Grundlagen der Elektrotechnik Teil B Prof. Dr.-Ing. Joachim Böcker
Skript zur Vorlesung Stand vom 20.05.2015
Universität Paderborn Fachgebiet Leistungselektronik und Elektrische Antriebstechnik
Vorwort
II
Vorwort Dieses Skript fasst die wichtigsten Inhalte der Vorlesung Grundlagen der Elektrotechnik, Teil B stichwortartig zusammen. Dies soll kein umfassendes Lehrbuch sein, sondern als Orientierung und Gedächtnisstütze dienen. Ich empfehle den Studentinnen und Studenten, auf eigene Notizen nicht zu verzichten und darüber hinaus neben dem Skript auch andere Lehrbücher zu benutzen. Es vertieft das Verständnis, einen Sachverhalt von einem anderen Autor, in einer anderen Sichtweise, auch andere Schreibweisen kennen zu lernen. Selbst das Entdecken vermeintlicher oder tatsächlicher Widersprüche ist von Wert, wenn man gewillt ist, sich mit den Inhalten und Zusammenhängen auseinander zu setzen, und nicht nur eine „Formelsammlung“ erwartet. Paderborn, im April 2008
Inhalt
III
Inhalt 1
Elektrische Netzwerke mit diskreten Elementen _______________________________ 1 1.1
Zweipole und Zählpfeilsysteme_____________________________________________ 2
1.2
Kirchhoffsche Gesetze ____________________________________________________ 3
1.3
Mehrpole _______________________________________________________________ 5
1.4
Ableitung der Kirchhoffschen Gesetze aus den allgemeinen Feldgleichungen ______ 6
2
Mittelwert und Effektivwert _______________________________________________ 8
3
Elementare Zweipole ___________________________________________________ 11
4
5
6
3.1
Bezeichnungen _________________________________________________________ 11
3.2
Widerstand ____________________________________________________________ 11
3.3
Kondensator ___________________________________________________________ 13
3.4
Drossel oder Spule ______________________________________________________ 17
Nichtlineare Elemente __________________________________________________ 22 4.1
Nichtlineare Drossel _____________________________________________________ 22
4.2
Nichtlinearer Kondensator _______________________________________________ 24
Leistung, Arbeit, Energie im elektrischen Netzwerk___________________________ 26 5.1
Arbeit und Energie _____________________________________________________ 26
5.2
Energiebilanz im Netzwerk _______________________________________________ 26
Gleichstromsteller ______________________________________________________ 28 6.1 6.1.1 6.1.2 6.1.3
6.2 6.2.1 6.2.2 6.2.3
7
8
9
Tiefsetzsteller __________________________________________________________ 28 Prinzip _____________________________________________________________________ 28 Mit Glättungskondensator ______________________________________________________ 32 Realisierung_________________________________________________________________ 34
Hochsetzsteller _________________________________________________________ 37 Prinzip _____________________________________________________________________ 37 Mit Glättungskondensator ______________________________________________________ 38 Realisierung_________________________________________________________________ 40
Elementare Ausgleichsvorgänge __________________________________________ 41 7.1
RC-Glied ______________________________________________________________ 41
7.2
RL-Glied ______________________________________________________________ 44
7.3
Anfangs-Endwert-Darstellung für RC- und RL-Glieder _______________________ 46
Schwingkreise _________________________________________________________ 47 8.1
LC-Schwingkreis _______________________________________________________ 47
8.2
RLC-Parallelschwingkreis ________________________________________________ 51
8.3
RLC-Reihenschwingkreis ________________________________________________ 57
8.4
Aufschaltung von sprungförmigen Größen auf RLC-Netzwerke ________________ 59
Sinusförmige Vorgänge in linearen Netzwerken _____________________________ 63 9.1
Sinusförmige Größen ____________________________________________________ 63
Inhalt
IV
Darstellung sinusförmiger Größen mit komplexen Zeigern ____________________ 65
9.3
Sinusförmige Größen an Zweipolen ________________________________________ 67
9.4
Impedanz und Admittanz ________________________________________________ 68
9.5
Impedanzen und Admittanzen der elementaren Zweipole _____________________ 71
9.6
Reihenschaltung und Parallelschaltung _____________________________________ 74
9.7
Impedanzen einiger Zweipole _____________________________________________ 77
9.8
Allgemeine Voraussetzungen für die Rechnung mit Impedanzen und Admittanzen 78
10
9.2
Frequenzabhängige Darstellungen von Impedanzen und Admittanzen ___________ 80
10.1
RC-Parallelschaltung ____________________________________________________ 80
10.2
RL-Reihenschaltung _____________________________________________________ 86
10.3
RL-Parallelschaltung ____________________________________________________ 87
10.4
RC-Reihenschaltung ____________________________________________________ 88
10.5
RLC-Parallelschwingkreis ________________________________________________ 89
10.6
RLC-Reihenschwingkreis ________________________________________________ 96
11
Übertragungsfunktionen ________________________________________________ 98
12
Leistung bei sinusförmigen Vorgängen ___________________________________ 103
12.1
Momentan-, Wirk-, Blind- und Scheinleistung ______________________________ 103
12.2
Leistung und Energie ___________________________________________________ 108
12.3
Wirk- und Blindstrom __________________________________________________ 110
12.4
Wirk- und Blindspannung ______________________________________________ 111
12.5
Wirk- und Blindleistungsbilanz sowie Gesamtenergie in Netzwerken ___________ 112
12.6
Tabelle für Schein-, Wirk- und Blindleistungen _____________________________ 113
13
Reale Bauelemente (L, C, R) ____________________________________________ 114
13.1
Normreihen___________________________________________________________ 114
13.2
Kennwerte____________________________________________________________ 114
13.3
Bauformen ___________________________________________________________ 116
13.3.1 13.3.2 13.3.3
Widerstände _____________________________________________________________ 116 Kondensatoren ___________________________________________________________ 117 Drosseln ________________________________________________________________ 119
13.4
Reales Verhalten ______________________________________________________ 120
13.5
Verlustwinkel und Verlustfaktor _________________________________________ 122
14
Einfache magnetische Systeme mit Kern und Luftspalt _______________________ 124
14.1
Ersatzschaltbild des magnetischen Kreises _________________________________ 124
14.2
Induktivität und Energie ________________________________________________ 126
14.3
Beziehungen zwischen Scheinleistung, Geometrie und Material________________ 128
14.4
Kraftwirkung _________________________________________________________ 133
14.5
Nichtlineare Magnetisierung _____________________________________________ 135
14.6
Hysterese _____________________________________________________________ 140
15
Transformator _______________________________________________________ 143
Inhalt
V
15.1
Aufbau, Schaltzeichen __________________________________________________ 143
15.2
Idealisiertes Verhalten __________________________________________________ 144
15.3
Messwandler und Übertrager ____________________________________________ 148
15.3.1 15.3.2
Stromwandler ____________________________________________________________ 148 Spannungswandler ________________________________________________________ 150
15.4
Modellierung von Transformatoren mit Streuung ___________________________ 152
15.5
Berücksichtigung der Verluste ___________________________________________ 158
15.6
Leerlaufverhalten______________________________________________________ 159
15.7
Kurzschluss und Verhalten bei Belastung __________________________________ 160
15.8
Zusammenhang zwischen Geometrie und Scheinleistung _____________________ 162
16
Gleichstrommotor _____________________________________________________ 163
16.1
Wirkprinzip __________________________________________________________ 163
16.2
Aufbau_______________________________________________________________ 165
16.3
Kommutator und Ankerwicklungsschemata________________________________ 166
16.4
Mathematische Modellierung ____________________________________________ 167
16.5
Elektrische und mechanische Leistung, Wirkungsgrad _______________________ 170
16.6
Schaltungsarten, Klemmenbezeichnungen und Schaltzeichen _________________ 172
16.7
Fremderregter und permanent erregter Motor _____________________________ 173
16.8
Betrieb mit Vorwiderständen ____________________________________________ 178
16.9
Speisung durch einen Tiefsetzsteller ______________________________________ 179
16.10
Nebenschlussmotor ____________________________________________________ 180
16.11
Reihenschlussmotor ____________________________________________________ 181
17
Linearmotor _________________________________________________________ 185
17.1
Grundprinzip, einphasiger Linearmotor ___________________________________ 185
17.2
Zweiphasiger Linearmotor ______________________________________________ 187
17.3
Drehstrom-Linearmotor ________________________________________________ 190
18
Drehstrom ___________________________________________________________ 193
18.1
Energieübertragung ____________________________________________________ 193
18.2
Komplexe Zeiger der Sternschaltung ______________________________________ 197
18.3
Komplexe Zeiger der Dreieckschaltung ____________________________________ 200
18.4
Umrechnung zwischen Stern- und Dreieckschaltung _________________________ 201
A Griechische Buchstaben ___________________________________________________ i B Literatur ________________________________________________________________ ii C Kleines deutsch-englisches Glossar _________________________________________ iv
1 Elektrische Netzwerke mit diskreten Elementen
S. 1
1 Elektrische Netzwerke mit diskreten Elementen Elektrische Netzwerke mit diskreten Elementen bestehen aus elektrischen Zwei- oder Mehrpolen, die durch ideal leitende Verbindungen miteinander verknüpft sind. Ein elektrisches Netzwerk ist eine Abstraktion, durch die vielfältige elektrotechnische Anordnungen und Systeme ganz unterschiedlicher Größenordungen dargestellt werden können. Z.B.: •
Elektrische Energieverteilungsnetze (geometrische Ausdehnung: km bis zu einigen 1000 km)
•
Elektronische Schaltungen (geometrische Ausdehnung: einige µm (IC) bis zu einigen cm)
Ein elektrisches Netzwerk besteht aus zwei unterschiedlichen Arten von Strukturelementen: •
Zwei- oder Mehrpole: Elemente mit zwei oder mehreren elektrischen Anschlüssen, den Polen oder den Klemmen.
•
Ideal leitende Verbindungen, die die Anschlüsse der Zwei- oder Mehrpole miteinander verbinden.
Zwei- oder Mehrpole können ganz unterschiedlicher Art und auch gänzlich unterschiedlicher Komplexität in ihrem Innern sein. Beispiele: Zweipole: • Widerstand • Kondensator • Drossel • Haartrockner (schutzisoliert, ohne Schutzleiter) • Batterie Dreipole: • Transistor • Spartransformator • Kühlschrank (mit Schutzleiter) Vierpole: • Doppelleitung (zwei Enden mit je zwei Anschlüssen) • Transformator mit zwei Wicklungen Fünfpol: • Elektrischer Herd (Drehstromanschluss mit Neutral- und Schutzleiter)
1 Elektrische Netzwerke mit diskreten Elementen
S. 2
Bild 1-1: Beispiel eines Netzwerks mit Zweipolen und Dreipol Wir verwenden den Zusammenhängen:
Begriff
elektrisches
Netzwerk
in
zwei
unterschiedlichen
1. Das Netzwerk als Schaltplan oder Schaltbild: Das Netzwerk gibt an, wie eine reale Schaltung aufgebaut ist, welche Komponenten es beinhaltet und wie diese Komponenten untereinander verbunden sind. 2. Das Netzwerk gibt an, wie sich ein System bezüglich äußerer Einflussgrößen verhält, ohne dass es tatsächlich im Innern so beschaffen wäre, wie es das Netzwerk beschreibt. Derartige Netzwerke bezeichnen wir als Modelle oder Ersatzschaltbilder. Beispiele: Ersatzschaltbilder eines Transistor, eines Motors, eines Transformators, einer Batterie oder einer langen elektrischen Leitung.
1.1
Zweipole und Zählpfeilsysteme
Die Wahl der Zählrichtungen von Strom und Spannung ist frei. Bei der Berechnung elektrischer Netzwerke wird häufig versucht, die Zählrichtungen so einzuführen, dass die Ströme und Spannungen positiv sind. Das ist für von vornherein bekannte Größen durchaus sinnvoll. Für unbekannte Größen sollte die Zählrichtung zwanglos festgelegt werden. Es wird dadurch nicht ausgedrückt, dass der Strom tatsächlich in der Pfeilrichtung fließt bzw. eine positive Spannung in Pfeilrichtung anliegt. Die tatsächliche Richtung wird dann durch das Vorzeichen der Spannung ausgedrückt. Für eine vorzeichengerechte Beschreibung von Strömen und Spannungen ist also eine Bemaßung mit Zählpfeilen zwingend notwendig.
1 Elektrische Netzwerke mit diskreten Elementen
S. 3
Für Zweipole gibt es zwei wichtige Konventionen der Zählrichtungen: •
Verbraucher-Zählpfeil-System (Strom und Spannung werden gleichsinnig gezählt) i
i u
u
Zweipol
Zweipol
i
i Bild 1-2: Verbraucher-Zählpfeil-System •
Erzeuger-Zählpfeil-System (Strom und Spannung werden gegensinnig gezählt) i u
i Zweipol
u
Zweipol
i
i
Bild 1-3: Erzeuger-Zählpfeil-System
Die am Zweipol umgesetzte elektrische Leistung ist das Produkt von Spannung und Strom: p (t ) = u (t )i (t )
•
Verbraucher-Zählpfeil-System: Die Leistung p (t ) = u (t )i (t ) wird vom Zweipol aufgenommen
•
Erzeuger-Zählpfeil-System: Die Leistung p (t ) = u (t )i (t ) wird vom Zweipol abgegeben
(1.1)
Sprechweise: • Ein Strom fließt durch einen Anschluss, einen Pol, einen Leiter • Eine Spannung liegt an zwischen zwei Anschlüssen, zwei Polen, zwei Punkten
1.2
Kirchhoffsche Gesetze
Erstes Kirchhoffsches Gesetz: Die Summe* aller Ströme über eine beliebig gewählte geschlossene Hülle ist stets Null:
∑i k
k
(t ) = 0
(1.2)
* Die Summe wird vorzeichengerecht entsprechend der gewählten Zählpfeilrichtungen gebildet.
1 Elektrische Netzwerke mit diskreten Elementen
S. 4
Als wichtiger Spezialfall ergibt sich aus dem ersten Gesetz die Knotenregel: Die Summe aller Ströme an einem Knoten ist stets Null. Die oben formulierte erweiterte Form ist jedoch recht nützlich.
i1
i1 + i2 − i3 − i4 = 0
i2
i1 + i2 − i3 − i4 = 0
i2 i3
i1 i4 i3
i4
i1 i2 i3
i1 + i2 + i3 = 0 Dreipol
Bild 1-4: Beispiele für Anwendung der Knotenregel
Zweites Kirchhoffsches Gesetz („Maschenregel“): Die Summe* aller Spannungen entlang eines beliebig gewählten geschlossenen Umlaufs (Masche) ist stets Null:
∑u k
k
(t ) = 0
(1.3)
* Die Summe wird vorzeichengerecht entsprechend der gewählten Zählpfeilrichtungen gebildet.
