Klausur zur Vorlesung Lineare Algebra II, SoSe 2016, 16.07.2016 Vokabelbuch In diesem Teil soll getestet werden, inwieweit Sie in der Lage sind, wichtige Definitionen und S¨atze aus der Vorlesung korrekt zu formulieren bzw. zu interpretieren. F¨ ur jede richtig gel¨oste Teilaufgabe bekommen Sie einen Punkt. Sie k¨onnen in diesem Teil insgesamt 11 Punkte erwerben. Aufgabe 1. Sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum und sei F ∈ EndK (V ). (a) Geben Sie die Definitionen der geometrischen und der algebraischen Vielfachheiten eines Eigenwerts λ von F . Antwort: Die algebraische Vielfachheit eines Eigenwerts λ ist die Vielfachheit der Nullstelle λ des charakteristischen Polynoms χF von F . Die geometrische Vielfachheit ist die Dimension des Eigenraums Eλ = Kern(λid − F ). (b) Formulieren Sie ein hinreichendes und notwendiges Kriterium f¨ ur die Diagonalisierbarkeit von F mit Hilfe der Eigenwerte von F . Antwort: F ist genau dann diagonalisierbar, wenn das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerf¨ allt und f¨ ur alle Eigenwerte λ von F die algebraischen und geometrischen Vielfachheiten u bereinstimmen. ¨ Aufgabe 2. Sei im Folgenden K = R ∨ C. Sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum. (a) Formulieren Sie die Definition eines Skalarprodukts auf einem K-Vektorraum. Was unterscheidet den Fall K = R vom Fall K = C? Antwort: Ein Skalarprodukt auf V ist eine Abbildung h·, ·i : V × V → K mit (a) (v, w) 7→ hv, wi ist linear in der ersten Variablen; (b) f¨ ur alle v, w ∈ V gilt hv, wi = hw, vi; (c) f¨ ur alle v ∈ V gilt hv, vi ≥ 0 und hv, vi = 0 ⇒ v = 0. Ist K = R, so gilt f¨ ur alle v, w ∈ V : hv, wi = hw, vi, da x ¯ = x f¨ ur alle x ∈ R. In diesem Fall ist das Skalarprodukt also symmetrisch! Im Fall K = C gilt dies nicht. (b) Sei h·, ·i ein Skalarprodukt auf V und sei B = {v1 , . . . , vn } eine ONB von V . Geben Sie eine m¨oglichst einfache Formel f¨ ur die Eintr¨age aij der Darstellungsmatrix A = AB F. Antwort: Es gilt aij = hF (vj ), vi i. (c) Seih·, ·i ein Skalarprodukt auf V und seien 0 6= v, w ∈ V . Geben Sie eine Formel f¨ ur die orthogonale Projektion PG (v) von v auf die Gerade G = K · w. Antwort: Es gilt PG (v) = hv,wi w. kwk2 Aufgabe 3. Sei K = R ∨ C und sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum versehen mit einem Skalarprodukt. (a) Sei {v1 , . . . , vn } ein Orthogonalsystem in V . Was besagt der Satz von Pythagoras f¨ ur Pn i=1 λi vi ? P P Antwort: Es gilt k ni=1 vi k2 = ni=1 kvi k2 . (b) Sei U ⊆ V ein Untervektorraum von V und sei {u1 , . . . , ul } eine ONB von U . Geben Sie Formeln f¨ ur die othogonalen Projektionen PU : V → U und PU ⊥ : V → U ⊥ an. P P Antwort: Es gilt PU (v) = li=1 hv, ui iui und PU ⊥ (v) = v − li=1 hv, ui iui . 1

