Vorkurs Mathematik, PD Dr. K. Halupczok, WWU Münster Fachbereich Mathematik und Informatik

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19.9.2013

Die Exponentialfunktion, komplexe Zahlen und trigonometrische Funktionen

Ÿ6.1 exp und ln Denition 36: Für alle x ∈ R ist durch den Grenzwert exp(x) :=

∞ X xk k=0

k!

eine Funktion exp : R → R deniert, sie heiÿt Exponentialfunktion. Es folgt sofort, dass e = exp(1) und exp(0) = 1. Eine fundamentale Eigenschaft ist (x, y ∈ R): exp(x + y) = exp(x) exp(y),

so dass (nach etwas Beweisarbeit) folgt: ∀x ∈ R, y ∈ Q : exp(xy) = exp(x)y .

Also ist exp(y) = ey für alle y ∈ Q. Damit bekommen wir unsere alte Frage in den Gri, wie man mit irrationalen Hochzahlen arbeitet. Die folgende Denition ist nun sinnvoll:

Denition 37: Für x ∈ R \ Q denieren wir ex := exp(x).

Einige Rechenregeln lassen sich dann wie folgt zusammenfassen (x, y ∈ R):

1 ex+y = ex ey 2 (ex )y = exy 3 x ≤ y ⇒ ex ≤ ey 4 ∀ x ∈ R : e−x = e1x Als Funktion exp : R → R>0 ist die Exponentialfunktion wegen Regel 3 eine bijektive Funktion, man kann dann die zugehörige Umkehrabbildung denieren:

Denition 38: Die Funktion ln : R>0 → R ist deniert als Umkehrabbildung von exp : R → R>0 , d. h. über die Eigenschaft ∀x∈R:

ln(exp(x)) = x

bzw.

Sie heiÿt der natürliche Logarithmus. 39

∀ y ∈ R>0 :

exp(ln(y))) = y.

Die denierende Eigenschaft von ln lässt sich auch schreiben als die Aussage ∀ x, y ∈ R :

(y = ln x ⇔ ey = x)

Für beliebige Basen a > 0 können wir jetzt die Potenz mit beliebigen reellen Hochzahlen über die Exponential- und Logarithmusfunktion berechnen: Satz 9.

Beweis:

Für x ∈ R, a ∈ R gilt a >0

x

= ex ln a

.

Nach Regel 2 und der Denition von ln gilt: ex ln a = (eln a )x = ax .

Die bisherigen Potenzgesetze gelten jetzt uneingeschränkt für alle positiven Basen a. Wir fassen noch einige weitere Rechenregeln zusammen, die beim Rechnen mit exp, ln und Potenzen nützlich sind, und die sich aus bisher notierten Regeln herleiten lassen.

1 ∀ x, y ∈ R>0 : ln(xy) = ln(x) + ln(y) 2 ∀ x, y ∈ R>0 : ln xy = ln(x) − ln(y) 3 ∀ x ∈ R, a ∈ R>0 : ln(ax ) = x ln(a) Somit gelingt uns das Auösen der Gleichung ax = c nach a: Es ist a = c1/x , falls x 6= 0 und c > 0; und diese Potenz ist jetzt berechenbar als a = e(ln c)/x . Auÿerdem können wir jetzt die Gleichung ax = c sogar nach x auösen: Es ist x = falls a, c > 0, a 6= 1. Beweis:

ax = c ⇔ ln(ax ) = ln(c) ⇔ x ln(a) = ln(c) ⇔ x =

ln(c) ln(a)

,

ln(c) . ln(a)

Man nennt die Zahl x mit ax = c auch den Logarithmus von c zur Basis a und schreibt lna (c) = x oder auch loga (c) = x dafür. Als ein Rechenbeispiel zum Thema exp und ln demonstrieren wir noch das Auösen der Gleichung ax = c · bx nach x (falls a, b, c > 0 und a 6= b): Beispiel 47:

ax = c · bx ⇔ ln(ax ) = ln(c · bx ) ⇔ x ln(a) = ln(c) + ln(bx ) ⇔ x ln(a) = ln(c) + x ln(b) ln(c) ⇔ x(ln(a) − ln(b)) = ln(c) ⇔ x = ln(a) − ln(b)

