Die Exponentialfunktion und ihre Verwandschaft

Die Exponentialfunktion und ihre Verwandschaft Philipp-Andreas Kaufmann 16. August 2016 Inhaltsverzeichnis 1 Die 1.1 1.2 1.3 Exponentialfunktion Wie...
Author: Thilo Jaeger
4 downloads 0 Views 389KB Size
Die Exponentialfunktion und ihre Verwandschaft Philipp-Andreas Kaufmann 16. August 2016

Inhaltsverzeichnis 1 Die 1.1 1.2 1.3

Exponentialfunktion Wie findet man nun so eine Folgenvorschrift? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Eigenschaften der Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Graph der Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion . . . . . . . . . . . . . . . .

2 2 4 5

2 Die Allgemeine Exponentialfunktion

5

3 Die Logarithmusfunktion und die Binomialreihe 3.1 Die Logarithmusgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Die Ableitung der Logarithmusfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 8 9

4 Die Trigonometrischen Funktionen 4.1 Die Additionstheoreme und Verdoppelungstheoreme . . . . 4.2 Die Tangensfunktion und Tangenstheoreme . . . . . . . . . 4.2.1 Berechnungstabelle f¨ ur Sinus, Kosinus und Tangens 4.3 Einige algebraisch-trigonometrische Berechnungsmethoden . 4.4 Die Graphen der Sinus-Kosinus und Tangensfunktion . . . . 4.5 Die Graphen der Umkehrfunktionen . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

10 11 13 14 16 21 22

5 Die Arkustangensreihe 5.1 Die John Machin Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Potenzreihendarstellung der John-Machin Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23 23 25

1

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

1

Die Exponentialfunktion

Auf die Exponentialfunktion mit der Basis e st¨oßt man, wenn folgende zwei Eigenschaften gelten: 1. f (x + h) = f (x) · f (h) 2. f 0 (x) = f (x) Dabei stellt die Gestalt f (x + h) = f (x) · f (h) xn+m

(1) xn · xm

eine Funktionalgleichung da, die auf dem Potenzgesetz = beruht. Betrachtet man ferner 0 die zweite Eigenschaft so dass f (x) = f (x) gilt, so kann man in Zusammenhang mit der ersten Eigenschaft eine Funktionenfolge konstruieren, derart sodass die Funktionenfolge die Basis e numerisch darstellt.

1.1

Wie findet man nun so eine Folgenvorschrift?

Wir beginnen mit der zweiten Eigenschaft und setzen f 0 (x) als den Differentialquotienten an: f (x + h) − f (x) h→0 h Ferner gelte auch die erste Eigenschaft, also die Funktionalgleichung- substituiert in den Differentialquotienten liefert dies f (x) · f (h) − f (x) f 0 (x) = lim h→0 h Durch Herausheben gemeinsamer Faktoren und anwenden der Grenzwerts¨atze, liefert dies vereinfacht: f 0 (x) = lim

f (x) · f (h) − f (x) h→0 h f (x) · [f (h) − 1] f 0 (x) = lim h→0 h f (h) − 1 f 0 (x) = lim f (x) · lim h→0 h→0 h f (h) −1 f 0 (x) = f (x) · lim h→0 h Zwingendermaßen muss wegen den K¨ orperaxiomen und der Tatsache, das die Multiplikation ein eindeutiges neutrales Element besitzt (dies ist die 1, denn eine Multiplikation eines beliebigen Elementes x ∈ K \ 0 liefert stehts das selbe Argument) der folgende Grenzwert existieren und es gilt: f 0 (x) = lim

f (h) − 1 =1 h→0 h lim

Denn w¨are dieser Grenzwert 6= 1 dann folgt daraus f 0 (x) 6= f (x) im Widerspruch zur Eigenschaft zwei. Mit dem Wissen das dieser Grenzwert existiert und sogar eindeutig bestimmt ist, kann daraus eine Funktionenfolge konstruiert werden. Es gilt 1 =0 n→∞ n

lim h ⇔ lim

h→0

Mit dem Wissen kann nun h =

1 n

substituiert werden. f (h) − 1 =1 h→0 h f (h) − 1 lim = lim 1 h→0 h→0 h 1 f(n) − 1 lim = lim 1 1 lim

n→∞

n→∞

n

2

Mit den Grenzwerts¨ atzen ergibt sich folgende Vereinfachung: 1 1 lim f ( ) − lim 1 = lim n→∞ n→∞ n n 1 1 lim f ( ) = lim 1 + lim n→∞ n→∞ n→∞ n n 1 1 lim f ( ) = lim (1 + ) n→∞ n→∞ n n n→∞

1 ⇒ lim f ( ) = 1 ⇔ lim f (h) = 1 ⇒ f (0) = 1 n→∞ h→0 n Wir wissen nun, das die Funktion durch den Punkt P (0/1) geht. Wir haben dennoch keine Funktionsvorschrift gefunden. Dies werden wir jetzt nachholen. Es gilt: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) = f ( + + + ...... +) = f ( ) · f ( ) · f ( )...... · f ( ) = (f ( )n ) n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x f (x) = f (n · ) = f ( + + + ...... +) = f ( ) · f ( ) · f ( )...... · f ( ) = (f ( )n ) n n n n n n n n n n f (1) = f (n ·

Wegen dem Folgenkriterium gilt 1 1 lim f ( ) = 1 ⇒ lim f (1) = lim f ( )n = (1 + n→∞ n→∞ n→∞ n n x x lim f ( ) = 1 ⇒ lim f (x) = lim f ( )n = (1 + n→∞ n→∞ n→∞ n n

1 n ) n x n ) n

Damit definieren wir die Exponentialfunktion mit x n ) n 1 und die Basis e := (1 + )n n ex := (1 +

(2) (3)

Ferner definiert man mithilfe der Binominalentwicklung auch die Exponentialreihe. ∞   n   X n k X n k x = x (1 + x) = k k n

k=0

(4)

k=0

In der Folgenvorschrift lautet die Funktionsgleichung ∞   x n X n x k e = (1 + ) = ( ) n k n x

k=0

Dies kann man dann wie folgt vereinfachen: ∞   X n k=0

k



X n · n − 1 · ..... · (n − (k − 1)) xk x · ( )k = · k n k! n k=0

∞ ∞ X X xk (n − 0)(n − 1)...(n − (k − 1) xk · k = k! k! n k=0

k=0

Man kann nun die Exponentialfunktion auch als unendliche Reihe darstellen. Wir definieren somit die e−Funktion als Reihendarstellung: ∞ X xk x f (x) = e = (5) k! k=0

