Klausur zur Vorlesung Stochastik II

Institut für Mathematische Stochastik WS 2004/2005 Universität Karlsruhe 7. März 2005 Priv-Doz. Dr. D. Kadelka Klausur zur Vorlesung Stochastik I...
Author: Sabine Althaus
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Institut für Mathematische Stochastik

WS 2004/2005

Universität Karlsruhe

7. März 2005

Priv-Doz. Dr. D. Kadelka

Klausur zur Vorlesung Stochastik II

Dauer:

90 Minuten

Name: Vorname: Matrikelnummer: Diese Klausur hat bestanden, wer mindestens 20 Punkte erreicht. Hilfsmittel sind nicht zugelassen!

Aufgabe

1 (3) 2(4) 3 (4) 4 (4) 5 (4) 6 (5) 7 (4) 8 (6) 9 (4) 10 (4) 11 (8)

Punkte Korrektor

Gesamtpunktzahl

1

Note

P

(50)

Aufgabe

1 (3 Punkte)

X, Y haben die gemeinsame Dichte ( λ2 · e−λy fX,Y (x, y) = 0

für 0 ≤ x ≤ y < ∞ sonst

a) Berechnen Sie die Dichten von X bzw. Y . b) Sind X, Y unabhängig? (mit Begründung)

Lösung zu Aufgabe 1

a)

Z∞ fX,Y (x, y) dy

fX (x) = −∞

Z∞ = 1[0,∞) (x) ·

λ2 · e−λy dy

x ∞ 2 −1 −λy = 1[0,∞) (x) · λ · ·e λ x = 1[0,∞) (x) · λ · e−λx

Z∞ fY (y) =

fX,Y (x, y) dx −∞

Zy = 1[0,∞) (y) ·

λ2 · e−λy dx

0

Zy

2

−λy

·

2

−λy

 y · x 0

= 1[0,∞) (y) · λ · e

1 dx 0

= 1[0,∞) (y) · λ · e

= 1[0,∞) (y) · λ2 · y · e−λy b) X und Y sind nicht unabhängig, denn sonst müsste gelten

⇐⇒

fX,Y (x, y) = fX (x) · fY (y) 2

−λy

−λx

=λ·e

2

⇐⇒

λ ·e

⇐⇒

λ2 · e−λy = λ3 · y · e−λ(x+y)

∀ 0≤x≤y