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Exponentialfunktion und Logarithmus(funktion)

Exponentialfunktion und Logarithmus(funktion) 1. Exponentialfunktionen Beispiel:

 x

1 x Die Graphen  x der Funktionen  x (1) f1 : x 7! 2 (2) f2 : x 7! 2 2 3 (3) f3 : x 7! (4) f4 : x 7! sind u¨ber der Definitionsmenge 3 2 D ¼ fxjx 2 R ^ ð3Þ4x 4 3g in einem gemeinsamen Koordinatensystem zu zeichnen!

y

Lo¨sung: x

f1 ðxÞ

f2 ðxÞ

f3 ðxÞ

f4 ðxÞ

3

0,125 8

3,375 0,2_ 9_ 6_

2

0,25

4

2,25

0,4_

1

0,5

2

1,5

0,6_

1

1

1

1

0 1

2

0,5

0,6_

1,5

2

4

0,25

0,4_

2,25

3

8

0,125 0,2_ 9_ 6_ 3,375

Der Ausdruck ax , a > 0 2) stellt fu¨r jedes x 2 R einen eindeutig bestimmten Zahlenwert dar. Er legt somit eine Funktion f: x 7! ax fest.

x

(2)

y= 1

y = 2x

Man beachte den Unterschied zur Potenzfunktion:

x y= 2 3

Bei der Potenzfunktion f: x 7! xn ist die Basis vera¨nderlich.

x y= 3 2

( )

( )

x –3 –2 –1

0

1

2

3

Einige Eigenschaften der Funktion x 7! ax ða 2 Rþ nf1g; x 2 RÞ: 1

Definitionsmenge D ¼ R

2

Wertemenge W ¼ Rþ

3

Die x-Achse ist Asymptote.

4

x 7! ax geht immer durch den Punkt Pð0 j 1Þ.

5

x 7! ax ist streng monoton wachsend fu¨r a > 1.

6

x 7! ax ist streng monoton fallend fu¨r a < 1.

7

x 7! ax und x 7! ax liegen symmetrisch bezu¨glich der y-Achse.

Die Bedeutung der Exponentialfunktion liegt vor allem im Bereich der Naturwissenschaften und der Wirtschaft, wo mit ihrer Hilfe Wachstumsbzw. Abnahmevorga¨nge beschrieben werden ko¨nnen: Zinseszinsen, progressive und degressive Abschreibung, Bevo¨lkerungs- und Pflanzenwachstum, radioaktiver Zerfall von Atomkernen, Erwa¨rmungs- und Abku¨hlungsprozesse usw.

1) 2)

Definition: Exponentialfunktionen sind Funktionen, die durch eine Funktionsgleichung y ¼ ax ða 2 Rþ nf1gÞ 2) dargestellt werden ko¨nnen. Die unabha¨ngige Variable x tritt somit als Exponent einer konstanten positiven Basis auf.

Fu¨r a ¼ 1 ergibt sich die konstante Funktion y ¼ 1. Die Einschra¨nkung a > 0 ist notwendig, weil Potenzen mit rationalen Exponenten nur fu¨r positive Basen erkla¨rt sind.

Bei der Exponentialfunktion f: x 7! ax ist der Exponent vera¨nderlich.

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Exponentialfunktion und Logarithmus(funktion)

Gema¨ß dem in der Außenspalte dargestellten Funktionsgraphen vermehrt sich z. B. die Menschheit oder der Holzbestand eines Waldes. Selbst Bakterien vermehren sich zuna¨chst nach dieser Funktion. Vergleichen wir den Graphen dieser Funktion mit der grafischen Veranschaulichung des vorigen Beispiels, ko¨nnte man vermuten, dass diese „natu¨rliche“ Exponentialfunktion die Basis 2 hat. Tatsa¨chlich aber ist es nicht so einfach, denn die Basis ist die sogenannte EULERsche Zahl e ¼ 2; 718281828459045235360::: Die Zahl e 1) wurde nicht willku¨rlich festgelegt. Vielmehr ist sie genau die Zahl, mit der man zahlreiche Naturgesetze beschreiben kann. Es genu¨gt, wenn wir uns folgenden Na¨herungswert fu¨r e merken: e ¼ 2;718 e ist — a¨hnlich wie p — keine periodische Dezimalzahl. In der ho¨heren Mathematik za¨hlt die Exponentialfunktion x 7! ex zu den Der Graph der Funktion mit der Gleichung y ¼ ebx veranschaulicht fu¨r b > 0 Zunahme, fu¨r b < 0 Abnahme von natu¨rlichen Vorga¨ngen.

wichtigsten Funktionen. Einige historische Bemerkungen u¨ber Leonhard EULER: Leonhard EULER (1707–1783) war der wahrscheinlich produktivste Mathematiker, der je lebte. Das Verzeichnis seiner Werke umfasst rund 900 Titel, seine „Gesammelten Werke“, die seit 1907 herausgegeben werden, umfassen derzeit mehr als 70 Ba¨nde und sind noch lange nicht abgeschlossen. Leonhard EULER stammte aus einer Pastorenfamilie in Basel. Er studierte bei Johann BERNOULLI (1667–1748), war von 1727–1741 an der Petersburger Akademie der Wissenschaften, von 1741–1766 an der von FRIEDRICH dem Großen gegru¨ndeten Berliner Akademie und ab 1766 wieder in Petersburg ta¨tig. Außer mit zahlreichen Gebieten der Mathematik bescha¨ftigte sich EULER unter anderem mit Philosophie, Schiffsbau, Artillerie, Astronomie, Kartografie, Optik und Musiktheorie. Beispielsweise berechnete er fu¨r FRIEDRICH den Großen Lotterien und konstruierte Brunnen mit Wasserspielen fu¨r den Schlosspark von Sanssouci. 1738 verlor EULER nach einer schweren Infektion das Sehvermo¨gen des rechten Auges. 1771 erkrankte er auch am linken Auge schwer. Die letzten Jahre seines Lebens war er beinahe blind. Hier kamen ihm sein unfehlbares Geda¨chtnis und seine enorme Konzentrationsfa¨higkeit zugute: Er diktierte seinen Gehilfen seine Arbeiten, die sich vor allem durch ihre Klarheit und leichte Versta¨ndlichkeit auszeichneten. Seine Lehrbu¨cher pra¨gten den noch heute u¨blichen Stil.

