Universität zu Köln Mathematisches Institut Prof. Dr. P. Littelmann Dr. Teodor Backhaus

Sommersemester 2016 29. Juli 2016

Klausur zur Vorlesung Lineare Algebra II Bearbeitungszeit 180 Minuten

Bitte geben Sie hier Ihren Namen, Ihre Matrikelnummer und Ihren Studiengang an.

Name (in Druckschrift): Matrikelnummer: Bachelor Mathematik



Bachelor Wirtschaftsmathematik



Diplom Mathematik



Lehramt Mathematik



SchülerstudentIn





Hinweise: • Die Klausur besteht aus einem Multiple-Choice-Teil und 7 weiteren Aufgaben. • In dem Multiple-Choice-Teil gibt es für jede Frage einen Punkt. Die Aufgaben 3,6,7 geben jeweils 10 Punkte und die Aufgaben 1,2,4,5 geben jeweils 15 Punkte. Sie können also maximal 100 Punkte bekommen. • Benutzen Sie für die Lösungen der Aufgaben die dafür vorgesehenen Blätter. • Unterschreiben Sie das letzte Blatt Ihrer Abgabe am Ende der Klausur und schreiben Sie auf jedes Blatt leserlich Ihren Namen. • Mit Bleistift geschriebene Lösungen werden nicht berücksichtigt. • Es sind keine Hilfsmittel (Skript, Bücher, Taschenrechner, Smartphones, Telepathie, . . . ) erlaubt! MC

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Universität zu Köln Mathematisches Institut Prof. Dr. P. Littelmann Dr. Teodor Backhaus

Sommersemester 2016 29. Juli 2016

Klausur zur Vorlesung Lineare Algebra II Multiple-Choice-Aufgaben

(10 Punkte)

Jede richtig beantwortete Frage gibt einen Punkt. A ∈ Mn (R) ist normal ⇔ =A. A ∈ Mn (R) ist normal ⇔ A ∈ Mn (R) ist diagonalisierbar über R. Jede reelle symmetrische Matrix ist diagonalisierbar. Jede unitäre Matrix ist diagonalisierbar über C. Jede orthogonale Matrix ist diagonalisierbar über R. Jede hermitesche Matrix ist selbstadjungiert bzgl. der standard hermiteschen Form. Jede orthogonale Matrix ist selbstadjungiert bzgl. des standard Skalarproduktes. Die Gruppe O2 (R) wird erzeugt von Drehungen. Jeder Modul über einem euklidischen Ring ist endlich erzeugt. (R[x], σ) ist mit σ : p(x) 7→ deg p(x) ein euklidischer Ring. tA

Aufgabe 1

Ja    X  X   X

Nein  X  X    X 



 X

   X

 X  X 

(15 Punkte)

Sei A die folgende reelle symmetrische Matrix: 



3 2 0   4 −2 A = 2 0 −2 5 1. Bestimmen Sie die Signatur der Matrix A. 2. Bestimmen Sie die Eigenwerte der Matrix A (Hinweis: 7 ist ein Eigenwert von A). 3. Bestimmen Sie die Eigenvektoren der Matrix A. Aufgabe 2

(15 Punkte)

Sei V der Unterraum von R[x] der aufgespannt wird von 1, x4 , x8 und x16 , also V = h1, x4 , x8 , x16 i ⊂ R[x]. Für p, q ∈ V sei Z1

(p, q) :=

p(x)q(x)dx. −1

1. Beweisen oder widerlegen Sie: (−, −) ist eine symmetrische Bilinearform auf V . 2. Beweisen oder widerlegen Sie: (−, −) ist nicht ausgeartet. 3. Beweisen oder widerlegen Sie: (−, −) ist positiv definit. 4. Begründen oder widerlegen Sie: V besitzt eine Orthonormalbasis.

