VECTORES 7.1 – LOS VECTORES Y SUS OPERACIONES DEFINICIÓN 

Un vector es un segmento orientado. Un vector AB queda determinado por dos puntos, origen A y extremo B.

Elementos de un vector:  Módulo de un vector es la distancia entre A y B y se designa por el vector entre 

 

barras : | AB | Dirección del vector es la dirección de la recta en la que se encuentra el vector y la de todas sus paralelas. Sentido si va de A a B o de B a A.

Igualdad de vectores: Dos vectores son iguales si tienen el mismo módulo, dirección y sentido. Todos ellos se llaman representantes de un único vector. Llamaremos representante canónico a aquel vector que tiene por origen el punto O. 





Notación: Los vectores se representan por letras: u , v , w , .... o bien mediante uno de 

sus representantes, designando su origen y su extremo con una flecha encima AB PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN NÚMERO 



El producto de un número k por un vector v es otro vector kv que tiene: 





Módulo: igual al producto del módulo de v por el valor absoluto de k : | kv | = 

|k|.| v |  



Dirección: la misma que la de v Sentido: 

-

El de v si k > 0

-

El del opuesto de v si k < 0







El producto 0. v es igual al vector cero: 0 . Es un vector cuyo origen y extremo coinciden y, por tanto, su módulo es cero y carece de dirección y de sentido. 





El vector –1. v se designa por  v y se llama opuesto de v

SUMA DE DOS VECTORES 



Dados dos vectores u y v para sumarlos gráficamente hay dos posibilidades:  

Se sitúa el origen del segundo vector sobre el extremo del primero y el vector suma es el vector que une el origen del primero con el extremo del segundo. Se sitúan los dos vectores con origen común. Se forma el paralelogramo que tiene por lados los dos vectores y la diagonal que parte del origen de los dos vectores es el vector suma.

RESTA DE DOS VECTORES Restar dos vectores es lo mismo que sumar al primer vector el opuesto del segundo. 







u – v = u + (- v )

COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES 







Dados dos vectores, u y v , y dos números a y b, el vector a u + b v se dice que es 



una combinación lineal de u y v . Notas: -

Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros dos. Esta combinación lineal es única.

7.2 – COORDENADAS DE UN VECTOR. BASE 



Dos vectores u y v con distintas dirección y no nulos forman una base, pues cualquier vector del plano se puede poner como combinación lineal de ellos. Si los dos vectores de la base son perpendiculares entre si, se dice que forman una base ortogonal, y si además tienen módulo 1, se dice que forman una base ortonormal. 

Coordenadas de un vector respecto de una base: Cualquier vector w se puede poner  

como combinación lineal de los elementos de una base B( x , y ) de forma única: 





w =ax +by



A los números (a,b) se les llama coordenadas de w respecto de B. 



Y se expresa así: w = (a,b) ó w (a,b)

OPERACIONES CON COORDENADAS SUMA DE DOS VECTORES 



Las coordenadas del vector u + v se obtienen sumando las coordenadas de  con las 

de v:



u + v = (u1,u2) + (v1,v2) = (u1 + u2,v1 + v2)

RESTA DE DOS VECTORES 



Las coordenadas del vector u - v se obtienen restando las coordenadas de  con las de 



v :



u - v = (u1,u2) - (v1,v2) = (u1 - u2,v1 - v2)

PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN NÚMERO 



Las coordenadas del vector k u se obtienen multiplicando por k las coordenadas de u 

k u = k.(u1,u2) = (ku1,ku2) COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES 



a u + b v = a(u1,u2) + b(v1,v2) = (au1 + bv1,au2 + bv2)

7.3 – PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES DEFINICIÓN 



El producto es calar de dos vectores u y v es un número que resulta de multiplicar el módulo de cada uno de los vectores por el coseno del ángulo que forman y se designa 





por u . v :











u . v = | u |.| v |.cos( u , v )

