 1   8 8 2

8

 82  4  4  3 24



8  64  48 8  16 8  4    8 8 8

x 3  2 x 2  5x  6  0 Factorización de la ecuación: 1

x  1

-1 1

x  2

2 1

2

-5

-6

-1

-1

6

1

-6

0

2

6

3

0

 x  3 Así, la ecuación factorizada queda de esta manera: x  1  x  2  x  3  0 Igualar a cero cada uno de los factores y resolver:

x  1  x  2  x  3  0 

x  1  0  x  1



x2 0  x 2



x  3  0  x  3

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7.- ECUACIONES IRRACIONALES Una ecuación irracional es una ecuación en la que la incógnita aparece dentro de una raíz (en nuestro caso siempre serán raíces cuadradas). Para resolver una ecuación irracional se aconseja seguir los siguientes pasos: 1. Asilar la raíz del resto de la ecuación; es decir, dejar la raíz a un lado del signo "=" y el resto de términos de la ecuación al otro lado. Conviene siempre dejar la raíz en el lado donde quede con un signo positivo delante. 2. En el lado en el que no está la raíz, agrupar todo lo que se pueda de manera que queden, como mucho, dos términos. 3. Encerrar todo lo que hay a la izquierda del signo "=" en un solo paréntesis, y todo lo que hay a la derecha del signo "=" en otro. 4. Elevar al cuadrado cada uno de los paréntesis, así se irá la raíz y quedará una ecuación sin raíces. 5. Resolver la ecuación resultante en el paso anterior, obteniendo así POSIBLES soluciones de la ecuación irracional. 6. Comprobar si las posibles soluciones obtenidas en el paso anterior son o no soluciones de la ecuación de partida. Ejemplo: resuelve las siguientes ecuaciones irracionales

x 2  5x  4  1  x  3

a)

x 2  5x  4  1  x  3  

x

2



x 2  5x  4  x  3  1 

 5 x  4   x  4 

x

2



x 2  5x  4  x  4 

 5 x  4  x  4  x 2  5 x  4  x 2  16  8 x  2

2

 x 2  5 x  4  x 2  16  8 x  0  3x  12  0  3x  12  x 

12  x4 3

Comprobación: comprobamos si x  4 es solución de la ecuación irracional.

Posible solución

x 2  5x  4  1  x  3

x4

x4

42  5  4  4  1  4  3 16  20  4  1  1

0 1  1 1  1  x  4 Sí es solución

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b)

x2  5  x  5

x2  5  x  5 

 x  5   x  5   x  5   x  5 2

2

2

 x 2  x 2  10 x  25  5  10 x  20  x 

2

 x 2  5  x 2  25  10 x 

20  x  2 Posible solución 10

Comprobación: comprobamos si x  2 es solución de la ecuación irracional.

x2  5  x  5

x2

x2

22  5  2  5 4  5  3

9  3 3  3  x  2 No es solución

3.- ECUACIONES EXPONENCIALES Son ecuaciones en las que la incógnita aparece en el exponente de una potencia. Las hay de dos tipos:  Ec. Monómicas  son aquellas en las que se pueden expresar los dos términos de la ecuación como una potencia de la misma base. Estas ecuaciones tienen dos términos. Ejemplos: a) 32 x5  27

32 x5  27 Se factorizan las bases (en este caso solo se factoriza el 27): 32 x5  33 Cuando a ambos lados del "=" queden potencias con la misma base, se "tachan" las bases de manera que quedan igualados los exponentes: 2 x  5  3 Por último se resuelve la ecuación que queda planteada en el paso anterior (ecuación en la que ya no hay potencias). En este ejemplo queda una ecuación de primer grado: 2 x  5  3  2 x  3  5  2 x  2  x 

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2  x  1 2

12

b) 5 x

2

4 x



1 125

1 53 Se pasa la potencia 53 al numerador de la fracción (recordar que para pasar una potencia del numerador al denominador o viceversa basta con cambiar de signo al EXPONENTE de 2 la potencia: 5 x 4 x  53 Factorización de las bases (en este caso solo se factoriza el número 125): 5 x

2

4 x



Tachamos las bases y resolvemos la ecuación que queda:

x  4 x  3  x  4 x  3  0  x  2

2

4

 42  4 1 3 2 1



4  16  12  2

42 6  3 2 2 

4 4 42   2 2

42 2  1 2 2

 Ec. Trinómicas  son aquellas en las que es necesario hacer un cambio de variable para resolverlas, transformándose la ecuación inicial en otra ecuación no exponencial. Estas ecuaciones tienen más de dos términos. Ejemplos: a) 3x  3x2  90 Aplicamos en la segunda potencia la propiedad de la suma de potencias de la misma base:

3x  3x  32  90  3x  9  3x  90 Hacemos el siguiente cambio de variable: 3x  y , con el que la ecuación queda de la siguiente manera: y  9 y  90 Resolvemos la ecuación cuya incógnita es la "y": y  9 y  90  10 y  90  y 

90  y 9 10

Por último deshacemos el cambio de variable (quedando una ecuación exponencial del tipo anterior):

3 x  y  3 x  9  3 x  32  x  2

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b) 5 x1  5 x  6 Aplicamos en la primera potencia la propiedad de división de potencias de la misma base:

5x  5x  6 5 Hacemos el siguiente cambio de variable: 5 x  y , con el que la ecuación queda de la y siguiente manera:  y  6 5 Resolvemos la ecuación cuya incógnita es la "y": y y 5 y 30 30  y6     y  5 y  30  6 y  30  y   y5 5 5 5 5 6

Por último deshacemos el cambio de variable (quedando una ecuación exponencial del tipo anterior):

5 x  y  5 x  5  5 x  51  x  1

9.- SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Un sistema de ecuaciones es un conjunto de varias ecuaciones con varias incógnitas. Según el número de soluciones que tengan, los sistemas pueden ser de tres tipos:  Sistema compatible determinado: es aquel que tiene solamente una solución.

Gráficamente este tipo de sistemas viene representado por dos rectas secantes; es decir, por dos rectas que se cortan en un solo punto (que es la solución del sistema).

Analíticamente, cuando se resuelve el sistema, sale un valor para cada una de las incógnitas.  Sistema compatible indeterminado: es aquel que tiene infinitas soluciones.

Gráficamente este tipo de sistemas viene representado por dos rectas coincidentes; es decir, dos rectas que son la misma (las soluciones del sistema son los infinitos puntos de cualquiera de las rectas).

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Analíticamente, cuando se resuelve el sistema, sale una igualdad entre dos números que es cierta (por ejemplo 4  4 ).  Sistema incompatible: es aquel que no tiene solución. Gráficamente este tipo de sistemas viene representado por dos rectas paralelas; es decir, que no se cortan nunca:

Analíticamente, cuando se resuelve el sistema, sale una igualdad entre dos números que no es cierta (por ejemplo 9 = 4).

9.1.- Método de sustitución Para resolver un sistema de ecuaciones por el método de sustitución se aconseja seguir los siguientes pasos: 1. Despejar una incógnita de una de las ecuaciones. Observaciones: - Para evitar errores con los signos, se aconseja despejar una incógnita que tiene delante un número positivo. Si interesa despejar una incógnita que tiene delante un número negativo, antes de hacerlo se le puede cambiar el signo a toda la ecuación para que pase a ser positivo. - Aunque se puede despejar la incógnita que se quiera, lo más fácil es despejar una incógnita que tenga delante un “1”. 2. Sustituir la incógnita despejada en la otra ecuación, quedando así una ecuación de primer grado. 3. Resolver la ecuación resultante en el paso anterior, así se obtiene el valor de una de las incógnitas. 4. Hallar el valor de la otra incógnita. Ejemplo: resuelve los siguientes sistemas por el método de sustitución a)

 3x  y  5 2x  5 y  9

Despejamos la “y” de la primera ecuación:

 3x  y  5  y  3x  5

Tema 4: Ecuaciones y sistemas de ecuaciones

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Sustituimos en la segunda ecuación la “y” despejada y resolvemos la ecuación que queda:

2x  5 y  9  2 x  5  3x  5  9  2x  15x  25  9  2 x  15x  9  25  17 x  34   x

34  x2 17

Calculamos el valor de “y”: Una vez que se tiene el valor de una de las incógnitas, para hallar lo que vale la otra se puede coger cualquiera de las ecuaciones que han aparecido a lo largo del ejercicio en la que aparezca la incógnita que falta por calcular. Aquí vamos a coger la ecuación que salió cuando se despejó la “y” en el primer paso:

y  3x  5  y  3  2  5  y  6  5  y  1 b)

x  3y  7 3x  2 y  12

Despejamos la “y” de la segunda ecuación, pero para no tener problemas con los signos, como tiene delante un número negativo, antes le cambiamos el signo a la ecuación entera:

3x  2 y  12   3x  2 y  12  2 y  3x  12  y 

3x  12 2

Sustituimos en la primera ecuación la “y” despejada y resolvemos la ecuación que queda: 3  3 x  12 9 x  36 2 x 9 x  36 14 7  x 7     2 2 2 2 2  22  2 x  9 x  36  14  2 x  9 x  14  36  11x  22  x   x  2 11 x  3y  7  x 

Calculamos el valor de “y”: Una vez que se tiene el valor de una de las incógnitas, para hallar lo que vale la otra se puede coger cualquiera de las ecuaciones que han aparecido a lo largo del ejercicio en la que aparezca la incógnita que falta por calcular. Aquí vamos a coger la primera ecuación del sistema de partida: x  3 y  7  2  3 y  7  3 y  7  2  3 y  9  y 

9  y 1 3

9.2.- Método de igualación Para resolver un sistema de ecuaciones por el método de igualación se aconseja seguir los siguientes pasos: 1. Despejar una incógnita de una de las ecuaciones. (Recordar la observación que se hizo en el punto anterior).

Tema 4: Ecuaciones y sistemas de ecuaciones

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2. Despejar la misma incógnita de la otra ecuación. 3. Igualar las incógnitas despejadas en los pasos anteriores y resolver la ecuación que queda. 4. Hallar el valor de la otra incógnita. Ejemplo: resuelve los siguientes sistemas por el método de igualación 3x  y  5 2x  5 y  9

a)

Despejamos la “y” de la primera ecuación:

3x  y  5  3x  y  5  y  3x  5 Despejamos la “y” de la segunda ecuación:

2x  5 y  9  5 y  9  2x  y 

9  2x 5

Igualamos y resolvemos: 3x  5 

9  2x 15 x  25 9  2 x    15 x  25  9  2 x  15 x  2 x  9  25  17 x  34  5 5 5

 x

34  x2 17

Calculamos la otra incógnita:

y  3x  5  y  3  2  5  y  6  5  y  1

b)

x  3y  7 3x  2 y  12

Despejamos la “x” de la primera ecuación:

x  3y  7  x  7  3 y Despejamos la “x” de la segunda ecuación:

3x  2 y  12  3x  2 y  12  x 

2 y  12 3

Igualamos y resolvemos: 7  3y 

2 y  12 21  9 y 2 y  12    21  9 y  2 y  12  9 y  2 y  12  21  3 3 3

Tema 4: Ecuaciones y sistemas de ecuaciones

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 9 y  2 y  12  21  11y  33  y 

 33  y 3  11

Calculamos la otra incógnita:

x  7  3 y  x  7  3  3  y  7  9  x  2

9.3.- Método de reducción Para resolver un sistema de ecuaciones por el método de reducción se aconseja seguir los siguientes pasos: 1. Multiplicar la primera ecuación por el coeficiente que tenga en la otra ecuación una de las incógnitas. 2. Multiplicar la segunda ecuación por el coeficiente que tenga en la primera ecuación la misma incógnita que antes. Observación: si antes de multiplicar las ecuaciones observamos que se pueden simplificar los números por los que vamos a multiplicarlas, se simplifican. 3. Comprobar que una de las incógnitas aparece con coeficientes opuestos (mismo número pero de signo contrario) en las ecuaciones. Si es así hay que sumar dichas ecuaciones. Si hay una incógnita que tiene el mismo coeficiente en las dos ecuaciones, con el mismo signo, antes de sumarlas a una de las ecuaciones hay que cambiarle el signo a cada uno de sus términos. 4. Despejar la incógnita. 5. Calcular el valor de la otra incógnita. Ejemplo: resuelve los siguientes sistemas por el método de reducción a)

3x  y  5 2x  5 y  9

Multiplicamos cada ecuación por el coeficiente que tenga la “x” en la otra ecuación: 3x  y  5 2x  5 y  9

→

2  3x  y  5 3  2 x  5 y  9 

→

6 x  2 y  10 6 x  15 y  27

→

 6 x  2 y  10 6 x  15 y  27

17 y  17 Como la “x” ha quedado con el mismo número y signo delante, se le cambia el signo a una de las ecuaciones, por ejemplo a la primera.