Aufgabe 3

(10 Punkte)

Bestimmen Sie die Jordannormalform für die folgende Matrix: 

1 0  B= 0 0

0 1 1 0

1 0 2 0



0 1   0 2

Aufgabe 4

(15 Punkte)

Für eine Matrix A ∈ Mn (C) sei etA die Matrix 1I + tA +

t2 2 2! A

+

t3 3 3! A

+

t4 4 4! A

+ . . ..

a) Berechnen Sie eAt für !

1 −1 1 −1

A= b) Berechnen Sie eAt für A=

3 1 0 3

!

Aufgabe 5

(15 Punkte)

Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen: 1. Ist R[x, y]/(xy) ist ein Integritätsbereich. 2.

Z/mZ, m ∈ N, m > 0, ist ein Integritätsbereich ⇔ m ist eine Primzahl.

3. Sei R ein euklidischer Ring. Dann ist jeder Modul über R ein freier Modul. 4. Sei R ein kommutativer Ring mit Eins. Dann ist jeder zyklische R-Modul isomorph zu R/I für ein Ideal I ⊆ R. 5. Sei R ein euklidischer Ring und betrachte R als Modul über sich selbst. Dann ist jeder Untermodul W ⊂ R von einem Element erzeugt. Aufgabe 6

(10 Punkte)

Sei V = R4 versehen mit der kanonischen Basis Skalarprodukt, d.h.,  *

   

a1 a2 a3 a4

      ,  

b1 b2 b3 b4

B

= {e1 , e2 , e3 , e4 } und dem standard

    

 +

= a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 + a4 b4 ,

1 2



 −1   2    − 12 

und sei w = 

1 2

Bezeichne mit sw die Spiegelung an w, d.h., sw ist die lineare Abbildung sw = R4 → R4 ,

v 7→ v − 2

hw, vi w. hw, wi

Bestimmen Sie die Matrix von sw bezüglich der kanonischen Basis B und deren Eigenwerte. Ist die Matrix diagonalisierbar? Ist die Matrix normal?

Aufgabe 7 Sei A die Matrix

(10 Punkte) 



1 0 0    0 1 0  0 0 2 a) Berechnen Sie das charakteristische Polynom pA (t) von A. b) Begründen Sie: pA (A) = 0. c) Sei q(t) = t2 − 3t + 2. Begründen oder widerlegen Sie: q(A) = 0, und q(t) ist das Minimalpolynom von A. d) Geben Sie ein Beispiel für eine n × n-Matrix, so dass das Minimalpolynom den Grad 1 hat.

Aufgabe 1

(15 Punkte)

Sei A die folgende reelle symmetrische Matrix: 



3 2 0   4 −2 A = 2 0 −2 5 1. Bestimmen Sie die Signatur der Matrix A. 2. Bestimmen Sie die Eigenwerte der Matrix A (Hinweis: 7 ist ein Eigenwert von A). 3. Bestimmen Sie die Eigenvektoren der Matrix A. Lösung: • Die Werte der Hauptminoren sind 3, 8, 28, also ist die Signatur (3, 0). • Das charakteristische Polynom ist t3 − 12t2 + 39 − 28 mit Nullstellen 1, 4, 7. Die Eigenwerte sind also λ1 = 1, λ2 = 4, λ3 = 7. • Eigenvektoren sind Vielfache (6= 0) der folgenden Vektoren 



−2   zu λ1 = 1 :  2  , 1





2   zu λ2 = 4 :  1  , 2





1   zu λ3 = 7 :  2  −2

Aufgabe 2

(15 Punkte)

Sei V der Unterraum von R[x] der aufgespannt wird von 1, x4 , x8 und x16 , also V = h1, x4 , x8 , x16 i ⊂ R[x]. Für p, q ∈ V sei Z1

(p, q) :=

p(x)q(x)dx. −1

1. Beweisen oder widerlegen Sie: (−, −) ist eine symmetrische Bilinearform auf V . 2. Beweisen oder widerlegen Sie: (−, −) ist nicht ausgeartet. 3. Beweisen oder widerlegen Sie: (−, −) ist positiv definit. 4. Begründen oder widerlegen Sie: V besitzt eine Orthonormalbasis. Lösung: • Da (p, q) =

R1 −1

p(x)q(x)dx =

R1

q(x)p(x)dx = (q, p) folgt (p, q) = (q, p).

