3. DIE EXPONENTIALFUNKTION UND VERWANDTES (1) DIE KOMPLEXE EXPONENTIALFUNKTION 1 Für α = (an )∞ , (n ∈ IN) gilt n=0 mit an := n!

rα = n→∞ lim

(n + 1)! = n→∞ lim (n + 1) = ∞. n!

Damit konvergiert die zugehörige Potenzreihe für alle z ∈ C I . Wir bezeichnen die durch

(1.0)

exp(z) :=

∞ X 1 n=0

n!

zn

(z ∈ C I)

,

denierte Funktion exp : C I → C I als '(komplexe) Exponentialfunktion'. Da sich für

z ∈ IR die reelle Exponentialfunktion ergibt, ist diese Bezeichnung gerechtfertigt. Wir beweisen die wichtigsten Eigenschaften der Exponentialfunktion. (1.1)

exp : C I →C I ist stetig.

Funktionalgleichung (Additionstheorem): (1.2)

exp(z1 + z2 ) = exp(z1 ) · exp(z2 ) ,

(z1 , z2 ∈ C I ).

Mit exp(0) = 1 folgt hieraus insbesondere

exp(z) 6= 0 und exp(z)−1 = exp(−z) ,

(1.3)

(z ∈ C I ).

Weiter gilt (1.4)

exp(z) = exp(z) , (z ∈ C I ).

Hiermit folgt sofort (1.5)

| exp(z) | = exp( Rez) , (z ∈ C I ).

(2) DIE TRIGONOMETRISCHEN FUNKTIONEN Für α = (an )∞ n=0 mit

an =

   0



n 1   (−1) 2

n!

 , n ungerade 

, n gerade

 

bzw. an =

   0 n−1 1   (−1) 2

n!

1

, n gerade

  

 , n ungerade 

erhält man unter Beachtung von (1) jeweils rα = ∞. Damit konvergieren die zugehörigen Potenzreihen jeweils für alle z ∈ C I . Wir bezeichnen die durch ∞ X

1 z 2n , (z ∈ C I) (2n)! n=0 ∞ X 1 sin(z) := (−1)n z 2n+1 , (z ∈ C I) (2n + 1)! n=0

cos(z) := (2.0)

(−1)n

denierten Funktionen cos, sin : C I →C I als (komplexe) 'Cosinus- bzw. Sinusfunktion'. Da sich für z ∈ IR die jeweils entsprechende reelle Cosinus- bzw. Sinusfunktion ergibt, ist diese Bezeichnung gerechtfertigt. Wir beweisen die wichtigsten Eigenschaften der Cosinus- und Sinusfunktion. (2.1)

cos, sin : C I →C I sind stetig.

Zusammenhangsformeln; Eulersche Formel:

1 ( exp(iz) + exp(−iz) ) , 2 1 sin(z) = − sin(−z) = ( exp(iz) − exp(−iz) ) , 2i exp(± iz) = cos(z) ± i · sin(z) ,

cos(z) = cos(−z) = (2.2)

(z ∈ C I ).

Additionstheoreme: (2.3)

cos(z1 + z2 ) = cos(z1 ) cos(z2 ) − sin(z1 ) sin(z2 ) , sin(z1 + z2 ) = sin(z1 ) cos(z2 ) + cos(z1 ) sin(z2 ) ,

(z1 , z2 ∈ C I ).

Insbesondere folgt hieraus

cos(z)2 + sin(z)2 = 1 , (2.4)

sin(2z) = 2 sin(z) cos(z) ,

(z ∈ C I)

cos(2z) = cos2 (z) − sin2 (z) , Weiter gilt (2.5)

cos(z) = cos(z) ,

sin(z) = sin(z) ,

(z ∈ C I ).

