GRUNDWISSEN MATHEMATIK

JOHANNES-NEPOMUK-GYMNASIUM

6 Grundwissenskatalog G8-Lehrplanstandard

Basierend auf den Grundwissenskatalogen des Rhöngymnasiums Bad Neustadt und des Kurt-Huber-Gymnasiums Gräfelfing

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Grundwissen Mathematik

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1 Bruchteile und Bruchzahlen Grundbegriffe Brüche haben die Form nz („Teile das Ganze in n gleiche Teile und nimm z von diesen Teilen“) z heißt der Zähler, n der Nenner des Bruches.

Unechte Brüche (z > n) kann man in gemischte Zahlen umwandeln Bsp.: 74  1 34 . Zu jeder Bruchzahl gehören unendlich viele verschiedene Brüche Bsp.:

1 3



2 6



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3 9

z

. Der Bruchstrich ersetzt das Divisionszeichen z : n = n .

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Erweitern und Kürzen Erweitern eines Bruches bedeutet: Zähler und Nenner werden mit derselben natürlichen Zahl multipliziert. z n



z k n k

, k  IN Bsp.: 34 

33 43

9  12

Kürzen eines Bruches bedeutet: Zähler und Nenner werden durch einen gemeinsamen Teiler k dividiert. z n



z:k n:k

, k  IN Bsp.:

14 21

:7  14  21:7

2 3

Durch Kürzen und Erweitern wird der Wert des Bruches nicht verändert. Alle Brüche, die zum selben Punkt auf der Zahlengeraden gehören, haben denselben Wert, dieser heißt Bruchzahl. Die Bruchzahlen und ihre Gegenzahlen bilden (mit der Null) die Menge der rationalen Zahlen 

Anordnung der Bruchzahlen Von zwei Brüchen mit gleichem Zähler ist derjenige der größere, 4  74 der den kleineren Nenner hat. Bsp.: 9 Von zwei Brüchen mit gleichem Nenner ist derjenige der größere, 3 der den größeren Zähler hat. Bsp.:  75 7 Brüche mit verschiedenen Nennern bringt man vor dem Vergleichen durch Erweitern auf einen gemeinsamen Nenner.

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Addieren und Subtrahieren Brüche mit gleichem Nenner werden addiert (subtrahiert), indem man die Zähler addiert (subtrahiert) und den Nenner beibehält. Bsp.:

3 4 11 11

7  11 ,

7 3 13 13

4  13

Brüche mit verschiedenen Nennern erweitert man zuerst auf einen 3 5 2 gemeinsamen Nenner. Bsp.: 14  16  12  12  12

Multiplizieren und Dividieren Bruch  Bruch 

Bsp.:

3 8

 14 15 

Zähler  Zähler Nenner Nenner

17 45



7 20

(Vorher kürzen!)

Gemischte Zahlen müssen vor dem Multiplizieren in Brüche verwandelt werden. Bruch : Bruch = Bruch a b

: dc  ab  dc

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Bsp.:

 Kehrbruch

3 14

37 : 76  14  6

11 22



1 4

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Bruchteile Das Wort “von“ wird nach einem Bruch durch „  “ ersetzt. Bsp.:

2 5

von 83 kg  52  83 kg  5134 kg  203 kg

Relative Häufigkeit Florian würfelt 80 mal, dabei erhält er 17 mal die Sechs. 17 heißt absolute Häufigkeit der Sechs,

17

relative Häufigkeit.

80

2 Dezimalzahlen Zahlen wie z.B. 1,356 heißen Dezimalbrüche. Dabei bedeutet die 1.(2.,3.,...) Stelle hinter dem Komma Zehntel (Hundertstel, Tausendstel,....).Die Ziffern hinter dem Komma heißen Dezimalen. 4  Bsp.: 0,04 = 100

1 25

;

234 1,234= 1 1000  1 117 500

Runden von Dezimalbrüchen Ist die erste wegzulassende Ziffer 0 ,1, 2, 3, 4, so wird abgerundet, ist sie 5, 6, 7, 8, 9, so wird aufgerundet. Seite 5 von 11

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Bsp.: Runden auf: 3,4564

1 Dez. 3,5

2 Dez. 3,46

3 Dez. 3,456

Addition und Subtraktion Addition (Subtraktion) der Stellen gleichen Wertes Bsp.: 3,76 + 4,325 = 8,085