PROPIEDADES  El producto escalar del vector o por otro vector cualquiera es el número 0 

















Si u = 0 o v = 0  u . v = 0 Si dos vectores son perpendiculares, entonces su producto escalar es cero:



Si u  v  u . v = 0 Si el producto escalar de dos vectores no nulos es cero, entonces son 





















perpendiculares: u . v = 0, con u  0 , v  0  u  v El producto escalar de dos vectores es igual al producto de uno de ellos por la proyección del otro sobre él, con signo + o – según si forman ángulo agudo o  





u.v



obtuso. Por tanto, llamaremos proyección ortogonal de u sobre v : u ´=



v 



 



Propiedad conmutativa: u . v = v . u



Propiedad asociativa: a.( u . v ) = (a u ). v



Propiedad distributiva: u .( v + w ) = u . v + u . w



Si B( x , y ) es una base ortogonal: x . y = y . x = 0



Si B( x . y ) es una base ortonormal : x . y = y . x = 0, x . x = 1, y . y = 1













 





 

 





 

 







 

 

EXPRESIÓN ANALÍTICA (en una base ortonormal) 

Si las coordenadas de los vectores u y v respecto a una base ortonormal son u (u1,u2) y 

v (v1,v2), entonces el producto escalar u.v adopta la siguiente expresión:  

u . v = u1.v1 + u2.v2

 







 



 



Dem : u . v = (u1 x + u2 y ).(v1 x + v2 y ) = u1.v1. x . x + u1.v2. x . y + u2.v1. y . 

 

x + u2.v2. y . y = u1.v1 + u2.v2

MÓDULO DE UN VECTOR (en una base ortonormal)  





 







Expresión vectorial : v . v = | v |.| v |.cos( v , v ) = | v |2.cos0 = | v |2  | v | = 

Expresión cartesiana : | v | =

v12  v 22

 

v.v

ÁNGULO DE DOS VECTORES (en una base ortonormal) 













 



u.v

Expresión vectorial : u . v = | u |.| v |.cos( u , v )  cos ( u , v ) =





| u | .| v | 



Expresión analítica : cos ( u , v ) =

u 1 .v 1  u 2 .v 2 u 12  u 22 . v12  v 22

VECTOR ORTOGONAL A OTRO Un vector ortogonal a (a,b) es (-b,a) ó (b,-a) “Si cambian de orden y una de signo”. VECTOR UNITARIO Para convertir un vector en unitario, se divide cada una de las coordenadas por el 

 módulo del vector: u (a,b)  Vector unitario 

a

 2 2  a b

,

  2 2  a b  b

7.4 – ALGUNAS APLICACIONES DE LOS VECTORES COORDENADAS DEL VECTOR QUE UNE DOS PUNTOS 

Las coordenadas del vector AB se obtienen restándole a las coordenadas del extremo B 

las del origen A : AB = (x2,y2) – (x1,y1) = (x2-x1,y2-y1) CONDICIÓN PARA QUE TRES PUNTOS ESTÉN ALINEADOS Los puntos A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3) están alineados siempre que los vectores AB y BC tengan la misma dirección. Esto ocurre cuando sus coordenadas son proporcionales: x 2  x 1 y 2  y1  x 3  x 2 y3  y 2 PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO Las coordenadas del punto medio, M, de un segmento de extremos A(x1,y1), B(x2,y2)  x  x 2 y1  y 2  son: M 1 ,  2   2 SIMÉTRICO DE UN PUNTO RESPECTO DE OTRO Para calcular el simétrico A’ del punto A respecto del punto B, solo hay que tener en cuenta que el punto B es el punto medio entre A y A’.