Aus der reellen Analysis I ist bekannt, daÿ die Cosinusfunktion im Intervall ]0, 2[ eine Nullstelle besitzt. Man deniert üblicherweise ¯ π := min{ x ∈ ]0, ∞[ ¯¯ cos(x) = 0 } . 2

Damit ergibt sich dann sin( π2 ) = 1. 2

Mit (2.3) erhält man unmittelbar die folgenden Periodizitätseigenschaften: π ) 2

cos(z ± (2.6)

= ± sin(z) , sin(z ±

π ) 2

= ± cos(z) ,

cos(z + π) = − cos(z) ,

sin(z + π) = − sin(z) ,

cos(z + 2π) = cos(z) ,

sin(z + 2π) = sin(z) ,

(z ∈ C I)

Bezüglich der Nullstellen erhält man: (2.7)

¯ ¯

{z ∈ C I ¯ cos z = 0} =

π + π · Z, 2

¯ ¯

{z ∈ C I ¯ sin z = 0} = π · Z .

Wie im Reellen deniert man unter Beachtung von (2.7) den Tangens und den Cotangens

sin(z) , (z ∈ C I \ ( π2 + π · Z)) , cos(z) cos(z) cot(z) := , (z ∈ C I \ π · Z). sin(z) tan(z) :=

(2.8)

Analog zum reellen Fall kann man auch die komplexen Hyperbelfunktionen, also z.B. den hyperbolischen Cosinus 'cosh', den hyperbolischen Sinus 'sinh', etc. denieren. Wegen (2.2) hängen diese Funktionen aber ganz eng mit den oben eingeführten trigonometrischen Funktionen zusammen, so daÿ man auf eine separate Diskussion verzichten kann. (3) ABBILDUNGSEIGENSCHAFTEN DER EXPONENTIALFUNKTION Für z ∈ C I gilt mit Re z =: x und Im z =: y (3.1)

³

exp(z) = exp(x + iy) = exp(x) · exp(iy) = exp(x) · cos(y) + i sin(y)

´

und damit insbesondere Re exp(x + iy) = exp(x) · cos(y) , Im exp(x + iy) = exp(x) · sin(y) ,

| exp(x + iy)| = exp(x) ,

exp(x + iy + 2πi) = exp(x + iy) .

Hieraus liest man zunächst ab, daÿ die Exponentialfunktion die komplexe Ebene C I auf die punktierte Ebene C I∗=C I \ {0} abbildet:

exp : C I →C I∗=C I \ {0} ist surjektiv . Für w ∈ C I ∗ gilt gemäÿ 1. (9) mit y := Arg(w) und x := ln(|w|) für z := x + iy

w = |w| · (cos(y) + i sin(y)) = exp(x) · (cos(y) + i sin(y)) = exp(x + iy) = exp(z) .

3

Genauer erkennt man aus den obigen Formeln, daÿ die Exponentialfunktion wie folgt abbildet:

1. Die Gerade Re z = x = ξ auf die (∞-oft durchlaufene) Kreislinie des Kreises um 0 mit Radius r = exp(ξ) > 0.

2. Die Gerade Im z = y = η (bijektiv) auf den Strahl von 0 nach ∞ , welcher mit der positiven reellen Achse den Winkel ϕ = η bildet.

3. Den Streifen Sη := {z = x + iy ¯ ¯

¯ ¯ ¯ η − π < y < η + π } bijektiv auf die von 0 nach ∞

längs des Strahls {t exp(iη) ¯ IR 3 t ≤ 0 } aufgeschlitzte komplexe Ebene. Rein rechnerisch erhält man noch einmal aus den Periodizitätseigenschaften der trigonometrischen Funktionen (2.6) entsprechende Eigenschaften der Exponentialfunktion

exp(z ± (3.2)

π i) 2

= ± i · exp(z) ,

exp(z + πi) = − exp(z) ,

(z ∈ C I)

exp(z + 2πi) = exp(z) , und hinsichtlich der Eindeutigkeit (3.3)

exp(z1 ) = exp(z2 ) ⇐⇒ z2 − z1 ∈ 2πi · Z ,

(z1 , z2 ∈ C I ).