3

1.2

Die Eigenschaften der Exponentialfunktion

Mit der Tatsache, dass sich die Exponentialfunktion beliebig oft differenzieren l¨asst, ist es daher auch m¨oglich diese als homogenen L¨ osungsansatz von gew¨ohnlichen linearen Differentialgleichungen mit konstantem Koeffizienten n. Ordnung zu verwenden. Diesen Typ von Differentialgleichung findet man z.B. bei den LTI-Systemen (lineare zeitunabh¨angige Systeme). Die Funktion f : R → R+ mit x 7→ ex ist bijektiv. Dass bedeutet ferner das folgende Eigenschaften gelten: 1. Die Funktion ist surjektiv 2. Die Funktion ist injektiv 3. Die Funktion ist umkehrbar, d.h. es existiert eine Umkehrfunktion Dabei heißt eine Funktion f : X → Y surjektiv wenn es f¨ ur alle Elemente aus der Wertebereichsmenge Y mindestens ein Urbild gibt, d.h. also zu jedem y ∈ Y kann mindestens ein x ∈ X zugeordnet werden. Die Funktion f : X → Y heißt injektiv, wenn es f¨ ur alle Elemente aus der Wertebereichsmenge Y h¨ ochstens ein Element aus der Definitionsmenge X gibt. Wenn eine Funktion injektiv ist, muss es nicht zu jedem y ∈ Y ein Urbild geben, im Gegensatz zur Surjektivit¨at. Eine Funktion f : X → Y heißt bijektiv, wenn es zu jedem y ∈ Y genau ein x ∈ X gibt. Diese Aussage ist ¨aquivalent zu, die Funktion ist injektiv als auch surjektiv. Wir zeigen nun, das f : R → R+ surjektiv als auch injektiv und folglich bijektiv ist. 1. Die Funktion ist surjektiv. Nach dem Zwischenwertsatz gilt, dass eine stetige Funktion f : [a, b] → R im Definitionsintervall [a, b] auf jedem Funktionswert f (c) ∈ [f (a), f (b)] an mindestens einer Stelle c ∈ [a, b] angenommen wird. Da f : R → R+ mit x 7→ ex auf ganz f an jeder Stelle stetig ist, kann das Definitionsintervall beliebig angesetzt werden. Die Stetigkeit ist mit dem Folgenkriterium bewiesen, da wir eine Funktionenfolge gefunden haben und somit der Grenzwert an jeder Stelle existiert. Damit ist die Surjektivit¨ at bewiesen. 2. Die Funktion ist injektiv. Injektivit¨ at bedeutet, zwei verschiedene Stellen liefern zwei verschiedene Funktionswerte, da es laut Definition zu jedem y ∈ Y h¨ ochstens ein x ∈ X gibt. Dies begr¨ unden wir mathematisch mit dem Monotonieverhalten, d.h. sei o.B.d.A x1 < x2 so folgt f (x1 ) < f (x2 ). Dies ist tats¨achlich der Fall wie die Exponentialreihe zeigt: x1 < x2 ⇒ xk1 < xk2 xk1 < xk2 ⇒ ∞



k=0

k=0

xk1 xk < 2 k! k!

X xk X xk xk1 xk 1 2 < 2 ⇒ < = ex1 < ex2 k! k! k! k! ⇒ x1 6= x2 ⇒ f (x1 ) 6= f (x2 ) Damit ist auch die Injektivit¨ at bewiesen. 3. Die Funktion ist bijektiv. Dies folgt aus der Injektivit¨ at und Surjektivit¨at. Es gibt somit eine Umkehrfunktion. Die Umkehrfunktion lautet f −1 : R+ → R und x 7→ ln(x). ln(x) ist der logartihmus naturalis und zugleich der Logarithmus zur Basis e.

4

1.3

Graph der Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion

Die Graphen der Exponential und Logarithmusfunktionen k¨onnen gegenseitig durch Spiegelung an der 1. Mediane y = x konstruiert werden.

Abbildung 1: Die Exponential und Logarithmusfunktion Wie geht man nun mit Exponentialfunktionen vor, die nicht die Basis e besitzen, sondern eine allgemeine Basis a besitzen? Dies wird im folgenden Kapitel erl¨autert.

2

Die Allgemeine Exponentialfunktion

Wir definieren analog zum 1. Kapitel die allgemeine Exponentialfunktion mit folgenden Eigenschaften: 1. f (x + h) = f (x) · f (h) 2. f 0 (x) 6= f (x) Das heißt also das eine allgemeine Exponentialfunktion dieselbe Funktionalgleichung besitzt als die Exponentialfunktion zur Basis e. Man betrachte ferner den Differentialquotienten: f (x + h) − f (x) h→0 h f (x) · f (h) − f (x) f 0 (x) = lim h→0 h f (x) · [f (h) − 1] f 0 (x) = lim h→0 h f (h) − 1 f 0 (x) = lim f (x) · lim h→0 h→0 h f (h) −1 f 0 (x) = f (x) · lim h→0 h f 0 (x) = lim

5

Daraus folgt, da laut der Eigenschaft zwei gilt f 0 (x) 6= f (x) das f (h) − 1 6= 1 h→0 h lim

Man definiert diesen Grenzwert als ln(a) d.h. f (h) − 1 h→0 h

(6)

ln(a) := lim

Ferner kann man jede beliebige Potenzfunktion auf eine e− Basisfunktion umformen. Wenn man allgemein eine bijektive Funktion mit ihrer zugeh¨origen Umkehrfunktion hintereinanderausf¨ uhrt, so ist man wieder im Ausgangselement. Wir zeigen die Hintereinanderausf¨ uhrung (auch Komposition von Funktionen) allgemein. Sei f : X → Y eine bijektive Abbildung mit x 7→ y und f −1 : Y → X ihre zugeh¨orige Umkehrabbildung mit y 7→ x. Dann liefert die Komposition f −1 ◦ f = f −1 (f (x)) = f −1 (y) = x n

Man kann eine allgemeine Potenzfunktion der Gestalt xn in die Form f (x) = xn = eln(x ) bringen. n Die Form eln(x ) kann weiter vereinfacht werden, wenn man die Logarithmusgesetze auf diese Form anwendet. Wie findet man eine Vorschrift bzw. eine Potenzreihe f¨ ur die Logarithmusfunktion? Diese beruht auf die Binomialreihe, die im folgenden Kapitel erl¨autert wird.

3

Die Logarithmusfunktion und die Binomialreihe

Der Satz der Binomialentwicklung lautet n   X n k (1 + x) = x k n

k=0

Die Binomialreihe ist definiert durch ∞   n   ∞   X X n k X n k n k x x = x + k k k k=0

k=n+1

k=0

 Da der Binomialkoeffizient nk f¨ ur k > n immer gleich null ist gilt insbesondere, da n ∈ N und ..... > n + 2 > n + 1 > n, dass nk = 0. Folglich ist somit die Reihe       ∞   X n k n n n 2 x = ·x+ ·x + · x3 + ........ = 0 k n+1 n+2 n+3

k=n+1

Daraus folgt nun die Definition der Binomialreihe ∞   X n k x = (1 + x)n k

(7)

k=0

Ferner gibt es f¨ ur die Binomialreihe ein Additionstheorem der Form n

(1 + x) · (1 + x)

m

n+m

= (1 + x)



∞   X n k=0

6

 ∞   ∞  X m k X n+m k x · x = x k k k k

k=0

k=0

Die Definition der Logarithmusfunktion stammt aus dem Grenzwert: f (h) − 1 h→0 h ah − 1 ln(a) = lim h→0 h

ln(a) := lim

Man setze nun a = 1 + x damit man die Binomialentwicklung anwenden kann: (1 + x)h − 1 ln(1 + x) = lim h→0 h P∞ h k x −1 ln(1 + x) = lim k=0 k h→0 h  P∞ h k h 0 k=1 k x − 1 0 x + ln(1 + x) = lim h→0 h Da der Ausdruck

h 0



· x0 eins wird, kann dies weiter vereinfacht werden: ln(1 + x) = lim

1+

P∞

h k=1 k



h P∞

h→0

ln(1 + x) = lim

xk − 1

h k=1 k



xk

h h · (h − 1) · (h − 2) · ...... · (h − (k − 1)) · xk ln(1 + x) = lim k=1 h→0 h · k! P∞ (h − 1) · (h − 2) · .... · (h − (k − 1)) · xk ln(1 + x) = lim k=1 h→0 k! P∞ (−1) · (−2) · (−3) · ..... · (−(k − 1)) · xk ln(1 + x) = k=1 P∞k! (−1)k−1 · (k − 1)! · xk ln(1 + x) = k=1 k! P∞ k−1 (−1) · (k − 1)! · xk ln(1 + x) = k=1 k · (k − 1)! P∞ (−1)k−1 · xk ln(1 + x) = k=1 k h→0

P∞

Die Logarithmusreihe wird f¨ ur alle x > −1 mit x ∈ R definiert. Insbesondere kann hier nur die Potenzreihe ln(1 + x) und nicht ln(x) entwickelt werden, denn w¨are ln(x) =

∞ X (−1)k−1 · xk

k

k=1

dann w¨ urde der ln(0) = 0 sein, im Widerspruch zu ln(0) existiert nicht, denn die Exponentialfunktion f (x) = ex ist ∀x ∈ R > 0. Somit definiert man L(x) = ln(1 + x) mit: L(x) := ln(1 + x) =

∞ X (−1)k−1 · xk k=1

k

(8)

Nach der erfolgreichen Herleitung der Logarithmusreihe, kommen wir nun zu den Logarithmusgesetzen und zu der Logarithmusformel. Die Logarithmusgesetze folgen aus den Potenzgesetzen der Exponentialfunktion; die Logarithmusformel macht es m¨oglich den Logarithmus einer allgemeinen Basis auf den Logarithmus naturalis (dies ist der Logarithmus der Basis e) umzuformen.

