4. Nichtlineare Gleichungssysteme
(4.1)
Gegeben : F : D Õ Ñn ô Ñn oder
G : D Õ Ñn ô Ñn
èè èè Gesucht : x Œ D mit F Hx L = 0
(Nullstellenproblem) oder
èè èè èè x Œ D mit G (x ) = x
(Fixpunktproblem)
Beispiele: (i) GHxL = e-x Plot@8x, Exp@−xD 1 und x Œ (a, b). èè ( x p-fache Nullstelle von F )
Behauptung:
èè Das Newton-Verfahren konvergiert lokal linear gegen x 1
mit Konvergenzrate Q1 = 1 - ÄÄÄÄÄ . p
Beweis: .........
............ Satz 4.7 ( Modifiziertes Newton-Verfahren bei mehrfachen Nullstellen )
numerik4.nb
36
Voraussetzungen: Wie in Satz 4.6 aber F ΠCp+1 [a, b] .
Behauptung:
Das modifizierte Newton-Verfahren FHx L
m ÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄ , m=0,1,.... xm+1 := xm - p ÄÄÄÄÄÄÄÄ ¢
(4.5)
F Hxm L
èè konvergiert lokal mindestens quadratisch gegen x 1
èè F Hp+1L Hx L
ÄÄÄÄÄÄÄÄÄ . mit Konvergenzrate Q2 = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ HpL èè pHp+1L
Hx L
F
Beweis: ...............
................. Bemerkung: F œ C p [a, b] liefert i.a. lediglich superlineare Konvergenz des modifizierten Newton-Verfahrens.
à Berechnung von Polynomnullstellen mit dem Newton-Verfahren: xm+1 = xm - p0 H xm L ê p0 ¢ Hxm L ,
p0 Œ ¤K , x0 Œ  ,
m=0,1,...
p0 Hxm L und p0 £ Hxm L können effizient mit zweimaliger Durchführung des Hornerschemas (3.18) berechnet werden. Ist dann êêx eine Nullstelle von p , so berechnet man p HxL := p HxL/( x - êêx ) 0
1
0
wiederum mit dem Hornerschema ( Abspalten einer Nullstelle ) und wendet das Newton-Verfahren auf p1 an etc.
Vorteile dieser Strategie: (i) Der Grad der zu behandelnden Polynome verringert sich. (ii) Bereits gefundene Nullstellen werden nicht noch einmal berechnet. è Probleme: Statt exakter Nullstelle êêx hat man nur eine Näherung êêx , daher ist auch p1 nicht exakt : Fehlerfortpflanzung.
numerik4.nb
37
Satz von BARNA: Newton-Verfahren bei einem Polynom p mit reellen Koeffizienten: (i) Hat p konjugiert komplexe Nullstellen, so sind Divergenzintervalle möglich. Vgl. obiges Beispiel mit F(x)=−x4 + 6 x2 + 11 und x0 œ [-5/4, -3/4] ‹ [3/4, 5/4]. (ii) Hat p nur reelle Nullstellen, so sind ebenfalls überabzählbar viele Divergenzpunkte möglich, aber das Lebesgue-Maß der Divergenzmenge ist Null.
Satz 4.8 ( Newton-Verfahren bei Polynomen mit reellen Nullstellen )
Voraussetzung: p Œ
¤K
\HTraditionalForm \
\Lhat die K reellen Nullstellen
z1 ≥ z2 ≥ ... ≥ zK Behauptung: Für alle Startwerte 9
x0 ≥ z1 x0 zK
Newton-Verfahren monoton 9
gegen 9
z1 zK
konvergiert das
fallend wachsend
.
Beweis: ..............
.................. Bemerkungen:
(i) z1 braucht keine einfache Nullstelle zu sein. Dies beeinflusst allerdings die Konvergenzgeschwindigkeit. p£ Hx L
K
(ii) | ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ0ÅÅÅÅ | = | ‚ ÅÅÅÅÅÅÅÅ1ÅÅÅÅÅÅ | K / min { | x0 - zi | : i=1(1)K } pHx0 L
i=1
x0 -zi
impliziert:
pHx L
0 " x0 œ  $ Nullstelle êê x von p : | x0 - êêx | K | ÅÅÅÅÅÅÅÅ £ ÅÅÅÅÅÅÅÅ | .
p Hx0 L
Dies liefert folgendes Abbruchkriterium: pHx L p Hxm L
m STOP , falls K | ÅÅÅÅÅÅÅÅ £ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ | ¶ . Akzeptiere xm als Näherung.
numerik4.nb
38
à Varianten des Newton-Verfahrens:
(A) Newton-Verfahren mit konstanter Ableitung
x0 ,
F ¢ Hx0 L π 0
(4.6) FHx L
xm+1 := xm - ÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄmÄÄÄÄÄ , m=0,1,.... ¢ F Hx0 L
Iterationsfunktion: G(x) = x - FHxL ê F £ Hx0 L ,
G£ (x) = 1- F £ (x) / F £ Hx0 L ï êê) / F £ Hx L < 2 , lokal lineare Konvergenz, wenn 0 < F £ (x 0
êê) = F £ Hx L . lokal superlineare Konvergenz, wenn F (x 0 £
Praktische Durchführung: Nach M > 1 Schritten mit (4.6) ersetzt man F £ Hx0 L durch F £ HxM L .