Multiplikation und Division mit Zehnerpotenzen Verschieben des Kommas um so viele Stellen nach rechts (links), wie die Stufenzahl Nullen hat. Bsp.: 2,04  1000 = 2040;

14,73 : 100 = 0,1473

Multiplikation von Dezimalbrüchen Die Kommas bleiben beim Multiplizieren zunächst unberücksichtigt. Das Ergebnis erhält so viele Dezimalen, wie die Faktoren zusammen haben. Bsp.: 9,2  0,02  0,184 (rechne zunächst: 92 ∙ 2 = 184)

Division durch eine natürliche Zahl Vor dem Herabholen der 1. Ziffer hinter dem Komma wird im Ergebnis das Komma gesetzt. Bsp.: 9,2 : 8 = 1,1

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Division durch einen Dezimalbruch Beim Dividenden und Divisor darf das Komma um gleich viele Stellen in die gleiche Richtung verschoben werden. Das Komma wird so weit verschoben, bis der Divisor eine natürliche Zahl ist. Bsp.: 2,56 : 1,6 = 25,6: 16 = 1,6

Umformen gewöhnlicher Brüche in Dezimalbrüche z = z:n ergibt einen endlichen oder unendlichen periodischen n Dezimalbruch. Die sich wiederholende Ziffernfolge heißt Periode.

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3 Flächen- und Rauminhalt c

. .

Parallelogramm:

ha

d

b

hb

AP  a  ha  b  hb ;

.

. a

Der Abstand zweier paralleler Seiten heißt Höhe. C

Dreieck AD  21  a  ha 

.

b

hb

 21  b  hb   21  c  hc ;

ha A

.

.

a

hc

c

B

Dreiecke mit gleicher Grundlinie und Höhe haben denselben Flächeninhalt

Trapez



.

A T  21  (a  c)  h 

. c

d

m

b

h .

m  h; a

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Volumeneinheiten: mm3  cm3  dm3  m3 Umrechnungszahl 1000 bzw. Komma verschiebt sich um 3 Stellen 1 ℓ = 1 dm3 Bsp: 123 456 cm3 = 123,456 dm3 = 123 dm3 456 cm3 1m3 2dm3 34 cm3 = 1 002 034 cm3 =1,002034 m3

Volumen des Quaders h

VQ = l  b  h = G  h

b l

l = Länge, b = Breite, h = Höhe, G = l  b Grundfläche

Volumen des Würfels

Vw = s3 s = Seitenlänge Seite 9 von 11

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4 Prozentrechnung Prozent  Hundertstel  5  Bsp.: 5% =  100 0,05

1 20

 25  25% =  100 0,25

1 4

Prozentsatz, Grundwert, Prozentwert Anteile werden häufig in Prozent angegeben. p% = Es gilt: p% von GW =

p 100

 GW = PW,

p 100

also: p%  PW GW

p% = Prozentsatz, GW = Grundwert, PW = Prozentwert Dem Grundwert entsprechen immer 100%.

a) Eine Ware kostet 50,00 € und wird um 16% verteuert. 100%  50,00 € 1% 50,00€ : 100 = 0,5 € 116%  0,5 € ∙ 116 = 58,00 € Die Ware kostet jetzt 58 €.

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b) Eine Ware kostet 58,00 € und wird um 16% verbilligt. 100%  58,00 € 1% 58,00€ : 100 = 0,58 € 84%  0,58 € ∙ 84 = 48,72 € Die Ware kostet jetzt 48,72 €.

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Grundwissen Mathematik c) Eine Ware wird von 50 € auf 58 € verteuert. 50 €  100% 1 €  100% : 50 = 2% 8 €  2% ∙ 8 = 16% Die Preiserhöhung beträgt 16%.

Oder mit Formel: p% 

PW 8 €   0,16  16% GW 50 €

Schlussrechnung (Dreisatz) Bsp.: Benzinverbrauch Kosten Bsp.: 7   7,84 € 1   7,84 € : 7 = 1,12 € 20  22,40 € Bsp.: Anzahl der Arbeiter Arbeitszeit Bsp.:

7 A.  40 h 1 A.  7∙40 h = 280 h 5 A.  280 h : 5 = 56 h

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