7

3.1

Die Logarithmusgesetze

Die Logarithmusgesetze lauten: 1. ln(x · y) = ln(x) + ln(y) 2. ln( xy ) = ln(x) − ln(y) 3. ln(xa ) = a · ln(x) 4. Die Logarithmusformel: loga (b) =

ln(b) ln(a)

Die Beweise hierzu folgen nun: 1. Substitution u := ln(x) und v := ln(y) Dann gilt durch Umformen in eine Exponentialgleichung: u = ln(x) ⇔ eu = x v = ln(y) ⇔ ev = y

Nach den Potenzgesetzen der Exponentialfunktion gilt: eu · ev = eu+v /ln() ln(eu · ev ) = ln(eu+v ) ln(eln(x) · eln(y) ) = ln(eln(x)+ln(y) ) ln(x · y) = ln(x) + ln(y) 2. Verwende selbe Substitution wie in 1) eu = eu · e−v = eu−v /ln() ev

ln(

eu ) = ln(eu · e−v ) = ln(eu−v ) ev eln(x) ln( ln(y) ) = ln(eln(x)−ln(y) ) e x ln( ) = ln(x) − ln(y) y

3. Zeige ln(xa ) = a · ln(x) Es gilt xa = x · x · x · ... · x (Es wird a− mal x mit sich selbst multipliziert) ln(xa ) = ln(x · x · x · .... · x) = ln(x) + ln(x) + ln(x) + .... + ln(x) = a · ln(x) 4. Der Logarithmus zu einer beliebigen Basis soll u ¨ber die angegebene Formel u ¨ber den logarithmus naturalis ermittelt werden. Dies soll nun bewiesen werden. z := loga (b) az = aloga (b) az = b z)

eln(a

= eln(b)

ez·ln(a) = eln(b) ln(ez·ln(a) ) = ln(eln(b) ) z · ln(a) = ln(b) ln(b) z= ln(a)

8

3.2

Die Ableitung der Logarithmusfunktion

Schließlich fragt man sich wie die Ableitung der Logarithmusfunktion aussieht. Die Herleitung der Ableitungsfunktion kann auf zwei Varianten erfolgen, wobei ich pers¨onlich die 2. Variante u ¨bersichtlicher finde. Letzteres Verfahren wird auch bei den Trigonometrischen Funktionen angewendet. Nun zur Ableitung des ln(x): Variante 1: Der Differentialquotient ist allgemein definiert durch: f (x + h) − f (x) h→0 h x+h x+h ln( ) lim ln(x + h) − ln(x) h→0 ln( x ) x f 0 (x) = lim = lim = h→0 h→0 h h limh→0 h f 0 (x) = lim

Betrachte den Ausdruck lim ln(

h→0

Wir substituieren y := Grenzwerts¨atze an:

ln( x+h x )

x+h x ) = ln( ) = ln(1) = 0 x x

und formen in eine Exponentialgleichung um: Davor gleichen wir die x+h ) = 0 ⇔ lim y = 0 y→0 h→0 x x+h x+h ) ⇔ ey = ⇒ h = x · (ey − 1) y = ln( x x lim h ⇔ lim x · (ey − 1) = 0 lim ln(

h→0

f 0 (x) = lim

h→0

ln( x+h x ) h

⇔ lim

y→0

y 1 y 1 = · lim y = x · (ey − 1) x y→0 e − 1 x

Es bleibt noch zu zeigen, dass lim

y→0

y→0 ey

y =1 −1

Man schreibe ey in eine Exponentialreihe um: lim

y→0

y y y = lim P = lim P ey − 1 y→0 ∞ yk − 1 y→0 1 + ∞ k=0 k! k=1

yk k!

−1

y = lim P∞ y→0

yk k=1 k!

lim P∞

y→0

1

k=0

y k−1 k!

= lim

y→0

= lim

y→0

1+

y· 1 P∞

y P∞

k=2

k=1

y k−1 k!

y k−1 k!

=1

Da der Summenausdruck gegen null konvergiert. Jeder einzele Term ist Null und somit werden nur ’Nullen’ aufsummiert, also liefert dies ingesamt bis ins unendliche genau Null. Variante 2: Differentiation u ¨ber die Umkehrfunktion. Dieser Beweis gef¨ allt mir pers¨ onlich besser als jener in Variante 1, doch das ist Geschmack-Sache. Vorraussetzung hierf¨ ur ist, das allgemein eine bijektive Abbildung vorliegt, den sonst k¨onnten wir daraus ja nicht ihre zugeh¨ orige Umkehrfunktion differenzieren. Wir wissen das die Komposition aus Funktion und Umkehrfunktion wieder ihre Identit¨at ergibt, genauso hier: y = f (x) = ln(x) ⇔ ey = x ⇒ eln(x) = x 1 1 1 (eln(x) )0 · (ln(x))0 = 1 ⇒ (ln(x))0 = ln(x) 0 = ln(x) = x (e ) e Hier wurde die Indentit¨ atsgleichung f −1 (y) = f −1 (f (x)) = x nach x abgeleitet. Auf der linken Seite der Gleichung ist die Kettenregel anzuwenden (¨außere Ableitung mal innere Ableitung) und auf der rechten Seite wurde lediglich x nach dx abgeleitet also 1. Umformen nach der inneren Ableitung, liefert das gew¨ unschte Ergebnis. 9

4

Die Trigonometrischen Funktionen

Nachdem wir nun die Exponentialfunktion und die Logarithmusfunktion erkl¨art haben, wollen wir noch eine wesentliche Erkenntnis der Exponentialfunktion vorstellen. Man betrachte die Exponentialreihe f¨ ur komplexe Argumente C d.h. es gilt die Darstellung z := a + ib mit z ∈ C ez :=

∞ X zk k=0

k!

Wenn man die komplexe Exponentialreihe genauer betrachtet, dann f¨allt sofort auf, das alle Terme mit gerader Potenz reel werden und alle Terme mit ungerader Potenz imagin¨ar bleiben. ∞ X (ix)k k=0

k!

= ⇒

(ix)0 (ix)1 (ix)2 (ix)3 (ix)4 + + + + ..... 0! 1! 2! 3! 4! ∞ X (ix)k

k!

k=0

= 1 + ix −

x2 x x4 −i + + ..... 2! 3! 4!

Warum werden alle geraden Potenzen reel? Man u ¨berlege sich die n−te Potenz der imagin¨aren Einheit: i0 = 1 Jede Basis hoch null ist stets eins √ i1 = −1 Definition der imagin¨aren Einheit i2 = −1 i3 = i2 · i = −i i4 = i2 · i2 = 1 i5 = i3 · i2 = −i · −1 = i beginnt wieder von vorne Man sortiere nun die komplexe Exponentialreihe sodass alle Terme mit geraden Potenzen assoziert werden und alle Termen mit ungeraden Potenzen assoziert werden. Die komplexe Exponentialreihe besteht nun aus den Teilen: ∞ X (ix)k k=0

k!

=1−

x2 x4 x6 x x3 x5 x7 + − + ........... + i · ( − + − + ..............) 2! 4! 6! 1! 3! 5! 7! ∞ X (ix)k

k!

k=0

∞ ∞ X X x2k x2k+1 k = (−1) · +i (−1)k · (2k)! (2k + 1)! k=0

k=0

Definiert man nun diese Potenzreihen als Sinus bzw Kosinus, dann liefert dies die Eulersche Formel: eix :=

∞ X (ix)k k=0

k!

∞ X x2k cos(x) := (−1)k (2k)! k=0

sin(x) :=

∞ X

(−1)k

k=0 ix

⇒e

x2k+1 (2k + 1)!