Zwei interessante Grenzwerte mit exp und ln sind (k ∈ N beliebig): nk = 0, n→∞ exp(n) lim

lim

n→∞

ln(n) = 0. n1/k

Ÿ6.2 Die Menge C der komplexen Zahlen Man kann die Menge C der komplexen Zahlen einfach denieren als Menge R2 , versehen mit der richtigen Denition für "+" und "·". Eine Verwechslung mit R2 als Menge möchte man aber möglichst vermeiden, daher schreibt man anstelle eines Zahlenpaares (x, y) ∈ R2 dann einfach x + iy mit x, y ∈ R und 40

nennt dies eine komplexe Zahl mit Realteil x und Imaginärteil y . Im Koordinatensystem der Ebene lassen sich die komplexen Zahlen dann als Punkte darstellen. Die x-Achse nennt man dann auch die reelle Achse, die y -Achse die imaginäre Achse. Die Menge der komplexen Zahlen wird mit C := {x + iy; x, y ∈ R} bezeichnet. Für zwei komplexe Zahlen z = x + iy und w = u + iv gilt: z = w ⇔ x = u ∧ y = v . Die Summe bzw. Dierenz zweier komplexer Zahlen z = x + iy und w = u + iv wird jetzt komponentenweise deniert, d. h. z ± w := (x ± u) + i(y ± v).

Die Multiplikation hingegen muss anders gemacht werden, die Denition hierfür lautet zw := (xu − yv) + i(xv + yu).

Daraus folgt, dass i2 = (0 + i · 1) · (0 + i · 1) = (0 − 1) + i(0 + 0) = −1

ist, das alte Problem mit der Lösbarkeit von x2 = −1 ist damit erledigt: Ja, die√Gleichung hat in C die Lösung √ x = i (und auch x = −i). Daher können wir dem Symbol −1 einen Sinn geben und −1 := i schreiben. Zunächst muss gesagt werden, dass C mit den so denierten Verknüpfungen "+" und "·" einen Körper bildet, der R enthält, nämlich in Form der speziellen komplexen Zahlen x + i · 0. Die Körperaxiome muss man also alle nachrechnen. Die dafür nötige Division als Umkehrung der Multiplikation erhält man über x + iy xu + yv yu − xv z = := 2 + i . w u + iv u + v2 u2 + v 2

Noch zwei Begrie:

Denition 39: Sei z = x + iy ∈ C. Die zu z konjugiert komplexe Zahl

ist z := x − iy . Der Betrag |z| von z ist die nichtnegative reelle Zahl |z| := x2 + y 2 .

p

Die Lösung von Gleichungen mit Potenzen in x kann in C jetzt beliebig ausgeführt werden, es gilt nämlich der folgende Satz von Gauÿ, der auch Fundamentalsatz der Algebra genannt wird: n X

(Fundamentalsatz der Algebra) Sei P (z) = a · z ein nicht konstantes Polynom mit n ∈ N und komplexen Koezienten a ∈ C. Dann hat das Polynom eine komplexe Nullstelle, d.h. es gibt eine Zahl z ∈ C, die die Gleichung P (z) = 0 löst. Satz 10.

k

k

k=0

k

Bewiesen wird dieser Satz oft in einer Vorlesung über Funktionentheorie. Inwiefern vererben sich die anderen Eigenschaften von R nach C? Nun, die Vollständigkeit in dem Sinne, dass Cauchyfolgen immer einen Grenzwert besitzen, vererbt sich nach 41

C, denn Grenzwerte kann man in C komponentenweise bilden, und als den (für den Grenzwertbegri nötigen) Abstand zwischen zwei komplexen Zahlen z, w nehmen wir den Wert |z − w|.