Aufgaben 84 Der Graph der folgenden durch ihre Funktionsgleichung gegebenen Funktion ist u¨ber der Definitionsmenge D ¼ fx 2 Rj  2 4x 4 3g zu zeichnen: b) y ¼ 3x

a) y ¼ 3x

c) y ¼ 3jxj

d) y ¼

1 3jxj

85 Text wie Aufgabe 84 fu¨r D ¼ ½3; 3: b) y ¼ 4x c) y ¼ 4jxj d) y ¼ p1ffiffiffi 4 jxj n Man berechne 1 þ 1 fu¨r a) n ¼ 1 b) n ¼ 10 c) n ¼ 99 d) n ¼ 1000 e) n ¼ 10000 n  n Wir erkennen: Fu¨r wachsendes n na¨hert sich 1 þ 1 einer bestimmten Zahl. Diese Zahl heißt EULERa) y ¼ 4x

86



n

sche Zahl und wird mit dem Buchstaben e bezeichnet. 1)

e ist eine irrationale Zahl, d. h. sie kann nicht durch einen Bruch ganzer Zahlen dargestellt werden. Ferner kann e auch nicht als n-te Wurzel ðn 2 N Þ einer rationalen Zahl dargestellt werden. In diesem Zusammenhang sagen wir: e ist eine transzendent irrationale Zahl.

33

Exponentialfunktion und Logarithmus(funktion)

87 Es sind die Funktionswerte y ¼ ex fu¨r nachstehende Argumente x zu berechnen, das Ergebnis ist auf 3 Dezimalstellen zu runden! a) x ¼ 0;347

b) x ¼ 3;167

c) x ¼ 2;241  103 d) x ¼ 0;01273

88 Man zeichne a) x 7! ex b) x 7! ex fu¨r   2; 2½. 89 Na¨hrstoffreiche Substanzen und feuchte Wa¨rme von 20 C bis 37 C stellen gu¨nstige Lebensbedingungen fu¨r Bakterien dar (z. B. Bakterien des Zahnbelags). Dabei vermehren sich diese durch Zweiteilung etwa nach a)  ¼ 20 min b)  ¼ 0;5 h c)  ¼ 1 h. Man untersuche, wie viele solcher Lebewesen sich aus einer Bakterienzelle bei ungea¨nderten Umweltbedingungen innerhalb eines Tages bilden ko¨nnen. (Gleitkommadarstellung!) Anleitung: Die Vermehrung durch Zweiteilung fu¨hrt auf folgende exponentielle Abha¨ngigkeit der Anzahl t

A: AðtÞ ¼ A0 2  ðA0 . . . . . Anzahl am Beobachtungsbeginn, AðtÞ . . . . . Anzahl nach t Stunden). Man beachte:  ist jeweils die Zeit, nach der eine Verdopplung eintritt.

90 In einem #R ¼ 22 C warmen Zimmer liegt ein Grippekranker mit #K ¼ 38;5 C Ko¨rpertemperatur. Die Pru¨fspitze des verwendeten Fieberthermometers erwa¨rmt sich nach folgendem Gesetz: # ¼ #K  ð#K  #R Þet=

 ¼ 1;5 min, # in  C, t in min

Auf welche Temperatur # ist das Thermometer nach a) 5 min b) 10 min angestiegen? Die Resultate sind grafisch zu u¨berpru¨fen.

91 Bei der embryonalen Entwicklung teilen sich die vorhandenen Zellen zuna¨chst unabha¨ngig voneinander. Die Anzahl z der Zellen wa¨chst dann nach dem Gesetz z ¼ 2t , wobei t die Anzahl der Teilungsperioden ist. Dieses Exponentialgesetz gilt aber nur bis etwa zur achten Teilungsperiode. Danach vera¨ndert sich der Teilungsprozess und man kann dann nicht mehr von einem exponentiellen Wachstum sprechen. Wie groß ist die Anzahl der Zellen nach jeder Teilungsperiode? t ¼ 1; . . . ; 8

92 Der Luftdruck p nimmt mit zunehmender Ho¨he (u¨ber Meeresspiegel) ab, und zwar nach der Formel p ¼ p0 e0;13h (p in bar, h in km, p0 ¼ 1;013 bar auf Meeresspiegelniveau; 1mbar = 1h Pa). Wie groß sind demnach die durchschnittlichen Luftdruckwerte an folgenden geografischen Orten? Ort

h in m

Bodensee (Vorarlberg)

396

Großglockner (Osttirol, Ka¨rnten)

3797

Kufstein (Tirol)

499

Neusiedlersee (Burgenland)

115

Schneeberg (Niedero¨sterreich)

2076

Sonnblick (Salzburg)

3105

Steyr (Obero¨sterreich)

310

Tamsweg (Salzburg)

1021

Turracher Ho¨he (Ka¨rnten, Steiermark)

1783

Wien

171

Kilimandscharo (Tansania)

5895

Mt. Everest (Nepal)

8848

34

Exponentialfunktion und Logarithmus(funktion)