VECTORES EJERCICIO 1 : ABCDEF son los vértices de un hexágono regular de centro O. En los siguientes pares de vectores compara sus módulos, direcciones y sentidos: A

a) AB y BC

B

b) BC y EF F

C

c) AB y FC E

D

a) AB y BC : Tienen el mismo módulo y distinta dirección. No se puede comparar el sentido. b) BC y EF: Tienen el mismo módulo y dirección, y sentidos opuestos. c) AB y FC: Tienen la misma dirección y sentido, pero distinto módulo. →

→

EJERCICIO 2 : Dados los vectores u y v , representa los vectores: →

→

→

→

v

a) u + v

u

b) u - v

a) Para sumar u y v, colocamos v de modo que su origen coincida con el extremo de u. u + v es el vector cuyo origen es el de u y extremo el de v

u v

b) Para obtener u – v se le suma a u el opuesto de v.

-v

v u

EJERCICIO 3 : Dados los vectores u (2,1), v(1,-2). Calcular las coordenadas de los vectores: 1 a) u + v b) u – v c) 2u + v 2 a) u + v = (2,1) + (1,-2) = (2+1, 1-2) = (3,-1) b) u – v = (2,1) – (1,-2) = (2-1, 1-(-2)) = (1,3) 1 1 1 9 c) 2u + v = 2(2,1)+ (1,-2) = (4,2) + ( ,-1)= ( ,1) 2 2 2 2

EJERCICIO 4 : Calcular m y n para que se verifique w = mu+nv, siendo u(4,-8),v(0,2),w(2,-1) 1  m = 2 = 4 m  2 (2,-1) = m(4,-8) + n(0,2) ⇒  ⇒ − 1 = − 8 m + 2 n  − 1 = −4 + 2n → n = 3  2 1 3 w = u + v . Así expresamos w como combinación lineal de u y v 2 2 EJERCICIO 5 : La figura ABCD es un rombo de lado 6 cm y ángulos 60º y 120º. Halla: B

a) AB. AD A

b) DA.DC

O C

c) OB.OC d) AO.OC D

 1 a) AB.AD = |AB|.|AD|.cos 120º = 6.6.  −  = -18  2 1 b) DA.DC = |DA|.|DC|.cos 60º = 6.6. = 18 2 c) OB.OC = |OB|.|OC|.cos 90º = (3 3 ).3.0 = 0 d) AO.OC = |AO|.|OC|.cos 0º = 3.3.1= 9

EJERCICIO 6 : Dados los vectores a(-3,4), b(5,-1), hallar: a) a.b b) |a| c) |b| d) ángulo que forman a y b a) a.b = -3,5 + 4.(-1) = -15-4 = -19 b) |a| =

(−3) 2 + 4 2 = 5

5 2 + (−1) 2 = 26 a.b − 19 d) Cos (a,b) = = = −0,7452 a . b 5. 26 Utilizando la calculadora: INV + COS 0,7452 +/- = 138º 10’ 35’’ c) |b| =

EJERCICIO 7 : Dado el vector v(-5,3), calcula las coordenadas de los siguientes vectores: a) unitarios y de la misma dirección que v b) ortogonales a v y del mismo módulo c) Ortonormales a v a) Para convertir un vector en unitario, lo dividimos por su módulo:  5 3  ,  |v| = 25 + 9 = 34 ⇒ v1 = ±  − 34 34   Como queremos que tenga la misma dirección que u, nos quedamos con la solución  5 3  ,  positiva: v1 =  − 34 34   b) Se permutan las coordenadas y se cambia una de signo: w1 = (3,5) y w2 = (-3,-5)

Ortogonal y unitario: Dividimos los vectores w1 y w2 que son ortogonales entre su módulo para convertirlos en unitarios: |w1| = |w2| =|v| = 34  3  −3 −5  5  z1 =  ,  y z2 =  ,   34 34   34 34  EJERCICIO 8 : Halla un vector v de módulo