1 Elektrische Netzwerke mit diskreten Elementen
1.3
S. 5
Mehrpole
i1
u1n
u12
u23
u2 n
i2
i3
n-Pol
u3 n in Bild 1-5: Mehrpol
Wegen des 1. Kirchhoffschen Gesetzes in seiner allgemeinen Form muss bei Mehrpolen n
∑i k =1
k
(t ) = 0
(1.4)
gelten. Leistung am Mehrpol: n −1
p (t ) = ∑ ik (t )u kn (t ) k =1
(1.5)
1 Elektrische Netzwerke mit diskreten Elementen
1.4
S. 6
Ableitung der Kirchhoffschen Gesetze aus den allgemeinen Feldgleichungen
1. Kirchhoffsches Gesetz Erhaltungssatz bzw. Bilanzgleichung der elektrischen Ladung (Kontinuitätsgesetz): d ∫ j ⋅ dA = − dt ∫ ρ dV ∂V V
(1.6)
i = q Beteiligte Größen sind: • • •
Vektor der Stromdichte: j Ladungsdichte: ρ i = − ∫ j ⋅ dA ist der Gesamtstrom durch die Hülle des Volumens V , wobei bei dieser ∂V
Definition der Strom in das Volumen hinein positiv gezählt wird, da die Flächennormale dA nach außen zeigt •
q = ∫ ρ dV ist die gesamte elektrische Ladung im Volumen V V
Hieraus folgt also das erste Kirchhoffsche Gesetz, sofern vorausgesetzt werden kann, dass sich die Ladung q im Volumen V nicht ändert, also q = 0 : i = ∑ ik ( t ) = 0 k
(1.7)
Achtung: Beim Kondensator ändern sich zwar die Ladungen auf den Elektroden, die Gesamtladung bleibt jedoch immer Null! Das erste Kirchhoffsche Gesetz darf also nicht auf Systeme angewendet werden, bei denen die Voraussetzung q = 0 nicht zutrifft, z. B. bei • Vorgängen mit Wellenausbreitung (sowohl leitungsgeführt als auch gestrahlt) • Anordnungen, die sich elektrostatisch aufladen können, wo also neben elektrischen Strömen auch dielektrische Verschiebungsströme auftreten
1 Elektrische Netzwerke mit diskreten Elementen
S. 7
2. Kirchhoffsches Gesetz Das Faradaysche Induktionsgesetz lautet in integraler Form d − ∫ E ⋅ ds = ∫ B ⋅ dA dt A ∂A
(1.8)
Beteiligte Größen sind: • • •
Vektor der elektrischen Feldstärke: E Vektor der magnetischen Flussdichte oder der magnetischen Induktion: B gesamter magnetischer Fluss durch die Fläche A : φ = ∫ B ⋅ dA : A
φ
A
u3
u1 ds
∂A
u2
Bild 1-6: Zum Induktionsgesetz Die Beiträge zum Wegintegral der elektrischen Feldstärke innerhalb der elektrischen Verbindungsleitungen sind Null, sofern ideale Leiter vorausgesetzt werden. Es folgt also: dφ
∑ uk = − dt
(1.9)
k
Nur wenn der magnetische Fluss φ durch die betreffende Masche eines Netzwerkes Null ist oder sich zumindest nicht ändert, gilt das zweite Kirchhoffsche Gesetz
∑ uk (t ) = 0 k
(1.10)
Trifft diese Voraussetzung nicht zu, gilt das zweite Kirchhoffsche Gesetz nicht. Beispiele: • Elektrische Schaltungen, bei denen magnetische Streuflüsse, z.B. eines Transformators, die Netzwerkmaschen durchdringen, so dass eine „Brummspannung“ induziert wird. • Ein sich aufgrund des Sonnenwinds änderndes Erdmagnetfeld kann bei sehr großen Maschen, wie sie durch Freileitungen gebildet werden, für Überraschungen sorgen. • Vorgänge mit Wellenausbreitung
2 Mittelwert und Effektivwert
S. 8
2 Mittelwert und Effektivwert Arithmetisches Mittel einer zeitlich veränderlichen Größe x(t ) im Intervall [t 0 ,t1 ] : t
1 1 x= x(t )dt . 1 t1 − t0 t∫
(2.1)
0
Die Mittelwertbildung lässt sich auf beliebige zeitlich veränderliche Größen anwenden. Häufig handelt es sich aber um periodische Größen: Für eine periodische Größe x(t ) gilt x(t ) = x(t − T )
(2.2)
T heißt Periodendauer. Der Mittelwert über eine Periode ist unabhängig von der Wahl des Anfangszeitpunktes:
t0 beliebig, z.B. t0 = 0 , t1 = t0 + T
(2.3)
Gleichrichtwert: ___
x =
1 T
T
∫ x(t ) dt
(2.4)
0
Quadratisches Mittel oder Effektivwert: T
1 2 X = x (t )dt . 2 ∫ T 0
(2.5)
xˆ = max x(t )
(2.6)
Scheitelwert: 0≤t≤T
Scheitelfaktor (crest factor): ks =
1 2
xˆ X
Ebenfalls übliche Bezeichnung x AV = x (AV, Average). Ebenfalls übliche Bezeichnungen: x eff = x RMS = X (RMS, Root Mean Square)
(2.7)
2 Mittelwert und Effektivwert
S. 9
Formfaktor (Effektivwert bezogen auf Gleichrichtwert): kf =
X (2.8)
___
x
Mittelwerte verschiedener Signalformen ___
x(t ) xˆ
x
x
x(t ) = xˆ sin (2πt / T )
2
0
T
π
t
ks
X
xˆ
1 2
kf
π
xˆ
2
xˆ
2
xˆ
3
2 3
T
T
τ
τ
2 2
xˆ
2 x(t ) = xˆ sin (2πt / T )
π T
2
xˆ
π
xˆ
1 2
π 2 2
t
xˆ
T
1 xˆ 2
1 xˆ 2
τ
τ
1 3
t
xˆ
t
T
T
xˆ
T
xˆ
τ T
xˆ
t
Häufig interessieren Leistungsmittelwerte (arithmetisches Mittel!) T
P= p=
1 p (t )dt T ∫0
(2.9)
Arithmetisches Mittel der Leistung an einem ohmschen Widerstand: T
P=
T
T
1 1 1 p (t )dt = ∫ u (t )i (t )dt = ∫ Ri 2 (t )dt = RI 2 ∫ T 0 T 0 T 0
(2.10)
2 Mittelwert und Effektivwert
S. 10
Oder: T
T
T
1 1 1 1 1 P = ∫ p (t )dt = ∫ u (t )i (t )dt = ∫ u 2 (t )dt = U 2 T 0 T 0 T 0R R
(2.11)
Der Effektivwert eines Strom bzw. einer Spannung erzeugt in einem ohmschen Widerstand die gleiche Leistung wie ein entsprechender Gleichstrom bzw. eine entsprechende Gleichspannung! Messgeräte, die Effektivwerte anzeigen, messen meist über Gleichrichtung und arithmetischer Mittelung gar nicht den Effektivwert, sondern nur den Gleichrichtwert. Dieser wird über den Formfaktor in den Effektivwert umgerechnet, wobei angenommen wird, dass sinusförmige Größen vorliegen. Die Effektivwertmessung nicht-sinusförmiger Größen mit derartigen Messinstrumenten führt dann regelmäßig zu falschen Ergebnissen, wenn das Messergebnis nicht mit den entsprechenden Formfaktoren korrigiert wird. Das gelingt natürlich nur dann, wenn die Kurvenform und damit der Formfaktor bekannt sind. Messgeräte, die tatsächlich Effektivwerte für beliebige Kurvenformen direkt messen (true RMS), sind aufwändig und teuer. Hilfreich sind die folgenden Zusammenhänge für die Berechnung von arithmetischem oder quadratischem Mitteln, sofern diese Mittelwerte für Teilintervalle des Kurvenverlaufs bereits bekannt sind, also insbesondere dann, wenn das Signal aus elementaren Stücken wie Dreieck, Rechtecht, Sinus oder Signalpausen zusammengesetzt ist: Seien x1 , x2 , … die jeweiligen arithmetischen Mittelwerte in den Teilintervallen T1 , T2 , … bzw. X 1 , X 2 , … die entsprechenden Effektivwerte, so ergibt sich der Gesamt-Mittelwert bzw. Gesamteffektivwert gemäß
x=
∑ Tk xk k
∑ Tk
(2.12)
k
X=
∑ Tk X k2 k
(2.13)
∑ Tk k
3 Elementare Zweipole
S. 11
3 Elementare Zweipole 3.1
Bezeichnungen
Im Gegensatz zu Gleichstrom-Gleichspannungs-Kreisen werden Ströme, Spannungen, Leistungen als zeitlich veränderliche Größen aufgefasst. Für zeitlich veränderliche Größen werden Kleinbuchstaben verwendet: i = i (t ) u = u (t ) p (t ) = u (t )i (t )
3.2
(3.1) (3.2) (3.3)
Widerstand
Für den Widerstand gilt das ohmsche Gesetz auch für zeitlich veränderliche Vorgänge: u (t ) = Ri(t )
(3.4)
i (t ) = Gu (t )
(3.5)
bzw.
mit dem Leitwert G=
1 R
(3.6)
Achtung: Es wird das Verbraucher-Zählpfeil-System vorausgesetzt. Der bauteilspezifische Zusammenhang („Bauteilgleichung“) zwischen Strom und Spannung, also das ohmsche Gesetz beim Widerstand, wird als konstitutive Gleichung bezeichnet. Das ohmsche Gesetz beschreibt ein idealisiertes Verhalten eines Widerstands. Reale Widerstände (z.B. gewickelte Drahtwiderstände) zeigen darüber hinaus ein nennenswertes induktives, sogar ein kapazitives Verhalten.
Leistung und Arbeit p (t ) = Ri 2 (t ) =
w[t0 , t1 ] =
t1
1 2 u (t ) = Gu 2 (t ) R
t1
∫ p(t )dt = ∫ Ri
t0
t0
2
(t )dt =
t1
1
∫Ru
t0
(3.7)
2
(t )dt
(3.8)
3 Elementare Zweipole
S. 12
Die Größe w[t0 , t1 ] ist die während des Zeitintervalls [t0 , t1 ] geleistete elektrische Arbeit. Diese wird vollständig in eine Wärmemenge Qθ umgesetzt: Qθ = w[t0 , t1 ] =
t1
t1
∫ p(t )dt = ∫ Ri
t0
2
(t )dt =
t0
t1
1
∫Ru
2
(t )dt
(3.9)
t0
Die geleistete Arbeit ist zwar von ihrer Dimension gleich der einer Energie. Sie wird im Allgemeinen aber nicht als Energie bezeichnet. Der Unterschied zwischen den Begriffen Arbeit und Energie wird bei der Betrachtung von Kondensator und Spule deutlich. Reihenschaltung zweier Widerstände
u1 (t ) = R1i (t ) u 2 ( t ) = R2 i ( t )
(3.10) (3.11)
⇒ u(t ) = u1 (t ) + u2 (t ) = ( R1 + R2 )i (t ) = Ri (t )
(3.12)
u(t ) = Ri (t )
(3.22)
mit dem resultierenden Ersatzwiderstandt der Reihenschaltung:
R = R1 + R2
(3.13)
i1 (t ) = G1u(t ) i2 ( t ) = G 2 u ( t )
(3.14) (3.15)
⇒ i (t ) = i1 (t ) + i2 (t ) = (G1 + G2 )u(t ) = Gu (t )
(3.16)
Gu (t ) = i (t )
(3.22)
Parallelschaltung
mit dem resultierenden Ersatzleitwert der Parallelschaltung:
G = G1 + G2
(3.17)
Werden statt der Leitwerte die Widerstände benutzt, führt das zu R=
1 1 1 + R1 R2
=
R1 R2 = R1 || R2 R1 + R2
(3.18)
Für die Berechnung des Ersatzwiderstands der Parallelschaltung wird, wie in der letzten Formel, gern die Kurzschreibweise || benutzt.
3 Elementare Zweipole
3.3
S. 13
Kondensator i (t ) u (t )
C
Bild 3-1: Schaltsymbol des Kondensators
Der Kondensator speichert eine elektrische Ladung q , wobei sich auf den beiden Elektroden jeweils Ladungen mit gegensätzlichen Vorzeichen 3 befinden (die Ladung auf der oberen Elektrode werde positiv gezählt). Aufgrund der Bilanzgleichung der elektrischen Ladung (vgl. Abschnitt 1.4) muss bei Annahme obiger Zählrichtungen gelten: dq(t ) = i (t ) dt
(3.19)
Die Ladung q ist aber proportional zur elektrischen Spannung: q(t ) = Cu(t )
(3.20)
Die Proportionalitätskonstante C heißt Kapazität. Maßeinheit der Kapazität ist das Farad (F): [C ] = 1 F = 1
As V
Eliminiert man die elektrische Ladung aus diesen beiden Gleichungen, erhält man als Beziehung zwischen Spannung und Strom eine Differenzialgleichung 1. Ordnung C
du (t ) = i (t ) dt
(3.21)
oder kurz Cu (t ) = i (t )
(3.22)
Diese Gleichung beschreibt das idealisierte Verhalten eines Kondensators. Die beschreibende Differenzialgleichung ist die konstitutive Gleichung des Kondensators (man beachte, dass das Verbraucherzählpfeilsystem vorausgesetzt wurde, andernfalls erhielte man das umgekehrte Vorzeichen).
3
Die Summe der Ladungen beider Elektroden ist folglich immer Null, weshalb das 1. Kirchhoffsche Gesetz auch auf Schaltungen mit Kondensatoren angewendet werden kann.
3 Elementare Zweipole
S. 14
Kapazität eines Plattenkondensators Die Kapazität eines Kondensators, bei dem der Plattenabstand d klein gegenüber der Ausdehnung der Platten (oder Folien) mit der Fläche A ist, bestimmt sich zu C=
wobei ε r
ε 0ε r A
(3.23)
d
die relative Permittivität (die Dielektrizitätszahl) des Dielektrikums und
ε 0 = 8,854 ⋅ 10 −12 F/m die Permittivität (Dielektrizitätskonstante) des Vakuums ist (ohne Herleitung).
Leistung, Energie p (t ) = u (t )i (t ) = Cu (t )
(
)
dwC (t ) du (t ) 1 d 2 = C = w C (t ) u (t ) = dt dt 2 dt
(3.24)
1 wC (t ) = Cu 2 (t ) 2
(3.25)
mit
Diese Größe ist die innere Energie des Kondensators. Die Energie eines Systems ist typischerweise nur vom momentanen Zustand abhängig, hier also von u(t ) , nicht aber von der Vorgeschichte. Die über einem Zeitintervall geleistete äußere Arbeit w[t0 , t1 ] lässt sich wie folgt integrieren: w[t0 , t1 ] =
∫ p(t )dt = ∫ w C (t )dt = wC (t1 ) − wC (t0 ) = 2 C (u
t1
t0
t1
1
2
(t1 ) − u 2 (t0 )
)
(3.26)
t0
w[t0 , t1 ] = wC (t1 ) − wC (t0 )
(3.27)
Die geleistete Arbeit ist also die Differenz der Energien zwischen End- und Anfangszustand. Dies macht den Unterschied zum Widerstand deutlich: Der Kondensator speichert die an ihm geleistete äußere Arbeit als Energie und kann diese bei Entladung auch wieder abgeben. Im Prinzip ist die Energie wC (t ) nur bis auf eine Integrationskonstante eindeutig bestimmbar. Da aber stets Differenzen von Energien auftreten, kann diese Integrationskonstante ohne Einschränkung der Allgemeinheit (wie oben geschehen) zu Null gewählt werden.
Dynamisches Verhalten Wird beim Kondensator die Spannung vorgegeben, folgt eindeutig der Strom:
3 Elementare Zweipole
S. 15
i (t ) = Cu (t )
(3.22)
Beispiel: Sinusförmige Größen:
u (t ) = uˆ sin (ωt − α ) ⇒ i (t ) = ωCuˆ cos(ωt − α ) = iˆ cos(ωt − α )
(3.28) (3.29)
Die Amplituden von Spannung und Strom stehen bei einer solchen sinusförmigen Speisung also im Zusammenhang
iˆ = ωCuˆ
(3.30)
wobei die Schwingung des Stroms der Spannungsschwingung vorauseilt. Wird dagegen beim Kondensator der Strom vorgegeben, kann die Spannung nur bis auf den Anfangswert der Spannung (mathematisch: die Integrationskonstante) bestimmt werden. Der Anfangswert muss also auf anderem Wege gegeben oder bestimmt werden: τ
1 u (τ ) = u 0 + ∫ i (τ ) dτ C τ0
(3.31)
Merke: Die Spannung am Kondensator kann sich nicht sprungförmig ändern.
u (t ) i (t )
iˆ = ωCuˆ uˆ
i C t
i (t ) u (t )
T = 2π / ω
t
Bild 3-2: Beispiele für zeitliche Verläufe von Strom und Spannung am Kondensator
Parallelschaltung
C1u (t ) = i1 (t ) C 2 u (t ) = i2 (t )
(3.32) (3.33)
⇒ (C1 + C 2 )u (t ) = i1 (t ) + i2 (t )
(3.34)
3 Elementare Zweipole
S. 16
Cu (t ) = i (t )
(3.22)
mit der resultierenden Ersatzkapazität der Parallelschaltung:
C = C1 + C 2
(3.35)
C1u1 (t ) = i (t ) C 2 u 2 (t ) = i (t )
(3.36) (3.37)
Reihenschaltung
⇒ 1 i (t ) C1 1 u 2 (t ) = i (t ) C2 u1 (t ) =
(3.38) (3.39)
1 1 i (t ) u1 (t ) + u 2 (t ) = + C1 C 2
(3.40)
Cu (t ) = i (t )
(3.22)
mit der resultierenden Ersatzkapazität der Reihenschaltung: C=
1 1 1 + C1 C 2
=
C1C 2 C1 + C 2
(3.41)
Merke: Kapazitäten verhalten sich in Reihen- und Parallelschaltung ähnlich wie Leitwerte. i (t )
i (t ) u1 (t ) u (t )
u (t ) u2 (t )
i2 (t )
i1 (t )
C1
C1
C2
Bild 3-3: Reihen- und Parallelschaltung von Kondensatoren
C2
3 Elementare Zweipole
3.4
S. 17
Drossel oder Spule i (t ) u (t )
i (t )
u (t )
L
nach neuer Norm
L
alt, nicht mehr verwenden
Bild 3-4: Schaltsymbole der Drossel
Ausgangspunkt ist das Induktionsgesetz (vgl. Abschnitt 1.4). Es soll aber berücksichtigt werden, dass Spulen in der Regel nicht nur aus einer einzigen, sondern mehreren Windungen bestehen. In diesem Fall ergibt sich der magnetische Verkettungsfluss ψ als Integration über eine entsprechend vielschichtige Fläche. Unter der vereinfachenden Annahme, dass jede Windung vom gleichen magnetischen Fluss durchsetzt wird, ist der Verkettungfluss einfach ein ganzzahliges Vielfache des einfachen Flusses,
ψ = Nφ
(3.42)
wobei N die Windungszahl der Spule ist. Das Induktionsgesetz hat wieder die gleiche Form, lediglich tritt statt des (einfachen) Flusses φ der mehrfach verkettete Fluss auf: dψ (t ) = u (t ) dt
(3.43)
Das Induktionsgesetz gilt in immer gleicher Form unabhängig davon, wie das Magnetfeld zustande kommt. Es kann durch fremde Erregungen wie durch eine andere Spule in einem Transformator (Gegeninduktion), durch Bewegung oder Formänderung der Spule in einem fremden Magnetfeld wie es beispielsweise bei elektrischen Maschinen der Fall ist (Bewegungsinduktion) oder aber durch den eigenen Strom i der Spule selbst erzeugt werden (Selbstinduktion). Wir betrachen hier nur den letzten Fall. In diesem Fall kann der magnetische Verkettungsfluss ψ bei Bauelementen mit linearen Materialen als proportional zum Strom i angenommen werden. Die Proportionalitätskonstante wird als Induktivität L bezeichnet:
ψ = Li
(3.44)
Die Maßeinheit der Induktivität ist das Henry (H): [ L] = 1 H = 1
Vs A
3 Elementare Zweipole
S. 18
Die Beziehung zwischen Strom und Spannung lässt sich dann in der Form L
di (t ) = u (t ) dt
(3.45)
bzw. Li(t ) = u(t )
(3.46)
schreiben. Dies ist die konstitutive Gleichung der Spule (auch hier gilt das Verbraucherzählpfeilsystem). Dieses idealisierte Verhalten berücksichtigt nicht den Innenwiderstand und mögliche kapazitive Effekte realer Bauelemente.
Induktivität einer langen Zylinderspule Eine Zylinderspule mit N Windungen und Querschnittsfläche A , bei der die Länge l sehr groß gegenüber dem Durchmesser ist, besitzt die Induktivität L=
µ0 µ r AN 2
(3.47)
l
wobei µ r die relative Permeabilität bzw. die Permeabilitätszahl des Kernmaterials und
m0 = 4π 10 −7 H/m die Permeabilität des Vakuums 4 ist. Das gleiche Ergebnis gilt auch für torusförmige Spulen (Ringkernspulen), sofern die Abmessungen des Torusquerschnitts klein gegenüber dem Torusdurchmesser sind. Man vergleiche die Formel für die Kapazität des Plattenkondensators! (ohne Herleitung)
Leistung, Energie p (t ) = u (t )i (t ) = Li (t )
(
)
dwL (t ) di (t ) 1 d 2 i (t ) = = w L (t ) = L 2 dt dt dt
(3.48)
Innere Energie der Drossel (vgl. Kondensator): wL (t ) =
4
1 2 Li (t ) 2
(3.49)
Die Permeabilität des Vakuums, die auch als magnetische Feldkonstante bezeichnet wird, ist tatsächlich auf diesen „glatten“ Wert festgelegt. Auf diese Weise wird im Internationalen System der Maßeinheiten die Maßeinheit des elektrischen Stroms definiert: 1 A ist definiert als derjenige Strom, der jeweils zwei sehr lange, hinreichend dünne, im Abstand von 1 m angeordnete Leiter durchfließt, wenn diese je 1 m Leiterlänge eine Kraft von 2·10-7 N aufeinander ausüben.
