hat. Dann hat zumindest die dritte Ableitung ebenfalls die Nullstelle x 0
mathphys-online Differentialrechnung Graphen mit Flachpunkt und Wendepunkt Quelle: Akademiebericht 468
Theorie Es gibt Funktionen, deren zweite Ablei...
mathphys-online Differentialrechnung Graphen mit Flachpunkt und Wendepunkt Quelle: Akademiebericht 468
Theorie Es gibt Funktionen, deren zweite Ableitung eine mehrfache Nullstelle x 0 hat. Dann hat zumindest die dritte Ableitung ebenfalls die Nullstelle x 0 .
Definition Gegeben sei eine mindestens zweimal differenzierbare Funktion f mit x ∈ Df ⊆ IR .
Eine Stelle x ∈ D heißt Flachstelle von f, wenn gilt: f'' x0 = 0. 0 f Der Punkt
x0 f x0 heißt Flachpunkt.
Ist die Nullstelle der zweiten Ableitung eine Nullstelle mit ungerader Vielfachheit (Nullstelle mit Vorzeichenwechsel), so ist der Flachpunkt ein Wendepunkt. Ist zusätzlich die Nullstelle der zweiten Ableitung auch eine Nullstelle der ersten Ableitung, so gibt es zwei Fälle: (1) f' x0 = 0 und x0 hat ungerade Vielfachheit n 3.
⇒ Der Flachpunkt ist Extrempunkt. (2) f' x0 = 0 und x0 hat gerade Vielfachheit n 2.
⇒ Der Flachpunkt ist Wendepunkt mit horizontaler Tangente, also ein Terrassenpunkt.
Graph: Tangente im Wendepunkt 10
12 2 10
8
8
6
6
y-Achse
y-Achse
6.5
Graph: Tangente im Flachpunkt
12
4
4
2 12 10 8 6 4 2 0 2
2 2
4
12 10 8 6 4 2 0 2
4 x-Achse Graph von f Wendepunkt Tangente
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4 x-Achse Graph von f Graph von f'' Tangente
2
4
mathphys-online Aufgabe 1
4
1
Gegeben ist die Funktion f mit f ( x)
3
2
x 8 x 24 x 20 x 24 und x ∈ IR.
24 a) Untersuchen Sie den Graphen der Funktion auf Flachpunkte. b) Bestimmen Sie die Tangentengleichungen der Tangenten t an den Flachpunkten. c) Beobachten Sie mithilfe des Schiebereglers den Graphen Gf der Funktion f und die Tangenten t und beschreiben Sie den Verlauf der Tangenten an den Graphen in der Umgebung der Flachpunkte. Teilaufgabe a) 4
Funktionsterm:
1. Ableitung:
f ( x)
x
f' ( x)
d
f'' ( x)
2. Ableitung:
3
24
x
2
x
3
3
f ( x)
x
5x 6
1
2
x 2x
dx
6
d
x
5 6
2
f' ( x)
dx
2x 2
2
2
f'' ( x) = 0
Nullstelle der 2. Ableitung:
x0 2
x
2
2 x 2 = 0 auflösen x
2 2
ist zweifache Nullstelle der 2. Ableitung, also keine Wendestelle.
Funktionswert:
4 f x0 3
4
Flachpunkt:
FP 2
3
Teilaufgabe b) t ( x) f' x0 x x0 f x0
Tangentengleichung:
t ( x)
x 2
1 3
Teilaufgabe c) Graph der Funktion mit Flachpunkt 4 3 y-Achse
Die Tangente t berührt Gf. 2
Der Graph verläuft in der Umgebung des Flachpunktes näherungsweise geradlinig.
