Nichtlineare Systeme Test auf Nichtlinearität Ausblick

Nichtlineare Zeitreihenanalyse Raimar Sandner

Studentenseminar "Statistische Methoden in der Physik" 2007

Raimar Sandner

Nichtlineare Zeitreihenanalyse

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Gliederung 1

Nichtlineare Systeme Phasenraum Chaos Zeitreihen

2

Test auf Nichtlinearität Surrogate Kritik an Methoder der Surrogate

3

Ausblick

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Phasenraum Chaos Zeitreihen

Gliederung 1

Nichtlineare Systeme Phasenraum Chaos Zeitreihen

2

Test auf Nichtlinearität Surrogate Kritik an Methoder der Surrogate

3

Ausblick

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Phasenraum Chaos Zeitreihen

Charakterisierung (Deterministisches) dynamisches System gegeben durch Zustandsgrößen x ∈ Rn , bilden Phasenraum Beispiel x = (x1 , . . . , xn )

  x = ~x , ~x˙

x = (T , V , p)

Vorschrift für Zeitentwicklung der Vektoren im Phasenraum Zeitkontinuierlich dx dt

= f (p, t, x ), t ∈ R

Zeitdiskret x t+1 = F (p, t, x t ), t ∈ Z

Anfangsbedingungen, x(t0 ) bzw. x 0

Trajektorie

Nichtlineare Dynamik: f bzw. F nichtlinear Raimar Sandner

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Phasenraum Chaos Zeitreihen

Phasenraumvolumen Betrachte gebundene Lösungen Konservative Systeme: Phasenraumvolumen erhalten Dissipative Systeme: Phasenraumvolumen schrumpft div f < 0 bzw. |det J F | < 1 (im Mittel) Physikalisch: Energie ist erhalten oder wird dem System entzogen. Phasenraum kann auch in eine Richtung gestreckt, in andere gestaucht werden.

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Phasenraum Chaos Zeitreihen

Atraktoren Assymptotisches Verhalten der Trajektorien Definition (Atraktor A) A kompakt A invariant unter Dynamik ∃ offene Umgebung U ⊃ A, die sich auf A zusammenzieht Einzugsbereich (Atraktorbecken) Maximale Menge, die sich auf A kontrahiert.

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Phasenraum Chaos Zeitreihen

Beispiele für Atraktoren

1.5

3 50

1

2

45 40

0.5

35

1

30

0

25

0 −0.5

20 −1

15

−2

5 −20

−1

10

−1.5

0 −2 −0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Fixpunkt (ged. harm. Oszillator)

−3 −4

−3

−2

−1

0

1

2

3

Grenzzyklus (van der Pol Oszillator)

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20

4

−30

−20

−10

0

10

20

30

Fraktaler Atraktor (Lorenz-Atraktor)

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Phasenraum Chaos Zeitreihen

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3

Ausblick

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Stretch and Fold Beispiel (Hénon-Map) 0.5

0.8

0.4

0.4 1

0.3

0.6 0.3

0.2 0.4

0.2

0.5

0.1

0.1 0

0.2

0

0 0

−0.1 −0.5

−0.1

−0.2

−0.2 −0.2

−0.3 −1

−0.4

−0.3

−0.4

−1

−0.5

0

0.5

1

−0.5 −2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

−0.6 −8

2.5

−6

−4

−2

0

−0.4 −1.5

2

Beispiel (Rössler-System)

40 30 30 20

20

10

10 0

0 20

15

10

5

−10 0

−5

−10

−15

−20

−25

−20

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

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Phasenraum Chaos Zeitreihen

Fraktale Dimension eines Atraktors chaotisches Verhalten: kleine Änderung Abweichung

große

topologische Dimension nicht-ganzzahlig jede Bahn im Einzugsbereich kommt jedem Punkt des Atraktors beliebig nahe Überdeckungsdimension (Boxcounting-Dimension) überdecke A mit ε-Würfeln für kleine ε: benötigte Anzahl N(ε) ∝ DB = limε→0

ln N(ε) ln( ε1 )

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1 ε DB

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Phasenraum Chaos Zeitreihen

Lyapunov-Exponent Chaos: exponentielles Auseinanderlaufen naher Trajektorien linearisiere System lokal d(x+δx) dt

= f (x + δx) ≈ f (x) + δxDf (x) , mit Jakobimatrix Df (x)

dδx = δxDf (x) dt

δx(t) = δx(0)eλt ,

Lyapunov-Exp. λ

Betrag größter Eigenwert λmax > 0 ⇒ Chaos P dissipatives System: i λi < 0 Raimar Sandner

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Phasenraum Chaos Zeitreihen

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Phasenraum Chaos Zeitreihen

Einbettung Problem Gegeben eindimensionale diskrete Zeitreihe {xi }N i=1 . Wie ist Atraktor zu rekonstruieren? wähle Einbettungsdimension m, delay τ
~xi = xi , xi−τ , xi−2τ , . . . , xi−(m−1)τ Ergebnis sollte topologisch äquivalent zum Atraktor des Systems sein mathematische Behandlung in embedding theorems, Bedingungen an m und τ

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Phasenraum Chaos Zeitreihen

Beispiel Einbettung Einbettung der x-Koordinate eines Lorenz-Atraktors. m = 3, τ = 1, 7, 20. 20 20