3 Elementare Zweipole
S. 19
Dynamisches Verhalten Wird der Strom der Drossel vorgegeben, folgt daraus eindeutig die Spannung: u (t ) = Li(t )
(3.46)
Beispiel: Sinusförmige Größen: i (t ) = iˆ sin (ωt − α ) ⇒ u (t ) = ωLiˆ cos(ωt − α )
(3.50) (3.51)
Spannungs- und Stromamplituden stehen bei einer solchen sinusförmigen Speisung im Zusammenhang
uˆ = ωLiˆ
(3.52)
Die Spannungsschwingung eilt dabei dem Strom voraus. Wird dagegen die Spannung vorgegeben, ist der Anfangswert des Stroms unbestimmt: τ
1 i (τ ) = i0 + ∫ u (τ ) dτ L τ0
(3.53)
Merke: Der Strom in einer Drossel kann sich nicht sprungförmig verändern.
i (t ) u (t )
uˆ = ωLiˆ iˆ
u L t
u (t ) i (t )
T = 2π / ω
Bild 3-5: Beispiele für zeitliche Verläufe von Strom und Spannung an der Drossel
t
3 Elementare Zweipole
S. 20
Reihenschaltung L1i(t ) = u1 (t ) L2 i(t ) = u 2 (t )
(3.54) (3.55)
⇒ ( L1 + L2 )i(t ) = u1 (t ) + u 2 (t )
(3.56)
Li(t ) = u (t )
(3.46)
mit der resultierenden Ersatzinduktivität der Reihenschaltung:
L = L1 + L2
(3.57)
L1i1 (t ) = u (t ) L2 i2 (t ) = u (t )
(3.58) (3.59)
Parallelschaltung
⇒ 1 i1 (t ) = u (t ) L1 1 i2 (t ) = u (t ) L2
(3.60) (3.61)
1 1 i1 (t ) + i2 (t ) = + u (t ) L1 L2
(3.62)
Li(t ) = u (t )
(3.46)
mit der resultierenden Ersatzinduktivität der Parallelschaltung: L=
1 1 1 + L1 L2
=
L1 L2 L1 + L2
(3.63)
Merke: Induktivitäten verhalten sich in Reihen- und Parallelschaltung ähnlich wie Widerstände.
3 Elementare Zweipole
S. 21
i (t )
i (t ) u1 (t ) L1
u (t )
i (t ) u2 (t )
i1 (t )
i2 (t )
L1
L2
L2
Bild 3-6: Reihen- und Parallelschaltung von Drosseln
4 Nichtlineare Elemente
S. 22
4 Nichtlineare Elemente 4.1
Nichtlineare Drossel
Insbesondere Spulen mit ferromagnetischen Kernen zeigen Sättigungsverhalten. Magnetischer Fluss und elektrischer Strom sind dann nicht mehr proportional. Das Induktionsgesetz ist aber ein physikalisches Grundgesetz, dieses gilt weiterhin: u (t ) = ψ (t )
(4.1)
Statt des nun nicht mehr gültigen linearen Zusammenhangs zwischen ψ und i wird nun angenommen, dass es eine wie auch immer geartete nichtlineare Kennlinie der Art
ψ = ψ (i )
(4.2)
gebe. Diese wird Magnetisierungskennlinie genannt.
ψ
Ld (i )
L(i )
i
Bild 4-1: Magnetisierungskennlinie
Durch Einsetzen und Anwendung der Kettenregel ergibt sich eine neue Differenzialgleichung als konstitutive Gleichung: u(t ) = ψ (t ) =
dψ i (t ) = Ld (i )i(t ) di
(4.3)
Die Gleichung gleicht formell jener bei linearen Verhältnissen. Hierbei ist aber die sogenannte differenzielle Induktivität
4 Nichtlineare Elemente
S. 23
dψ di
Ld (i ) =
(4.4)
maßgeblich. Es lässt sich zwar auch eine Induktivität als stromabhängiges Verhältnis von Fluss und Strom definieren, L(i ) =
ψ
(4.5)
i
diese hat aber für das dynamische Verhalten keine Bedeutung.
Leistung und Energie p(t ) = u(t )i (t ) = ψ (t )i (t ) t1
(4.6) ψ (t )
t1
1 dψ ( t ) wL (t1 ) − wL (t0 ) = ∫ p(t )dt = ∫ i (t )dt = ∫ i dψ dt t t ψ (t ) 0
0
(4.7)
0
Auch im nichtlinearen Fall lässt sich also die äußere Arbeit zu einer inneren magnetischen Energie wL integrieren. Die geometrische Interpretation der magnetischen Energie als Flächeninhalt der Magnetisierungkennline ist in folgendem Diagramm dargestellt (vgl. die Formel für die magnetische Energie für die lineare Drossel, diese Energie entspräche einer Dreiecksfläche):
ψ wL
i
Bild 4-2: Magnetische Energie in einer nichtlinearen Drossel
4 Nichtlineare Elemente
4.2
S. 24
Nichtlinearer Kondensator
Ausgangspunkt ist wieder die Ladungsbilanz i (t ) = q (t )
(4.8)
die als physikalisches Grundgesetz auch im nichtlinearen Fall gelten muss. Es werde nun angenommen, es gäbe einen nichtlinearen Zusammenhang zwischen Ladung q und Spannung u: q = q(u )
(4.9)
Einsetzen und Kettenregel liefert: i (t ) = q (t ) =
dq u (t ) = Cd (u )u (t ) du
(4.10)
mit der differenzielle Kapazität Cd ( u ) =
dq du
(4.11)
C (u ) =
q u
(4.12)
Kapazitat, jetzt spannungsabhängig:
Leistung und Energie p(t ) = u(t )i (t ) = u(t ) q (t ) t1
t1
(4.13) q(t )
1 dq(t ) u(t )dt = ∫ u dq wC (t1 ) − wC (t0 ) = ∫ p(t )dt = ∫ dt t q(t ) t 0
0
0
(4.14)
4 Nichtlineare Elemente
S. 25
q
wC
u
Bild 4-3: Geometrische Interpretation der Energie eines nichtlinearen Kondensators
5 Leistung, Arbeit, Energie im elektrischen Netzwerk
S. 26
5 Leistung, Arbeit, Energie im elektrischen Netzwerk 5.1
Arbeit und Energie
Das Integral der elektrischen Leistung an einem Zwei- oder Mehrpol über der Zeit t1
w[t0 , t1 ] = ∫ p(t )dt
(5.1)
t0
ist die geleistete (elektrische) Arbeit. Vereinfacht gesprochen, bezeichnen wir diese Arbeit nur dann als Energie dieses Elements, wenn diese als Speichergröße identifiziert werden kann (insbesondere kann diese dann auch wieder abgegeben werden). Mathematisch genauer formuliert sprechen wir von Energie, wenn das obige Leistungsintegral so integriert werden kann, dass das Ergebnis nur eine Funktion der Zustandsgrößen 5 x (t ) zum End- bzw. Anfangszeitpunkt ist: w[t0 , t1 ] = w(t1 ) − w(t0 ) = w( x (t1 )) − w( x (t0 ))
(5.2)
Diese Funktion w( x (t )) heißt dann innere Energie. Wie schon nachgewiesen, existieren für Kondensator und Spule derartige Energien, die für lineare Fälle 1 2 Li (t ) 2
(5.3)
1 wC (t ) = Cu 2 (t ) 2
(5.4)
wL (t ) =
und
lauten. Für den Widerstand findet man eine solche innere Energie nicht.
5.2
Energiebilanz im Netzwerk
Die Leistung an einem Element k in einem elektrischen Netzwerk sei pk (t ) , die dem Netzwerk über äußere Klemmen zugeführte Leistung sei pe (t ) . Die Leistungsbilanz im Netzwerk lautet damit N
pe ( t ) = ∑ pk ( t )
(5.5)
k =1
5
Zustandsgrößen nennt man einen Satz von Variablen, deren Kenntnis ausreicht, um den Zustand eines Systems vollständig zu beschreiben.
5 Leistung, Arbeit, Energie im elektrischen Netzwerk
S. 27
Sind einige der Elemente Energiespeicher (Kondensatoren oder Spulen oder andere Elemente, die dem Kriterium nach Abschnitt 5.1 genügen), lässt sich eine Gesamtenergie des Netzwerks definieren w(t ) =
∑
wk (t ) k ∈Speicher
(5.6)
Damit: pe (t ) = w (t ) + pi (t )
(5.7)
∑ pk ( t )
(5.8)
wobei pi (t ) =
k ∉Speicher
die innere Leistung ist. Diese setzt sich aus Verlusten z. B. der Widerstände zusammen. Spezialfälle dieser Leistungs- oder Energiebilanz: •
Netzwerk enthalte keine Elemente, die Leistung vernichten oder erzeugen, z. B. ein Netzwerk nur aus Spulen und Kondensatoren pe (t ) = w (t )
•
(5.9)
dto., darüber hinaus werde keine äußere Leistung zugeführt. Dann folgt eine Energieerhaltung: w (t ) = 0
(5.10)
w(t ) = const.
(5.11)
bzw.
•
Netzwerk enthalte gar keine Speicher: Die von außen zugeführte Leistung wird dann momentan auf die Netzwerkelemente verteilt: pe (t ) = pi (t ) = ∑ pk (t ) k
(5.12)
6 Gleichstromsteller
S. 28
6 Gleichstromsteller Transformatoren dienen der Umformung von Wechselspannungen oder –strömen. Die Umformung von Gleichspannungen wird mit einem gänzlich anderen Funktionsprinzip bewerkstelligt. Im Folgenden werden die beiden einfachsten Strukturen vorgestellt, um eine Gleichspannung herauf- oder herunterzusetzen: Der Tiefsetzsteller und der Hochsetzsteller. Derartige Gleichstromsteller werden für verschiedene Anwendungen und Leistungsklassen mit Spannungsbereich von wenigen Volt bis zu einigen 100 V oder sogar kV und Leistungen von etwa 100mW bis zu einigen 100 kW oder mehr eingesetzt. 6.1
Tiefsetzsteller
6.1.1 Prinzip i1
S
u1
iL
L
us
uL
i2 u2
Bild 6-1: Prinzipschaltbild des Tiefsetzstellers
Annahme konstanter Spannungen: u1 (t ) = U1 ,
u2 (t ) = U 2 .
Der Schalter S wird mit dem Tastverhältnis D=
Te Ts
getaktet (s. Bild 6-1). Begriffe: Te Ta Ts = Te + Ta 1 fs = Ts
Einschaltzeit (Schalter oben) Ausschaltzeit (Schalter unten) Schaltperiode Schaltfrequenz
(6.1)
6 Gleichstromsteller
S. 29
Stellerspannung: u (t ) = U1 während der Einschaltzeit us (t ) = 1 0 während der Ausschaltzeit i1 = iL
L
i1 = 0
i2
uL u s = u1
u1
iL
u1
u2
während der Einschaltzeit
(6.2)
us = 0
L
i2
uL
u2
während der Ausschaltzeit
Bild 6-2: Ersatzschaltbilder während Ein- und Ausschaltzeit
Analyse des stationären Verhaltens Zeitlicher Verlauf des Stroms iL (t ) (vgl. Bild 6-2): Aus LiL (t ) = u L (t ) = us (t ) − U 2
(6.3)
folgt während der Einschaltzeit t ∈ [0, Te ] : U1 − U 2 t L
(6.4)
U2 U − U2 U Te − 2 (t − Te ) (t − Te ) = iL (0) + 1 L L L
(6.5)
iL (t ) = iL (0) +
und während der Ausschaltzeit t ∈ [Te , Ts ] : iL (t ) = iL (Te ) −
Der Drosselstrom iL (t ) ist genau dann stationär (bzw. periodisch), wenn iL (Ts ) = iL (0) Daraus folgt: iL (0) +
U1 − U 2 U Te − 2 (Ts − Te ) = iL (0) L L
(U1 − U 2 )Te − U 2 (Ts − Te ) = 0 U1Te − U 2Ts = 0
6 Gleichstromsteller
S. 30
U 2 Te = =D U1 Ts
(6.6)
Das Tastverhältnis bestimmt ähnlich wie das Verhältnis der Windungszahlen beim Transformator das Verhältnis der Spannungen! us (t ) U1 U2
t Te
Ta
Ts
iL (t ) = i2 (t )
U1 − U 2 L
iL max
−
U2 L
i2 iL min
t i1 (t ) i2 i1 t
Bild 6-3: Zeitliche Verläufe beim Tiefsetzsteller im stationären Zustand
Andere alternative Betrachtung mit Mittelwerten: Der Strom iL (t ) ändert sich über eine Periode Ts nicht, wenn die Drosselspannung u L (t ) im Mittel Null ist, u L = 0 , denn aus LiL (t ) = u L (t )
(6.7)
folgt durch Integration über eine Schaltperiode Ts : Ts
L(iL (Ts ) − iL (0 )) = ∫ u L (t )dt = Ts u L = 0 0
(6.8)
6 Gleichstromsteller
S. 31
Aus der Maschengleichung: us (t ) = u L (t ) + U 2
(6.9)
erhält man die Aussage über die Mittelwerte im stationären Zustand: us = u L + U 2 = U 2
(6.10)
Der Mittelwert der Stellerspannung ist aber 1 us = Ts
Ts
∫ us (t )dt = 0
TeU1 = DU1 Ts
(6.11)
Daher folgt u s = U 2 = DU1
(6.12)
U2 =D U1
(6.13)
bzw.
Für den Mittelwert des Eingansstroms i1 (t ) ergibt sich: T
i1 =
T
T T 1 s 1 e = i t dt iL (t )dt = e iL = e i2 ( ) 1 ∫ ∫ Ts 0 Ts 0 Ts Ts
i1 = D i2
(6.14)
(6.15)
Also
D=
U 2 i1 = U1 i2
(6.16)
Der Drosselstrom iL (t ) ist niemals konstant, sondern schwankt stets nach einem dreieckförmigen Verlauf hin und her. Die Schwankungsbreite des Stroms iL bestimmt sich zu
Di L = i L max − i L min = i L (Te ) − i L (Ts ) =
D (1 − D ) Ts U 1 U2 Ta = L L
(6.17)
Die maximale Stromschwankungsbreite ergibt sich für das Tastverhältnis D = 0,5 zu
∆iL max =
Ts U1 4L
(6.18)
6 Gleichstromsteller
S. 32
Damit:
DiL = 4 D(1 − D)DiL max
DiL max
(6.19)
DiL
1
0,5
D
Bild 6-4: Stromschwankung über Tastverhältnis
Die Stromschwankung kann über die Glättungsdrossel L oder über die Schaltperiode Ts bzw. über die Schaltfrequenz f s = 1 / Ts beeinflusst werden. Typische Schaltfrequenzen liegen im Bereich einiger 100 Hz (im Leistungsbereich einiger MW mit Spannungen bis zu einigen kV) bis zu einigen 100 kHz (im Kleinspannungsbereich von wenigen Volt und wenigen Watt). Im letzteren Fall kommen MOSFET statt Bipolar-Transistoren zum Einsatz 6.1.2 Mit Glättungskondensator i1
S
iL
L
I2
iC U1
us
C
uC = u2
Bild 6-5: Tiefsetzsteller mit Kondensator zur Spannungsglättung
Ist die Ausgangsspannung u 2 nicht von sich aus konstant, kann ein Kondensator zur Glättung eingesetzt werden. Es wird ein konstanter Laststrom
i2 = I 2 angenommen. Im stationären Zustand muss der Kondensatorstrom iC (t ) = i L (t ) − I 2
(6.20)
6 Gleichstromsteller
S. 33
im zeitlichen Mittel Null sein, iC = 0 . Daher gilt
iL = I 2
(6.21)
Die resultierende Schwankung der Kondensatorspannung
uC (t ) =
1 1 iC (t ′) dt ′ = ∫ (iL (t ′) − I 2 ) dt ′ ∫ C C
ergibt sich durch einfache geometrische Betrachtung Stromkurvenformen zu (vgl. das folgende Bild 6-6)
(6.22)
aus
den
dreieckförmigen
t
∆u C = u C max − u C min
T 1 2 1 11 1 = ∫ (i L (t ′) − I 2 ) dt ′ = ∆i L (t 2 − t1 ) = ∆i L s 2 4C Ct C22
(6.23)
1
Du C =
D (1 − D ) Ts2 U 1 8 LC
(6.24)
Hierbei wird vereinfachend angenommen, dass die Spannungsschwankung ∆u C klein gegenüber der mittleren Kondensatorspannung uC = u2 ist, so dass die Rückwirkung auf den Verlauf der Ströme vernachlässigt werden kann. Die maximal mögliche Spannungsschwankung wird bei D = 0,5 erreicht:
∆u C max =
Ts2 U 1 32 LC
(6.25)
6 Gleichstromsteller
S. 34
us (t ) U1 u2 u2 (t ) t Te
Ta
Ts
U1 − u2 L
iL max
iL (t )
− u2 L
Einfluss der Spannungsschwankung auf den Stromverlauf
I2 iL min t1
t2 t
Ts / 2 i1 (t )
I2 i1
t
u2 (t ) = uC (t )
uC max
u2 uC min t
Bild 6-6: Zeitliche Verläufe beim Tiefsetzsteller mit Glättungskondensator
6.1.3 Realisierung Der bislang idealisierte Schalter wird schaltungstechnisch durch Halbleiterbauelemente realisiert. Das Bild 6-7 zeigt eine Schaltung mit einem Transistor und einer Diode. Der Transistor wird dabei stets schaltend betrieben. Ohne auf die näheren Eigenschaften eines Transistors hier näher einzugehen, soll dies bedeuten, dass der Transistor entweder ausgeschaltet ist, also keinen Strom führt und Sperrspannung aufnimmt, oder aber im eingeschalteten Zustand den Strom leitet und dann keine Spannung an diesem abfällt. Die letzte Annahme ist natürlich eine Idealisierung und nur unvollkommen erfüllt, denn bei einem Bipolartransistor, wie er Bild 6-7 verwendet wurde, liegt bei voller Durchsteuerung im sogenannten gesättigtem Betrieb die typische Kollektor-Emitter-Restspannung bei einigen 100mV, beim sogenannten IGBT (isolated gate bipolar transistor), einem speziellen Leistungstransistor, kann diese auch im Bereich einiger Volt liegen. Dieser Restspannung-
6 Gleichstromsteller
S. 35
sabfall des Transistor als auch die Flusspannung der Diode wurden bei der vorangegangenen Modellierung vernachlässigt.
i1
u1
iL
us
L
i2
u2
Bild 6-7: Realisierung des Tiefsetzstellers mit Transistor und Diode
Man möge überprüfen, dass diese Schaltung tatsächlich die Funktion des in Bild 6-1 dargestellten Schalters erfüllt: Nehmen wir an, es fließe ein positiver Strom iL > 0 und der Transistor sei nicht angesteuert, also im gesperrten Zustand. Dann muss der Strom den Weg durch die Diode nehmen, die also leitend ist. Im leitenden Zustand fällt an dieser nur eine geringe Flussspannung ab, also us ≈ 0 Das heißt also, der in Bild 6-1 dargestellte idealisierte Schalter befindet sich in der unteren Schaltposition. Wird nun der Transistor angesteuert, so dass dieser leitet wird und seine Längsspannung zusammenbricht, fällt nun an der Diode die Spannung (unter Vernachlässigung der Transistor-Restspannung) die Eingangsspannung an, die positiv angenommen werden soll, us ≈ u1 . Damit wird die Diode in Sperrrichtung belastet, die folglich den Strom nicht mehr führen kann. Statt dessen muss der Strom iL nun den Pfad durch den Transistor nehmen, was bedeutet, dass sich der idealisiert Schalter aus Bild 6-1 in der oberen Position befindet. Bei dieser Kontrolle wird aber eine wichtige Bedingung deutlich: Sowohl der Strom iL als auch die Spannung u1 mussten als positiv angenommen werden. Bei der idealisierten Schaltung wurden zwar die Diagramme für positive Spannung und positiven Strom gezeichnet, doch war das bislang keine zwingende Annahme. Bei der hier vorliegenden Schalterrealisierung ist dies nun aber eine zwingende Voraussetzung 6. Insbesondere soll folgender Umstand beachtet werden: Selbst wenn der Anfangswert des Stroms iL positiv, aber recht klein ist, kann es passieren, dass der Strom auf der fallenden Flanke den Wert Null erreicht, bevor der Transistor neu eingeschaltet wird. In diesem Fall erlischt der Strom und verharrt solange bei Null, bis der Transistor neu eingeschaltet wird. In diesem Zwischenzustand leitet weder die Diode noch der Transistor. Es ergibt sich eine Stromlücke, die dieser Betriebsart ihren Namen gibt. Die genauere Untersuchung dieses lückenden Betriebs sei den weiterführenden Lehrveranstaltungen vorbehalten. Hier soll nur 6
Andere, aufwändigere Schalterrealisierungen können durchaus auch negative Ströme und/oder Spannungen hantieren. Interessierte seien auf die weiterführenden Lehrveranstaltungen verwiesen.