2. Was ist der „Logarithmus“? 3x ¼ 5 — Wie groß ist x? Eine schwierige Frage. Wir nehmen den Taschenrechner zur Hand und versuchen dem x auf die Spur zu kommen, indem wir es jeweils zwischen zwei rationale Zahlen einschließen: log3 5 ¼ x , 3x ¼ 5 % - LINKS MITTE RECHTS

Logarithmus ¼ Exponent

32 ¼ 9 1< x < 2 denn 31 ¼ 3 1;4 1;5 3 ¼ 5;19615 1;4< x < 1;5 denn 3 ¼ 4;65554 31;48 ¼ 5;08323 1;42< x < 1;48 denn 31;42 ¼ 4;75896 Wir haben durch Probieren Intervalle gefunden, in denen x liegen muss. Wir werden spa¨ter einen Weg kennen lernen, wie man die Variable x in Gleichungen dieser Art berechnen kann. Offensichtlich besitzt eine Gleichung der Form ax ¼ bðb > 0Þ genau eine Lo¨sung x 2 R. Diese Zahl x heißt der „Logarithmus von b zur Basis a“. Man schreibt x ¼ loga b. Bezeichnungen: a heißt Basis, b heißt Numerus 1), x nennt man Logarithmus. Den Logarithmus berechnen heißt den Exponenten einer Potenz bestimmen. Beispiel:

Definition: Jene Zahl x 2 R, fu¨r die ax ¼ b ða 2 Rþ nf1g; b 2 Rþ Þ gilt, heißt Logarithmus von b zur Basis a:

Die folgenden Logarithmen sind x ¼ loga b , ax ¼ b zu bestimmen: a) log3 9 ¼ ?

ax ¼ b , x ¼ loga b ¼ loga ax

aloga x ¼ x fu¨r alle x 2 Rþ Das Logarithmieren zur Basis a ist die Umkehrung des Potenzierens zur Basis a. loga ax ¼ x fu¨r alle x 2 R Insbesondere gilt: 10x ¼ b , x ¼ lg b ex ¼ b , x ¼ ln b

c) log7

1 49

¨ quivalenz A

Hilfe

der

¼?

d) log0;5

1 32

¼?

Lo¨sung: a) log3 9 ¼ 2, weil 32 ¼ 9

Anhand der Definition und dem Beispiel erkennen wir: Das Potenzieren zur Basis a ist die Umkehrung des Logarithmierens zur Basis a

b) log4 64 ¼ ?

mit

c) log7

1 49

¼ 2, weil 72 ¼

1 49

b) log4 64 ¼ 3, weil 43 ¼ 64  5 d) log0;5 1 ¼ 5, weil 1 ¼ 32

2

1 32

Das Logarithmieren ist eine Rechenoperation 3. Stufe. Von besonderer Bedeutung sind die Logarithmen zur Basis 10. Sie werden als dekadische Logarithmen, Zehnerlogarithmen oder BRIGGSsche Logarithmen 2) bezeichnet. Wir vereinbaren fu¨r die dekadischen Logarithmen die abku¨rzende Bezeichnung lg u („logarithmus generalis“) statt log10 u zu verwenden. Nicht weniger wichtig sind die Logarithmen zur Basis e. Die Logarithmen zur Basis e ¼ 2;718 . . . heißen natu¨rliche Logarithmen. Statt loge a schreibt man ln a („logarithmus naturalis“). Zur Bestimmung der Logarithmen verwendete man fru¨her Logarithmentafeln 3). Heute besitzt fast jeder Taschenrechner eine „Logarithmustaste“ bzw. eine „Logarithmusfunktion“. Informieren Sie sich durch die Bedienungsanleitung Ihres Taschenrechners, wie man den dekadischen und den natu¨rlichen Logarithmus bestimmt und wie man umgekehrt jeweils den Numerus ermittelt. Anschließend sind die nachstehenden Beispiele mit Hilfe des Taschenrechners nachzuvollziehen: (1) lg 3481 ¼ 3;5417 (2) ln 17 ¼ 2;8332 (3) 3;2534 ¼ lg 1792;25 (4) 1;9867 ¼ ln 7;2914 1) 2) 3)

Mehrzahl: Numeri Der englische Mathematiker Henry BRIGGS (1561–1630) fu¨hrte 1617 die Zehnerlogarithmen ein. Siehe Seite 35.

35

Exponentialfunktion und Logarithmus(funktion)

Im 17. Jahrhundert erforderte die aufstrebende Seefahrt, dass fu¨r Navigationszwecke komplizierte Berechnungen mit großer Genauigkeit in kurzer Zeit durchgefu¨hrt wurden. So kam es zur Erfindung der Logarithmen, u¨ber die der franzo¨sische Mathematiker Marquis Pierre-Simon DE LAPLACE (1749—1827) sagte: „Die Erfindung der Logarithmen ku¨rzt monatelang wa¨hrende Berechnungen bis auf einige Tage ab und verdoppelt dadurch sozusagen das Leben (der Rechner)“. Die dekadischen Logarithmen wurden auf eine bestimmte Anzahl von Dezimalstellen berechnet 1) und in Tabellen, sogenannten Logarithmentafeln festgehalten.

Eine Seite einer dekadischen Logarithmentafel:

Durch eine uns heute umsta¨ndlich und zeitintensiv erscheinende Vorgangsweise wurden zu den Numeri die zugeho¨rigen dekadischen Logarithmen aufgesucht und mit letzteren die entsprechenden — um eine Stufe erniedrigten — Rechenoperationen durchgefu¨hrt. Auf dem gleichen Prinzip (der Vereinfachung des praktischen Rechnens durch Erniedrigung der Rechenstufe) beruht der logarithmische Rechenschieber. Bis vor einigen Jahren gab es zum Rechenschieber und zur Logarithmentafel keine Alternative. Erst durch die — mit der Weltraumtechnik in engem Zusammenhang stehende — Erfindung der integrierten Schaltkreise wurde die billige Massenproduktion von elektronischen Taschenrechnern ermo¨glicht. Mit Hilfe des Taschenrechners wird die Rechenarbeit entscheidend reduziert. Das Rechnen mit Logarithmen hat daher stark an Bedeutung verloren.

