Grundwissen Mathematik Version 0.3.5c Aktualisiert am 17.06.2017
Bernhard Grotz
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[email protected] Augsburg, den 17. Juni 2017. Bernhard Grotz
Inhaltsverzeichnis Logik
1
Satz und Aussage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Verknüpfungen von Aussagen
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Variablen, Terme und Aussageformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Direkte und indirekte Beweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Mengenlehre
10
Mengen und ihre Eigenschaften
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
Darstellung von Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
Teilmenge und Obermenge
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
Mengenoperationen
Die Mächtigkeit von Mengen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
Abbildungen, Funktionen, Relationen und Operationen . . . . . . . . . . . . . .
16
Abbildungen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
Funktionen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
Relationen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
Operationen
Algebraische Strukturen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Arithmetik
22
23
Die Einteilung der Zahlen Natürliche Zahlen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
Ganze Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
Rationale Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
Reelle Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
Grundrechenarten und Rechenregeln
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ziffern und Zahlen im Dezimalsystem
33
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
Klammern und Reihenfolge der Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
Rechengesetze für die Grundrechenarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
Binomische Formeln
39
Die vier Grundrechenarten
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Beträge und Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bruchrechnung
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40 41
Erweitern und Vereinfachen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
Rechenregeln für Bruchterme
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
Prozentrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
Potenzen, Wurzeln und Logarithmen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
46
Rechenregeln für Potenzen und Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
Rechenregeln für Logarithmen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
Folgen und ihre Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
Reihen und ihre Eigenschaften
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
Folgen und Reihen
Zinsrechnung
Einfache Verzinsung
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
Zinseszinsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
Exkurs: Teilbarkeit und Primzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
Exkurs: Zahlensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
Exkurs: Komplexe Zahlen
67
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Elementare Algebra
71
Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eigenschaften von Gleichungen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Beispiele für Gleichungen mit einer Variablen
71 71
. . . . . . . . . . . . . . . .
74
Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
Lineare Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
Quadratische Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
Betragsungleichungen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
Bruchungleichungen
Grundlegende Lösungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
Der Gauss’sche Lösungsalgorithmus
95
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Elementare Geometrie
98
Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Punkt, Gerade, Strecke und Strahl Parallelität und Winkel Planimetrie
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98 98
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Grundkonstruktionen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Abbildungen innerhalb einer Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Symmetrie
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Dreiecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Vierecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 Regelmäßige Vielecke
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Kreis und Ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Strahlensätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 Trigonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 Stereometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 Quader, Würfel und Prisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Pyramide und Pyramidenstumpf
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
Kugel und Kreiszylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 Kreiskegel und Kreiskegelstumpf Koordinatensysteme
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
Analysis
141
Eigenschaften von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 Definitions- und Wertemenge
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
ii
Darstellungen von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 Surjektivität, Injektivität und Bijektivität . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 Umkehrbarkeit einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 Monotonie und Beschränktheit Grenzwerte einer Funktion
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 Nullstellen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
Verknüpfung und Verkettung von Funktionen
. . . . . . . . . . . . . . . . 154
Elementare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 Potenz- und Wurzelfunktionen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
Ganz- und gebrochenrationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 Exponential- und Logarithmusfunktionen Trigonometrische Funktionen Differentialrechnung
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
Differenzen und Differentiale
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
Ableitungen von Potenz- und Wurzelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . 184 Ableitungen von ganz- und gebrochenrationalen Funktionen
. . . . . . . . 193
Ableitungen von Exponential- und Logarithmusfunktionen . . . . . . . . . 195 Ableitungen von trigonometrischen Funktionen Zusammenfassung wichtiger Ableitungsregeln
. . . . . . . . . . . . . . . 197
. . . . . . . . . . . . . . . . 199
Kurvendiskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 Extremwertaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 Integralrechnung
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
Integrierbarkeit und Stammfunktion
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
Grundintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 Zusammenfassung wichtiger Integrationsregeln Integrationsmethoden
. . . . . . . . . . . . . . . 213
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
Lineare Algebra und analytische Geometrie
216
Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 Darstellung von Vektoren
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
Addition und Subtraktion von Vektoren
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
Multiplikation von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 Strecken und Geraden
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
Strecken und Teilverhältnisse Geraden in einer Ebene
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 Rechenregeln für Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 Wirkungsweise von Matrizen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
Matrizengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 Determinanten
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
Stochastik
251
Zufallsexperimente und Ereignisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 Wahrscheinlichkeitsmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 Die relative Häufigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 Die Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 Permutationen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
iii
Variationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 Kombinationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 Bedingte Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 Bernoulli-Experimente
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
Beschreibende Statistik Statistische Mess-Skalen
264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
Graphische Darstellungen statistischer Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 Umgang mit ungenauen Messwerten
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
Mittelwerte und Streuungsmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 Mittelwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 Streuungsmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
Übungsaufgaben und Lösungen Übungsaufgaben
275
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
Aufgaben zur Logik
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
Aufgaben zur Mengenlehre Aufgaben zur Arithmetik
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
Aufgaben zur elementaren Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 Aufgaben zur elementaren Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 Aufgaben zur Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 Aufgaben zur Linearen Algebra und analytischen Geometrie . . . . . . . . 285 Aufgaben zur Stochastik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 Aufgaben zur Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 Lösungen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
Lösungen zur Logik
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
Lösungen zur Mengenlehre Lösungen zur Arithmetik
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
Lösungen zur elementaren Algebra
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
Lösungen zur elementaren Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 Lösungen zur Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 Lösungen zur Linearen Algebra und analytischen Geometrie . . . . . . . . 310 Lösungen zur Stochastik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 Lösungen zur Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
Links und Quellen
314
Literaturverzeichnis
320
iv
Logik Die (Aussagen-)Logik ist für sämtliche Teilbereiche der Mathematik von grundlegender Bedeutung.
Satz und Aussage Lässt sich einem Satz
𝐴
ein Wahrheitswert (𝑤
= wahr
oder
𝑓 = falsch)
eindeutig zuord-
nen, so wird dieser Satz zu einer Aussage. Als Darstellungsform für den Wahrheitswert von Aussagen wählt man häufig so genannte “Wahrheitstafeln”. Dabei werden spaltenweise die Wahrheitswerte der in der Kopfzeile angegebenen Aussage(n) aufgelistet.
𝑓 𝐴𝑓 𝑓 𝑤𝑓 𝑓𝑓𝑓
Beispiele:
Der Satz “ 1
Der Satz “ 9 ist eine Primzahl” ist eine falsche Aussage.
Der Satz “ Die Donau fließt ins schwarze Meer” ist eine wahre Aussage.
Der Satz “ Es ist spät” ist keine Aussage, da ihm kein Wahrheitswert zugeordnet
+ 2 = 3”
ist eine wahre Aussage.
werden kann. Ein Satz ist auch dann eine Aussage, wenn sein Wahrheitswert zum gegebenen Zeitpunkt nicht feststellbar ist. Beispielsweise handelt es sich bei dem Satz “Am 3. April 1650 regnete es in Berlin.” ebenfalls um eine Aussage, auch wenn sich ihr Wahrheitswert mit großer Wahrscheinlichkeit nicht mehr feststellen lässt.
Negation einer Aussage Durch Verneinen einer Aussage
𝐴
𝐴
entsteht eine Aussage
¬𝐴,
die Negation der Aussage
¬𝐴 stets vom 𝐴 abhängt, hat die entsprechende Wahrheitstafel
genannt wird. Da der konkrete Wahrheitswert einer negierten Aussage
Wahrheitswert der eigentlichen Aussage zwei Spalten.
1
Tab. 1: Wahrheitstafel der Konjunktion
𝑓 𝐴1 𝑓 𝑓 𝑤𝑓 𝑓 𝑤𝑓 𝑓𝑓𝑓 𝑓𝑓𝑓
𝑓 𝐴1 ∧ 𝐴2 𝑓 𝑓 𝑓 𝑓 𝑤𝑓 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓
𝑓 𝐴2 𝑓 𝑓 𝑤𝑓 𝑓𝑓𝑓 𝑓 𝑤𝑓 𝑓𝑓𝑓 𝑓 𝐴𝑓 𝑓 𝑤𝑓 𝑓𝑓𝑓
𝑓 ¬𝐴𝑓 𝑓𝑓𝑓𝑓 𝑓 𝑓 𝑤𝑓
Die Negation einer wahren Aussage ist falsch, die einer falschen ist wahr; insbesondere entspricht die doppelte Negation einer Aussage
¬(¬𝐴)
der ursprünglichen Aussage
𝐴.
Beispiele: 𝐴:
“Die Geraden
¬𝐴:
𝑔
“Die Geraden
¬(¬𝐴):
und
𝑔
ℎ
und
schneiden sich.”
ℎ
schneiden sich nicht.”
“Es ist nicht wahr, dass die Geraden
𝑔
und
ℎ
sich nicht schneiden.”
Verknüpfungen von Aussagen Mit Hilfe von Bindewörtern wie “und”, “oder”, “genau dann, wenn” usw. lassen sich mehrere (Teil-)Aussagen zu einer zusammengesetzten Aussage verknüpfen. In der Logik lassen sich mit Hilfe der folgenden Aussage-Funktionen
zwei (oder mehrere) Aussagen zu einer neuen
Aussage formen.
Die Konjunktion Verknüpft man zwei Aussagen tion der Aussagen
𝐴1
und
𝐴2 ,
𝐴1
und
𝐴2
durch das Wort “und”, so entsteht die Konjunk-
symbolisch mit
𝐴1 ∧ 𝐴2
bezeichnet.
Eine Konjunktion zweier Aussagen ist somit nur wahr, wenn beide (Teil-)Aussagen wahr sind.
Beispiele:
Die Konjunktion der wahren Aussage
𝐴2 “ 8 ist durch 3 teilbar” und durch 3 teilbar”.
Aussage Zahl
𝐴1 “ 8
ist eine gerade Zahl” mit der falschen
ist die falsche Aussage
𝐴1 ∧ 𝐴2
: “ 8 ist eine gerade
Die falsche Aussage “Der Mars ist ein Gasplanet und hat eine größere Masse als die Erde” ist eine Konjunktion der falschen Aussagen “Der Mars ist ein Gasplanet” und “Der Mars hat eine größere Masse als die Erde”.
2
Tab. 2: Wahrheitstafel der Adjunktion
𝑓 𝐴1 𝑓 𝑓 𝑤𝑓 𝑓 𝑤𝑓 𝑓𝑓𝑓 𝑓𝑓𝑓
𝑓 𝐴1 ∨ 𝐴2 𝑓 𝑓 𝑓 𝑓 𝑤𝑓 𝑓 𝑓 𝑓 𝑤𝑓 𝑓 𝑓 𝑓 𝑤𝑓 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓
𝑓 𝐴2 𝑓 𝑓 𝑤𝑓 𝑓𝑓𝑓 𝑓 𝑤𝑓 𝑓𝑓𝑓
Tab. 3: Wahrheitstafel der Implikation
𝑓 𝐴1 𝑓 𝑓 𝑤𝑓 𝑓 𝑤𝑓 𝑓𝑓𝑓 𝑓𝑓𝑓
𝑓 𝐴2 𝑓 𝑓 𝑤𝑓 𝑓𝑓𝑓 𝑓 𝑤𝑓 𝑓𝑓𝑓
𝐴1
𝐴2
𝑓 𝐴1 ⇒ 𝐴2 𝑓 𝑓 𝑓 𝑓 𝑤𝑓 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓 𝑓 𝑓 𝑓 𝑤𝑓 𝑓 𝑓 𝑓 𝑤𝑓
Die Adjunktion Verknüpft man zwei Aussagen tion der Aussagen
𝐴1
und
𝐴2 ,
und
durch das Wort “oder”, so entsteht die Adjunk-
symbolisch mit
𝐴1 ∨ 𝐴2
bezeichnet.
Die Adjunktion ist somit wahr, wenn eine der beiden Aussagen wahr ist (oder beide wahr sind).
Beispiele:
Die Adjunktion der wahren Aussage wahre Aussage
0 0)
88
beziehungsweise
𝑇1 < 𝑇2
⇔
𝑇1 · 𝑇 > 𝑇2 · 𝑇
(𝑇 < 0)
𝑇1 < 𝑇2
⇔
𝑇1 : 𝑇 > 𝑇2 : 𝑇
(𝑇 < 0)
Werden neben den vier grundlegenden Rechenoperationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) weitere Rechenoperationen (beispielsweise Potenzieren, Wurzelziehen oder Logarithmieren) angewendet, so sind wiederum zusätzliche Überlegungen nötig.
Lineare Ungleichungen Eine Ungleichung heißt linear, wenn sie in folgender allgemeiner Form dargestellt werden kann:
𝑎·𝑥+𝑏 − 𝑎𝑏 .
𝑥 < − 𝑎𝑏 ,
(61)
falls
𝑎>0
ist. Wenn andernfalls
(Die Division durch eine negative Zahl dreht das Ungleichungszeichen um.)
Beispiel :
Für welche
𝑥-Werte
gilt die folgende Ungleichung?
3 · 𝑥 − 4 < −5 · 𝑥 + 9 Zunächst wird die Gleichung in die allgemeine Form
𝑎·𝑥+𝑏 2 𝑆2 . Die Verbindungslinie dieser beiden Schnittpunkte halbiert die Strecke AB.
Eine Senkrechte zu einer Strecke
P
AB
errichten, die durch einen bestimmten Punkt
auf der Strecke verläuft:
103
Abb. 34: Halbierung einer Strecke durch geometrische Konstruktion.
P
Zunächst zeichnet man um den Punkt
einen Kreis mit beliebigem Radius
S1 Punkt P
Anschließend zeichnet man um die beiden Schnittpunkte
𝑟2 > 𝑟1 . Die Strecke vom Schnittpunkte S3 und S4 entspricht der
Kreise, jeweils mit Radius sich ergebenden
und
S2
𝑟1 .
zwei weitere
zu einem der beiden
gesuchten Senkrechten.
Abb. 35: Konstruktion einer Senkrechten zu einer Strecke durch einen bestimmten Punkt auf der Strecke.
Eine Senkrechte zu einer Strecke
AB
errichten, die durch einen externen Punkt
P
verläuft: Zunächst zeichnet man um den Punkt die Strecke in den Punkten die beiden Schnittpunkte Die Strecke vom Punkt
P
S1
S1
und
und
S2
S2
P
𝑟1 ,
so dass dieser
zwei weitere Kreise, jeweils mit Radius
𝑟2 > 𝑟1 .
zu einem der beiden sich ergebenden Schnittpunkte, vor-
zugsweise zum gegenüber liegenden Punkt
einen Kreis mit Radius
schneidet. Anschliessend zeichnet man um
Eine Parallele zu einer Strecke
S3 , entspricht der gesuchten Senkrechten.
AB errichten, die durch einen externen Punkt P geht:
P ausgehende Halbgerade, welche die Strecke S1 einen Kreis mit Radius |PS1 |. Zeichne anschließend vom Schnittpunkt S2 dieses Kreises mit
Zunächst zeichnet man eine vom Punkt in einem (beliebigen) Punkt
S1
schneidet. Anschließend zeichnet man um
der Halbgeraden eine weitere Halbgerade durch einen anderen (beliebigen) Punkt
S3 auf der Strecke. Ein Kreis um S3 mit dem Radius |S2 S3 | liefert den Schnittpunkt S4 . Die Gerade entlang PS4 entspricht schließlich der gesuchten Parallele.
104
Abb. 36: Konstruktion einer Senkrechten zu einer Strecke durch einen bestimmten Punkt außerhalb der Strecke.
Abb. 37: Konstruktion einer Parallelen zu einer Strecke.
105
Hat man nicht nur einen Zirkel und ein Lineal, sondern zusätzlich ein KonstruktionsDreieck, so kann man auch dieses nutzen, um eine parallele Gerade zu konstruieren: Man legt zunächst das Dreieck mit einer Seite entlang der Geraden an; anschließend legt man das Lineal entlang einer der beiden anderen Dreieckseiten an. Verschiebt man nun das Dreieck längs des Lineals, so kann man entlang der Dreieckseite, die entlang der ursprünglichen Gerade verlief, unmittelbar eine parallel verlaufende Strecke zeichnen.
Abb. 38: Konstruktion einer Parallelen mittels Lineal und Dreieck.
Einen Winkel halbieren: Zunächst zeichnet man um den Scheitelpunkt des Winkels einen Kreis mit beliebigem Radius, der die Winkelschenkel in den Punkten
S1
und
S2
schneidet. Um diese
zeichnet man anschließend zwei weitere Kreise mit gleichem Radius. Der Schnittpunkt
S3 dieser beiden Kreise liefert, verbunden mit dem Scheitelpunkt des Winkels,
die gesuchte Winkelhalbierende.
Abb. 39: Konstruktion einer Winkelhalbierenden.
Abbildungen innerhalb einer Ebene Durch eine geometrische Abbildung entsteht aus einer Original-Figur eine neue Figur innerhalb der gleichen Ebene (beziehungsweise innerhalb des gleichen Raumes im dreidimensionalen Fall). Fasst man eine geometrische Form als Menge ihrer Punkte auf, so ist eine geometrische Abbildung formal mit einer
106
Abbildung von Mengen
identisch.
Ähnlichkeitsabbildungen Bei einer Ähnlichkeitsabbildung bleibt die Form einer geometrischen Figur erhalten, ihre Größe ändert sich jedoch. Grundlegend ist hierbei die so genannte “zentrische Streckung”. Um eine zentrische Streckung zu beschreiben, geht man von einem bestimmten Punkt Streckungszentrum aus. Zeichnet man von
Z als
Z aus durch jeden Punkt P einer geometrischen
einen Strahl und zeichnet auf diesem in der jeweils 𝜆-fachen Entfernung einen ′ ′ neuen Punkt P ein, so erhält man eine zweite Figur 𝐹 , die gegenüber der Original-Figur Figur
𝐹
verschoben und
𝜆-mal
1
so groß erscheint.
Abb. 40: Beispiel einer zentrischen Streckung mit
Der Faktor Für
𝜆
𝜆
𝜆 > 1.
wird Skalierungsfaktor (umgangssprachlich auch als “Maßstab”) genannt.
ergibt sich folgender Zusammenhang:
ZP′ = 𝜆 · ZP
⇔
𝜆=
ZP′ ZP
𝜆 > 0, so bleibt die Orientierungsrichtung der Figur, also der Umlaufsinn ihrer Punkte, erhalten. Gilt 1 > 𝜆 > 0, so wird die Figur verkleinert (“gestaucht”), im Fall 𝜆 > 1 wird sie vergrößert (“gestreckt”). Für 𝜆 = 1 wird die Figur identisch auf sich selbst abgebildet. Ist
Ist
𝜆 < 0,
so liegt die Bildfigur
liegenden Seite des Zentrums
|𝜆| < 1,
𝐹′
Z;
im Vergleich zur Originalfigur
𝐹
auf der gegenüber
ihre Orientierungsrichtung bleibt dabei erhalten. Gilt
so wird auch hierbei die Figur verkleinert beziehungsweise im Fall
|𝜆| > 1
vergrößert. Bei jeder Ähnlichkeitsabbildung einer Figur
𝐹
auf eine Figur
𝐹′
haben einerseits alle ent-
sprechenden Strecken das gleiche Größenverhältnis 𝜆, andererseits bleiben die Größen aller ′ Winkel der Figur 𝐹 in der Figur 𝐹 erhalten. Beide Kriterien können auch genutzt werden,
Relation
um “Ähnlichkeit” als eine zwischen zwei Figuren aufzufassen: Zwei Figuren 𝐹 und ′ 𝐹 sind genau dann einander ähnlich, wenn sie in ihren Winkeln übereinstimmen und die entsprechenden Strecken im gleichen Maßstab zueinander stehen. In der mathematischen ′ Kurzform schreibt man hierfür 𝐹 ∼ 𝐹 .
1 In der analytischen Geometrie werden Skalierungen von geometrischen Objekten rechnerisch mittels
Skalierungsmatrizen
beschrieben.
107
Abb. 41: Beispiel einer zentrischen Streckung mit
𝜆 = − 12 .
Kongruenzabbildungen Als Kongruenzabbildung oder “Bewegung” wird jede Abbildung bezeichnet, bei der die Original-Figur und ihr Abbild in Form und Größe übereinstimmen, sich also nur die Lage der Figur im Raum verändert. Lässt sich eine geometrische Figur durch eine beliebige Anzahl von Bewegungen deckungsgleich in eine andere Figur überführen, so nennt man die beiden Figuren kongruent; kongruente Figuren haben stets gleich lange Strecken und 2
gleich große Winkel.
Die vier möglichen Kongruenzabbildungen werden im Folgenden kurz aufgelistet:
Translation einer geometrischen Figur Um eine Verschiebung (“Translation”) zu beschreiben, geht man von einem Vektor für deren Länge
𝑣 = |⃗𝑣 |
gelten soll. Trägt man an jedem Punkt
Figur einen ebenso langen, zu
⃗𝑣
parallelen Vektor mit
P
⃗𝑣
aus,
einer geometrischen
P
als Anfangspunkt an, so ergibt ′ sich zu jedem Original-Punkt ein zugehöriger Bildpunkt P .
Abb. 42: Beispiel einer Translation.
Die sich ergebende Bildfigur Original-Figur
𝐹
𝐹′
wird durch den Verschiebungsvektor
lediglich um die Länge
𝑣
in Richtung von
⃗𝑣
⃗𝑣
gegenüber der
verschoben; die Größe, Form
und Orientierung der Figur bleiben hingegen erhalten.
2 Jede Kongruenzabbildung kann auch als eine Ähnlichkeitsabbildung mit einem Maßstab von
1
𝜆 =
aufgefasst werden. Umgekehrt lässt sich jede Ähnlichkeitsabbildung aus einer zentrischen Streckung
und/oder einer oder mehreren Kongruenzabbildungen zusammensetzen.
108
Spiegelung einer geometrischen Figur an einer Geraden Um eine Spiegelung an einer Geraden zu beschreiben, geht man von einer festen Geraden
𝑠
als Spiegelachse aus. Durch jeden Punkt
senkrecht zu Spiegelachse
P
einer Figur konstruiert man eine Gerade ′ ′ und bestimmt auf dieser den Bildpunkt P so, dass P und P von der
𝑠 𝑠 den
gleichen Abstand haben und auf verschiedenen Seiten von
𝑠
liegen.
Abb. 43: Beispiel einer Achsenspiegelung.
Der Punkt
P′
wird üblicherweise Spiegelbild von
P
bezüglich
𝑠
bezeichnet. Bei einer
Achsenspiegelung bleibt die Form und Größe der Figur erhalten, es ändert sich jedoch der Umlaufsinn ihrer Punkte.
Spiegelung einer geometrischen Figur an einem Punkt Um eine Spiegelung an einem Punkt zu beschreiben, geht man von einem festen Punkt
S
P einer Figur legt man dann eine Gerade P′ so, dass P und P′ von S den gleichen von S liegen.
als Symmetriezentrum aus. Durch jeden Punkt durch
S
und bestimmt auf dieser den Bildpunkt
Abstand haben und auf verschiedenen Seiten
Abb. 44: Beispiel einer Punktspiegelung.
Man kann eine Punktspiegelung ebenso als zentrische Streckung mit einem Maßstab von
𝜆 = −1 oder als Drehung der Ebene um den Punkt 𝑠 mit einem Drehwinkel von 𝛼 = 180 ° deuten. Bei einer Punktspiegelung bleibt somit neben der Form und Größe einer Figur auch ihr Umlaufsinn, also die Reihenfolge ihrer Punkte erhalten.
109
Rotation einer geometrischen Figur Um eine Drehung (“Rotation”) zu beschreiben, geht man von einem bestimmten Punkt
Z
𝛼 aus. Durch jeden Punkt P einer Figur zeichnet man einen Kreis um den Mittelpunkt Z und bestimmt auf diesem Kreis den zu P gehörenden Bildpunkt P′ so, dass der Winkel PZP′ gleich 𝛼 ist. als Drehzentrum und einem festen Winkel
Abb. 45: Beispiel einer Rotation.
Erfolgt die Drehung entgegengesetzt zum Uhrzeigersinn, so spricht man von einem positiven Drehsinn; bei einer Drehung im Uhrzeigersinn spricht man von einem negativen Drehsinn. Die Form und Größe der Figur sowie die Reihenfolge ihrer Punkte bleibt bei einer Drehung erhalten.
Symmetrie Als Symmetrie wird die Eigenschaft mancher geometrischer Formen bezeichnet, nach einer bestimmten Transformation wiederum unverändert zu erscheinen.
Achsensymmetrie Eine beliebige, quer durch eine geometrische Figur verlaufende Gerade oder Strecke wird Transversale genannt. Lässt sich die Figur durch eine dieser Transversalen in zwei gleiche große Teilfiguren aufteilen, die durch Umklappen entlang der Transversalen völlig deckungsgleich zueinander sind, so heißt die Figur achsensymmetrisch. Die beiden Teilstücke der Figur werden dabei als einander entsprechend bezeichnet und die Transversale Symmetrieachse genannt. Eine Figur kann auch mehrere Symmetrieachsen besitzen. Beispielsweise besitzt ein Rechteck zwei Symmetrieachsen, ein Kreis sogar beliebig viele. Lassen sich zwei gleich große Figuren durch Umklappen um eine zwischen beiden Figuren liegende Gerade
𝑠
zur Deckung bringen, so bezeichnet man beide Figuren als ach-
sensymmetrisch zueinander liegend. Achsensymmetrische Figuren haben stets folgende Eigenschaften:
110
Abb. 46: Beispiel einer achsensymmetrischen Figur.
Abb. 47: Beispiel von mehrfach achsensymmetrischen Figuren.
Einander entsprechende Punkte liegen gleich weit von der Symmetrieachse
𝑠
ent-
fernt.
Verbindungslinien zwischen einander entsprechenden Punkten stehen senkrecht auf der Symmetrieachse.
Einander entsprechende Geraden (sowie Strecken und ihre Verlängerungen) schneiden die Symmetrieachse im gleichen Punkt und im gleichen Winkel.
Der Umlaufsinn beider Figuren ist umgekehrt, entsprechende Ecken folgen in der einen Figur also im Uhrzeigersinn aufeinander, in der anderen entgegen dem Uhrzeigersinn.
Achsensymmetrische Figuren können ebenso als Paare von achsensymmetrisch liegenden Figuren aufgefasst werden, deren Flächen sich zum Teil überschneiden.
Punktsymmetrie Ist eine Figur bei einer
180-Drehung um einen im Inneren gelegenen Punkt völlig deckungs-
gleich mit sich selbst, so heißt die Figur (einfach) punktsymmetrisch. Der Drehpunkt wird dabei als Symmetriezentrum, der Drehwinkel als Symmetriewinkel bezeichnet.
360 mit sich selbst de𝑛 eine beliebige natürliche Zahl ist, so heißt die Figur mehrfach
Ist eine Figur bereits nach einer Drehung um einen Winkel ckungsgleich, wobei
𝑛>2
𝜙=
punktsymmetrisch. Sie ist bei weiteren Drehungen um den Winkel ckungsgleich.