6 Gleichstromsteller
S. 36
darauf hingewiesen werden, dass die vorangegangene Modellierung des Tiefsetzstellers für den lückenden Betrieb seine Gültigkeit verliert und nicht angewandt werden darf. Unsere Modellierung bleibt gültig, solange der Strommittelwert größer als die halbe Schwankungsbreite ist, iL = i2 >
1 ∆iL . 2
(6.26)
iL = i2 =
1 ∆iL 2
(6.27)
Der Fall
heißt Lückgrenzbetrieb, denn dann touchiert die untere Spitze des dreieckförmigen Stromverlaufs gerade die Null wie in Bild 6-9 gezeigt. us (t ) U1 U2
t
Te
Ta
Ts
iL (t ) = i2 (t )
iL max = DiL DiL
i2 = 12 DiL iL min = 0
i1 (t ) i2 i1
t
DiL t
Bild 6-8: Zeitliche Verläufe beim Tiefsetzsteller im Lückgrenzbetrieb
6 Gleichstromsteller
6.2
S. 37
Hochsetzsteller
6.2.1 Prinzip
L
i1
iL
S
is = i2
us
u1
u2
Bild 6-9: Prinzipbild des Hochsetzstellers
Annahme konstanter Spannungen:
u1 (t ) = U1 ,
u2 (t ) = U 2 .
us (t ) U2 U1
t
Ta
Te
Ts iL (t ) = i1 (t )
iL max
U1 − U 2 L
U1 L
i1 iL min t
i2 (t ) i1 i2
t
Bild 6-10: Zeitliche Verläufe beim Hochsetzsteller im stationären Zustand
6 Gleichstromsteller
S. 38
Die Intervalle Te und Ta werden hier anders definiert als beim Tiefsetzsteller: Während Te ist der Schalter in der unteren Position, so dass u s = 0 ; während Ta ist der Schalter in der oberen Position. Die Motivation zu dieser Definition ergibt sich erst beim Blick auf die Realisierung des Schalter durch Transistor und Diode (s. Abschnitt 6.2.3). Tastverhältnis: D=
Te Ts
(6.1)
Im stationären Zustand gilt:
1− D =
U1 i2 = U 2 i1
(6.28)
Stromschwankung:
DiL = iL max − iL min =
DTs U1 D (1 − D ) Ts U 2 U1 = Te = L L L
(6.29)
6.2.2 Mit Glättungskondensator
i1
L
iL
S
is
I2 iC
us
U1
C
u2 = uC
Bild 6-11: Hochsetzsteller mit Kondensator zur Spannungsglättung
Glättung der Ausgangsspannung mit Glättungskondensator. Annahme konstanten Laststroms
i2 (t ) = I 2 Im stationären Zustand gilt wegen iC = 0 is = I 2
(6.30)
6 Gleichstromsteller
S. 39
Spannungsschwankung:
Du C = u C max − u C min =
I DT D (1 − D ) Ts i1 I2 Te = 2 s = C C C
(6.31)
wobei die Rückwirkung der Spannungsschwankung auf die Stromverläufe vernachlässigt wurde. us (t ) U1
t
Ta
Ts
Te iL (t )
iL max
U1 − u2 L
U1 L
Einfluss der Spannungsschwankung auf den Stromverlauf
i1 iL min t
is (t ) i1 I2
u2 (t ) = uC (t )
uC max
t
u2 uC min
t
Bild 6-12: Zeitliche Verläufe beim Hochsetzsteller mit Glättungskondensator
6 Gleichstromsteller
S. 40
6.2.3 Realisierung Der Schalter wird wieder durch einen Transistor und eine Diode realisiert, wobei der eingeschaltete Transistor hier der „unteren“ Stellung des idealisierten Schalters entspricht. Auch bei dieser Realisierung müssen positive Spannungen und Ströme angenommen werden. Die Ausführungen über den lückenden und den Lückgrenzbetrieb gelten entsprechend wie in Abschnitt 6.1.3. i1
U1
L
iL
i2
us
U2
Bild 6-13: Realisierung des Hochsetzstellers mit Transistor und Diode
7 Elementare Ausgleichsvorgänge
S. 41
7 Elementare Ausgleichsvorgänge 7.1
RC-Glied S
u R (t ) i (t ) R C
U0
uC (t )
Bild 7-1: RC-Glied mit Schalter an Spannungsquelle
Wenn Schalter S geschlossen, gilt die Maschengleichung: U 0 = u R ( t ) + uC ( t )
(7.1)
u R (t ) = i (t ) R Cu C (t ) = i (t )
(7.2) (7.3)
Auflösen und Einsetzen: 1 1 u R (t ) = (U 0 − u C (t ) ) R R 1 Cu C (t ) = (U 0 − u C (t ) ) R
i (t ) =
RCuC (t ) + uC (t ) = U 0
(7.4) (7.5) (7.6)
Inhomogene, lineare Differenzialgleichung 1. Ordnung! Lösungsweg: Irgendeine spezielle Lösung der inhomogenen Differenzialgleichung (partikuläre Lösung) + allgemeine Lösung der homogenen Differenzialgleichung: Eine Lösung der inhomogenen Dgl. erraten, z.B.: uCi (t ) = U 0 = const.
(7.7)
RCuC (t ) + uC (t ) = 0
(7.8)
Lösung der homogenen Dgl.
7 Elementare Ausgleichsvorgänge
S. 42
durch Exponentialansatz: uCh (τ ) = uCh 0 e
−
τ
(7.9)
τ
Einsetzen des Ansatzes in die Differenzialgleichung ergibt 1
− RC u Ch 0 e
−
τ
τ
τ
+ u Ch 0 e
−
τ
τ
=0
τ
− 1 τ − RC τ + 1 u Ch 0 e = 0
(7.10)
Die Exponentialfunktion ist niemals Null. Unter der Annahme uCh ≠ 0 muss also die Klammer gleich Null sein und es folgt
τ = RC
(7.11)
Die Konstante τ heißt Zeitkonstante des RC-Gliedes. (Diskutieren Sie auch den Fall uCh = 0 !) Die allgemeine Lösung lautet also uC (t ) = uCh (t ) + uCi (t ) = uCh 0e
−
(7.12)
t
t
+ U0
Die Konstante uCh 0 ist immer noch unbekannt. Diese Konstante wird nun durch die Anpassung der Lösung an die Anfangsbedingung bestimmt: Der Schalter schalte bei t = 0, Anfangsspannung des Kondensators sei uC (0) = uC 0
(7.13)
uC 0 = uCh (0) + uCi (0) = uCh 0 + U 0
(7.14)
uCh 0 = uC 0 − U 0
(7.15)
Also:
Damit findet man als endgültige Lösung für die Kondensatorspannung: uC (τ ) = (uC 0 − U 0 )e = uC 0 e
−
τ
τ
−
τ
τ
+ U0
τ − τ + U0 1 − e
(7.16)
7 Elementare Ausgleichsvorgänge
S. 43
Der stationäre Endwert ist
uC ( ∞) = lim uC (t ) = U 0
(7.17)
t →∞
Aus der Spannung lässt sich nun auch der Strom berechnen: i (τ ) = CuC (τ ) =−
C
τ
(uC 0 − U 0 ) e
−
τ
τ
(7.18)
τ
− 1 = (U 0 − uC 0 ) e τ R
U0
t uC (t )
t uC 0
i (t )
t
t
Bild 7-2: Ausgleichsvorgang beim RC-Glied
Speziell bei entladenem Kondensator als Anfangszustand: τ − u C (τ ) = U 0 1 − e τ
(7.19)
τ
U − i (τ ) = 0 e τ R
(7.20)
7 Elementare Ausgleichsvorgänge
7.2
S. 44
RL-Glied I0
iR (t ) S
R
L
iL (t ) u (t )
Bild 7-3: RL-Glied mit Schalter an Stromquelle
Wenn Schalter S geöffnet, Knotengleichung: I 0 = i R (t ) + i L (t )
(7.21)
u (t ) = i R (t ) R LiL (t ) = u (t )
(7.22) (7.23)
u (t ) = Ri R (t ) = R(I 0 − i L (t ) ) LiL (t ) = R(I 0 − i L (t ) )
(7.24)
L iL ( t ) + iL ( t ) = I 0 R
(7.26)
Auflösen und Einsetzen:
(7.25)
Vorgehen analog wie beim RC-Glied.
τ=
L R
(7.27)
heißt Zeitkonstante des RL-Gliedes. Allgemeine Lösung: i L (t ) = i Lh 0 e
Anpassen der Lösung Spulenanfangsstrom sei
an
die
−
t
t
Anfangsbedingung:
i L (0) = i L 0
(7.28)
+ I0
Schalter
schalte
bei
t = 0,
(7.29)
7 Elementare Ausgleichsvorgänge
S. 45
iL (τ ) = (iL 0 − I 0 ) e = iL 0 e
−
τ
τ
−
τ
τ
+ I0
τ − τ + I0 1 − e
(7.30)
Stationärer Endwert: i L (∞ ) = I 0
(7.31)
Berechnung der Spannung: u (τ ) = LiL (τ ) =−
L
τ
(iL0 − I 0 ) e
= R (I 0 − iL 0 ) e
−
−
τ
τ
(7.32)
τ
τ
Speziell bei stromloser Drossel als Anfangszustand: τ − τ i L (τ ) = I 0 1 − e
u (τ ) = RI 0 e
I0
−
(7.33)
τ
(7.34)
τ
t iL (t )
t iL 0
u (t )
t Bild 7-4: Ausgleichsvorgang beim RL-Glied
t
7 Elementare Ausgleichsvorgänge
7.3
S. 46
Anfangs-Endwert-Darstellung für RC- und RL-Glieder
Bei einfachen RC- und RL-Gliedern folgt der Ausgleichsvorgang immer dem gleichen Schema: Für die Größe, die die Energie des Speichers beschreibt, also der Strom bei der Drossel oder die Spannung beim Kondensator, gilt stets:
x (τ ) = x0e
−
τ − τ0
τ
τ −τ − 0 + x∞ 1 − e τ
(7.35)
Anfangswert: x0 = x(t 0 )
(7.36)
x∞ = lim x(t )
(7.37)
Stationärer Endwert: t →∞
•
Bestimmung des Anfangswertes direkt aus Maschen- oder Knotengleichung oder der Anfangswert ist direkt gegeben.
•
Bestimmung des stationären Endwerts: Kondensator gedanklich durch idealen Isolator, Drossel durch idealen Leiter ersetzen und Strom- bzw. Spannungswert an diesen Klemmen durch Netzwerkanalyse bestimmen.
•
Bestimmung der Zeitkonstanten: Kondensator bzw. Spule aus dem Netzwerk herauslösen, dann den wirksamen Widerstand der restlichen Schaltung an den freigeschnittenen Klemmen bestimmen.
8 Schwingkreise
S. 47
8 Schwingkreise 8.1
LC-Schwingkreis
iL (t )
iC (t )
L
C
u (t )
Bild 8-1: Schwingkreis Cu C = iC LiL = u L
(8.1) (8.2)
uC = u L = u − iC = i L = i
(8.3) (8.4)
Cu = −i = −
1 u L
LCu + u = 0
(8.5) (8.6)
Die Spannung u gehorcht einer autonomen linearen homogenen Differenzialgleichung 2. Ordnung! (Stellen Sie ebenso eine Differenzialgleichung für den Strom auf!) Es wird wieder eine Exponentialfunktion als Lösung angesetzt. Später wird sich herausstellen, dass es komplexwertige Lösungen gibt. Die ggf. komplexe Konstante U wird daher schon jetzt mit einem Unterstrich gekennzeichnet: u = U e st
(8.7)
u = U s 2e st
(8.8)
LCU s 2 e st + U e st = 0
(8.9)
8 Schwingkreise
S. 48
Die resultierende Gleichung in s heißt charakteristische Gleichung bzw. das darin vorkommende Polynom wird charakteristisches Polynom genannt: LCs 2 + 1 = 0 1 s2 = − LC j s1, 2 = ± LC
(8.10) (8.11) (8.12)
Die Lösungen s1 , s2 der charakteristischen Gleichung heißen Eigenwerte. Obwohl s1 , s2 also imaginäre Zahlen sein können, werden sie üblicherweise nicht mit einem Unterstrich gekennzeichnet. Abkürzungen: Kennkreisfrequenz:
ω0 =
1 LC
(8.13)
Kennwiderstand:
Z0 =
L C
(8.14)
Allgemeine Lösung u (t ) = U 1e jω 0 t + U 2e − jω 0 t
(8.15)
Da die Lösung reell sein soll, müssen die Koeffizienten U 1, U 2 zueinander konjugiert komplex sein 7: U 2 = U 1*
(8.16)
u (t ) = U c cos ω 0 t + U s sin ω 0 t
(8.17)
U c = 2 Re(U 1 )
(8.18)
U s = −2 Im(U 1 )
(8.19)
i (t ) = −Cu (t ) = Cω 0U c sin ω 0 t − Cω 0U s cos ω 0 t
(8.20)
Darstellung mit Sinus und Kosinus:
Strom:
7
z*=x-jy bezeichne die zu z=x+jy konjugiert komplexe Zahl
8 Schwingkreise
S. 49
Anfangsbedingungen: i0 = i (0) = −Cω 0U s u 0 = u (0) = U c
(8.21) (8.22)
i (t ) = i0 cos ω 0 t + Cω 0 u 0 sin ω 0 t = i0 cos ω 0 t +
u (t ) = u 0 cos ω 0 t −
1 u 0 sin ω 0 t Z0 1 Cω 0
i0 sin ω 0 t
(8.23)
(8.24)
= u 0 cos ω 0 t − Z 0 i0 sin ω 0 t
Betrachtet man die Schwingungsamplituden von Strom und Spannung,
uˆ = u02 + Z 02i02
(8.25)
2 ˆi = i02 + u0 Z 02
(8.26)
so ergibt sich, dass für deren Verhältnis gerade der Kennwiderstand maßgeblich ist:
uˆ = Z0 iˆ
(8.27)
Energie im Schwingkreis: w(t ) = wL (t ) + wC (t ) =
1 2 1 Li (t ) + Cu 2 (t ) 2 2 2
1 1 1 = L i0 cos w0t + u0 sin w0t + C (u0 cos w0t − Z 0i0 sin w0t )2 2 2 Z0 =
1 2 1 2 Li0 + Cu0 = const. 2 2
(8.28)
8 Schwingkreise
S. 50
0
0
Bild 8-2: Zeitliche Verläufe von Spannung und Strom des LC-Schwingkreises
Fragen: • Welche Kurve zeigt den Strom, welche die Spannung? • Kennzeichnen Sie die Anfangswerte! • Identifizieren Sie ω 0 ! • Skizzieren Sie die Energieverläufe im Kondensator und in der Drossel!
8 Schwingkreise
8.2
S. 51
RLC-Parallelschwingkreis
iL (t )
iC (t ) L
C
iR (t ) R
u (t )
Bild 8-3: RLC-Parallelschwingkreis iC + i L + i R = 0 iC + iL + iR = 0 Cu +
(8.29) (8.30)
1 1 u + u = 0 R L
(8.31)
L u + u = 0 R
(8.32)
LCu +
Exponentialansatz: u = U e st
LCU s 2 e st +
L U se st + U e st = 0 R
LCs 2 +
s2 +
s1, 2 = −
L s +1 = 0 R
1 1 s+ =0 RC LC
1 1 1 ± − 2 2 LC 2 RC 4R C
(8.33) (8.34)
(8.35)
(8.36)
(8.37)
8 Schwingkreise
S. 52
Abkürzungen: Kennkreisfrequenz: 1
ω0 =
(8.38)
LC
Kennwiderstand: L C
Z0 =
(8.39)
Dämpfung oder Dämpfungsgrad 8: d=
1 2R
L 1 Z0 = C 2 R
(8.40)
Mit diesen Kennzahlen lassen sich die Differenzialgleichung und die charakteristische Gleichung in den Standardformen u + 2dω 0 u + ω 02 u = 0
(8.41)
s 2 + 2dω0 s + ω02 = 0
(8.42)
schreiben. Es folgen die Wurzeln (Eigenwerte) der charakteristischen Gleichung als
s1, 2 = −ω 0 d ± jω 0 1 − d 2
(8.43)
Allgemeine Lösung für die Spannung u (t ) = U 1e s1t + U 2e s 2 t
(8.44)
Allgemeine Lösung für die Ströme iR (t ) =
[
u (t ) 1 = U 1e s1t + U 2e s 2 t R R
[
]
iC (t ) = Cu (t ) = C U 1s1e s1t + U 2 s2e s 2 t
(8.45)
]
1 1 iL (t ) = −iR (t ) − iC (t ) = − Cs1 + U 1e s1t − Cs2 + U 2e s 2 t R R
8
(8.46) (8.47)
In der Literatur findet sich für den Dämpfungsgrad auch die alternative Definition d´=Z0/R. Hier wird die in der Systemtheorie und Regelungstechnik übliche Definition der Dämpfung verwendet.
