Die Slutsky Gleichung •

Slutsky Gleichung: Der formale Zusammenhang zwischen Einkommens- und Substitutionseffekten:

x xc x  x p x p x M

Kapitel 5c Einkommens- und Substitutionseffekte

•

Teilt den Effekt einer Preisänderung in einen Substitutions- (erster Term) und einen Einkommenseffekt (zweiter Term) auf.

•

Einkommenseffekt: Bei einer Erhöung von px um einen Cent fällt das effektive Einkommen um x Cents.

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Die Slutsky Gleichung

Die Slutsky Gleichung Herleitung der Slutsky Gleichung: • Punkt A kann als Lösung einer Nutzenmaximierung oder einer Ausgabenminimierung gesehen werden. •

Daher:

Durch Ableitung beider Seiten:

•

Oder:

•

Aus dem Umhüllenden-Satz und der Definition von xc folgt:

M  E ( p x , p y ,U ) xc ( p x , p y ;U )  x ( p x , p y , E ( p x , p y , U ))

•

Und aus der Definition:

•

Dies gilt für jeden Punkt A, gegeben das Einkommen M und den Nutzen U.

x xc x E   p x p x M p x

E ( p x , p y , U ) p x

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xc x x E   p x p x M p x

•

 xc ( p x , p y , U )  x( p x , p y , M ) 4

Die Slutsky Gleichung

Die Slutsky Gleichung •

Beweis:

E ( p x , p y ,U )  p x xc ( p x , p y ,U )  p y yc ( p x , p y ,U )

Die BeOs sind:

px  

  ( p x , p y ,U )U  U ( xc ( p x , p y ,U ), yc ( p x , p y ,U )  Ableitung nach px :

•

E ( p x , p y , U )

 U  xc  U  yc     p x     p y   p x    x p y c  x c  p x     U  U ( xc , yc )   xc ( p x , p y , U ) p x

U U  0 ; py    0 ; U ( xc , yc )  U  0 xc yc

Sodass:

E ( p x , p y ,U ) p x

•

 xc ( p x , p y ,U )

Nun haben wir die Slutsky Gleichung:

x xc x  x p x p x M

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Die Slutsky Gleichung

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Die Slutsky Gleichung

Die (Kreuz-) Slutsky Gleichung für den Effekt von py auf x:

Beispiel: John‘s Marshall‘sche Nachfrage nach Hamburgern und Soda ist:

x xc x  y p y p y M

h

Hat die gleiche Intuition wie vorher: Für eine ein-Cent Erhöhung in py reduziert sich das effektive Einkommen des Konsumenten um y Cent. Der Beweis ist ebenfalls analog.

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M M und s  2 ph 2 ps

•

Der Gesamteffekt einer Preisänderung:

•

Der Einkommenseffekt:

•

Der Substitutionseffekt:

s  ps

s  M s s s  ps M  s

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Die Slutzky Gleichung

Dualität Verhältnis zwischen Nutzenmaximierung und Ausgabenminimierung: Für gegebene Preise ist die Lösung einer Nutzenmaximierung für ein M auch die Lösung einer Ausgabenminimierung für ein U. Daher:

Beispiel: • Der Preis von Soda verändert die Nachfrage nach Hamburgern nicht. Daher müssen sich die Einkommensund Substitutionseffekte exakt aufheben. •

Der Einkommenseffekt:

s •

h  M

U  V ( px , p y M )

M  E ( px , p y ,U )

Aus der Slutzky Gleichung ist der Substitutionseffekt gegeben durch:

Ausgabenfunktion und indirekte Nutzenfunktion sind Inverse:

h h s  ps M

V ( p x , p y , E ( p x , p y ,U ))  U und E ( p x , p y ,V ( p x , p y , M ))  M 9

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Dualität

Dualität

Idee: • V(px,py,M) ist der maximale Nutzen aus Einkommen M. → Es ist unmöglich, einen Nutzen über V(px,py,M) mit M zu erreichen. →M ist die minimale Ausgabe, die notwendig ist um den Nutzen V(px,py,M) zu erreichen. Daher:

E ( p x , p y , V ( p x , p y , M ))  M E(px,py,U) ist die minimale Ausgabe, die notwenig ist, um den Nutzenlevel U zu erreichen. → Es ist unmöglich, weniger als E(px,py,U) auszugeben und damit den Nutzenlevel U zu erreichen. → U ist der maximale Nutzenlevel, der mit dem Einkommen E(px,py,M) erreicht werden kann. Daher:

•

x( p x , p y , M )  xc ( p x , p y , V ( p x , p y , M )) xc ( p x , p y , U )  x( p x , p y , E ( p x , p y , U )) •

Die unkompensierte Nachfrage bei einem Einkommen M ist gleich der kompensierten Nachfrage für einen Nutzenlevel von V(px,py,M).

•

Die kompensierte Nachfrage für U ist gleich der unkompensierten Nachfrage bei einem Einkommen E(px,py,U).

•

Shephard‘s Lemma:

•

Gibt den Zusammenhang zwischen NachfrageAusgabenfunktion. Gleiches Argument wie oben.

•

V ( p x , p y , E ( p x , p y , U ))  U

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Verhältnis zwischen Nachfragefunktionen:

E( px , py , M ) px

 xc ( px , py ,U ) und

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Dualität •

Dualität

Roy‘s Identität: Ähnliches Ergebnis für Nutzenmaximierung:

Beispiel: John‘s indirekte Nutzenfunktion und Ausgabefunktion: • Die indirekte Nutzenfunktion: V ( ps , ph , M ) 

V p x( p x , p y , M )   x V M •

• Die Ausgabenfunktion:

E ( p s , ph , U ) 

• Finde die Ausgabenfunktion als Inverse von V:

Zeigt das Verhältnis zwischen der Marschall‘schen Nachfragefunktion und der indirekten Nutzenfunktion.

• Finde die indirekte Nutzenfunktion als Inverse von E: 13

Dualität

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Dualität

Beispiel: John‘s Marschall‘sche und kompensierte Nachfrage. • Wie gezeigt sind die Marschall‘sche und die kompensierte Nachfrage (für Hamburger): p M h( p s , ph , M )  und hc ( ps , ph , U )  U s 2 ph ph •

Kompensierte Nachfrage aus der Marschall‘schen Nachfrage:

•

Die Marschall‘sche aus der kompensierten Nachfrage:

•

Shephard‘s Lemma: 15

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Kapitel 5c Konzepte • • • • • • •

Ausgabenminimierung Hicks‘sche (kompensierte) Nachfrage Ausgabenfunktion Die Slutsky Gleichung Theorem der Umhüllenden Dualität Shephard‘s Lemma und Roy‘s Identität

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