Tema 2: Vectores libres FISICA I, 1º Grado en Ingeniería Aeroespacial Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla

Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2011/12

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Índice Magnitudes escalares y vectoriales Definición de vector Vectores libres Suma y producto por un escalar Bases vectoriales Producto escalar, vectorial, mixto Doble producto vectorial Derivada de un vector

Vectores deslizantes y ligados

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Magnitudes escalares y vectoriales

Magnitud escalar : queda definida con un número y una unidad Temperatura, longitud, carga eléctrica, tiempo, etc

Magnitud vectorial: require magnitud, dirección y sentido Velocidad, aceleración, fuerza, etc

Magnitud tensorial

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Índice Magnitudes escalares y vectoriales Definición de vector Vectores libres Suma y producto por un escalar Bases vectoriales Producto escalar, vectorial, mixto Doble producto vectorial Derivada de un vector

Vectores deslizantes y ligados

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Definición de vector En Matemáticas es un elemento de un espacio vectorial En Física es un segmento orientado: una flecha Módulo Recta soporte Dirección Sentido

Sentido Punto de aplicación

Punto de aplicación

ct e R

rte o op s a

n) ó i ecc r i (d

ulo d mó

Representación: a o

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Tipos de vectores Libres: módulo, dirección y sentido Pueden moverse libremente en el espacio

Deslizantes: módulo, dirección, sentido y recta soporte Pueden desplazarse libremente sobre su recta soporte

Ligados: módulo, dirección, sentido y punto de aplicación No pueden desplazarse en el espacio

Una misma magnitud puede describirse con diferentes tipos de vectores en diferentes situaciones

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Índice Magnitudes escalares y vectoriales Definición de vector Vectores libres Suma y producto por un escalar Bases vectoriales Producto escalar, vectorial, mixto Doble producto vectorial Derivada de un vector

Vectores deslizantes y ligados

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Vectores libres Relación de equivalencia: a y b son vectores equivalentes si tienen el mismo módulo, dirección y sentido Dos vectores libres equivalentes pueden hacerse coincidir si se desplazan en el espacio

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Índice Magnitudes escalares y vectoriales Definición de vector Vectores libres Suma y producto por un escalar Bases vectoriales Producto escalar, vectorial, mixto Doble producto vectorial Derivada de un vector

Vectores deslizantes y ligados

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Vectores libres Suma de vectores libres Dos vectores

Varios vectores

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Vectores libres: suma Propiedades de la suma Conmutativa

Asociativa

Existencia de elemento neutro

Existencia de elemento opuesto

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Vectores libres: producto por un escalar El producto por un escalar es otro vector

Propiedades Asociativa respecto al producto por un escalar

Distributiva respecto a la suma de vectores

Distributiva respecto a la suma de escalares

Existencia de escalar unidad

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Índice Magnitudes escalares y vectoriales Definición de vector Vectores libres Suma y producto por un escalar Bases vectoriales Producto escalar, vectorial, mixto Doble producto vectorial Derivada de un vector

Vectores deslizantes y ligados

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Bases vectoriales Una base en E3 es una terna de vectores, B = {v1, v2, v3} , tal que cualquier vector a puede escribirse como combinación lineal de ellos

a1, a2, a3 son las componentes de a en la base B

Para que tres vectores sean una base no deben ser ni colineales ni coplanarios (linealmente independientes) La dimensión del espacio vectorial es el número mínimo de vectores linealmente independientes que pueden describir todos los vectores del espacio

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Base cartesiana Triedro OX1X2X3 ≡ OXYZ X3≡Z

Base

ortonormal

Componentes

O

X2≡Y

Álgebra vectorial

X1≡X

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Índice Magnitudes escalares y vectoriales Definición de vector Vectores libres Suma y producto por un escalar Bases vectoriales Producto escalar, vectorial, mixto Doble producto vectorial Derivada de un vector

Vectores deslizantes y ligados

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Producto escalar Definición 

El resultado de la operación es un escalar





El punto es importante

Permite expresar de modo sencillo la condición de ortogonalidad, distancias y ángulos

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Producto escalar: aplicaciones Condición de ortogonalidad para dos vectores

=/2

Está relacionado con la proyección ortogonal de un vector sobre otro Si uno de los vectores es unitario da la proyección ortogonal sobre él del otro vector 

Extrae la componente del vector

paralela a la dirección del vector

Si ninguno de los vectores es unitario  Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2011/12

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Producto escalar: aplicaciones

X3

Distancia entre dos puntos

P(p1,p2,p3)



Ángulo entre dos vectores

O

Q(q1,q2,q3) X2

X1

Permite definir una métrica en el espacio

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Producto escalar: propiedades

Propiedades Asociativa resp. prod. por un escalar

Conmutativa

Distributiva resp. a suma

Cancelativa

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Producto escalar: base ortonormal Los vectores de una base ortonormal son mutuamente perpendiculares y de módulo unidad

Producto escalar de dos vectores expresados en una base ortonormal

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Producto escalar: base ortonormal Aplicaciones Distancia entre dos puntos

Ángulo entre dos vectores X3

Componentes cartesianas de un vector 3

Cosenos directores

2

1 O

X2

X1

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Producto escalar: ecuación vectorial de un plano Punto por el que pasa el plano