= cos(x) + i · sin(x)

10

Aus der Eulerschen Formel folgen wichtige Beziehungen f¨ ur die Sinus/Kosinusfunktion: 1. Die Additionstheoreme der Sinus/Kosinusfunktion 2. Die Verdoppelungstheoreme der Sinus/Kosinusfunktion 3. Die Periodizit¨ at von Sinus und Kosinus 4. Weitere trigonometrische Beziehungen (z.B. Trigonometrischer Pythagoras , Tangenstheorem) Vorerst erweitern wir die Eulersche Formel: Es gilt eix = cos(x) + i · sin(x)

(9)

Was liefert der Ausdruck e−ix . Durch einsetzen in die komplexe Exponentialreihe und geeigneten assozieren der geraden/ungeraden Terme erhalten wir vereinfacht: e−ix = cos(x) − i · sin(x) Schreiben wir nun, diese Formeln in ein Gleichungssystem, so erhalten wir I : eix = cos(x) + i · sin(x) II : e−ix = cos(x) − i · sin(x)

F¨ uhrt man eine Addition und Subtraktion dieser beiden Gleichungen so erhalten wir: I + II : eix + e−ix = 2 · cos(x) I − II : eix − e−ix = 2i · sin(x) 1 ⇒ cos(x) := · (eix + e−ix ) 2 1 · (eix − e−ix ) ⇒ sin(x) := 2i

Nun kann man daraus die Additionstheoreme folgern:

4.1

Die Additionstheoreme und Verdoppelungstheoreme sin(α ± β) = sin(α) · cos(β) ± cos(α) · sin(β) cos(α ± β) = cos(α) · cos(β) ∓ sin(α) · sin(β)

Diese werden wir nun beweisen: sin(α + β) = =

1 1 i(α+β) [e − e−i(α+β) ] = [eiα · eiβ − e−iα · e−iβ ] 2i 2i

1 [(cos(α) + i · sin(α)) · (cos(β) + i · sin(β)) − (cos(α) − i · sin(α)) · (cos(β) − i · sin(β))] 2i 1 = [cos(α) · cos(β) + i · cos(α) · sin(β) + i · sin(α) · cos(β) − sin(α) · sin(β)− 2i (cos(α) · cos(β) − i · cos(α) · sin(β) − i · sin(α) · cos(β) − sin(α) · sin(β))] 1 · (2i · cos(α) · sin(β) + 2i · sin(α) · cos(β)) = 2i ⇒ sin(α + β) = sin(α) · cos(β) + cos(α) · sin(β)

Analog f¨ ur negatives Vorzeichen. 11

sin(α − β) = =

1 1 · [ei(α−β) − e−i(α−β) ] = [eiα · e−iβ − e−iα · eiβ ] 2i 2i

1 [(cos(α) + i · sin(α)) · (cos(β) − i · sin(β)) − (cos(α) − i · sin(α)) · (cos(β) + i · sin(β))] 2i 1 = [cos(α) · cos(β) − i · cos(α) · sin(β) + i · sin(α) · cos(β) − sin(α) · sin(β)− 2i (cos(α) · cos(β) + i · cos(α) · sin(β) − i · sin(α) · cos(β) − sin(α) · sin(β))] 1 = (−2i · cos(α) · sin(β) + 2i · sin(α) · cos(β)) 2i ⇒ sin(α − β) = sin(α) · cos(β) − cos(α) · sin(β)

Wir zeigen nun das Additionstheorem f¨ ur die Kosinusfunktion: 1 1 cos(α + β) = [ei(α+β) + e−i(α+β) ] = [eiα · eiβ + e−iα · e−iβ ] 2 2 1 = [(cos(α) + i · sin(α)) · (cos(β) + i · sin(β)) + (cos(α) − i · sin(α)) · (cos(β) − i · sin(β))] 2 1 = [cos(α) · cos(β) + i · cos(α) · sin(β) + i · sin(α) · cos(β) − sin(α) · sin(β)+ 2 cos(α) · cos(β) − i · cos(α) · sin(β) − i · sin(α) · cos(β) − sin(α) · sin(β)] 1 = (2 · cos(α) · cos(β) − 2 · sin(α) · sin(β)) 2 ⇒ cos(α + β) = cos(α) · cos(β) − sin(α) · sin(β) Analog f¨ ur negatives Vorzeichen cos(α − β) = cos(α − β) =

1 · (ei(α−β) + e−i(α−β) ) 2

1 · (eiα · e−iβ + e−iα · eiβ ) 2

1 · [(cos(α) + i · sin(α)) · (cos(β) − i · sin(β)) + (cos(α) − i · sin(α)) · (cos(β) + i · sin(β))] 2 1 = [cos(α) · cos(β) − i · cos(α) · sin(β) + i · sin(α) · cos(β) + sin(α) · sin(β) + cos(α) · cos(β) 2 +i · cos(α) · sin(β) − i · sin(α) · cos(β) + sin(α) · sin(β)] 1 = [2 · cos(α) · cos(β) + 2 · sin(α) · sin(β)] 2 ⇒ cos(α − β) = cos(α) · cos(β) + sin(α) · sin(β) =

Damit sind die Additionstheoreme bewiesen. Es folgen daraus die Verdoppelungstheoreme sin(2α) = sin(α + α) = 2 · sin(α) · cos(α) cos(2α) = cos(α + α) = cos2 (α) − sin2 (α) Es folgt auch der trigonometrische Pythagoras aus dem Additionstheorem der Kosinusfunktion 1 = cos(0) = cos(α − α) = cos2 (α) + sin2 (α) Zu guter letzt kann auch noch die Periodizit¨at der Sinus und Kosinusfunktion aus den Additionstheoremen gefolgert werden.

12

Es gelten die folgenden Gleichungen: sin(π ± α) = −sin(α) cos(π ± α) = −cos(α) Der Beweis dieser Gleichungen geht wiederrum aus den Additionstheoremen der Sinus/Kosinusfunktionen hervor. Denn es gilt: sin(π ± α) = sin(π)cos(α) ± sin(α)cos(π) cos(π ± α) = cos(π)cos(α) ∓ sin(π)sin(α) Die Vereinfachungen dieser Gleichungen mit cos(π) = −1 und sin(π) = 0 lieferen das gew¨ unschte Resultat.

4.2

Die Tangensfunktion und Tangenstheoreme

Wir wollen noch die Tangensfunktion und die Tangenstheoreme erl¨autern. Die Tangensfunktion ist definiert u altnis von Sinus und Kosinus d.h. ¨ber das Verh¨ tan(α) :=

sin(α) cos(α)

(10)

Die Tangensfunktion ist aber nicht f¨ ur alle x ∈ R definiert, denn es gibt ein x0 ∈ R f¨ ur die cos(x0 ) = 0 π wird. Dies ist zum Beispiel bei x = 2 der Fall. Dies ist jedoch nicht der einzige Fall, wie die Periodizit¨ at der Kosinusfunktion zeigt. Somit sind alle Nullstellen (das sind die ganzzahligen Vielfachen von π2 ) Problemstellen f¨ ur die Tangensfunktion. Die Tangensfunktion kann also nur f¨ ur das offene Intervall (− π2 , π2 ) definiert werden. Daher lautet die Abbildungsvorschrift f¨ ur die Tangensfunktion: π π f : (− , ) → R 2 2 mit x 7→ tan(x) Man finde nun ein Additionstheorem f¨ ur die Tangensfunktion: sin(α + β) cos(α + β) sin(α) · cos(β) + sin(β) · cos(α) = cos(α) · cos(β) − sin(α) · sin(β) sin(α) · cos(β) sin(β) · cos(α) = + cos(α) · cos(β) − sin(α) · sin(β) cos(α) · cos(β) − sin(α) · sin(β) sin(β) · cos(α) sin(α) · cos(β) = + sin(β) cos(β)[cos(α) − sin(α) · cos(β) ] cos(α)[cos(β) − sin(β) · sin(α) cos(α) ] tan(α + β) =

=

sin(α) sin(β) + cos(α) − sin(α) · tan(β) cos(β) − sin(β) · tan(α) sin(α) sin(β) + = cos(α) cos(β) sin(α)[ sin(α) − tan(β)] sin(β)[ sin(β) − tan(α)] =

⇒ tan(α + β) =

1 tan(α)

1 + − tan(β)

1 tan(β)

1 − tan(α)

tan(β) tan(α) + 1 − tan(α) · tan(β) 1 − tan(α) · tan(β) tan(α) + tan(β) ⇒ tan(α + β) = 1 − tan(α) · tan(β)

Der Graph der Tangensfunktion wird sp¨ ater in Kapitel (4.3) gezeigt.

