FH Karlsruhe - Hochschule fu ¨ r Technik Fb Mechatronik und Naturwissenschaften Studiengang Fahrzeugtechnologie

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Klausur zur Vorlesung Wahrscheinlichkeitsrechnung Studiengang Fahrzeugtechnologie WS 2000/2001 31. Januar 2001, 11.00 - 12.30 Uhr

Allgemeine Hinweise: Dauer der Klausur: Zugelassene Hilfsmittel:

90 min, 1.5 Zeitstunden Skript, Vorlesungsmitschrift, Taschenrechner

Schreiben Sie bitte auf dieses Deckblatt oben rechts an der daf¨ ur vorgesehenen Stelle Ihren Namen in Druckbuchstaben! Unterschreiben Sie dieses Deckblatt! Reißen Sie die geheftete Klausur nicht auseinander. k¨onnen nicht gewertet werden.

Ausgerissene Aufgabenbl¨atter

Verwenden Sie f¨ ur Ihre L¨osungen ausschließlich die angehefteten Aufgabenbl¨atter! Es steht f¨ ur jede L¨osung ausreichend Platz zur Verf¨ ugung. Falls der Platz trotzdem nicht ausreichen sollte, benutzen Sie bitte die R¨ uckseite oder die – entsprechend gekennzeichnete – R¨ uckseite eines anderen Aufgabenblatts! Andere Bl¨atter als die Aufgabenbl¨atter k¨onnen nicht gewertet werden! Verwenden Sie keinen Rotstift und keinen Bleistift!

Unterschrift:

Auswertung: Aufgabe Nr.:

1

2

3

4

5

Summe

Punktzahl:

12

4

8

7

9

40

Davon erreicht:

Prof. Dr. Ottmar Beucher, Mathematik, Informatik, Wahrscheinlichkeitsrechnung

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Klausur zur Vorlesung Wahrscheinlichkeitsrechnung WS 2000/2001

1. Aufgabe: (12 Punkte) F¨ ur ein Sortiment von 5 Werkst¨ ucken nimmt man an, dass es 2 Teile enth¨alt, die nicht den vorgegebenen Toleranzen entsprechen, also fehlerhaft sind. Die Teile werden zur Pr¨ ufung aus dem Sortiment herausgenommen und nicht wieder zur¨ uckgelegt. (3P.)

(a) Welche Verteilung hat die Zufallsvariable X, die die Anzahl der gezogenen defekten Teile bei n Ziehungen angibt?

(2P.)

(b) Bestimmen Sie mit Hilfe dieser Verteilung die Wahrscheinlichkeit, dass bei zwei Ziehungen ein defektes Teil gezogen wird.

(5P.)

(c) Bestimmen Sie mit Hilfe der Ereignisbaummethode die Verteilung der Zufallsvariablen Y , welche die Anzahl der Ziehungen angibt, bis bei dem oben beschriebenen Ziehungsschema das erste defekte Teil gezogen wird.

(2P.)

(d) Skizzieren Sie diese Verteilung und die zugeh¨orige Verteilungsfunktion.

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2. Aufgabe: (4 Punkte) Erl¨autern Sie stichwortartig den Unterschied zwischen dem Laplace’schen Wahrscheinlichkeitsbegriff, der Definition der Wahrscheinlichkeit u ¨ber stabilisierte H¨aufigkeiten und dem Kolmogorov’schen Wahrscheinlichkeitsbegriff.

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3. Aufgabe: (8 Punkte) Die Zufallsvariablen X und Y seien beide gleichverteilt im Intervall [0, 1] und unabh¨angig. (3P.)

(a) Bestimmen Sie die Verteilungsdichte der Zufallsvariablen Z = X + Y und skizzieren Sie diese.

(2P.)

(b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit daf¨ ur, dass Z Werte zwischen 0 und 0.5 annimmt.

(3P.)

(c) Bestimmen Sie Erwartungswert und Varianz der Zufallsvariablen Z.

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4. Aufgabe: (7 Punkte) Es sei X eine N (0, 4)-verteilte Zufallsvariable und x1 , x2 , . . . , x10 eine Stichprobe von Werten dieser Zufallsvariablen. (4P.)

(a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich in dieser Stichprobe genau 3 Werte zwischen 0 und 3 befinden?

(3P.)

(b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Werte dieser Stichprobe dem Betrag nach kleiner als 0.1 bleibt?

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5. Aufgabe: (9 Punkte) Eine Versuchsreihe liefere folgende Stichprobe Nr. Wert

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0.81

1.73

0.41

3.18

0.86

1.11

2.06

1.06

0.90

0.17

(7P.)

(a) Testen Sie zum 99%-Niveau die Hypothese, dass die zu Grunde liegende Zufallsvariable X standard-normalverteilt ist gegen die Hypothese, dass X N (1, 1)verteilt ist.

(2P.)

(b) Wie gross ist der Fehler 2. Art bei diesem Test.

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