Formelsammlung Werkstoffe der Elektrotechnik

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Teil I Werkstoffe der Elektrotechnik

Inhaltsverzeichnis I

Erstelldatum: 12. Februar 2015

Werkstoffe der Elektrotechnik

1

1 Aufbau der Materie 1.1 Quanten und Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Schr¨ odingergleichung . . . . . . . . . . . . 1.1.2 1-dimensinaler Potentialtopf . . . . . . . . 1.1.3 3-dimensionaler Potentialtopf . . . . . . . 1.1.4 Sonstiges . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Wasserstoffatom . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Aufbau des Periodensystems . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Quantenzahlen . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Pauli-Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Hundsche Regeln . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Bindungstypen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Ionische Bindung . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Kovalente Bindung . . . . . . . . . . . . . 1.4.3 Metallische Bindung . . . . . . . . . . . . 1.5 Aggregatzust¨ ande der Materie . . . . . . . . . . . 1.5.1 Gase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Kristallstrukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1 Primitiv kubisch (sc) . . . . . . . . . . . . 1.6.2 Kubisch raumzentriert (bcc) . . . . . . . . 1.6.3 Kubisch fl¨ achenzentriert (fcc) . . . . . . . 1.7 Metalle und Legierungen . . . . . . . . . . . . . . 1.7.1 Mischkristallbildung durch Leerstellendiffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4

2 Mechanische Eigenschaften der Festk¨ orper

4

3 Thermische Eigenschaften der Festk¨ orper 3.1 Spezifische W¨ arme . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Thermische Ausdehnung . . . . . . . . . . . 3.3 W¨ armeleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Freies Elektronengas / spezifische W¨ arme Elektronen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Wiedemann-Franzsches Gesetz . . .

4 4 4 4

. . . . . . . . . der . . . . . .

4

5 5 5

5 Elektrische Eigenschaften der Metalle 5.1 Thermoelektrische Effekte . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Peltier-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2 Supraleitung . . . . . . . . . . . . . . . .

5 6 6 6

6 Halbleiter 6.1 Leitungsband . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Valenzband . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Ausgleich der Minorit¨ atsladungstr¨ ager 6.5 Ladungstransporteigenschaften . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

6 6 6 7 7 7

7 Dielektrische Eigenschaften von Festk¨ orpern 7.1 Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1 Elektronische Polarisation . . . . . . . 7.1.2 Ionische Polarisation . . . . . . . . . . 7.1.3 Orientierungspolarisation . . . . . . . 7.2 Dielektrizit¨ atskonstante . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

7 7 7 7 8 8

. . . . .

8 8 8 8 8 9

. . . . .

. . . . .

8 Magnetische Eigenschaften von Festk¨ orpern 8.1 Elementare magnetische Dipolmomente . . . 8.2 Diamagnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Paramagnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4 Ferromagnetismus . . . . . . . . . . . . . . . 8.5 Leitungselektronen . . . . . . . . . . . . . . . 9 Physikalische Konstanten

Keine Garantie auf Vollst¨ andigkeit und Richtigkeit!

. . . . .

Aufbau der Materie

1.1

Quanten und Wellen Wellenl¨ange: λ =

9

c h h = = f p mv

hc λ ~ω h Impuls: p = mv = ~k = = c λ 2π Wellenzahl: k = λ ω ~k vT eilchen Phasengeschwindigkeit: vP h = = = k 2m 2 ~k p ∂ω = = Gruppengeschwindigkeit: vgr = ∂k m m 2 2 ~ k Dispersionsrelation: E = ω~ = 2m Energie: E = mc2 = ~ω = hf =

1.1.1

Schr¨ odingergleichung

Herleitung: Ausgehend von der Dispersionsrelation: ωc kc

s− j ∂ ∂t sj∇

Allgemeine Schr¨ odingergleichung: −j~

4 Ladungstransport in Festk¨ orpern

. . . . .