15

10

10 5

0

0 −10 −5 −20 20

−10 −15

10

−20 −20

20

20

0

0

0

10

0

10

−10

−10

−10

−10

10 20

−20

−20

−20

20 15 10 5 0 −5 −10 20

−15 −20 −20

0 −15

−10

−5

0

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5

10

15

20

−20

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Phasenraum Chaos Zeitreihen

Korrellationsdimension Korrelationssumme C(ε) =

2 N(N−1)

PN PN i=1

j=i+1 Θ


ε − kx~i − ~xj k

Anteil aller möglichen Punktpaare, die näher als ε beieinander liegen (hängt implizit von Einbettung ab)

Für ε → 0, N → ∞ sollte C(ε) ∝ εD Korrelationsdimension D d (N, ε) =

∂ ln C(ε,N) ∂ ln ε ,

D = limε→0 limN→∞ d (N, ε)

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Surrogate Kritik an Methoder der Surrogate

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Surrogate Kritik an Methoder der Surrogate

Methode Surrogate Daten Lat: surrogatum, der Ersatz. „Ersatzdaten“ für eine gegebene Zeitreihe

stelle Nullhypothese generiere Surrogaten unter Nullhypothese berechne Teststatistik auf allen Surrogaten (QHi ) und auf echten Daten (QD ) verschiedene Teststatistiken denkbar

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Surrogate Kritik an Methoder der Surrogate

Zurückweisen der Nullhypothese Test auf Gleichheit der Verteilungen

Häufigkeit

z.B. Kolmogorov-Smirnov-Test nur praktikabel wenn mehrere echte Zeitreihen existieren (oder Stückeln der Daten) Nehme QHi gaußverteilt an oft sinnvolle Näherung berechne Signifikanz: Abweichung QD vom Mittelwert der QHi in Einheiten der Standardabweichung

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8

9

10

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11 12 13 discriminating statistic

14

15

16

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Surrogate Kritik an Methoder der Surrogate

Erzeugen der Surrogate Surrogate als parametrischer Bootstrap behalte „typisch lineare“ Parameter des Prozesses: Mittelwert, Powerspektrum zerstöre Phasenkorrelationen Technisch 2 1 PN Periodogramm IX (ω) = 2πN t=1 Xt exp(−iωt) ziehe θj , unabhängig und gleichverteilt auf [0, 2π] Rücktransformation: q P p m Xt∗ = X + 2π j=1 2 IX (ωj ) cos(ωj + θj ) N

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Surrogate Kritik an Methoder der Surrogate

Erzeugen der Surrogate generierte Surrogate automatisch linear, Gaussch, stationär, stochastisch

verschiedene Spielarten falls Zeitreihe nicht periodisch, falsche hochfrequente Anteile „Windowed Fourier transform algorithm“ falls Zeitreihe monotone nichtlineare Transformation eines linearen gausschen Prozesses „Amplitude adjusted Fourier transfom algorithm“

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Surrogate Kritik an Methoder der Surrogate

Teststatistiken

Zum Beispiel Vorhersagefehler Lyapunov-Exponenten Korrelations-Dimension Momente höherer Ordnung

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Ausblick

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Surrogate Kritik an Methoder der Surrogate

Nullhypothese zu restriktiv Nullhypothese Daten liegt linearer, Gausscher, stationärer, stochastischer Prozess zugrunde. Nie erfüllt! ⇒ wird mit genug Daten immer zurückgewiesen

Aber: sagt noch nichts über die Alternative nicht die durch Teststatistik suggerierte Alternative trifft automatisch zu

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Power der Surrogaten-Tests Wann ist Aussage über bestimmte Alternative möglich? Nur wenn. . . Power für diese Alternative hoch Power für alle anderen Alternativen niedrig Beispiel Modelliert: AR[2], leichte Verletzungen der Stationarität Testfeature: „getrimmte“ Korrelationsdimension

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Surrogate Kritik an Methoder der Surrogate

Außerdem. . . erzeuge 1000 Prozesse unter Nullhypothese schätze daraus Verteilung der Teststatistik, kritischen Wert erzeuge für jeden 1000 Surrogate, jeweils 95%-Quantil 1000 „ersatz“-kritische Werte

Hoffnung Test, der zurückweist, falls Teststatistik > kritischer Wert äquivalent zu auf Surrogaten basierendem Test

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Surrogate Kritik an Methoder der Surrogate

Ergebnis Surrogatentest hält zwar korrektes Level ein Aber: 120

100

80

60

40

20

0 0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

0.65

0.7

0.75

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

0.65

0.7

0.75

120

100

80

60

40

20

0 0.25

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Weiterführende Themen

Spektralanalyse auf nichtlinearen Zeitreihen Stochastische Einflüsse, Beobachtungsrauschen, Rauschen in der Dynamik Nichtlineare Rauschunterdrückung Modellbildung

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8

6

4

2

0

−2

−4

−6

−8 −2.5

−2

−1.5

−1

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−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Literatur

J Theiler, S Eubank, A Longtin, B Galdrikian, and JD Farmer. Testing for nonlinearity in time-series - the method of surrogate data. Physica D, 58:77–94, Sep 1992. E Mammen and S Nandi. Change of the nature of a test when surrogate data are applied. Physical Review E, 70:016121, Jul 2004. J Timmer. Power of surrogate data testing with respect to nonstationarity. Physical Review E, 58:5153–5156, Oct 1998.

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J Timmer. What can be inferred from surrogate data testing? Physical Review Letters, 85:2647–2647, Sep 2000. H. Kantz and T. Schreiber. Nonlinear time series analysis. Cambridge University Press, 1997. J. Kurths. Lineare und nichtlineare Methoden der Zeitreihenanalyse. Vorlesungsskript, Okt 2000

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