111
𝜙
stets erneut de-
Abb. 48: Beispiel einer punktsymmetrischen Figur.
Abb. 49: Beispiel von mehrfach punktsymmetrischen Figuren.
Lassen sich zwei gleich große Figuren durch eine Figuren liegenden Punkt
S
180-Drehung
um einen zwischen beiden
zur Deckung bringen, so bezeichnet man beide Figuren als
punktsymmetrisch zueinander liegend. Punktsymmetrische Figuren haben stets folgende Eigenschaften:
Einander entsprechende Punkte liegen gleich weit vom Symmetriezentrum
S
ent-
fernt.
Verbindungslinien zwischen einander entsprechenden Punkten verlaufen durch das Symmetriezentrum.
Einander entsprechende Geraden (sowie Strecken und ihre Verlängerungen) verlaufen zueinander parallel.
Der Umlaufsinn beider Figuren ist gleich, entsprechende Ecken folgen in beiden Figuren also entweder im Uhrzeigersinn oder entgegen dem Uhrzeigersinn aufeinander.
Punktsymmetrische Figuren können ebenso als Paare von punktsymmetrisch liegenden Figuren aufgefasst werden, deren Flächen sich zum Teil überschneiden.
Dreiecke Allgemeine Eigenschaften Dreiecke bestehen aus den Verbindungsstrecken zwischen drei Punkten
A, B
und
C,
die
nicht auf einer gemeinsamen Geraden liegen. Die den Punkten jeweils gegenüber liegenden
112
Strecken werden kurz als 𝑎, 𝑏 und 𝑐, die Innenwinkel als 𝛼, 𝛽 und * * * Nebenwinkel 𝛼 , 𝛽 und 𝛾 der Innenwinkel heißen Außenwinkel.
𝛾
bezeichnet. Die
Abb. 50: Aufbau eines allgemeinen Dreiecks.
Legt man durch
Wechselwinkel
C
eine Parallele zu Strecke
AB,
𝛼′ 𝛾 bilden 𝛼′
so sind
gleich groß. Gemeinsam mit dem Winkel
Winkel. Die Summe der Innenwinkel
𝛼, 𝛽
und
𝛾
𝛼
und
ist somit ebenfalls
𝛽 ′ als und 𝛽 einen 180 °stets 180 °: sowie
𝛽
und
′
𝛼 + 𝛽 + 𝛾 = 180 °
(64)
Abb. 51: Die Innenwinkel eines Dreiecks addieren sich zu
180°.
Die Außenwinkel sind jeweils so groß wie die Summe der beiden nicht anliegenden * Innenwinkel. Dies folgt beispielsweise für den Winkel 𝛼 aus Gleichung (64) wegen 𝛼* = 180° − 𝛼 = 𝛽 + 𝛾 . Insgesamt gilt:
𝛼* = 𝛽 + 𝛾 𝛽* = 𝛾 + 𝛼 𝛾* = 𝛼 + 𝛽 Die Summe der Außenwinkel eines Dreiecks beträgt
(65)
360°.
Weiterhin gelten in allen Drei-
ecken drei weitere Beziehungen:
Die Summe zweier Seitenlängen ist stets größer als die Länge der dritten Seite. Es gelten somit folgende Ungleichungen:
𝑎+𝑏>𝑐 ;
𝑏+𝑐>𝑎 ;
113
𝑐+𝑎>𝑏
Die Differenz zweier Seitenlängen ist stets kleiner als die Länge der dritten Seite. Somit gilt:
|𝑎 − 𝑏| < 𝑐 ; |𝑏 − 𝑐| < 𝑎 ; |𝑐 − 𝑎| < 𝑏
In jedem Dreieck liegen die größeren Seiten den größeren Winkeln gegenüber. Umgekehrt liegen die größeren Winkel den größeren Seiten gegenüber. Es gilt somit beispielsweise:
𝑎>𝑏 ⇒ 𝛼>𝛽
Kongruenz und Ähnlichkeit Zwei Dreiecke sind dann
kongruent , wenn sie eine der folgenden Bedingungen erfüllen:
Übereinstimmung dreier Seiten (SSS)
Übereinstimmung zweier Seiten und dem von ihnen eingeschlossenen Winkel (SWS)
Übereinstimmung zweier Seiten und dem der größeren Seite gegenüber liegenden Winkel (SSW)
Übereinstimmung einer Seite und zweier Winkel – entweder den beiden anliegenden Winkeln oder einem anliegenden und einem gegenüber liegenden Winkel (WSW beziehungsweise SWW)
Die obigen Kongruenzbedingungen werden einerseits für geometrische Beweise genutzt, können jedoch auch zur eindeutigen Festlegung von Dreiecken verwendet werden. Zwei Dreiecke sind dann einander
ähnlich ,
wenn sie eine der folgenden Bedingungen er-
füllen:
Gleiche Längenverhältnisse aller drei Seiten
Gleiche Längenverhältnisse zweier Seiten und Übereinstimmung des von ihnen eingeschlossenen Winkels
Gleiche Längenverhältnisse zweier Seiten und Übereinstimmung des der größeren Seite gegenüber liegenden Winekls
Übereinstimmung zweier Winkel
Beispielsweise lassen sich die
Zentrische Streckung
oder die
Strahlensätze
auf Ähnlichkei-
ten von Dreiecken zurückführen.
Besondere Punkte im Dreieck In jedem Dreieck gibt es vier besondere Punkte, die sich durch bestimmte Transversalen, d.h. durch das Dreieck verlaufende Geraden, konstruieren lassen. Alle diese Punkte liegen auf einer gemeinsamen Geraden, die auch “ Eulersche Gerade” genannt wird.
114
Der Schwerpunkt Verbindet man jeden Eckpunkt mit dem Mittelpunkt der gegenüber liegenden Dreiecksseite, so schneiden sich diese “Seitenhalbierenden” in einem gemeinsamen Punkt
S,
der
Schwerpunkt des Dreiecks genannt wird.
Abb. 52: Schwerpunkt eines Dreiecks.
Der Schwerpunkt teilt die Seitenhalbierenden jeweils im Verhältnis
2 : 1. Es bestehen also
folgende Proportionen:
AS BS CS 2 = = = 1 SMa SMb SMc
Der Mittelpunkt Zeichnet man auf jeder Dreeicksseite den Mittelpunkt ein und konstruiert ausgehend von diesem eine senkrechte Gerade zur jeweiligen Dreiecksseite, so schneiden sich diese “Mittelsenkrechten” in einem gemeinsamen Punkt
M.
Dieser Punkt wird Mittelpunkt des
Dreeicks genannt und ist der Mittelpunkt des so genannten Umkreises, also des Kreises, der durch alle Eckpunkte des Dreiecks verläuft.
Abb. 53: Mittelpunkt eines Dreiecks.
Der Mittelpunkt des Inkreises Konstruiert man zu jedem Innenwinkel eines Dreiecks die Winkelhalbierende, so schneiden sich diese in einem gemeinsamen Punkt
W.
Dieser ist zugleich der Mittelpunkt des
Inkreises, also des Kreises, der alle Strecken des Dreiecks berührt.
115
Abb. 54: Inkreis-Mittelpunkt eines Dreiecks.
Der Höhenschnittpunkt Konstruiert man auf jeder Dreiecksseite eine Senkrechte durch den gegenüber liegenden Eckpunkt, so schneiden sich die drei Höhen in einem gemeinsamen Punkt
𝐻.
Abb. 55: Höhenschnittpunkt eines Dreiecks.
Besondere Dreiecke Gleichseitiges Dreieck In einem gleichseitigen Dreieck besitzen alle Seiten die gleiche Länge. Alle Winkel betragen
60 °,
die besonderen Punkte
S, M, W
und
H
sind in einem Punkt vereint.
Abb. 56: Grundform eines gleichseitigen Dreiecks.
Für die Fläche und den Umfang eines gleichseitigen Dreiecks gilt mit der Höhe
1 𝑎4 √ Fläche = ·𝑎·ℎ= · 3 2 4 Umfang
=3·𝑎
116
√ ℎ = 𝑎2 · 3:
Gleichschenkliges Dreieck In einem gleichschenkligen Dreieck besitzen die zwei Seiten Die beiden “Basiswinkel”
𝛼
und
𝛽
𝑎
und
𝑏
die gleiche Länge.
sind gleich groß. Ist ein Winkel bekannt, lassen sich die
übrigen Winkel unmittelbar mit Hilfe der Beziehung
2 · 𝛼 + 𝛾 = 180
bestimmen.
Abb. 57: Grundform eines gleichschenkligen Dreiecks.
Für die Fläche und den Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks gilt mit der Höhe Fläche
Umfang
=
ℎ:
1 ·𝑐·ℎ 2
=2·𝑎+𝑐
Rechtwinkliges Dreieck In einem rechtwinkligen Dreieck ist ein Winkel gleich und
𝛽
ergeben zusammen
90 °.1
90 °,
die anderen beiden Winkel
𝛼
Abb. 58: Grundform eines rechtwinkligen Dreiecks.
2
Für die Fläche und den Umfang eines rechtwinkligen Dreiecks gilt: Fläche
Umfang
1 Gilt
=
1 1 ·𝑎·𝑏= ·𝑐·ℎ 2 2
=𝑎+𝑏+𝑐
𝛼 = 𝛽 = 45, so spricht man von einem gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck. 𝑎 und 𝑏 senkrecht aufeinander stehen, stellen sie gegenseitig Basislinie
2 Da die Seiten
117
und Höhe dar.
Der Satz von Pythagoras Rechtwinklige Dreiecke weisen eine Besonderheit auf: Quadriert man die Längen der Drei2 eckseiten, so entspricht die Quadratzahl 𝑐 der längsten Dreieckseite (der “Hypothenuse”) 2 2 genau der Summe der Quadratzahlen 𝑎 und 𝑏 der kürzeren Dreieckseiten (der “Katheten”).
𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2
(66)
Diese als “Satz des Pythagoras” bekannt gewordene Gesetzmäßigkeit lässt sich graphisch dadurch veranschaulichen, indem man entlang der Hypothenuse ten
𝑎
und
𝑐 und den beiden Kathe-
𝑏
Quadrate mit den entsprechenden Seitenlängen zeichnet und die Flächenin2 2 halte miteinander vergleicht: Die Flächen der beiden kleineren Quadrate 𝑎 und 𝑏 sind 2 mit dem großen Quadrat 𝑐 flächengleich.
Abb. 59: Veranschaulichung des Satzes von Pythagoras für rechtwinklige Dreiecke.
Der Satz des Pythagoras erweist sich in der Praxis als nützlich, um zwei Bretter, Stangen o.ä. mit bekannten Längen
𝑎
und
𝑏
rechtwinklig zueinander anzuordnen. Löst man
Gleichung (66) nach der Länge der Verbindungslinie
𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2
⇐⇒
𝑐=
𝑐
auf, so ergibt sich
√
𝑎2 + 𝑏 2
√ A und B exakt um 𝑐 = 𝑎2 + 𝑏2 voneinander entfernt, so beträgt zwischen 𝑎 und 𝑏 genau 90 °. Geeignet ist insbesondere das Längenverhältnis 2 2 2 hierbei 3 + 4 = 9 + 16 = 25 = 5 gilt; die Länge der Basis-Einheit kann frei
Liegen die Eckpunkte der Winkel
3 : 4 : 5,
da
gewählt werden.
Höhen- und Kathetensatz Im rechtwinkligen Dreieck gelten darüber hinaus zwei weitere Beziehungen:
118
Abb. 60: Der Satz von Pythagoras als Konstruktionshilfe für rechte Winkel.
Abb. 61: Der Katheten- und Höhensatz für rechtwinklige Dreiecke.
Höhensatz:
Das Produkt der beiden Hypothenusenteile
links der Höhe
ℎ
𝑝
und
𝑞
, die rechts und
liegen, ist gleich dem Quadrat der Höhe:
ℎ2 = 𝑝 · 𝑞
Kathetensatz: Das Produkt einer Kathete ist gleich dem Produkt aus der Hypothenuse
𝑐
und dem anliegenden Hypothenusenanteil:
3
𝑎2 = 𝑐 · 𝑞 𝑏2 = 𝑐 · 𝑝 Diese beiden Gesetzmäßigkeiten wurden bereits von Euklid entdeckt. Sie beruhen darauf,
ABC und die beiden durch die Höhe ℎ entstehenden Dreiecke AHc C Hc BC zueinander ähnlich sind: Alle enthalten einen rechten Winkel und haben je eine Dreiecksseite gemeinsam, zudem haben alle Dreiecke wegen Gleichung (64) den Winkel 𝛼
dass die Dreiecke und
gemeinsam. Aufgrund der Ähnlichkeit sind die Verhältnisse der Seitenlängen gleich, es gilt beispiels𝑝 weise für die Dreiecke Hc CB und AHc C das Längenverhältnis = ℎ𝑞 , das sich auch als ℎ
3 Der Kathetensatz von Euklid beinhaltet auch den Satz von Pythagoras. Addiert man nämlich die beiden Gleichungen
𝑎2 = 𝑐 · 𝑞
und
𝑏2 = 𝑐 · 𝑝,
so erhält man:
𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐 · 𝑞 + 𝑐 · 𝑝 = 𝑐 · (𝑝 + 𝑞) = 𝑐 · 𝑐 = 𝑐2
119
ℎ2 = 𝑝 · 𝑞
schreiben lässt und somit dem Höhensatz entspricht. Ebenso folgen die beiden 𝑐 Kathetensätze aus den Längenverhältnissen = 𝑎𝑞 der Dreiecke ABC und Hc BC sowie 𝑎 𝑐 = 𝑝𝑏 der Dreiecke ABC und AHc C. 𝑏
Weitere Eigenschaften Auf weitere Zusammenhänge in Dreiecken wird im Abschnitt
Trigonometrie
näher einge-
gangen.
Vierecke Das Quadrat In einem Quadrat besitzen alle Seiten die gleiche Länge. Alle Winkel betragen
90.
Abb. 62: Grundform eines Quadrats.
Quadrate haben folgende besondere Eigenschaft:
Jedes Rechteck ist zweifach achsensymmetrisch; die beiden Symmetrieachsen verlaufen jeweils senkrecht durch die Mittelpunkte der Seiten.
Die beiden Diagonalen sind gleich lang.
Für die Fläche und den Umfang eines Quadrats gilt: Fläche Umfang
= 𝑎 · 𝑎 = 𝑎2 =4·𝑎
Das Rechteck In einem Rechteck besitzen die jeweils gegenüber liegenden Seiten die gleiche Länge. Alle Winkel betragen
90 °.
Rechtecke haben folgende besondere Eigenschaft:
120
Abb. 63: Grundform eines Rechtecks.
Jedes Rechteck ist zweifach achsensymmetrisch; die beiden Symmetrieachsen verlaufen jeweils senkrecht durch die Mittelpunkte der Seiten.
Die beiden Diagonalen sind gleich lang.
Für die Fläche und den Umfang eines Rechtecks gilt: Fläche Umfang
=𝑎·𝑏 =2·𝑎+2·𝑏
Das Parallelogramm In einem Parallelogramm besitzen die jeweils gegenüber liegenden Seiten die gleiche Länge. Die jeweils gegenüber liegenden Winkel sind betragsmäßig gleich.
Abb. 64: Grundform eines Parallelogramms.
Parallelogramme haben folgende besondere Eigenschaft:
Jedes Parallelogramm ist punktsymmetrisch bezüglich des Schnittpunkts der beiden Diagonalen.
Die beiden Diagonalen halbieren sich gegenseitig.
Je zwei benachbarte Winkel ergeben in Summe
180 °.
Für die Fläche und den Umfang eines Parallelogramms gilt: Fläche Umfang
= 𝑎 · 𝑏 · sin 𝛼 = 𝑎 · ℎ =2·𝑎+2·𝑏
121
Hat ein Parallelogramm vier gleich lange Seiten, so bezeichnet man es als “Rhombus”.
Abb. 65: Grundform eines Rhombus.
Das Trapez Bei einem Trapez verlaufen (mindestens) zwei Seiten parallel zueinander.
Abb. 66: Grundform eines Trapezes.
Trapeze haben folgende besondere Eigenschaft:
Zeichnet man mittig zwischen die beiden parallel verlaufenden Seiten ne weitere parallele Strecke
𝑚
𝑎
und
𝑐
ei-
zwischen den übrigen Seiten des Vierecks ein, so
entspricht die Länge dieser als “Mittelparallele” bezeichneten Strecke dem arithmetischen Mittelwert der beiden parallelen Seiten:
𝑚=
𝑎+𝑐 2
Für die Fläche und den Umfang eines Trapezes gilt:
Fläche
Umfang
=
𝑎+𝑐 ·ℎ=𝑚·ℎ 2
=𝑎+𝑏+𝑐+𝑑
Auch andere Sonderformen von Vierecken haben parallel verlaufende Seiten: Rhombus, Parallelogramm, Rechteck und Quadrat. Diese bereits beschriebenen Vierecke stellen somit Sonderformen eines Trapezes dar.
122
Das Drachenviereck Bei einem Drachenviereck sind zwei aneinander anliegende Seiten ebenso sind die beiden übrigen Seiten
𝑐
und
𝑑
𝑎
und
𝑏
gleich lang;
gleich lang.
Abb. 67: Grundform eines Drachenvierecks.
Drachenvierecke haben folgende besondere Eigenschaften:
Jedes Drachenviereck hat senkrecht zueinander verlaufende Diagonalen.
Jedes Drachenviereck kann in zwei gleichschenklige Dreiecke unterteilt werden
Jedes Drachenviereck hat (mindestens) zwei gleich große Gegenwinkel.
Jedes Drachenviereck ist achsensymmetrisch.
Die Kriterien eines Drachenvierecks werden auch von jedem Rhombus und jedem Quadrat erfüllt; diese Vierecke stellen somit Sonderformen eines Drachenvierecks dar.
Regelmäßige Vielecke Ein
𝑛-Eck,
bei dem alle Seiten gleich lang und alle Innen- beziehungsweise Außenwinkel
gleich groß sind, wird regelmäßige Vieleck genannt.
Abb. 68: Beispiel eines regelmäßigen Vielecks
Regelmäßige Vielecke haben folgende Eigenschaften:
123
Jedes regelmäßige
𝑛-Eck
hat jeweils 𝑛 Ecken, 𝑛·(𝑛−3) Außenwinkel sowie Diagonalen. 2
Jedes regelmäßige
𝑛-Eck
Um jedes regelmäßige
𝑛-fach
ist
𝑛-Eck
𝑛
Seiten,
𝑛
Innen- beziehungsweise
punktsymmetrisch.
lässt sich ein Kreis zeichnen, der durch alle Ecken
verläuft; diesen bezeichnet man als Umkreis.
In jedes regelmäßige
𝑛-Eck
lässt sich ein Kreis zeichnen, der alle Seitenmitten be-
rührt; diesen bezeichnet man als Inkreis.
Das gemeinsame Zentrum von Um- und Inkreis ist der Mittelpunkt des Vielecks. Verbindet man den Mittelpunkt mit den Ecken, so erhält man
𝑛 kongruente, gleich-
schenklige Dreiecke; diese werden auch “Bestimmungsdreiecke” genannt.
Jeder Innenwinkel eines regelmäßigen
Jeder Außenwinkel eines regelmäßigen
Bezeichnet die Seitenlänge mit Umkreises mit
𝑟2 ,
𝑠,
𝑛-Ecks
beträgt
𝑛-Ecks
𝑛−2 𝑛
beträgt
· 180 °.
360 ° . 𝑛
den Radius des Inkreises mit
𝑟1
und den Radius des
so gilt für den Umfang und die Fläche eines regelmäßigen
𝑛 𝑛 Fläche = · 𝑠 · 𝑟1 = · 𝑠 · 2 2 Umfang
√︂ 𝑟22 −
𝑛-Ecks:
𝑠2 4
=𝑛·𝑠
Beliebige (auch nicht regelmäßige) Vielecke haben zudem allgemein folgende Eigenschaften:
Die Summe der Innenwinkel eines
Die Summe der Außenwinkel eines
Ein Innenwinkel und sein zugehöriger Außenwinkel betragen in Summe stets
𝑛-Ecks
beträgt
𝑛-Ecks
(𝑛 − 2) · 180 °.
beträgt stets
360 °. 180 °
(da es sich um Nebenwinkel handelt).
Die Winkelhalbierenden eines Innenwinkels und die des zugehörigen Außenwinkels sind zueinander stets senkrecht.
Abb. 69: Beispiel eines unregelmäßigen Vielecks
124
Per Festlegung haben
𝑛-Ecke
zudem keine nach innen zeigenden Ecken sowie keine ein-
ander schneidenden Seiten.
Kreis und Ellipse Der Kreis Jeder Kreis besitzt als Besonderheit, dass alle Punkte auf der Kreislinie gleich weit vom Mittelpunkt
𝑀
entfernt liegen.
Abb. 70: Grundform eines Kreises.
Für den Umfang und die Fläche eines Kreises mit Radius Umfang Fläche Dabei wird
𝜋 ≈ 3, 14159265...
𝑟
gilt:
=2·𝜋·𝑟 = 𝜋 · 𝑟2
(67)
als “Kreiszahl” bezeichnet.
Der Kreisbogen Wird anstelle eines ganzen Kreises nur ein Teil der Kreislinie gezeichnet, so bezeichnet man den entsprechenden Kreisteil als Kreisbogen.
Abb. 71: Der Kreisesbogen als Teil des Kreisumfangs.
Die Länge eines Kreisbogens hängt vom Umfang des entsprechenden Kreises ab und davon, welchen Anteil des gesamten Kreises der Kreisbogen ausmacht. Dieser Anteil wird durch den Mittelpunktswinkel
𝛼 beschrieben, wobei 𝛼 = 360 einer vollen Umdrehung entspricht.
125
Gilt
𝛼 < 360,
so steht die Kreisbogenlänge
des ganzen Kreises wie
𝛼
zu
𝑠
im gleichen Verhältnis zum Umfang
2·𝜋·𝑟
360: 𝑠 𝛼 = 2·𝜋·𝑟 360
Nach dieser Gleichung, aufgelöst nach
𝑠,
𝑠=
ergibt sich für die Länge des Kreisbogens:
𝛼 ·2·𝜋·𝑟 360
(68)
Gradmaß und Bogenmaß Der Mittelpunktswinkel
𝛼 eines Kreisbogens wird gewöhnlich im Gradmaß angegeben. 360
entsprechen dabei dem vollen Kreisumfang. Betrachtet man einen Einheitskreis (Radius
𝑟 = 1),
so hat in diesem Fall der Kreisumfang beziehungsweise ein geschlossener Kreisbo-
𝑠 = 2 · 𝜋 . Damit kann der Mittelpunktswinkel 𝛼 auch durch die Länge angegeben werden, wobei 2 · 𝜋 dem vollen Kreisumfang entspricht.
gen eine Länge von
𝑠
des Kreisbogens
Abb. 72: Gradmaß und Bogenmaß an einem Einheitskreis
(𝑟 = 1).
Für einen Einheitskreis kann folgende “Umrechnung” zwischen dem Gradmaß und dem Bogenmaß verwendet werden:
∧
360 = 2 · 𝜋 Um einen Winkel vom Gradmaß ins Bogenmaß umzurechnen, wird dieser durch und mit
2·𝜋
360 geteilt
multipliziert. Im umgekehrten Fall lässt sich ein Winkel vom Bogenmaß ins
Gradmaß umrechnen, indem er durch
2·𝜋
geteilt und mit
360
multipliziert wird.
1 des Bogenmaßes wird auch als “Radiant” 2·𝜋 Radiant entspricht ungefähr einem Winkelmaß von 57, 3°.
Die Grundeinheit
1 Gilt für den Radius eines Kreisbogens
(1 rad)
1
bezeichnet. Ein
𝑟 ̸= 1, so muss bei der Umrechnung des Mittelpunktswinkels 𝛼 𝑠 mit dem Radius 𝑟 multipliziert werden. Umgekehrt ist bei der Umrechnung des Mittelpunktswinkels vom Bogenmaß ins Gradmaß die Kreisbogenlänge 𝑠 durch den Radius 𝑟 zu dividieren. vom Grad- ins Bogenmaß die Länge des Kreisbogens
126
Der Kreissektor Verbindet man einen Kreisbogen mit dem Mittelpunkt, so ergibt sich eine Fläche in Form eines Tortenstücks. Mathematisch wird diese Fläche als Kreissektor bezeichnet.
Abb. 73: Der Kreissektor als Teil der Kreisfläche.
Der Flächeninhalt eines Kreissektors entspricht – analog zum Kreisbogen – dem 𝜋 · 𝑟2 :
𝛼/360-
sten Anteil der Gesamt-Kreisfläche
Fläche des Kreissektors
=
𝛼 · 𝜋 · 𝑟2 360 °
Sehnen und Tangenten Als Kreissehne bezeichnet man eine Strecke, die zwischen zwei auf einem Kreis liegenden Punkten verläuft. Jede Kreissehne (mit Ausnahme des Durchmessers) unterteilt den Kreis in zwei verschieden große Kreisbögen; den kleineren von beiden nennt man den zur Sehne gehörenden Kreisbogen. Der Winkel zwischen dem Mittelpunkt und den beiden Endpunkten einer Sehne heißt Zentriwinkel.
Abb. 74: Kreissehne, Kreisbogen und Zentriwinkel.
Kreissehnen bringen folgende Eigenschaften mit sich:
Die durch den Mittelpunkt des Kreises und den Mittelpunkt der Sehne verlaufende Gerade halbiert die beiden Kreisbögen und den Zentriwinkel; sie ist Symmetrieachse des Dreiecks, das aus den Endpunkten der Sehne und dem Kreismittelpunkt gebildet wird.
Sind zwei Sehnen gleich lang, so sind aufgrund der Punktsymmetrie des Kreises auch die zugehörigen Kreisbögen, Zentriwinkel und Kreissektoren gleich groß.
127
Sind zwei Sehnen unterschiedlich lang, so gehört zur größeren Sehne der größere Kreisbogen sowie der größere Zentriwinkel. Verschiebt man eine Sekante parallel, bis sie den Kreis nur noch in einem einzigen Punkt berührt, so spricht man von einer Tangente. Jede Tangente steht senkrecht auf der zum Berührpunkt gehörenden Radius-Linie.
