Grundlagen der Elektrotechnik 3 Kapitel 4 Ortskurven
Prof. Dr.-Ing. I. Willms
Grundlagen der Elektrotechnik 3 S. 1
Fachgebiet Nachrichtentechnische Systeme
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4 Ortskurven – Eine Ortskurve ist die Kurve, welche alle Endpunkte von Zeigern verbindet – Eine Ortskurve kann Verlauf in Abhängigkeit von der Frequenz oder einem anderem Parameter zeigen
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4 Ortskurven î
û0,ω
jIm
jIm
R
ûR û
L
jω L
Z
û0 = û
ω = const.
φ
ûL
ûR
φ R
Re
ûL
Re
î
Beispiel: Ein passives Netzwerk Zugehörige Zeigerdiagramme Hier gilt wie üblich: L R
arctan
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4 Ortskurven In manchen Fällen ist die Impedanz für verschiedene Frequenzen von Interesse. jIm
jIm
3
j3 L Z3
Z2 Z1
R
Ortskurve
j2 L
Z 1 R j1L Z 2 R j 2 L
2
j1 L
Z 3 R j 3 L
1 0
Re
R
Impedanz für verschiedene Frequenzen
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Re
Hieraus entsteht eine Ortskurve
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4 Ortskurven
Jetzt wird Impedanz mit Admittanz auf Basis bekannter Zusammenhänge verglichen.
Z
Z e j
Die Transformation führt eine „Spiegelung am Einheitskreis“ durch. Eine Gerade durch den Nullpunkt ergibt wieder eine Gerade durch den Nullpunkt.
Y
Y e j
1 Y 1 Y Z
Z
ZY 1
jIm
jIm
Y - Ebene
Z - Ebene
0
φ
ω=0
φ
Re
Re
Ortskurve der Impedanz Prof. Dr.-Ing. I. Willms
Konstruktion der Ortskurve der Admittanz Grundlagen der Elektrotechnik 3 S. 5
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4 Ortskurven Jede Gerade nicht durch den Nullpunkt wird in einen Kreis durch den Nullpunkt transformiert. Geraden sind immer parallel zur imaginären Achse und haben positiven Realteil. jIm
Z
jIm
Y
ω2 > ω 0
ω1
Z2
ω
Y1 φ2 φ1
R
ω0 ω
ω=0
Re
Z1 ω1 < ω0
ω0
ψ1 = - φ 1 ψ2 = - φ 2
G = 1/R
Re
Y2 ω2
Ortskurve der Impedanz Prof. Dr.-Ing. I. Willms
Ortskurve der zugehörigen Admittanz und Durchmesser-Konstruktion Grundlagen der Elektrotechnik 3 S. 6
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4 Ortskurven Transformation ist immer “winkeltreu im Kleinen” Rechte Winkel bleiben erhalten , z.B. Kurve bei G = 1/R Bei passiven Netzwerken verlaufen die Geraden immer parallel zur imaginären Achse (Nur pos. Realteile möglich). jIm
jIm
Y
Z
1
0
G 1/ R
Y 1
Z 1
0 Re
1
0
Re
0
Ortskurve der Admittanz für Parallelschaltung R/L/C Prof. Dr.-Ing. I. Willms
Ortskurve für zugehörige Impedanz
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4 Ortskurven Kreise durch den Nullpunkt werden in Geraden parallel zur imaginären Achse transformiert, die positiven Realteil besitzen. Kreise ohne Nullpunktberührung werden transformiert in Kreise ohne Nullpunktberührung. jIm
jIm
Y
Z T1
ψ1 = - φ1 ψ2 = - φ2
M T2’
Re
T2 φ2
M'
φ1
Re
Ortskurve der Impedanz Prof. Dr.-Ing. I. Willms
T1’
Ortskurve zugehöriger Admittanz Grundlagen der Elektrotechnik 3 S. 8
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4 Ortskurven Ein Beispiel:
Z2
R2
1
Y Y1
Z(ω)
R1
C
1'
Ein passives Netzwerk Prof. Dr.-Ing. I. Willms
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4 Ortskurven jIm
jIm
Y1
Z1
jIm
1
1
Z2
R2
Re 1
Z2 1
0 Re
C
1
0
Re C
R2
0