17 y  17  y 

17  y 1 17

Calculamos el valor de la otra incógnita: 3x  y  5  3x  1  5  3x  5  1  3x  6  x 

Tema 4: Ecuaciones y sistemas de ecuaciones

6  x2 3

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b)

2x  3y  9 5 x  6 y  45

Multiplicamos cada ecuación por el coeficiente que tenga la “y” en la otra ecuación: 2x  3y  9 5 x  6 y  45

→

6  2 x  3 y  9  3  5 x  6 y  45

→

2  2 x  3 y  9  1  5 x  6 y  45

→

4 x  6 y  18 5 x  6 y  45

Como estos números se pueden simplificar dividiéndolos entre 3, lo hacemos para trabajar con números más pequeños. Como la “y” ha quedado con el mismo número y signo delante en las dos ecuaciones, se le cambia el signo a una de ellas, por ejemplo a la primera.

4 x  6 y  18 5 x  6 y  45

→

 4 x  6 y  18 5 x  6 y  45

x  63 Calculamos el valor de la otra incógnita:

2x  3 y  9  2   63  3 y  9  126  3 y  9  3 y  9  126  3 y  135   y

135  y  45 3

10.- SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES Son sistemas en los que en una de las ecuaciones o las dos alguna de las incógnitas aparecen elevadas a una potencia o multiplicadas entre sí. Los métodos más empleados en la resolución de este tipo de sistemas son el de sustitución y el de reducción. Ejemplo: resuelve los siguientes sistemas no lineales a)

x 2  y 2  25 x y 7

En este caso el método más adecuado es el de sustitución. 

Despejamos la "x" de la segunda ecuación:

x y 7  x 7 y 

La sustituimos en la primera ecuación:

x 2  y 2  25  7  y   y 2  25  49  y 2  14 y  y 2  25  2

Tema 4: Ecuaciones y sistemas de ecuaciones

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 49  y 2  14 y  y 2  25  0  2 y 2  14 y  24  0  y 

14  196  4  2  24  22

14  2 16   4 4 4  y

14  196  192 14  4 14  2    4 4 4

14  2 12  3 4 4

 Calculamos el valor de la otra incógnita. Como han salido dos valores para "y", habrá que calcular dos valores de "x". Para y  4 Solución 1

x 7 y  x 74  x 3 →

Para y  3 Solución 2

x  7  y  x  7 3  x  4

b)

x y 7 x  y  12

En este caso el método más adecuado es el de sustitución. 

Despejamos la "y" de la segunda ecuación:

x  y  12  y  

12 x

La sustituimos en la primera ecuación:

x y 7  x

12 x 2 12 7 x 7     x 2  12  7 x  x 2  7 x  12  0  x x x x

7 1 8  4 2 2  x

7  49  4 1 12 7  49  48 7  1 7  1     2 1 2 2 2

Tema 4: Ecuaciones y sistemas de ecuaciones

7 1 6  3 2 2

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 Calculamos el valor de la otra incógnita. Como han salido dos valores para "x", habrá que calcular dos valores de "y". Para x  4 Solución 1

y

12 12  y  y 3 x 4

Para x  3 Solución 2

y

c)

12 12  y  y4 x 3

2 x 2  5 y 2  52 3 x 2  7 y 2  80

En este caso el método más adecuado es el de reducción. 2 x 2  5 y 2  52 3 x 2  7 y 2  80

 2  3x

  80

3  2 x 2  5 y 2  52 2

 7y2

6 x 2  15 y 2  156

 6 x 2  15 y 2  156

6 x 2  14 y 2  160

6 x 2  14 y 2  160

 6 x 2  15 y 2  156 6 x 2  14 y 2  160

y2  4 y 2  4  y   4  y  2

Calculamos el valor de "x": Para y  2

2x 2  5 y 2  52  2x 2  5  22  52  2x 2  5  4  52  2x 2  20  52   2 x 2  52  20  2 x 2  72  x 2 

72  x 2  36  x   36  x  6 2

Solución 1: x  6, y  2 Solución 2: x  6, y  2

Tema 4: Ecuaciones y sistemas de ecuaciones

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Para y  2 2 x 2  5 y 2  52  2 x 2  5   2  52  2 x 2  5  4  52  2 x 2  20  52  2

 2 x 2  52  20  2 x 2  72  x 2 

72  x 2  36  x   36  x  6 2

Solución 3: x  6, y  2 Solución 4: x  6, y  2

FIN DEL TEMA

Tema 4: Ecuaciones y sistemas de ecuaciones

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