Kapitel 5b Einkommens- und Substitutionseffekte

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Nochmals Ausgabenminimierung… …zur Bestimmung von Einkommens- und Substitutionseffekten. •

Die Nutzenmaximierung gibt uns mathematisch die Punkte A und C und somit den Gesamteffekt einer Preisänderung für die Nachfrage nach x. Wie können wir B mathematisch bestimmen?

Frage: Was ist das hypothetische Einkommen des Konsumenten bei B? Antwort: Minimiere die Ausgaben unter der Nebenbedingung des gleichen Nutzenniveaus wie bei A. 2

Nochmals Ausgabenminimierung… Nutzenmaximierung: maxU(x,y) u.d.N. M≥ pxx+ pyy Ausgabenminimierung: min pxx+ pyy u.d.N. U(x,y) ≥U Ziel und Nebenbedingung werden vertauscht. Um Einkommens- und Substitutionseffekte zu bestimmen: • Angenommen Punkt A gibt das Nutzenniveau U bei Preisen px, py. Nun verändert sich px zu px’. • Die Lösung der Ausgabenminierung bei den neuen Preisen bestimmt

das

geringstmögliche

Einkommen,

um

das

Nutzenniveau U beizubehalten. • Dies ist also der Punkt B in der obigen Zeichnung.

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Nochmals Ausgabenminimierung… • Die Gesamtausgaben für ein Konsumbündel x,y: E(x,y)= pxx+ pyy • Die Iso-Ausgabenkurven im x-y Raum sind linear und fallen mit Steigung px/py. • Die Ausgaben fallen, wenn man näher an den Ursprung des Koordinatensystems kommt.

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Nochmals Ausgabenminimierung… Ausgabenminimierung: • Die graue Fläche ist das Nebenbedingungsset, also das Set von Konsumgüterbündeln, das mindestens das Nutzenniveau U ermöglicht: U(x,y)≥U. Optimalitätsbedingungen für x und y: • Die Indifferenzkurven sind tangential zu den Isoausgabenkurven, oder

MRS x , y •

px  py

Die Minimalnutzenbeschränkung bindet.

U ( x, y )  U

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Nochmals Ausgabenminimierung… • Formale Lösung des Ausgabenminimierungsproblems: • Problem: min p x  p y u.d .N . U ( x, y )  U x

• Lagrange:

y

L( x, y;  )  p x x  p y y   (U  U ( x, y ))

• BeOs: L  px   U  0; L  p y   U  0; L  U  U ( x, y)  0 x x y y  • Daraus folgt:

U ( x, y ) px  x MRS ( x, y )   U ( x, y ) p y y 6

Nochmals Ausgabenminimierung… • Beispiel: John‘s Nutzenfunktion für Hamburger und Soda war U(h,s)=h·s. • Ursprünglich waren die Preise ph=3 und ps=1 und sein Einkommen M=6. Bei diesen Preisen hat er 1 Hamburger und 3 Soda konsumiert. Nutzen war 3. • Angenommen der Preis für Soda, ps erhöht sich auf 9. • Fragen: Was für ein Einkommen braucht John nun, um das gleiche Nutzenniveau zu behalten? • Wie würde John’s Konsum bei den neuen Preisen und diesem Einkommen aussehen? 7

Nochmals Ausgabenminimierung… • Um weiterhin h=1 und s=3 zu konsumieren, würde er ein Einkommen von pss+ phh=9·3+3·1=30 benötigen. • Allerdings kann er sich bei diesen neuen Preisen auch besser stellen als dies. • Antwort: Ausgabenminimierung • Problem: • Lagrange: 8

Nochmals Ausgabenminimierung… • BeOs: • Lösung: • Bei diesem neuen Optimum substituiert John aus Soda zu Hamburgern. • Gesamtausgaben:

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Kompensierte Nachfrage • Frage: Was ist der günstigste Weg, verschiedene Nutzenniveaus zu erreichen (und wie verändert sich dieser, wenn wir die Preise variieren?) • Antwort: Löse das Ausgabenminimierungssystem für verschiedene Nutzenniveaus. Definiere diese Lösung als Funktion von Preisen und vorgegebenem Nutzen. Diese Lösung ist die „Hicks‘sche“ oder „kompensierte Nachfragefunktion“. • Problem: min p x x  p y y u.d .N . U ( x, y )  U • Die Lösung hängt vom vorgegebenen Nutzenniveau ab.

xc ( p x , p y , U ) und yc ( p x , p y , U ) 10

Kompensierte Nachfrage Auswirkungen einer Preisveränderung auf die kompensierte Nachfrage: • Bei den ursprünglichen Preisen ist die kompensierte Nachfrage A. • Bei den neuen Preisen ist die kompensierte Nachfrage B • Die Differenz zwischen A und B ist der Substitutionseffekt. • Der Konsument wird für den Einkommenseffekt durch die Preisveränderung kompensiert.

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Kompensierte Nachfrage Beispiel: • Finde John‘s kompensierte Nachfrage für Hamburger und Soda. • Problem: •

Lagrange:

•

Optimalitätsbedingung:

•

Lösung:

•

Diese bestimmt die günstigste Art, auf die John den Nutzen von U durch Konsum von Hamburgern und Soda (gegeben die Preise ps und ph) erreichen kann. 12

Die Ausgabenfunktion •

•

Frage: Was sind die minimal notwendigen Ausgaben, um den Nutzen U zu erhalten (und wie verändert sich U mit den Preisen)? Antwort: Die Ausgabenfunktion, definiert als

E ( p x , p y ;U )  p x xc ( p x , p y ;U )  p y yc ( p x , p y ;U ) • • •

Ist eine Funktion der Preise und des gegeben Nutzens U. Ähnliche Idee wie die der indirekten Nutzenfunktion bei Nutzenmaximierungsproblemen. Beispiel: John‘s Ausgabenfunktion ist:

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Kompensierte Nachfrage Kompensierte vs. Marschall‘sche (unkompensierte) Nachfrage: • Eine Preisveränderung beeinflusst die Marschall‘sche Nachfrage durch den Einkommens- und den Substitutionseffekt. • Eine Preisveränderung beeinflusst die kompensierte Nachfrage allein durch den Substitutionseffekt. • Gegeben normale Güter: Der Einkommenseffekt ist negativ, also beeinflussen Preisveränderungen die Marschall‘sche Nachfrage mehr als die kompensierte Nachfrage. • Was ist mit inferioren Gütern? • Was ist mit Giffen Gütern? 14

Kompensierte Nachfrage Marshall‘sche vs. kompensierte Nachfrage für normale Güter:

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Kompensierte Nachfrage Marshall‘sche vs. kompensierte Nachfrage für inferiore Güter:

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Kompensierte Nachfrage Marshall‘sche vs. kompensierte Nachfrage für Giffen Güter:

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Kapitel 5b Konzepte • • • • •

Ausgabenminimierung Iso-Ausgabenkurve Ausgabenfunktion Minimalnutzenbedingung Kompensierte/Hicks‘sche Nachfrage

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