Ortskurve der Admittanz zu C
Zugehörige Ortskurve der Impedanz zu C
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C
Impedanz der Reihenschaltung
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4 Ortskurven jIm
0
jIm
jIm
1
1 1
Y2
0
R1 R2
2 2
2
1/ R1
1 / R2 Re
M
1
Z
Y
M 1/ R1 1/ R2 R2
Re
Z 1
R1 R2 R 1 R2
1
M''
Re
R1
0
C
C
Ortskurve der Admittanz der Reihenschaltung
Admittanz des gesamten Netzwerks
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Ortskurve der zugehörigen Impedanz
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4 Ortskurven Nachteile: • Keine bzw. aufwändige Parametrisierung • Z.T. aufwändige Konstruktion der Geometrie
Rechnung mit R1 = 10Ω R2 = 2 Ω C = 0,1F: Zeichnung mit z.B. 1 cm = 0,1 S für Y und 1 Ω = 1 cm für Z
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4 Ortskurven
jIm'' jIm'
Skalierung der Ortskurve führt zu folgendem Bild: j10
j1S
10s Ortskurve Y1 ( )
Raster ist jeweils im Abstand 1 cm angebracht
j5
j0,5
2/s
Zur Vereinfachung der Zeichenarbeit werden imaginäre Achsen inkl. Nullpunkt passend verschoben (anstelle Verschiebung der Geraden)
0
0
5/s
Ortskurve Y2 (ω) und Y(ω) 10/s
Y2(5/s)
1/s 0 10/s
5/s
2/s -j5
5/s
-j0,5
0
10/s 5/s
2/s
Re
1/s
Ortskurve Z( ) Ortskurve Z1 (ω) und Z 2 (ω) -j10
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-j1
1/s
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4 Ortskurven Ein weiteres Beispiel mit R =125 Ω , C = 100 μF und L = 0,85 H:
jIm
Z ( )
1
L
Y1
Z ( )
R
50/s
Y 1 ()
C
50/s
Y 2 () 90/s 80/s
Y 2, Z 2
1'
0
0
70/s
20
40
0,002
60
0,004 0,006
0,008 50/s
120
100
80
0,01 20/s 40/s
0
Skalierung: 10 Ω = 1 Teilstrich für Z 1mS = 1 Teilstrich für Y Prof. Dr.-Ing. I. Willms
Re
10/s 20/s
Z2()
S
30/s 100/s
90/s
70/s 60/s 50/s
40/s
Zugehörige Ortskurve Grundlagen der Elektrotechnik 3 S. 14
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Grundlagen der Elektrotechnik 3 Kapitel 5 Netzwerksätze
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5.1 Der Überlagerungssatz Der Überlagerungssatz ist für alle linearen Netzwerke gültig. Es wird ein beliebiges Netzwerk betrachtet, siehe folgendes Beispiel. Das Beispielnetzwerk enthält 3 unabhängige Spannungsquellen. uˆq2
Z1
iˆ2
Z5
iˆ3 M1
Z2
M2
Z4
M3
uˆq1
uˆq3 iˆ1
Z3
Z6
Dafür gelten die folgenden Maschengleichungen: M 1 : ( Z1 Z 2 ) iˆ1 M 2 : Z 2 iˆ1 M3 :
Z 2 iˆ2 ( Z 2 Z 3 Z 4 ) iˆ2 Z 4 iˆ2
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Z 4 iˆ3 ( Z 4 Z 5 Z 6 ) iˆ3
uˆ q1 uˆ q2 uˆ q3
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5.1 Der Überlagerungssatz In Matrizenschreibweise ergibt sich:
Z m iˆm uˆ qm mit
uˆ qm
uˆ q1 uˆ q2 ˆ u q3
Nach der Cramerschen Regel erhält man u.a.:
ˆi 2 Z 2 ( Z 4 Z 5 Z 6 ) uˆ q1 ( Z1 Z 2 ) Z 4 Z 5 Z 6 uˆ q2 det Z m det Z m
Z 4 ( Z1 Z 2 ) uˆ q3 det Z m
Dies lässt sich so interpretieren: Dieser Strom ist verursacht durch die Überlagerung der Wirkung aller 3 Spannungsquellen. Prof. Dr.-Ing. I. Willms
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iˆ21
Z1
5.1 Der Überlagerungssatz
Z5
Z4
Z2
uˆq1 Z3
Der Gesamtstrom setzt sich zusammen aus der Überlagerung von Strömen, die jeweils aus immer nur einer der 3 Spannungsquellen verursacht werden.