Aufgaben 1 243

93 a) log2 64 ¼ ?

b) log3

94 a) log 1 0;5=?

b) log 1 27 ¼ ?

2

3

97 98

3

1 ffi d) log5 pffiffiffiffiffiffi ¼? 125 p ffiffiffiffiffi ffi d) log 1 3 25 ¼ ?

c) log4 8 ¼ ? c) log 1 4

4 9

1 ¼? ffi p 5 ffiffiffiffi 16 64 ¼ ? 49

5

¼? b) log 4 1 ¼ ? c) log 7 5 8 o n p ffiffiffi ffiffiffi p 3 1 1 1 1 1 p ffiffiffiffiffiffi ffi log2 b fu¨r b 2 1; 2; 0;5; ; 2; 4; ; ; p ; p ffiffi ffi ffiffiffiffiffiffiffiffiffi 7 3 16 0;125 128 4 n o1 024 pffiffiffi p 4 ffiffiffiffiffiffiffiffi p 3 ffiffiffi 1 1 1 log5 b fu¨r b 2 5; ; 25; 1; ; 0;04; 5; 125; 5; p ffi 7 ffiffi 5 625 5 o n p p ffiffiffiffiffiffiffiffi ffiffiffiffiffi ffi 1 log10 b fu¨r b 2 10; 1; 100; 1000; 106 ; 0;01; 0;1; 4 10; 3 100; p 4 ffiffiffiffiffiffiffiffiffi

95 a) log 2 96

¼?

d) log 3 10

p1 ffiffiffiffiffiffi 0;3

¼?

aloga x ¼ x; x 2 Rþ

1 000

Bei den Aufgaben 99 bis 106 ist jeweils die Variable x zu berechnen!

99 a) logx 125 ¼ 3

b) logx 216 ¼ 3

1 8

¼ 3

d) logx 64 ¼ 3

1 ¼8 100 a) logx 256

b) logx

101 a) log2 x ¼ 10

b) log3 x ¼ 2

c) log4 x ¼

102 a) log0;2 x ¼ 1

b) log 6 x ¼ 3

c) log1;125 x ¼  1

d) log1;5 x ¼ 2

103 a) x ¼ lg 43;53

b) lg x ¼ 1;5

c) x ¼ lg 0;1

d) lg x ¼ 3

104 a) lg x ¼ 1;2

b) x ¼ lg 25

c) lg x ¼ 0;1

d) lg x ¼ 1;105

105 a) x ¼ ln 54;52

b) ln x ¼ 3;9

c) x ¼ ln 0;2

d) ln x ¼ 5

106 a) ln x ¼ 173;5

b) x ¼ ln 49

c) ln x ¼ 1;4

d) ln x ¼ 5;123

1)

3 4

c) logx

¼ 1

7

c) logx 256 ¼ 2

d) logx 128 ¼ 7

1 2

d) log5 x ¼ 3 3

Allgemein gu¨ltige Verfahren zum Berechnen von Logarithmen erfordern tiefe mathematische Kenntnisse, auf die hier nicht eingegangen werden kann.

36

Exponentialfunktion und Logarithmus(funktion)

3. Rechengesetze fu¨r Logarithmen

Es gilt: ¼a loga a ¼ 1; weil loga 1 ¼ 0; weil a0 ¼ 1 loga an ¼ n; weil an ¼ an a1

Fu¨r das Rechnen mit Logarithmen gelten na¨mlich folgende Rechengesetze:

1 Der Logarithmus eines Produkts ist gleich der Summe der Logarithmen der Faktoren.

1

loga ðu  vÞ ¼ loga u þ loga v

ðu > 0; v > 0; a > 0; a 6¼ 1Þ

z. B.: log7 ð5  6  7Þ ¼ log7 5 þ log7 6 þ log7 7 ¼ log7 5 þ log7 6 þ 1

2 Der Logarithmus eines Quotienten ist gleich der Differenz aus dem Logarithmus des Dividenden und dem des Divisors.

2

loga

u v

¼ loga u  loga v

z. B.: lg 0;01 ¼ lg

3 Der Logarithmus einer Potenz ist gleich dem Produkt aus ihrem Exponenten und dem Logarithmus der Potenzbasis.

3

1 100

¼ lg 1  lg 100 ¼ 0  2 ¼ 2

loga ur ¼ r  loga u ðu > 0; a > 0; a 6¼ 1; r 2 RÞ  3   z. B.: log3 3 ¼ 3 log3 3 ¼ 3ðlog3 3  log3 5Þ ¼ 3ð1  log3 5Þ 5

4 Der Logarithmus einer Wurzel ist gleich dem Quotienten aus dem Logarithmus des Radikanden und dem Wurzelexponenten.

4

ðu > 0; v > 0; a > 0; a 6¼ 1Þ

5

pffiffiffi loga n u ¼ 1 loga u n rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi   z. B.: loga

7

6 7

3

ðu > 0; a > 0; a 6¼ 1; n 2 N Þ

¼ loga

 3 6 7

7

¼

3 7

loga

6 7

¼

3 7

ðloga 6  loga 7Þ

Durch Anwendung dieser Rechengesetze tritt — — — —

an Stelle der Multiplikation an Stelle der Division an Stelle des Potenzierens an Stelle des Wurzelziehens

die Addition, die Subtraktion, die Multiplikation und die Division.

