nichtlineare systeme 1 algorithmen in aku stik und compute rmusik

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Inhalt ●

Nichtlineare Systeme

●

Voltera Reihenexpansion

●

Statische quasi-nichtlineare Systeme

●

Dynamikprozessoren ●

Kontrollparameter

●

Anwendungen

●

Frequenzabhängige nichtlineare Systeme

●

Signalverfremdung

●

Messparameter

24.10.2010

nichtlineare systeme 2 algorithmen in aku stik und compute rmusik

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Allgemein ●

LTI: Asin T 

BsinT 

H z

Zölzer (2002)

●

Nichtlinear TI: AsinT 

BsinT  Zölzer (2002)

∑ B n sin n⋅ T  n  n

n∈ℕ

nichtlineare systeme 3 algorithmen in aku stik und compute rmusik

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Definition ●

Lineare Systeme: T { a⋅x tb⋅y t  }=a⋅T { xt  } b⋅T { y t }

●

Nichtlineare Systeme: ●

Systeme, die die obere Gleichung NICHT erfüllen

●

Keine Einheitliche Definition für alle nichtlineare Systeme!

●

Verschiedene Systemklassen: viele verschiedene Definitionen

nichtlineare systeme 4 algorithmen in aku stik und compute rmusik

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Polynomiale Systeme ●

Klasse der polynomialen Systeme: p

y [n]=∑ f i { x[n] , x [n−1] ,, x [n−N ] , i=0

y [n−1] , y [n−2] , , y [n−M ] } ●

f i { } ist ein Polynom der i-ter Ordnung

●

Superposition verschiedener Polynome

●

Polynomiales System des Grades p

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Bilinearer Filter ●

Idee:

x , y , x⋅y  y [n] N1

N2

N3

N4

y [n]=∑ a i x [n−i ]∑ b j y [n− j ]∑ ∑ c ij x [n−i ] y [n− j ] i=0

j=1

i=0 j=0

●

Rekursiver Anteil

●

Erweiterung eines linearen IIR-Filters

nichtlineare systeme 6 algorithmen in aku stik und compute rmusik

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Quadratischer Filter ●

Idee: x , x 2  y [n] N1

N2

N2

y [n]=∑ h1 x [n−i ]∑ ∑ h2 [i , j ]⋅x[n−i ]⋅x [n− j ] i=0

i=0 j=0

●

System 2-ter Ordnung

●

Keine Rückkopplung

●

Erweiterung eines linearen FIR-Filters ●

h1 ... Impulsantwort

●

h2 ... Kernfunktion

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Homogene Gleichung ●

Polynomiales System: p

y [n]=∑ f i { x[n] , x [n−1] ,, x [n−N ] , i=0

y [n−1] , y [n−2] , , y [n−M ] } ●

Übergang: y= f { x , y }  y= f { h , x }

●

Homogene Gleichung: f i { }=∑ ∑ ∑ h[v 1, v 2,  , v N ] x [n−v 1 ] x[n−v 2 ] x[n−v N ] v1

v2

vN

Kernfunktion

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Volterra Series Expansion p ●

y [n]=∑ f i [n] i=1

= ∑ h1 [v 1 ] x [n−v1 ]  v1=0

∑ ∑ h2 [v 1, v 2 ] x [n−v 1 ] x [n−v 2 ]

v1=0 v2=0

  

∑ ∑  ∑ h p [v1, v 2,  , v p ]

v1 =0 v2=0

vp

x [n−v1 ] x[n−v 2 ] x [n−v p ] ●

Zölzer (2002)

Für leicht nichtlineare Systeme besonders gut geeignet (Ordnung p ist klein)

nichtlineare systeme 9 algorithmen in aku stik und compute rmusik

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Volterra System: Factored Kernels ●

Faktorisierung der Kernfunktionen: hi [v 1, v 2,  , v i ]=hif [v 1 ]⋅hif [v 2 ]⋅⋅hif [vi ]

y [n]= ∑ h 1 [v 1 ] x [n−v 1 ]  f

v1=0

h ∑  v 2=0

f 2

h ∑  v N =0



[ v 2 ] x [n−v 2 ]

f N

2

[v N ] x [n−v N ]