Kreiswinkel Jeder Sehne beziehungsweise jedem Kreisbogen kann eindeutig ein Zentriwinkel zugeordnet werden. Verbindet man die Endpunkte der Sehne mit einem beliebigen Punkt, der auf dem “entfernten” (großen) Kreisbogen liegt, so erhält man so genannte “PeripherieWinkel”. Diese Peripherie-Winkel eines Kreisbogens sind allesamt gleich groß; betraglich sind sie halb so groß wie der zum Kreisbogen gehörende Zentriwinkel:
𝛼=2·𝛽
Abb. 75: Zentriwinkel und Peripheriewinkel
Gehören zwei Peripheriewinkel eines Kreises zur selben Sehne, aber zu verschiedenen * Kreisbögen, so beträgt die Summe beider Winkel 𝛽 + 𝛽 = 180 °. Jede Viereck, das auf diese Weise gebildet wird (dessen vier Ecken also auf einem gemeinsamen Umkreis liegen) nennt man “Sehnenviereck”; in einem solchen beträgt die Summe der jeweils gegenüber liegenden Winkel je
180 °
Der Satz des Thales 180 ° (was bei jedem Halbkreis der Fall ist), so einen Betrag von 90 °; sie sind also rechte Winkel.
Beträgt der Zentriwinkel eines Kreisbogens haben sämtliche Peripheriewinkel des
Abb. 76: Konstruktion von rechten Winkel mittels des Satzes von Thales.
128
Strahlensätze Wird ein Strahlenbüschel von zwei parallel liegenden Geraden geschnitten, so gilt: 1. Strahlensatz: Die Abschnitte auf einem Strahl stehen im gleichen Verhältnis zueinander wie die gleich liegenden Abschnitte auf einem anderen Strahl. Im linken Teil der Abbildung
Strahlensatz 1
gilt beispielsweise:
SA SC = 𝐴𝐵 CD
(69)
Im rechten Teil gilt entsprechend:
SA SC = 𝑆𝐷 SB
(70)
Abb. 77: Der 1. Strahlensatz Der 2. Strahlensatz: Je zwei Parallelenabschnitte, die zwischen gleichen Strahlen liegen, stehen im gleichen Verhältnis zueinander wie die zugehörigen Strahlenabschnitte des selben Strahls. Im linken Teil der Abbildung
Strahlensatz 2 SA AC = 𝑆𝐵 BD
gilt beispielsweise:
(71)
Im rechten Teil gilt entsprechend:
SC AC = 𝑆𝐵 BD Der 3. Strahlensatz:
129
(72)
Der
Abb. 78: Der 2. Strahlensatz
Die Abschnitte auf einer Parallelen stehen im gleichen Verhältnis zueinander wie die zugehörigen Abschnitte auf einer anderen Parallelen. Im linken Teil der Abbildung
Strahlensatz 3
gilt beispielsweise:
AC CE = 𝐵𝐷 DF
(73)
Im rechten Teil gilt entsprechend:
AC DF = 𝐴𝐸 BF
(74)
Abb. 79: Der 3. Strahlensatz
Trigonometrie In der Trigonometrie werden Winkelgrößen in Dreiecken untersucht. Diese spielen in vielen Bereichen der Mathematik und Physik eine wichtige Rolle.
130
Längenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck In einem rechtwinkligen Dreieck wird die an dem betrachteten Winkel te als Ankathete, die dem Winkel
𝛼 anliegende Kathe-
𝛼 gegenüber liegende Seite als Gegenkathete bezeichnet.
Die dem rechten Winkel gegenüber liegende Seite wird Hypothenuse genannt.
Abb. 80: Gegenkathete, Ankathete und Hypothenuse in einem rechtwinkligen Dreieck.
Die Längenverhältnisse der Dreieckseiten lassen sich in Abhängigkeit vom Winkel drücken. Hierzu führt man
𝛼
aus-
sin 𝛼, cos 𝛼 und tan 𝛼 als Kurzschreibweisen für Sinus, Cosinus
und Tangens ein. Diese bezeichnen folgende Seitenverhältnisse:
sin 𝛼 =
Gegenkathete von
tan 𝛼 =
(75)
Hypothenuse
Ankathete von
cos 𝛼 =
...
𝛼
𝛼
(76)
Hypothenuse
Gegenkathete von Ankathete von
sin 𝛼 𝛼 = 𝛼 cos 𝛼
(77)
Bisweilen definiert man zusätzlich zum Tangens auch einen so genannten “Cotangens”, der als Kehrwert des Tangens definiert ist:
...
cot 𝛼 =
Ankathete von Gegenkathete von
𝛼 cos 𝛼 = 𝛼 sin 𝛼
(78)
Die Sinus- und Cosinuswerte sind als Längenverhältnis einer Kathete zur Hypothenuse, da die Hypothenuse die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck ist, stets kleiner als eins. Die Werte des Tangens können für für
𝛼 = 90°
0° ≤ 𝛼 < 90°
0 und +∞ annehmen; durch cos (90°) = 0 dividiert
alle Werte zwischen
ist der Tangens nicht definiert, da in diesem Fall
würde. Eine weitere Eigenschaft von Sinus und Cosinus ergibt sich daraus, dass der Sinus des Winkels
𝛼 mit dem Cosinus des Winkels 𝛽 identisch ist. Wegen 𝛼+𝛽 = 90° oder 𝛼 = 90°−𝛽
folgt somit:
sin (𝛽) = sin (90° − 𝛼) = cos (𝛼) cos (𝛽) = cos (90° − 𝛼) = sin (𝛼) cot (𝛽) = tan (90° − 𝛼) = tan (𝛼)
131
Tab. 6: Werte von Sinus, Cosinus und Tangens für besondere Winkel. 1 1 1 1 1𝛼 1110111 1130111 12 1145111 1160111 1190111 2 2 2 2 √ √ 1 1 1 sin 𝛼 111101111 111. 2 √ 1111 11 2 · √2 11 2 · 3 111.11111 1 cos 𝛼 111111111 11 2 · √3 11 21 · 2 111.√21 111.01111 1 tan 𝛼 111101111 11 3 · 3 11111111 111 3 111n.d.
Der Sinus-Satz Jedes spitzwinklige Dreieck lässt sich durch Einzeichnen einer Höhenlinie in zwei rechtwinklige Dreiecke zerlegen. Bezeichnet man den Schnittpunkt der Höhe
𝑐
als
D,
so gilt für das Teildreieck
ℎc
mit der Strecke
ADC:
Abb. 81: Unterteilung eines Dreiecks zum Nachweis des Sinus-Satzes.
sin (𝛼) = Für das Teildreieck
DBC
ℎc 𝑏
⇔
ℎc = 𝑏 · sin (𝛼)
gilt entsprechend:
sin (𝛽) =
ℎc 𝑎
⇔
Setzt man die beiden obigen Gleichungen für
ℎc = 𝑎 · sin (𝛽) ℎc
gleich, so erhält man folgende Beziehung:
𝑏 · sin (𝛼) = 𝑎 · sin (𝛽) Zeichnet man alle drei Höhenlinien ein, so erhält man jeweils eine entsprechende Größengleichung. Formt man diese in Verhältnisgleichungen um, so ergibt sich der folgende “Sinussatz”:
𝑎 sin (𝛼) = 𝑏 sin (𝛽)
;
𝑏 sin (𝛽) = 𝑐 sin (𝛾)
;
𝑐 sin (𝛾) = 𝑎 sin (𝛼)
Der Sinussatz wird üblicherweise weiter in eine einzige Gleichung zusammengefasst:
𝑎 𝑏 𝑐 = = sin (𝛼) sin (𝛽) sin (𝛾)
(79)
Die Seitenlängen eines Dreiecks stehen also im gleichen Verhältnis zueinander wie die Sinuswerte der jeweils gegenüber liegenden Winkel. Der Sinus-Satz gilt auch in stumpfwinkligen Dreiecken. Man kann ihn nutzen, um beispielsweise fehlende Stücke eines Dreiecks zu berechnen, wenn zwei Seitenlängen und ein gegenüber liegender Winkel oder eine Seitenlänge und zwei Winkel gegeben sind.
132
Der Cosinus-Satz In jedem Dreieck ist das Quadrat einer Seitenlänge gleich der Summe der Quadrate der beiden anderen Seitenlängen, abzüglich dem doppelten Produkt aus diesen beiden Seitenlängen und dem Cosinuswert des eingeschlossenen Winkels. Beispielsweise gilt für beliebige Winkelwerte:
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2 · 𝑎 · 𝑏 · cos (𝛾) Ist
(80)
𝛾 = 90°, so ist cos (𝛾) = cos (90°) = 0, und damit 𝑐2 = 𝑎2 +𝑏2 . Der Satz von Pythagoras
ist somit ein Sonderfall des Cosinus-Satzes für rechtwinklige Dreiecke. Für die beiden anderen Seiten
𝑎
und
𝑏
gilt entsprechend:
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2 · 𝑏 · 𝑐 · cos (𝛼) 𝑏2 = 𝑐2 + 𝑎2 − 2 · 𝑐 · 𝑎 · cos (𝛽) Man kann den Cosinus-Satz zur Konstruktion von Dreiecken nutzen, wenn entweder alle drei Seitenlängen oder zwei Seitenlängen und der von ihnen eingeschlossene Winkel gegeben sind.
Beispiel:
Welche Werte haben die Winkel eines Dreiecks, dessen Seiten und
𝑐 = 7 cm
𝑎 = 5 cm, 𝑏 = 6 cm
lang sind?
Nach dem Cosinus-Satz gilt:
2
2
)︂ 𝑏 2 + 𝑐 2 − 𝑎2 𝛼 = acos 2·𝑏·𝑐 (︂ 2 )︂ 𝑐 + 𝑎2 − 𝑏 2 𝛽 = acos 2·𝑐·𝑎 (︂ 2 )︂ 𝑎 + 𝑏2 − 𝑐 2 𝛾 = acos 2·𝑎·𝑏 (︂
2
𝑎 = 𝑏 + 𝑐 − 2 · 𝑏 · 𝑐 · cos (𝛼)
⇔
𝑏2 = 𝑐2 + 𝑎2 − 2 · 𝑐 · 𝑎 · cos (𝛽)
⇔
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2 · 𝑎 · 𝑏 · cos (𝛾)
⇔
Setzt man die gegebenen Werte ein, so erhält man:
)︂ 62 + 72 − 52 𝛼 = acos ≈ 44, 415° 2·6·7 (︂ 2 )︂ 7 + 52 − 62 𝛽 = acos ≈ 57, 122° 2·7·5 (︂ 2 )︂ 5 + 62 − 72 𝛾 = acos ≈ 78, 463° 2·5·6 (︂
Für die Summe der Innenwinkel gilt erwartungsgemäß
𝛼 + 𝛽 + 𝛾 = 180°.
Stereometrie Die Stereometrie ist das geometrische Teilgebiet, in dem Eigenschaften dreidimensionaler Grundformen untersucht werden. Hierbei sind für vielerlei Anwendungen insbesondere die Größe des Volumens und der Oberfläche von regelmäßigen Formen von Interesse.
133
Das Prinzip von Cavalieri Schneidet man zwei geometrische Körper mit gleich große Grundfläche und gleicher Höhe in beliebig viele dünne “Scheiben” (wobei die Schnitte stets durch beide Körper in gleicher Höhe verlaufen), so ist das Volumen beider Körper genau dann identisch, wenn jede dieser “Scheiben” eine gleiche Grundfläche aufweist. Wird beispielsweise, wie in der obigen Abbildung dargestellt, ein Stapel mit quadratischen Karteikarten seitlich verschoben, so bleibt dadurch das Volumen des Stapels unverändert. Die Karten könnten ebenso diagonal zerschnitten und in gedrehter Form aneinandergereiht werden; auch in diesem Fall würde sich das Volumen nicht ändern. Die einzelnen Grundflächen müssen für die Anwendung des Prinzips von Cavalieri somit nicht kongruent sein, sondern nur gleich große Flächeninhalte haben.
Quader, Würfel und Prisma Quader und Würfel In einem Quader sind im Allgemeinen alle Seitenlängen unterschiedlich lang, alle Winkel betragen
90°.
Für das Volumen
𝑉
und die Oberfläche
𝐴
eines Quaders gilt:
𝑉Quader = 𝑎 · 𝑏 · 𝑐 𝐴Quader = 2 · (𝑎 · 𝑏 + 𝑎 · 𝑐 + 𝑏 · 𝑐)
Abb. 82: Grundform eines Quaders.
In einem Würfel – einer Sonderform eines Quaders – sind alle Seitenlängen gleich lang, alle Winkel betragen
90°.
Für das Volumen
𝑉
und die Oberfläche
𝑉Würfel = 𝑎 · 𝑎 · 𝑎 = 𝑎3 𝐴Würfel = 6 · 𝑎2
Prismen Für das Volumen
𝑉
und die Oberfläche
𝐴
eines Prismas gilt:
𝑉Prisma = 𝐴G · ℎ 𝐴M,Prisma = 𝐴S1 + 𝐴S2 + . . . + 𝐴Sn 𝐴O,Prisma = 2 · 𝐴G + 𝐴M
134
𝐴
eines Würfels gilt:
Abb. 83: Grundform eines Würfels.
Abb. 84: Prismen mit drei-, vier-, fünf- und sechseckigen Grundflächen.
Pyramide und Pyramidenstumpf Für das Volumen
𝑉
und die Oberfläche
𝐴
𝑉Pyramide =
einer Pyramide gilt:
𝐴G · ℎ 3
𝐴M,Pyramide = 𝐴1 + 𝐴2 + . . . + 𝐴n 𝐴O,Pyramide = 𝐴G + 𝐴M Für das Volumen
𝑉
und die Oberfläche
𝑉Pyramidenstumpf =
𝐴
eines Pyramidenstumpfes gilt:
√︀ 1 · ℎ · (𝐴G + 𝐴G · 𝐴D + 𝐴D ) 3
𝐴M,Pyramidenstumpf = 𝐴1 + 𝐴2 + . . . + 𝐴n 𝐴O,Pyramidenstumpf = 𝐴G + 𝐴M + 𝐴D
135
Abb. 85: Pyramiden mit einem Dreieck, einem Rechteck oder einem Quadrat als Grundflächen.
Abb. 86: Pyramidenstumpf einer Quadrat-Pyramide.
Kugel und Kreiszylinder Für das Volumen
𝑉
und die Oberfläche
𝐴
einer Kugel gilt:
𝑉Kugel =
4 · 𝜋 · 𝑟3 3
𝐴O,Kugel = 4 · 𝜋 · 𝑟2
Abb. 87: Grundform einer Kugel.
Für das Volumen
𝑉
und die Oberfläche
𝐴
eines Kreiszylinders gilt:
𝑉Kreiszylinder = 𝑝 · 𝑟2 · ℎ 𝐴M,Kreiszylinder = 2 · 𝜋 · 𝑟 · ℎ 𝐴O,Kreiszylinder = 2 · 𝜋 · 𝑟2 + 2 · 𝜋 · ℎ
136
Abb. 88: Grundform eines Kreiszylinders.
Kreiskegel und Kreiskegelstumpf Für das Volumen
𝑉
und die Oberfläche
𝐴
eines Kreiskegels gilt mit
𝑉Kreiskegel =
𝑠=
√ 𝑟2 + ℎ2 :
𝜋 · 𝑟2 · ℎ 3
𝐴M,Kreiskegel = 𝜋 · 𝑟 · 𝑠 𝐴O,Kreiskegel = 𝜋 · 𝑟2 + 𝜋 · 𝑟 · 𝑠
Abb. 89: Grundform eines Kreiskegels.
Für das Volumen √︀ (𝑟1 − 𝑟2 )2 + ℎ2 :
𝑉
und die Oberfläche
𝑉Kreiskegelstumpf =
𝐴
eines Kreiskegelstumpfes gilt mit
(︀ )︀ 𝜋 · ℎ · 𝑟12 + 𝑟22 + 𝑟1 · 𝑟2 3
𝐴M,Kreiskegelstumpf = 𝜋 · 𝑠 · (𝑟1 + 𝑟2 ) 𝐴O,Kreiskegelstumpf = 𝜋 · (𝑟12 + 𝑟22 + 𝑠 · (𝑟1 + 𝑟2 ))
137
𝑠 =
Abb. 90: Grundform eines Kreiskegelstumpfes.
Koordinatensysteme Koordinatensysteme haben die Aufgabe, die Lage eines Punktes in einer Ebene in übersichtlicher Weise und genau zu beschreiben. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, wie diese Beschreibung erfolgen kann. Die zwei wichtigsten Koordinatensysteme, das kartesische und das polare, werden in den folgenden Abschnitten kurz beschrieben.
Das kartesische Koordinatensystem In einem so genannten kartesischen Koordinatensystem ist jeder Punkt der Ebene durch seine Abstände zu den beiden Achsen festgelegt. Diese Abstände werden durch zwei reelle Zahlen angegeben. Dadurch entspricht jedem Punkt ein Zahlenpaar jedem Zahlenpaar
(𝑥, 𝑦)
ein Punkt
(𝑥, 𝑦) und umgekehrt
P.
Abb. 91: Darstellung von Punkten in einem kartesischen Koordinatensystem.
Die
𝑥-Achse
wird bisweilen auch “Abszisse”, die
𝑦 -Achse
“Ordinate” genannt. Auf der
Achse wird nach rechts positiv, nach links negativ gezählt, auf der
138
𝑦 -Achse
𝑥-
nach oben
positiv, nach unten negativ. Die Ebene des Koordinatensystems wird durch die Achsen in vier Felder aufgeteilt, die “Quadranten” genannt und mit den römischen Ziffern
I, II, III
und
IV
bezeichnet werden. In welchem Quadranten ein Punkt liegt, kann an-
hand der Vorzeichen seiner Koordinaten abgelesen werden.
Abb. 92: Vorzeichen der Koordinaten in den vier Quadranten.
Kartesische Koordinatensysteme stellen die wohl wichtigste Grundlage für Punkt- und Linien-Diagramme in der Statistik dar; sie sind ebenso zur Darstellung der Ergebnismengen von Gleichungen und Ungleichungen in der Funktionen in der
Analysis
Algebra
sowie zur Darstellung von
unentbehrlich.
Das Polarkoordinatensystem In einem so genannten Polarkoordinatensystem ist jeder Punkt Abstand
𝑟
vom Koordinatenursprung und den Winkel
P der Ebene durch seinen
𝜙 seiner Verbindungslinie mit dem
Koordinatenursprung und der Horizontalen eindeutig festgelegt.
Abb. 93: Darstellung von Punkten in einem polaren Koordinatensystem.
Die Koordinaten dinaten
𝑥 und 𝑦
𝑟
und
𝜙
eines Punktes in einem Polarkoordinatensystem und die Koor-
des selben Punktes in einem kartesischen System lassen sich unmittelbar
ineinander umrechnen.
139
Sind
𝑥
und
𝑦
bekannt, so gilt für die Polarkoordinaten
𝑟=
Sind im umgekehrten Fall und
𝑟
und
𝜙:
√︀ 𝑥2 + 𝑦 2
tan 𝜙 =
𝑦 𝑥
𝑟
bekannt, so gilt für die kartesischen Koordinaten
und
𝜙
bzw.
𝜙 = atan
(︁ 𝑦 )︁ 𝑥 𝑥
𝑦: 𝑥 = 𝑟 · cos 𝜙 𝑦 = 𝑟 · sin 𝜙
Bei der Umrechnung zwischen kartesischen und polaren Koordinaten werden die drei
nometrischen Größen
trigo-
Sinus, Cosinus und Tangens verwendet. Beide Koordinatensysteme
haben Vor- und Nachteile, die je nach Art der mathematischen Aufgabenstellung überwiegen. In diesem Sinne ist kein Koordinatensystem dem anderen überlegen; das kartesische wird allerdings weitaus häufiger verwendet.
140
Analysis In der Analysis werden Funktionen und ihre Eigenschaften untersucht. Funktionen, also eindeutige
Abbildungen , weisen in eindeutiger Weise eine Größe einer anderen Größe zu.
Im gleichen Sinn werden eindeutige Zuordnungen zwischen zwei (oder mehreren) Größen auch als “funktionale Zusammenhänge” bezeichnet. Zur Untersuchung von Funktionen zählen insbesondere das Steigungs- und Krümmungsverhalten von Funktionsgraphen, ihr Verhalten im Unendlichen sowie die Bestimmung von Flächeninhalten zwischen verschiedenen Funktionsgraphen.
Eigenschaften von Funktionen Funktionen lassen sich anhand verschiedener Eigenschaften unterteilen. Wichtige Eigenschaften, die dabei von Bedeutung sind, werden im folgenden Abschnitt kurz zusammengefasst.
1
Definitions- und Wertemenge Die Menge an möglichen Werten, welche die Ausgangsgröße (“Variable”) kann, nennt man Definitionsmenge welche die Funktion
𝑦 = 𝑓 (𝑥)
𝑥
annehmen
D. Entsprechend bezeichnet man die Menge an Werten, W.
als Ergebnisse liefert, als Wertemenge
Bisweilen müssen einzelne Werte oder Intervalle aus der Definitionsmenge ausgeschlossen werden, um ein stets eindeutiges Verhalten der Funktion zu gewährleisten.
Beispiele:
𝑥 muss der Wert 𝑥 = 1 aus der 𝑥−1 Definitionsmenge ausgeschlossen werden, da hierbei ansonsten durch Null dividiert
Bei der gebrochen-rationalen Funktion
𝑓 (𝑥) =
würde.
Bei der Wurzelfunktion
𝑓 (𝑥) =
√
𝑥
müssen alle Werte von
werden, da die Wurzel nur für positive
𝑥-Werte
] − ∞; 0[
ausgeschlossen
definiert ist.
1 In den folgenden Abschnitten werden nur Funktionen untersucht, deren Werte von nur einer (unabhängigen) Variablen
𝑥
abhängig sind. Bei der Analysis von Funktionen mit mehreren Veränderlichen
kann, sofern alle Variablen unabhängig voneinander sind, der Einfluss jeder Größe einzeln untersucht werden.
141
Abb. 94: Eine Funktion weist jedem Wert der Definitionsmenge Wert der Wertemenge
W
D
je einen eindeutigen
zu.
Einzelne aus der Definitionsmenge ausgeschlossenen Werte nennt man Definitionslücken. Müssen hingegen Intervalle aus der Definitionsmenge ausgeschlossen werden, so bezeichnet man die verbleibende Definitionsmenge häufig als Definitionsbereich und gibt sie ebenfalls als Vereinigungsmenge von Intervallen an. Im Folgenden werden ausschließlich “reellwertige” Funktionen untersucht, das heißt Vorschriften, die den reellen Werten einer (unabhängigen) Variablen der (von
𝑥
abhängigen) Variablen
𝑦
schränkungen zu beachten sind, somit
𝑥
ebenfalls reelle Werte
zuweisen. Hierbei gilt, sofern keine weiteren Ein-
D = W = R.2
Darstellungen von Funktionen Funktionen lassen sich im Allgemeinen auf drei verschiedene Arten darstellen:
als Wertetabelle,
als Graph in einem Koordinatensystem, und
in Form einer Funktionsgleichung.
Wertetabellen sind dann sinnvoll, wenn einzelne Wertepaare
(𝑥 , 𝑦)
vorliegen, was ins-
besondere bei empirisch ermittelten (Mess-)Daten häufig der Fall ist. Bei einer großen Anzahl von Wertepaaren können tabellarische Darstellungen jedoch – ohne die Verwendung von Computern – schnell unübersichtlich werden. Ein zweiter Nachteil liegt darin, dass fehlende Funktionswerte zwischen zwei Wertepaaren nur durch Mittelwertbildung (“Interpolation”) abgeschätzt werden können. Bei graphischen Darstellungen werden die einzelnen Wertepaare 3
Weise auf Punkte eines Koordinatensystems abgebildet.
(𝑥 , 𝑦)
in eindeutiger
Sind die Abstände zwischen den
Wertepaaren nur sehr gering, so kann der funktionale Zusammenhang graphisch durch eine Kurve veranschaulicht werden. Dies ermöglicht oftmals ein schnelles Ablesen der
2 Die Untersuchung komplexwertiger Funktionen, die erst im Mathematik-Studium behandelt wird, bezeichnet man als “Funktionentheorie”.
3 Konkret liegt ein Punkt somit genau dann auf der Kurve einer Funktion, wenn seine Koordinaten die
Funktionsgleichung erfüllen. Erfüllen das Zahlenpaar
(𝑥, 𝑦)
so liegt er entsprechend außerhalb des Funktionsgraphen.
142
eines Punktes die Funktionsgleichung nicht,
Abb. 95: Darstellung eines funktionalen Zusammenhangs mittels einer Wertetabelle.
Funktionswerte (zumindest näherungsweise). Beispielsweise kann auf diese Weise an Oszilloskopen oder Kardiogrammen der zeitliche Verlauf eines elektrischen Spannungssignals direkt beobachtet werden.
4
Abb. 96: Darstellung von Wertepaaren mittels eines Diagramms (Beispiel: Tageslänge im Jahresverlauf am 50. Breitengrad).
Wie das Bild einer Funktion bei einer graphischen Darstellung konkret aussieht, hängt auch von der Wahl des Koordinatensystems, insbesondere von der Skalierung der Achsen ab. Weisen beispielsweise die
𝑥-
und die
𝑦 -Achse
unterschiedliche Skalierungen auf, so
erscheint das Funktionsbild verzerrt. Zur rechnerischen Untersuchung einer Funktion wird die “analytische” Form, also eine Darstellung als Funktionsgleichung bevorzugt. Eine Funktionsgleichung kann wiederum bei Bedarf jederzeit in eine Wertetabelle oder eine graphische Form gebracht werden. Man unterscheidet zwischen zwei Arten von Funktionsgleichungen:
Bei der
𝑦
expliziten
Form ist die Funktionsgleichung nach der (abhängigen) Variablen
aufgelöst.
Beispiel: 𝑦 = 2 · 𝑥3 − 5 4 Hierbei entspricht die Zeit
𝑦 = 𝑓 (𝑡)
𝑡 der Variablen. Für zeitabhängige Funktionswerte wird daher häufig auch
geschrieben.
143
Bei einer
impliziten
𝑦 auf der 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 0.
Variable Form
Form treten die unabhängige Variable
𝑥
und die abhängige
gleichen Seite der Gleichung auf; die Gleichung hat damit die
Beispiel: 2 · 𝑥3 − 𝑦 + 5 = 0 Nicht jede Funktion kann in einer nach weise form
𝑥 + 𝑦 + sin (𝑦) = 0. Sofern 𝑦 = 𝑓 (𝑥) bevorzugt.5
𝑦
aufgelösten Form dargestellt werden, beispiels-
möglich, wird im Allgemeinen die explizite Darstellungs-
Surjektivität, Injektivität und Bijektivität Die Unterscheidung von surjektiven, injektiven und bijektiven Funktionen ermöglicht eine wichtige Einteilung von Funktionen.
Eine Funktion heißt surjektiv, wenn jedes Element ihrer Wertemenge
W mindestens
einmal als Funktionswert auftritt, also jedes Element der Wertemenge mindestens einem Element der Definitionsmenge zugeordnet ist.
Abb. 97: Beispiel einer surjektiven Funktion (Sinus).
Am Diagramm einer Funktion lässt sich diese Eigenschaft daran erkennen, dass jede beliebige, zur
𝑥-Achse
parallele Gerade den Funktionsgraph im gesamten Wertebe-
reich mindestens einmal schneidet.