1

~2 ∂ − − − − Ψ(→ r , t) = − ∗ ∆Ψ(→ r , t) + V (→ r , t)Ψ(→ r , t) ∂t 2m

Zeitunabh¨ angige Schr¨ odingergleichung: − − Durch den Separationsansatz Ψ(→ r , t) = Ψ(→ r )Φ(t) l¨ asst sich die Zeitabh¨angigkeit abtrennen: − 1.1.2

~2 − − − − ∆Ψ(→ r ) + V (→ r )Ψ(→ r ) = EΨ(→ r) 2m∗

1-dimensinaler Potentialtopf

Ansatz f¨ ur DGL: Ψ(x) = Aejkx + Be−jkx bzw. Ψ(x) = Asin(kx) + Bcos(kx) F¨ ur den jeweiligen Bereich mit dem Potential V gilt: p 2m∗ (E − V ) k= ~ Im Falle von unendlich hohen Barrieren und der Breite a gilt: r  nπ  2 Ψn (x) = sin x a a ~2 π 2 2 ~2 2 E= n = k ∗ 2 2m a 2m∗ nπ mit k = a 1

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Randbedingungen: F¨ ur die Wellenfunktion Ψ(x) gelten folgende Randbedingungen: • Ψ(x) ist stetig (ohne Sprung) • Ψ(x) ist differenzierbar R∞ R∞ ∗ • |Ψ(x)|2 dx = Ψ (x)Ψ(x)dx = 1 −∞

1.1.3

−∞

3-dimensionaler Potentialtopf

= ˆ Orientierung der Orbitale m = −l, −l + 1, ..., l − 1, l (=L) b Spinquantenzahl: s = ± 12 Entartungsgrad: Anzahl der Kombinationen der Quantenzahlen mit gleicher Energie. ⇒ 2n2

Die L¨osung erfolgt wie beim 1-dimensionalen Potentialtopf durch den Separationsansatz

Hauptquantenzahl Nebenquantenzahl Magnetische Quantenzahl

Ψ(x, y, z) = Ψ(x)Ψ(y)Ψ(z)

-3 -2 -1 0 1 2 3

Im Falle eines W¨ urfels mit Kantenl¨ ange a und unendlich hohen Barrieren gilt: r    nπ   mπ  lπ 8 sin Ψnml (x, y, z) = x sin y sin z a3 a a a 2 2 ~ π E= (n2 + m2 + l2 ) 2m∗ a2 ~2 E= (k 2 + ky2 + kz2 ) 2m∗ x 1.1.4

K 1s 2s L 2p 3s M 3p 3d 4s 4p N 4d 4f 5s 5p O 5d 5f 6s P 6p 6d Q 7s

Sonstiges

Teilchenstromdichte: j = (Ψ∗ Ψ)vgr = (Ψ∗ Ψ) Reflexionskoeffizient: jjR0 Transmissionskoeffizient: 1.2

~k m0

jT j0

Wasserstoffatom

a: Bohrscher Atomradius, RH : Rydbergkonstante λ: emittierte bzw. absorbierte Wellenl¨ ange F¨ ur die Energieniveaus eines H-Atoms gilt:  2 m 0 e4 1 ~2 1 =− En = − 2 2m0 na 2(4π0 ~) n2 | {z }

mit 2 Zuständen besetzbarer Platz

2,18·10−18 J

λ= 1.3

1 1 RH n2 −

1 ; m2



n, m ∈ N

Aufbau des Periodensystems

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1.3.2

Pauli-Prinzip

Alle Elektronen unterscheiden sich in mindestens einer Quantenzahl.

→ siehe Skript S. 24 1.3.3 1.3.1

Quantenzahlen

Hauptquantenzahl: = ˆ Energieeigenwerte n = 1, 2, ... (=K, ˆ L, ...-Schale)

Hundsche Regeln

1 ) Schale wird so aufgef¨ ullt, dass X 1 |S| = si mit s = ± 2 maximal wird.

Nebenquantenzahl: = ˆ Orbitalgestalt l = 0, ..., n − 1 (=s, ˆ p, d, f -Zust¨ ande) Magnetische Quantenzahl: Keine Garantie auf Vollst¨ andigkeit und Richtigkeit!

2 ) Quantenzahl |L| maximal. 3)

• Schale weniger als halbvoll - Bahndrehimpuls und Spin antiparallel - Gesamtdrehimpuls |J| = ||L| − |S|| 2

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• Schale mehr als halbvoll

M : Molare Masse, u: Atomare Masseneinheit

- Bahndrehimpuls und Spin parallel - Gesamtdrehimpuls |J| = |L| + |S| Volle Schalen liefern keinen Beitrag zu S, L und J!