 N



Zölzer (2002)

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Statische nichtlineare Systeme ●

Für Systeme ohne Speicher: ●

f h Kern i [vi ] wird zu einem Skalar:

hi [n1, n 2,  , ni ]= Ai⋅[n] ●

Der Ausgang kann durch ein Polynom beschrieben werden: y [n]=∑ Ai x [n] i

i=0

●

Allgemein: y [ n]= f  x [n]

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Verstärkungskennlinie ●

Für statische nichtlineare Systeme genügt eine Kennlinie:

y [ n]= f  x [n] y [n]

x [n] Zölzer (2002)

nichtlineare systeme 12 algorithmen in aku stik und compute rmusik

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Dynamikprozessoren ●

Veränderung der Einhüllenden laut Parametrierung

●

Harmonische Verzerrung so gering wie nur möglich y [n]= f  x[n] y [n]= x [n]⋅g [n] ●

in dB: Y [ N ]= X [ N ]G [ N ] Zölzer (2002)

nichtlineare systeme 13 algorithmen in aku stik und compute rmusik

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Verstärkungskennlinie ●

Zusammenhang: Y[N] und X[N]

Zölzer (2002)

Zölzer (2002)

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Verstärkungskennlinie - Parameter ●

Kompressionsfaktor: R=

●

X Y

Steigung (Slope Factor): Y S =1− X 1 S =1− R

R=

Y { 1 1−S

 X Zölzer (2002)

nichtlineare systeme 15 algorithmen in aku stik und compute rmusik

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Control Parameter ●

Einhüllendenverfolgung (Envelope Follower): ●

Spitzenwert

●

Effektivwert (RMS)

Zölzer (2002)

nichtlineare systeme 16 algorithmen in aku stik und compute rmusik

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Spitzenwert ●

Attack time t AT :

●

Release time t RT :

−2.2T S /t AT

AT =1−e RT =1−e

−2.2T S / t RT

T S  Abtastperiode

FT

Zölzer (2002)

nichtlineare systeme 17 algorithmen in aku stik und compute rmusik

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Effektivwert (RMS) ●

Average time t AVR :

TAV =1−e

−2.2 T S /t AVR

T S  Abtastperiode

-

●

Andere Formen: ●

Cepstrum

●

Hilbert-Transformation

Zölzer (2002)

nichtlineare systeme 18 algorithmen in aku stik und compute rmusik

Kontrollparameter ●

Dynamik der Kennlinie: ●

Attack Time

●

Release Time

Zölzer (2002)

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nichtlineare systeme 19 algorithmen in aku stik und compute rmusik

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Attack Time ●

Attack Time t AT

●

Zu kurz: ●

Dynamikfluktuation

●

Verzerrungen tieffrequenter Signale

●

Zu lang: ●

●

Clipping-Gefahr

Bereich: 0 - 100ms

Rane (1998)

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Release Time ●

Release Time t RT

●

Zu schnell: ●

●

Zu langsam: ●

●

Chopping Atmen/Pumpen

Bereich: 100ms - 3s Rane (1998)

nichtlineare systeme 21 algorithmen in aku stik und compute rmusik

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Attack / Release Time Control ●

Struktur:  f = f [n−1]− f [n]

Richtung  f , Schwelle Umschaltung zw. Attack und Release

K

g [n]=K⋅f [n] g [n−1]⋅1−K 

Zölzer (2002)

nichtlineare systeme 22 algorithmen in aku stik und compute rmusik

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Dynamikprozessoren

Zölzer (2002)

Zölzer (2002)

nichtlineare systeme 23 algorithmen in aku stik und compute rmusik

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Limiter ●

Möglichst keine Dynamikveränderung

●

Kontrolle der Spitzenwerte

●

Parameter:

S L =1  R L =∞ F =−S L⋅ X −LT  ●

Side chain:

Zölzer (2002)

−S L

Zölzer (2002)

nichtlineare systeme 24 algorithmen in aku stik und compute rmusik

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Limiter Thr=0.5

t RT =5ms t AT =100 us f s =44.1kHz

Zölzer (2002)