Beispiel: 𝑓 (𝑥) = sin (𝑥) mit der Definitionsmenge D = R und W = [−1; +1] ist surjektiv. Der Funktionsgraph wird 𝑥-Achse parallelen Geraden zwischen 𝑦 = −1 und 𝑦 = 1
Die Sinus-Funktion der Wertemenge von jeder zur
mindestens einmal geschnitten.
5 Bisweilen wird anstelle der Schreibweise hängigkeit der Variablen
𝑦
von der Variablen
𝑦 = 𝑓 (𝑥) auch die Kurzform 𝑦(𝑥) 𝑥 zum Ausdruck zu bringen.
144
verwendet, um die Ab-
Eine Funktion heißt injektiv, wenn jedes Element ihrer Wertemenge
W höchstens
einmal als Funktionswert auftritt, also jedes Element der Wertemenge maximal einem Element der Definitionsmenge zugeordnet ist.
Abb. 98: Beispiel einer injektiven Funktion
(𝑦 = 2𝑥 ).
Am Diagramm einer Funktion lässt sich diese Eigenschaft daran erkennen, dass jede beliebige, zur
𝑥-Achse
parallele Gerade den Funktionsgraph im gesamten Wertebe-
reich höchstens einmal schneidet.
Beispiel: 𝑓 (𝑥) = 2𝑥 mit der Definitionsmenge D = R und der Wertemenge W = R ist injektiv. Der Funktionsgraph wird von jeder zur 𝑥-Achse parallelen Geraden im positiven Wertebereich (𝑦 > 0) genau einmal, im negativen Wertebereich (𝑦 < 0) überhaupt nicht geschnitten.
Die Funktion
Eine Funktion heißt bijektiv, wenn jedes Element ihrer Wertemenge
W genau
einmal
als Funktionswert auftritt, also jedes Element der Wertemenge genau einem Element der Definitionsmenge zugeordnet ist.
6
Am Diagramm einer Funktion lässt sich diese Eigenschaft daran erkennen, dass jede beliebige, zur
𝑥-Achse
parallele Gerade den Funktionsgraph im gesamten Wertebe-
reich genau einmal schneidet.
Beispiel: 𝑓 (𝑥) = 𝑥3 mit der Definitionsmenge D = R und der Wertemenge W = R ist bijektiv; der Funktionsgraph wird von jeder zur 𝑥-Achse
Die Funktion
parallelen Geraden im gesamten Wertebereich genau einmal geschnitten.
6 Somit ist jede bijektive Funktion sowohl surjektiv als auch injektiv.
145
Abb. 99: Beispiel einer bijektiven Funktion
(𝑦 = 𝑥3 ).
Jede surjektive oder injektive Funktion kann durch eine geeignete Einschränkung der Definitionsmenge bzw. der Wertemenge zu einer entsprechenden bijektiven Funktion gemacht 7
werden.
Umkehrbarkeit einer Funktion Eine Funktion ist eine mathematische Beschreibung dafür, welche “Ursache” eines Prozesses eine bestimmte Wirkung
𝑦
𝑥
innerhalb
hervorruft. Ein derartiger Zusammenhang ist
nur dann sinnvoll, wenn die Zuweisung eines beliebigen Wertes der Ausgangsgröße einem Ergebniswert
𝑦 -Werte
𝑦 = 𝑓 (𝑥)
stets eindeutig ist, ein
𝑥-Wert
𝑥
zu
also nicht zwei verschiedene
als Ergebnis liefern kann.
𝑦 = 𝑓 (𝑥) Umgekehrt ist es jedoch möglich, dass verschiedene
𝑥-Werte
den gleichen
𝑦 -Wert
als Er-
gebnis liefern.
Beispiele:
Unterschiedliche Körper können eine gleich große Masse besitzen. Ein einzelner Körper hingegen besitzt stets nur einen einzigen, eindeutigen Wert für die Größe seiner Masse.
7 Beispielsweise kann die (surjektive) Funktion
𝑓 (𝑥) = sin (𝑥) mit D = R und W = [−1; +1] durch eine D = [−𝜋; +𝜋] zu einer bijektiven Funktion gemacht werden. 𝑥 Entsprechend kann die (injektive) Funktion 𝑓 (𝑥) = 2 mit D = R und W = R durch eine Einschränkung + des Wertebereichs auf W = R zu einer bijektiven Funktion gemacht werden.
Einschränkung des Definitionsbereichs auf
146
In einem Obstladen kostet eine bestimmte Sorte Äpfel (zu einem bestimmten Zeitpunkt) einen eindeutigen Preis je Menge. Unabhängig davon, wie viele Äpfel ein Kunde tatsächlich kauft, ist der zu zahlende Gesamtbetrag dadurch eindeutig festgelegt. Der gleiche Preis je Menge kann gleichzeitig allerdings auch für eine andere Obstsorte gelten.
Im Allgemeinen sind Funktionen somit nicht “umkehrbar”, es lässt sich also nicht für jede Funktion eine Zuordnung finden, die jedem beliebigen
𝑦 -Wert
auf eindeutige Weise einen
𝑥-Wert zuweist. Eine Funktion besitzt diese Eigenschaft genau dann, wenn sie bijektiv
ist.
Ist eine Funktion nicht bijektiv, so muss sie zuerst durch Einschränkung ihrer Definitionsbzw. Wertemenge zu einer bijektiven Funktion gemacht werden.
𝑓U einer Funktion 𝑓 findet man, indem man die ursprüngliche Funk𝑦 = 𝑓 (𝑥) nach 𝑥 auflöst und anschließend die Variablen 𝑥 und 𝑦 vertauscht.
Die Umkehrfunktion tionsgleichung
Beispiel:
Die Umkehrfunktion
𝑓U
der Funktion
zunächst die Funktionsgleichung nach
𝑦 =2·𝑥+3
𝑓 (𝑥) = 2 · 𝑥 + 3 lässt 𝑥 aufgelöst wird: ⇔
𝑥=
sich berechnen, indem
1 · (𝑦 − 3) 2
Multipliziert man in der rechten Gleichung die Klammer aus und vertauscht die Bezeichnungen der Variablen
𝑥
und
𝑦,
𝑦=
so folgt für die Umkehrfunktion
𝑓U :
1 · 𝑥 − 1, 5 2
Bildet man nach dem gleichen Prinzip erneut die Umkehrfunktion einer Umkehrfunktion, so erhält man wieder die ursprüngliche Funktion zurück.
Abb. 100: Graph einer Funktion
(𝑦 = 2 · 𝑥 + 3) und ihrer Umkehrfunktion (𝑦 = 12 · 𝑥 − 1, 5).
147
Im gleichen Koordinatensystem werden eine Funktion
𝑦 = 𝑓 (𝑥) und ihre Umkehrfunktion
𝑦 = 𝑓U (𝑦) durch einen gleichen Funktionsgraphen dargestellt, wenn lediglich die Benennung der 𝑥- und 𝑦 -Achse (Argument- und Funktionswerte) ausgetauscht werden. Sollen die Bezeichnungen der 𝑥- und 𝑦 -Achse hingegen bestehen bleiben, so sind die Graphen einer Funktion und ihrer Umkehrfunktion stets achsensymmetrisch zur Winkelhalbierenden des ersten und dritten Quadranten.
Monotonie und Beschränktheit Die Untersuchung einer Funktion auf Monotonie, Beschränktheit, Grenzwerte und Stetigkeit ermöglicht es im Bereich der Analysis, weiter reichende Aussagen über die Funktion, beispielsweise das Aussehen des Funktionsgraphen, zu treffen.
Monotonie In gleicher Weise wie bei
Zahlenfolgen
stellt auch bei Funktionen die Monotonie eine
wichtige charakteristische Eigenschaft einer Funktion dar. Gilt für alle Elemente
𝑥1 < 𝑥2
𝑓 (𝑥1 ) ≤
aus dem Definitionsbereich einer Funktion auch
𝑓 (𝑥2 ), so heißt die Funktion monoton steigend. Entsprechend heißt eine Funktion monoton fallend, wenn für die Funktionswerte aller 𝑥1 < 𝑥2 die Bedingung 𝑓 (𝑥1 ) > 𝑓 (𝑥2 ) gilt. Bei einer konstanten Funktion sind die Funktionswerte 𝑓 (𝑥) für alle 𝑥 konstant. Es gilt somit für jede Funktion
𝑓 (𝑥1 ) ≤ 𝑓 (𝑥2 ) 𝑓 (𝑥1 ) ≥ 𝑓 (𝑥2 ) 𝑓 (𝑥1 ) = 𝑓 (𝑥2 )
𝑓 (𝑥)
für alle für alle für alle
und
𝑥1 < 𝑥2 :
→ → →
𝑛 𝑛 𝑛
𝑓 (𝑥) 𝑓 (𝑥) 𝑓 (𝑥)
ist monoton zunehmend. ist monoton abnehmend. ist konstant.
Gilt bei der obigen Unterscheidung anstelle der Kleiner-Gleich-Relation Relation
,
so nennt
monoton ab- bzw. zunehmend. Jede streng monoton steigende
Funktion ist bijektiv und somit umkehrbar; die Umkehrfunktion hat dabei die gleiche Monotonie wie die ursprüngliche Funktion.
Beschränktheit Eine Funktion
𝑓 (𝑥)
wird beschränkt genannt, wenn es zwei reelle Zahlen
so dass alle Funktionswerte
𝑦 = 𝑓 (𝑥)
𝑠
und
𝑆
gibt,
zwischen beiden begrenzenden Zahlen liegen, wenn
also gilt:
𝑠 ≤ 𝑓 (𝑥) ≤ 𝑆 Hierbei wird
𝑠
als untere Schranke und
𝑆
für alle
𝑥∈D
als obere Schranke der Funktion bezeichnet.
Eine Funktion kann in einem bestimmten Bereich auch nur einseitig eine untere oder eine obere Schranke aufweisen. Beispielsweise gilt für alle Werte der Funktion
148
𝑓 (𝑥) =
−𝑥4 + 2 · 𝑥2 + 3
die Ungleichung
𝑓 (𝑥) ≤ 4,
so dass jede Zahl
≥4
eine obere Schranke
der Funktion darstellt. Es lässt sich jedoch keine untere Schranke für die gleiche Funktion definieren, da sie im negativen Bereich betraglich unendlich große Werte annimmt.
Abb. 101: Beispiel einer einseitig beschränkten Funktion
(𝑦 = −𝑥4 + 2 · 𝑥2 + 3).
Hat eine Funktion in einem bestimmten Bereich weder eine obere noch eine untere Schranke, so heißt die Funktion in diesem Bereich unbeschränkt.
Grenzwerte einer Funktion Die Werte einer Funktion können sich – abhängig vom Funktionstyp – ebenso wie die Werte einer Zahlenfolge mit zunehmenden
𝑥-Werten einem bestimmten Zahlenwert annä-
hern. Eine Funktion besitzt genau dann einen solchen Grenzwert, wenn sie
beschränkt
monoton
und
ist.
Grenzwerte für 𝑥 → ∞ und 𝑥 → −∞ Grenzwerte von Funktionen werden ebenfalls in sehr ähnlicher Weise wie Grenzwerte von
Folgen
definiert. Während jedoch der “Definitionsbereich” von Folgen auf die natürlichen
Zahlen beschränkt ist und somit nur die
𝑥-Werte
ein
Grenzwert für
𝑥→∞
existieren kann, können
von Funktionen sowohl im positiven wie auch im negativen Zahlenbereich
unendlich groß werden; es lässt sich daher ein Grenzwert sowohl für
𝑥 → −∞
definieren.
149
𝑥→∞
wie auch für
Ein Grenzwert einer Funktion für
𝑥 → ∞
existiert genau dann, wenn sich für immer
𝑥-Werte die zugehörigen 𝑦 -Werte immer mehr an einen bestimmten Wert 𝑔 annä𝑥-Werte ab einer gewissen Zahl 𝑥0 das Konvergenzkriterium erfüllt ist, also die Differenz von 𝑓 (𝑥) − 𝑔 beliebig klein wird. Für jeden noch so kleinen Wert 𝜀 muss also gelten: größere
hern. Dies ist genau dann der Fall, wenn für alle
|𝑓 (𝑥) − 𝑔| < 𝜀
für alle
⇔
𝑥 > 𝑥0
𝑔
ist Grenzwert von
𝑓 (𝑥)
(81)
Anschaulich besagt diese Bedingung, dass man sich einen beliebig dünnen “Schlauch” (eine so genannte
𝜀-Umgebung)
um den Grenzwert
Funktionswerte ab einem bestimmten Existiert ein Grenzwert sitive
𝑥-Werte,
𝑔
𝑎
herum denken kann und dann alle
𝑥-Wert innerhalb dieser Umgebung liegen müssen.8
einer Funktion für beliebig große negative beziehungsweise po-
so schreibt man:
Grenzwert für unendlich große, negative
𝑥-Werte : lim 𝑓 (𝑥) = 𝑔1
Grenzwert für unendlich große, positive
𝑥-Werte : lim 𝑓 (𝑥) = 𝑔2
𝑥→−∞
(82)
𝑥→+∞
𝑓 (𝑥) einer der beiden obigen Grenzwerte, so nennt man die 𝑥 → −∞ beziehungsweise 𝑥 → +∞. Ebenso ist es möglich, Grenzwert für 𝑥 → ±∞ besitzt; in diesem Fall nennt man sie
Existiert für eine Funktion Funktion “konvergent” für dass eine Funktion keinen divergent.
Beispiele:
1 (eine so genannte “Hyperbelfunktion”) ist für 𝑥 → ∞ kon𝑥 vergent zum Grenzwert Null. Für 𝑥 → −∞ ist der Grenzwert ebenfalls gleich Null. Die Funktion
𝑓 (𝑥) =
Es gilt also:
(︂ )︂ 1 lim =0 𝑥→±∞ 𝑥
Die Funktion
𝑓 (𝑥) =
𝑥 ist für 𝑥+1
𝑥 → ±∞ konvergent zum Grenzwert 1. Es gilt also: (︂ lim
𝑥→±∞
Die Funktion
𝑓 (𝑥) = 𝑥2
𝑥 𝑥+1
)︂ =1
(eine “Parabel”) ist divergent, sie hat keinen Grenzwert.
Werden die Funktionswerte einer divergierenden Funktion mit zunehmenden unendlich groß, so bezeichnet man
𝑥-Werten
∞ als “uneigentlichen” Grenzwert – tatsächlich existiert 𝑔 als obere Schranke, wie sie für einen Grenzwert
in diesem Fall keine bestimmte Zahl eigentlich existieren muss.
8 Ebenso kann man für jede monotone Zahlenfolge
𝑥𝑛
aus den Werten des Definitionsbereichs die Folge
der zugehörigen Funktionswerte betrachten. Hat eine Funktion beispielsweise für
𝑔,
so hat auch jede frei wählbare Folge
Grenzwert
𝑥𝑛
die Folge
𝑓𝑛 (𝑥𝑛 )
𝑔.
150
𝑥→∞
den Grenzwert
der zugehörigen Funktionswerte den gleichen
Grenzwert für 𝑥 → 𝑥0 Grenzwerte von Funktionen können nicht nur für unendlich große negative bzw. positive
𝑥-
Werte betrachtet werden; es ist ebenso möglich zu prüfen, ob ein Grenzwert existiert, wenn
𝑥-Werte
sich die
𝑔,
einem frei wählbaren Wert
𝑥0
annähern. Existiert ein solcher Grenzwert
so schreibt man:
lim 𝑓 (𝑥) = 𝑔
(83)
𝑥→𝑥0 Ist die Funktion
𝑓 (𝑥)
an der Stelle
𝑥0
gleich ihrem Funktionswert, es gilt also
definiert, so ist ihr Grenzwert an dieser Stelle
𝑓 (𝑥0 ) = 𝑔
für
𝑥0 ∈ D .
Der obige Grenzwert kann
allerdings auch dann existieren, wenn die Funktion an der Stelle Vor allem an den Grenzen des Definitionsbereichs
D
𝑥0
nicht definiert ist.
(beispielsweise an Definitionslücken)
werden Funktionen deshalb häufig auf mögliche Grenzwerte untersucht. Sofern möglich, nähert man dazu die
𝑥-Werte
der Stelle
𝑥0
sowohl von links als auch von
rechts an; man untersucht also das Verhalten der Funktion an den Stellen
𝑥0 + 𝛿 ,
wobei
𝛿
𝑥0 − 𝛿
und
eine möglichst kleine Zahl ist. Man bildet also folgende Grenzwerte:
𝑔− = 𝑔+ =
lim
(︀
𝑓 (𝑥)
)︀
lim
(︀
𝑓 (𝑥)
)︀
𝑥→(𝑥0 −ℎ), ℎ→0
𝑥→(𝑥0 +ℎ), ℎ→0
Entsprechend bezeichnet man die beiden zugehörigen Grenzwerte
𝑔−
und
𝑔+
als “linkssei-
tig” bzw. “rechtsseitig”.
Rechenregeln für Grenzwerte Für das Rechnen mit Grenzwerten gibt es folgende Rechenregeln:
(︀ )︀ (︀ )︀ (︀ )︀ lim 𝑓1 (𝑥) ± 𝑓2 (𝑥) = lim 𝑓1 (𝑥) ± lim 𝑓2 (𝑥) (︀ )︀ (︀ )︀ (︀ )︀ lim 𝑓1 (𝑥) · 𝑓2 (𝑥) = lim 𝑓1 (𝑥) · lim 𝑓2 (𝑥) (︀ )︀ (︂ )︂ lim 𝑓1 (𝑥) 𝑓1 (𝑥) (︀ )︀ = lim 𝑓2 (𝑥) lim 𝑓2 (𝑥)
(84)
Bei der Division zweier Funktionen bzw. Grenzwerte muss dabei darauf geachtet werden,
(︀ )︀ 𝑓2 (𝑥) ̸= 0 für alle 𝑥 sowie lim 𝑓2 (𝑥) ̸= 0 𝑔(𝑥) eine Funktion mit dem Grenzwert ∞ für
dass nicht durch Null dividiert wird, d.h. es muss gelten. Ist im Speziellen
𝑥 → ∞,
𝑓 (𝑥) = 1
und
so gilt:
lim 𝑓 (𝑥) = ∞
𝑥→∞
⇒
1 =0 𝑥→∞ 𝑓 (𝑥) lim
(︀ )︀ 𝑓1 (𝑥) < 𝑓2 (𝑥) < 𝑓3 (𝑥) und sind die Grenzwerte 𝑓1 (𝑥) = lim𝑥→𝑥0 𝑓2 (𝑥) = 𝑔 der kleinsten und größten Funktion identisch,
Gilt zudem für drei Funktionen
lim𝑥→𝑥0
(︀
)︀
so gilt dies auch für den Grenzwert der “mittleren” Funktion.
151
Stetigkeit Man bezeichnet eine Funktion an einer Stelle le der linksseitige Grenzwert
𝑔 = 𝑓 (𝑥0 )
𝑔− ,
𝑥0 ∈ D
als stetig, wenn an dieser Stel-
der rechtsseitige Grenzwert
𝑔+
und der Funktionswert
übereinstimmen. Eine Funktion wird (global) stetig genannt, wenn die Stetig-
keitsbedingung für alle
𝑥-Werte
des Definitionsbereichs erfüllt ist.
Anschaulich bedeutet Stetigkeit, dass der Graph einer Funktion keine “Sprünge” macht, d.h. entlang des Definitionsbereichs als eine durchgezogene Linie (ohne Absetzen des Schreibstifts) gezeichnet werden kann. Dies ist bei sehr vielen Funktionen der Fall, beispielsweise bei allen ganzrationalen Funktionen, der Sinus- bzw. Cosinusfunktion. Auch 1 sind stetig, da sich ihre Funktionswerte nur die Tangens- und Hyperbelfunktion 𝑓 (𝑥) = 𝑥 an den jeweils nicht definierten Stellen (Definitionslücken) sprunghaft ändern. Auch die Kombination zweier oder mehrerer stetiger Funktionen mittels den Grundrechenarten Addition, Subtraktion, Multiplikation oder Division ungleich Null ergibt wieder eine stetige Funktion. Ein anschauliches Beispiel für eine lokal, aber nicht global stetige Funktion ist die so genannte Signum-Funktion (auch Vorzeichenfunktion genannt). Sie ist abschnittsweise folgendermaßen definiert:
⎧ ⎪ ⎨−1 sgn(𝑥) = 0 ⎪ ⎩ +1
falls falls falls
𝑥0
Abb. 102: Funktionsgraph der Signumsfunktion
𝑥0 = 0 (lokal) stetig. An dieser Stelle 𝑔− = −1, ihr Funktionswert 𝑓 (0) = 0 und ihr
Die Signum-Funktion ist an allen Stellen bis auf jedoch stimmen ihr linksseitiger Grenzwert rechtsseitiger Grenzwert
𝑔+ = 1
𝑦 = sgn(𝑥).
nicht überein.
152
Zwischenwertsatz und Extremwertsatz Ist eine Funktion
𝑓
in einem Intervall stetig, so ist sie dort auch begrenzt. Es existieren
also eine untere Schranke
𝑥-Werte
𝑠
und eine obere Schranke
𝑆,
so dass
𝑠 ≤ 𝑓 (𝑥) ≤ 𝑆
für alle
des Intervalls gilt.
[𝑎 ; 𝑏] stetig, so gilt der so genannte Extremwertsatz: In diesem Fall lassen sich stets zwei Funktionswerte 𝑚 und 𝑀 finden, so dass 𝑚 ≤ 𝑓 (𝑥) ≤ 𝑀 gilt. Der Wert 𝑚 wird dabei als Minimum, der Wert 𝑀 als Maximum der Funktion 𝑓 im Intervall [𝑎 ; 𝑏] bezeichnet.
Ist eine Funktion
𝑓
in einem abgeschlossenen Intervall
Eine in einem abgeschlossenen Intervall Wert zwischen
[𝑎 ; 𝑏]
stetige Funktion
𝑓
nimmt zudem jeden
𝑓 (𝑎) und 𝑓 (𝑏) mindestens einmal an. Diese insbesondere für die numerische
Berechnung von Nullstellen wichtige Tatsache wird “Zwischenwertsatz” genannt.
Nullstellen Als eine Nullstelle wird ein Ausgangswert gehörige Funktionswert
𝑦 = 𝑓 (𝑥0 )
𝑥0
einer Funktion bezeichnet, für den der zu-
den Wert Null annimmt:
𝑓 (𝑥0 ) = 0
⇔
𝑥0
ist eine Nullstelle
Die Nullstellen einer Funktion lassen sich bestimmen, indem man in die implizite oder explizite Darstellung der Funktion für
𝑦
den Wert Null einsetzt und die sich ergebende
Gleichung mit algebraischen Methoden nach
𝑥
auflöst. Je nach Art der Funktion ist es
möglich, dass diese mehrere, eine oder auch keine Nullstelle besitzt.
Abb. 103: Funktionsgraph mit drei Nullstellen.
Zeichnet man eine Funktion als Graph in einem Koordinatensystem ein, so stellen Nullstellen Schnitt- oder Berührungspunkte mit der
153
𝑥-Achse
dar.
Schnittpunkte zweier Funktionen Eng verbunden mit der Bestimmung von Nullstellen ist die Bestimmung von Schnittstellen
𝑓2 (𝑥), so kann man prüfen, für welche 𝑥-Werte aus dem gemeinsamen Definitionsbereich D = D1 ∩ D2 die Werte der Funktionen übereinstimmen, d.h. für welche Ausgangswerte |𝑥0 , 𝑥1 , usw. die Bedingung 𝑓1 (𝑥) = 𝑓2 (𝑥) gilt. Das Lösen dieser Gleichung stimmt formal mit der Bestimmung der Nullstelle von 𝑓1 (𝑥) − 𝑓 2(𝑥) überein: zweier oder mehrerer Funktionen. Betrachtet man zwei Funktionen
𝑓1 (𝑥) = 𝑓2 (𝑥)
⇔
𝑓1 (𝑥)
und
𝑓1 (𝑥) − 𝑓2 (𝑥) = 0
Existieren ein oder mehrere Schnittpunkte, so sind an den entsprechenden Stellen die Funktionswerte von
𝑓1
𝑓2
und
üblicherweise nicht gleich Null. Man erhält die zugehörigen
𝑦 -Werte der Schnittpunkte, indem man die beim 𝑥-Werte in eine der beiden Funktionen einsetzt.
Lösen der obigen Gleichung gefundenen
Verknüpfung und Verkettung von Funktionen Aus den elementaren Funktionen, die in den nächsten Abschnitten näher beschrieben werden, lassen sich weitere Funktionen zusammensetzen. Dies ist auf zweierlei Arten möglich:
Bei einer so genannten Verknüpfung werden zwei Funktionen durch eine der vier Grundrechenarten miteinander verbunden. Das Ergebnis einer so zusammengesetzten Funktion erhält man, indem man zunächst die Werte der beiden Funktionen berechnet und diese dann mit der entsprechenden Grundrechenart verknüpft. Schrittweise lassen sich so auch mehrere Funktionen miteinander verknüpfen, wobei auf die Auswertungsreihenfolge der Verknüpfungen (Multiplikation bzw. Division vor Addition bzw. Subtraktion) zu achten ist. Allgemein hat eine verknüpfte Funktion somit folgende Form:
𝑦 = 𝑓1 (𝑥) + 𝑓2 (𝑥) 𝑦 = 𝑓1 (𝑥) · 𝑓2 (𝑥)
mit mit
D = D1 ∩ D2 D = D1 ∩ D2
oder
(85)
Einfache Sonderfälle von Gleichung (85) ergeben sich hierbei, wenn eine der beiden Funktionen konstant ist. Hierbei entstehen folgende Funktionen:
𝑦 = 𝑓 (𝑥) + 𝑐
und/oder
𝑦 = 𝑐 · 𝑓 (𝑥)
Im ersten Fall wird zu jedem Funktionswert die Konstante
𝑐 < 0 ist). Bei 𝑐 Einheiten unten für 𝑐 < 0).
(86)
𝑐
addiert (beziehungs-
weise subtrahiert, wenn
einer graphischen Darstellung wird der
Funktionsgraph dadurch um
in vertikaler Richtung verschoben (nach
oben für
𝑐 > 0,
nach
Im zweiten Fall wird der Funktionswert mit einer Konstanten durch wird der Funktionsgraph im Fall vertikal gestreckt. Ist
𝑐 < 0,
|𝑐| < 1
𝑐
multipliziert. Da-
vertikal gestaucht, im Fall
so wird der Funktionsgraph (wie bei einer
Streckung ) an der 𝑥-Achse gespiegelt.