5 y que forme con u(2,-4) un ángulo de 60º

| v |= 5 ⇒ x 2 + y 2 = 5 ⇒ x 2 + y 2 = 5  Sea v(x,y) ⇒  u.v 1 2x − 4 y ⇒ = ⇒ 2x − 4 y = 5 cos 60º = | u |.| v | 2 5 20  5 + 4y  x=  x 2 + y 2 = 5  2 ⇒  2 2 x − 4 y = 5  25 + 40 y + 16 y + y 2 = 5 ⇒ 4 y 2 + 8 y + 1 = 0 ⇒ y = −0,13 → x = 2,24  y = −1,86 → x = −1,22 4 Hay dos soluciones: v1(2,24;-0,13) y v2(-1,22;-1,86) EJERCICIO 9 : Dados los puntos A(3,-2), B(1,3), C(-6,0), halla el punto D de modo que ABCD sea un paralelogramo: B A

A

D

AD = BC (x,y) – (3,-2) = (-6,0) – (1,3) x − 3 = −7 → x = −4 ⇒ D(−4,−5)   y + 2 = −3 → y = −5

C

EJERCICIO 10 : Halla los puntos que dividen al segmento de extremos A(-2,3) y B(6,2) en tres partes iguales

A

P

Q

B A

2  8 = 3x + 6 → x = 3  2 8 AB = 3(AP) ⇒ (6+2,2-3) = 3.(x+2,y-3) ⇒  ⇒ P ,   3 3 − 1 = 3 y − 9 → y = 8  3 8 2   +6 + 2  =  20 , 14  =  10 , 7  Q es el punto medio entre P y B ⇒ Q =  3 ,3 2   6 6   3 3  2    

EJERCICIO 11 :

r r r r u 3 Sabiendo que u = 4 y r = calcula u v . v 2

Solución: r r 3r r r u 3 Puesto que r = → u = v → u y v son vectores que tienen la misma dirección y v 2 2 r r sentido → u, v = 0°.

( )

r r r r r r r u v = u ⋅ v ⋅ cos 0° = u ⋅ v = 4 v  123  1 r 3 r2  v =4v → r2 → r 3r r r  3 r r 3 v  2 u = v → u v = v v = 2 2  2  →

r r 3 r r 8 3 r2 3 r  v − 4 v = 0 → v  v − 4 = 0 → v −4 =0 → v = 2 2 3 2 

r r r 3r v ≠ 0 ya que u = 4 y u = v . 2 r r r 8 32 Por tanto, u v = 4 v = 4 ⋅ = . 3 3

EJERCICIO 12 :

r r r r Dados los vectores a y b tales que a = 3, b = 2 y el ángulo que forman es de 30°, r r r r halla a − b y a + b .

Solución:

(

r r2 r r a−b = a−b

) (a − b ) = a r

r

r r r r r r r2 r r r2 a − 2a b + b b = a − 2a b + b

r r r r 3 a b = a ⋅ b ⋅ cos 30° = 3 ⋅ 2 ⋅ =3 3 2

Luego:

r r2 r r a − b = 32 − 2 ⋅ 3 3 + 22 = 9 − 6 3 + 4 ≈ 2,61 → a − b = 2,61 ≈ 1,62

Análogamente:

(

r r2 r r a+b = a+b

) (a + b ) = a

r r r r r r r2 r r r2 a + 2a b + b b = a + 2a b + b = r r = 32 + 2 ⋅ 3 3 + 22 = 9 + 6 3 + 4 ≈ 23,39 → a + b = 23,39 ≈ 4,84 r

r

EJERCICIO 13 : Sabiendo que |u| = 3 y u = -5v. Calcular u.v Solución:

r r r r Puesto que u = −5v , u y v son vectores que tienen la misma dirección pero sentido r r opuesto → u, v = 180° r r r r r r r u v = u ⋅ v ⋅ cos 180° = − u ⋅ v = −3 v  1424 3 r r2  −1  → − 3 v = −5 v → r r r r r r r2  u = −5v → u v = ( −5v ) v = −5 v 

