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Klausur zur Vorlesung Stochastik II
Institut für Mathematische Stochastik WS 2004/2005 Universität Karlsruhe 7. März 2005 Priv-Doz. Dr. D. Kadelka Klausur zur Vorlesung Stochastik I...
Author:
Sabine Althaus
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Institut für Mathematische Stochastik
WS 2004/2005
Universität Karlsruhe
7. März 2005
Priv-Doz. Dr. D. Kadelka
Klausur zur Vorlesung Stochastik II
Dauer:
90 Minuten
Name: Vorname: Matrikelnummer: Diese Klausur hat bestanden, wer mindestens 20 Punkte erreicht. Hilfsmittel sind nicht zugelassen!
Aufgabe
1 (3) 2(4) 3 (4) 4 (4) 5 (4) 6 (5) 7 (4) 8 (6) 9 (4) 10 (4) 11 (8)
Punkte Korrektor
Gesamtpunktzahl
1
Note
P
(50)
Aufgabe
1 (3 Punkte)
X, Y haben die gemeinsame Dichte ( λ2 · e−λy fX,Y (x, y) = 0
für 0 ≤ x ≤ y < ∞ sonst
a) Berechnen Sie die Dichten von X bzw. Y . b) Sind X, Y unabhängig? (mit Begründung)
Lösung zu Aufgabe 1
a)
Z∞ fX,Y (x, y) dy
fX (x) = −∞
Z∞ = 1[0,∞) (x) ·
λ2 · e−λy dy
x ∞ 2 −1 −λy = 1[0,∞) (x) · λ · ·e λ x = 1[0,∞) (x) · λ · e−λx
Z∞ fY (y) =
fX,Y (x, y) dx −∞
Zy = 1[0,∞) (y) ·
λ2 · e−λy dx
0
Zy
2
−λy
·
2
−λy
y · x 0
= 1[0,∞) (y) · λ · e
1 dx 0
= 1[0,∞) (y) · λ · e
= 1[0,∞) (y) · λ2 · y · e−λy b) X und Y sind nicht unabhängig, denn sonst müsste gelten
⇐⇒
fX,Y (x, y) = fX (x) · fY (y) 2
−λy
−λx
=λ·e
2
⇐⇒
λ ·e
⇐⇒
λ2 · e−λy = λ3 · y · e−λ(x+y)
∀ 0≤x≤y
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