(B) Sekantenverfahren
Startwerte x0 und x1 (4.7) FHx L
m xm+1 := xm - ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄLÄÄÄÄ , FHx L - FHx
m=1,2,....
m m-1 ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄ xm - xm-1
Vorteil: In jedem Schritt ist nur ein neuer Funktionswert zu berechnen.
Hinweis: Bei einfacher Nullstelle und zweimal stetig differenzierbarem F konvergiert è!!!! das Sekantenverfahren lokal mit der Ordnung ÅÅÅÅ1 (1+ 5 ) º 1.62 2
# Goldener Schnitt, Fibonacci-Zahlen ....
(C - Z) ............ verfahren sowie Verfahren von ..............
numerik4.nb
39
4.3 Das Newton-Verfahren
für Systeme nichtlinearer Gleichungen
à Gegeben: D Õ
Ñn , F Œ C 1( D, Ñn )
∂F HxL ( F ¢ (x) = ij ÄÄÄÄÄÄÄÄiÄÄÄÄÄÄÄÄ yz
k
∂x j
{i, j=1 H1L n
èè èè Gesucht: x Œ D : F( x ) = 0 . D konvex, xH0L œ D
êê) = 0 = FHxH0L L + ï F(x ‡
0
1
F £ H xH0L + tH êêx - xH0L L L H êêx - xH0L L „ t
U FHxH0L L + F £ H xH0L L H êêx - xH0L L
(Rechteckregel)
ï Näherung xH1L als Lösung des linearen Gleichungssystems 0 = FHxH0L L + F £ H xH0L L H xH1L - xH0L L bzw.
F £ H xH0L L d H0L = - FHxH0L L ï d H0L , die Newton Korrektur, und xH1L = xH0L + d H0L usw.
Formal analog zum 1-dimensionalen Fall: xH0L œ D Œ Ñn , xHm+1L := xHmL - [ F £ H xHmL L D-1 FHxHmL L , m=0,1,... NEWTON-VERFAHREN. Bemerkungen: (i) Ist F £ H xHmL L singulär, so ist obige Iteration nicht definiert, Abbruch. (ii) Bei der praktischen Durchführung wird nicht [ F £ H xHmL L D-1
berechnet ( Aufwand: n3 Operationen ). Das Verfahren wird vielmehr so durchgeführt: NEWTON-VERFAHREN: x H0L Œ D Õ
Ñn
,
Berechne für m=0,1,... die Newton-Korrektur d HmL
als Lösung des linearen Gleichungssystems
)
numerik4.nb
40
(4.8)
F ¢ H x HmL L d HmL = - FHx HmL L ( z.B. mit Gauß-Elimination, Aufwand: n3 /3 Operationen ). Setze dann x Hm+1L := x HmL + d HmL
Hinweis: Auch dieses Verfahren ist lokal mindestens quadratisch konvergent , sofern in einer Kugel um êêx »» F £ HxL-1 || gleichmäßig beschränkt und F £ gleichmäßig Lipschitz-stetig ist. EXISTENZ einer Nullstelle, Konvergenz des Newton-Verfahrens und Fehlerabschätzungen liefert der Newton-Kantorowitsch-Satz.
i cosHx1 L -1 yz i sinHx1 L - x2 yz Beispiel: F(x) := jj z , F £ (x) = jj z ï Newton-Verfahren: x cosHx L sinHx2 L { 2 { k 1 k 1 ij cosIxHmL ij xHmL -1 yz ij d1HmL yz - sinIxHmL 1 M 1 My zz jj jj 2 zz jj z z , = z jj j j HmL z HmL z HmL HmL z j z z 1 sinIx M cosIx M x d 2 {k 2 { 2 1 { k k xHm+1L := xHmL + d HmL , m=0,1,.... êê i 0.76817 yz p ij 1 yz Startwerte z.B. xH0L = ÅÅÅÅÅ j z , x º jj z . 4 k1{ k 0.69482 {
Plot@8Cos@Sin@xDD − x, Sin@Cos@xDD − x