(

)

r2 r r r r r 3 → 5 v − 3 v = 0 → v (5 v − 3) = 0 → 5 v − 3 = 0 → v = 5 r r r r v ≠ 0 puesto que u = 3 ≠ 0 y u = −5v

r r r 3 −9 Por tanto: u v = −3 v = −3 ⋅ = 5 5

VECTORES → → 1  EJERCICIO 1 : Las coordenadas de dos vectores son a (2,−3) y b  − ,2  . Obtén las coordenadas de :  2 

→

→

a) –3. a + 2 b

→

b) – a +

1 → b 2

1 → → (a -b ) 3

c)

→ → → 1  EJERCICIO 2 : Expresa el vector x (5,-2) como combinación lineal de y (1,-2) y z  ,2  2  →

→

→

EJERCICIO 3 : Dados los vectores u (-1,4), v (3,m) y w (2,-3) →

a)

→

Calcula m para que u y v sean perpendiculares. →

→

b) Halla el ángulo que forman u y w →

→

→

→

→

EJERCICIO 4 : Considera los vectores x (a,3) e y (-1,b). Halla los valores de a y b para que x e y sean perpendiculares y | x |=5 →

→

→

EJERCICIO 5 : Dados x (5,-4), y (3,2) y z (1,k) →

a)

→

Halla el valor de k para que x e z formen un ángulo de 90º. →

b) Halla un vector unitario con la misma dirección y el mismo sentido que x →

c)

Halla un vector unitario con la misma dirección y sentido contrario que x →

d) Halla un vector de módulo 3 y perpendicular a x EJERCICIO 6 : → 3 4 → a) Halla el ángulo que forman los vectores a  ,−  y b (1,1) 5 5 →

→

b) ¿ Cuál sería el valor de x para que el vector u (1,x) fuera perpendicular al vector a ? EJERCICIO 7 : Dados los puntos A(2, −1), B(−3, 4) y C(0, −8): a) Halla el punto medio del segmento de extremos A y B. b) Halla el simétrico de B con respecto a C. EJERCICIO 8 : Averigua las coordenadas del punto P, que divide al segmento de extremos A(2,-4) y B(1,3) en dos partes tales que →

→

AP es el triple de PB EJERCICIO 9 : Halla las coordenadas del baricentro del triángulo de vértices A(2, −3), B(4, 1) y C(−1, 2). EJERCICIO 10 : El punto medio del segmento AB es M(2, −1). Halla las coordenadas de A, sabiendo que B(−3, 2). EJERCICIO 11 : Halla las coordenadas del vértice D del paralelogramo ABCD, sabiendo que A(−1, −2), B(3, 1) y C(1, 3). EJERCICIO 12 :Dados los puntos A(2, −3), B(−1, 4) y C(x, 3), determina el valor de x para que A, B y C estén alineados. EJERCICIO 13 : a) Calcular las componentes del vector cuyo origen es el punto A(2,-1) y cuyo extremo es B(4,7) b) Calcular el punto medio del segmento determinado por los puntos A(2,-1) y B(4,7) →

c) Calcular la longitud del segmento AB

EJERCICIO 14 : Calcular las componentes del vector que tiene su origen en el punto R(1,-

2 ) y su extremo en el punto S=(-2,

→

2 ). Calcular el punto medio del segmento RS . Calcular la longitud del segmento RS. Calcular el ángulo que forman los vectores →

→

AB (Del ejercicio anterior) con RS . EJERCICIO 15 : Calcular el simétrico de A(1,2) respecto de B(3,-1) EJERCICIO 16 : Dados los puntos A(2,4) y B(17,-32) encontrar los puntos M y N que dividen el segmento AB en 3 partes iguales. EJERCICIO 17 : Dados los puntos A(-1,3), B(2,7), C(O,-2) →

a)

→

→

Calcular CA , BA , BC

b)Calcular su modulo →

c)

Calcular un vector paralelo a CA de módulo 10 →

d) Calcular un vector perpendicular a CA de módulo 10 →

e)

Calcular un vector ortonormal a CA

EJERCICIO 18 : Calcular m para que los vectores (1,-3) y (m,-4) a) Sean ortogonales b) Tengan -7 como producto escalar →