Aber ein Opfer müssen wir bei dieser Erweiterung von R hinnehmen: Die Ordnungsrelation ≤ kann nicht auf C fortgesetzt werden, d.h. C ist nicht anordenbar und kann damit nicht auf einen einzigen Zahlenstrahl gebracht werden, wie das mit R ging. Bei der Veranschauung von C müssen wir stets mit der ganzen komplexen Ebene arbeiten, ein einziger "Anordnungsstrahl" reicht hier nicht aus. Daher ist ein Ausdruck wie i < 2 absolut sinnlos. Hingegen ist die Aussage |i| < 2 wahr, da der Betrag den Abstand einer komplexen Zahl zum Nullpunkt 0 = 0 + i · 0 misst und eine reelle Zahl ist. Für das Rechnen in C gelten die folgenden Rechenregeln (w, z ∈ C):

1 z+w =z+w 2 zw = z · w
3 wz = wz , falls w 6= 0 4 z=z 5 Re z = 12 (z + z) 6 Im z = 2i1√ (z − z) 7 |z| = zz 8 |zw| = |z| · |w| |z| falls w 6= 0 9 | wz | = |w| 10 |z| = |z| 11 |z + w| ≤ |z| + |w| Die Exponentialfunktion kann durch ihre Reihendarstellung exp(z) =

∞ X zn n=0

n!

zu einer Funktion exp : C → C fortgesetzt werden. Die alte Formel ∀z, w ∈ C : exp(z +w) = exp(z) exp(w) bleibt für komplexe Zahlen gültig. Aus dieser kann man nun herleiten, dass ∀x ∈ R : | exp(ix)| = 1, denn: | exp(ix)|2 = exp(ix)exp(ix) = exp(ix) exp(ix) = exp(ix) exp(−ix) = exp(0) = 1. Und es gelten die folgenden Rechenregeln, die Moivresche Formeln heiÿen (x, y ∈ R):

1 exp(ix) exp(iy) = exp(i(x + y)) 2 (exp(ix))n = exp(inx), n ∈ N 1 3 exp(ix) = exp(−ix) = exp(ix) 42

Eine Warnung zum Rechnen mit komplexen Zahlen: Die Moivresche Formel Nr. 2 stimmt nur mit natürlichen Zahlen n, d. h. im allgemeinen ist (exp(ix))r 6= exp(ixr) für r 6∈ N. Denn würde man beispielsweise 21 einsetzen für die Zahl r bzw. n und den Wert x = 2π betrachten, so erhält man l.S. = (exp(2πi))1/2 = 11/2 = 1, aber r.S. = exp(i · π) = cos π + i sin π = −1 + i · 0 = −1.

Ÿ6.3 Trigonometrische Funktionen Nun können wir die trigonometrischen Funktionen Sinus und Cosinus wie folgt denieren:

Denition 40: Für z ∈ C ist durch cos(z) := 12 (exp(iz) + exp(−iz)) die Cosinusfunktion cos : C → C, und durch sin(z) := die Sinusfunktion sin : C → C deniert19 .

1 2i (exp(iz)

− exp(−iz))

Es folgt für alle x ∈ R die Eulersche Formel exp(ix) = cos x + i sin x und sofort, dass sin2 x + cos2 x = | exp(ix)|2 = 1. Die beiden Funktionen cos(x) und sin(x) sind für reelle x reellwertig mit Werten in [−1, 1] und periodisch mit derselben Periode. Die Hälfte der Periodenlänge kann man nun als die Zahl π ∈ R denieren20 und somit die Periodizität notieren in der Form ∀ x ∈ R : cos(x + 2π) = cos x,

sin(x + 2π) = sin x.

Damit ist auch exp(2πi) = 1, bzw. exp(x + 2πi) = exp(x) für x ∈ R. Weiter haben die Funktionen sin und cos genau die Nullstellen 3 5 1 cos x = 0 ⇔ x = ± π, ± π, ± π, . . . 2 2 2 sin x = 0 ⇔ x = 0, ±π, ±2π, . . .