8 Schwingkreise
S. 53
Fallunterscheidung: Schwache Dämpfung: d < 1 , die Eigenwerte bilden ein konjugiert komplexes Paar: s1 = s2*
(8.48)
1 s1, 2 = −ω 0 d ± jω 0 1 − d 2 = − ± jω d
(8.49)
τ
τ=
1 ω0 d
(8.50)
ωd = ω0 1 − d 2
(8.51)
U 1 = U *2
(8.52)
Außerdem muss gelten:
Umrechnung der Exponentialdarstellung in Darstellung mit Sinus und Kosinus:
u (τ ) = U 1e s1τ + U 2 e s2τ = U 1e s1τ + U 1 e s1 τ = (U c cos ωd τ + U s sin ωd τ ) e *
*
−
τ
(8.53)
τ
U c = 2 Re(U 1 ) U s = −2 Im(U 1 )
(8.54) (8.55)
Ströme: τ
iR (τ ) =
− u (τ ) 1 = (U c cos ωd τ + U s sin ωd τ ) e τ R R
(8.56) τ
1 − iC (τ ) = Cu (τ ) = C ωd (− U c sin ωd τ + U s cos ωd τ ) − (U c cos ωd τ + U s sin ωd τ ) e τ τ τ
− 1 1 = C ωdU s − U c cos ωd τ − ωdU c + U s sin ωd τ e τ τ τ
(8.57)
i L (τ ) = −i R (τ ) − iC (τ ) − − 1 1 1 = − (U c cos ω d τ + U s sin ω d τ ) e τ − C ω d U s − U c cos ω d τ − ω d U c + U s sin ω d τ e τ τ τ R τ − C 1 C 1 = − ω d CU s + − U c cos ω d τ + ω d CU c + − U s sin ω d τ e τ τ R τ R τ
τ
− 1 1 U c cos ω d τ + ω d CU c − U s sin ω d τ e τ = − ω d CU s − 2R 2R
τ
(8.58)
8 Schwingkreise
S. 54
Anfangsbedingungen: u (0) = u 0 = U c i L (0) = i L 0 = −ω d CU s −
(8.59) 1 Uc 2R
⇒ iL0 u0 − Us = − ω d C 2ω d RC
(8.60)
(8.61)
Zeitlicher Verlauf:
0
0
Bild 8-4: Beispiel für Verlauf der Spannung beim RLC-Parallelschwingkreis im Fall schwacher Dämpfung d < 1 • •
Skizzieren Sie im Spannungsverlauf die Kennwerte τ , ω d ! Skizzieren Sie die Verläufe der Ströme iR , iL , iC .
Es stellt sich also eine gedämpfte Schwingung ein. Wir sprechen im Fall schwacher Dämpfung auch vom Schwingfall. Starke Dämpfung: d > 1 : beide Eigenwerte sind reell: s1, 2 = −ω 0 d ± ω 0 d 2 − 1
(8.62)
8 Schwingkreise
S. 55
Ebenso die Konstanten U 1, 2 = U1, 2
0
(8.63)
0
Bild 8-5: Beispiel für Verlauf der Spannung beim RLC-Parallelschwingkreis im Fall starker Dämpfung d > 1
Es findet keine Schwingung statt, es liegt bei starker Dämpfung der aperiodische Fall vor. Aperiodischer Grenzfall: d = 1 : Der aperiodische Grenzfall ist die Grenze des aperiodischen Falls. Dann sind beide Eigenwerte sind reell und gleich: s1 = s 2 = −ω 0
(8.64)
In diesem Fall stellen wir fest, dass über den üblichen Exponentialansatz mit diesen Eigenwerten weiterhin eine, aber eben nur eine Lösung der Differentialgleichung gefunden werden kann, da beide Eigenwerte gleich sind. Die Anpassung an zwei unabhängige Anfangsbedingungen (Spulenstrom und Kondensatorspannung) kann damit nicht gelingen. Das ist ein Hinweis, dass das Lösungssystem noch nicht vollständig ist. Für den aperiodischen Grenzfall ist der Lösungsansatz folgendermaßen zu erweitern: u = U 0 e st + U1 t e st
(8.65)
8 Schwingkreise
S. 56
Dies möge durch Einsetzen in die Differenzialgleichung verifiziert werden. Weitere Details können den mathematischen Grundlagenlehrbüchern entnommen werden. In der Praxis lässt sich der Fall d = 1 wegen nicht vermeidbarer Bauteiltoleranzen ohnehin nie exakt einstellen.
Zeichnen Sie die Lage der Eigenwerte s1 , s 2 für alle Dämpfungsfälle in Abhängigkeit von d bei konstanter Kennkreisfrequenz ω 0 in der komplexen Ebene!
Im
Re
Bild 8-6: Lage der Eigenwerte in Abhängigkeit der Dämpfung (zu vervollständigen)
8 Schwingkreise
8.3
S. 57
RLC-Reihenschwingkreis
u L (t ) i (t )
L uC (t )
C
R
u R (t )
Bild 8-7: RLC-Reihenschwingkreis uC + u L + u R = 0 u C + u L + u R = 0
(8.66) (8.67)
1 i + Li + Ri = 0 C
(8.68)
LCi + RCi + i = 0
(8.69)
i (t ) = I e st
(8.70)
LCs 2 + RCs + 1 = 0
(8.71)
R 1 s+ =0 L LC
(8.72)
Exponentialansatz:
Charakteristische Gleichung:
s2 +
Eigenwerte: s1, 2
R 1 R2 =− ± − 2 2L 4 L LC
(8.73)
8 Schwingkreise
S. 58
Abkürzungen: Kennkreisfrequenz: 1
ω0 =
(8.74)
LC
Kennwiderstand:
L C
Z0 =
(8.75)
Dämpfung: d=
R C 1 R = 2 L 2 Z0
(8.76)
Mit diesen Abkürzungen lassen sich Differenzialgleichung und charakteristische Gleichung schreiben als
i + 2dω0i + ω02i = 0
(8.77)
s 2 + 2dω0 s + ω02 = 0
(8.78)
die somit genau gleich lauten wie die des RLC-Parallelschwingkreises. Lösungen:
s1, 2 = −ω 0 d ± jω 0 1 − d 2
(8.79)
Allgemeine Lösung für den Strom: i (t ) = I 1e s1t + I 2e s 2 t
(8.80)
Allgemeine Lösung für die Spannungen:
[
u R (t ) = Ri (t ) = R I 1e s1t + I 2e s 2 t
[
]
u L (t ) = Li(t ) = L I 1s1e s1t + I 2 s2e s 2 t
(8.81)
]
uC (t ) = −u R (t ) − u L (t ) = −(Ls1 + R )I 1e s1t − (Ls2 + R )I 2e s 2 t
Weitere Diskussion der Lösungen wie beim Parallelschwingkreis! Siehe dort.
(8.82) (8.83)
8 Schwingkreise
8.4
S. 59
Aufschaltung von sprungförmigen Größen auf RLC-Netzwerke
In den vorangegangenen Abschnitten wurden sogenannte Anfangswertprobleme von Netzwerken ohne äußere Einspeisungen behandelt. Werden Spannungen oder Ströme zusätzlich von außen aufgeschaltet, wird das Superpositionsverfahren angewendet. Dieses darf wegen der Linearität des Gleichungssystems angewendet werden. Beispiel:
iL (t )
iC (t )
I0
L
S
C
uL (t )
uC (t ) R
uR (t )
Bild 8-8: Ausgleichsvorgang einer RLC-Schaltung
Bei geschlossenem Schalter S ist uC = 0
(8.84)
uL + uR = 0
(8.85)
LiL + RiL = 0
(8.86)
sowie
Es findet also nur ein einfacher Ausgleichsvorgang des RL-Gliedes mit exponentiellem Verlauf und Abklingzeitkonstante L / R statt; es gibt keine Schwingung. Der Strom der Stromquelle wird ebenfalls über den Schalter kurzgeschlossen. Ist der Schalter genügend lange geschlossen, wird der Strom iL Null. Also seien uC (0) = uC 0 = 0 i L (0) = i L0 = 0
(8.87) (8.88)
als Anfangswerte für den Zeitpunkt t = 0 angenommen, zu dem der Schalter geöffnet wird. Nun gilt die Maschengleichung uC + u L + u R = 0
(8.89)
8 Schwingkreise
S. 60
bzw. für die Zeitableitung uC + u L + u R = 0
(8.90)
Einsetzen der Bauelementgleichungen (konstitutive Gleichungen) führt zu der inhomogenen Differenzialgleichung 1 (i L − I 0 ) + LiL + RiL = 0 C LCiL + RCiL + i L = I 0
(8.91) (8.92)
Der homogene Teil der Differenzialgleichung ist der des Reihenschwingkreises (!).
Lösungsweg für die inhomogene Differenzialgleichung: 1. Homogene Lösung (ohne äußeren Strom) siehe vorangegangener Abschnitt:
iLh (t ) = I 1e s1t + I 2 e s2 t
(8.93)
2. Irgendeine partikuläre Lösung, am einfachsten die stationäre Lösung: iLi (t ) = I 0 = const.
(8.94)
3. Allgemeine Lösung durch Superposition:
iL (t ) = iLh (t ) + iLi (t ) = I 0 + I 1e s1t + I 2 e s2 t
(8.95)
Daraus folgen die Spannungen:
[
]
(8.96)
[
]
(8.97)
u R (t ) = RiL (t ) = R I 0 + I 1e s1t + I 2e s 2 t u L (t ) = LiL (t ) = L I 1s1e s1t + I 2 s2e s 2 t
uC (t ) = −u R (t ) − u L (t ) = − RI 0 − (Ls1 + R )I 1e s1t − (Ls2 + R )I 2e s 2 t
(8.98)
4. Anfangsbedingungen 0 = iL (0) = iL 0 = I 0 + I 1 + I 2
(8.99)
0 = uC (0) = uC 0 = − RI 0 − (Ls1 + R )I 1 − (Ls2 + R )I 2
(8.100)
8 Schwingkreise
S. 61
Die weitere Rechnung beschränkt sich auf den Fall schwacher Dämpfung d < 1 . Dann gilt I 1 = I *2
(8.101)
s1 = s2*
(8.102)
Also folgt aus der Anfangsbedingung für den Spulenstrom I c = 2 Re I 1 = − I 0
(8.103)
und aus der Anfangsbedingung für die Kondensatorspannung 0 = − RI 0 − 2 Re[(Ls1 + R )I 1 ]
(8.104)
Mit
(
s1 = ω0 − d + j 1 − d 2
)
(8.105)
folgt 0 = − RI 0 − 2 Re[(Ls1 + R )I 1 ]
(8.106)
0 = −d Re I 1 − 1 − d 2 Im I 1
(8.107)
Im I 1 = −
d 1− d2
Re I 1
(8.108)
bzw.
Is =
d 1− d 2
Ic = −
d 1− d 2
I0
(8.109)
Vollständige Lösung mit angepassten Anfangsbedingungen für schwache Dämpfung in Darstellung mit Sinus- und Kosinustermen für t > 0 :
d iL (t ) = I 0 1 − cos ωd t + sin ωd t e − dω 0 t 1− d 2
(8.110)
8 Schwingkreise
S. 62
Bild 8-9: Ausgleichsvorgang des Stroms Wie verhält sich die Kondensatorspannung? Leiten Sie die Gleichungen her und skizzieren Sie den Verlauf.
9 Sinusförmige Vorgänge in linearen Netzwerken
S. 63
9 Sinusförmige Vorgänge in linearen Netzwerken 9.1
Sinusförmige Größen
Sinusförmige Größen sind spezielle periodische Größen; sie lassen sich auf verschiedene Arten schreiben: x(t ) = xˆ cos(ωt + ϕ 0 ) x(t ) = xˆ sin(ωt + ϕ1 ) x(t ) = X c cos ωt + X s sin ωt
(9.1) (9.2) (9.3)
Die Darstellungen sind äquivalent und in einander umrechenbar. Letztendlich wird eine sinusförmige Größe durch nur drei Konstanten charakterisiert: • • •
die Amplitude xˆ , die Kreisfrequenz ω , die Phasenverschiebung ϕ 0 .
Umrechnung dieser Konstanten ausgehend vom Additionstheorem: x (t ) = xˆ cos(ωt + ϕ 0 ) = xˆ [cos ωt cosϕ 0 − sin ωt sin ϕ 0 ]
xˆ =
(9.4)
X c2 + X s2
(9.5)
Xs Xc
(9.6)
X c = xˆ cos ϕ 0 X s = − xˆ sin ϕ 0
(9.7) (9.8)
tan ϕ 0 = −
bzw.
Weitere abgeleitete Konstanten:
ω 2π
•
Frequenz f =
•
Zeitkonstante τ =
1
ω 2π 1 • Periodendauer T = = ω f xˆ • Effektivwert X = 2
9 Sinusförmige Vorgänge in linearen Netzwerken
S. 64
t=
x(t )
xˆ
T=
1
ω
1 2π = ω f
− ϕ0
t
Bild 9-1: Sinusförmiges Signal Frequenz vs. Kreisfrequenz: Die Frequenz f wird in Hertz 9, Abkürzung: 1 Hz = 1/s, gemessen. Die Kreisfrequenz ω unterscheidet sich nur um den dimensionslosen Faktor 2π von der Frequenz f . Als Maßeinheit der Kreisfrequenz wird das Hertz üblicherweise nicht verwendet, sondern stets 1/s oder s −1 , geschrieben. Einige Eigenschaften sinusförmiger Größen: •
Der Mittelwert einer sinusförmigen Größe über eine Periode ist Null: x = 0
•
Seien x1 (t ), x 2 (t ) sinusförmige Größen der gleichen Frequenz ω , so ist die Superposition x(t ) = c1 x1 (t ) + c1 x2 (t ) ebenfalls sinusförmig mit dieser Frequenz
•
Die Ableitung einer sinusförmigen Größe nach der Zeit ist ebenfalls sinusförmig mit gleicher Frequenz: x(t ) = xˆ cos(ωt + ϕ 0 ) ⇒ x (t ) = − xˆω sin(ωt + ϕ 0 )
•
Das Produkt zweier sinusförmigen Größen mit beliebigen Frequenzen ist als Summe zweier sinusförmiger Größen darstellbar, wobei die Summen- und Differenzfrequenzen auftreten (Additionstheorem der Trigonometrie):
x1 (t ) = xˆ1 cos(ω1t + ϕ1 ) , x 2 (t ) = xˆ 2 cos(ω 2 t + ϕ 2 ) ⇒ xˆ1xˆ2 [cos((ω1 + ω2 )t + ϕ1 + ϕ2 ) + cos((ω1 − ω2 )t + ϕ1 − ϕ2 )] x(t ) = x1(t ) x2 (t ) = 2
9
(9.9) (9.10)
Dies hat nichts mit dem Herzschlag, sondern mit Heinrich Hertz zu tun, der die aus der Maxwellschen Theorie resultierenden elektromagnetischen Wellen erzeugte und nachwies.
9 Sinusförmige Vorgänge in linearen Netzwerken
9.2
S. 65
Darstellung sinusförmiger Größen mit komplexen Zeigern
Bild 9-2: Zur Didaktik imaginärer Zahlen
Imaginäre Einheit: i, j (in der Elektrotechnik wird j bevorzugt) Anbindung an die reellen Zahlen: j 2 = −1 Darstellung komplexer Zahlen nach Real- und Imaginärteil: x = xr + jxi Darstellung komplexer Zahlen nach Betrag und Winkel: x = xˆe ϕϕ Im
x
xi xˆ
ϕ
Re
xr
Bild 9-3: Komplexer Zeiger e ϕϕ = cos ϕ + ϕ sin ϕ
(9.11)
9 Sinusförmige Vorgänge in linearen Netzwerken
S. 66
Damit:
xˆ = x = xr2 + xi2
ϕ = arccos
(9.12)
xr sgn xi xˆ
(9.13)
xr = xˆ cos ϕ xi = xˆ sin ϕ
(9.14) (9.15)
Komplexe Darstellung reeller sinusförmiger Verläufe: x(t ) = xˆ cos(ωt + ϕ 0 ) = Re( x(t ) )
(9.16)
x(t ) = xˆe ϕ (ωt +ϕ0 )
(9.17)
mit
Im
x
ϕ = ωt + ϕ 0 xr
Re
x(t ) t
t
Bild 9-4: Zusammenhang zwischen einem Schwingungsvorgang und seiner Darstellung durch einen komplexen Zeiger
9 Sinusförmige Vorgänge in linearen Netzwerken
S. 67
Komplexer Momentanwertzeiger: x(t ) = xˆe j (ωt +j0 ) = xˆe jj0 e jωt = xˆe jωt
(9.18)
xˆ = xˆe ϕϕ0
(9.19)
Die komplexe Amplitude
beinhaltet die beiden Kenngrößen Amplitude und Phasenverschiebung der periodischen Funktion. Die Frequenz wird dadurch nicht angezeigt.
xˆ = xˆ
(9.20)
ϕ 0 = arg( xˆ )
(9.21)
Gebräuchlich sind außerdem Effektivwertzeiger: X =
9.3
1 1 xˆ = xˆe ϕϕ 0 = Xe ϕϕ 0 2 2
(9.22)
Sinusförmige Größen an Zweipolen
Annahme: Spannung und Strom an einem Zweipol seien sinusförmig und von gleicher Frequenz, jedoch mit unterschiedlicher Phasenlage:
u (t ) = uˆ cos(ωt + ϕ u ) = 2 U cos(ωt + ϕ u )
(9.23)
i (t ) = iˆ cos(ωt + ϕ i ) = 2 I cos(ωt + ϕ i )
(9.24)
Differenz-Phasenwinkel zwischen Strom und Spannung:
ϕ = ϕu − ϕi Achtung: Vorzeichenkonvention des Phasenwinkels: •
ϕ > 0 : Strom eilt der Spannung nach (sog. induktives Verhalten)
•
ϕ < 0 : Spannung eilt dem Strom nach (sog. kapazitives Verhalten)
(9.25)
9 Sinusförmige Vorgänge in linearen Netzwerken
uˆ iˆ
S. 68
u (t )
i (t )
ϕ /ω t
Bild 9-5: Sinusförmige Verläufe von Strom und Spannung an einem Zweipol
Im
u (t ) = uˆe jωt +ϕu i (t ) = iˆe jωt +ϕi
ϕ = ϕu − ϕi u (t ) i (t )
Re
Bild 9-6: Darstellung der Schwingung durch komplexe Zeiger
9.4
Impedanz und Admittanz
Annahme: Spannung und Strom eines Zweipols seien sinusförmig mit gleicher Frequenz.