Z

P1

Vector normal al plano

P

Punto genérico del plano

X

O

Y

Condición para que el punto P esté en el plano

Ecuación general del plano

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Producto vectorial Definición



El resultado de la operación es un vector Escritura alternativa Permite expresar de modo sencillo la condición de paralelismo Permite construir rápidamente vectores perpendiculares Extrae la componente perpendicular en una proyección ortogonal

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Producto vectorial Condición de paralelismo =

=0

Se relaciona con la componente perpendicular de la proyección ortogonal



Si |u|=1 es la componente perpendicular de la proyección Área del paralelogramo que forman dos vectores

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Producto vectorial Propiedades No es asociativo Anticonmutativa Asociativa resp. al prod. por un escalar Distributiva respecto a la suma Cancelativa

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Producto vectorial: base cartesiana Es una base ortonormal dextrógira

Expresión en una base ortonormal

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Producto vectorial: ecuación vectorial de una recta Z

Punto por el que pasa la recta



P1

Vector director de la recta X

Punto genérico de la recta

Condición para que el vector

r

P O

Y

sea paralelo al vector director

Ecuaciones de la recta

Vectorial

Paramétricas

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Continua 28

Producto mixto

Definición: involucra tres vectores El resultado de la operación es un escalar El valor absoluto es el volumen del paralelepípedo

h

Condición de coplanariedad Tres vectores forman una base si y solo si su producto mixto es no nulo Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2011/12

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Producto mixto Propiedades Permutabilidad cíclica

Permutabilidad acíclica

Expresión en una base cartesiana

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Producto mixto: ecuación de un plano que pasa por tres puntos no alineados Puntos por los que pasa el plano Z P2

Punto genérico del plano

P1 

P3

Condición de coplanariedad X

O

Y

Ecuación del plano

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Índice Magnitudes escalares y vectoriales Definición de vector Vectores libres Suma y producto por un escalar Bases vectoriales Producto escalar, vectorial, mixto Doble producto vectorial Derivada de un vector

Vectores deslizantes y ligados

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Doble producto vectorial Definición: involucra tres vectores

El resultado de la operación es un vector

Aplicación al desarrollo del producto escalar de dos productos vectoriales

Resolución de un sistema de ecuaciones vectoriales

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Índice Magnitudes escalares y vectoriales Definición de vector Vectores libres Suma y producto por un escalar Bases vectoriales Producto escalar, vectorial, mixto Doble producto vectorial Derivada de un vector

Vectores deslizantes y ligados

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Derivada de un vector Un vector puede ser función de una variable (típicamente el tiempo)

Variación del módulo

Variación de la dirección

En general varían las dos cosas

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Derivada de un vector Derivada de un vector expresado en una base cartesiana

Los vectores de la base cartesiana no dependen del tiempo

Derivada del producto escalar y vectorial de dos vectores

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Índice Magnitudes escalares y vectoriales Definición de vector Vectores libres Suma y producto por un escalar Bases vectoriales Producto escalar, vectorial, mixto Doble producto vectorial Derivada de un vector

Vectores deslizantes y ligados

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Vectores deslizantes La fuerza F equilibra la barra al ser aplicada en cualquier punto de la B1

recta Δ

G A

B2

Vector deslizante La misma fuerza aplicada en otra recta no equilibra la barra Son vectores deslizantes distintos G

Producen efectos mecánicos diferentes

A

En un vector deslizante hay que especificar la recta soporte El vector a considerado como vector libre se llama cursor del vector deslizante Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2011/12

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Vectores deslizantes: momento de un vector deslizante La recta soporte puede especificarse usando el momento del vector respecto a un punto  O

P1

El momento es el mismo para todos los puntos P1 de la recta

 O

P1 P2

Es perpendicular al plano que contiene a la recta y pasa por el punto O Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2011/12

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Álgebra de vectores deslizantes Definimos la suma de un conjunto de vectores deslizantes El resultado es otro vector deslizante, definido por un cursor R (resultante) y su momento respecto a un punto MO (momento resultante)

Y P X

O

P1

P2

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O

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Vectores ligados El vector está ligado a un punto Ejemplo: a cada punto del espacio se le asigna un vector de posición

El resultado de realizar el desplazamiento indicado por el vector

Z

depende del punto de partida

P

X

O

Y

Ejemplo: momento de un vector deslizante respecto a un punto Si cambia el punto, cambia la recta soporte del vector deslizante

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Resumen Definición de vector Vectores libres Suma y producto por un escalar Bases vectoriales Conjunto mínimo de vectores linealmente independientes que permiten expresar todos los vectores del espacio Base cartesiana: tres vectores unitarios y mutuamente perpendiculares constantes en todo el espacio

Producto escalar Condición de ortogonalidad Permite calcular distancias y ángulos: define una métrica en el espacio Extrae la componente paralela de la proyección ortogonal de un vector sobre una dirección (aplicación al cálculo de componentes en bases cartesianas) Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2011/12

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Resumen Producto vectorial Condición de paralelismo Extrae la componente perpendicular de la proyección ortogonal de un vector sobre una dirección Área del paralelogramo

Producto mixto Condición de coplanariedad Volumen del paralelepípedo

Doble producto vectorial Derivada de un vector Puede cambiar el módulo y/o la dirección Derivada de un producto escalar y vectorial

Vectores deslizantes y ligados

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