Q P O N M L K 1.4 1.4.1

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7s 6s 5s 4s 3s 2s 1s

7p 6p 5p 4p 3p 2p

6d 5d 4d 3d

5f 4f

s

p

d

f

pV nA R J = nmol R = nA kB = ; [nmol R] = (ideales Gas) T NA K kg M = Ar · 10−3 ; [Ar ] = 1 mol m nA = nmol = NA M R = NA kB 1 p = N mv 2 = N kB T 3 nA nmol NA ρNA p N= = = = V V M kB T NM n A Ar u m ρ= = = NA V V f 1 Ekin = mv 2 = kB T 2 2 mit f : Anzahl der Freiheitsgrade (= 3 f¨ ur einatomige Gase)

Bindungstypen Ionische Bindung

= ˆ Bindung durch Elektronenaustausch Voraussetzung:

1.6

Kristallstrukturen

KZ: Koordinationszahl (Zahl der n¨achsten Nachbarn) nEZ : Anzahl der Atome pro Einheitszelle (EZ) r: Atomradius

• Unterschiedliche, leicht zu ionisierende Atome • Differenz der Elektronegativit¨ at i.d.R. ∆E > 1, 7 Die Ionisierung l¨ auft prinzipiell in 3 Schritten ab: a0

a0

1 ) Ionisierung des Kations (Energiezufuhr)

a0

2 ) Ionisierung des Anions (Energieabgabe) 3 ) Molek¨ ulbildung (Energieabgabe) Die elektrische Bindungsenergie, die bei der Molek¨ ulbildung frei wird, berechnet sich wie folgt: Zr0 −

Eel = ∞

q1 q2 q1 q2 dr = 4π0 r2 4π0 r0

wobei r0 der Abstand ist und q1 , q2 die Ladungen der Ionen darstellen. Kovalente Bindung

a0

sc

bcc

fcc

nEZ 43 πr3 Volumen (Atome) 4nEZ πr3 = = Volumen (EZ) VEZ 3a30

Achtung: F¨ ur die Berechnung von nEZ m¨ ussen Atome, die von angrenzenden Zellen auch verwendet werden, dementsprechend gewichtet werden! Primitiv kubisch (sc)

(=simple cubic) nEZ = 1 1 r = a0 2 KZ = 6 1 P = π ≈ 0, 52 6

Voraussetzung: • Differenz der Elektronegativit¨ at i.d.R. ∆E < 1, 7 Metallische Bindung

= Sonderfall der kovalenten Bindung, bei der die Valenzelektronen nicht lokalisiert sind.

a0

a0

P =

= ˆ Bindung durch gemeinsame Elektronen

1.4.3

a0

a0

Packungsdichte:

1.6.1 1.4.2

a0

1.6.2

Kubisch raumzentriert (bcc)

(=body centered cubic) 1.5 1.5.1

Aggregatzust¨ ande der Materie Gase

p: Druck, V : Volumen, T : Temperatur, ρ: Dichte nA : Anzahl Atome, kB : Boltzmannkonstante nmol : Stoffmenge, R: Gaskonstante, N : Teilchendichte NA : Avogadro-Konstante, Ar : Relative Atommasse Keine Garantie auf Vollst¨ andigkeit und Richtigkeit!

nEZ = 2 √ r=

3 a0 4

KZ = 8 √ P =

3 π ≈ 0, 68 8 3

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1.6.3

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nA : Anzahl der Atome, kB : Boltzmannkonstante, m: Masse M : Molare Masse, R: Gaskonstante, TF : Fermi-Temperatur EF : Fermi-Energie

Kubisch fl¨ achenzentriert (fcc)

(=face centered cubic) nEZ = 4 √

∂U 3Rm = cm = 3nA kB = ; [C] = ∂T M C 1 ∆U cm 3nA kB 3R c= = = = = ; m m ∆T M m M   6RT T = 3R 1 + 2 cm = |{z} 3R + ; TF TF | {z } Atome C=

2 r= a0 4 KZ = 12 √ 2 π ≈ 0, 74 P = 6

J g ; [Ar ] = K mol J [c] = kgK J [cm ] = molK

Elektronen

1.7

Metalle und Legierungen

1.7.1

Mischkristallbildung durch Leerstellendiffusion

S: Teilchenstromdichte, D: Diffusionskoeffizient N : Teilchenkonzentration, xD : Mittlere Eindringtiefe EA : Aktivierungsenergie f¨ ur Leerstellendiffusion ∂N S = −D ∂x E cm2 − A D = D0 e kB T ; [D] = s √ xD = Dt

2

Mechanische Festk¨ orper

Eigenschaften

U = 3N kB T 3.2

der

β ≈ 3α 1 α∼ TS 3.3

K = − ∆V = V

(Gr¨ uneisen-Regel)