Somit werden die Rechenoperationen der 3. Stufe auf Rechenoperationen der 2. Stufe, die der 2. Stufe auf die der 1. Stufe zuru¨ckgefu¨hrt. Beispiel: Die folgenden Terme 1) sind mit Hilfe der Rechengesetze fu¨r Logarithmen (so weit wie mo¨glich) additiv zu zerlegen: qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 4 2 2 3 3 b) log a  b c) log 6x 2 x  2 a) log apbffiffiffi c

x 9

10x

Lo¨sung: 2 4

a) log apbffiffiffi ¼ 2 log a þ 4 log b  c

 b2 10x

2

b) log a

¼ log

1 log c 2 ða þ bÞða  bÞ ¼ logða þ bÞ þ logða  bÞ  log 2  log 5  log x 2  5x

Man beachte: logða þ bÞ 6¼ log a þ log b (ha¨ufiger Fehler)! 1  qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1  h i pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 3 6x3 ðx  2Þ 2 3 c) log 6x 2 x  2 ¼ log ¼ 1 log 6x3 þ 1 logðx  2Þ  logðx þ 3Þ  logðx  3Þ ¼ x 9

¼

1 3

¼

1 3

h

ðx þ 3Þðx  3Þ

log 2 þ log 3 þ 3 log x þ

log 2 þ

1 3

log 3 þ log x þ

1 6

1 2

3

2

i logðx  2Þ  logðx þ 3Þ  logðx  3Þ ¼

logðx  2Þ 

1)

1 3

logðx þ 3Þ 

1 3

logðx  3Þ

Da es gleichgu¨ltig ist, welche Basis aus Rþ nf1g dem Logarithmus zu Grunde liegt, schreiben wir bei den Beispielen und Aufgaben statt „loga “ nur „log“. Ferner vereinbaren wir, dass alle auftretenden Variablen so durch reelle Zahlen ersetzt werden, dass die zugeho¨rigen Logarithmen definiert sind.

37

Exponentialfunktion und Logarithmus(funktion)

Beispiel: Die nachstehenden algebraischen Summen sind in den Logarithmus eines einzigen Terms zu verwandeln: a) log u þ loghv  ðlog w þ log xÞ i c) 4 log x  1 3 logðx  yÞ þ 1 logðx þ yÞ 5

b) 3 log a 

1 3

logða  bÞ

4

Lo¨sung: a) log u þ log v  ðlog w þ log xÞ ¼ log b) 3 log a 

1 3

c) 4 log x 

1 5

uv wx 1

3

a logða  bÞ ¼ log a3  logða  bÞ 3 ¼ log p3 ffiffiffiffiffiffiffiffiffi

ab

h

3 logðx  yÞ þ

1 4

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi i pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 5 x4 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi logðx þ yÞ ¼ log x4  log ðx  yÞ3 4 x þ y ¼ log p 5 3 pffiffiffiffiffiffiffiffiffi ðx  yÞ

4x þ y

Nachdem wir die Rechengesetze fu¨r Logarithmen bereits erfolgreich angewendet haben, wollen wir nun u¨berlegen, warum diese Gesetze gelten. 1

Betrachten wir z. B. das Rechengesetz 1 (vgl. Außenspalte) Wir haben den Logarithmus als Exponent einer Potenz definiert. Daher gilt m ¼ loga u , u ¼ am und n ¼ loga v , v ¼ an .

loga ðu  vÞ ¼ loga u þ loga v

Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Basis mit der Summe der Exponenten potenziert:

Wir wenden die Rechenregel fu¨r die Multiplikation von Potenzen (vgl. Außenspalte) an und erhalten u  v ¼ am  an ¼ am þ n , m þ n ¼ loga ðu  vÞ. ¨ berDie Gu¨ltigkeit der anderen Rechengesetze la¨sst sich mit a¨hnlichen U legungen zeigen.

am  an ¼ am þ n

Aufgaben Bei den folgenden Aufgaben sind die gegebenen Terme mit Hilfe der Rechengesetze fu¨r Logarithmen (so weit wie mo¨glich) additiv zu zerlegen: pffiffiffi 4 3 107 a) log (abcd) b) log ab c) log a b2 d) log 5a cd

pffiffiffi

b c

c

p 3 ffiffiffi b

108 a) log 5a12 3 b

b) log 12a5

109 a) logða  bÞ

b) logða4  b4 Þ3

rffiffiffiffiffiffiffiffi 2 pffiffiffi d) log xy

qffiffiffiffiffiffiffiffi c) log

4 a3 b c

c

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

c) log a2 þ b2 2

2

d) log

a b

16a2  25b2 2a

Bei den folgenden Aufgaben sind die gegebenen algebraischen Summen in den Logarithmus eines einzigen Terms zu verwandeln:

110 a) log a  log b þ log c

b) log 3 þ log 4  log 2

111 a) 2 log a  3 log b þ 5 log c

b) 2 log 3 þ 3 log 4  5 log 2

112 a) log 7 þ log a 

1 2

113 a) 2 log a  log b þ 114 a)

1 5

115 a)

1 5

 h

b) log a 

1 2

b) 3 log x  log y þ 3 log a  1 log b 4 2   1 5 3 b) 3 log a þ log y  log 3  1 log x

log x 

3 5

log y

 2 log x þ 6 log b  3 log 2  1 log a 5

1 2

log b þ 2 log c

5

5

log x  logðx þ yÞ þ 3 log y 

4 7

i log xy

11

b)

1 6

logðb  cÞ

4

4

4

½log a þ logða  bÞ  2 log b þ 3 log ab

38

Exponentialfunktion und Logarithmus(funktion)

