Exponentialfunktion - 1/6

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Exponentialfunktion - typische Beispiele Es geht um Wachstums- oder Abnahmevorgänge Nützlich in vielen Beispielen ist der folgende Ansatz : N( t)=N0⋅a

t

t

steht sehr oft für die Zeit (oder auch für eine Höhe, Schichtdicke, ...).

N

steht für eine Anzahl oder die Menge eines Stoffes oder.... [z.B. für einen bestimmte Geldbetrag] N (t) steht für N zur Zeit t. [z.B. Geldbetrag nach zweieinhalb Jahren: N (2,5) , t in Jahren] N0 steht für N zur Zeit 0, also z.B. für N am Beginn des interessierenden Zeitraums. [durch Einsetzen von t=0 in den Ansatz ergibt sich: N (0) = N0 × a0 = N0 × 1 = N0 ]

a

bestimmt, wie schnell N wächst (wenn a > 1) oder fällt (wenn a < 1, aber positiv). [z.B.: Wachstum 7 % (pro Zeiteinheit) ergibt: a = 1,07; oder Verdoppeln (pro Zeiteinheit) ergibt: a = 2; Abnahme 20 % (pro Zeiteinheit) ergibt: a = 0,80; oder Halbieren (pro Zeiteinheit) ergibt: a = 0,5 ]

Durchgerechnete Beispiele: A)

Für N sind konkrete Zahlen gegeben.

1) "Die TeilnehmerInnenzahl im Internet wächst monatlich um 12 %, derzeit beträgt sie ca. 20 Millionen." a) Wie lange dauert es, bis sie sich verdoppelt hat? b) Wann erreicht sie 100 Millionen? c) Wie hoch wäre sie nach 5 Jahren? Lösung: Aus der Angabe ergibt sich der Ansatz: N (t) = 20 · 1,12 t (Zeit t in Monaten) (TeilnehmerInnenzahl N in Millionen) a) Verdoppeln nach der Zeit t bedeutet: Aus dem Ansatz folgt:

N (t) = 2 · N0 = 2 · 20 = 40 = 20 · 1,12 t __________________ 40 = 20 · 1,12 t / : 20 t 2 = 1,12 / log t log 2 = log 1,12 log 2 = t · log 1,12 / : log 1,12

N (t)

Daraus ergibt sich:

Nach den Rechenregeln für Logarithmen: t =

log (2) 0,30103 ≈ ≈6,12≈6 log (1,12) 0,04922

Nach ca. 6 Monaten verdoppelt sich die TeilnehmerInnenzahl. [Probe: b) N (t) = 100

und

20 · 1,126 ≈ 39,5 --- Das ist ca. das Doppelte von 20.] N (t) = 20 · 1,12 t

ergeben:

100 = 20 · 1,12 t

Die weitere Rechnung läuft wie in a) und ergibt: t =

log (5) 0,69897 ≈ ≈14,2 log (1,12) 0,04922

Nach ca. 14 Monaten erreicht die TeilnehmerInnenzahl 100 Millionen. [Probe:

20 · 1,1214,2 ≈ 99,98 oder 20 · 1,1214 ≈ 97,7 ]

Exponentialfunktion - 2/6 c) Nach 5 Jahren = nach 60 Monaten (!) ergibt sich N (60) = 20 · 1,12 60 ≈ 17 951 Nach 5 Jahren ergibt sich rechnerisch eine TeilnehmerInnenzahl von 17 951 Millionen, das sind ca. 18 Milliarden, also mehr als die Weltbevölkerung. Wenn das gegeben Wachstum tatsächlich stimmt, dann kann es keinesfalls mehrere Jahre unverändert bleiben, es muss sich abschwächen.

Exponentialfunktion - 3/6 2)

Ein Sparer legt zu Jahresbeginn 100 000 € auf ein Sparbuch mit 7 % Zinsen pro Jahr und 6 Jahren Laufzeit. Von den Zinsen werden sofort bei Gutschrift 22 % KESt (Kapitalertragsteuer) abgezogen. a) Wie hoch ist der Nettozinssatz (tatsächlicher Zinsertrag, ohne KESt)? b) Wie viel bekommt der Sparer nach Ablauf der 6 Jahre ausbezahlt? c) Wie viel würde er bekommen, wenn ihm keine KESt abgezogen würde? Lösung:a) Der Nettozinssatz ist 7 · 0,78 = 5,46 % p.a. b) N (6) = 100 000 · 1,0546 6 = 137 570,91 € c) Ohne KESt würde der Sparer erhalten: 100 000 · 1,07 6 = 150 073,04 €

3)

Wie hoch muss der Nettozinssatz einer Sparform sein, damit aus 100 000 € in 30 Jahren 1 Million wird? N(t) = N0 · a t

Lösung: Das ergibt:

1 = 0,1 · a 30 10 = a 30

t = 30 Jahre, N (t) = 1 Million, N0 = 0,1 Million /

: 0,1

30

a = √ 10=1,07978 Der Zinssatz muss 7, 98% betragen. [Probe:

B) 4)

100 000 · 1,0798 30 = 1 000 690 € ]

N ist allgemein gegeben [ N (t) relativ zu N0 , d.h. als Bruchteil oder Vielfaches von N0 ].