uˆq2
Z1
Z6
iˆ 22
Z4
Z2
iˆ 2 iˆ21 iˆ22 iˆ23
Z5
Z3
Z6
Z1
Z5 iˆ 23
Für das Überlagerungsprinzip gilt die Regel: Sind in einem Netzwerk q Strom- oder Spannungsquellen enthalten, können alle Ströme und alle Spannungen im Netzwerk durch Überlagerung der einzelnen Quellen berechnet werden.
uˆq 3 Z3 uˆq2
Z1
Z6
iˆ 2
Z5
Z4
Z2 uˆq1
uˆq 3 Z3
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Z4
Z2
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Z6
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5.1 Der Überlagerungssatz Hinweis 1: Der Satz gilt nicht nur für sinusförmige Quellen mit einer festen Frequenz sondern auch für Quellen mit anderen Zeitabhängigkeiten. In einem derartigen Fall ist nur die Berechnung mit komplexen Zeigern nicht möglich.
Hinweis 2: Sind in einer Masche mehrere Spannungsquellen enthalten, ist es sinnvoll diese erst zu addieren und dann den Überlagerungssatz anzuwenden.
Die Überlagerung ist bei gegebener Linearität von Netzwerken auch die Grundlage zur Bestimmung von Strömen im Netzwerk auf Basis der unabhängigen Maschenströme. Prof. Dr.-Ing. I. Willms
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5.2 Der Satz zur Ersatzspannungsquelle Bei Netzwerken mit vielen Bauteilen, an die eine Last angeschaltet wird, ist es von Interesse, die Wirkung des gesamten Netzwerkes in Bezug auf die Last auf einfache Weise zu ermitteln. Das nebenstehende Beispiel zeigt das Vorgehen: a) Betrieb des Netzwerks mit Last b) Bestimmung der Leerlaufspannung (ohne Last) c) Bestimmung des Kurzschluss-Stroms d) Resultierendes Ersatzschaltbild
Z4
Z2
Z2
Z4 5
Z1
Z5
iˆ 5
5'
Z3
uˆ l Z3
Z1
b)
a) uˆ q
uˆ q
Z2
Z4
Zi
5
iˆk
5'
Z3
Z1
5
uˆl
d)
c)
uˆ l iˆk
iˆ 5
Z5
5'
uˆ q Prof. Dr.-Ing. I. Willms
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5.2 Der Satz zur Ersatzspannungsquelle Die Berechnung zu b) (Leerlaufspannung) des Beispiels erfolgt mittels: Z2
uˆ l uˆ1 uˆ 2
Z4 5
Z1 Z2 ˆ uq uˆ q Z1 Z 3 Z2 Z4
5'
Z2
uˆ l
Z1
uˆ 1
uˆ l Z3
Z1
uˆ 2
uˆ q
5
Z4
5'
Z3
b)
a) uˆ q
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5.2 Der Satz zur Ersatzspannungsquelle Die Berechnung zu c) (Kurzschlusstrom) des Beispiels erfolgt über: Z2
iˆ k iˆ3 iˆ1
5
Z 4 Z1 Z 2 Z 3 uˆ q Z1Z 2 Z 3 Z 4 Z3 Z 4 Z1 Z 2
iˆ1
Z4
iˆk
5'
Z3
Z1
uˆ q
5
Z4
uˆ 1
Z1
Z2
iˆk
K 5'
Z3
iˆ3 uˆ 3
b)
a) uˆ q
Die Zwischenschritte dazu sind wie folgt:
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5.2 Der Satz zur Ersatzspannungsquelle Es werden zunächst die Spannungen (über die Spannungsteilerregel) und daraus die Ströme bestimmt: Z3Z 4 Z1Z 2 Z3 Z 4 Z1 Z 2 ˆ u3 uˆ q uˆ1 uˆ q Z3 Z 4 Z1Z 2 Z3 Z 4 Z1Z 2 Z1 Z 2 Z 3 Z 4 Z1 Z 2 Z 3 Z 4
Z2 u Z1 Z 2 iˆ1 1 uˆ q Z Z Z1Z 2 Z1 3 4 Z1 Z 2 Z 3 Z 4
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Z4 u Z3 Z 4 iˆ3 3 uˆ q Z Z Z Z Z3 1 2 3 4 Z1 Z 2 Z 3 Z 4