Zölzer (2002)

nichtlineare systeme 25 algorithmen in aku stik und compute rmusik

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Kompressor / Expander ●

Parameter:

0S C 1 −∞S E 0 F C =−S C⋅ X −CT  F E =−S E⋅ X −ET  Zölzer (2002)

Zölzer (2002)

nichtlineare systeme 26 algorithmen in aku stik und compute rmusik

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Kompressor / Expander ●

Hard vs. Soft Knee:

●

Alternative Struktur:

Expander

Linear

Kompressor

nichtlineare systeme 27 algorithmen in aku stik und compute rmusik

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Noise Gate ●

Parameter:

x[n] PEAK

●

Hold time

●

Depth of Cut, Floor or Ratio Control

f[n] NT

Rane (2003)

AT RT

g[n]

nichtlineare systeme 28 algorithmen in aku stik und compute rmusik

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De-esser ● ●

Reduktion der Zischgeräusche Unterschied zum Kompressor: Frequenzabhängige Verarbeitung

Zölzer (2002)

nichtlineare systeme 29 algorithmen in aku stik und compute rmusik

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Let's rock ●

Verzerren der Signale einer elektrischen Gitarre

●

Ursprünglich: Röhrenverstärker

●

Jetzt: meist digital, mit simulierten Kennlinien

●

Beispiele: ●

Overdrive

●

Distortion

●

Fuzz

nichtlineare systeme 30 algorithmen in aku stik und compute rmusik

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Overdrive ●

Soft Symmetrical Clipping

Zölzer (2002)

Zölzer (2002)

nichtlineare systeme 31 algorithmen in aku stik und compute rmusik

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Distortion ●

Harte symmetrische Übersteuerung

Zölzer (2002)

Zölzer (2002)

nichtlineare systeme 32 algorithmen in aku stik und compute rmusik

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Fuzz ●

Asymmetrische Kennlinie

●

Beispiel (Tube Distortion): x−Q Q f  x=  −d  x−Q 1−e 1−edQ Q≠0, x≠Q

Zölzer (2002)

Q=−0.2 d =8

Zölzer (2002)

nichtlineare systeme 33 algorithmen in aku stik und compute rmusik

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(Sub)-Harmonische Zölzer (2002)

nichtlineare systeme 34 algorithmen in aku stik und compute rmusik

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Exciter ●

●

Betonung bestimmter Frequenzbereiche um Klangveränderungen hervorzurufen Beispiel: APHEX Aural Exciter Zölzer (2002)

Zölzer (2002)

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Klirrfaktor k ●

Total Harmonic Distortion (THD): k=

●



∑ A2n

n=2 2 1 n=2

A ∑ An 2

k=

∑A n=1

2 n

=1,2 , N

k =  k 2k 3 k N 2

2

Total Harmonic Distortion + Noise (THD+N):



E out − E in THD N = E out ●



A2

X out  f = X in  f ⋅H notch  f 

Signal In Noise And Distortion (SINAD) ●

THD+N in dB

2

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THD Beispiel Amp1_ch01amp0.0freq1000.0_adc0.wav

0

signal search for peak range peak found max of noise threshold of peak energy bins above threshold

-20 -40 -60 amp in dB

●

-80 -100 -120 -140 -160 -180

0

0.5

1

1.5

2 f in Hz

2.5 3 3.5 THD=0.55296%

4

4.5

5 4

x 10

nichtlineare systeme 37 algorithmen in aku stik und compute rmusik

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Weiterführende Literatur ●

W. J. Rugh. Nonlinear System Theory. The Johns Hopkins University Press, Baltimore and London, 1981, ISBN: 0-8018-2549-0

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M. Schetzen. The Volterra and Wiener Theories of Nonlinear Systems. Robert Krieger Publishing 1980 G.W. McNally. Dynamic range control of digital audio signals. J. Audio Eng. Soc., 32 (5): 316 – 327, Mai 1984 J. Challuper. Aural Exciter and Loudness Maximizer: What’s Psychoacoustic about “Psychoacoustic Processors?”. presented at the 109th Convention of AES, Sept. 2000