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(c) Formulieren Sie die S¨ atze u ¨ber die Diagonalisierbarkeit normaler Endomorphismen und normaler Matrizen A ∈ M (n × n, K) (mit allen Voraussetzungen). Antwort: Ist V ein endlich-dimensionaler C-Vektorraum und ist F ∈ End(V ) normal, so ist F diagonalisierbar und es existiert eine ONB aus Eigenvektoren. Ist A ∈ M (n × n, C) normal, so existiert eine unit¨ are Matrix U , so dass U ∗ AU eine Diagonalmatrix ist. Ist V ein endlich dimensionaler R-Vektorraum, so gilt eine analoge Aussage (genau) dann, wenn alle Eigenwerte von F reell sind. Ist A ∈ M (n × n, R) normal und sind alle Eigenwerte von A reell, so existiert eine orthogonale Matrix O mit OT AO ist Diagonalmatrix. Anmerkung: Wenn die Antwort nur f¨ ur den komplexen Fall richtig gegeben wird, geben wir hier schon den ganzen Punkt!

Aufgabe 4. Sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum und sei F ∈ EndK (V ). (a) Wann heißt F nilpotent? Antwort: F heißt nilpotent, wenn ein k ∈ N existiert mit F k = 0. (b) Sei λ ∈ K ein Eigenwert von F . Wie ist der Hauptraum Vλ von λ definiert? Antwort: Sei k ∈ N mit Kern(F − λid)k = Kern(F − λid)k+1 . Dann heißt Vλ = Kern(F − λid)k der Hauptraum von F zum Eigenwert λ. (c) Sei K = R und sei µ = α + iβ ein komplexer Eigenwert von FC mit β 6= 0. Wie sieht ein reeller Jordan-Kasten zum Eigenwertpaar µ, µ ¯ aus? Antwort: Ein reeller Jordan-Kasten zum Eigenwertpaar µ, µ ¯ ist von der Form   α β 1  −β α 1     α β 1       −β α 1   .. .. .. ..   . . . .     .. .. .. ..   . . . .      α β 1  −β α 1

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Rechnen In den folgenden Aufgaben soll getestet werden, inwieweit Sie die in der Vorlesung besprochenen Rechenverfahren beherrschen. Bitte geben Sie nur die Ergebnisse und die wichtigsten Rechenschritte an. Sie k¨ onnen in diesem Teil insgesamt 19 Punkte erwerben.   1 0 1 0 2 1 1 2  Aufgabe 1. (3 Punkte) Sei A =  0 0 −1 1 ∈ M (4 × 4, R). Berechnen Sie das 0 0 1 1 charakteristische Polynom χA von A und die Eigenwerte λ ∈ R von A. Bestimmen Sie f¨ ur jeden Eigenwert λ von A die algebraische und geometrische Vielfachheit von λ. Ist A diagonalisierbar?
Antwort: Es gilt χA (T ) = (λ − 1)2 · (λ + 1)(λ − 1) − 1 = (λ − 1)2 (λ2 − 2) = √ √ (λ − 1)2 (λ√− 2)(λ √ + 2). Die reellen Nullstellen von χA (und damit √ die Eigenwerte von A) sind 1, 2, − 2. Die algebraischen Viefachheiten der Eigenwerte ± 2 sind jeweils 1. Dies sind auch die geometrischen Vielfachheiten dieser Eigenwerte. Die algebraische Vielfachheit des Eigenwerts λ = 1 ist 2. Die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts λ = 1 ist 1. Die Matrix A ist nicht diagonalisierbar.     1 1 0 2 4    Aufgabe 2. (2 Punkte) Seien v =  1 und w = 0 ∈ R . Berechnen Sie den Winkel 2 1 α =< )(v, w) ∈ [0, π] zwischen v und w. Berechnen Sie dazu zun¨achst cos(α). (Gesucht ist hier eine konkrete Zahl!) hv,wi Antwort: Es gilt cos(α) = kvkkwk = 12 . Damit folgt α = π3 .       1 1 1       0 1    0 Aufgabe 3. (3 Punkte) Sei U = LH{v1 , v2 , v3 } ⊆ R4 mit v1 =  0 , v2 =  0  , v3 = 1. 1 0 −1 Berechnen Sie eine ONB von U bez¨ uglich des Standard-Skalarprodukts auf R4 . Antwort: Wenden wir das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren an, so erhalten wir die ONB {u1 , u2 , u3 } von U mit       1 0 0 0      , u2 = √1  1  , u3 = √1 1 . u1 = v1 =  0 2 0  6 2 0 −1 1