4. Logarithmusfunktionen Wer kann sich mo¨glichst viele der nebenstehend fotografierten Artikel merken? 5 Minuten stehen zur Verfu¨gung, dann ist das Buch wegzulegen und alle Produkte, die im Geda¨chtnis haften geblieben sind, werden aufgeschrieben. Gleichgu¨ltig wie gut oder schlecht man dabei abschneidet: Umso weniger Waren man nennen kann, desto la¨nger wird der Zeitpunkt des Lernens zuru¨ckliegen. Durch Experimente haben Psychologen festgestellt, dass die Anzahl der erinnerten Objekte etwa logarithmisch mit der Zeit des Lernvorgangs zunimmt. Die Veranschaulichung dieses Zusammenhangs erfolgt durch ¨ ber Graph und Eigenschaften eine sogenannte Logarithmusfunktion. U der Logarithmusfunktion wollen wir in diesem Abschnitt sprechen. Beispiele fu¨r Logarithmusfunktionen: x 7! log2 x, x 7! lg x, x 7! ln x usw. Beispiel: Definition: Logarithmusfunktionen sind Funktionen, die durch eine Funktionsgleichung y ¼ loga x ða 2 Rþ nf1g; x 2 Rþ Þ dargestellt werden ko¨nnen.

Zu der durch ihre Funktionsgleichung y ¼ 3x gegebenen Funktion ist die Umkehrfunktion zu berechnen. Lo¨sung:

Darstellung der Funktion x7!3x und ihrer Umkehrfunktion — vgl. nebenstehendes Beispiel.

y ¼ 3x ) Umkehrung: x ¼ 3y

y

6-

Zur Wiederholung: Definitionsmenge und Wertemenge tauschen bei der Umkehrung einer Funktion ihre Rollen, d.h. die Variablen x und y sind zu tauschen. Die neue Gleichung wird anschließend — wenn immer das mo¨glich ist — nach y gelo¨st. Um in der Gleichung x ¼ 3y die Variable y explizit auszudru¨cken, logarithmieren wir beide Seiten der Gleichung (vgl. Seite 40) und wenden die Definition des Logarithmus an:

y = 3x

5-

y=x

x ¼ 3y , log3 x ¼ log3 3y , log3 x ¼ y log3 3

4-

Wir erkennen: Die logarithmische Funktion x 7! log3 x ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion x 7! 3x !

2-

-

-

2

-

1

-

-

–1-

y = log3 x -

-

1–1

log3 3 ¼ 1 (!)

y ¼ log3 x

3-

3

4

5

6

x

Die logarithmische Funktion x 7! loga x ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion x 7! ax .

Aufgaben

Einige Eigenschaften der Funktion x 7! loga x ða 2 Rþ nf1g; x 2 Rþ Þ: 1

Definitionsmenge D ¼ Rþ

2

Wertemenge W ¼ R

3

Die y-Achse ist Asymptote.

4

x 7! loga x geht immer durch den Punkt Pð1 j 0Þ.

5

x 7! loga x fu¨r a > 1 ist streng monoton wachsend, fu¨r 0 < a < 1 streng monoton fallend.

6

x 7! loga x ist die Umkehrfunktion von x 7! ax .

116 Zu der durch ihre Funktionsgleichung a) y ¼ 2x b) y ¼ 2x c) y ¼ 5x d) y ¼ 5x gegebenen Funktion ist die Umkehrfunktion zu berechnen!

117 Der Graph von a) y ¼ log3 x b) y ¼ log7 x ist durch Spiegelung des Graphen der zugeho¨rigen Exponentialfunktion an der Geraden x 7! x zu konstruieren.

118 Die logarithmische Funktion a) x 7! log2 x b) x 7! ln 3x ist grafisch darzustellen. 119 Die folgenden natu¨rlichen Logarithmusfunktionen sind grafisch darzustellen: a) x 7! ln x

b) x 7! ln 2x

c) x 7!  ln x

d) x 7!  ln 3x

39

Exponentialfunktion und Logarithmus(funktion)

5. Exponentialgleichungen Exponentialgleichungen sind Gleichungen, bei denen die Variable im Exponenten vorkommt. Beispiele fu¨r Exponentialgleichungen: 2x ¼ 25 , exþ1 ¼ 4, 5xþ2 ¼ 5xþ2 usw.   Exponentialgleichungen mit Potenzen gleicher Basis afðxÞ ¼ agðxÞ ko¨nnen einfach gelo¨st werden. Beispiel: Die Gleichung

23x 16

¼

2x 128

Potenzen mit gleicher Basis ko¨nnen nur dann gleich sein, wenn auch ihre Exponenten gleich sind:

ist in R zu lo¨sen!

afðxÞ ¼ agðxÞ , fðxÞ ¼ gðxÞ

Lo¨sung: 23x 24

¼

2x 27

ða 2 Rþ nf1gÞ

, 23x4 ¼ 2x7

z. B.: 3x ¼ 34 , x ¼ 4

3x  4 ¼ x  7 , 2x ¼ 3 , x ¼  3 2

Probe:   9 1 ffiffiffiffi 1 pffiffiffi ¼ ¼ 1pffiffiffi TL  3 ¼ 2 2 ¼ p 2 16 16  16 2 256 2 16 29   3 2 1pffiffiffiffi ¼ 1 pffiffiffi ¼ 1pffiffiffi TR  3 ¼ 2 ¼ 128 2 128  2 2 256 2 128 23 n o Somit gilt: L ¼  3

TL ¼ TR (w)

2

Exponentialgleichungen mit verschiedenen Basen, aber gleichen Expo  fðxÞ fðxÞ ¨ berlegung auf den obigen ko¨nnen durch folgende U ¼b nenten a Fall zuru¨ckgefu¨hrt werden:  fðxÞ  0 fðxÞ afðxÞ ¼ bfðxÞ , afðxÞ ¼ 1 , a ¼ a , fðxÞ ¼ 0 b

b

b

afðxÞ ¼ bfðxÞ , fðxÞ ¼ 0

Beispiel: 22x  7  27 ¼ 32x  4 ist in N zu lo¨sen!