13

4.2.1

Berechnungstabelle fu ¨ r Sinus, Kosinus und Tangens

Es werden einige Funktionswerte von sin(α), cos(α), tan(α) die unter anderem Vielfache von π sind ermittelt. Es k¨ onnen sofort die Nullstellen und Extremwerte ermittelt werden. Wir betrachten die Sinus/Kosinusfunktion innerhalb einer Periode, d.h im Intervall I = [0, 2π]. Um die Nullstellen von Sinus und Kosinus zu ermitteln m¨ ussen wir die Funktionsgleichung null setzen. Aufgrund der Periodizit¨at und der Tatsache, dass sin(α + π2 ) = cos(α) dasselbe ist, gen¨ ugt es die Nullstellen von der Sinusfunktion zu ermitteln. Die Sinusfunktion geht durch den Koordinatenursprung, d.h. es ist x = 0 eine Nullstelle als auch alle Vielfachen von k · x, da k · x = 0 ⇔ (k = 0) ∨ (x = 0). Somit ist k ein ganzzahliger Laufindex von −∞ bis ∞ und x immer Null, falls es sich um eine Nullstelle handelt. Da sin(α + π2 ) = cos(α) indentisch sind, muss nun cos( π2 ) eine Nullstelle der Kosinusfunktion sein, sowie alle ganzzahligen Vielfachen derart das wiedderum k · x = 0 und x immer π2 ist. Damit sind nun die Nullstellen gekl¨ art. Es m¨ ussen noch die Extremwerte berechnet werden. Hierzu zeigen wir die Ableitung von sin(x) und cos(x), denn ein Extrempunkt liegt vor, wenn f 0 (x) = 0 und f 00 (x) 6= 0. Man zeige nun f (x) = sin(x) ⇒ f 0 (x) = cos(x) f (x) = cos(x) ⇒ f 0 (x) = −sin(x) f (x + h) − f (x) f 0 (x) = lim h→0 h sin(x + h) − sin(x) f 0 (x) = lim h→0 h sin(x)cos(h) + sin(h)cos(x) − sin(x) f 0 (x) = lim h→0 h sin(x)cos(h) − sin(x) sin(h)cos(x) + f 0 (x) = lim h→0 h h cos(h) − 1 sin(h) f 0 (x) = sin(x) · lim + cos(x) · lim h→0 h→0 h h Man ermittle nun die verbleibenden Grenzwerte: cos(h) − 1 =0 h→0 h sin(h) lim =1 h→0 h lim

Um die Grenzwerte zu ermitteln, verwende man die Potenzreihendarstellung der Sinus und Kosinusfunktion. P∞ P∞ P k h2k k h2k k h2k−1 h· ∞ cos(h) − 1 k=0 (−1) (2k)! − 1 k=1 (−1) (2k)! k=1 (−1) · (2k)! lim = lim = lim = lim h→0 h→0 h→0 h→0 h h h h ∞ X h2k−1 ⇒ lim (−1)k · =0 h→0 (2k)! k=1 P∞ P∞ h2k+1 h2k k k ∞ X h · k=0 (−1) · (2k+1)! sin(h) h2k k=0 (−1) · (2k+1)! lim = lim = lim = lim (−1)k · =1 h→0 h→0 h→0 h→0 h h h (2k + 1)! k=0

Mit den ermittelten Grenzwerten folgt nun cos(h) − 1 sin(h) + cos(x) · lim = cos(x) h→0 h→0 h h

f 0 (x) = sin(x) · lim

14

Analog kann man nun die Ableitung f¨ ur f (x) = cos(x) zeigen. cos(x + h) − cos(x) h→0 h cos(x)cos(h) − sin(x)sin(h) − cos(x) = lim h→0 h cos(x)[cos(h) − 1] − sin(x)sin(h) = lim h→0 h cos(h) − 1 sin(h) = cos(x) · lim − sin(x) · h→0 h h ⇒ f 0 (x) = −sin(x) f 0 (x) = lim

Da wir nun die Ableitung f¨ ur Sinus und Kosinus kennen k¨onnen wir die Extremstellen der jeweiligen Funktion ermitteln. Mit dieser Tabelle f¨ allt ebenso auf, das die Tangensfunktion lediglich Nullstellen, jedoch keine Extremstellen besitzt. Es ergibt sich somit die folgende vereinfachte Wertetabelle: Winkelfunktion sin(α) cos(α) tan(α)

0◦ 0 0 1 0

90◦ π 2

1 0 ∞

180◦ π 0 −1 0

270◦ 3·π 2

−1 0 ∞

Tabelle 1: Nullstellen und Extremstellen der trigonometrischen Funktionen Man kann sogar pr¨ aziser weitere wichtige Funktionswerte von sin(α), cos(α), tan(α) ermitteln. Wir werden mithilfe algebraischer Hilfsmittel, die Funktionswerte die in Tabelle 2 zu finden sind, be¨ rechnen. Davor sollt man sich aber einen Uberblick verschaffen, in welchen Quadranten Sinus und Kosinusfunktion positiv bzw. negativ sind, wie Abbildung 2 zeigt. Entscheidend dabei ist, das der Sinusfunktionswert genau dann positiv ist, wenn die y−Achse positiv, andernfalls ist der Sinusfunktionswert negativ. Der Kosinusfunktionswert ist genau dann positiv, wenn die x−Achse positiv ist, anderfalls ist der Kosinusfunktionswert negativ. Der Tangensfunktionswert ergibt sich ja aus dem Verh¨altniss des Sinusfunktionswertes und des Kosinusfunktionswertes. Daraus folgt, der Tangensfunktionswert ist genau dann positiv, wenn Sinusfunktionswert und Kosinusfunktionswert positiv sind oder Sinusfunktionswert und Kosinusfunktionswert negativ sind, andernfalls ist der Tangensfunktionswert negativ. Zur g¨ anzlichen Vollst¨ andigkeit der trigonometrischen Funktionen gebe ich noch drei weitere, jedoch nicht so bedeutsame als die bisherigen trigonometrischen Funktionen bekannt, diese w¨aren: 1. Die Kottangensfunktion cot(x) := 2. Die Sekantfunktion sec(x) :=

cos(x) sin(x)

1 sin(x)

3. Die Kosekantfunktion cosec(x) :=

1 cos(x)

Ferner zeigen wir, dass die Tangensfunktion tats¨achlich keine Extremstellen besitzt: f 0 (x) := (

sin(x) 0 ) ⇒ (u := sin(x) ⇒ u0 = cos(x)v := cos(x) ⇒ v 0 = −sin(x)) cos(x) u u0 · v − u · v 0 cos2 (x) + sin2 (x) 1 f 0 (x) = ( )0 = = = 2 2 v v cos (x) cos2 (x) 2

(x) cos2 (x)[1 + sin ] cos2 (x) + sin2 (x) π π cos2 (x) = = 1 + tan2 (x) ⇒ f 0 (x) > 0∀x ∈ R \ {− , } 2 2 cos (x) cos (x) 2 2

15

5.

2.Quadrant:91◦ ≤ x ≤ 179◦ {sin(x)} = + {cos(x)} = − {tan(x)} = −

y

4.

1.Quadrant: 0◦ ≤ x ≤ 89◦ {sin(x)} = + {cos(x)} = + {tan(x)} = +

3.

c

2. 1.

−3π

−π

−2π

0

π



−1. −2.