Ein Wertpapier weist einen Wertzuwachs von 8 % p.a. netto auf. Wie lange dauert es, bis sich sein Wert verdoppelt? Lösung: Die Angabe liefert folgenden Ansatz: Doppelter Wert nach der Zeit t bedeutet:

N (t) = N0 · 1,08 t N (t) = 2 · N0 ________________ N · 1,08 t = 2 N

Daraus ergibt sich:

0

0

/ : N0 (dadurch fällt N0 weg )

und wie in 1): t =

log (2) 0,30103 ≈ ≈9,0 log (1,08) 0,03342

1,08 t = 2

/ log

Nach 9 Jahren verdoppelt das Wertpapier seinen Wert. 5)

Nach einem AKW-Unfall kann radioaktives Iod unsere Gesundheit gefährden. Es hat eine Halbwertszeit von 8 Tagen, das heißt nach 8 Tagen ist nur mehr die Hälfte der ursprünglichen Menge und damit auch nur mehr die Hälfte der Strahlenbelastung vorhanden. Wie lange dauert es, bis nur mehr ein Zehntel der Strahlenbelastung vorhanden ist? Lösung:

N (t) = N0 · a t

Der allgemeine Ansatz lautet:

(Zeit t in Tagen)

1. Schritt: Ermitteln von a aus der gegebenen Halbwertszeit. Nach 8 Tagen ist N (t): laut Ansatz: und weil nach 8 Tagen noch die Hälfte da ist:

N (8) = N0 · a 8 N (8) = 0,5 · N0 [ = die Hälfte von N0 ]

__________________________________

Daraus ergibt sich:

N0 · a 8 = 0,5 · N0

/ : N0

a 8 = 0,5 a =

√8 0,5≈0,91700

Somit lautet der Ansatz für diese radioaktive Substanz: N (t) = N0 · 0,917 t [Probe:

N(8) = N0 · 0,917 8 ≈ N0 · 0,49998 --- also rund die Hälfte von N0 ]

Exponentialfunktion - 4/6 2 Schritt: Gesucht ist jetzt die Zeit t für N (t) =

1 von N0, d. h. 10

N (t) = 0,1 N0

Aus dem 1. Schritt hat sich ergeben:

0,917 t

N (t) = N

0 ____________________

0,1 N0 = N0 · 0,917 t

Daraus folgt:

0,1 = 0,917t und wie in 1):

t =

/ : N0 / log

log (0,1) −1 ≈ ≈26,57 log (0,917) −0,03763

Nach ca. 27 Tagen, also knapp 4 Wochen, ist die Strahlenbelastung auf ein Zehntel des ursprünglichen Wertes gefallen.

6)

In lebenden Organismen ergibt sich durch den Stoffwechsel ein konstanter Wert des radioaktiven Isotops 14C. Nach dem Tod zerfällt das 14C im Körper mit einer Halbwertszeit von 5730 Jahren. Wie alt ist ein Skelett, dessen 14C - Gehalt auf 30% der ursprünglichen Menge abgesunken ist? Lösung:

Ähnlich wie in 5): Nach 5730 Jahren ist N (t): und weil 5730 Jahre die Halbwertszeit ist: Daraus ergibt sich:

N (5730) = N0 · a 5730 N (5730) = 0,5 · N0 _______________________________ N × a 5730 = 0,5 · N 0

0

/ : N0

a 5730 = 0,5 a = Gesucht ist jetzt die Zeit t für N (t) = 30 % von N0, d. h.

5730

√ 0,5≈0,999879

N (t) = 0,3 N0 N (t) = N0 · 0,999879 t _______________________________ 0,3 N = N · 0,999879 t / : N

Aus dem 1. Schritt hat sich ergeben: Daraus folgt:

0

0

0

...

und wie in 1):

t =

log(0,3) −0,52288 ≈ ≈9950 log (0,999879) −0,00005355

Das Skelett ist ca. 9950 Jahre alt.

7)

In lebenden Organismen ergibt sich durch den Stoffwechsel ein konstanter Wert des radioaktiven Isotops 14C. Nach dem Tod zerfällt das 14C im Körper nach der folgenden Gleichung: N (t) = N0 · 0,999879 t N (t) gibt dabei die noch vorhandene Menge 14C an, t die vergangene Zeit in Jahren. Eine Mumie weist einen 14C - Gehalt von 62 ± 1 % der ursprünglichen Menge auf. Wann ist sie gestorben (nach unserer Zeitrechnung)? Lösung: 1)

Das Todesjahr liegt in dem Zeitraum, der sich aus dem Werten N (t) = 0,61 N0 bzw. 2) N (t) = 0,63 N0 ergibt.