ða; b 2 Rþ ; a 6¼ bÞ z. B.: 7x ¼ 5x , x ¼ 0

Lo¨sung: 22x7  27 ¼ 32x4 22x7  33 ¼ 32x4 22x7 ¼ 32x7 2x  7 ¼ 0 2x ¼ 7 x¼ 7 2

Probe:   2 7 7 TL 7 ¼ 2 2  27 ¼ 20  27 ¼ 27 2   2 7 4 TR 7 ¼ 3 2 ¼ 33 ¼ 27

TL ¼ TR (w)

2

Im Hinblick auf die Grundmenge N gilt: L ¼ fg

40

Exponentialfunktion und Logarithmus(funktion)

Um Exponentialgleichungen zu lo¨sen, die verschiedene Basen und verschiedene Exponenten haben (z. B.: 2xþ3 ¼ 5x ), mu¨ssen beide Seiten der Gleichung logarithmiert werden. Dies zeigen die na¨chsten Beispiele.

Eine Gleichung geht in eine a¨quivalente Gleichung u¨ber, wenn man beide Seiten der Gleichung logarithmiert.

Beispiel: Man lo¨se in 3x ¼ 4 in R!

Logarithmieren ist eine A¨quivalenzumformung, da eine eindeutige Umkehrung der Logarithmusfunktion gegeben ist. (Im Gegensatz dazu gibt es zur quadratischen Funktion keine eindeutige Umkehrung, sodass ¨ quivalenzQuadrieren keine A umformung ist.)

Lo¨sung: 3x ¼ 4 , lg 3x ¼ lg 4 , x  lg 3 ¼ lg 4 $ x ¼ x

0;602 06 0;477 12

lg 4 lg 3

) x  1;2619

Probe: TL ð1;2619Þ ¼ 31;261 9  4 TR ¼ 4

TL ¼ TR (w)

Es gilt: L ¼ f1;2619g

Beispiel: 72x  4x  2 ¼ 11x ist in R zu lo¨sen! Lo¨sung: 72x  4x2 ¼ 11x , 2x  lg 7 þ ðx  2Þ lg 4 ¼ x  lg 11 2x  lg 7 þ x  lg 4  x  lg 11 ¼ 2 lg 4 xð2 lg 7 þ lg 4  lg 11Þ ¼ 2 lg 4 x¼ x

2 lg 4 2 lg 7þlg 4lg 11 1;204 12 1;250 86

x  0;96263 Probe: TL ð0;96263Þ ¼ 71;925 26  41;037 37  10;057 TR ð0;96263Þ ¼ 110;962 63  10;057 Es gilt:

TL ¼ TR (w)

L ¼ f0;96263g

Aufgaben Bei den folgenden Aufgaben ist die Lo¨sungsmenge in R zu ermitteln!

120 a) 3x ¼ 272 121 a)

53x þ 2 5x  1

¼ 53

b) 22x ¼ 256 b)

75x þ 3 72 þ 3x

¼

1 72  5x

1 27

c) 73ðx12Þ ¼ 1

d) 9xþ3 ¼

c) 2x5  43xþ7 ¼ 164

d)

d) 5xþ1 ¼ 3  x2 d) 4 ¼

122 a) 2x ¼ 3

b) 3x ¼ 2

c) 3x1 ¼ 5

1 123 a) 3xþ1 ¼ 27

b) 9xþ1 ¼ 81

c) 21x ¼ 64

32x  1 9

124 a) 0;16  424x ¼ 52x1

b) 5xþ2  72x  0;5x ¼ 5x  72x3

125 a) 23x3  42xþ2  8xþ1 ¼ 16

b) 22xþ3  412x ¼ 82xþ2

25

¼ 273xþ13

16 625

41

Exponentialfunktion und Logarithmus(funktion)

6. Logarithmische Gleichungen Logarithmische Gleichungen sind Gleichungen, bei denen die Variable im Numerus von einem Logarithmus vorkommt. Beispiele fu¨r logarithmische Gleichungen: lgðx þ 100Þ ¼ 0;30103, log3 10  log3 5 ¼ log3 x, lnðx3  4Þ ¼ 3 lnðx  2Þ usw. Durch Anwendung der Rechengesetze fu¨r Logarithmen versuchen wir, die Gleichung auf die Form loga fðxÞ ¼ loga gðxÞ zu bringen. Beispiel: lgðx  2Þ  lg x ¼ lgðx þ 3Þ  lgðx þ 10Þ ist in R zu lo¨sen!

Logarithmen mit gleicher Basis ko¨nnen nur dann gleich sein, wenn auch ihre Numeri gleich sind: loga fðxÞ ¼ loga gðxÞ , fðxÞ ¼ gðxÞ ða > 1; fðxÞ > 0; gðxÞ > 0Þ

Lo¨sung: 2

loga u  loga v ¼ loga

u v

Wir wenden die Rechengesetze 2 und 3 fu¨r Logarithmen an:

2

loga u  loga v ¼ loga

u v

ln 5x5  4 ln 5x ¼ ln 5 5 ln 5x 4 ¼ ln 5

3

r  loga u ¼ loga ur

Wir wenden das Rechengesetz 2 fu¨r Logarithmen an: lg x  2 ¼ lg x

xþ3 x þ 10

,

x2 x

¼

xþ3 x þ 10

ðx  2Þðx þ 10Þ ¼ xðx þ 3Þ x2 þ 8x  20 ¼ x2 þ 3x 5x ¼ 20 x¼4 Probe: TL ð4Þ ¼ lg 2  lg 4 ¼ lg 0;5 TR ð4Þ ¼ lg 7  lg 14 ¼ lg 0;5