 0 1 0 ussen nicht Aufgbabe 4. (6 Punkte) Sei A die normale Matrix A = −1 0 1 (sie m¨ 0 −1 0 nachpr¨ ufen, dass A normal ist). (a) Berechnen Sie das charakteristische Polynom χA von A und die komplexen Eigenwerte λ1 , λ2 , λ3 von A.   λ1 . (b) Berechnen Sie eine unit¨ are Matrix U ∈ U (3) mit U ∗ AU =  λ2 λ3

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(c) Berechnen Sie eine orthogonale Matrix O ∈ O(3), so dass OT AO die Standardform f¨ ur reelle normale Matrizen annimmt. Geben Sie auch diese Standardform an. 2 Antwort: √ √ (a) Es gilt χA (T ) = T (T + 2). Dieses Polynom hat die komplexen Nullstellen 0, i 2, −i 2. (b) Es gilt       1 1 1 √ √ √ √ Kern(A − 0E3 ) = C · 0 , Kern(A − i 2E3 ) = C i 2 , Kern(A + i 2E3 ) = C −i 2 . −1 −1 1  1    1 1 √ 0 √ 2 2 2    Damit ist U =  0 √i2 − √i2  eine unit¨are Matrix mit U ∗ AU =  i 2 √ . √1 −i 2 −1 −1  1 2 1 2  2 √ √ 0 2  2  (c) Ist O =  0 0 1, so ist O orthogonal mit √1 − √12 0 2   0 0 0 √ OT AO = 0 2 . 0 √ 0 − 2 0



1 0 Aufgabe 5. (2 Punkte) Sei A =  1 0 definit ist.

0 2 2 0

1 2 4 4

 0 0  ∈ M (4 × 4, R). Untersuchen Sie, ob A positiv 4 1

Antwort: A ist nicht positiv definit, da det(A) = −30 < 0.   1 2 0 0 0 1 0 0  Aufgabe 6. (3 Punkte) Sei A =  1 0 1 2 ∈ M (4 × 4, C). Berechnen Sie die Jordan0 1 0 1 Normalform J von A. Antwort: Es gilt χA (T ) = (T − 1)4 , und damit ist λ = 1 der einzige Eigenwert von A. Es gilt     0 2 0 0    Kern(A − E4 ) = C ·  1 + C ·  0  0

−1

und damit besitzt die Jordan-Normalform von A genau zwei Jordan-K¨asten. Wegen (A−E4 )2 6= 0 und (A − E4 )3 = 0 muss einer der Jordan-K¨asten von A die L¨ange 3 haben. F¨ ur den anderen bleibt dann die L¨ ange 1 u ¨brig. Damit folgt   1 0 0 0 0 1 1 0  J = 0 0 1 1 . 0 0 0 1