154
|𝑐| > 1
zentrischen
Bei einer so genannten Verkettung werden zwei Funktionen “hintereinander” ausgeführt, d.h. der Funktionswert der ersten Funktion wird als Ausgangswert der zweiten Funktion verwendet. Dies ist im Allgemeinen nur dann möglich, wenn der Wertebereich der ersten Funktion eine Teilmenge des Definitionsbereichs der zweiten Funktion ist. Allgemein hat eine verkettete Funktion somit folgende Form:
(︀ )︀ 𝑦 = 𝑓2 𝑓1 (𝑥) Dabei wird
𝑓2
als äußere und
𝑓1
mit
D = W1 ∩ D2
(87)
als innere Funktion bezeichnet. Ähnlich wie bei der
Auswertung von Termen in Klammern wird zunächst der Wert der inneren Funktion
𝑓1
berechnet, und dieser anschließend, sofern erlaubt, als Argument für die äußere
Funktion
Hinweis:
𝑓2
eingesetzt.
Zu diesem Abschnitt gibt es
Übungsaufgaben .
Elementare Funktionen Grundlegende Funktionen, die in unterschiedlichen Zusammenhängen in der Mathematik immer wieder auftauchen, werden “elementare Funktionen” genannt. Hierfür gibt es zwar keine klaren Kriterien, doch üblicherweise sind damit die folgenden Funktionen gemeint:
Potenz- und Wurzelfunktionen Eine Potenzfunktion hat allgemein folgende Funktionsgleichung:
𝑓 (𝑥) = 𝑥𝑛
(88)
In praktischen Anwendungen treten Potenzfunktionen sehr häufig auf; beispielsweise werden durch sie Proportionalitäten zwischen einer Größe gangsgröße
𝑥
𝑦
beschrieben. Wichtige Sonderfälle sind hierbei mit
stante Funktion und mit
𝑓 (𝑥) = 𝑥
𝑛-ten Potenz der Aus𝑓 (𝑥) = 𝑥0 = 1 die kon-
und der
die lineare Funktion. Wurzelfunktionen lassen sich
ebenfalls als Potenzfunktion mit rationalem Exponenten auffassen. Einige wichtige Eigenschaften von Potenzfunktionen werden im Folgenden näher beschrieben.
Gerade und ungerade Potenzfunktionen Potenzfunktionen auch höheren Grades – also allgemein Funktionen der Form mit
𝑛∈N
– lassen sich in gerade und ungerade Funktionen unterteilen.
155
𝑓 (𝑥) = 𝑥𝑛
Potenzfunktionen mit geraden Exponenten Eine Funktion heißt “gerade”, wenn für alle
𝑥∈D
folgende Bedingung gilt:
𝑓 (−𝑥) = 𝑓 (𝑥)
(89)
Zu jedem Punkt des Funktionsgraphen existiert in diesem Fall ein zweiter Kurvenpunkt, der achsensymmetrisch zur
𝑦 -Achse ist. Diese Bedingung wird von allen Potenzfunktionen
mit geradzahligen Exponenten erfüllt, da sich bei diesen die Minuszeichen der negativen
𝑥-Werte
beim Potenzieren gegenseitig aufheben. Die konstante Funktion 0 ebenfalls zu den geraden Funktionen gezählt, da 𝑥 = 1 ist.
𝑓 (𝑥) = 𝑐
wird
Abb. 104: Beispiele von Potenzfunktionen mit geraden Exponenten.
Zusätzlich haben alle geraden Potenzfunktionen folgende Eigenschaften:
Die Funktionsgraphen verlaufen stets durch die Punkte Die Funktionen sind streng monoton fallend für für
(−1, 1), (0, 0)
und
(1, 1).
𝑥 < 0 und streng monoton steigend
𝑥 > 0.1 R, ihr Wertebereich R+ 0 ; sie sind also nach Schranke gilt 𝑠 = 0.
Der Definitionsbereich der Funktionen ist unten beschränkt, und für die untere
1 Steht eine Potenzfunktion in Betragszeichen, ist also
𝑓 (𝑥) = |𝑥𝑛 |,
so ist diese Funktion in jedem
Fall gerade, da mögliche negative Vorzeichen von Funktionswerten dadurch aufgehoben werden (siehe beispielsweise Abbildung
Betragsfunktion ).
156
Potenzfunktionen mit ungeraden Exponenten Eine Funktion heißt “ungerade”, wenn für alle
𝑥∈D
folgende Bedingung gilt:
−𝑓 (−𝑥) = 𝑓 (𝑥)
(90)
Zu jedem Punkt des Funktionsgraphen existiert somit ein zweiter Kurvenpunkt, der punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung
(0, 0)
ist. Diese Bedingung wird von allen
Potenzfunktionen mit ungeraden Exponenten erfüllt, da sich die Funktionswerte von negativen
𝑥-Werte
gegenüber den Funktionswerten von betragsgleichen positiven
𝑥-Werten
2
nur im Vorzeichen unterscheiden.
Abb. 105: Beispiele von Potenzfunktionen mit ungeraden Exponenten.
Zusätzlich haben alle ungeraden Potenzfunktionen folgende Eigenschaften:
Der Funktionsgraph verläuft stets durch die Punkte Die Funktion ist für alle
𝑥-Werte
(−1, −1), (0, 0)
und
(1, 1).
entweder streng monoton fallend oder streng mo-
noton steigend.
Der Definitionsbereich sowie der Wertebereich der Funktion ist
R.
Wurzelfunktionen Wurzelfunktionen haben allgemein folgende Funktionsgleichung:
𝑓 (𝑥) =
√ 𝑛
𝑥
(91)
2 Um die Umkehrfunktion einer geraden Potenzfunktion zu bilden, muss somit der Definitionsbereich eingeschränkt werden (meist auf
R+ 0 ).
157
Dabei ist der Wurzelexponent 3
positive reelle Zahl. Zahl ist, ist
𝑛
eine feste natürliche und die Variable
𝑥
eine beliebige
Da die Wurzel einer beliebigen positiven Zahl ebenfalls eine positive
W = D = R+ 0.
Aufgrund der Beziehung
√ 1 𝑛 𝑥 = 𝑥𝑛
lassen sich Wurzelfunk-
tionen als Potenzfunktionen mit rationalem Exponenten auffassen. Zugleich ist die 𝑛-te √ 𝑛 𝑥 die Umkehrfunktion der 𝑛-ten Potenzfunktion 𝑦 = 𝑥𝑛 , da gilt: Wurzelfunktion 𝑦 =
𝑥 = 𝑓U (𝑦) =
√ 𝑛
𝑛
𝑥𝑛 = 𝑥 𝑛 = 𝑥1 = 𝑥
Abb. 106: Beispiele von Wurzelfunktionen.
Alle Wurzelfunktionen sind stetig, streng monoton steigend und haben fache) Nullstelle. Die Funktionsgraphen haben neben dem Punkt
(1, 1)
𝑥0 = 0
als (ein-
(0, 0)
auch den Punkt 𝑛 gemeinsam; sie entstehen durch Spiegelung der jeweiligen Potenzfunktion 𝑥 an der
Geraden
𝑦 = 𝑥.
Ganz- und gebrochenrationale Funktionen 3 Diese Einschränkung ist zumindest für reellwertige Funktionen notwendig, da in diesem Fall keine Wurzeln mit negativen Argumenten definiert sind. Im Bereich der
komplexen Zahlen
gilt die Beziehung
√
158
−1 = 𝑖.
Ganzrationale Funktionen Ganzrationale Funktionen haben allgemein folgende Funktionsgleichung:
𝑦=
𝑛 ∑︁
𝑎𝑖 · 𝑥𝑖 = 𝑎n · 𝑥𝑛 + 𝑎n−1 · 𝑥𝑛−1 + . . . + 𝑎2 · 𝑥2 + 𝑎1 · 𝑥 + 𝑎0
(92)
𝑖=0 Hierbei bezeichnet man den größten Exponenten Funktion, die reellen Zahlen
𝑎0
bis
𝑎𝑛
𝑛 ∈ N
des Polynoms als “Grad” der
nennt man Koeffizienten. Ganzrationale Funktionen
haben allgemein folgende Eigenschaften: 1. Ganzrationale Funktionen sind für alle reellen Zahlen definiert, es gilt also
D = R. Sie
sind im gesamten Bereich stetig, d.h. der Funktionsgraph ergibt eine kontinuierliche Kurve ohne Sprünge.
𝑛 2. Jede Potenzfunktion 𝑥 mit 𝑛 ≥ 1 wird für große 𝑥-Werte unendlich groß, da lim𝑥−>∞ 𝑥𝑛 = ∞ ist. Bei einer ganzrationalen Funktion richtet sich der Grenzwert nach der höchsten Potenz und hat das gleiche Vorzeichen wie der dazugehörige Koeffizient. 3. Jede ganzrationale Funktion
𝑛-ten
Grades hat maximal
𝑛
verschiedene Nullstellen.
Ebenso ist es möglich, dass bei der Bestimmung der Nullstellen ein Wert mehrfach vorkommt. In diesem Fall ist die Nullstelle mehrfach zu zählen, wobei der Vielfachheit folgende Bedeutung zukommt:
Bei geradzahlig-mehrfachen Nullstellen berührt der Funktionsgraph die
𝑥-
Achse, verbleibt allerdings auf der selben Seite der Achse.
Bei ungeradzahlig-mehrfachen Nullstellen schneidet der Funktionsgraph die
𝑥-
Achse. Aus Potenzfunktionen zusammengesetzte Funktionen sind meist weder gerade noch ungerade, außer sie bestehen ausschließlich aus nur geraden oder nur ungeraden Potenzfunktio-
𝑥𝑖 (Nullstellen, Extremstellen und Wendepunkte), sofern 𝑥𝑖 ̸= 0 ist, stets paarweise. Die 𝑥-Werte der besonderen Stellen unterscheiden sich dabei nur in ihrem Vorzeichen, es ist also 𝑥1 = −𝑥2 . nen. Sowohl gerade als auch ungerade Funktionen haben besondere Stellen
Zudem haben sie folgende Eigenschaften:
Ganzrationale Funktionen geraden Grades sind stets einseitig beschränkte Funktionen. Sie haben entweder keine oder eine gerade Anzahl an Nullstellen, die unter Umständen mehrfach zu zählen sind.
Ganzrationale Funktionen ungeraden Grades sind stets unbeschränkt und haben stets (mindestens) eine Nullstelle. Die Gesamtzahl der Nullstellen ist stets ungerade.
Im Folgenden werden die obigen und weitere Eigenschaften am Beispiel der häufig vorkommenden linearen und quadratischen Funktionen, also den einfachsten Vertretern von ganzrationalen Funktionen (mit
𝑛=1
beziehungsweise
159
𝑛 = 2),
näher beschrieben.
Lineare Funktionen Wenn eine Größe in gleichem Maß zunimmt wie auch eine andere Größe wächst, so nennt man den Zusammenhang direkt proportional oder linear. Die zugehörige mathematische Funktion hat folgende Form:
𝑦 =𝑎·𝑥+𝑏 Lineare Zusammenhänge zweier Größen treten im Alltag – beispielsweise bei
Aufgaben
Dreisatz-
– sowie in den Naturwissenschaften sehr häufig auf.
Beispiele:
Je größer die Geschwindigkeit eines Fahrzeugs ist, desto länger ist die Wegstrecke, die es in einer bestimmten Zeit zurücklegt.
Je mehr Plätzchen auf Vorrat gebacken werden, desto länger kann man davon naschen (vorausgesetzt, jeden Tag werden gleich viele Plätzchen verspeist).
Je mehr Geld man ausgeben möchte, desto mehr muss man verdienen. Oder: Je sparsamer man mit einer bestimmten Menge Geld umgeht, desto länger kann man davon leben. Ähnlich ist es mit dem Benzinverbrauch eines Fahrzeugs.
Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade, die umso steiler verläuft, je größer der Proportionalitätsfaktor bezeichnet. Der Wert
𝑎
ist;
𝑎
wird daher auch aus “Steigung” der linearen Funktion
𝑏 stellt den Anfangswert dar (das Ergebnis der Funktion, wenn 𝑥 = 0
ist).
Abb. 107: Graphen der linearen Funktionen Parametern
𝑎
(links) und
𝑏
𝑦 = 𝑎 · 𝑥 bzw. 𝑦 = 𝑥 + 𝑏 mit unterschiedlichen
(rechts).
𝑦 Eine Funktion heißt proportional, wenn das Verhältnis der Größen immer einen kon𝑥 𝑦 stanten Wert hat, d.h. wenn = 𝑘 gilt. Das ist genau dann der Fall, wenn 𝑦 = 𝑘 ·𝑥 ist. Bei 𝑥
160
proportionalen Funktionen handelt es sich folglich um lineare Funktionen, die üblicherweise durch den Koordinatenursprung verlaufen und eine positive Steigung aufweisen.
Quadratische Funktionen In manchen Situationen wächst eine Größe durch den Einfluss einer anderen Größe stärker 2 als proportional. Nimmt eine Messgröße um das 2, 4, 9, 16, 𝑛 -fache zu, während die Ausgangsgröße den
1, 2, 3, 4, 𝑛-fachen
Wert annimmt, so nennt man die zugehörige Funktion
quadratisch.
Beispiele:
Ein Quadrat mit einer Flächeninhalt
2, 3, 4, . . .-fachen Seitenlänge 𝑙 besitzt einen 4, 9, 16, . . .-fachen
𝐴Quadrat . 𝐴Quadrat = 𝑙2
Die Fläche
𝐴Kreis
eines Kreises wächst ebenfalls quadratisch mit zunehmendem Ra-
dius an. Zur exakten Berechnung muss der Radius
𝜋
𝑟 quadriert und mit der Kreiszahl
multipliziert werden.
𝐴Kreis = 𝜋 · 𝑟2
Die Strecke, die ein Körper im freien Fall (ohne Reibung) zurücklegt, nimmt quadratisch mit der Zeit zu: Nach einer Sekunde hat der Körper knapp 5 Meter zurückgelegt, nach zwei Sekunden 20 Meter, nach drei Sekunden 45 Meter, nach vier Sekunden 80 Meter, usw. Allgemein gilt für die Fallstrecke 𝑔 = 9, 81 sm2 folgende Formel:
𝑠
mit der Erdbeschleu-
nigung
𝑠=
1 · 𝑔 · 𝑡2 2
Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel bzw. ein Stück davon.
Die Normalparabel Allgemein besitzt eine quadratische Funktion folgende Form:
𝑦 = 𝑎 · 𝑥2 + 𝑏 · 𝑥 + 𝑐 Im einfachsten Fall sind die beiden Parameter
𝑏, 𝑐 = 0
(93) sowie
𝑎 = 1.
Die Funktion verein-
facht sich damit zu:
𝑦 = 𝑥2
(94)
Den zu Gleichung (94) gehörigen Funktionsgraphen nennt man Normalparabel. Ihre Funktionswerte ergeben sich jeweils durch Quadrieren der eingesetzten Die Besonderheiten einer Normalparabel sind:
161
𝑥-Werte.
Abb. 108: Graph der Normalparabel
Der Scheitel der Normalparabel liegt bei
(0; 0).
Die Normalparabel ist symmetrisch zur
𝑦 -Achse.
𝑦 = 𝑥2 .
Der Grund hierfür ist, dass sich
das Minuszeichen beim Quadrieren aufhebt – Minus mal Minus ergibt Plus.
Die Normalparabel besitzt nur nicht-negative onsbereich
𝐷 =R
𝑦 -Werte,
d.h. sie bildet den Definiti+ auf den positiven Bereich der reellen Zahlen 𝑊 = R ab. Der
Grund hierfür ist, dass für die Quadratzahl einer jeden reellen Zahl 2
𝑛 ∈ R
gilt:
𝑛 ≥0
Bedeutung der Parameter 𝑎, 𝑏 und 𝑐 Durch Variation der Parameterwerte
𝑎, 𝑏 und 𝑐 ergeben sich gegenüber der Normalparabel
folgende Veränderungen:
Ist der Parameter
0 < 𝑎 < 1,
so ist die Parabel gegenüber der Normalparabel
gestaucht, d.h. ihre Werte wachsen langsamer als es bei der Normalparabel der Fall ist. Im umgekehrten Fall
𝑎 > 0
ist die resultierende Parabel gegenüber der
Normalparabel gestreckt. Gilt
𝑎 < 0,
so ist die Parabel nach unten hin geöffnet.
Lässt sich eine Parabelgleichung als binomische Formel schreiben, beispielsweise 𝑥2 − 6𝑥 + 9 = (𝑥 − 3)2 oder allgemein (𝑥 ± 𝑏)2 , so bewirkt der in der quadrierten Klammer stehende Parameter rechts (falls
𝑏 eine Verschiebung nach links (falls 𝑏 > 0) bzw. nach
𝑏 < 0).
162
Abb. 109: Graphen der Parabelgleichung
Die Wirkung des Parameters
𝑦 = 𝑎 · 𝑥2
für verschiedene Parameter
𝑏·𝑥 lässt sich bestimmen, indem man mit Hilfe der ers1
ten Ableitung den Wert des Parabelscheitels allgemein berechnet.
𝑎 𝑏 − 2·𝑎
𝑎.
Je nach Größe
𝑐
bewirkt der Parameter 𝑏 eine Verschiebung des Parabel𝑏2 − 4·𝑎 + 𝑐 in vertikaler Richtung. Im Falle 𝑏 einer Normalparabel (𝑎 = 1 und 𝑐 = 0) bewirkt 𝑏 · 𝑥 eine Verschiebung um − in 2 2 𝑥-Richtung sowie eine Verschiebung um − 𝑏4 in 𝑦 -Richtung. der Werte von
und
scheitels um
in horizontaler und um
1 Für die erste Ableitung der Parabelgleichung (93) gilt:
𝑓 ′ (𝑥) = 2 · 𝑎 · 𝑥 + 𝑏 Der Parabelscheitel ist die einzige Stelle einer Parabel, an der ihre Steigung wert). Der
𝑥-Wert
𝑓 ′ (𝑥) gleich Null ist (Extrem𝑓 ′ (𝑥) = 0
des Scheitelpunktes lässt sich somit bestimmen, wenn in dieser Gleichung
gesetzt wird:
𝑓 ′ (𝑥) = 0
⇔
2·𝑎·𝑥+𝑏=0
⇒𝑥=− Den zugehörigen
𝑦 -Wert
𝑏 2·𝑎
des Parabelscheitels erhält man, wenn man
𝑏 𝑥S = − 2·𝑎
Parabelgleichung (93) einsetzt. Es ergibt sich:
(︂ 𝑦S = 𝑓
𝑏 − 2·𝑎
)︂
(︂
𝑏 =𝑎· − 2·𝑎 =𝑎· =
)︂2
(︂ )︂ 𝑏 +𝑏· − +𝑐 2·𝑎
𝑏2 𝑏2 − +𝑐 2 4·𝑎 2·𝑎
2 · 𝑏2 𝑏2 − +𝑐 4·𝑎 4·𝑎
=−
𝑏2 +𝑐 4·𝑎
163
in die ursprüngliche
Abb. 110: Graphen der Parabelgleichung Parameter
bzw.
𝑦 = 𝑥2 + 𝑏 · 𝑥
für verschiedene
𝑏.
Ist der Parameter (𝑐
𝑦 = (𝑥 + 𝑏)2
< 0)
𝑐 ̸= 0,
so ist die Parabel nach oben (𝑐
> 0)
bzw. nach unten
verschoben.
Treten mehrere der oben genannten Fälle ein, so kombinieren sich entsprechend die Effekte.
Gebrochenrationale Funktionen Gebrochenrationale Funktionen haben allgemein folgende Funktionsgleichung:
∑︀𝑛 𝑎𝑖 · 𝑥 𝑖 𝑎n · 𝑥𝑛 + 𝑎n−1 · 𝑥𝑛−1 + . . . + 𝑎2 · 𝑥2 + 𝑎1 · 𝑥 + 𝑎0 𝑍(𝑥) = 𝑦= = ∑︀𝑚𝑖=0 𝑘 𝑁 (𝑥) 𝑏m · 𝑥𝑚 + 𝑏m−1 · 𝑥𝑚−1 + . . . + 𝑏2 · 𝑥2 + 𝑏1 · 𝑥 + 𝑎0 𝑘=0 𝑏𝑘 · 𝑥 Gebrochenrationale Funktionen bestehen also aus einem Zählerpolynom und einem Nennerpolynom
(95)
𝑍(𝑥) mit Grad 𝑛
𝑁 (𝑥) mit Grad 𝑚. Ist 𝑛 < 𝑚, so nennt man die Funktion “echt”
gebrochenrational; andernfalls lässt sich die Funktion mittels
Polynomdivision als Summe
einer ganzrationalen Funktion und einer echt gebrochenrationalen Funktion schreiben.
Nullstellen und Polstellen Gebrochenrationale Funktionen sollten stets auf folgende Punkte hin untersucht werden:
Als Nullstellen von gebrochenrationalen Funktionen werden alle net, für die der Zählerterm
𝑍(𝑥)
𝑥-Werte
bezeich-
gleich Null wird, ohne dass der Nennerterm
ebenfalls gleich Null wird.
164
𝑁 (𝑥)
Abb. 111: Graphen der Parabelgleichung
𝑦 = 𝑥2 + 𝑐
für verschiedene Parameter
Als Polstellen von gebrochenrationalen Funktionen werden alle für die der Nennerterm
𝑁 (𝑥)
𝑐.
𝑥-Werte bezeichnet, 𝑍(𝑥)
gleich Null wird, ohne dass der der Zählerterm
ebenfalls gleich Null wird. Die Funktion ist (wegen der Division durch Null) an solchen Stellen nicht definiert. Der Graph der Funktion ist an Polstellen nicht stetig, sondern nähert sich asymptotisch einer durch entsprechenden und zur
𝑦 -Achse
𝑥-Wert
verlaufenden
2
parallelen Geraden an.
Beispiel:
Die folgende Funktion soll auf Nullstellen und Polstellen hin untersucht werden:
𝑦= Der Zählerterm ist nur für
𝑥0 = 0
𝑥 (𝑥 + 1)(𝑥 − 2) gleich Null, der Funktionsgraph hat somit nur
dort eine Nullstelle. Um die Polstelle(n) zu bestimmen, muss der Nennerterm gleich Null gesetzt werden:
!
(𝑥 + 1) · (𝑥 − 2) = 0 ⇒ 𝑥1 = −1 ;
𝑥2 = +2
2 Als Asymptote bezeichnet man allgemein eine Gerade oder Kurve, an die sich eine Funktion an einer Polstelle oder im Unendlichen annähert.
𝑥 → ±∞ eine schräg verlaufende Gerade als 1 größer ist als der Grad des Nenners. Ist der Grad des Zählers
Bei einer gebrochenrationalen Funktion erhält man für Asymptote, wenn der Grad des Zählers um um
≥2
größer als der Grad des Nenners, so nähert sich die gebrochenrationale Funktion asymptotisch
an eine schräge Kurve an. In beiden Fällen kann die Funktionsgleichung der Asymptote mittels einer
Polynomdivision
bestimmt werden.
𝑥→ ±∞ eine waagrechte Asymptote. Der 𝑦 -Wert dieser Asymptote ist gleich dem Verhältnis der Koeffizienten Ist der Grad des Zählers gleich dem Grad des Nenners, so hat die gebrochenrationale Funktion für
5 5·𝑥3 −𝑥 4 bei 4·𝑥3 +2·𝑥2 . Ist der Grad des Zählers kleiner als der Grad des Nenners, so hat die gebrochenrationale Funktion für 𝑥 → ±∞ die waagrechte der größten Potenzen des Zählers und des Nenners, beispielsweise
Asymptote
𝑦 = 0.
165
Die Funktion hat also zwei Polstellen bei
𝑥1 = −1
und
𝑥2 = 2.
Abb. 112: Beispiel von Nullstellen und Polstellen einer gebrochenrationalen Funktion. Werden sowohl der Zählerterm
𝑍(𝑥)
als auch der Nennerterm
𝑁 (𝑥)
für einen Wert
𝑥𝑖
gleich Null, so ist die Funktion an dieser Stelle ebenfalls nicht definiert. Zähler und Nen𝑘 ner enthalten jedoch in diesem Fall einen gemeinsamen Faktor (𝑥 − 𝑥𝑖 ) , durch den der gebrochenrationale Term für
𝑥 ̸= 𝑥𝑖
gekürzt werden kann.
Hyperbeln 1 stellen die einfachsten gebrochenrationalen Funktionen dar; sie 𝑥𝑛 werden Hyperbeln genannt. Alle diese Funktionen haben bei 𝑥0 = 0 eine Polstelle, die 𝑦 Funktionen der Form
Achse ist also eine senkrechte Asymptote. Die zweite, waagrechte Asymptote der Funktion für
𝑥 → ±∞
ist die
𝑥-Achse.
Alle Hyperbeln haben, da der Zähler stets ungleich Null ist, keine Nullstellen. Zudem verlaufen die Funktionsgraphen aller Hyperbeln durch den Punkt (1, 1). Aufgrund der 1 −𝑛 Beziehung 𝑛 = 𝑥 lassen sich Hyperbelfunktionen als Potenzfunktionen mit negativen 𝑥 Exponenten auffassen. Damit können auch Hyperbeln in
gerade und ungerade Funktionen
unterteilt werden:
Die Funktionsgraphen von Hyperbeln mit geraden Exponenten sind achsensymmetrisch zur
𝑦 -Achse,
sie verlaufen also im ersten und zweiten Quadranten und gehen
zusätzlich durch den Punkt
(−1, 1). Im Bereich 𝑥 < 0 sind gerade Hyperbeln streng 𝑥 > 0 streng monoton fallend. Nach unten sind gerade Schranke 𝑠 = 0 beschränkt.
monoton steigend, im Bereich Hyperbeln mit der unteren
Die Funktionsgraphen von Hyperbeln mit ungeraden Exponenten sind punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung
(0, 0),
sie verlaufen also im ersten und dritten
Quadranten und gehen zusätzlich durch den Punkt
(−1, −1).
Im gesamten Defini-
tionsbereich sind ungerade Hyperbeln streng monoton steigend.
166
Abb. 113: Beispiele von Hyperbelfunktionen.
𝑦 = 𝑥𝑐 ⇔ 𝑥 · 𝑦 = 𝑐 können 𝑥 und 𝑦 beschrieben werden.
Aufgrund der Beziehung
nalitäten
zwischen
mit Hyperbeln
indirekte Proportio-
Exponential- und Logarithmusfunktionen Exponentialfunktionen Exponentialfunktionen haben allgemein folgende Funktionsgleichung:
𝑦 = 𝑎𝑥 Dabei bezeichnet die “Basis” zudem der Fall
𝑎 = 1
𝑎 > 0
eine beliebige, konstante Zahl. Üblicherweise wird 𝑥 ausgeschlossen, da 1 = 1 eine konstante Funktion liefert. Am
weitesten verbreitet sind die Exponentialfunktionen mit den Basen
𝑎 = 10.