Ist nun z ∈ C, gibt es eine eindeutig bestimmte reelle Zahl ϕ ∈ (−π, π] so dass z = |z| exp(iϕ) gilt. Diese Zahl heiÿt Argument von z und die Darstellung z = |z| exp(iϕ) heiÿt die Darstellung von z in Polarkoordinaten. Das Rechnen mit komplexen Zahlen in Polarkoordinaten geht nun besonders leicht, da für z = |z| exp(iϕ) und w = |w| exp(iψ) gilt: z · w = |z||w| exp(i(ϕ + ψ)),

z |z| = exp(i(ϕ − ψ)), falls w 6= 0. w |w|

Formeln für die trigonometrischen Funktionen sin und cos wie die Additionstheoreme cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y,

sin(x + y) = sin x cos y + sin y cos x

und zahlreiche weitere Identitäten, die man für diese Funktionen in Formelsammlungen ndet, lassen sich nun leicht herleiten: Für die Additionstheoreme z. B. berechnet man cos(x + y) + i sin(x + y) = exp(i(x + y)) = exp(ix) exp(iy) 19 Die

Argumentklammern bei sin und cos werden oft weggelassen, wenn keine Unklarheit droht. beweisen, dass diese identisch mit der Kreiszahl π ist, die Sie kennen! Wie würden Sie π denieren? 20 Oder

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= (cos x + i sin x)(cos y + i sin y) = (cos x cos y − sin x sin y) + i(sin x cos y + sin y cos x)

und vergleicht die Real- und Imaginärteile der linken und rechten Seite miteinander. Die Funktion tan : C\S → C, tan z := sin z/ cos z mit S := {± 21 π, ± 32 π, ± 25 π, . . . } kommt auch oft vor und heiÿt Tangensfunktion. Eine Tabelle mit den wichtigsten Sinus-/Kosinus-/Tangens-Werten:

Grad Bogenmaÿ 0◦ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦

0 π/6 π/4 π/3 π/2

sin cos tan 0 0√ √1 √1/2 √3/2 1/ 3 2/2 √1 √2/2 3/2 1/2 3 1 0 -

Eine der wichtisten Anwendungen der Trigonometrie sind die Dreiecksberechnungen. Diese kennen Sie bestimmt noch aus der Schule, hier eine kurze Wiederholung: Im rechtwinkligen Dreieck gilt für jeden Innenwinkel α, der nicht der rechte Winkel ist: y sin α =

cos α =

tan α =

1

Gegenkathete Hypotenuse

exp(iα) h sin α

sin α

Ankathete Hypotenuse

α 0 cos α

−1

Gegenkathete . Ankathete

x 1

−1

Warum gelten diese Formeln? Nun, sie gelten im Einheitskreis, da exp(iα) = cos α+i sin α für reelle α den Einheitskreis durchläuft wegen | exp(iα)| = 1, und dort die Formeln für das Dreieck mit der Hypotenusenlänge (gleich Radius) 1 gelten. Bei linearer Streckung des Kreises am Ursprung um einen beliebigen Faktor h > 0 erhalten wir ein Dreieck mit Hypotenusenlänge h, Gegenkathetenlänge h sin α und Ankathetenlänge h cos α. Der α Winkel bleibt gleich, also auch sin α = h sin usw. Im Bild mit dem Einheitskreis wird h auch die Periodizität nach Durchlaufen des Vollkreises klar, man landet bei dem gleichen Wert exp(iα) = cos α + i sin α. Dass dies gerade beim Wert 2π = 2 · 3.141592654... geschieht, kann man numerisch ausrechnen 21 . Dass 2π auÿerdem die Länge des Kreisumfangs ist, rechnet man meist in Analysis 2 mithilfe eines Kurvenintegrals nach, das die Länge einer Kurve (hier des Kreisbogens) misst. 21 Dafür

werden geeignete Reihenentwicklungen der trigonometrischen Funktionen eingesetzt.

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