u (t ) = uˆ cos(ωt + ϕ u ) = U 2 cos(ωt + ϕ u )
(9.26)
i (t ) = iˆ cos(ωt + ϕ i ) = I 2 cos(ωt + ϕ i )
(9.27)
Darstellung mit Effektivwert- bzw. Momentanwertzeigern:
U = Ue jj u
(9.28)
I = Ie jji
(9.29)
9 Sinusförmige Vorgänge in linearen Netzwerken
S. 69
u (t ) = Re(u (t ) ) u (t ) = 2Ue j (ωt +j u ) = 2U e jωt
i (t ) = Re(i (t ) ) i (t ) = 2 Ie j (ωt +j i ) = 2 I e jωt
(9.30) (9.31) (9.32) (9.33)
Quotient der Momentanwertzeiger: 2 U e j ωt
u (t ) = i (t )
2 I e j ωt
=
U Ue jju U j (ju −ji ) = e = I I Ie jji
(9.34)
Der Quotient ist unter bestimmten Voraussetzungen unabhängig von den Amplituden bzw. Effektivwerten sowie der Phasenlage und wird Impedanz oder komplexer Widerstand genannt: Z=
U U ϕ (ϕu −ϕi ) U ϕϕ = e = e I I I
(9.35)
Die Impedanz als Verhältnis von Spannung zu Strom lässt sich als frequenzabhängiger Wechselspannungswiderstand auffassen. Weitere Begriffe: Wirkwiderstand oder Resistanz:
R = Re( Z ) = Z cos ϕ
Blindwiderstand oder Reaktanz:
X = Im(Z ) = Z sin ϕ Z= Z
Scheinwiderstand Damit:
Z = R + ϕX = Ze ϕϕ
(9.36)
Der Kehrwert der Impedanz heißt Admittanz oder komplexer Leitwert: Y=
1 I I I = = e ϕ (ϕi −ϕu ) = e − ϕϕ Z U U U
Weitere abgeleitete Begriffe: Wirkleitwert oder Konduktanz
G = Re(Y ) = Y cos ϕ
Blindleitwert oder Suszeptanz
B = Im(Y ) = −Y sin ϕ
Scheinleitwert
Y=Y
(9.37)
9 Sinusförmige Vorgänge in linearen Netzwerken
S. 70
Damit: Y = G + ϕB = Ye − ϕϕ
(9.38)
Umrechnungen zwischen Admittanzen und Impedanzen:
G=
R R = 2 2 R +X Z
B=−
X X =− 2 2 R +X Z
R=
G G = G2 + B2 Y 2
X =−
B B = − G2 + B2 Y2
2
2
Offene Fragen zur Einführung von Impedanz und Admittanz: •
Wann gibt es überhaupt sinusförmige Ströme und Spannungen an Zweipolen?
•
Unter welchen Bedingungen ist der Quotient von Spannungs- und Stromzeiger unabhängig von den Amplitude und den Anfangsphasenwinkeln?
Verschiebung einer allgemeinen Antwort auf später. Zunächst spezielle Betrachtung der elementaren Zweipole Widerstand, Spule, Kondensator:
9 Sinusförmige Vorgänge in linearen Netzwerken
9.5
S. 71
Impedanzen und Admittanzen der elementaren Zweipole
Widerstand Annahme sinusförmigen Stroms: u(t ) = Ri (t )
(
) 2 Re(R I e ω ) 2 Re(U e ω )
= 2 R Re I e jωt = =
(9.39)
j t
j t
mit
U = RI
(9.40)
Das Ohmsche Gesetz gilt also auch für die komplexen Zeiger! Impedanz und Admittanz des Widerstands sind demnach: U =R I 1 Y = =G R Z=
(9.41) (9.42)
Z und Y sind unabhängig von den Amplituden und Phasenwinkeln!
Kondensator Annahme sinusförmiger Spannung i (t ) = Cu (t )
(
)
d Re U e jωt dt d = 2 Re C U e jωt dt = 2C
(
)
(9.43)
( ) 2 Re(I e ω )
= 2 Re jωCU e jωt =
j t
mit
I = jωCU
(9.44)
9 Sinusförmige Vorgänge in linearen Netzwerken
S. 72
bzw. U 1 = I jωC Y = j ωC
Z=
(9.45) (9.46)
Die Differenziation nach der Zeit geht bei der Rechnung mit komplexen Zeigern in eine Multiplikation mit jω über: d j ωt e = j ω e j ωt dt
(9.47)
Kurz: d dt
→
jω
(9.48)
Daher nennt man jω auch Differenzialoperator. Drossel Annahme sinusförmigen Stroms: u (t ) = Li(t ) d = L Re I e jωt dt d I e jωt = 2 Re L dt
(
)
(
)
(9.49)
( ) 2 Re(U e ω )
= 2 Re jωL I e jωt =
j t
mit
U = jωL I bzw.
(9.50)
9 Sinusförmige Vorgänge in linearen Netzwerken
S. 73
U = jωL I 1 Y= j ωL
Z=
Im
(9.51) (9.52)
Im
Im
I U
I
U
U Re
Re
Re
I Im
Im
Im
Z = j ωL
Z=R Re
Widerstand
1 Z= j ωC
Kondensator
Re
Re
Spule
Bild 9-7: Zeigerdiagramme für die Impedanzen von Widerstand, Kondensator und Spule Die Wahl der absoluten Winkel für die Spannung- und Stromzeiger ist willkürlich (da sich gezeigt hat, dass Impedanz und Admittanz von den Anfangswinkeln nicht abhängen). Hier ist der Spannungszeiger in Richtung der reellen Achse ausgerichtet.
Bemerkung: Soll betont werden, dass die Impedanz Z bzw. die Admittanz Y von der Frequenz abhängen, schreiben wir meist Z ( jω ) bzw. Y ( jω ) . Zwar liegt die Schreibweise Z (ω ) bzw. Y (ω ) sogar eher nahe und ist in diesem Zusammenhang gleichberechtigt, doch wird häufig die erste Variante aus folgenden Gründen benutzt: • In den hier auftretenden Ausdrücken tritt die Frequenz ω immer im Produkt mit der imaginären Einheit j auf. Ausdrücke wie − ω 2 können als ( jω )2 interpretiert werden. • Im Kontext der Laplace-Transformation, die Sie nicht in dieser, aber in späteren Lehrveranstaltungen kennen lernen werden, wird sich zeigen, dass sich die frequenzabhängige Impedanz aus einer sogenannten Laplace-Übertragungsfunktion Z (s ) mit einer unabhängigen komplexen Variable s aus dem Spezialfall s = jω ergibt.
9 Sinusförmige Vorgänge in linearen Netzwerken
9.6
S. 74
Reihenschaltung und Parallelschaltung
Reihenschaltung zweier Zweipole
(
Re U e
j ωt
u (t ) = u1 (t ) + u 2 (t ) ) = Re(U 1e jωt ) + Re(U 2 e jωt ) U = U1 +U 2 U = Z1I + Z 2 I U = (Z 1 + Z 2 )I U = ZI
(9.53) (9.54) (9.55) (9.56) (9.57)
mit
Z = Z1 + Z 2
(9.58)
Die Impedanz in einer Reihenschaltung bestimmt sich durch die komplexe Summe der Teilimpedanzen. Für die resultierende Gesamtadmittanz gilt demnach Y=
Y Y 1 = 1 2 1 1 Y1 +Y 2 + Y1 Y 2
(9.59)
Im
U2
U U1
I
Re
Bild 9-8: Zeigerdiagramm für die Reihenschaltung
9 Sinusförmige Vorgänge in linearen Netzwerken
S. 75
Achtung: Zwar addieren sich die komplexen Spannungszeiger bei der Reihenschaltung,
U = U1 +U 2 ,
uˆ = uˆ1 + uˆ 2 ,
nicht aber die reellen Effektivwerte oder reellen Amplituden! Der Gesamteffektivwert lässt sich lediglich durch
U ≤ U1 + U 2 abschätzen (sogenannte Dreiecksungleichung). Parallelschaltung zweier Zweipole
(
Re I e
j ωt
i (t ) = i1 (t ) + i2 (t ) ) = Re(I 1e jωt ) + Re(I 2 e jωt ) I = I1 + I 2 I = Y 1U + Y 2 U I = (Y 1 + Y 2 )U I = YU
(9.60) (9.61) (9.62) (9.63) (9.64)
mit
Y = Y1 +Y 2
(9.65)
bzw. Z=
1
=
1 1 + Z1 Z 2
Z1Z 2 Z1 + Z 2
(9.66)
Im
I2 I I1 U
Re
Bild 9-9: Zeigerdiagramm für die Parallelschaltung
9 Sinusförmige Vorgänge in linearen Netzwerken
S. 76
Achtung: Zwar addieren sich die komplexen Zeiger bei der Parallelschaltung,
I = I1 + I 2 ,
iˆ = iˆ1 + iˆ 2 ,
nicht aber die reellen Effektivwerte. Es gilt wiederum nur eine Abschätzung
I ≤ I1 + I 2
Fazit: Jeder aus den elementaren Zweipolen Widerstand, Kondensator, Spule durch Parallelund Reihenschaltung aufgebaute Zweipol besitzt selbst eine Impedanz, die nach den angegebenen Gleichungen bestimmt werden kann.
9 Sinusförmige Vorgänge in linearen Netzwerken
9.7
S. 77
Impedanzen einiger Zweipole Z ( jω )
Zweipol R
R
L
j ωL
C
1 j ωC
R
L
R + jωL = R(1 + jωτ )
R
C
R+
L
C
R
ω 02 + 2 jdωω 0 − ω 2 1 + jωRC − ω 2 LC = Z0 j ωC jωω 0
j ωL jωω = Z0 2 0 2 2 1 − ω LC ω0 − ω
C
L
2
1 R =R 1 + jωRC 1 + jωτ
C
L
ω −ω 1 − ω LC = Z0 j ωC jωω0 2 0
j ωL jωτ =R 1 + j ωL / R 1 + jωτ
L
R
1 1 + jωτ =R j ωC jωτ 2
C
L
R
R
Abkürzungen
C
jωL jωω0 = Z0 2 2 ω0 + 2 jdωω0 − ω 2 1 + jωL / R − ω LC
τ=
L R
τ = RC
ω0 =
1
d=
1 R 2 Z0
LC L Z0 = C
τ=
L R
τ = RC
ω0 =
1
d=
1 Z0 2 R
LC L Z0 = C
9 Sinusförmige Vorgänge in linearen Netzwerken
9.8
S. 78
Allgemeine Voraussetzungen für die Rechnung mit Impedanzen und Admittanzen
Aufgreifen der offenen Fragen aus 9.4: •
Wann sind Ströme und Spannungen an einem Zweipol sinusförmig?
•
Wann sind die Quotienten der komplexen Zeiger (Impedanz, Admittanz) unabhängig von Amplitude und Phasenlage?
Offensichtlich ist dies der Fall, wenn ein elektrischer Zweipol aus den elementaren Elementen Widerstand, Kondensator und Spule aufgebaut wird. Dies soll nun aber unter etwas allgemeineren Annahmen betrachtet werden. Das Verhalten von Strom und Spannung eines Zweipols werde durch eine allgemeine Differenzialgleichung der Form a 0 u (t ) + a1u (t ) + a 2 u(t ) + .... + a n
d n u (t ) d m i (t ) = b0 i (t ) + b1i (t ) + b2 i (t ) + .... + bm dt n dt m
(9.67)
beschrieben. Die Differenzialgleichung ist •
von endlicher Ordnung
•
linear, d.h.: seien u1 (t ), i1 (t ) ; u 2 (t ), i 2 (t ) zwei Lösungen, so ist mit beliebigen Konstanten c1 ,c2 auch u (t ) = c1u1 (t ) + c 2 u 2 (t ) , i (t ) = c1i1 (t ) + c 2 i2 (t ) eine Lösung.
•
zeitinvariant: Sei u (t ), i (t ) eine Lösung, so ist auch u (t − T ), i (t − T ) für beliebige Zeitverschiebung T eine Lösung.
Zeigen Sie die letzten beiden Punkte durch Einsetzen! Zweipole bzw. Systeme, die diese Voraussetzungen erfüllen, heißen linear zeitinvariant (linear time-invariant), kurz LZI- oder LTI-Systeme. Allgemein lässt sich zeigen, dass sich für LTI-Systeme die oben gestellten Fragen positiv beantworten lassen. Für diese Systeme gibt es stets sinusförmige Ströme und Spannungen als Lösung und der Quotient U / I ist • unabhängig von den Amplituden U und I, • unabhängig von den absoluten Phasenwinkeln ϕ u , ϕ i ; nur der DifferenzPhasenwinkel ϕ = ϕ u − ϕ i geht ein. Nur unter diesen Voraussetzung ist es möglich, Impedanzen zu bestimmen und damit zu arbeiten!
9 Sinusförmige Vorgänge in linearen Netzwerken
S. 79
Die obige allgemeine Differenzialgleichung stellt eine durchaus umfangreiche Klasse von LTI-Systemen, nicht aber alle denkbaren. Der Nachweis wird hier nur auf solche LTISysteme beschränkt, die sich durch eine solche Differenzialgleichung darstellen lassen: Der Ansatz
(
)
(9.68)
(
)
(9.69)
u (t ) = 2 Re U e jωt i (t ) = 2 Re I e jωt
wird in die Differenzialgleichung eingesetzt:
[
( = Re[I e (b
Re U e jωt a 0 + a1 ( jω ) + a 2 ( jω ) 2 + .... + a n ( jω ) n j ωt
0
(
+ b1 ( jω ) + b2 ( jω ) 2 + .... + bn ( jω ) m
U a 0 + a1 ( jω ) + a 2 ( jω ) 2 + .... + a n ( jω ) n
(
)
= I e jωt b0 + b1 ( jω ) + b2 ( jω ) 2 + .... + bn ( jω ) m
)] )]
)
(9.70)
(9.71)
Es gibt sinusförmige Lösungen mit U b0 + b1 ( jω ) + b2 ( jω ) 2 + .... + bn ( jω ) m = I a 0 + a1 ( jω ) + a 2 ( jω ) 2 + .... + a n ( jω ) n
(9.72)
Der Quotient, die Impedanz, ist also tatsächlich unabhängig von Amplitude und Anfangsphasenwinkel und ergibt sich allein aus den Koeffizienten der Differenzialgleichung: Z = Z ( jω ) =
b0 + b1 ( jω ) + b2 ( jω ) 2 + .... + bn ( jω ) m a0 + a1 ( jω ) + a 2 ( jω ) 2 + .... + a n ( jω ) n
(9.73)
10 Frequenzabhängige Darstellungen von Impedanzen und Admittanzen
S. 80
10 Frequenzabhängige Darstellungen von Impedanzen und Admittanzen 10.1 RC-Parallelschaltung Unter einer Ortskurve versteht man die grafische Darstellung einer Impedanz Z oder Admittanz Y in der komplexen Ebene in Abhängigkeit der Frequenz ω . Hierbei wird nur die frequenzabhängige Trajektorie des Endpunktes des komplexen Zeigers gezeichnet. Dies soll an einem Beispiel dargestellt werden:
C
R
Bild 10-1: RC-Parallelschaltung
Die Ortskurve der Admittanz Y =
1 1 + jωC = (1 + jωτ ) R R
(10.1)
mit
τ = RC
(10.2)
ist in der komplexen Ebene eine Gerade, die parallel zur imaginären Achse verläuft.
ω→∞
Im
1 R
ωt = 1
Y
ω=0
45°
1 R
Re
Bild 10-2: Admittanzortskurve der RC-Parallelschaltung
10 Frequenzabhängige Darstellungen von Impedanzen und Admittanzen
S. 81
Die Impedanzortskurve in der komplexen Ebene ist ein Kreis, wie man durch folgende Umformungen erkennt. Der Vereinfachung halber wird die Impedanz auf den Widerstand bezogen: 1 ~ Z Z= = R 1 + jωτ 1 1 1 = + − 2 1 + jωτ 2 1 1 − jωτ = + 2 2(1 + jωτ )
(10.3)
Der Betrag des 2. Summanden ist 1 − jωτ 1 + (ωτ ) 2 1 − jωτ 1 = = = 2(1 + jωτ ) 2 1 + jωτ 2 1 + (ωτ ) 2 2
(10.4)
Die Ortkurve ist folglich ein Kreis mit Mittelpunkt auf der reellen Achse bei R / 2 und Radius R / 2 . Die Ortkurve startet bei ω = 0 auf der reellen Achse im Punkt Z = R . Für ω → ∞ strebt sie gegen Z = 0 , wobei der Winkel gegen -90° geht. Der Winkel von -45° wird bei der Frequenz
ωτ = 1 , ω =
1
(10.5)
τ
angenommen.
Im
ω=∞
− tan −1 (ωt ) R/2
R
ω=0 Re
Z − R/2
ωt = 1
Bild 10-3: Impedanzortskurve der RC-Parallelschaltung
An Ortskurven lassen sich gut Beträge und Winkel, also die Scheinwiderstände bzw. Scheinleitwerte und die Phasendrehungen, auch die Reaktanzen, Resistanzen bzw.
10 Frequenzabhängige Darstellungen von Impedanzen und Admittanzen
S. 82
Konduktanzen und Suszeptanzen ablesen. Es fällt aber schwer, zu einer konkreten Frequenz den entsprechenden Punkt der Ortskurve zu identifizieren, wenn nicht eine Frequenzskala auf der Ortskurve angebracht wird. Die Frequenzabhängigkeit lässt sich einfacher im BodeDiagramm überblicken: Im Bode-Diagramm werden Amplitude und Winkel in separaten Teilbildern über der Frequenz dargestellt. Die beiden Teilbilder heißen Amplituden- oder Betragsgang und Phasengang. Das folgende Bild zeigt eine solche Darstellungen der Impedanz der RCParallelschaltung.