(96)
𝑎 = 2, 𝑎 = 𝑒
und
1
Im Fall
0 < 𝑎 < 1
sind Exponentialfunktionen streng monoton fallend, im Fall
streng monoton steigend. Alle Exponentialfunktionen haben den Punkt und nähern sich asymptotisch der
(0, 1)
𝑎 > 1
gemeinsam
𝑥-Achse an, ohne diese jemals zu berühren. Exponenti-
alfunktionen haben somit keine Nullstellen und 𝑠 = 0 als untere Schranke. Die Funktionen (︀ )︀𝑥 𝑦 = 𝑎−𝑥 und 𝑦 = 𝑎1 sind identisch; ihr gemeinsamer Funktionsgraph verläuft bezüglich 𝑥 2 der 𝑦 -Achse symmetrisch zur Funktion 𝑦 = 𝑎 .
1 Dabei bezeichnet 2 Die Identität von
𝑒 = 2, 71828182845... (︀ )︀𝑥die “Eulersche Zahl”. 𝑦 = 𝑎−𝑥 und 𝑦 = 𝑎1 ergibt sich aus der Beziehung 𝑎−𝑥 =
167
1 𝑎𝑥
=
(︀ 1 )︀𝑥 𝑎
.
Abb. 114: Beispiele von Exponentialfunktionen.
Für Exponentialfunktionen sind die folgenden vier
Rechenregeln für Potenzen von Bedeu-
tung:
𝑎𝑥1 +𝑥2 = 𝑎𝑥1 · 𝑎𝑥2 𝑎𝑥1 −𝑥2 = 𝑎𝑥1 : 𝑎𝑥2
1
𝑎𝑥1 · 𝑥2 = (𝑎𝑥1 )𝑥2 𝑥1 √ 𝑎 𝑥 2 = 𝑥 2 𝑎𝑥 1
(97)
(mit 𝑥2 ̸= 0)
Eine besondere Bedeutung von Exponentialfunktionen
𝑎𝑥
festem)
𝑛
der Fall ist; es gilt also für beliebige Werte
mit 𝑛
𝑥 𝑛 ∈ R+
Werte schneller wachsen als es bei einer Potenzfunktion
𝑎>1
liegt darin, dass ihre
mit beliebig großem (aber und
𝑎 > 1:
𝑎𝑥 =∞ 𝑥→∞ 𝑥𝑛 lim
Der Grund dafür liegt darin, dass die
Ableitung einer Exponentialfunktion als Maß für die
Steigung der jeweiligen Funktion selbst eine Exponentialfunktion ist: Nicht nur die Werte wachsen für
𝑎>1
somit exponentiell an, sondern auch die Zunahme der Werte nimmt in
diesem Fall exponentiell zu.
Logarithmusfunktionen Logarithmusfunktionen sind die
Umkehrfunktionen von Exponentialfunktionen. Sie haben
allgemein folgende Funktionsgleichung:
𝑦 = log𝑎 (𝑥)
168
(98)
Da Exponentialfunktionen eindeutig umkehrbar sind, gibt es zu jeder Exponentialfunktion eine entsprechende Logarithmusfunktion. Da der Definitionsbereich jeder Umkehrfunktion gleich dem Wertebereich der Originalfunktion ist, sind Logarithmen nur für
𝑥 > 0
definiert.
Abb. 115: Beispiele von Logarithmusfunktionen.
𝑎>0
Logarithmusfunktionen sind nur für
und
𝑎 ̸= 1
definiert. Wie bei den Exponenti-
alfunktionen, so sind auch bei den Logarithmusfunktionen die Basen
𝑎 = 2, 𝑎 = 𝑒
und
𝑎 = 10 am weitesten verbreitet; sie werden, wie bereits im Abschnitt Rechenregeln für Lo-
garithmen
beschrieben, als binärer, natürlicher und dekadischer Logarithmus bezeichnet: lb (𝑥)
= log2 (𝑥) : ln (𝑥) = log𝑒 (𝑥) : lg (𝑥) = log10 (𝑥) : 0 < 𝑎 < 1
Im Fall
1
dualer Logarithmus natürlicher Logarithmus dekadischer Logarithmus
sind Logarithmusfunktionen streng monoton fallend, im Fall
𝑎 > 1
streng monoton steigend. Die einzelnen Logarithmusfunktionen können jeweils durch einen Basiswechsel in einen Logarithmus mit einer anderen Basis umgeformt werden. Es gilt dabei:
log𝑎 (𝑥) =
log𝑏 (𝑥) log𝑏 (𝑎)
...
(99)
(0, 1) als einzige Null𝑥 → 0 asymptotisch der 𝑦 -Achse an. Die Funktionen
Alle Logarithmusfunktionen sind unbeschränkt, haben den Punkt stelle gemeinsam und nähern sich für
𝑦 = log 1 (𝑥) 𝑎
und
bezüglich der
𝑦 = − log𝑎 (𝑥)
𝑥-Achse
3 Die Identität von hungen zeigen:
sind identisch; ihr gemeinsamer Funktionsgraph verläuft
symmetrisch zur Funktion
𝑦 = log 𝑎1 (𝑥)
und
𝑦 = − log𝑎 (𝑥)
169
𝑦 = log𝑎 (𝑥).3
lässt sich mit Hilfe der folgenden beiden Bezie-
Für Logarithmusfunktionen sind die folgenden Rechenregeln von Bedeutung:
log𝑎 (𝑥1 · 𝑥2 ) = log𝑎 (𝑥1 ) + log𝑎 (𝑥2 ) log𝑎 (𝑥1 : 𝑥2 ) = log𝑎 (𝑥1 ) − log𝑎 (𝑥2 ) (100)
log𝑎 (𝑥1 )𝑥2 = 𝑥2 · log𝑎 (𝑥1 ) √ 1 log𝑎 ( 𝑥2 𝑥1 ) = · log𝑎 (𝑥1 ) 𝑥2
(mit 𝑥1 , 𝑥2 ̸= 0)
Eine besondere Bedeutung von Logarithmusfunktionen log𝑎 (𝑥) mit 𝑎 > 1 liegt darin, 𝑛 dass ihre Werte langsamer wachsen als es bei einer Potenz- bzw. Wurzelfunktion 𝑥 mit + beliebig kleinem (aber festem) 𝑛 der Fall ist; es gilt also für beliebige Werte 𝑛 ∈ R und
𝑎 > 1: log𝑎 (𝑥) =0 𝑥→∞ 𝑥𝑛 lim
Der Grund dafür liegt darin, dass die
Ableitung einer Logarithmusfunktion als Maß für die
Steigung der jeweiligen Funktion sehr schnell gegen Null geht; beispielsweise ist für
1 000 000
der Wert der Wurzelfunktion
𝑓 (𝑥) = 𝑥
1 2
(1 000 000) = 1 000, der Wert Wert hingegen nur log2 (1 000 000) ≈ jeder Logarithmus-Funktion 𝑓 (𝑥) =
gleich
log2 (𝑥) beträgt für diesen 19, 93. Dennoch ist der Grenzwert für 𝑥 → ∞ bei log𝑎 (𝑥) mit 𝑎 > 1 ebenfalls Unendlich. der Logarithmusfunktion
𝑥=
1 2
Trigonometrische Funktionen Die trigonometrischen Funktionen, auch “Winkelfunktionen” genannt, weisen jedem Winkel eine bestimmte Zahl zu, die das Längenverhältnis der entsprechenden Seiten in einem rechtwinkligen Dreieck angibt.
Die Winkelfunktionen am Einheitskreis Die beiden Winkelfunktionen Sinus und Cosinus lassen sich nicht nur als
nisse in einem rechtwinkligen Dreieck ,
Als Spezialfall der
Basisumrechnung log𝑎 (𝑏) =
Hierbei wird die Identität
von Logarithmen gilt für beliebige erlaubte Zahlen
log𝑏 (𝑏) 1 = log𝑏 (𝑎) log𝑏 (𝑎)
log𝑏 (𝑏) = 1
Differenz zweier Logarithmen
(︂ )︂ 1 log𝑏 = log𝑏 (1) − log𝑏 (𝑎) = 0 − log𝑏 (𝑎) = − log𝑏 (𝑎) 𝑎 genutzt.
Insgesamt gilt somit:
log 𝑎1 (𝑏) =
und
𝑏:
1
werden. Somit gilt:
log𝑏 (1) = 0
𝑎
genutzt.
Ein Quotient als Argument eines Logarithmus kann als
Hierbei wird die Identität
Längenverhält-
sondern auch als Streckenanteile interpretieren.
1 1 (︀ )︀ = − = − log𝑎 (𝑏) X log𝑏 (𝑎) log𝑏 𝑎1
170
dargestellt
Zeichnet man in ein Koordinatensystem einen Kreis mit Radius eins um den Koordina-
O = (0, 0) und verbindet den Koordinatenursprung mit einem auf dem Kreis P, so stellen Cosinus und Sinus die senkrechten Projektionen der Verbindungslinie auf die 𝑥- bzw. 𝑦 -Achse dar. Der Tangens entspricht der Steigung, welche die Verbindungslinie OP bei einem Winkel 𝛼 hat. tenursprung
entlang wandernden Punkt
OP besitzt die Länge OP entsprechen.
Abb. 116: Sinus und Cosinus am Einheitskreis. Die Verbindungslinie eins, so dass
cos 𝛼
und
sin 𝛼
den Längen des
𝑥-
bzw.
𝑦 -Anteils
von
Der entscheidende Vorteil dieser Darstellung liegt darin, dass der Winkel hierbei beliebig große Werte annehmen kann: Gilt für den Winkel entsprechenden Werte von
sin 𝛼, cos 𝛼
und
tan 𝛼
𝛼 > 360°,
so wiederholen sich auch die
mit einer Periode von
360°
1
von neuem.
Abb. 117: Vorzeichen von Sinus und Cosinus in den verschiedenen Quadranten.
Damit sich die Winkelfunktionen in einem üblichen Koordinatensystem darstellen lassen, wird der Winkel als Argument meist nicht im Gradmaß, sondern im
Bogenmaß angegeben.
Damit kann, da sich die trigonometrischen Funktionen für beliebig große Winkelwerte
1 Unter einer periodischen Funktion versteht man allgemein eine Funktion, für die gilt; dabei wird
𝑝
als Periode der Funktion bezeichnet.
171
𝑓 (𝑥 + 𝑝) = 𝑓 (𝑥)
gelten, kann beispielsweise auch
sin (𝑥)
anstelle von
sin (𝛼)
für jedes
𝑥∈R
geschrieben
werden. Die Vorzeichen der Winkelfunktionen wiederum richten sich danach, in welchem Quadranten des Koordinatensystems sich der “Kreisvektor”
OP
gerade befindet.
Anhand des Einheitskreises lässt sich auch der so genannte “trigonometrische Pythagoras” ableiten; Mit der Hypothenusenlänge lautet der
Satz des Pythagoras
OP = 1 und den Kathetenlängen sin (𝛼) und cos (𝛼)
hierbei:
(sin(𝛼))2 + (cos (𝛼))2 = 12 Gewöhnlich wird
sin2 (𝛼)
anstelle von
schrieben. Für beliebige Winkelwerte
(sin (𝛼))2 𝛼 bzw. 𝑥
und
cos2 (𝛼)
anstelle von
(cos (𝛼))2
ge-
ergibt sich damit die folgende wichtige
Beziehung:
sin2 (𝑥) + cos2 (𝑥) = 1
(101)
Eigenschaften und Funktionsgraphen der Winkelfunktionen Für einige besondere Winkel
𝛼 lassen sich die Werte der Winkelfunktionen als (verhältnis-
mäßig) einfache Bruch- bzw. Wurzelzahlen angeben – für die übrigen Winkelmaße ergeben
sin 𝛼
cos 𝛼 Werte mit unendlich vielen Nachkommastellen, die sich periodisch stets zwischen −1 und +1 bewegen. Die Werte von tan 𝛼 als dem Verhältnis von sin 𝛼 zu cos 𝛼 reichen von −∞ bis +∞ und sind nicht definiert, wenn cos 𝛼 = 0 gilt. und
𝛼 sin (𝛼) cos (𝛼) tan (𝛼)
0°
30°
0
1 2√
1 0
1 2 1 3
· √3 · 3
1 2 1 2
45√° · √2 · 2 1
Die Werte der Winkelfunktionen
1 2
60√° · 3 1 √2
3
sin 𝛼
90° 1 0 n.d. und
120 √° · 3 −√21 − 3
1 2
cos 𝛼
135 √° · √2 − 12 · 2 −1 1 2
150° − 12 − 13
1 2√
· √3 · 3
180°
270°
0
-1
-1
0
0
n.d.
lassen sich auch als (wellenartige) Funk-
tionsgraphen darstellen.
Abb. 118: Die Funktionsgraphen von Sinus und Cosinus für die erste Periode
360°).
172
(0 < 𝛼
0, 𝑎 > 0, 𝑎 ̸= 1 𝑥>0
𝑛∈R 𝑎 > 0, 𝑎 ̸= 1
Exponentialfunktion Logarithmusfunktion Natürliche Logarithmusfunktion Sinusfunktion Cosinusfunktion Tangensfunktion Cotangensfunktion
sin (𝑥) cos (𝑥) cos (𝑥) − sin (𝑥) tan (𝑥) cos21 (𝑥) = 1 + tan2 (𝑥) cot (𝑥) − sin21(𝑥) = − (1 + cot2 (𝑥))
𝑥 ̸= (2·𝑛 + 1) · 𝜋2 mit 𝑛∈N 𝑥 ̸= 𝑛 · 𝜋 mit 𝑛 ∈ N
Kurvendiskussion Als Kurvendiskussion bezeichnet man eine analytische Untersuchung einer gegebenen Funktion, um anhand charakteristischer Eigenschaften auf ihren Verlauf schließen zu können.
201
Dabei geht man, unabhängig von der Art der Funktion, immer nach einem im Wesentlichen gleichen Schema vor. Dieses Schema soll im Folgenden anhand der Beispielfunktion 4 3 +2·𝑥2 𝑓 (𝑥) = 𝑥 −3·𝑥 im Detail vorgestellt werden. 5·𝑥
1.: Bestimmung des Definitionsbereichs Zunächst muss überprüft werden, für welche
𝑥-Werte
die Funktion definiert ist; beispiels-
weise muss ausgeschlossen werden können, dass durch Null dividiert wird. Die
𝑥-Werte dürfen zudem nicht außerhalb des Definitionsbereichs der jeweiligen Funktion
liegen, beispielsweise muss darauf geachtet werden, dass die Argumente von Wurzel- oder 𝑛 Logarithmusfunktionen nicht negativ werden. der Form 𝑓 (𝑥) = 𝑥 mit
Potenzfunktionen 𝑛 ∈ N, ganzrationale Funktionen , Exponentialfunktionen sowie die Sinus- und Cosinusfunktion sind für alle reelle Zahlen definiert, bei ihnen gilt also D = R.
Der Definitionsbereich einer zusammengesetzten Funktion ist gleich der Schnittmenge der Definitionsbereiche aller Teilfunktionen.
Beispiel: 𝑥4 −3·𝑥3 +2·𝑥2 hat an der Stelle 𝑥 = 0 eine Definitionslücke, da 2·𝑥 für diesen Wert der Nenner der Funktion gleich Null wird. Für alle anderen 𝑥-Werte Die Funktion
𝑓 (𝑥) =
ist die Funktion definiert, es ist also
D = R ∖ {0}.
2.: Bestimmung des Verhaltens an den Rändern des Definitionsbereichs Sofern der Definitionsbereich der zu untersuchenden Funktion es zulässt, werden als nächstes die
Grenzwerte
der Funktion für unendlich große positive und negative
𝑥-Werte
un-
tersucht. Bei Wurzel- und Logarithmusfunktionen allerdings kann beispielsweise nur der Grenzwert für unendlich große positive
𝑥-Werte
bestimmt werden, da diese beiden Funk-
tionstypen nur für positive reelle Zahlen definiert sind. Hat die Funktion Definitionslücken, so sind auch die Grenzwerte der Funktion an diesen Stellen zu bestimmen.
Beispiel: 𝑥4 −3·𝑥3 +2·𝑥2 geht für sehr große positive 𝑥-Werte gegen Un2·𝑥 endlich, da in diesem Fall sowohl der Zähler wie auch der Nenner positive Werte Die Funktion
𝑓 (𝑥) =
annehmen, aber der Zähler schneller wächst als der Nenner. Es gilt also:
(︂ lim
𝑥→+∞ Für sehr große negative
𝑥4 − 3 · 𝑥3 + 2 · 𝑥2 2·𝑥
𝑥-Werte
)︂ = +∞
geht die Funktion gegen minus Unendlich, da in
diesem Fall die höchste Potenz des Zählers einen positiven Wert, der Nenner aber einen negativen Wert liefert, und der Zähler schneller wächst als der Nenner. Es gilt also:
(︂ lim
𝑥→−∞
𝑥4 − 3 · 𝑥3 + 2 · 𝑥2 2·𝑥
202
)︂ = −∞
Die Funktion hat zudem
𝑥=0
als Definitionslücke. Um die Grenzwerte für
𝑥→0
𝑥 ̸= 0 kann im 𝑥 gekürzt werden, da 𝑥 als gemeinsamer Faktor in jedem Zählerterm
zu berechnen, kann man folgenden Trick nutzen: An jeder Stelle Funktionsterm
enthalten ist. Somit gilt:
(︂ lim
𝑥→0
𝑥4 − 3 · 𝑥3 + 2 · 𝑥2 2·𝑥
)︂
(︀ )︀ = lim 𝑥3 − 3 · 𝑥2 + 2 · 𝑥 = 0 𝑥→0
Sowohl für sehr kleine negative wie für sehr kleine positive
𝑥-Werte gehen alle Terme
beim betrachteten Grenzwert gegen Null. Da der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert identisch sind, ist die Funktion “stetig behebbar”: Man könnte die Funk𝑥4 −3·𝑥3 +2·𝑥2 tion abschnittsweise mit 𝑓 (𝑥) = 0 für 𝑥 = 0 und 𝑓 (𝑥) = für 𝑥 ̸= 0 2·𝑥 definieren, um eine “nahtlose” Funktion zu erhalten, die für alle reellen Zahlen definiert ist.
Die Regel von L’Hospital In manchen Fällen erhält man bei der Bestimmung des Grenzwerts an einer Definitions√ 𝑥 . Diese lücke 𝑥0 ein nicht bestimmtes Ergebnis, beispielsweise bei der Funktion 𝑓 (𝑥) = 𝑥 Funktion hat an der Stelle 𝑥0 = 0 eine Definitionslücke, da der Nenner an dieser Stelle den Wert Null annimmt; gleichzeitig ist allerdings auch der Zähler
𝑓1 (𝑥) =
Stelle gleich Null. In derartigen Fällen, wenn sich ein Grenzwert der Form
√ 𝑥
“0” “0”
an dieser
ergibt, kann
die sogenannte “Regel von L’Hospital” angewendet werden:
lim
𝑥→𝑥0
𝑓1 (𝑥) = 𝑓2 (𝑥)
“0”
⇒
“0”
𝑓 (𝑥) =
Für das oben genannte Beispiel
lim
𝑥→𝑥0
𝑓1 (𝑥) 𝑓2 (𝑥)
𝑓1 (𝑥) 𝑓 ′ (𝑥) = lim 1′ 𝑓2 (𝑥) 𝑥→𝑥0 𝑓2 (𝑥)
√
=
𝑥 gilt: 𝑥
(︁ 1 )︁′ 1 1 𝑓1′ (𝑥) = 𝑥 2 = · 𝑥− 2 2 )︀ (︀ ′ 𝑓2′ (𝑥) = 𝑥1 = 1 Für die Stelle also gleich
𝑥0 = 1
gilt somit
1.
Haben also zwei Funktionen
𝑓1′ (1) 𝑓2′ (1)
𝑓1 (𝑥)
=
und
1 1
= 1,
𝑓2 (𝑥)
und
der Grenzwert der Funktion für
an einer Stelle
𝑥0
𝑥 → 𝑥0
beide den Grenzwert
0,
ist
so
besagt die Regel von L’Hospital, dass in diesem Fall der Grenzwert gleich dem Quotienten
𝑓1 (𝑥) und 𝑓2 (𝑥) ist, sofern beide Funktionen differenzierbar sind und Nennerfunktion an der Stelle 𝑥0 nicht gleich Null ist.
der Ableitungen von die Ableitung der
Die Regel von L’Hospital kann ebenfalls angewendet werden, wenn
lim𝑥→∞ 𝑓2 (𝑥) = 0
ist:
𝑓1 (𝑥) = 𝑥→±∞ 𝑓2 (𝑥) lim
“0” “0”
⇒
𝑓1 (𝑥) 𝑓 ′ (𝑥) = lim 1′ 𝑥→±∞ 𝑓2 (𝑥) 𝑥→±∞ 𝑓2 (𝑥) lim
203
lim𝑥→∞ 𝑓1 (𝑥) =
Weiterhin gilt die Regel von L’Hospital auch, wenn die Grenzwerte von beide für
𝑥 → 𝑥0
𝑥 → ±∞
oder
𝑓1 (𝑥)
und
𝑓2 (𝑥)
gegen Unendlich gehen:
𝑓1 (𝑥) “ ∞” lim = 𝑥→𝑥0 𝑓2 (𝑥) “ ∞”
⇒
𝑓1 (𝑥) “ ∞” = 𝑥→±∞ 𝑓2 (𝑥) “ ∞”
⇒
lim
𝑓1 (𝑥) lim = 𝑥→𝑥0 𝑓2 (𝑥)
𝑓1′ (𝑥) lim 𝑥→𝑥0 𝑓2′ (𝑥)
𝑓1 (𝑥) 𝑓 ′ (𝑥) = lim 1′ 𝑥→±∞ 𝑓2 (𝑥) 𝑥→±∞ 𝑓2 (𝑥) lim
Die Regel von L’Hospital ist somit in vielen Fällen nützlich, wenn ein Grenzwert auf andere Weise nicht bestimmt werden kann.
3.: Untersuchung auf Symmetrie Eine Funktion ist achsensymmetrisch zur
𝑥-Achse,
wenn
𝑓 (−𝑥) = 𝑓 (𝑥)
für alle
𝑥-Werte
des Definitionsbereichs gilt. Dies ist der Fall, wenn alle im Funktionsterm auftretenden Potenzen gerade sind. Eine Funktion ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung
𝑓 (𝑥)
für alle
𝑥-Werte
(0, 0),
wenn
−𝑓 (−𝑥) =
des Definitionsbereichs gilt. Dies ist der Fall, wenn alle im Funkti-
onsterm auftretenden Potenzen ungerade sind. Enthält eine Funktion Terme mit sowohl geraden wie auch ungeraden Exponenten, liegt keine Symmetrie vor.
Beispiel: 𝑥4 −3·𝑥3 +2·𝑥2 hat Terme mit sowohl geraden wie auch ungeraden 2·𝑥 Exponenten, sie ist somit nicht symmetrisch.
Die Funktion
𝑓 (𝑥) =
4.: Bestimmung von Nullstellen Als
Nullstellen
bezeichnet man diejenigen
gleich Null sind, für die also
𝑓 (𝑥) = 0
𝑥-Werte,
deren zugehörige Funktionswerte
gilt.
Beispiel: 𝑥4 −3·𝑥3 +2·𝑥2 als gebrochen-rationaler Funktion entsprechen 2·𝑥 die Nullstellen den Nullstellen des Zählers. Es muss somit geprüft werden, für welche 𝑥-Werte der Term 𝑥4 − 3 · 𝑥3 + 2 · 𝑥2 gleich Null ist, also folgende Gleichung gelöst Bei der Funktion
𝑓 (𝑥) =
werden:
𝑥4 − 3 · 𝑥3 + 2 · 𝑥2 = 0 Auf der linken Seite kann
𝑥2
als gemeinsamer Faktor ausgeklammert werden. Es
folgt:
(︀ )︀ 𝑥2 · 𝑥 2 − 3 · 𝑥1 + 2 = 0 Ein Produkt ist gleich Null, wenn einer der Faktoren gleich Null ist. Es wäre somit
𝑥 = 0 eine Nullstelle des Zählers, doch dieser Wert ist nicht in der Definitionsmenge
204
der Funktion enthalten. Zu untersuchen bleibt, für welche 𝑥2 − 3 · 𝑥 + 2 gleich Null wird:
𝑥-Werte der zweite Faktor
𝑥2 − 3 · 𝑥 + 2 = 0 Diese Gleichung kann mit Hilfe der Lösungsformel für quadratische Gleichungen
𝑎 = 1, 𝑏 = −3 und 𝑐 = 2 folgt: √︀ √ 3 ± 9 − 4 · (1 · 2) −𝑏 ± 𝑏2 − 4 · 𝑎 · 𝑐 3±1 = = = 2·𝑎 2 2
gelöst werden. Mit
𝑥1,2
Die Funktion hat also die zwei Nullstellen
𝑥1 = 1
und
𝑥1 = 2.
5.: Bestimmung von Extremstellen Bei der Untersuchung von
Extremstellen
wird geprüft, für welche
𝑥-Werte
der Funkti-
onsgraph Hochpunkte, Tiefpunkte oder Terrassenpunkte besitzt. Hierzu muss die erste Ableitung der Funktion bestimmt und gleich Null gesetzt werden. Um zu prüfen, um wel-
𝑥0 einen etwas ′ kleineren und einen etwas größeren 𝑥-Wert in die erste Ableitungsfunktion 𝑓 (𝑥) einsetzen chen Extremstellen-Typ es sich handelt, kann man zu jeder Extremstelle
und aus den erhaltenen Steigungswerten den Krümmungsverlauf betrachten: Beispielsweise bedeutet eine erst positive und dann negative Steigung einen Hochpunkt an der Stelle
𝑥0 . Eine zweite Möglichkeit zur Bestimmung des Nullstellentyps bietet die zweite Ableitungs′′ funktion 𝑓 (𝑥). Da man diese für eine Bestimmung der Wendepunkte ohnehin berechnen muss, kann man dies auch gleich an dieser Stelle tun und die
𝑥0
einsetzen. Ergibt sich für eine Stelle
𝑥-Werte
der Extremstellen
ein positiver Wert, so handelt es sich um einen
Tiefpunkt, ergibt sich ein negativer Wert, so handelt es sich um einen Hochpunkt. Ergibt 1
sich der Wert Null, so handelt es sich um einen Terrassenpunkt.
Die zu den Extremstellen gehörenden Funktionswerte erhält man durch Einsetzen in die ursprüngliche Funktion
𝑓 (𝑥).
Beispiel: 1 𝑥4 −3·𝑥3 +2·𝑥2 als 𝑓˜(𝑥) = · (𝑥3 2·𝑥 2 geschrieben werden. Die erste Ableitung dieser Funktion lautet:
Für
𝑥 ̸= 0
kann die Funktion
𝑓 (𝑥) =
𝑓 ′ (𝑥) =
− 3 · 𝑥2 + 2 · 𝑥)
)︀ 1 (︀ · 3 · 𝑥2 − 6 · 𝑥 + 2 2
Diese (Ableitungs-)Funktion ist gleich Null, wenn der Term
3 · 𝑥2 − 6 · 𝑥 + 2
gleich
Null ist:
3 · 𝑥2 − 6 · 𝑥 + 2 = 0 1 Als einfache Merkregel kann man an die Normalparabel ist
′
𝑓 (𝑥) = 2 · 𝑥,
die zweite Ableitung ist
′′
𝑓 (𝑥) = 2.