0,61 N0 = N0 · 0,999879 t t1 =

log (0,61) ≈4085 log (0,999879)

0,63 N0 = N0 · 0,999879 t t2 =

log (0,63) ≈3818 log (0,999879)

Das ergibt nach unserer Zeitrechnung: 1994 - 4085 = -2091 1994 - 3818 = -1824 Somit liegt das Todesjahr mit ziemlicher Sicherheit zwischen 2100 und 1800 vor Christus. (Das Runden soll den Zeitraum nicht verkleinern!)

Exponentialfunktion - 5/6 8)

Ein Brillenglas für eine Sonnenbrille lässt 40 % des Lichtes durch. Wie viel Licht geht durch 2 solcher Brillengläser, wenn man sie aufeinander legt? Lösung:

Ansatz

N (t) = N0 · 0,40 t

N (2) = N0 · 0,40 2 = N0 · 0,16, d.h. 16 % des Lichts gehen durch 2 Gläser durch. 9)

Wie lange dauert es, bis bei einer Inflationsrate von 4 % jährlich das Geld nur mehr die Hälfte wert ist? Lösung:

Das Geld ist nur mehr die Hälfte wert, wenn sich die Preise P(t) verdoppelt haben. P (t) = P0 · 1,04 t und P (t) = 2 · P0 ergibt: 2 P0 = P0 · 1,04 t , weiter wie in 4) liefert: t =

log (2) ≈17,67 log (1,04)

In 17 Jahren und 8 Monaten, also rund 18 Jahren wäre das Geld nur mehr die Hälfte wert.

Exponentialfunktion - 6/6 Übungsbeispiele: 10) Eine Partei verliert jährlich ca. 12% ihrer Mitglieder. Wann ist ihr Mitgliederstand auf 10 000 geschrumpft? 2000 hatte sie 41 412 Mitglieder. [Lösung: Im Jahr 2011] 11) Ein Kredit von 100 000,- wurde zu folgenden Bedingungen aufgenommen: 20 Jahre Laufzeit, 8 Prozent Zinsen pro Jahr, Rückzahlung am Ende der Laufzeit samt der aufgelaufenen Zinsen. a) Wie hoch ist der Rückzahlungsbetrag? b) Wie hoch ist der Rückzahlungsbetrag, wenn der Zinssatz verdoppelt wird? [Lösung: a) 466 095,71 b) 1 946 075,95 ] 12) Jemand bietet Ihnen eine Sparform zu folgende Bedingungen an: 30 000,- Einlage zu Jahresbeginn ergeben nach Ablauf von 4 Jahren 37 518,-. Welchem Zinssatz bei jährlicher Verzinsung entspricht das? [Lösung: 5,75 %] 13) Ein Wertpapier hat in 13 Jahren seinen Wert verdoppelt. Welchem Zinssatz bei jährlicher Verzinsung entspricht das? [Lösung: 5,48 %] 14) Wie lange dauert es, bis sich bei einem jährlichen Verbrauchszuwachs von 3,7% der Stromverbrauch verdoppelt? [Lösung: ca. 19 Jahre] 15) Das schmerzstillende Mittel Acetylsalicylsäure (Aspirin, Aspro,...) wird im Körper exponentiell abgebaut, seine wirksame Menge im Körper eines nierengesunden Menschen halbiert sich alle 3 Stunden. Wie lange dauert es, bis von einer 0,5g-Tablette nur mehr 10mg im Körper ist? [Lösung: 17 Stunden; (Zwischenschritt: N(t) = N0 · 0,7937 t ) ] 16) Von radioaktivem Radium sind nach 100 Jahren noch ca. 95,8 % vorhanden, der Rest ist unter Aussendung von Strahlung zerfallen. Wie groß ist die Halbwertszeit von Radium? (Das ist die Zeit, in der die Hälfte der ursprünglich vorhandenen Menge zerfallen ist.) [Lösung: 1615 Jahre; (Zwischenschritt: N(t) = N · 0,999571t ) ] 0

17) Lösen Sie die folgenden Gleichungen auf 4 Dezimalen genau: a) 12 = 23 · 7 x

b) 5,2 = 1,14 · x 7

3658 = x · 1,2 16 [Lösung: a) x = - 0,3343 b) x = 1,2421 c) x = 197,8535 ]

18) Eine Bevölkerungszahl wächst um a) 3 %, b) 1 %, c) 12 % jährlich. Wie lange dauert es, bis sie sich verdoppelt hat? Stimmt die Aussage "Vierfaches prozentuelles Wachstum hat zur Folge, dass sich die Bevölkerungszahl in einem Viertel der Zeit verdoppelt." ? Überprüfen Sie die Aussage anhand der Rechenergebnisse von a) und c) [Lösung: a) 23,45 Jahre = 23 Jahre und 5 Monate, b) 69,66 Jahre = 69 Jahre und 8 Monate, c) 6,116 Jahre = 6 Jahre und 6 Wochen. Nein, aber als Näherung ist die Aussage brauchbar.] 19) In einem Ei befinden sich 2000 Salmonellen. Wie viele sind es nach 2 Wochen, wenn sich ihre Zahl täglich verdoppelt? [Lösung: 32 768 000, also rund 33 Millionen]