Aufgrund der genannten Abbildungseigenschaften der Exponentialfunktion existiert keine (globale) Umkehrfunktion. Wir betrachten im folgenden geeignete lokale Umkehrfunktionen. (4) DER KOMPLEXE LOGARITHMUS UND DAS ARGUMENT. (i) Für z ∈ C I∗=C I \ {0} haben wir gemäÿ 1. (9) jede reelle Zahl ϕ ∈ IR mit

z = |z| · (cos ϕ + i sin ϕ) = |z| · exp(iϕ) als 'Argument' von z bezeichnet. Entsprechend bezeichnen wir nun jede komplexe Zahl u ∈ C I mit

z = exp(u) als 'Logarithmus' von z . Mit ¯ ¯

ARG(z) := {ϕ ∈ IR ¯ z = |z| · exp(iϕ) } ⊂ IR, 4

¯ ¯

LN(z) := {u ∈ C I ¯ z = exp(u) } ⊂ C I .

gilt dann oenbar Im LN(z) = ARG(z) .

LN(z) = ln(|z|) + i · ARG(z) ,

Mit der in 1. (9) deerten Argumentfunktion gilt

ARG(z) = Arg(z) + 2πi · Z . Man bezeichnet auch

Arg(z) =: Hw(ARG(z)) als 'Hauptwert des Arguments' von z und entsprechend

Ln(z) := Hw(LN(z)) = ln(|z|) + i Arg(z) als 'Hauptwert des Logarithmus' von z . Es gilt dann für z ∈ C I Im Ln(z) = Arg(z) ,

LN(z) = Ln(z) + 2π i Z

sowie

exp(Ln(z)) = z . (ii) Wir bezeichnen für θ ∈ IR: ¯ ¯

C I θ := C I \ {t exp(iθ) ¯ IR 3 t ≤ 0 } und

¯

Sθ := {z ∈ C I ¯¯ − π + θ < Im z < θ + π } . Nach (3) gilt

¯ ¯

exp ¯

Sθ

: Sθ → C I θ bijektiv .

Man bezeichnet die Umkehrabbildung ¯

lnθ := exp ¯¯

−1 Sθ

: C I θ → Sθ

als '(Funktions-) Zweig des Logarithmus auf C I θ '. Hiermit deniert man auch

argθ := Im ◦ lnθ : C I θ → ] − π + θ, π + θ[ ⊂ IR . 5

Insbesondere bezeichnet man ¯ ¯

ln := ln0 = Ln¯

: C I0→C I

CI 0

als 'Hauptzweig des Logarithmus'. Dies ist oenbar eine Fortsetzung der reellen Logarithmusfunktion. (Dies rechtfertigt das gleiche Funktionssymbol!) Wir zeigen: (4.1)

lnθ : C Iθ→C I stetig

(θ ∈ IR) .

(5) DIE ALLGEMEINE POTENZ Für z ∈ C I∗=C I \ {0} und ξ ∈ C I denieren wir ¯ ¯

z ξ := exp(ξ · LN(z)) := {exp(ξ · u) ¯ u ∈ LN(z)} ⊂ C I∗ und

Hw(z ξ ) := exp(ξ · Ln(z))

'Hauptwert' von z ξ .

Mit einem beliebigen u ∈ LN(z) gilt ¯ ¯

z ξ = { exp(ξ · u) · exp(ξ · 2πi · n) ¯ n ∈ Z} und damit

zξ

   einpunktig      

⇐⇒ ξ ∈ Z ,

endlich

⇐⇒ ξ ∈ Q I ,

  unendlich, beschränkt       unbeschränkt

⇐⇒ ξ ∈ IR \ Q I , ⇐⇒ ξ ∈ C I \ IR .

Insbesondere stimmt z n für n ∈ Z mit der bisherigen (rekursiven) Denition überein. Z. B. ist für ξ ∈ C I \Z ¯ ¯

eξ = exp(ξ) · {exp(ξ · 2πi · n) ¯ n ∈ Z} 6= {exp(ξ)} . Speziell bezeichnet man für ξ ∈ C I und θ ∈ IR C I θ 3 z → exp(ξ · lnθ (z)) ∈ C I∗=C I \ {0} als 'Zweig von z ξ auf C I θ ' und insbesondere C I 0 3 z → exp(ξ · ln(z)) ∈ C I∗=C I \ {0} als 'Hauptzweig' von z ξ . 6