𝑓 (𝑥) = 𝑥2
denken. Deren erste Ableitung
Die Normalparabel hat einen Tiefpunkt bei
wobei der Wert der zweiten Ableitung an dieser Stelle positiv ist.
205
𝑥0 = 0,
Diese Gleichung kann mit Hilfe der Lösungsformel für quadratische Gleichungen
𝑎 = 3, 𝑏 = −6 und 𝑐 = 2 folgt: √︀ √ √ 6 ± 36 − 4 · (3 · 2) −𝑏 ± 𝑏2 − 4 · 𝑎 · 𝑐 6 ± 12 = = = 2·𝑎 6 6
gelöst werden. Mit
𝑥3,4
Die Funktion besitzt also die zwei Extremstellen
𝑥3 ≈ 0, 42
und
𝑥4 ≈ 1, 58.
Um
zu überprüfen, um welche Art von Extremstellen es sich handelt, wird die zweite Ableitung berechnet:
𝑓 ′′ (𝑥) = Für
𝑥3 ≈ 0, 42
1 · (6 · 𝑥 − 6) 2
ergibt sich beim Einsetzen ein Wert kleiner als Null, die Funktion
hat an dieser Stelle also einen Hochpunkt. Für
𝑥4 ≈ 1, 58 ergibt sich beim Einsetzen
ein Wert größer als Null, die Funktion hat an dieser Stelle also einen Tiefpunkt.
𝑥3 und 𝑥4 in die Funktion 𝑓 (𝑥) 𝑓 (𝑥3 ) ≈ 0, 19 und 𝑓 (𝑥4 ) ≈ −0, 19.
Ein Einsetzen von onswerte
ergibt die zugehörigen Funkti-
6.: Bestimmung von Wendepunkten Bei der Untersuchung hinsichtlich
Wendepunkten
wird geprüft, für welche
𝑥-Werte
die
zweite Ableitung der Funktion gleich Null ist. Hat man eine (oder mehrere) solche Stelle
𝑥0 gefunden, kann man anschließend durch Einsetzen eines etwas kleineren und eines etwas ′′ größeren 𝑥-Werts in die zweite Ableitungsfunktion 𝑓 (𝑥) prüfen, ob die jeweiligen Ergebnisse ein unterschiedliches Vorzeichen besitzen. In diesem Fall handelt es sich tatsächlich um einen Wendepunkt, andernfalls nicht.
Beispiel: 1 𝑥4 −3·𝑥3 +2·𝑥2 als 𝑓˜(𝑥) = · (𝑥3 2·𝑥 2 geschrieben werden. Die zweite Ableitung dieser Funktion lautet:
Für
𝑥 ̸= 0
kann die Funktion
𝑓 (𝑥) =
𝑓 ′′ (𝑥) =
1 · (6 · 𝑥 − 6) 2
Setzt man diese Funktionsgleichung gleich Null, so erhält man
𝑥=1
− 3 · 𝑥2 + 2 · 𝑥)
6·𝑥−6 = 0
oder
als einzige Wendestelle des Funktionsgraphen.
Dass es sich tatsächlich um eine Wendestelle handelt, kann durch Einsetzen bei′′ spielsweise der Werte 𝑥 = 0 und 𝑥 = 2 in die zweite Ableitung 𝑓 (𝑥) überprüft ′′ ′′ werden: Es ist 𝑓 (0) = −3 und 𝑓 (2) = 3, die Krümmung ändert also bei 𝑥 = 1 ihr Vorzeichen, somit hat der Funktionsgraph dort eine Wendestelle. Setzt man
𝑥=1
in die ursprüngliche Funktion
Funktion hat also einen Wendepunkt bei
𝑓 (𝑥)
ein, erhält man
𝑓 (1) = 0.
Die
(1, 0).
7.: Erstellung eines Funktionsgraphen Die bis zu diesem Schritt im Rahmen der Kurvendiskussion erarbeiteten Ergebnisse reichen grundsätzlich aus, um den Verlauf des Funktionsgraphen qualitativ richtig zeichnen
206
zu können; ergänzend können bei Bedarf einige weitere
𝑥-Werte
in die Funktion
𝑓 (𝑥)
eingesetzt werden, um weitere Punkte des Funktionsgraphen zu erhalten.
Beispiel: 𝑥4 −3·𝑥3 +2·𝑥2 sind nach den vorherigen Rechenschritten die 2·𝑥 Nullstellen, Extrem- und Wendestellen sowie das Verhalten im Unendlichen bekannt. Bei der Funktion
𝑓 (𝑥) =
Der Funktionsgraph sieht damit etwa so aus:
Abb. 136: Funktionsgraph der Beispielfunktion
𝑦=
𝑥4 −3·𝑥3 +2·𝑥2 . 2·𝑥
Das genannte Schema für Kurvendiskussionen lässt sich allgemein für beliebige Kombinationen elementarer Funktionen anwenden.
Extremwertaufgaben Ein häufiger Anwendungsfall der Differentialrechnung sind so genannte Extremwertaufgaben. Bei diesem Aufgabentyp wird zunächst eine Funktionsgleichung aufgestellt, welche die gesuchte Größe als Variable enthält. Wird die erste Ableitung dieser Funktionsgleichung gebildet und diese gleich Null gesetzt, so erhält man eine oder mehrere Stellen, für welche die gesuchte Größe minimal oder maximal ist.
Beispiel:
𝑙 = 100 m Zaunlänge soll ein rechteckiges Flächenstück mit möglichst großem Flächeninhalt 𝐴 eingezäunt werden. Welche Länge 𝑙 beziehungsweise Breite 𝑏 muss Mit
das eingezäunte Stück haben? Die Fläche des eingezäunten Rechtecks kann als Umfang kann als
2·𝑏+2·𝑙
𝐴 = 𝑙·𝑏
geschrieben werden. Der
ausgedrückt werden und soll gleich
also folgende zwei Bedingungen:
𝐴 = 𝑙 · 𝑏 = max
207
100 m sein. Es gelten
2 · 𝑙 + 2 · 𝑏 = 100 m Setzt man die nach
⇐⇒
𝑏 = 50 m − 𝑙
𝑏 aufgelöste zweite Gleichung in die erste Gleichung ein, so erhält 𝑙 enthält:
man eine Funktionsgleichung, die als Variable die gesuchte Länge
𝐴 = 𝑙 · 𝑏 = 𝑙 · (50 − 𝑙) = −𝑙2 + 50 m · 𝑙 Um die ideale Länge der Variablen
𝑙
𝑙0
zu bestimmen, wird die Flächenfunktion
𝐴(𝑙)
einmal nach
abgeleitet. Diese Ableitung kann dann gleich Null gesetzt werden:
!
𝐴′ = −2 · 𝑙 + 50 m = 0 ⇒ 𝑙 = 25 m Damit ist auch 2 lung (25 m) =
𝑏 = 50 m − 𝑙 = 25 m. 625 m2 .
Der Flächeninhalt
𝐴
beträgt bei dieser Auftei-
Die Herausforderung bei Extremwertaufgaben liegt in der mathematischen Formulierung der Bedingungen, aus deren Kombination sich eine mathematische Funktion mit der gesuchten Variablen aufstellen lässt. Die Bestimmung der Extremwerte erfolgt dann stets nach dem gleichen Prinzip.
Integralrechnung Um Flächen zu bestimmen, die von krummlinigen Funktionsgraphen und der
𝑥-Achse
eingeschlossen werden, entwickelte der Mathematiker Bernhard Riemann die Integralrechnung. Der Grundgedanke hinter den so genannten “Riemann-Summen” ist, dass sich jede derartige Fläche in eine Vielzahl von schmalen Rechtecken zerlegen lässt, wobei die Grundseiten aller Rechtecke auf der
𝑥-Achse
liegen und die Höhen der Rechtecke durch
die Funktionswerte an den jeweiligen Stellen gegeben sind. Die Summe der Flächen aller Rechtecke ergibt dann die Fläche zwischen dem Funktionsgraph und der
𝑥-Achse.
Abb. 137: Untersumme und Obersumme als Näherungen für den Flächeninhalt zwischen einem Funktionsgraphen und der
𝑥-Achse.
Je nachdem, ob man als Höhe jedes Rechtecks jeweils den kleineren oder größeren der Funktionswerte beider Randpunkte wählt, füllen die Rechtecke die Fläche unterhalb des
208
Funktionsgraphen entweder nicht ganz aus, oder sie ragen stets an einer Seite über den Funktionsgraphen hinaus. Die Summen der so gewählten Rechteck-Flächen werden
𝑈 bzw. Obersumme 𝑂 jeweils ∆𝑥 gilt: 𝑛 ∑︁ 𝑈n (𝑥) = 𝑓 (𝑥i−1 ) · ∆𝑥
dementsprechend als Untersumme gen mit einer Breite von
𝑂n (𝑥) =
𝑖=1 𝑛 ∑︁
bezeichnet. Für
𝑛
Unterteilun-
𝑓 (𝑥i ) · ∆𝑥−1
𝑖=1 Für die Fläche ten
𝑥1
und
𝑥2
𝐴[x1 ;x2 ] (𝑓 (𝑥)) unterhalb
gilt somit:
des Funktionsgraphen
𝑓
zwischen den zwei Punk-
1
𝑈n (𝑥) ≤ 𝐴[x1 ;x2 ] (𝑓 (𝑥)) ≤ 𝑂n (𝑥) Unterteilt man bei einer beliebigen Funktion den Bereich zwischen
𝑥1
und
𝑥2
in eine
größere Zahl an schmaleren Rechtecken, so lassen sich die Abweichungen der einzelnen Rechteckshöhen von den jeweiligen Funktionswerten verringern und damit die Werte der Unter- und Obersumme angleichen. Bei einer (theoretischen) Unterteilung in unendlich viele, dafür beliebig schmale Rechtecke haben die Unter- und Obersumme den gleichen Grenzwert, der mit der gesuchten Fläche
𝐴[x1 ;x2 ] (𝑓 (𝑥))
identisch ist.
Abb. 138: Integral als Riemann-Summe für infinitessimal kleine Unterteilungen von
[𝑥1; 𝑥2]. Mathematisch wird die Annäherung der Ober- und Untersumme bei unendlich vielen, infinitessimal kleinen Unterteilungen durch das so genannte Integralzeichen
∑︀
gekennzeichnet. Zudem wird anstelle von
d𝑥
geschrieben:
∫︁
für die Breite jedes einzelnen Rechtecks
𝑓 (𝑥) · d𝑥 = lim 𝑂n (𝑥) 𝑛→∞
𝑥1
∫︀ 𝑥2
𝑓 (𝑥)·d𝑥 wird dabei Integral von 𝑓 (𝑥) über [𝑥1 ; 𝑥2 ] genannt. Die Funktion 𝑥1 wird als Integrand und 𝑥1 bzw. 𝑥2 als Integrationsgrenzen bezeichnet.
Der Ausdruck
𝑓 (𝑥)
1 Das Gleichheitszeichen in der obigen Gleichung gilt nur für konstante Form
anstelle von
𝑥2
lim 𝑈n (𝑥) =
𝑛→∞
∆𝑥
∫︀
𝑦 = 𝑓 (𝑥) = konst.
209
𝑦 -Werte,
also Funktionen der
Integrierbarkeit und Stammfunktion ∫︀ 𝑏
𝑓 (𝑥)·d𝑥 einer Funktion 𝑓 (𝑥) über das Intervall [𝑎; 𝑏] lässt sich immer dann 𝑎 eindeutig berechnen, wenn die Funktion ist, der Funktionsgraph also keine Sprünge Ein Integral
stetig
aufweist. Das gleiche gilt für bereichsweise definierte Funktionen, die in den einzelnen Be-
beschränkt sind, also keine Unendlichkeitsstellen besitzen.
reichen Stetigkeit aufweisen und
Jede Funktion, die diese Bedingung erfüllt, wird integrierbar genannt. Der Wert eines Integrals
∫︀ 𝑏 𝑎
𝑓 (𝑥) · d𝑥
lässt sich am einfachsten berechnen, wenn man
eine so genannte “Stammfunktion” 𝐹 (𝑥) findet. Eine solche ′ Stammfunktion hat die Eigenschaft, dass ihre erste Ableitung 𝐹 (𝑥) gerade der ursprüngzur gegebenen Funktion
lichen Funktion
𝑓 (𝑥)
𝑓 (𝑥)
entspricht. Als Zusammenhang zwischen der Stammfunktion und
der zu integrierenden Funktion gilt für alle
𝑥 ∈ [𝑎; 𝑏]
also:
𝐹 ′ (𝑥) = 𝑓 (𝑥)
(132)
Die Integration kann also als Umkehrung der Differentiation angesehen werden. Während jedoch das Ableiten einer Funktion stets ein eindeutiges Ergebnis liefert, ist die Bestimmung der Stammfunktion nicht eindeutig: Ist
𝐹 (𝑥) + 𝐶 mit einer 𝑓 (𝑥), da ein konstanter
𝐹 (𝑥)
eine Stammfunktion von
𝐶∈R
𝑓 (𝑥),
so ist
jede Funktion
additiven Konstante
tion von
Term beim Ableiten stets den Wert Null ergibt. Die
ebenfalls eine Stammfunk-
Gesamtheit aller Stammfunktionen wird “unbestimmtes Integral” genannt und mittels
∫︀
𝑓 (𝑥) · d𝑥,
also ohne konkrete Integrationsgrenzen geschrieben.
Anfangsbedingung und Integralfunktion Aus der Menge aller Stammfunktionen soll üblicherweise eine bestimmt werden, die durch einen gegebenen Punkt
𝑃 (𝑥1 , 𝑦1 )
verläuft. Eine solche Forderung nennt man Anfangsbe-
dingung.
𝑎
Soll das Integral von einer festen Grenze ist das Integral gleich Null, wenn
𝑥=𝑎
bis zu einer variablen Grenze
𝑥
verlaufen, so
ist, da in diesem Fall keine Fläche aufgespannt
wird. Die Anfangsbedingung besteht somit darin, dass die Stammfunktion an der Stelle
𝑥=𝑎
eine Nullstelle aufweisen muss. Es muss also gelten:
𝐹 (𝑎) + 𝐶 = 0
⇔
𝐶 = −𝐹 (𝑎) ∫︀ 𝑥
𝑓 (𝑥) · d𝑥 als so genannte Integralfunk𝑎 tion interpretiert, die jeweils den Wert des Integrals liefert, wenn die untere Grenze 𝑎 und
Dieser Gedanke folgt daraus, dass man die oberen Grenze
𝑥
𝐹 (𝑥) =
entspricht. Mit der obigen Anfangsbedingung erhält man somit als
Wert für das bestimmte Integral über die Funktion
𝑓 (𝑥)
von
𝑎
bis
𝑥 = 𝑏:
𝑏
∫︁
𝑓 (𝑥) · d𝑥 = 𝐹 (𝑏) − 𝐹 (𝑎)
(133)
𝑎 Als Kurzschreibweise ist hierbei über eine Funktion
⃒𝑏 𝐹 (𝑥)⃒a := 𝐹 (𝑥) − 𝐹 (𝑎)
üblich. Möchte man das Integral
𝑓 (𝑥) zwischen zwei bestimmten Grenzen 𝑎 und 𝑏 berechnen, so genügt
210
es also, die Stammfunktion zu bestimmen, die Werte
𝑎
und
𝑏
in die Stammfunktion
einzusetzen und die Differenz beider Werte zu berechnen:
∫︁ 𝑎
𝑏
⃒𝑏 𝑓 (𝑥) · d𝑥 = 𝐹 (𝑥)⃒a = 𝐹 (𝑏) − 𝐹 (𝑎)
(134)
Die Schwierigkeit bei der Integralrechnung besteht folglich darin, eine Stammfunktion
𝐹 (𝑥)
zur gegebenen Funktion
𝑓 (𝑥)
zu finden.
Grundintegrale Von den elementaren Funktionen sowie einigen Kombinationen dieser Funktionen gibt es unmittelbare Lösungsformeln zur Bestimmung der jeweiligen Stammfunktion.
Integralregeln für Potenz- und Wurzelfunktionen
Ist die Funktion funktion
𝑓 (𝑥) = 𝑐 mit 𝑐 ∈ R eine konstante Funktion, so gilt für die Stamm-
𝐹 (𝑥): ⇔
𝑓 (𝑥) = 𝑐
𝐹 (𝑥) = 𝑐 · 𝑥 + 𝐶
(135)
𝑐 · 𝑥 der Fläche des Rechtecks mit der Breite 𝑐, Funktion und der 𝑥-Achse liegt und die Länge 𝑥 hat.
Anschaulich entspricht der Wert von das zwischen der konstanten
Ist die Funktion
𝑛 ̸= −1,
𝑓 (𝑥) = 𝑥𝑛
eine allgemeine
so gilt für die Stammfunktion
𝑓 (𝑥) = 𝑥𝑛
Potenzfunktion
mit der Einschränkung
𝐹 (𝑥):
⇔
𝐹 (𝑥) =
𝑥𝑛+1 +𝐶 𝑛+1
(136)
𝑛+1 Dieses Ergebnis folgt daraus, dass die Ableitung der Funktion 𝑥 dem Term (𝑛 + 𝑛 𝑛 1) · 𝑥 entspricht. Die ursprüngliche Funktion 𝑓 (𝑥) = 𝑥 unterscheidet sich lediglich 1 von diesem Ableitungsterm. um den Faktor 𝑛+1 2
𝑓 (𝑥) = 𝑥, so ist 𝐹 (𝑥) = 𝑥2 eine Stammfunktion. 1 Anschaulich entspricht der Term · 𝑥2 der Fläche eines Dreiecks, das zwischen dem 2 Graphen 𝑓 (𝑥) = 𝑥 und der 𝑥-Achse liegt; diese Fläche ist gleich der Hälfte der 2 Quadratfläche von 𝑓 (𝑥) · 𝑥 = 𝑥 · 𝑥 = 𝑥 . Ist beispielsweise
𝑛 = 1,
also
Integrale von linearen Funktionen treten in den Naturwissenschaften häufig auf, beispielsweise gilt für die zurückgelegte Wegstrecke 𝑠 bei einer Bewegung mit konstanter Beschleunigung 1𝑣 = 𝑎 · 𝑡 ⇐⇒ 𝑠 = 12 · 𝑎 · 𝑡2 + 𝑠0 , wobei in diesem Fall die Integrationsvariable die Zeit 𝑡 ist. Weitere Beispiele sind die Bewegungs- und Spannenergie, usw. Die obige Integrationsregel (136) gilt wegen des Zusammenhangs
√
Wurzelfunktionen . Beispielsweise gilt im Fall 𝑓 (𝑥) = 𝑥 = 𝑥 √ 1 𝑓 (𝑥) = 𝑥 = 𝑥 2
3
⇐⇒
211
𝐹 (𝑥) =
𝑥2 3 2
=
2·
1 2
√
mit
√ 𝑥3 3
1
𝑥 = 𝑥2 𝑛 = 12 :
auch für
𝑓 (𝑥) = 𝑥−1 =
1 mit 𝑥 ̸= 0, so ist eine Anwendung der obigen Regel (136) nicht 𝑥 möglich. Für diesen Sonderfall gilt vielmehr folgender Zusammenhang:
Ist
𝑓 (𝑥) = Die Stammfunktion der
1 𝑥
⇐⇒
𝐹 (𝑥) = ln (𝑥) + 𝐶
Hyperbelfunktion 𝑓 (𝑥) =
musfunktion 𝐹 (𝑥) = ln (𝑥).
1 ist also die natürliche 𝑥
2
Logarith-
Integralregeln für Exponentialfunktionen
𝑓 (𝑥) = 𝑒𝑥 𝐹 (𝑥):
Ist
mit
𝑒 = 2.7182 . . .
als Eulerscher Zahl, so gilt für die Stammfunktion
𝑓 (𝑥) = 𝑒𝑥
⇐⇒
𝐹 (𝑥) = 𝑒𝑥 + 𝐶
(137)
Ebenso wie die natürliche Exponentialfunktion beim Ableiten unverändert bleibt, so bleibt sie auch beim Integrieren unverändert.
Ist
𝑓 (𝑥) = 𝑎𝑥
mit
𝑎>0
und
𝑎 ̸= 1,
𝑓 (𝑥) = 𝑎𝑥
so gilt für die Stammfunktion
⇐⇒
𝐹 (𝑥) =
𝐹 (𝑥):
1 · 𝑎𝑥 ln (𝑎)
(138)
Auch die allgemeine Exponentialfunktion ergibt beim Integrieren wieder eine Expo1 berücksichtigt werden muss. nentialfunktion, wobei der Vorfaktor ln (𝑎)
Integralregeln für trigonometrische Funktionen und Arcusfunktionen
Ist
𝑓 (𝑥) = sin (𝑥),
so gilt für die Stammfunktion
𝑓 (𝑥) = sin (𝑥)
⇐⇒
𝐹 (𝑥):
𝐹 (𝑥) = − cos (𝑥) + 𝐶
Dieser Zusammenhang ergibt sich daraus, dass die
(139)
Ableitung der Cosinusfunktion
der negativen Sinusfunktion entspricht.
Ist
𝑓 (𝑥) = cos (𝑥),
so gilt für die Stammfunktion
𝑓 (𝑥) = cos (𝑥)
⇐⇒
𝐹 (𝑥):
𝐹 (𝑥) = + sin (𝑥) + 𝐶
Dieser Zusammenhang ergibt sich daraus, dass die
(140)
Ableitung der Sinusfunktion
der
Cosinusfunktion entspricht.
2 Auch in diesem Fall ist die Integration die Umkehrung der Differentiation, denn die
natürlichen Logarithmusfunktion 𝑓 (𝑥) = ln (𝑥) ist gerade 𝑓 ′ (𝑥) =
212
1 𝑥.
Ableitung der
Zusammenfassung wichtiger Integrationsregeln Für jedes Integral gelten folgende Eigenschaften:
Vertauscht man die obere und die untere Integrationsgrenze, so ändert das Integral sein Vorzeichen:
∫︁
𝑥2
∫︁
𝑥1
𝑓 (𝑥) · d𝑥
𝑓 (𝑥) · d𝑥 = −
(141)
𝑥2
𝑥1
Der Grund dafür liegt darin, dass hierbei die Breiten aller Rechtecke für
𝑥i+1 < 𝑥i
d𝑥i = (𝑥i+1 −𝑥i )
ein negatives Vorzeichen bekommen und somit bei der Auswertung des
Integrals über gleich große, aber negative Werte summiert wird.
Ist die obere Integrationsgrenze für jede beliebige Funktion
𝑥2
𝑓 (𝑥)
gleich der unteren Grenze
𝑥1 ,
so ist das Integral
gleich Null:
∫︁
𝑥1
𝑓 (𝑥) · d𝑥 = 0
(142)
𝑥1 Anschaulich lässt sich dies dadurch erklären, dass die Fläche zwischen
𝑥1
und
𝑥1
eine Breite von Null hat.
Jedes Integral lässt sich auf folgende Weise in zwei Teilintegrale zerlegen:
𝑥3
∫︁
∫︁
𝑥2
𝑓 (𝑥) · d𝑥 = 𝑥1 Ist
𝑥3
𝑥 1 < 𝑥2 < 𝑥3 ,
∫︁
𝑥3
𝑓 (𝑥) · d𝑥 + 𝑥1
𝑓 (𝑥) · d𝑥
(143)
𝑥2
so ist umittelbar einleuchtend, dass die Fläche zwischen
gleich der Summe der Teilflächen sein muss, da sich das Intervall
Teilintegrale
[𝑥1 ; 𝑥2 ] ∪ [𝑥2 ; 𝑥3 ]
[𝑥1 ; 𝑥3 ]
𝑥1
und
in zwei
zerlegen lässt und die entsprechenden Teilsummen
gebildet werden können. Die Regel gilt jedoch auch dann, wenn weise
𝑥2 > 𝑥3 ,
𝑥2
außerhalb von
[𝑥1 ; 𝑥3 ]
liegt; ist beispiels-
so wird die – gegenüber dem Gesamtintegral – mit dem ersten
Teilintervall zusätzlich addierte Fläche aufgrund der Vorzeichenregel (141) durch das zweite (negative) Teilintegral wieder subtrahiert.
Lässt sich eine zu integrierende Funktion als Summe zweier Funktion
𝑓1
und
𝑓2
darstellen, so ist das Ergebnis gleich der Summe der Integrale beider Funktionen:
∫︁
𝑥2
(︀
∫︁
)︀
𝑓1 (𝑥) + 𝑓2 (𝑥) · d𝑥 =
∫︁
𝑥1
Die obige Regel entspricht formal dem
𝑥2
𝑓1 (𝑥) · d𝑥 +
𝑥1
𝑥2
𝑓2 (𝑥) · d𝑥
Distributivgesetz .
Lässt sich eine zu integrierende Funktion als Produkt einer Funktion konstanten Faktors
𝑐
(144)
𝑥1
𝑓 (𝑥) und eines
darstellen, so kann dieser vor das Integral gezogen werden:
∫︁
𝑥2
∫︁
𝑥2
𝑐 · 𝑓 (𝑥) · d𝑥 = 𝑐 · 𝑥1 Die obige Regel entspricht dem
𝑓 (𝑥) · d𝑥
(145)
𝑥1
Assoziativgesetz
der Multiplikation. Anschaulich
kann man sich jeden Funktionswert und damit die Höhe aller zu addierenden Rechtecke um den Faktor
𝑐
gestreckt denken.
213
𝑓1 (𝑥) und 𝑓2 (𝑥) für jeden beliebigen Wert 𝑥 innerhalb des Intervalls [𝑥1 ; 𝑥2 ] die Bedingung 𝑓1 (𝑥) < 𝑓2 (𝑥), so gilt: ∫︁ 𝑥2 ∫︁ 𝑥2 𝑓2 (𝑥) 𝑓1 (𝑥) < 𝑓1 (𝑥) < 𝑓2 (𝑥) für alle 𝑥 ∈ [𝑥1 ; 𝑥2 ] ⇔ Erfüllen zwei Funktionen
𝑥1
𝑥1
Bestimmung der Fläche zwischen zwei Graphen Mittels der Integralrechnung kann nicht nur die Fläche zwischen einem Funktionsgraph
𝑥-Achse, sondern auch die zwischen zwei Funktionsgraphen 𝑓1 (𝑥) und 𝑓2 (𝑥) in einem Intervall [𝑎; 𝑏] eingeschlossene Fläche berechnet werden. Verläuft der Graph von 𝑓2 (𝑥) oberhalb des Graphen von 𝑓1 (𝑥), gilt also 𝑓2 (𝑥) > 𝑓1 (𝑥) für alle 𝑥 ∈ [𝑎; 𝑏], so und der
3
entspricht die gesuchte Fläche folgendem Integral:
𝑏
∫︁
𝑏
∫︁ 𝑓2 (𝑥) · d𝑥 −
𝑎
∫︁ 𝑓1 (𝑥) · d𝑥 =
𝑎
𝑏
(︀ )︀ 𝑓2 (𝑥) − 𝑓1 (𝑥) · d𝑥
(146)
𝑎
Schneiden sich Schnittpunkte zweier Funktionen, so müssen zunächst die
Schnittstellen
berechnet werden; anschließend kann einzeln von Schnittstelle zu Schnittstelle integriert werden. In jedem einzelnen Teilintervall wird dabei die Funktion mit den niedrigeren Funktionswerten von der Funktion mit den höheren Funktionswerten subtrahiert.