3.Quadrant:181◦

≤x≤

269◦

{sin(x)} = − {cos(x)} = − {tan(x)} = +

−3. −4.

4.Quadrant:271◦ ≤ x ≤ 359◦ {sin(x)} = − {cos(x)} = + {tan(x)} = −

Abbildung 2: Der Einheitskreis

4.3

Einige algebraisch-trigonometrische Berechnungsmethoden

F¨ ur bestimmte Vielfache von π kann man kann man trigonometrische Funktionswerte algebraisch berechnen. Im Gegensatz zur Zahl π bzw. zur eulerschen Zahl e die im u ¨brigen transzendent sind, d.h. nicht algebraisch darstellbar sind, kann man jedoch spezielle Funktionswerte wie die Tabelle 2 zeigt, dennoch algebraisch darstellen. Dabei heißt algebraisch, dass der jeweilige Funktionsterm durch mathematische Notationen u orper der komplexen Zahlen (da, dieser algebraisch abgeschlossen ¨ber den K¨ ist) darstellbar ist. Diese Notation kann nun ein Wurzelterm oder ein logarithmisches Verh¨altniss sein, zumindest muss diese Notation mit einem Term eindeutig darstellbar sein. Hingegen kann man die eulersche Zahl oder die Kreiszahl π nur durch numerische Verfahren beliebig genau berechnen. π Wir beginnen mit der Berechnung von sin(α), cos(α), tan(α) f¨ ur α ∈ { 2π 3 , 3} Es gelten folgenden Gleichungen: 1. Verdoppelungstheorem: cos(2α) = cos2 (α) − sin2 (α) 2. Periodizit¨ at: cos(π ± α) = −cos(α) Sei α =

π 3

π π ) = −cos( ) 3 3 3π π π cos( − ) = −cos( ) 3 3 3 π 2π cos( ) = −cos( ) 3 3 π 2 π 2 π cos ( ) − sin ( ) = −cos( ) 3 3 3 π 2 π 2 π cos ( ) − (1 − cos ( )) = −cos( ) 3 3 3 π 2 π 2cos ( ) − 1 = −cos( ) 3 3 cos(π −

16

Der Ausdruck cos( π3 ) kann mit u substituiert werden, dies liefert dann eine quadratische Gleichung: 2

u1,2 =

−1 ±



1 − 4 · 2 · −1 ⇒ u1,2 4



B 2 − 4AC 2A −1 ± 3 1 = ⇒ u1 = , u2 = −1 4 2

2u + u − 1 = 0 ⇒ u1,2 =

−B ±

Wir haben aber vereinbart, das der Funktionswert eindeutig ist, also kann nur eine L¨osung in Frage kommen. Wir wissen das cos(α) > 0 f¨ ur 0 ≤ α π2 . Es ist π3 < π2 ⇒ cos( π3 ) > cos( π2 ). Wir wissen π das 2 eine Nullstelle der Kosinusfunktion ist, daher folgt cos(α) > 0. Es bleibt somit nur die L¨ osung π 1 cos( 3 ) = 2 . Wir k¨ onnen daraus sofort den Sinuswert und den Tangenswert an der Stelle berechnen, denn es gelten die folgenden Beziehungen: 1. der trigonometrische Pythagoras sin2 ( π3 ) + cos2 ( π3 ) = 1 2. der Tangensfunktionswert ist u ¨ber tan( π3 ) =

sin( π3 ) cos( π3 )

definiert.

π π sin2 ( ) + cos2 ( ) = 1 3 3 π 2 π sin ( ) = 1 − cos2 ( ) 3 r 3 π π sin( ) = ± 1 − cos2 ( ) 3 3 r r π 1 π 4 1 sin( ) = ± 1 − ( )2 ⇔ sin( ) = ± − 3 2 3 4 4 r √ √ π 3 3 3 π ⇒ sin( ) = ± ⇔ sin( ) = ± √ = ± 3 4 3 2 4 √ π π π 3 π > 0 ⇒ sin( ) > sin(0) ⇒ sin( ) > 0 ⇒ sin( ) = 3 3 3 3 2 Man kann nun sofort den Tangenswert ermitteln: sin( π3 ) π tan( ) = 3 cos( π3 ) √

π tan( ) = 3

3 2 1 2

=



3

Mit einer Brucherweiterung, derart dass π3 = 2π ¨ber das Verdoppelungstheorem der Kosi6 kann man u nusfunktion cos( π6 ) berechnen. Mithilfe des trigonometrischen Pythagoras kann dann sin( π6 ) berechnet werden und letztlich ergibt sich daraus tan( π6 ). Wir ermitteln nun die verbleibenden Funktionswerte: 2π π π π π 0 = cos( ) = cos( ) = cos2 ( ) − sin2 ( ) ⇒ 2cos2 ( ) − 1 = 0 2 4 4 4 r4 π 1 1 cos( ) = ± = ±√ 4 2 2 π sin( ) π π π 1 π 4 sin2 ( ) + cos2 ( ) = 1 ⇒ sin( ) = ± √ ⇒ tan( ) = π =1 4 4 4 4 cos( 2 4) Der schwierigste Stelle aus dieser Tabelle ist π5 . Hier ist man gezwungen einem quadratischen Gleichungssystem nachzugehen und insbesonders jede L¨osung des Gleichungsystems bis auf eine eindeutige L¨osung zu widerlegen. Dieses quadratische Gleichungssystem geht wieder auf das Verdoppelungstheorem der Kosinusfunktion und der Periodizit¨at der Kosinusfunktion zur¨ uck. Es gelten die folgenden Gleichungen:

17

2π π π ) = cos2 ( ) − sin2 ( ) 5 5 5 5π π π II : cos( − ) = −cos( ) 5 5 5 4π π II : cos( ) = −cos( ) 5 5 π 2 2π 2 2π II : cos ( ) − sin ( ) = −cos( ) 5 5 5 2π π I : cos( ) = 2cos2 ( ) − 1 5 5 π 2 2π II : 2cos ( ) − 1 = −cos( ) 5 5 I : cos(

Wir vereinfachen das quadratische Gleichungssystem, durch folgende Substitutionen: u := cos( π5 ) und v := cos( 2π 5 ). Es ergibt sich folgendes Gleichungssystem: I : v = 2u2 − 1 II : u = −2v 2 + 1 Wir quadrieren Gleichung I und substituieren in Gleichung II. Damit ergibt sich folgende Gleichung 4. Grades I : v 2 = 4u4 − 4u2 + 1 ⇒II: u = −2 · (4u4 − 4u2 + 1) + 1 u = −8u4 + 8u2 − 2 + 1 ⇒ 8u4 − 8u2 + u + 1 = 0 Dies ist eine Polynomfunktion 4. Grades. Es gibt nach dem Fundamentalsatz der Algebra im K¨ orper der komplexen Zahlen daher mindestens eine Nullstelle. Im besten Fall besitzt diese Gleichung auch reele Nullstellen, denn jede reele Zahl ist auch Element einer komplexen Zahl. F¨ ur Polynomfunktionen 5. und h¨oheren Grades gibt es allerdings kein explizites L¨osungsverfahren. F¨ ur Polynomfunktionen 3. und 4. Grades gibt es die Cardanischen Formeln, die wir an dieser Stelle aber nicht anwenden werden, da diese es unn¨ otig verkomplizieren w¨ urden. Man kann aber, falls man eine reele Nullstelle kennt, eine Polynomdivision mit 0 Rest durchf¨ uhren, sodass sich der Grad der Potenz um 1 erniedrigt. Dieses Verfahren werden wir hier anwenden. Wir sind also gezwungen eine Nullstelle f¨ ur obige Gleichung zu finden. Mit der Stelle u1 = −1 h¨ atte man eine reele Nullstelle gefunden. Es gilt: 8 · (−1)4 − 8 · (−1)2 + (−1) + 1 = 0 Wir f¨ uhren nun eine Polynomdivision durch:   8u4 − 8u2 + u + 1 : u + 1 = 8u3 − 8u2 + 1 − 8u4 − 8u3 − 8u3 − 8u2 8u3 + 8u2 u+1 −u−1 0 Die Polynomdivision ist wie erwartet aufgegangen. Wir betrachten nunmehr die Gleichung der Polynomfunktion 3. Grades und versuchen wieder eine Nullstelle zu erraten. Man setze u2 = 12 . Durch nochmalige Polynomdivision erh¨ alt man eine quadratische Gleichung, die man mit den Aufl¨osungsformeln l¨osen kann.