Bild 10-4: Amplituden- und Phasengang der Impedanz der RC-Parallelschaltung, Darstellung mit linearen Achsen
Eine solche Darstellung mit linearen Achsen ist jedoch wenig aussagekräftig. Skaliert man dagegen die Achsen für Amplitude und Frequenz dagegen logarithmisch, treten viele Charakteristika viel deutlicher heraus. Für die Amplitude verwendet man dabei üblicherweise die Darstellung in Dezibeln: dB( x) = 20 lg x
(10.6)
10 Frequenzabhängige Darstellungen von Impedanzen und Admittanzen
x 1 10 100 0,1 0,01 10 *
2 2 1/ 2 1/ 2
S. 83
dB(x) 0 20 40 -20 -40 10
3,01 6,02 -3,01 -6,02
Die Motivation dieser dB-Definition ergibt sich aus dem Wert von 10 dB (s. *): Eine Erhöhung einer Spannung oder eines Stroms an einem ohmschen Widerstand um 10 dB resultiert in einer 10-fachen Leistung. Die logarithmische Darstellung ist aber nur für dimensionslose Größen möglich. Während also Amplitudengänge einer Strom- oder Spannungsverstärkung direkt logarithmisch dargestellt werden können, ist eine Impedanz oder Admittanz zuvor auf einen geeigneten Bezugswert zu beziehen. Denkbar ist, diese einfach auf 1 Ω zu beziehen, doch vorteilhafter verwendet man eine natürliche, sich aus der Problemstellung ergebende Bezugsgröße, beispielsweise die Kenn-Impedanz Z 0 oder Kenn-Admittanz Y0 . ~ Im vorliegenden Beispiel wurde bereits die auf R bezogene Impedanz Z eingeführt, welche also dimensionslos ist. Die resultierende Darstellung mit logarithmischen Achsen ist im folgenden Bild zu sehen. In dieser Darstellung bekommen sowohl der Amplitudengang als auch der Phasengang sehr charakteristische Formen, was man in der linearen Darstellung nicht oder nur sehr schwer erkennt 10: • • • • • •
Der Amplitudengang strebt für kleine und große Frequenzen asymptotisch Geraden zu. Der Schnittpunkt dieser Geraden ist die sogenannte Knickfrequenz. Diese wird durch ω = 1 / τ bestimmt. Die fallende Asymptote hat eine Steigung von -20 dB/Dekade Bei der Knickfrequenz beträgt die Abweichung von den Asymptoten -3 dB. Der Phasenwinkel ist dort -45°. Die Abweichung des Amplitudengangs von den Asymptoten ist symmetrisch zur Knickfrequenz Der Phasengang ist symmetrisch zur Knickfrequenz Auch der Phasengang kann überschlägig durch Geradenstücke approximiert werden.
~ Die Darstellung des Frequenzverhaltens mit Logarithmus des Betrags ln Z und Winkel ϕ ist gegenüber derjenigen mit Betrag und Winkel nicht zuletzt aufgrund tiefliegender mathematischer Zusammenhänge überlegen, die hier nur angedeutet werden sollen: Die Funktionentheorie zeigt, dass Real- und Imaginärteil sogenannter analytischer Funktionen, wie die Impedanz oder Admittanz eine ist, nicht voneinander unabhängig sind, sondern bestimmten Gesetzmäßigkeiten gehorchen. Dies gilt auch für den Logarithmus der Impedanz (bzw. der Admittanz), deren Realteil der Logarithmus des Betrags (also des Scheinwiderstands) und deren Imaginärteil ~ ~ der Phasenwinkel ist: ln Z = ln Z + ϕϕ .
10
10 Frequenzabhängige Darstellungen von Impedanzen und Admittanzen
• •
S. 84
Die Fehler dieser Approximationen sind weiter unten dargestellt. Sie betragen in der Amplitude max. 3 dB, in der Phase max. 6°. Die logarithmische Frequenzskalierung erlaubt außerdem einen Überblick über einen großen Frequenzbereich als bei linearer Achse.
Bild 10-5: Bodediagramm der bezogenen Impedanz der RC-Parallelschaltung, exakter Frequenzgang und Approximation durch Geradenstücke
10 Frequenzabhängige Darstellungen von Impedanzen und Admittanzen
S. 85
Bild 10-6: Fehler der Approximation durch Geradenstücke nach Amplitude und Winkel
Geht man vom Bodediagramm der Impedanz zu dem der Admittanz über, wird ein weiterer Vorteil der logarithmischen Darstellung ersichtlich. Bei der Bildung des Kehrwerts werden sowohl Amplitude als auch die Phase einfach gespiegelt: ~ 1 Y = ~ Z
⇒
~ ~ dB(Y ) = −dB( Z ) ,
~ ~ ∠Y = −∠Z
Das Bodediagramm kann nun sofort aus dem der Impedanz abgeleitet werden:
(10.7)
10 Frequenzabhängige Darstellungen von Impedanzen und Admittanzen
S. 86
Bild 10-7: Bodediagramm der bezogenen Admittanz der RC-Parallelschaltung, exakter Frequenzgang und Approximation durch Geradenstücke
10.2 RL-Reihenschaltung R
L
Bild 10-8: RL-Reihenschaltung
Z = R + jωL = R(1 + jωτ ) 1 Y= R(1 + jωτ ) L τ= R ~ Z Z = = 1 + jωτ R 1 ~ Y = RY = 1 + jωτ
(10.8) (10.9) (10.10)
(10.11) (10.12)
Die RL-Reihenschaltung zeigt also eine ähnliche Charakteristik wie die RC-Parallelschaltung, nur dass die Rollen von Impedanz und Admittanz vertauscht sind.
10 Frequenzabhängige Darstellungen von Impedanzen und Admittanzen
S. 87
10.3 RL-Parallelschaltung
R
L
Bild 10-9: RL-Parallelschaltung
Y=
1 1 1 1 + jωτ + = R jωL R jωτ jωτ Z=R 1 + jωτ L τ= R
(10.13) (10.14) (10.15)
1 + jωτ ~ Y = RY = jωτ jωτ ~ Z Z= = R 1 + jωτ
(10.16) (10.17)
Die Ortskurven der Impedanz und Admittanz sind eine Geraden bzw. ein Kreise, was man ähnlich wie in Abschnitt 10.1 schnell nachgewiesen werden kann. 1 R
Im
− 45°
1 R
ω=∞
Re
ωt = 1 Y
ω→0 Bild 10-10: Admittanzortskurve der RL-Parallelschaltung
10 Frequenzabhängige Darstellungen von Impedanzen und Admittanzen
Im
S. 88
ωt = 1
R/2
Z
ω=0 tan −1 (1 / ωt )
ω=∞ R/2
R
Re
Bild 10-11: Impedanzortskurve der RL-Parallelschaltung
10.4 RC-Reihenschaltung R
C
Bild 10-12: RC-Reihenschaltung 1 1 + jωτ =R jωC jωτ 1 jωτ Y = R 1 + jωτ τ = RC
Z =R+
~ Z 1 + jωτ Z= = R jωτ jωτ ~ Y = RY = 1 + jωτ
(10.18) (10.19) (10.20) (10.21) (10.22)
Die normierte Impedanz und Admittanz gleichen denen der RL-Parallelschaltung, nur das wiederum die Rollen von Impedanz und Admittanz vertauscht sind.
10 Frequenzabhängige Darstellungen von Impedanzen und Admittanzen
S. 89
10.5 RLC-Parallelschwingkreis
R
L
C
Bild 10-13: RL-Parallelschaltung
Bestimmung der Impedanz: Z=
1 1 1 + + j ωC R j ωL
= Z0
jωω0 jΩ = Z0 2 ω + 2djωω0 − ω 1 + 2 jdΩ − Ω 2 2 0
(10.23)
Verwendete Abkürzungen (vgl. Abschnitt 8.2) 1
ω0 =
LC L Z0 = C
d=
1 Z0 1 L = 2 R 2R C
(10.24) (10.25) (10.26)
Zweckmäßigerweise bezieht man auch die Frequenz auf die Kennkreisfrequenz. Die Größe
Ω=
ω ω0
(10.27)
wird dann als normierte Frequenz oder Verstimmung bezeichnet. Bezieht man außerdem die Impedanz auf die Kennimpedanz, folgt die Darstellung
jΩ ~ Z Z= = Z 0 1 + 2 jdΩ − Ω 2
(10.28)
Die Admittanz ist dann Y =
1 1 1 ω02 + 2 jdωω0 − ω 2 1 + 2 jdΩ − Ω 2 + + jωC = = Y0 R jωL Z0 jωω0 jΩ
(10.29)
Bezieht man auf die Kennadmittanz Y0 =
C 1 = L Z0
(10.30)
10 Frequenzabhängige Darstellungen von Impedanzen und Admittanzen
S. 90
ergibt sich die bezogenen Admittanz ~ Y 1 + 2 jdΩ − Ω 2 Y = = Y0 jΩ
(10.31)
Die Ortskurve der Impedanz ist auch hier ein Kreis, wie man wie folgt nachweist: jΩ ~ Z Z= = Z 0 1 + 2 jdΩ − Ω 2 jΩ 1 1 = + − 2 4d 1 + 2 jdΩ − Ω 4d
(
=
1 4djΩ − 1 + 2 jdΩ − Ω 2 + 4d 4d 1 + 2 jdΩ − Ω 2
=
1 1 − 2 jdΩ − Ω 2 − 4d 4d 1 + 2 jdΩ − Ω 2
=
1 4d
(
(
)
)
(10.32)
)
1 − 2 jdΩ − Ω 2 1 − 2 1 + 2 jdΩ − Ω
Der Betrag des 2. Summanden ist gleich 1. Die Ortskurve ist also ein Kreis mit Mittelpunkt auf der reellen Achse bei Z0 R = 4d 2
(10.33)
und dem gleichen Radius. Der maximale Scheinwiderstand wird gerade in dem Punkt erreicht, in welchem die Ortskurve die reelle Achse schneidet, also Z rein reell ist. Dies ist bei
Ω max = 1
(10.34)
Z max = max Z = R
(10.35)
mit ω
der Fall. Bei der Frequenz Ω = 1 macht sich also nur der Widerstand R in der Impedanz bemerkbar. Die Erklärung hierfür ist, dass sich bei dieser Frequenz die komplexen Leitwerte von Spule und Kondensator genau kompensieren.
10 Frequenzabhängige Darstellungen von Impedanzen und Admittanzen
S. 91
Im
Ω =0 R
Ω =∞
Ω =1 Re
Z
Bild 10-14: Impedanzortskurve des RLC-Parallelschwingkreises
Das Verhältnis von maximaler Impedanz und Kennimpedanz wird als Güte Qp =
Z max R = Z0 Z0
(10.36)
bezeichnet. Die Güte gibt also die Resonanzüberhöhung an. Außerdem lässt sich näherungsweise das Verhalten der Impedanz für kleine und große Frequenzen untersuchen. Die Ergebnisse sind der folgenden Tabelle dargestellt.
~ Z
~ ∠Z
Ω > 1
≈
1
Ω
≈ −90°
Diese Charakteristika spiegeln sich unmittelbar im Bodediagramm wieder. Die asymptotischen Näherungskurven stellen sich im Amplitudengang als Geraden mit Steigungen von +20 dB/Dekade bzw. -20 dB/Dekade dar. Ganz allgemein stellen sich Amplitudengänge der Form A = A0Ω n
(10.37)
10 Frequenzabhängige Darstellungen von Impedanzen und Admittanzen
S. 92
(mit positiven oder negativen Exponenten n), welche häufig als Asymptoten komplizierter Amplitudengänge auftreten, in doppelt-logarithmischen Achsen als Geraden dar: dB( A) = 20 n lg Ω + db( A0 )
(10.38)
Diese Geraden haben die Steigung dB( A) − dB( A0 ) = 20 n lg Ω
(10.39)
was üblicherweise als „ n ⋅ 20 dB pro Dekade “ bezeichnet wird. Je größer die Güte, also je kleiner die Dämpfung, desto schneller dreht die Phase beim Durchgang durch die Resonanzstelle Ω = 1 . Wir untersuchen dazu die Winkeländerung:
~ ∠Z = ∠
1 + 2 jdΩ − Ω jΩ = −∠ = −∠ 2 1 + 2 jdΩ − Ω jΩ 2
~ d ∠Z 1 1 = − 1 + 2 dΩ 2d Ω
1 1 Ω + 2d + jΩ = − arctan 2d jΩ Ω−
(10.40)
1 1 Ω− Ω 1+ 2 d
2
(10.41)
~ d ∠Z 1 (Ω = 1) = − = −2Q p dΩ d Da die Frequenzachse logarithmisch skaliert ist, interessiert dementsprechend die Steigung in der logarithmischen Darstellung. Diese berechnet sich aus dem vorangegangenen Ergebnis wie folgt: ~ ~ ~ ~ ~ d ∠Z d ∠Z d ∠Z d ∠Z d ∠Z = ln 10 = ln 10 = Ω ln 10 = dΩ d (lg Ω) d(ln Ω) dΩ ln Ω d Ω ln 10 ~ d ∠Z ln 10 (Ω = 1) = − d (lg Ω) d
(10.42)
Legt man an den Phasengang im Punkt Ω = 1 eine Tangente mit der berechneten Steigung, schneidet diese die waagerechten ± 90° -Linien (also ± π / 2 ) in der logarithmischen Skalierung an den Stellen lg Ω1, 2 =
π 2 ln10
d ≈ 0,7 d
(10.43)
Mit diesen Punkten lässt sich die Tangente und mit dieser ein genäherter Phasengang auch per Hand halbwegs genau konstruieren, vgl. Bild 10-15.
10 Frequenzabhängige Darstellungen von Impedanzen und Admittanzen
S. 93
Bild 10-15: Bodediagramm der Impedanz des RLC-Parallelschwingkreises hier für d = 0,1 bzw. Q p = 5 , dargestellt sind im Amplitudengang die beiden Asymptoten mit ± 20dB/Dek. , im Phasengang die Tangente im Punkt Ω = 1
10 Frequenzabhängige Darstellungen von Impedanzen und Admittanzen
Bild 10-16: Bodediagramm der Impedanz des RLC-Parallelschwingkreises mit d als Parameter
Bild 10-17: Bodediagramm der Admittanz des RLC-Parallelschwingkreises mit d als Parameter
S. 94
10 Frequenzabhängige Darstellungen von Impedanzen und Admittanzen
S. 95
Die Bandbreite ist derjenige Frequenzbereich, in welchem das Verhältnis von Scheinwiderstand Z zum maximalen Scheinwiderstand Z max größer als 1 / 2 ist. In Dezibeln entspricht dies einem maximal erlaubten Abfall um 3 dB. Bei der Bestimmung dieser Frequenzgrenzen arbeitet man vorteilhafterweise mit dem Betragsquadrat, um die sonst auftretenden Quadratwurzeln zu vermeiden: Z Z max
=
Z2 2 Z max
Z Z0 2 jdΩ = Z 0 Z max 1 + 2 jdΩ − Ω 2
=
4d 2 Ω 2
(1 − Ω 2 )2 + 4d 2Ω 2
4d 2 Ω 2 =
(
1 1− Ω 2 2
)
2
=
1 2
(10.44)
(10.45)
+ 4d 2 Ω 2
(1 − Ω 2 )2 = 4d 2Ω 2 1 − Ω 2 = 2d Ω
(10.46)
Fallunterscheidung: Annahme Ω > 1 :
Ω 2 − 2dΩ − 1 = 0
(10.47)
Positive Lösung liefert obere Grenzfrequenz (negative Lösung bleibt außer Acht):
Ω B2 = d + d 2 + 1
(10.48)
Ω 2 + 2 dΩ − 1 = 0
(10.49)
Annahme 0 < Ω < 1 :
Die positive Lösung liefert diesmal untere Grenzfrequenz:
Ω B1 = −d + d 2 + 1
(10.50)
Normierte Bandbreite:
∆Ω B = Ω B 2 − Ω B1 = 2d =
1 Qp
(10.51)
10 Frequenzabhängige Darstellungen von Impedanzen und Admittanzen
S. 96
bzw.
∆ω B =
ω0
(10.52)
Qp
Die Bandbreite ist umgekehrt proportional zur Güte. Anders ausgedrückt: Das Produkt aus normierter Bandbreite und Güte ist stets gleich 1: Q p ∆Ω B = 1
(10.53)
Ω B1Ω B 2 = 1
(10.54)
Man beachte, dass außerdem gilt
Diese Eigenschaft drückt aus, dass die beiden Frequenzgrenzen auf der logarithmischen Frequenzachse genau symmetrisch um Ω = 1 angeordnet sind.
Bild 10-18: Zur Definition der Bandbreite
10.6 RLC-Reihenschwingkreis R
L
C
Bild 10-19: ~ Z 1 + 2 jdΩ − Ω 2 = Z= Z0 jΩ
(10.55)
10 Frequenzabhängige Darstellungen von Impedanzen und Admittanzen
S. 97
jΩ ~ Y Y = = Y0 1 + 2 jdΩ − Ω 2
(10.56)
Die Impedanz und Admittanz erhalten wieder die gleiche Form wie beim RLCParallelschwingkreis, nur das abermals die Rollen vertauscht sind. Daher können die Ergebnisse aus dem vorangegangenen Abschnitt direkt übertragen werden. Für die Güte des Reihenschwingkreises gilt entsprechend Qs =
1 1/ R Ymax = = Y0 2d Y0
(10.57)
11 Übertragungsfunktionen
S. 98
11 Übertragungsfunktionen Bislang wurden bei Impedanzen und Admittanzen die komplexen Zeiger von Strom und Spannung an denselben Klemmen eines Netzwerks ins Verhältnis gesetzt. Ganz allgemein kann man auch den Quotient beliebiger komplexer Zeiger in einem Netzwerk bilden. Ein solcher Quotient wird Übertragungsfunktion genannt, z.B.: H=
U2 I1
(11.1)
H=
I2 U1
(11.2)
Setzt man zwei Spannungen bzw. zwei Ströme ins Verhältnis, spricht man von einer frequenzabhängigen Spannungsverstärkung bzw. Stromverstärkung: H=
U2 U1
(11.3)
H=
I2 I1
(11.4)
Beispiel: Übertragungsverhalten eines RLC-Reihenschwingkreises
I U
L
C
R
UL
UC
UR
Bild 11-1: RLC-Reihenschaltung
Impedanz: Z=
1 + jωRC − ω 2 LC jωC
(11.5)
11 Übertragungsfunktionen
S. 99
bzw. Z 1 + 2 jdΩ − Ω 2 = Z0 jΩ
(11.6)
Y jΩ = Y0 1 + 2 jdΩ − Ω 2
(11.7)
Admittanz:
Im Folgenden sollen die frequenzabhängigen Verhältnisse der Teilspannungen U L , U C , U R zur Gesamtspannung U untersucht werden.