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5.2 Der Satz zur Ersatzspannungsquelle Satz: In einem Netzwerk aus passiven Komponenten (mit R,C,L,M Bauteilen) sowie mit ungesteuerten Quellen können Strom und Spannung an einer Last so bestimmt werden, dass das Netzwerk durch eine Ersatzspannungsquelle ersetzt wird. Die Leerlaufspannung der Ersatzspannungsquelle ist dabei identisch mit der Leerlaufspannung ohne Last. Die Innenimpedanz der Ersatzspannungsquelle bestimmt sich aus der Leerlaufspannung und dem Kurzschlussstrom. Dieser Kurzschlussstrom ist zu bestimmen durch einen Kurzschluss uˆ des Netzwerks (anstelle der Last). Z l i
iˆ k
iˆ
iˆ
Restnetzwerk
Z
Z uˆ
R, L, C, M, uˆ q , iˆq
uˆ l
' b)
a) Prof. Dr.-Ing. I. Willms
uˆ
'
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5.2 Der Satz zur Ersatzspannungsquelle Alternative zur Bestimmung der Innenimpedanz: - Ersatz aller Stromquellen durch Leerläufe - Ersatz aller Spannungsquellen durch Kurzschlüsse - Bestimmung der Ausgangsimpedanz des Restnetzwerks durch Netzwerkanalyse
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5.3 Der Satz zur Ersatzstromquelle Vergleichbar zur Anwendung von Ersatzspannungsquellen können alternativ auch Ersatzstromquellen genutzt werden: Satz: In einem passiven Netzwerk mit ungesteuerten Quellen können Strom und Spannung an einer Last so bestimmt werden, dass das Netzwerk durch eine Ersatzstromquelle ersetzt wird. Die Innenadmittanz der Ersatzstromquelle bestimmt sich aus der Leerlaufspannung und dem Kurzschlussstrom. Dieser Kurzschlussstrom ist zu bestimmen durch einen Kurzschluss des Netzwerks (anstelle der Last). Die Leerlaufspannung ergibt sich für den Fall ohne Last. Alternative zur Bestimmung der Innenadmittanz: - Ersatz aller Stromquellen durch Leerläufe - Ersatz aller Spannungsquellen durch Kurzschlüsse - Bestimmung der Ausgangsadmittanz
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5.2 Der Satz zur Ersatzspannungsquelle Das folgende Bild zeigt das Ersatzschaltbild für das Restnetzwerk: iˆ
iˆq iˆ k
Restnetzwerk
Y i
Z uˆ
R, L, C, M, uˆ q , iˆq
' b)
a)
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iˆ
iˆ k uˆ l
Z
1/ Y
uˆ
'
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Z2
Z4
iˆ5
5.3 Weitere Beispiele
uˆq
Z1
Anwendung des Satzes von der Ersatzspannungsquelle zur Bestimmung des Stroms durch die Last:
Z2
uˆq
Z4
Zi Z5
Prof. Dr.-Ing. I. Willms
5
uˆ l
Z3 uˆ Z2 Z3 q
5'
Z4
Z2
Z3 1 uˆ q Z 2 Z3 Z Z 2 Z3 Z 4 5 Z 2 Z3
Z3 uˆ q Z 2 Z3 Z 4 Z5 Z3 Z 4 Z5
iˆ5 0
Z3
Z1
Z1
uˆ l
Z5
Z3
5'
Die Innenimpedanz wird hier durch Netzwerkanalyse des Restnetzwerks durchgeführt.
iˆ 5
5
5
Z3
Zi
5'
Zi Z4
Z2 Z3 Z2 Z3 5
uˆ l
iˆ5 Z5
5'
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Z1
Z3
iˆ5
5.3 Weitere Beispiele
uˆq
Z2
Z4
Anwendung des Satzes von der Ersatzstromquelle zur Bestimmung des Stroms durch die Last: iˆq
Z3
uˆ q
Yi Y5
5
Z1 Z1
Y5
Z5
5'
Es gilt: iˆ 5
5
iˆ k
Z2
iˆk
Z4
Y1 Y 2 Y 3
iˆ q
5'
Z3
5
Yi
Daraus resultiert nach einigen Umrechnungen: iˆ 5
Y3
Z1
Z2
1 Z4
1 ZZ Z3 1 2 Z1 Z 2
Z4
Z2Z4 uˆ q Z 4 Z5 Z1Z 2 Z1Z3 Z 2 Z3 Z 4 Z5 Z1 Z 2
5'
5
iˆk
iˆ5 Y5
Yi
1 Z5
5'
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