18

  + 1 : u − 21 = 8u2 − 4u − 2

8u3 − 8u2 − 8u3 + 4u2 − 4u2 4u2 − 2u

− 2u + 1 2u − 1 0 Wir k¨onnen nun die verbleibende quadratische Gleichung mit der großen Aufl¨osungsformel l¨osen: √ −B ± B 2 − 4AC 2 8u − 4u − 2 = 0 ⇒ u34 = 2A √ √ 4 ± 16 + 64 4 ± 80 u34 = = 16 √ 16√ √ √ √ √ √ 4 ± ( 4 · 20) 4 ± ( 4 · 4 · 5) 4(1 ± 5) 1± 5 u34 = = = = 16 16 16 4 Damit haben wir alle L¨ osungen der Polynomfunktion bestimmt. Insofern sind alle L¨osungen von u auch L¨osungskandidaten von cos( π5 ). Da dieser Funktionswert eindeutig bestimmt ist, m¨ ussen wir im Stande sein, drei von vier L¨ osungsf¨ allen zu widerlegen. Wir wissen, dass 0 < π5 < π2 daraus folgt dass cos( π2 ) < cos( π5 ) < cos(0) ⇒ 0 < cos( π5 ) < 1. Wir wissen somit das cos( π5 ) > 0 sein muss, damit √

k¨ onnen wir alle negativen L¨ osungen verwerfen. Diese w¨aren u1 = −1 und u4 = 1−16 5 . Wir wissen dass cos( π5 ) < 1, damit bleiben allerdings immer noch die L¨osungen u2 und u3 u ¨brig. Allerdings ist π π π π < und daraus folgt das cos( ) > cos( ). Aufgrund seiner Eindeutigkeit und der Tatsache, dass 5 3 5 3 π 1 π 1 wir bereits wissen das cos( 3 ) = 2 k¨ onnen wir daraus folgern das cos( 5 ) > 2 ). Es bleibt somit nur u3 √

u ussen ist das 1+4 5 > 21 , denn dann haben wir ¨brig, da u3 > 21 ∧ u3 < 1. Was wir aber noch zeigen m¨ alle Kriterien erf¨ ullt. Schließlich darf sich hier kein Widerspruch ergeben. √ √ √ √ 1+ 5 1 4 zz : > ⇒1+ 5> ⇒1+ 5>2⇒ 5>1 4 2 2 Damit haben wir alles bewiesen und eine L¨osung gefunden. Wir wollen nun den Sinusfunktionswert und Tangensfunktionswert an der Stelle π5 ermitteln. Durch Umformung des trigonometrischen Pythagoras erhalten wir zwei L¨ osungskandidaten, wobei sin( π5 ) > 0 ist, daher ist nur die positive L¨osung von Bedeutung. π π sin2 ( ) + cos2 ( ) = 1 5 5 π 2 π sin ( ) = 1 − cos2 ( ) 5 √ 52 π (1 + 5) sin2 ( ) = 1 − 5 √16 π 1+2· 5+5 sin2 ( ) = 1 − 5 16 √ π 6 + 2· 5 sin2 ( ) = 1 − 5 16√ π 2(3 + 5) sin2 ( ) = 1 − 5 16√ π (3 + 5) sin2 ( ) = 1 − 5 s 8√ √ π 5− 5 π 5− 5 sin2 ( ) = ⇒ sin( ) = 5 8 5 8

19

Es bleibt noch der Tangensfunktionswert u ¨brig: sin( π5 ) π tan( ) = 5 cos( π5 ) √ √ q √ p √ p √ √ 5− 5− 5 √ 5 π 2 5− 5 10 − 20 8 8 √ √ √ √ = = tan( ) = = 1+ 5 1+ 5 1+ 5 1+ 5 √ 5 4 16 s s p √ √ √ π 10 − 20 10 − 20 10 − 20 √ √ tan( ) = q = = √ 5 1+2· 5+5 6 + 20 (1 + 5)2 s s √ √ √ √ π (10 − 20) · (6 − 20) 60 − 10 20 − 6 20 + 20 √ √ √ √ tan( ) = = 5 (6 + 20) · (6 − 20) 36 − 6 20 + 6 20 − 20 s s √ √ q √ π 80 − 16 · 20 16(5 − 20) tan( ) = = = 5 − 20 5 16 16 ¨ Wir haben nun alle Funktionswerte berechnet. Zur besseren Ubersicht sind alle Funktionswerte in Tabelle 2 aufgelistet. Winkelfunktion

60◦

45◦

sin(α)

π 3 √ 3 2 1 2

π 4 √1 2 √1 2

cos(α) tan(α)



3

1

36◦

30◦

π q 5√ 5− 5 √8 1+ 5 p 4

5−



20

π 6 1 √2 3 2 √1 3

Tabelle 2: Kleine Berechnungstabelle f¨ ur trigonometrische Funktionen

Wir zeigen noch das Additionstheorem der Arkustangensfunktion, obwohl wir diese noch nicht n¨ aher kennen. Die Existenz der Umkehrfunktionen der Sinus, Kosinus und Tangensfunktion wird im n¨achsten Abschnitt erl¨autert. Setze u := tan(α) ⇔ α = arctan(u) und v := tan(β) ⇔ β = arctan(v) tan(α) + tan(β) 1 − tan(α) · tan(β) tan(α) + tan(β) arctan(tan(α + β)) = arctan( ) 1 − tan(α) · tan(β) u+v α + β = arctan( ) 1−u·v u+v arctan(u) + arctan(v) = arctan( ) 1−u·v tan(α + β) =

Dieses Theorem ist nur dann g¨ ultig, wenn |u|, |v| < 1 sind, denn ansonsten w¨ urde man den Definitionsbereich der Tangensfunktion u ¨berschreiten. Die Tangensfunktion ist auf (− π2 , π2 ) definiert. Daher muss − π2 < α < π2 gelten. Es ist |u| > 1 und |v| > 1. Nach den Anordnungsaxiomen ist daher |u| + |v| > 1 als auch |u| · |v| > 1. Die gegebenen Stellen liegen außerhalb des Definitionsbereichs. Falls |u|, |v| = 1 ⇒ |u| · |v| = 1 ⇒ |u| + |v| = 2. Sie liegen ebenfalls außerhalb des Definitionsbereichs. Es bleibt also nur der Fall |u|, |v| < 1 u ur gilt |tan(α)| < 1 und |tan(β)| < 1. Daraus folgt ¨brig. Denn hief¨ α < π4 und β < π4 . Somit ist α + β < π2 .

20

4.4

Die Graphen der Sinus-Kosinus und Tangensfunktion

Es werden nun die Graphen der Sinus und Kosinusfunktion dargestellt. Ferner werden wir die Bijektivit¨at dieser beiden Funktionen zeigen und dann mit Hilfe der 1. Mediane y = x deren Umkehrfunktionen konstruieren. Man betrachte sich die Abbildung 3. Die Bildbereich der Sinusfunktion ist im(f (x)) = {y| − 1 ≤ y ≤ 1}∀y ∈ R Falls f : R → [−1, 1] mit x 7→ sin(x) gilt. Dasselbe gilt f¨ ur die Kosinusfunktion: Dazu betrachte man sich die Abbildung 4. Wiederrum ist der Bildbereich der Kosinusfunktion im(g(x)) = {y| − 1 ≤ y ≤ 1}∀y ∈ R Falls g : R → [−1, 1] mit x 7→ cos(x) gilt. y 1. f

x −π

π

0 −1.

Abbildung 3: Der Graph der Sinusfunktion

y 1.

x −π f

0

π

−1.