−1

• Da (p, λ1 q1 + λ2 q2 ) =

R1

p(x)(λ1 q1 (x) + λ2 q2 (x)))dx

−1

= λ1

R1

p(x)q1 (x)dx + λ2

−1

R1

p(x)q2 (x)dx

−1

= λ1 (p, q1 ) + λ2 (p, q2 ). ist (−, −) linear im zweiten Argument, wegen der Symmetrie oben auch in dem ersten Argument, und damit symmetrisch und bilinear. • Da gilt p2 (x) ≥ 0 und p2 (x) ≡ 0 dann und nur dann wenn p = 0, folgt (p, p) ≥ 0 und (p, p) = 0 dann und nur dann wenn p = 0, Es folgt: (−, −) ist nicht ausgeartet und sogar positiv definit. • Indem man das Gram-Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren anwendet auf die Basis {1, x4 , x8 , x16 } erhält man eine Orthonormalbasis.

Aufgabe 3

(10 Punkte)

Bestimmen Sie die Jordannormalform für die folgende Matrix: 

1 0  B= 0 0

0 1 1 0

1 0 2 0



0 1   0 2

Lösung: • Das charakteristische Polynom ist (t − 1)2 (t − 2)2 , die Eigenwerte sind also λ1 = 1 (mit Multiplizität 2) und λ2 = 2 (ebenfalls mit Multiplizität 2) • Wie man nachrechnet gilt dim Ker(A − 1I) = 1, dim Ker(A − 1I)2 = 2 und dim Ker(A − 21I) = 1, dim Ker(A − 21I)2 = 2, also gibt es zu jedem Eigenwert jeweils ein Jordanblock der Grösse 2. Also die Jordan Normalform der Matrix ist     

1 0 0 0

1 1 0 0

0 0 2 0

0 0 1 2

    

Aufgabe 4

(15 Punkte)

Für eine Matrix A ∈ Mn (C) sei etA die Matrix 1I + tA +

t2 2 2! A

+

1 + t −t t 1−t

!

t3 3 3! A

+

t4 4 4! A

+ . . ..

a) Berechnen Sie eAt für A=

1 −1 1 −1

!

b) Berechnen Sie eAt für A=

!

3 1 0 3

Lösung: • Im ersten Fall gilt A2 = 0 und somit tA

e

= 1I + tA =

• Im zweiten Fall gilt A = B + N , wobei B = 3 · 1I und N=

0 1 0 0

!

.

Die beiden Matrizen kommutieren: BN = N B, und N 2 = 0. Damit hat man etA = =

P∞ tj j j=0 j! (B + N ) P∞ tj j j−1 j=0 (B + jB P∞ j!tj j

N)

= ( j=0 j! B )(1I + tN ) = etB (1I + tN ). Es folgt: tA

e

=

e3t 0 0 e3t

!

(1I +

0 t 0 0

!

)=

e3t te3t 0 e3t

!

Aufgabe 5

(15 Punkte)

Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen: 1. Ist R[x, y]/(xy) ist ein Integritätsbereich. 2.

Z/mZ, m ∈ N, m > 0, ist ein Integritätsbereich ⇔ m ist eine Primzahl.