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Beweisen In diesem Abschnitt sollen Sie einige Aussagen beweisen. Sie d¨ urfen, sofern in der Aufgabenstel¨ lung nichts anderes steht, die Resultate der Vorlesung, aber nicht die der Ubungen benutzen. Sie mu ssen aber auf jeden Fall geeignete Argumente f u r die zu beweisenden ¨ ¨ Aussagen in den Aufgaben angeben, auch wenn diese in ¨ ahnlicher Form in der Vorlesung behandelt worden sein sollten. Sie k¨onnen in diesem Teil h¨ochstens 24 Punkte erwerben. Zum Bestehen der Klausur m¨ ussen Sie mindestens 4 Punkte in diesem Bereich erzielen! Aufgabe 1. (4 Punkte) Sei A ∈ M (n × n, R) mit AT = −A. Beweisen Sie: Alle Eigenwerte λ von A sind rein imagin¨ ar, d.h. es existiert ein β ∈ R mit λ = iβ. Beweis: Sei λ ∈ C ein Eigenwert von A und sei 0 6= v ∈ Cn ein Eigenvektor zu λ. Dann gilt wegen A∗ = A¯T = AT − = A (da A reelle Matrix): ¯ vi. λhv, vi = hλv, vi = hAv, vi = hv, A∗ vi = hv, −Avi = hv, −λvi = −λhv, ¯ Ist dann λ = α + iβ, so folgt Da v 6= 0 folgt λ = −λ. ¯ = −α + iβ α + iβ = λ = −λ und dann folgt α = 0 und λ = iβ ∈ iR.

Aufgabe 2. (4 Punkte) Sei V ein endlich-dimensionaler R-Vektorraum mit Basis B = {v1 , . . . , vn } und sei hh·, ·ii : V × V → R; (v, w) 7→ hhv, wii eine symmetrische Bilinearform, d.h., hh·, ·ii ist linear in beiden Variablen und es gilt hhv, wii = hhv, wii 1 f¨ ur alle v, w ∈ V . Beweisen ¨ Sie die Aquivalenz der folgenden Aussagen: (1) hh·, ·ii ist ein Skalarprodukt auf V . (2) Die Matrix A = (aij )1≤i,j≤n mit aij = hhvi , vj ii ist positiv definit. Beweis Zun¨achst folgt aus der Symmetrie von hh·, ·ii, dass A = AT . Ferner folgt aus den Voraussetzungen und der Definition eines Skalarprodukts auf R-Vektor¨aumen, dass hh·, ·ii genau dann P ein Skalarprodukt ist, wenn f¨ ur alle 0 6= v ∈ V gilt: hhv, vii > 0. Sei nun 0 6= v = ni=1 xi vi . Dann gilt hhv, vii = hh

n X i=1

xi vi ,

n X

xj vj ii =

j=1

n X i,j=1

xi xj hhvi , vj ii =

n X

aij xi xj = hAx, xi,

i,j=1

wobei h·, ·i das Standard-Skalarprodukt auf Rn bezeichnet. Damit folgt: hhv, vii > 0 f¨ ur alle 0 6= v ∈ V ⇐⇒ hAx, xi > 0 f¨ ur alle 0 6= x ∈ Rn , d.h., wenn A positiv definit ist. Aufgabe 3. (4 Punkte) Sei (V, h·, ·i) ein euklidischer R-Vektorraum und seien v, w ∈ V . ¨ (a) Zeigen Sie die Aquivalenz der folgenden Aussagen: (1) v und w sind orthogonal zueinander. (2) Es gilt kv + wk2 = kvk2 + kwk2 . (b) Zeigen Sie, dass die Richtung (2) ⇒ (1) im unit¨aren Vektorraum V = C mit Standardskalarprodukt hz, wi = z w ¯ im allgemeinen falsch ist! Beweis: (a) F¨ ur alle v, w ∈ V gilt kv + wk2 = hv + w, v + wi = hv, vi + 2hv, wi + hw, wi = kvk2 + 2hv, wi + kwk2 . 1Hier ist ein Fehler!!!

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Damit folgt: kv + wk2 = kvk2 + kwk2 ⇐⇒ 2hv, wi = 0 ⇐⇒ hv, wi = 0 ⇐⇒ v und w sind orthogonal zueinander.