U L Z L jωL Y −Ω2 HL = = = = jΩ = U Z Z Y0 1 + 2 jdΩ − Ω 2
(11.8)
1 U Z 1 1 Y jωC = = HC = C = C = Z jΩ Y0 1 + 2 jdΩ − Ω 2 U Z
(11.9)
HR =
UR ZR 1 Y 2 jdΩ = = RY = = U Z Qs Y0 1 + 2 jdΩ − Ω 2
(11.10)
Das Resonanzmaximum von H R = H R liegt wie das der Admittanz bei Ω R = 1 mit H R max = 1 Die Maxima von H L und H C liegen aber bei anderen Frequenzen. Die Frequenz des Maximums von H C wird durch Nullstellensuche der 1. Ableitung bestimmt. Einfacher ist es aber, das Maximum von H C2 , noch einfacher, das Minimum von 1 / H C2 zu suchen, wobei man nochmals Rechenarbeit sparen kann, indem man nicht nach Ω , sondern nach Ω 2 differenziert:
1 H C2
(
= 1− Ω 2
d (Ω )
(
(11.11)
= −2 1 − Ω 2 + 4 d 2 = 0
)
(11.12)
Ω 2 = 1 − 2d 2
(11.13)
Ω C = 1 − 2d 2
(11.14)
d (1 / H C2 ) 2
)2 + 4d 2Ω 2
11 Übertragungsfunktionen
S. 100
Die Stelle des Maximums von H L bestimmt man auf ähnlich konzentriertem Rechenweg 11: 1 H L2
=
(1 − Ω 2 ) 2 + 4d 2 Ω 2
Ω4
2
1 1 = 2 − 1 + 4d 2 2 Ω Ω
d (1 / H L2 )
1 = 2 2 − 1 + 4d 2 = 0 d (1 / Ω ) Ω
(11.16)
2
ΩL =
(11.15)
1
(11.17)
1 − 2d 2
Demnach gilt
ΩC Ω L = 1
(11.18)
Das bedeutet, dass diese beiden Resonanzstellen sich auf der logarithmischen Frequenzachse symmetrisch um Ω = 1 anordnen. Die Ergebnisse bedeuten aber, dass es reelle Lösungen nur gibt, wenn die Dämpfung klein genug ist, genauer: d2
2 2 2
Ist die Dämpfung größer bzw. die Güte kleiner, prägt sich keine Resonanzüberhöhung mehr aus. Die Maxima von H L und H C gewinnt man durch Einsetzen. Beide resultieren zu H C max = H L max =
1 2d 1 − d 2
Qs
= 1−
1 ( 2Qs )
(11.19) 2
Für große Güte bzw. kleine Dämpfung wird dies sehr gut durch H C max = H L max ≈ Qs
(11.20)
genähert. Für die Frequenz Ω = 1 gilt sogar exakt (vgl. Frequenzkennlinien) H L (Ω = 1) = jQs
(11.21)
H C (Ω = 1) = − jQs
(11.22)
und
11
Selbstverständlich gelangt man auch ohne solche rechensparende Substitutionen auf dem konventionellen Weg der Kurvendiskussion zum selben Ergebnis, hat dann aber einige Zeilen mehr zu schreiben.
11 Übertragungsfunktionen
S. 101
Bild 11-2: Spannungsverstärkungen beim RLC-Reihenschwingkreis, für Güte Q = 10
Bild 11-3: Spannungsverstärkungen beim RLC-Reihenschwingkreis, für Güte Q = 2
11 Übertragungsfunktionen
S. 102
Bild 11-4: Spannungsverstärkungen beim RLC-Reihenschwingkreis, für Güte Q = 0,5
12 Leistung bei sinusförmigen Vorgängen
S. 103
12 Leistung bei sinusförmigen Vorgängen 12.1 Momentan-, Wirk-, Blind- und Scheinleistung Es werde ein Verbraucherzählpfeilsystem angenommen: u (t ) = U 2 cos(ωt + ϕ u )
(12.1)
i (t ) = I 2 cos(ωt + ϕ i )
(12.2)
Anwendung der trigonometrischen Additionstheoreme: p (t ) = u (t )i (t ) = 2 UI cos(ωt + ϕu ) cos(ωt + ϕi )
= UI [cos(ϕu − ϕi ) + cos(2ωt + ϕu + ϕi )]
(12.3)
= UI [cos ϕ + cos(2ωt + ϕu + ϕi )]
Die Momentanleistung besteht aus einem zeitlich konstanten Term und einem mit der doppelten Frequenz oszillierenden Term. Weitere Umformung liefert: p (t ) = UI [cos ϕ + cos ϕ cos 2(ωt + ϕu ) + sin ϕ sin 2(ωt + ϕu )] = UI cos ϕ [1 + cos 2(ωt + ϕu )] + UI sin ϕ sin 2(ωt + ϕu )
(12.4)
Alternative Rechnung mit komplexen Zeigern:
[
(
)
2 * U e j ωt + U e − j ωt 2
(
)
2 j ωt * I e + I e − j ωt 2
u (t ) = 2 Re U e jωt =
i (t ) = 2 Re I e jωt =
[
]
]
(12.6)
p(t ) = u(t )i (t ) 1 = U e jωt + U *e − jωt I e jωt + I *e − jωt 2 1 = U I * + U * I + U I e 2 jωt + U * I *e − 2 jωt 2
[ [
][
) ( ) ( = UI Re(e j j ) + UI Re(e
]
= Re U I * + Re U I e 2 jωt j(
u
−
i
)
(12.5)
j ( 2ωt +j u +j i )
= UI cos j + UI cos(2ωt + j u + j i )
] )
(12.7)
12 Leistung bei sinusförmigen Vorgängen
S. 104
Hieran erkennt man, dass die Momentanleistung aus zwei Anteilen besteht: •
Einem Gleichanteil der Größe UI cos ϕ .
•
Einem mit der doppelten Frequenz oszillierenden Term mit der Amplitude UI .
Es soll aber noch eine andere Darstellung erarbeitet werden:
( ) ( ω = UI Re(e j ) + UI Re(e = UI Re(e j ) + UI Re(e j e
p(t ) = UI Re e j (j u −ji ) + UI Re e j ( 2ωt +j u +ji ) j
j ( 2 t + 2j u −j )
j
−j
)
j ( 2ωt + 2j u )
)
)
(12.8)
= UI cosj + UI cosj cos 2(ωt + j u ) + UI sin j sin 2(ωt + j u ) = UI cosj (1 + cos 2(ωt + j u )) + UI sin j sin 2(ωt + j u ) In dieser Darstellung identifizieren wir drei Terme: •
Wiederum den Gleichanteil der Größe UI cos ϕ .
•
Einen mit der doppelten Frequenz oszillierenden Term, welchen wir in dieser Phasenlage auch bei einem ohmschen Widerstand erwarten würden. Die Amplitude dieser Schwingung ist genau so groß wie der Gleichanteil UI cos ϕ . Auch diese Eigenschaft entspräche der Leistung an einem ohmschen Widerstand.
•
Einen weiteren mit der doppelten Frequenz oszillierenden Term, allerdings mit einer gegenüber dem vorangegangenen Term um 90° voreilenden Phasenlage und einer Amplitude von UI sin ϕ .
Die mittlere Leistung einer Periode heißt Wirkleistung. Das ist auch der Gleichanteil der Momentanleistung:
( )
P = p = UI cos ϕ = Re U I *
(12.9)
Die Wirkleistung P ist aber gleichzeitig die Amplitude des ozillierenden Leistungsanteils, welcher in Phase mit der Leistungspendelung an einem ohmschen Widerstand ist. Der Term
λ = cos ϕ
(12.10)
heißt Leistungsfaktor oder Wirkfaktor. Als Blindleistung wird die Amplitude der Leistungsschwingung mit der um 90° verschobenen Phase bezeichnet:
( )
Q = UI sin ϕ = Im U I *
(12.11)
12 Leistung bei sinusförmigen Vorgängen
S. 105
Die Scheinleistung wird einfach als Produkt der Effektivwerte von Strom und Spannung definiert: S = UI
(12.12)
Unter Verwendung der Wirk- und Blindleistung lässt sich die Momentanleistung schreiben als p(t ) = P(1 + cos 2(ωt + ϕu )) + Q sin 2(ωt + ϕu )
(12.13)
Aus der ersten obigen Darstellung der Momentanleistung sehen wir, dass die Scheinleistung S die Schwingungsamplitude des gesamten oszillierenden Anteils ist: p(t ) = UI cos ϕ + UI cos(2ωt + ϕ u + ϕ i ) = P + S cos(2ωt + ϕ u + ϕ i )
uˆ iˆ
i (t )
(12.14)
u (t )
ωt
ϕ P+S
p (t )
P 0 P−S
ωt
Bild 12-1: Momentwerte von Spannung, Strom und Leistung
Wirk-, Blind-, Scheinleistung und der Phasenwinkel hängen also wie folgt zusammen: P = S cos ϕ
(12.15)
Q = S sin ϕ
(12.16)
S 2 = P2 + Q2
(12.17)
bzw.
12 Leistung bei sinusförmigen Vorgängen
S. 106
Letzteres lässt sich geometrisch interpretieren. S
Q
ϕ
P Bild 12-2:Geometrische Interpretation der Beziehung zwischen Wirk-, Blind-, Scheinleistung und dem Phasenwinkel:
Wirk- und Blindleistung lassen sich zu einem komplexen Leistungszeiger S = U I * = P + ϕQ = Se ϕϕ
(12.18)
zusammenfassen. Damit erhalten wir eine weitere Interpretation der Momentanleistung p(t ) als Realteil eines mit der doppelten Frequenz um den Mittelpunkt S rotierenden Zeigers der Länge S :
(
)
(
p(t ) = Re S + Se j ( 2ωt +j u +ji ) = Re S + Se j 2(ωt +ji )
)
(12.19)
Im
Se j ( 2ωt +ϕu +ϕi ) Q
S
ϕ P−S
P
p (t )
P+S
Re
Bild 12-3: Interpretation der Momentanleistung als Realteil eines rotierenden komplexen Zeigers
Begriffe (für Verbraucherzählrichtung): P>0 P0 Q0 P0 Q 1 heruntergesetzt werden. Der Innenwiderstand des Spannungssensors Ri übersetzt sich auf die Primärseite nach dem vorangegangenen Abschnitt entsprechend
Ri′ = α 2 Ri > Ri
(15.21)
i2 (t ) ≈ 0
i1 (t ) ≈ 0 u1 (t )
Ri
u2 (t ) =
V
1
α
u1 (t )
Bild 15-11:Spannungswandler RFe
φ
φ N 2i2 ≈ 0
N1i1 ≈ 0
Bild 15-12: Magnetischer Kreis des Spannungswandlers
i1 (t ) u1 (t )
α 2 R2
R1
L1 =
N12 RFe
i2 (t ) / α
α 2 Ri
Spannungssensor
Bild 15-13: Elektrisches Ersatzschaltbild des Spannungswandlers
Da der Spannungssensor einen hohen Innenwiderstand aufweisen sollte, ist der Sekundärstrom und damit auch der Primärstrom klein. Der Spannungswandler wird strommäßig also nur sehr gering belastet. Er kommt daher mit geringen Leiterquerschnitten
15 Transformator
S. 151
aus, der Widerstand der Sekundärwicklung kann gegenüber dem Innenwiderstands des Spannungssensors in der Regel vernachlässigt werden. Auf der Primärseite ergibt sich jedoch aus Primärwiderstand und Induktivität eine untere Grenzfrequenz von
ωmin =
R1 R1RFe = L1 N12
(15.22)
Hierbei ist aber die Sättigung des Kerns und die damit verbundene Veränderung der Induktivität nicht berücksichtigt: Es gilt unter Vernachlässigung von R1 b(t ) =
1 u1 (t ) N1 AFe
(15.23)
Die Annahme einer maximalen Flussdichte bˆmax führt bei angenommener sinusförmiger Spannung u1 (t ) = U 1 2 cos ω (t )
zu der zusätzlichen Einschränkung an Amplitude und Frequenz U1
ω
0
antreibend, motorisch
Pme < 0
bremsend
Stationäres Drehmoment-Drehzahl-Verhalten bei konstanter Spannung Einsetzen der Drehmomentbeziehung in die Spannungsgleichung: UA =
RA T + ωψ E′ ψ E′
(16.44)
Auflösen nach ω ergibt das stationäre Drehmoment-Drehzahl-Verhalten für konstante Ankerspannung:
ω=
U A RAT − ψ E′ ψ E′2
(16.45)
16 Gleichstrommotor
S. 176
Losbrech-Drehmoment und Anker-Anlaufstrom (bei ω = 0 ): UA RA
(16.46)
U Aψ E′ RA
(16.47)
I A0 =
T0 =
Problem: Bei kleinem Ankerwiderstand kann ein sehr großer Anlaufstrom resultieren. Leerlaufdrehzahl (bei T = 0 bzw. I A = 0 )
ω0 =
UA ψ E′
(16.48)
ω
ω0
U A = const. −
RA ψ E′2
T0
T
Bild 16-14: Stationäre Drehmoment-Drehzahl-Kennlinie bei konstanter Ankerspannung
IA < 0
ω
IA > 0 -RA/ψ²
UA > 0 T UA = 0
UA < 0
Bild 16-15: Stationäre Drehmoment-Drehzahl-Kennlinien bei konstanten Ankerspannungen
16 Gleichstrommotor
S. 177
ω
erzeugend (generatorisch)
ω
bremsend
verbrauchend
antreibend (motorisch)
T
T
UA = 0
verbrauchend
erzeugend (generatorisch)
antreibend (motorisch)
Bild 16-16: Betriebsarten dargestellt in der Drehmoment-Drehzahl-Ebene
bremsend
16 Gleichstrommotor
S. 178
16.8 Betrieb mit Vorwiderständen Steht nur eine feste Speisespannung zur Verfügung, soll der Motor aber trotzdem drehzahlvariabel betrieben werden, zumindest aber das Anfahren aus dem Stillstand auf eine Betriebsdrehzahl bewerkstelligt werden, ist die klassische Lösung die Verwendung von Vorwiderständen im Anker- ggf. auch im Erregerkreis. Dadurch werden Einschaltströme und die Drehmomente begrenzt bzw. die Drehmoment-Drehzahl-Kennlinien entsprechend verändert. Vorwiderstände erhöhen aber die Verluste und verschlechtern somit den Wirkungsgrad. RV
iA
U
ω,T
iE uE
Bild 16-17: Betrieb mit Vorwiderstand
IA
I max
− −
ψ E′
ψ E′ RA
RA + RV 1 −
ψ E′
RA + RV 2
UA ψ E′ Bild 16-18: Anfahren mit Vorwiderständen
ω
16 Gleichstrommotor
S. 179
16.9 Speisung durch einen Tiefsetzsteller Der Betrieb mit Vorwiderständen kann vermieden werden, wenn eine variable Spannungsquelle zur Verfügung steht. Hierzu kann beispielsweise ein Tiefsetzsteller dienen, der den Ankerkreis speist. Der Tiefsetzsteller benötigt eine Induktivität am Ausgang. In der Regel ist keine zusätzliche Stellerdrossel notwendig, da die Ankerinduktivität diese Funktion übernimmt. Durch Veränderung des Tastverhältnisses wird die (mittlere) Ankerspannung verändert. Ggf. kann auch der Erregerkreis durch einen weiteren Steller gespeist werden. Durch den Tiefsetzstellter werden im Gegensatz zu Vorwiderständen nur verhältnismäßig geringe zusätzliche Verluste verursacht.
i1
u1
iA
LA
RA
uA
Bild 16-19: Speisung des Ankerkreises durch Tiefsetzsteller
ui = ψ E′ ω
16 Gleichstrommotor
S. 180
16.10 Nebenschlussmotor
iA
i
iE u
uA
ω,T
uE
Bild 16-20: Nebenschlussschaltung
u A = RAi A + ψ E′ ω + LAiA = RAi A + LE′ iE ω + LAiA
(16.49)
u E = R E i E + LE iE
(16.50)
T =ψ E′ i A = LE′ iE i A
(16.51)
u = u A = uE
(16.52)
i = i A + iE
(16.53)
Nebenschluss:
Stationäres Verhalten: U RE
(16.54)
U − LE′ I E ω U − LE′ U / RE ω 1 − LE′ / RE ω = = U RA RA RA
(16.55)
IE =
IA =
1 L′ ω 1 I = IE + I A = + − E U RA RE RA RE
(16.56)
1 − LE′ / RE ω 2 U R A RE
(16.57)
T = LE′ I E I A = LE′
16 Gleichstrommotor
S. 181
16.11 Reihenschlussmotor u A = RAi A + ψ E′ ω + LAiA = RAi A + LE′ iE ω + LAiA
(16.58)
u E = R E i E + LE iE
(16.59)
T =ψ E′ i A = LE′ iE i A
(16.60)
i uA
u
ω,T
uE
Bild 16-21: Reihenschlussschaltung
Reihenschluss:
u = u A + uE
(16.61)
i = i A = iE
(16.62)
R = RA + RE
(16.63)
L = LA + LE
(16.64)
u = R i + LE′ i ω + Li u = (R + LE′ ω )i + Li
(16.65)
u = R′(ω ) i + Li Drehzahlabhängiger effektiver Widerstand:
R′(ω ) = R + LE′ ω
(16.66)
T = ψ E′ i = LE′ i 2
(16.67)
Das Drehmoment hängt quadratisch vom Strom ab und ist deshalb immer positiv oder Null (Eine Änderung des Vorzeichens ist nur durch Wechsel der Verschaltung von Erreger- und Ankerwicklung möglich, also mit i = i A = −iE .)
16 Gleichstrommotor
S. 182
Stationäre Drehmoment-Drehzahl-Charakteristik des Reihenschlussmotors:
U = R ′(ω ) I = (R + LE′ ω )I T = LE′ I 2 =
LE′ U 2 R ′2 (ω )
=
LE′ U 2 ( R + LE′ ω ) 2
(16.68)
(16.69)
Die Abhängigkeit des Drehmoments von der Drehzahl ist bei konstanter Spannung also eine Hyperbel mit einer Asymptote bei
ω=−
R LE′
(16.70)
Wird der Reihenschlussmotor mit konstanter Spannung betrieben und dabei mechanisch entlastet, also T → 0 , wächst die Drehzahl über alle Grenzen, ω → ∞ (s. Bild); der Motor „geht durch“ und kann sich ggf. durch die anwachsenden Fliehkräfte selbst zerstören. Es ist daher gefährlich, einen Reihenschlussmotor ohne Last zu betreiben. Bei negativer Drehrichtung ω < 0 arbeitet der Reihenschlussmotor bremsend, für
ω0 R
ω =0
ω = − R / LE′ I
ω