1 2
1
0
1
2
1 x-Achse
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3
4
5
mathphys-online Aufgabe 2 4
3
2
Gegeben sind die Funktionen f4 ( x) x 8 x 24 x 32 x 18 und 5
4
3
2
f5 ( x) x 10 x 40 x 80 x 80 x 30 mit x ∈ IR. a) Untersuchen Sie die Graphen der Funktionen auf Flachpunkte und charakterisieren Sie diese. b) Bestimmen Sie jeweils die Tangentengleichungen t in den Flachpunkten. c) Zeichnen Sie die Graphen Gf4 und Gf5 und die ermittelten Tangenten. Beschreiben Sie den Verlauf der Graphen in der Umgebung ihrer Flachpunkte. Teilaufgabe a) Funktionsterme: 4
3
2
f4 ( x) x 8 x 24 x 32 x 18 5
4
3
2
f5 ( x) x 10 x 40 x 80 x 80 x 30 1. Ableitung: f'4 ( x)
d
f'5 ( x)
d
dx
dx
3
2
4
3
f4 ( x) 4 x 24 x 48 x 32 2
f5 ( x) 5 x 40 x 120 x 160 x 80
Bedingung für horizontale Tangenten:
3
2
f'4 ( x) = 0 4 x 24 x 48 x 32 = 0
4
3
2
f'5 ( x) = 0 5 x 40 x 120 x 160 x 80 = 0
2. Ableitung: f'' 4 ( x)
d
f'' 5 ( x)
d
dx
dx
2
f'4 ( x) 12 x 48 x 48 3
2
f'5 ( x) 20 x 120 x 240 x 160
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f'' 5 ( x) = 0 20 x 120 x 240 x 160 = 0
2 xF5 f'' 5 ( x) = 0 2 2
x0 ist zweifache Nullstelle von f4 '':
x0 ist dreifache Nullstelle von f5 '':
Flachpunkt mit horizontaler Tangente, kein Wendepunkt, also Extrempunkt.
Flachpunkt mit horizontaler Tangente, Wendepunkt, also Terrassenpunkt.
3
2
Teilaufgabe b) f'4 ( 2) 0
f'5 ( 2) 0
t4 ( x) f'4 ( 2) ( x 2) f4 ( 2)
t5 ( x) f'5 ( 2) ( x 2) f5 ( 2)
t4 ( x) 2
t5 ( x) 2
Teilaufgabe c)
Die Tangente berührt den Graphen.
Die Tangente durchsetzt den Graphen. Graph zu f5 5
4
4
3
3 y-Achse
y-Achse
Graph zu f4 5
2
2
1
2
1
1
0
1
1
2
3
4
2
1
0
1
1 x-Achse
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x-Achse
2
3
4
mathphys-online Aufgabe 3
1 5 4 3 2 2 x 35 x 200 x 520 x mit x ∈ IR. 900 a) Untersuchen Sie die Graphen der Funktionen auf Flachpunkte und charakterisieren Sie diese. b) Bestimmen Sie jeweils die Tangentengleichungen t in den Flachpunkten. c) Zeichnen Sie den Graphen Gf der Funktionen fi und die ermittelten Tangenten. Gegeben sind die Funktionen f ( x)
doppelte Nullstelle an der Stelle x1 2 , also Flachpunkt (x1 /f(x1 )).
x2 xF 3
einfache Nullstelle an der Stelle x2 6.5 , also Wendepunkt (x 2 /f(x2 )).
Teilaufgabe b) Tangente im Flachpunkt: 32 x 76 tFP ( x) [ f' ( 2) ( x 2) f ( 2) ] 45 225 Die Tangente berührt den Graphen, die Krümmung ändert sich nicht. Tangente im Wendepunkt:
13 x 13 f 13 3211 x 107653 tWP ( x) f' 1440 2 14400 2 2 Die Tangente durchsetzt den Graphen, die Krümmung ändert sich.
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mathphys-online Teilaufgabe c)
Graph: Tangente im Wendepunkt 10
12 2 10
8
8
6
6
y-Achse
y-Achse
6.5
Graph: Tangente im Flachpunkt
12
4
4
2 12 10 8 6 4 2 0 2
2 2
4
12 10 8 6 4 2 0 2
4 x-Achse Graph von f Graph von f'' Tangente Wendepunkt
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4 x-Achse Graph von f Graph von f'' Tangente Flachpunkt