W¨ armeleitung

Q: W¨armemenge, A: Querschnitt, W : W¨armestromdichte I: W¨armestrom (= b Leistung), λ: W¨armeleitf¨ahigkeit ∆Q : Transportierte W¨armemenge, G: W¨armeleitwert A vx : Geschwindigkeit in x-Richtung, n: Teilchendichte ∇T =

abstoßend

F¨ ur Ionen gilt: n = 1 dV dr p

∆l: L¨angenausdehnung, ∆V : Volumenausdehnung α: L¨angenausdehnungskoeffizient, TS : Schmelztemperatur β: Volumenausdehnungskoeffizient ∆V = βV0 ∆T ≈ 3αV0 ∆T

V (r): Wechselwirkungsenergie, p: Druck K: Kompressionsmodul; F (r): Kraft (im Gleichgewicht) ν: Poissonsche Zahl α β V (r) = − n + ; n EL 2π 2 ~3 3  ∗ mn kB T 2 (ML ist meist 1) NL∗ = 2ML 2π~2

DL (E) = ML W = Πj = ST j Π = ST Wel = (ΠA − ΠB )j

(A → B)

K¨ uhlung erfolgt an der Stelle, an der gilt: Wel < 0. Bei einem Halbleiter ist dies die Stelle, an der der Strom vom n-dotierten zum p-dotierten Halbleiter fließt.

n = NL∗ e

⇒ EL − EF = kB T · ln 6.2

π1 > π2

(π1 - π2)j

EL −EF kB T



1

π1j

−

NL∗

(Boltzmann-N¨ aherung) 

n

Valenzband fp (E, T ) = 1 − f (E, T ) ZEV

(π1 - π2)j

DV (E)[1 − f (E, T )]dE

p= −∞

π2j

3

U

(2m∗p ) 2 p EV − E; 2π 2 ~3  ∗ 3 mp kB T 2 NV∗ = 2 2π~2

2

DV (E) =

j

5.1.2

Supraleitung

HC (T ): kritische Feldst¨ arke, IC : Kritischer Strom r: Radius des Leiters, TC : kritische Temperatur ΛL : Londonsche Eindringtiefe, µ0 : absolute Permeabilit¨at "  2 # T A HC (T ) = HC,0K 1 − ; [H] = TC m IC = 2πrHC s r λL m ΛL = = µ0 µ0 ns e2 m λL = ns e2

6

p = NV∗ e

EF −EV kB T

 ⇒ EF − EV = kB T · ln

NV∗

(Boltzmann-N¨ aherung) 

p

ni : intr. Elektronendichte, pi : intr. L¨ocherdichte + NA− : Akzeptoren-Dichte, ND : Donatoren-Dichte m∗e : effektive Elektronenmasse, EF : Fermienergie   31   13 m∗e = m∗k · m∗⊥ 2 = m∗el · m∗et 2   23 3 3 m∗p = m∗h = m∗hl 2 + m∗hh 2 Eg p − ni = pi = NL∗ NV∗ e 2kB T p 3 T 2 ∼ NL∗ NV∗

Halbleiter

3

Leitungsband

T 2 ∼ NL∗ , NV∗ EL

EV + EL kB T EF = + ln 2 2

Fermienergie bei n-Dotierung

Eg

−

E < EV

EF

Fermienergie im undotierten Fall

np = ni pi = n2i = p2i

Fermienergie bei p-Dotierung

EV Valenzband

fi (E, T ): Besetzungswahrscheinlichkeit, p: L¨ ocherdichte n: Elektronendichte, Di (E): Zustandsdichte Keine Garantie auf Vollst¨ andigkeit und Richtigkeit!

n+

NA−

=p+



NV∗ NL∗



(im thermodyn. Gleichgewicht)

+ ND

Im Falle einer vollst¨andigen Ionisation gilt: bei n-Dotierung

+ + NA− = 0; p 0 bzw. µr >> 1 ⇒ Ferromagnetismus

U (Θ) BT

−k

8.1

→ − W (Θ)cos(Θ) 1 p| E | L(ν) = cos(Θ) = = coth(ν) − mit ν = ν kB T W (Θ) ν >> 1 : coth(ν) → 1 ⇒ L(ν) = 1 1 ν ν ν ∞

→ − m: magnetisches Moment, N : Atomdichte r2 : Erwartungswert des effektiven Bahnradius Z ∗ : effektive Kernladungszahl (Anzahl der Elektronen auf der ¨außersten Schale abz¨ uglich der Leitungselektronen)