3. Sei R ein euklidischer Ring. Dann ist jeder Modul über R ein freier Modul. 4. Sei R ein kommutativer Ring mit Eins. Dann ist jeder zyklische R-Modul isomorph zu R/I für ein Ideal I ⊆ R. 5. Sei R ein euklidischer Ring und betrachte R als Modul über sich selbst. Dann ist jeder Untermodul W ⊂ R von einem Element erzeugt. Lösung: • Da xy = xy = 0 in R[x, y]/(xy), aber x, y 6= 0, folgt: R[x, y]/(xy) ist kein Integritätsbereich • Ist m = p eine Primzahl, so ist Z/pZ ein Körper und somit insbesondere ein Integritätsbereich. Ist m keine Primzahl, dann gibt es ganze Zahlen a, b > 1 mit m = ab. Dann gilt aber a, b 6= 0 in Z/mZ, aber ab = ab = 0, somit ist Z/mZ in diesem Fall kein Integritätsbereich. •

Z ist ein euklidischer Ring. Sei M der Modul M = Z/2Z. Das Element 1 ∈ M ist das einzige Erzeugendensystem, dass nicht 0 enthält. Aber es ist keine Basis, denn 2 ◦ 1 = 2 = 0.

• Sei M ein zyklischer Modul und sei m ∈ M ein Erzeuger, d.h., M = {r ◦ m | r ∈ R}. Der Modulhomomorphismus Φ : R → M,

r 7→ r ◦ m,

ist surjektiv, der Kern KerΦ ist ein Ideal, und nach dem Homomorphiesatz folgt M ' R/KerΦ. • Ein Untermodul W ⊆ R ist ein Ideal. Da R ein euklidischer Ring ist, ist R auch ein Hauptidealring und somit ist W von einem Element erzeugt.

Aufgabe 6

(10 Punkte)

Sei V = R4 versehen mit der kanonischen Basis Skalarprodukt, d.h.,  *

   

a1 a2 a3 a4

      ,  

b1 b2 b3 b4

B

= {e1 , e2 , e3 , e4 } und dem standard

    

 +

1 2



 −1   2    − 12 

= a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 + a4 b4 ,

und sei w = 

1 2

Bezeichne mit sw die Spiegelung an w, d.h., sw ist die lineare Abbildung sw = R4 → R4 ,

v 7→ v − 2

hw, vi w. hw, wi

Bestimmen Sie die Matrix von sw bezüglich der kanonischen Basis B und deren Eigenwerte. Ist die Matrix diagonalisierbar? Ist die Matrix normal? Lösung:    

MB (sw ) = 

1 2 1 2 1 2

− 21

1 2 1 2

− 12 1 2

1 2

− 12 1 2 1 2

− 21 1 2 1 2 1 2

    

• Der Homomorphismus sw ist eine Spiegelung und somit orthogonal. Da es eine Spiegelung am Vektor w ist folgt: w ist ein Eigenvektor zum Eigenwert (−1), und das 3-dimensionale orthogonale Komplement zu Rw wird aufgespannt aus Eigenvektoren zum Eigenwert 1. • Es gibt sogar eine Orthonormalbasis bestehend aus Eigenvektoren, die Matrix ist somit diagonalisierbar, und zusätzlich normal.

Aufgabe 7

(10 Punkte)

Sei A die Matrix





1 0 0    0 1 0  0 0 2 a) Berechnen Sie das charakteristische Polynom pA (t) von A. b) Begründen Sie: pA (A) = 0. c) Sei q(t) = t2 − 3t + 2. Begründen oder widerlegen Sie: q(A) = 0, und q(t) ist das Minimalpolynom von A. d) Geben Sie ein Beispiel für eine n × n-Matrix, so dass das Minimalpolynom den Grad 1 hat. Lösung: • Das charakteristische Polynom ist pA (t) = (t − 1)2 (t − 2). • Nach dem Satz von Cayley-Hamilton gilt pA (A) = 0. • Zu einem Eigenwert λ sei mλ die maximale Größe eine Jordan-Blocks. Dann ist das Minimalpolynom einer Matrix das Produkt der (t − λ)mλ über alle Eigenwerte. Da in diesem Fall alle Jordan-Blöcke die Größe 1 haben, folgt: das Minimalpolynom ist q(t) = (t − 1)(t − 2) = t2 − 3t + 2. Insbesondere gilt q(A) = 0. • Die Matrizen A = 1I und A = 0l sind Beipiele für d).