Grundwissen Mathematik 1

Herausgeber G. Hiimmerlin, F. Hirzebruch, M. Koecher, K.Lamotke (wissenschaftliche Redaktion), R.Remmert,W. Walter

H.-D. Ebbinghaus H. Hermes F. Hirzebruch M. Koecher K. Mainzer A. Prestel R. Remmert Redaktion: K. Lamotke

Zahlen Mit 31 Abbildungen

Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York Tokyo 1983

Heinz-Dieter Ebbinghaus Mathematisches Institut, UniversitlH Freiburg AlbertstraBe 23b, D-7800 Freiburg Hans Hermes Mathematisches Institut, UniversitlH Freiburg AlbertstraBe 23b, D-7800 Freiburg Friedrich Hirzebruch Max-Planck-Institut fUr Mathematik Gottfried-Claren-StraBe 26, D-5300 Bonn 3 Max Koecher Mathematisches Institut, Universitat MUnster EinsteinstraBe 62, D-4400 MUnster Klaus Mainzer Philosophische Fakultat, Universitat Konstanz Postfach 5560, D-7750 Konstanz Alexander Pres tel Fakultat fUr Mathematik, Universitat Konstanz Postfach 5560, D-7750 Konstanz Reinhold Remmert Mathematisches Institut, Universitat MUnster EinsteinstraBe 62, D-4400 MUnster

CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek Zahlen/H.-D. Ebbinghaus ... Red.: K. Lamotke. - Berlin; Heidelberg; New Youk; Tokyo: Springer, 1983. (Grundwissen Mathematik; 1) ISBN-13: 978-3-540-12666-9 DOl: 10.1007/978-3-642-96783-2

e-ISBN-13: 978-3-642-96783-2

NE: Ebbinghaus, Heinz-Dieter [Mitverf.]; GT Das Werk ist urheberrechtlich geschiitzt. Die dadurch begriindeten Rechte, insbesondere die der Obersetzung, des Nachdruckes, der Entnahme von Abbildungen, der Funksendung, der Wiedergabe auf photomechanischem oder ahnlichem Wege und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung vorbehalten. Die Vergiitungsanspriiche des § 54, Abs. 2 U rhG werden durch die" Verwertungsgesellschaft Wort", Miinchen, wahrgenommen.

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1983 Satz: Buchdruckerei Dipl.-Ing. Schwarz' Erben KG, Zwettl. 2144/3140-543210

Vorwort

Das Grundwissen Mathematik, welches jeder Mathematiker im Laufe seines Studiums erwirbt, wird erst durch die Vielfalt von Beztigen zwischen den einzelnen mathematischen Theorien zu einem einheitlichen Ganzen. Querverbindungen zwischen den Einzeldisziplinen lassen sich oft durch die historische Entwicklung aufzeigen. Es ist ein Leitgedanke dieser Reihe, dem Leser deutlich zu machen, daB Mathematik nicht aus isolierten Theorien besteht, die nebeneinander entwickelt werden, sondern daB vielmehr Mathematik als Ganzes angesehen werden muB. Das vorliegende Buch tiber Zahlen weicht von den weiteren minden dieser Reihe dadurch ab, daB hier sieben Autoren und ein Redakteur dreizehn Kapitel zusammentrugen. In Gesprachen miteinander stimmten die Verfasser ihre Beitrage aufeinander ab, und der Redakteur bemtihte sich, diese Harmonisierung durch kritische Lektlire und Rticksprache mit den Autoren zu fordern. Die anderen Bande dieser Reihe konnen unabhangig yom vorliegenden Band studiert werden. Es ist nicht moglich, an dieser Stelle alle Kollegen zu nennen, die uns durch Hinweise unterstlitzten. Hervorheben mochten wir jedoch Herrn Gericke (Freiburg), der vielfach half, die historische Entwicklung richtig darzustellen. K. Peters (damals Springer-Verlag) hatte erheblichen Anteil daran, daB die ersten Herausgeber- und Autorentreffen zustande kamen. Diese Zusammenktinfte wurden durch die finanzielle Untersttitzung der Stiftung Volkswagenwerk und des Springer-Verlages sowie durch die Gastfreundschaft des Mathematischen Forschungsinstitutes in Oberwolfach ermoglicht. Ihnen allen gilt unser Dank. Oberwolfach, im Juli 1983

Autoren und Herausgeber

Inhal tsverzeichnis

Einleitung, K. Lamotke

Teil A. Von den natiirlichen zu den komplexen Zahlen

7

Kapitel 1. Natiirliche, ganze und rationale Zahlen, K. Mainzer

9

§ 1. Historisches

9

...................

1. Agypten und Babylonien, 2. Griechenland, 3. Indisch-arabische Rechenpra-

xis, 4. Neuzeit

§ 2. Natiirliche Zahlen

13

1. Definition der natUrlichen Zahlen, 2. Rekursionssatz und Einzigkeit von IN,

3. Addition, Multiplikation 4. PEANOS Axiome

und

Anordnung der natUrlichen Zahlen,

§ 3. Ganze Zahlen

18

1. Die additive Gruppe lL, 2. Der IntegriHitsring lL, 3. Die Anordnung in lL

§ 4. Rationale Zahlen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

20

1. Historisches, 2. Der Karper