∞ = (ω ≈ 2π · 1010 Hz) 00 (stat − ∞ )ωτ = 2 2 0 ω τ ∞ + stat = 0 00 ω

Diamagnetismus

= Auftreten eines zus¨atzlichen magnetischen Momentes der Elektronenh¨ ulle von Atomen unter dem Einfluss eines ¨außeren Magnetfeldes. Der Diamagnetismus ist temperaturunabh¨angig und tritt immer auf, wird allerdings vom Para- und Ferromagnetismus u ¨berlagert.

r = (0) im statischen Fall

tan(δ) =

Elementare magnetische Dipolmomente

g: gyromagn. Verh¨altnis, S: Gesamtspin J: Gesamtdrehimpuls, L: magnetische Quantenzahl

Dielektrizit¨ atskonstante

σRest

Eigenschaften

X m > 0 bzw. µr > 1 ⇒ Paramagnetismus

→ − → − − U (Θ) = −→ p E = −p| E |cos(Θ)

7.2

Magnetische Festk¨ orpern

µr : relative Permeabilit¨at, X : magnetische Suszeptibilit¨ at → − J: magnetische Polarisation, H : magnetische Feldst¨ arke M : Magnetisierung

→ − − P = N→ p cos(Θ) 1 P ∼ T W (Θ) = e

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(Verlustfaktor) m Xdia

− → − M N→ m N Z ∗ e2 r2 µ0 = → − = → − =− 6m0 H H

F¨ ur das Maximum von tan(δ) gilt: 8.3 r 1 stat τ= ω ∞ stat − ∞ tan(δ)max = √ 2 stat ∞ h i p ⇒ ∞ = stat 1 + 2tan(δ)2max − (1 + 2tan(δ)2max )2 − 1

Paramagnetismus

Ist temperaturabh¨angig und tritt bei Molek¨ ulen bzw. Atomen mit magnetischem Dipolmoment auf, d.h. wenn die Elektronenschalen nicht abgeschlossen sind. µB : Bohrsches Magneton, kB : Boltzmannkonstante Mpara : paramagn. Magnetisierung, C: Curie-Konstante

ε εstat

N g 2 J(J + 1)µ2B µ0 3kB C = T m = Xpara H

C=

ε’ ε∞ Ausfall der Orientierungspolarisation

m Xpara

Ausfall der Ionenpolarisation

ε’’

Mikrowellen

Infrarot

Mpara

Ausfall der Elektronenpolarisation

UV

Keine Garantie auf Vollst¨ andigkeit und Richtigkeit!

8.4 ω

Ferromagnetismus

Ferromagnetismus tritt nur bis zur Curie-Temperatur auf (danach Paramagnetismus). 8

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Θ: Curie-Temperatur, T : Temperatur Xm =

C T −Θ

Oberhalb der Curie-Temperatur tragen folgende Dinge zur magnetischen Suszeptibilit¨ at bei: • Diamagnetismus der Atomh¨ ullen • Beitrag der Leitungselektronen (netto paramagnetisch) • Paramagnetismus der Atomr¨ umpfe Der dominante Beitrag ist i.A. der Paramagnetismus. 8.5

Leitungselektronen

n: Elektronendichte, TF : Fermitemperatur 3nµ0 µ2B 2kB TF 1 m = − Xpara 3

m Xpara = m Xdia

m m X m = Xpara + Xdia =

9

nµ2B µ0 kB TF

Physikalische Konstanten

Atomare Masseneinheit

u = 1, 66 · 10−27 kg

Avogadro-Konstante

1 NA = 6, 022 · 1023 mol

Elektrische Feldkonstante

F 0 = 8, 85 · 10−12 m

Elektron Ruhemasse

me = 9, 109 · 10−31 kg

Elementarladung

e = 1, 602 · 10−19 C

Magnetische Feldkonstante

Vs µ0 = 4π · 10−7 Am

Bohrsches Magneton

µB =

Plancksches Wirkungsquantum

h = 6, 626 · 10−34 Js

Rydberg-Konstante

1 R∞ = 1, 0974 · 107 m

Rydberg-Konstante

1 RH = 1, 0968 · 107 m

Boltzmannkonstante

J kB = 1, 38 · 10−23 K

Gaskonstante

J R = 8, 31 Kmol

e~ 2m0

= 9, 27 · 10−24 Am2

Lizenz: CC BY-NC-SA 3.0 http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/de/

Keine Garantie auf Vollst¨ andigkeit und Richtigkeit!

9