TL ¼ TR (w) ) L ¼ f4g

Wir wissen von der Definition des Logarithmus, dass die obige Gleichung nur Sinn hat, wenn (1) x  2 > 0 ) x > 2, (2) x > 0, (3) x þ 3 > 0 ) x > 3 und (4) x þ 10 > 0 ) x > 10. Daher ist die Gleichung nur fu¨r x > 2 definiert.) D ¼ fx j x 2 R ^ x > 2g Beispiel: ln 5x5  4 ln 5x ¼ ln 5 ist in R zu lo¨sen! Lo¨sung: Es ist als Grundmenge gegeben. Es gilt: D ¼ Rþ

ð5xÞ

5x5 54 x4

¼5

x ¼ 54 ¼ 625 Probe: TL ð625Þ ¼ 33;798  32;189 ¼ 1;609 TR ð625Þ ¼ 1;609

TL ¼ TR (w) ) L ¼ f625g

Man u¨berlege, warum die nebenstehende logarithmische Gleichung fu¨r x 2 Rþ definiert ist.

42

Exponentialfunktion und Logarithmus(funktion)

Aufgaben Bei den folgenden Aufgaben ist die Lo¨sungsmenge in R zu ermitteln!

126 a) lgðx þ 3Þ þ lg 2x ¼ lgðx þ 9Þ þ lgð2x  4Þ

b) lnð3x  5Þ þ lnð15  8xÞ ¼ lnð6x  11Þ þ lnð7  4xÞ

127 a) lgðx þ 2Þ  lgð3x  1Þ ¼ lgðx þ 5Þ  lgð3x þ 1Þ

b) lgðx þ 30Þ  lgðx þ 10Þ ¼ lgðx þ 60Þ  lgðx þ 20Þ

128 lgð5x  1Þ  0;60206 ¼ 0;47712  lg 7 þ lgð9x þ 1Þ  lg 3 129 a) lg x5  lg x2 ¼ lg 8

b) lg x3  lg x2 ¼ 2;38561

130 a) 5 lg x  2 lg x2 ¼ 1;20412

b) 3 lg x5  5 lg x2 ¼ 1;50515

131 a) x  lg 10 ¼ lg 100

b) x  lg 3 ¼ 0;95424

c) x  lg 18 ¼ 17512

132 a) lnð5x þ 12Þ þ lnð5x  12Þ ¼ ln 81

b) lgð7x þ 2Þ  lg 60 ¼  lgð7x  2Þ

133 a) lgð2x þ 5Þ þ 2 ¼ 2;9542  lgð2x þ 5Þ

b) lgð3x þ 12Þ þ 0;60206 ¼ 2  lgð3x  12Þ

134 a) xlg x ¼ 1

b) xlg x ¼ 10

c) xlg x ¼ 10000

135 a) lgðx  1Þ þ lgð2  xÞ ¼ lgðx þ 2Þ þ lgðx  5Þ

b) lgðx  3Þ  lgð2x þ 7Þ ¼ lgð3x þ 1Þ  lgðx  5Þ

136 a) lgðx þ 3Þ  lgð3x  5Þ ¼ lgðx  1Þ  lgð2x  6Þ

b) lgðx  1Þ þ lgðx þ 2Þ ¼ lgð2x þ 1Þ þ lgðx  2Þ

137 a) 2 lnðx þ 3Þ  3 lnðx þ 2Þ þ lnðx þ 1Þ ¼ 0

b) lgðx  3Þ ¼ 0;90309 þ lg x  lgðx þ 3Þ

Einige historische Bemerkungen u¨ber Logarithmen:

¨ RGI Jost BU

John NAPIER

Eine Methode, die jahrhundertelang in Verwendung stand, war das Rechnen mit Logarithmen, die zuna¨chst nicht als Exponenten von Potenzen betrachtet wurden. Um einen brauchbaren Algorithmus zu erhalten, musste man Logarithmentafeln mit geringer Schrittweite aufstellen. Der ¨ RGI (1552–1632) entwickelte bereits Ende Schweizer Uhrmacher Jost BU des 16. Jahrhunderts als Hofastronom in Prag sogenannte „ProgressTabulen“. Johannes KEPLER (1571–1630) erkannte die Nu¨tzlichkeit ¨ RGI, diese zu drucken. In den dieses neuen Hilfsmittels und u¨berredete BU Wirren des 30-ja¨hrigen Krieges gingen die meisten Exemplare der 1620 ¨ RGI stellte der schoterschienenen Tabellen verloren. Unabha¨ngig von BU tische Baron John NAPIER (NEPER) (1550–1617) gleichfalls Logarithmentafeln auf, die 1614 mit dem Titel „Mirifici Logarithmorum...“ in Edinburgh vero¨ffentlicht und rasch bekannt wurden. 1616 wurden sie ins Englische u¨bersetzt, 1617 lernte KEPLER sie kennen und war begeistert. ¨ RGI als auch NAPIER nahmen als Basis der Logarithmen Sowohl BU Zahlen, die e (der Basis der natu¨rlichen Logarithmen) bzw. 1=e nahe sind. Als der englische Professor der Geometrie Henry BRIGGS (1560–1630) von den NAPIERschen Logarithmen erfuhr, kontaktierte er NAPIER und schlug ihm vor, als Basis 10 zu nehmen, und gemeinsam mit NAPIER berechnete BRIGGS solche Tabellen, die nach dem Tod NAPIERS vero¨ffentlicht wurden. Die BRIGGSschen Tabellen wurden auf 14 Dezimalstellen genau berechnet. Ende des 17. Jahrunderts erkannte man, dass die Logarithmusfunktion die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist. Wer heute auf Knopfdruck mit dem Taschenrechner bzw. Taschencomputer den Logarithmus einer Zahl berechnet, sollte sich wenigstens ungefa¨hr vorstellen ko¨nnen, was in seiner „Black Box“ vorgeht.