Abbildung 4: Der Graph der Kosinusfunktion

21

j

y

i

3.

− π2

π 2

2. 1.

x f−π

π

0 −1. −2.

Abbildung 5: Der Graph der Tangensfunktion

4.5

Die Graphen der Umkehrfunktionen

Die zugeh¨origen Umkehrfunktion nennen wir auch Arkusfunktionen Es gilt f : [−1, 1] → R mit 1. x 7→ arcsin(x) 2. x 7→ arccos(x) 3. x 7→ arctan(x) Dabei sehen die Graphen folgendermaßen aus: 1.5 1. 0.5

−1.5 −1. −0.5

0

0.5

−0.5 −1. −1.5 f

−2. −2.5

1.

22

1.

1.5

2.

2.5

5

Die Arkustangensreihe

Wir wissen, was die Ableitung der Arkustangensfunktion ist, daher setzen wir folgendes an: f (x) = 1 0 arctan(x) und f 0 (x) = 1+x ur 2 . Wir schreiben f (x) in eine geometrische Reihe um, denn es gilt f¨ |x| < 1 die folgende geschlossene Formel: ∞ X

xk =

k=1

1 falls |x| < 1 1−x ∞

X 1 1 = f (x) = = (−x2 )k 1 + x2 1 − (−x2 ) 0

k=1

∞ X

(−x2 )k =

k=1

∞ X

(−1)k x2k = f 0 (x)

k=1

Man integriere von f 0 (x) auf f (x): Z f (x) =

f 0 (x)dx

Z X ∞ f (x) = (−1)k x2k dx k=1 ∞ X x2k+1 +C f (x) = (−1)k 2k + 1 k=1

Mit der Anfangsbedingung, dass f (0) = 0 ist, l¨asst sich C eliminieren. Der Beweis der Anfangsbedingung ist leicht, nachvollziehbar, denn der tan(0) = 0 d.h. die Stelle x = 0 ist ein Fixpunkt. Somit muss auch arctan(0) = 0 sein. Wir haben somit eine Potenzreihendarstellung f¨ ur die Arkustangensfunktion π gefunden. Wir wissen, dass tan( 4 ) = 1 ist, daher hat Leibniz festgestellt, dass infolge arctan(1) = π4 sein muss. Da diese Reihe, sehr langsam gegen π4 konvergiert, war man mehr oder weniger dazu gezwungen eine schnellere Reihe zu finden, die gegen π4 konvergiert. Der Astronom John Machin, war einer der ersten, der diese schnellere Reihe gefunden hat.

5.1

Die John Machin Formel

Da wir bereits ein Arcustangenstheorem kennen, k¨onnen wir o.B.d.A annehmen, dass u, v < 1 und u = v = 15 ist. Wir wissen dass f¨ ur u < 1, v < 1 folgendes Theorem gilt: u+v ) 1−u·v 1 +1 1 1 arctan( ) + arctan( ) = arctan( 5 1 5 1 ) 5 5 1− 5 · 5 arctan(u) + arctan(v) = arctan(

2 1 1 arctan( ) + arctan( ) = arctan( 5 1 ) 5 5 1 − 25 2 1 5 2 · arctan( ) = arctan( 24 ) 5 25 1 2 · 25 ) 2 · arctan( ) = arctan( 5 5 · 24 1 5 2 · arctan( ) = arctan( ) 5 12 5 Wir wissen, dass 12 < 1 ist, daher kann man versuchen, das doppelte dieses Wertes zu nehmen und in das Arcustangenstheorem einzusetzen.

23

2 · arctan(

5 + 5 5 ) = arctan( 12 5 125 ) 12 1 − 12 · 12

10 5 ) = arctan( 12 25 ) 12 1 − 144 5 144 · 10 2 · arctan( ) = arctan( ) 12 12 · 119 120 5 ) 2 · arctan( ) = arctan( 12 119

2 · arctan(

120 Nun wissen wir aber, dass 119 > 1 d.h. es ist nicht mehr m¨oglich, diesen Wert in das Arcustangenstheorem zu substituieren. Allerdings existiert ein Wert x < 1 sodass folgende Bedingung erf¨ ullt ist: 120 arctan(1) + arctan(x) = arctan( ) 119 Warum es diesen Wert x geben muss ist leicht einzusehen; Die Funktion f (x) = tan(x) hat den eingeschr¨ankten Definitionsbereich (− π2 , π2 ). Daher muss die Umkehrfunktion der Tangensfunktion, also die Arcustangensfunktion einen eingeschr¨ankten Wertebereich von (− π2 , π2 ) besitzen. Um das Arcustangenstheorem f¨ ur alle u, v ∈ R zug¨anglich zu machen, m¨ ussen beide Terme < 1 sein, da nur dann gew¨ahrleistet ist, dass beide Terme innerhalb des offenen Intervalls des Wertebereichs liegen. Sollte eine der beiden Terme,d.h. u oder v ≥ 1 sein, dann muss es aber genau einen x− Wert geben, der um soviel kleiner ist als u, sodass die Summe und die Multiplikation aus u und v weiterhin kleiner als 1 ist. Die eigentlich Frage ist nun, warum es diesen x− Wert geben muss? Nun w¨ urde es diesen x− Wert nicht geben, dann w¨ urde es ein Widerspruch geben, zu der Behauptung, dass die Summe aus x + v < 1 ist. Denn wenn die Summe < 1 ist, dann muss der Ausdruck im Definitionsintervall der Tangensfunktion liegen, bzw. im Wertebereichsintervall der Arcustangensfunktion. Wir ermitteln daher diesen x− Wert. Wir setzen aus obiger Gleichung nun u = 1 und v = x an und erhalten:

u+v 120 = 1−u·v 119 1+x 120 = 1−x 119 119 · (1 + x) = 120 · (1 − x) 119 + 119x = 120 − 120x 1 239x = 1 ⇒ x = 239 Es muss daher die folgende Gleichung gelten: 1 120 ) = arctan( ) 239 119 π 120 1 = arctan(1) = arctan( ) − arctan( ) 4 119 239 arctan(1) + arctan(

Verwendet man nun noch die nachfolgenden Beziehungen, so st¨oßt man auf die John-Machin Formel: arctan(

120 5 1 ) = 2 · arctan( ) = 4 · arctan( ) 119 12 5

π 1 1 = arctan(1) = 4 · arctan( ) − arctan( ) 4 5 239

24

(11)

Die Formel (11) ist eine sehr effiziente Formel zur numerischen Berechnung von π, da sie sehr schnell konvergiert. Schreibt man die Arcustangensfunktion in eine Potenzreihe um, so kann man mithilfe des Leibniz-Kriteriums den numerischen Fehler leicht absch¨atzen. Mit nur sieben bis acht Durchg¨angen ist es Machin gelungen, π auf 100 korrekte Dezimalstellen zu bestimmen.

5.2

Potenzreihendarstellung der John-Machin Formel

Es gilt die John-Machin Formel in eine Potenzreihe umzuformen: π 1 1 = 4 · arctan( ) − arctan( ) 4 5 239 ∞ ∞ 1 2k+1 1 2k+1 X X π k (5) k ( 239 ) =4· − (−1) · (−1) · 4 2k + 1 2k + 1 k=0

k=0

Jetzt kann man mithilfe des Leibniz-Kriteriums den numerischen Fehler bestimmen. Nach dem LeibnizKriterium gilt, dass man von einer alternierenden monoton fallenden Nullfolge eine Restgliedabsch¨ atzung derart machen kann, so dass der Fehler des Restgliedes h¨ochstens so groß, wie der Betrag des letzt weggelassenen Summmanden ist. N

X ( 1 )2k+1 ( 1 )2k+3 1 |4 · arctan( ) − 4 · (−1)k · 5 |≤ 5 5 2k + 1 2k + 3 k=0

|4 · arctan(

1 )−4· 239

N X

(−1)k ·

k=0

25

1 2k+1 ( 239 ) ( 1 )2k+3 | ≤ 239 2k + 1 2k + 3