(b) Seien v = 1, w = i ∈ C. Dann gilt kv + wk2 = |1 + i|2 = 2 = |1|2 + |i|2 = kvk2 + kwk2 , aber h, v, wi = h1, ii = −i 6= 0. Aufgabe 4. (4 Punkte) Sei A ∈ M (n × n, R) Beweisen Sie: Es gilt Kern(AT ) = Bild(A)⊥ . Beweis: Wir zeigen zun¨ achst, dass Kern(AT ) ⊆ Bild(A)⊥ . Daf¨ ur m¨ ussen wir zeigen, T dass f¨ ur alle v ∈ Kern(A ) und w ∈ Bild(A) gilt: hv, wi = 0. Sei also v ∈ Kern(AT ) und w ∈ Bild(A). Dann gilt w = Au f¨ ur ein u ∈ Rn . Dann folgt hv, wi = hv, Aui = hAT v, ui = 0,

da v ∈ Kern(AT ).

Sei nun umgekehrt v ∈ Bild(A)⊥ . Dann folgt f¨ ur alle u ∈ Rn : 0 = hv, Aui = hAT v, ui. Setzen wir u = AT v, so folgt 0 = hAT v, AT vi = kAT vk2 . Aber dann folgt AT v = 0 und v ∈ Kern(AT ).

Aufgabe 5. (4 Punkte) Sei N ∈ M (n × n, C) nilpotent. Beweisen Sie: Dann ist 0 der einzige Eigenwert von N . Beweis: Da N nilpotent ist, existiert ein k ∈ N mit N k = 0. Ist dann λ ein Eigenwert von N und 0 6= v ein Eigenvektor zu λ, so folgt mit leichter Induktion nach l ∈ N, dass N v = λl v f¨ ur alle l ∈ N. Damit folgt insbesondere f¨ ur l = k: 0 = N k v = λk v. Da v 6= 0, folgt λk = 0 und dann auch λ = 0. Aufgabe 6. (4 Punkte) Sei A ∈ M (n × n, K) eine Matrix, so dass das charakteristische Polynom χA in Linearfaktoren zerf¨ allt und sei λ ∈ K ein Eigenwert von A. Zeigen Sie, dass die geometrische Vielfachheit von λ kleiner oder gleich der algebraischen Vielfachheit von λ ist. Bemerkung: Die Aussage gilt auch ohne die Voraussetzung an das charakterische Polynom. Wer diese allgemeine Aussage beweist, bekommt 2 Bonuspunkte! Erster Beweis: Da das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerf¨allt besitzt A eine Jordan-Normalform J. Dann gilt: Die geometrische Vielfachheit eines Eigenwerts λ von A ist genau die Anzahl der λ-Jordan-K¨ asten in J. Auf der anderen Seite tr¨agt jeder k × kλ-Jordankasten in J den Faktor (T − λ)k zum charakteristischen Polynom χA = χJ bei, und damit den Summanden k zur algebraischen Vielfachheit von λ. Da immer 1 ≤ k gilt folgt: Die geometrische Vielfachheit von λ ist immer kleiner oder gleich der algebaischen Velfachheit von λ. Zweiter Beweis: Sei λ ein Eigenwert von A mit geometrischer Vielfachheit k. Sei {v1 , . . . , vk } eine Basis des Eigenraums Eλ = Kern(λEn − A) und seien w1 , . . . wm weitere Vektoren in K n , so dass B = {v1 , . . . , vk , w1 , . . . , wm } eine Basis von K n ist. Ist dann F : K n → K n der Endomorphismus F (x) = Ax, so ist die Darstellungsmatrix AB uglich B von der F von F bez¨

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Gestalt   λ ∗ ··· ∗ .. ..   ..  . . .      λ ∗ · · · ∗ B  AF =   0 · · · 0 b11 · · · b1m    . .. .. ..   .. . . .  0 · · · 0 bm1 · · · bmm f¨ ur eine geeignete m × m-Matrix B = (bij )1≤i,j≤m . F¨ ur das charakteristische Polynom χA gilt k dann χA (T ) = (T − λ) · χB (T ), und damit ist die algebraische Vielfachheit von λ gr¨oßer oder gleich k.