→

EJERCICIO 19 : Dados los vectores v (-1,7), w (x,2), calcular x para que: a) Sean ortogonales b) Sean paralelos c) Formen un ángulo de 60º →

EJERCICIO 20 : Escribir las coordenadas del vector a =(6,-15) con respecto a la base {(1,-2),(1,-3)} →

EJERCICIO 21 : Hallar x para que el vector v (-2,x) a) Sea ortogonal con el vector (3,4) b) Forme un ángulo de 180' con el vector (3,4) EJERCICIO 22 : Calcular un vector ortonormal al (1,-2) (es decir, ortogonal y unitario). →

EJERCICIO 23 : Dado el vector u = (4, -3) calcular: a) Un vector ortonormal a él. b) Un vector paralelo a u del mismo sentido y módulo 2. c) Un vector paralelo a u de sentido contrario y módulo 2. EJERCICIO 24 : Calcular el punto C que divide el segmento AB en dos partes tal que una es el triple que la otra, siendo A = (-1,7) y B = (3,4). →

→

EJERCICIO 25 : Dados los vectores u = (2,1 ) y v =(m, l). Calcular m para que: →

→

a) u y v sean paralelos →

→

b) u y v sean perpendiculares →

→

e) u y v formen un ángulo de 45" →

→

d) u y v tengan el mismo módulo →

EJERCICIO 26 : Dado el vector u = (4, -3) calcular: a) Un vector ortonormal a él. b) Un vector paralelo a u del mismo sentido y módulo 2. c) Un vector paralelo a u de sentido contrario y módulo 2.

→

EJERCICIO 27 : Dado el vector u = (2,5). Calcular →

a)

Un vector ortonormal a u . →

b) La proyección del vector v = (1,-2) sobre u y el vector proyección. c) Las coordenadas de u en la base {(4,3),(5,2)} EJERCICIO 28 : Dado los vectores (2,4) y (3,-l) a) Calcular el ángulo que forman b) Representarlos en un sistema de referencia. c) Calcular gráficamente su suma y su diferencia. →

→

EJERCICIO 29 : Dados dos vectores u y v tales que | u | = 2, | v | = 3 y forman un ángulo de 60º , Calcular: →

→

a)

|u +v |

a)

El ángulo que forma u con 2 v

→

→

→

→

b) El ángulo que forma u con -2 v →

→

EJERCICIO 30 : Calcular la proyección del vector u = (2,3) sobre el vector v = (-4, l). Calcular también el vector proyección. EJERCICIO 31 : Explica si los siguientes vectores forman una base del plano a) (1,2) (3,4) b) (2,3) (4,5) (1,0) e) (1,2) (2,4) d) (0,0) (2,5) En caso afirmativo expresar el vector (-1,2) como combinación lineal de dicha base. →

→

→

EJERCICIO 32 : Escribe los vectores v (6,0), w (-12,-2), u (18,2) como combinación lineal de la base {(-2,3),(8,-5)} EJERCICIO 33 : →

a)

Dada la base B = {(2,1),(3,-1)} calcular las coordenadas del vector v = (1,3) en dicha base. →

b) Calcular un vector paralelo a u = (3,-2) unitario y de sentido contrario. →

→

→

→

EJERCICIO 34 : Dados los vector u (2,4) y v (3,1), halla el módulo del vector u – v . →

→

→

→

→

→

→

→

EJERCICIO 35 : Sean u y v dos veces tales que | u | = 9 y ( u + v ).( u – v ) = 17. Calcular el módulo de v . →

→

→

→

→

EJERCICIO 36 : Dos vectores a y b son tales que | a | = 10 y | b | = 10 3 y | a + b | = 20. Halla el ángulo que forman los →

→

vectores a y b . →

→

→

→

→

→

→

→

EJERCICIO 37 : Sabiendo que | a | = 2 y | b | = 6 y que ángulo que forman a y b es de 60º, calcular: | a + b |; | a - b |