Integrationsmethoden In vielen Fällen, insbesondere bei zusammengesetzten Funktionen, lässt sich eine Integration nicht mittels der oben genannten
Grundintegrale
durchführen. In solchen Fällen
können allerdings oftmals weitere Integrationsmethoden angewendet werden.
Partielle Integration Die Methode der partiellen Integration entspricht formal einer umgekehrten Anwendung der
Produktregel
bei Ableitungen:
∫︁
𝑏
𝑓1 (𝑥) · 𝑎
𝑓2′ (𝑥)
)︁⃒𝑏 ∫︁ 𝑏 ⃒ 𝑓1′ (𝑥) · 𝑓2 (𝑥) · d𝑥 = 𝑓1 (𝑥) · 𝑓2 (𝑥) ⃒ − (︁
a
(147)
𝑎
Diese Methode kann immer dann genutzt werden, wenn die zu integrierende Funktion als Produkt zweier Teilfunktionen geschrieben werden kann. Lässt sich eine dieser Funktionen ′ leicht integrieren, so setzt man diese als 𝑓2 (𝑥); die andere Teilfunktion, die sich möglichst leicht ableiten lassen sollte, wird als 𝑓1 (𝑥) gesetzt. Das Integral kann dann berechnet werden, indem man zunächst als Zwischenergebnis das Produkt von 𝑓1 (𝑥) und der Stamm′ funktion von 𝑓2 (𝑥) bildet, die obere und untere Integrationsgrenze als 𝑥-Werte einsetzt und ∫︀ 𝑏 ′ beide Werte voneinander subtrahiert. Anschließend muss das Integral 𝑓 (𝑥) · 𝑓2 (𝑥) · d𝑥 𝑎 1 berechnet werden und dessen Wert vom Zwischenergebnis subtrahiert werden.
3 Formal ist Gleichung (146) zur Berechnung der Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen mit Gleichung (144) als Distributivgesetz der Integralrechnung identisch.
214
Die Methode der partiellen Integration wird insbesondere dann verwendet, wenn eine der 𝑛 beiden Teilfunktionen eine Potenzfunktion 𝑥 mit 𝑛 ∈ N ist. Bei einer derartigen Funktion ist die
𝑛-te
Ableitung ein konstanter Wert, der beim Integrieren gemäß Gleichung (145)
als konstanter Faktor vor das Integral gezogen werden kann. Gegebenenfalls muss folglich die Methode der partiellen Integration wiederholt angewendet werden (maximal 𝑛 mal), ∫︀ 𝑏 ′ um die jeweils auf der rechten Seite stehenden (Teil-)Integrale der Form 𝑓 (𝑥)·𝑓2 (𝑥)·d𝑥 𝑎 1 schrittweise zu berechnen.
Integration durch Substitution Die Methode der Integration durch Substitution entspricht formal einer umgekehrten Anwendung der
Kettenregel
bei Ableitungen:
∫︁
∫︁
)︀ 𝑓1 𝑓2 (𝑥) · 𝑓2′ (𝑥) · d𝑥 = (︀
𝑓1 (𝑧) · d𝑧
𝑧 = 𝑓2 (𝑥) geschrieben. Man kann mit dieser Substitution nach einer Stammfunktion 𝐹1 (𝑧) von 𝑓1 (𝑧) suchen, in gleicher Weise als würde man lediglich 𝑧 anstelle von 𝑥 schreiben und somit eine Stammfunktion 𝐹1 (𝑥) zu 𝑓1 (𝑥) suchen. Hat man eine solche Stammfunktion 𝐹2 (𝑧) gefunden, so genügt es, bei dieser Stammfunktion wiederum 𝑧 durch den Ausdruck 𝑓2 (𝑥) zu ersetzen. Hierbei wurde
Möchte man mit dieser Methode ein bestimmtes Integral von
𝑎 bis 𝑏 berechnen, so müssen
allerdings auch die Integralgrenzen umgerechnet werden. Es gilt:
∫︁
𝑏
(︀ )︀ 𝑓1 𝑓2 (𝑥) · 𝑓2′ (𝑥) · d𝑥 =
𝑎 Da
∫︁
𝑓2 (𝑏)
𝑓1 (𝑧) · d𝑧 𝑓2 (𝑎)
𝑓2 (𝑥) bekannt ist, müssen lediglich die Integrationsgrenzen in diese Funktion eingesetzt
werden, um die neuen Integrationsgrenzen zu erhalten.
Integrale der Form
∫︀
𝑓 ′ (𝑥) 𝑓 (𝑥)
Soll das Integral einer zusammengesetzten Funktion berechnet werden, deren Zähler der Ableitung des Nenners entspricht, so kann folgende Regel verwendet werden:
∫︁ (︂
𝑓 ′ (𝑥) 𝑓 (𝑥)
)︂ · d𝑥 = ln (|𝑓 (𝑥)|) + 𝐶
𝑓 (𝑥) im Intervall [𝑎; 𝑏] keine Nullstelle, so gilt für das bestimmte Integral 𝑎 bis 𝑏: ∫︁ 𝑏 (︂ ′ )︂ ⃒𝑏 𝑓 (𝑥) ⃒ · d𝑥 = ln (|𝑓 (𝑥)|)⃒ 𝑓 (𝑥) a 𝑎
Hat die Funktion über
𝑓 (𝑥)
von
Weitere Integrale können Integraltabellen entnommen werden, beispielsweise Integraltabelle (HS Esslingen).
Hinweis:
Zu diesem Abschnitt gibt es
Übungsaufgaben .
215
Lineare Algebra und analytische Geometrie In der analytischen Geometrie geht es darum, Objekte der
elementaren Geometrie
mit
rechnerischen Methoden zu beschreiben. Beispielsweise lassen sich Punkte mittels zwei beziehungsweise drei Werten als Koordinaten beschreiben, Geraden und Ebenen entsprechend als Mengen solcher Werte; es lassen sich somit auch die Rechenregeln der
taren Algebra
elemen-
nutzen.
Die Abgrenzung zur
Analysis besteht darin, dass dort geometrische Darstellungen genutzt
werden, um Funktionen zu veranschaulichen, während in der analytischen Geometrie geometrische Formen der Ausgangspunkt für rechnerische Untersuchungen sind.
Vektoren Darstellung von Vektoren Bei Vektoren handelt es sich aus geometrischer Sicht um
Strecken
mit einer bestimmten
Länge, die sowohl eine bestimmte Richtung, wie auch einen bestimmten Richtungssinn haben; dieser wird in Zeichnungen durch Pfeil am Ende der Strecke hervorgehoben. In der Formelschreibweise werden Vektoren meist mit kleinen lateinischen Buchstaben bezeichnet und durch einen Pfeil über der Vektorgröße markiert.
Abb. 139: Darstellung eines Vektors.
Je nachdem, ob zwei- oder dreidimensionale geometrische Formen untersucht werden, reicht ein geordnetes Paar aus zwei oder ein Tupel aus drei Koordinatenwerten – also
(𝑎x , 𝑎y )
beziehungsweise
terisieren.
1
(𝑎x , 𝑎y , 𝑎z )
– aus, um einen Vektor
⃗𝑎
vollständig zu charak-
Die einzelnen Koordinatenwerte (“Komponenten”) geben dabei an, um wie
1 Vektoreigenschaften lassen sich so verallgemeinern, dass in der algebraischen Geometrie allgemein auch Vektoren mit
𝑛
Dimensionen behandelt werden können.
216
viele Längeneinheiten die Spitze des Vektors entlang der jeweiligen Raumrichtung vom Anfangspunkt des Vektors entfernt liegt.
⎛ ⎞ 𝑎x ⃗𝑎 = (𝑎x , 𝑎y , 𝑎z ) = ⎝𝑎y ⎠ 𝑎z
(148)
Abb. 140: Darstellung eines (dreidimensionalen) Ortsvektors in einem Koordinatensystem.
Ein Vektor, dessen Anfangspunkt dem Ursprung des Koordinatensystems
⃗0 = (0 , 0 , 0)
entspricht, wird als Ortsvektor bezeichnet. Jeder Punkt eines Raumes kann durch einen zugehörigen Ortsvektor eindeutig charakterisiert werden.
Betrag eines Vektors Die Länge der Verbindungsstrecke vom Anfangspunkt eines Vektors
⃗𝑎
punkt wird Betrag des Vektors genannt. In Kurzform schreibt man dafür
zu seinem End-
|⃗𝑎| oder 𝑎 (ohne
Vektorpfeil). Der Betrag eines Vektors kann mit Hilfe des Satzes von Pythagoras folgendermaßen anhand seiner Komponenten
𝑎x
und
𝑎y
(und
𝑎z
bei dreidimensionalen Vektoren) berechnet
werden:
𝑎 = |⃗𝑎 | =
√︁
𝑎2x + 𝑎2y
𝑎 = |⃗𝑎 | =
√︁
𝑎2x
für zweidimeinsionale Vektoren (149)
+
𝑎2y
+
𝑎2z
für dreidimeinsionale Vektoren
Beispiele:
Der
(︂ )︂ 4 zweidimensionale Vektor ⃗ 𝑎= hat folgenden Betrag: 3 √︁ √ √ |⃗𝑎| = 𝑎2x + 𝑎2y = 42 + 32 = 25 = 5
217
...
Abb. 141: Betrag eines (zweidimensionalen) Vektors.
Der
⎛ ⎞ 4 ⃗ ⎝ 5⎠ hat folgenden Betrag: dreidimensionale Vektor 𝑏 = 2 ⃒ ⃒ √︁ √ √ ⃒⃗ ⃒ ⃒𝑏⃒ = 𝑏2x + 𝑏2y + 𝑏2z = 42 + 52 + 22 = 45
Vektor und Gegenvektor Zwei Vektoren
⃗𝑎
und
⃗𝑎
sind gleich, wenn sie in allen Koordinaten übereinstimmen. Beide
Vektoren haben dann den gleichen Betrag, die gleiche Richtung und den gleichen Richtungssinn. Sie können allerdings von unterschiedlichen Anfangspunkten ausgehen und daher parallel zueinander im Raum verschoben sein, da für Vektoren stets nur die Differenz der Koordinatenwerte von Anfangspunkt und Endpunkt von Bedeutung ist.
Abb. 142: Zwei identische Vektoren.
−⃗𝑎 eines Vektors 𝑎, auch “Gegenvektor” genannt, ist ein Vektor mit gleichem gleicher Richtung wie ⃗ 𝑎, jedoch mit umgekehrtem Richtungssinn.
Das Negative Betrag und
In der Komponentenschreibweise kann der zu einem Vektor gebildet werden, indem man alle Komponenten von
⎛ ⎞ 𝑎x +⃗𝑎 = ⎝𝑎y ⎠ 𝑎z
⃗𝑎
⃗𝑎
gehörende Gegenvektor
−⃗𝑎
mit einem Minuszeichen versieht:
⎛
⇔
⎞ −𝑎x −⃗𝑎 = ⎝−𝑎y ⎠ −𝑎z
Bei zweidimensionalen Vektoren wird die dritte Komponente
218
𝑎z = 0
(150)
weggelassen.
Abb. 143: Vektor und Gegenvektor.
Normvektor und Nullvektor Ein Vektor, dessen Länge genau einer Längeneinheit Vektor
⃗𝑎0
(1 LE)
entspricht, wird “normierter”
genannt.
Abb. 144: Normvektor
⃗𝑎0
Ein Vektor mit Betrag Null wird als Nullvektor
eines Vektors
⃗0
⃗𝑎
bezeichnet. Bei einem Nullvektor sind
Anfangs- und Endpunkt identisch.
Addition und Subtraktion von Vektoren Ein Vektor kann durch Beibehalten seiner Richtung und seines Richtungssinns, also parallel im Raum verschoben werden, ohne dass sich die Werte seiner Komponenten ändern. Dies kann genutzt werden, um zwei Vektoren zeichnerisch zu addieren beziehungsweise subtrahieren.
Der Summenvektor Fügt man an einen Vektor
⃗𝑎
einen zweiten Vektor
⃗𝑏
durch eine passende Verschiebung
(Translation) so an, dass der Anfangspunkt des zweiten Vektors mit dem Endpunkt des ersten Vektors übereinstimmt, dann erhält man den Summenvektor
−−−→ 𝑎 + 𝑏, indem man den
Anfangspunkt des ersten Vektors mit dem Endpunkt des zweiten Vektors verbindet. Rechnerisch erhält man den Summenvektor, indem man die einzelnen Komponenten beider Vektoren addiert:
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 𝑎x 𝑏x 𝑎x + 𝑏 x −−−→ 𝑎 + 𝑏 = ⃗𝑎 + ⃗𝑏 = ⎝𝑎y ⎠ + ⎝𝑏y ⎠ = ⎝𝑎y + 𝑏y ⎠ 𝑎z 𝑏z 𝑎z + 𝑏 z
219
(151)
Abb. 145: Summenvektor der beiden Vektoren
⃗𝑎1
und
⃗𝑎2 .
Eine Addition von Vektoren mit unterschiedlicher Dimension ist nicht definiert.
Der Differenzvektor Die Differenz
⃗𝑎 − ⃗𝑏
zweier Vektoren lässt sich zeichnerisch auf ähnliche Weise bestimmen,
indem man den Gegenvektor
−⃗𝑏
des zweiten Vektors zum ersten Vektor addiert.
Abb. 146: Differenzvektor der beiden Vektoren
⃗𝑎1
und
⃗𝑎2 .
Rechnerisch erhält man den Differenzvektor, indem man die einzelnen Komponenten beider Vektoren subtrahiert:
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 𝑎x − 𝑏 x 𝑎x 𝑏x −−−→ 𝑎 − 𝑏 = ⃗𝑎 − ⃗𝑏 = ⎝𝑎y ⎠ − ⎝𝑏y ⎠ = ⎝𝑎y − 𝑏y ⎠ 𝑎z − 𝑏 z 𝑏z 𝑎z
(152)
Multiplikation von Vektoren Vektoren können entweder mit einer reellen Zahl (einem so genannten “Skalar”) als auch mit anderen Vektoren multipliziert werden.
Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl Multipliziert man einen Vektor
⃗𝑎
mit einer reellen Zahl
𝑐,
so ergibt sich ein Vektor, der
die gleiche Richtung und den gleichen Richtungssinn hat, dessen Betrag jedoch um den Faktor
𝑐
Ist
verändert ist.
𝑐 > 1,
so wird der Vektor gestreckt.
220
Ist
0 < 𝑐 < 1,
Ist
𝑐 < 0,
so wird der Vektor gestaucht.
so wird zusätzlich zur Streckung beziehungsweise Stauchung des Vektors
der Richtungssinn umgedreht. Diese Form der Vektor-Multiplikation wird oftmals auch “S-Multiplikation” genannt.
Abb. 147: Produkt eines Vektors mit einem Skalar (Faktoren:
𝑐 =
1 beziehungsweise 2
𝑐 = 2). Rechnerisch lässt sich ein Vektor
⃗𝑎
mit einer reellen Zahl
𝑐
multiplizieren, indem jede
Komponente des Vektors mit dieser Zahl multipliziert wird:
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 𝑐 · 𝑎x 𝑎x 𝑐 · ⃗𝑎 = 𝑐 · ⎝𝑎y ⎠ = ⎝𝑐 · 𝑎y ⎠ 𝑐 · 𝑎z 𝑎z Multipliziert man einen Vektor
⃗𝑎
mit der Zahl
1,
(153)
so bleibt er unverändert; es gilt also
stets:
1 · ⃗𝑎 = ⃗𝑎 Multipliziert man einen Vektor man den zugehörigen, auf eine
⃗𝑎 hingegen mit dem Kehrwert seines Betrags Längeneinheit (1 LE) normierten Vektor ⃗ 𝑎0 : ⃗𝑎0 =
(154)
1 , so erhält |⃗𝑎|
⃗𝑎 |⃗𝑎|
Zusätzlich gelten bezüglich der Multiplikation von Skalaren mit Vektoren das und
Distributivgesetz :
(155)
Assoziativ -
(𝑐1 · 𝑐2 ) · ⃗𝑎 = 𝑐1 · (𝑐2 · ⃗𝑎)
(156)
. . .(𝑐1 + 𝑐2 ) · ⃗𝑎 = 𝑐1 · ⃗𝑎 + 𝑐2 · ⃗𝑎 𝑐 · (⃗𝑎 + ⃗𝑏) = 𝑐 · ⃗𝑎 + 𝑐 · ⃗𝑏
(157)
Das Skalarprodukt ⃗𝑎 und ⃗𝑎 ist definiert als das Produkt ihrer Beträge |⃗𝑎| Cosinus des zwischen ihnen eingeschlossenen Winkels 𝛼:
Das Skalarprodukt zweier Vektoren und
|⃗𝑏|,
multipliziert mit dem
. ⃗𝑎 · ⃗𝑏 = |⃗𝑎| · |⃗𝑏| · cos (𝛼)
221
(158)
Abb. 148: Anschauliche Interpretation eines Skalarprodukts.
Schreibt man die beiden Vektoren
⃗𝑎
und
⃗𝑏
in Spaltenform, so kann das Skalarprodukt
komponentenweise nach folgender Formel berechnet werden:
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 𝑎x 𝑏x ⃗ ⎝ ⎠ ⎝ ⃗𝑎 · 𝑏 = 𝑎y · 𝑏y ⎠ 𝑎z 𝑏z
...
(159)
= 𝑎x · 𝑏x + 𝑎y · 𝑏y + 𝑎z · 𝑏z Das Ergebnis ist ein skalarer Wert, also eine Zahl. Die Bedeutung des Skalarprodukts wird schnell deutlich, wenn man sich einige Sonderfälle betrachtet:
Stehen die beiden Vektoren ⃗ 𝑎 und ⃗𝑏 senkrecht zueinander, so ist
0.
cos (𝛼) = cos (90°) =
Somit ergibt das Skalarprodukt in diesem Fall den Wert Null:
⃗𝑎 ⊥ ⃗𝑏
⇔
⃗𝑎 · ⃗𝑏 = 0
Mit Hilfe dieser Beziehung kann einerseits leicht gepüeft werden, und
⃗𝑏
ob zwei Vektoren ⃗𝑎
senkrecht aufeinander stehen. Andererseits kann bei einem Vektor
⃗𝑎
mit nur
zwei gegebenen Komponenten unter Verwendung der komponentenweisen Darstellung die dritte Komponente so bestimmt werden, dass der Vektor auf dem zweiten Vektor
⃗𝑏
senkrecht steht.
Beispiel: ⃗𝑎 = (2, 6, ?) soll so bestimmt werden, ⃗ Vektor 𝑏 = (3, −5, 6) senkrecht steht. Somit muss gelten:
Die dritte Komponente des Vektors dass er auf dem
⃗𝑎 · ⃗𝑏 = 0 2 · 3 + 6 · (−5)+ ? · 6 = 0 ⇒ 6· ? = 24 ?=4
...
Ist die gesuchte Komponente somit gleich
4,
so stehen beide Vektoren
senkrecht aufeinander.
Stehen die beiden Vektoren
1.
⃗𝑎
und
⃗𝑏
parallel zueinander, so ist
cos (𝛼) = cos (0°) =
Das Skalarprodukt ist in diesem Fall gleich dem Produkt der Beträge beider
Vektoren.
...
⃗𝑎 ‖ ⃗𝑏
⇔
222
⃗𝑎 · ⃗𝑏 = |⃗𝑎| · |⃗𝑏|
Dieser Zusammenhang wurde implizit bereits verwendet, um den Betrag eines bestimmten Vektors
⃗𝑎
zu berechnen. Setzt man nämlich
𝑎 = |⃗𝑎| = Der Betrag
⃗𝑎 = ⃗𝑏,
so gilt:
√ √︀ |⃗𝑎|2 = ⃗𝑎 · ⃗𝑎
|⃗𝑎| des Vektors kann somit bestimmt werden, indem man das Skalarpro-
dukt des Vektors mit sich selbst bildet und aus dem Ergebnis die Quadratwurzel zieht. Schreibt man die obige Gleichung komponentenweise, so erhält man die übliche Betrags-Gleichung (149).
Für beliebige Winkel des Vektors
𝑏
𝛼 lässt sich das Produkt 𝑏·cos (𝛼) geometrisch als “Projektion” 𝑎 deuten. Die Projektion entspricht dabei anschaulich des Vektors ⃗ 𝑏, der sich bei einer senkrecht auf ⃗𝑎 einfallenden
auf den Vektor
dem “Schattenwurf ”
Beleuchtung ergeben würde. Der Wert des Skalarprodukts ist damit im Allgemeinen gleich dem Betrag des ersten Vektors, multipliziert mit der senkrechten Projektion des zweiten Vektors auf den ersten. Da das Skalarprodukt komponentenweise einfach zu berechnen ist, kann es auch genutzt werden, um den Winkel zwischen zwei Vektoren oder einem Vektor und einer der Achsen eines (kartesischen) Koordinatensystems zu berechnen. Für den Winkel zwischen zwei Vektoren gilt nämlich aufgrund von Gleichung (158):
cos (𝛼) =
⃗𝑎 · ⃗𝑏 |⃗𝑎| · |⃗𝑏| (︃
⃗𝑎 · ⃗𝑏 |⃗𝑎| · |⃗𝑏|
⇒ 𝛼 = acos
)︃
Um den Winkel zu berechnen, muss man somit nur das Skalarprodukt berechnen und dieses durch das Produkt beider Vektor-Beträge dividieren; der Arcus-Cosinus dieses Werts ergibt den gesuchten Winkel. Um den Winkel zwischen eines Vektors und den einzelnen Raumachsen zu berechnen, kann man diese ebenfalls durch Vektoren der Länge
1
und mit je nur einer einzigen
Vektorkomponente dargestellt werden kann, beispielsweise die
𝑒x = (1, 0, 0).
𝑥-Achse
durch den Vektor
Man erhält damit:
...
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 𝑎x 1 ⎝ ⎠ ⎝ ⃗𝑎 · ⃗𝑒x = 𝑎y · 0⎠ 𝑎z 0 = 𝑎x · 1 + 𝑎y · 0 + 𝑎z · 0 = 𝑎x
Gleiches gilt auch für die Skalarprodukte von allgemeine Formel (158) des Skalarprodukts
⃗𝑎 mit den beiden anderen Raumachsen. Die kann damit nach dem gesuchten Winkel 𝛼
aufgelöst werden:
⃗𝑎 · ⃗𝑒x = |⃗𝑎| · |⃗𝑒x | · cos (𝛼)
⇔
223
cos (𝛼) =
⃗𝑎 · ⃗𝑒x |⃗𝑎| · |⃗𝑒x |
Setzt man
⃗𝑎 · ⃗𝑒x = 𝑎x
und
|⃗𝑒x | = 1
2
in die obige Gleichung ein, so folgt:
⃗𝑎 · ⃗𝑒x 𝑎x = |⃗𝑎| · |⃗𝑒x | |⃗𝑎|
cos (𝛼) = Für die Winkel
𝛼, 𝛽, 𝛾
zwischen
(︂ 𝛼 = acos
𝑎x |⃗𝑎|
⃗𝑎
𝑥, 𝑦, 𝑧 -Achsen gilt somit: (︂ )︂ (︂ )︂ 𝑎y 𝑎z 𝛽 = acos ; 𝛾 = acos |⃗𝑎| |⃗𝑎|
und den
)︂ ;
(160)
Das Vektorprodukt Das Vektorprodukt zweier Vektoren
⃗𝑎 und ⃗𝑏 ergibt einen Vektor, der auf jedem der beiden
Vektoren und senkrecht steht. Diese Definition ist erst ab einem dreidimensionalen Raum sinnvoll.
Abb. 149: Anschauliche Interpretation eines Vektorprodukts.
⃗𝑎 und ⃗𝑏 ist gleich dem Produkt ihrer Be⃗ träge |⃗ 𝑎| und |𝑏|, multipliziert mit dem Sinus des zwischen ihnen eingeschlossenen Winkels 𝛼:
Der Betrag des Vektorprodukts zweier Vektoren
|⃗𝑎 × ⃗𝑎| = |⃗𝑎| · |⃗𝑏| · sin 𝛼 Schreibt man die beiden Vektoren
⃗𝑎
und
⃗𝑎
(161)
in Spaltenform, so kann das Vektorprodukt
komponentenweise nach folgender Formel berechnet werden:
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 𝑎x 𝑏x 𝑎y · 𝑏z − 𝑎z · 𝑏y ⃗𝑎 × ⃗𝑏 = ⎝𝑎y ⎠ × ⎝𝑏y ⎠ = ⎝ 𝑎z · 𝑏x − 𝑎x · 𝑏z ⎠ 𝑎z 𝑏z 𝑎x · 𝑏 y − 𝑎y · 𝑏 x
(162)
Das Vektorprodukt findet Anwendung in der analytischen Geometrie und in der Technik. Beispielsweise kann zu zwei gegebenen Richtungsvektoren, die eine Ebene beschreiben, mit Hilfe des Vektorprodukts ein dritter “Normvektor” gefunden werden, der auf der Ebene senkrecht steht. In der Physik wird das Vektorprodukt beispielsweise bei der Berechnung von Drehmomenten und Drehimpulsen genutzt.
2 Der Betrag des Vektors
⃗𝑒x
ist gleich Eins, da
|⃗𝑒x | =
224
√
12 + 0 2 + 0 2 = 1
gilt.
Strecken und Geraden Jeder Punkt
P
eines kartesischen Koordinatensystems kann mittels seines
also mittels seiner
𝑥-, 𝑦 -
und
𝑧 -Koordinaten
Ortsvektors ,
eindeutig dargestellt werden.
Betrachet man mehrere Punkte mit unterschiedlichen Ortsvektoren, so lassen sich auch die Strecken zwischen den einzelnen Punkten mittels (normaler) Vektoren darstellen. Die Vektorrechung kann somit unmittelbar auf die Beschreibung von Strecken und Geraden angewendet werden.
Strecken und Teilverhältnisse Bezeichnet man die zu zwei Punkten
A
und
B
gehörenden Ortsvektoren mit
⃗𝑎
und
⃗𝑏,
so
ist die Verbindung zwischen diesen beiden Punkten durch den so genannten “Verschiebungsvektor”
⃗𝑣
charakterisiert:
⃗𝑣 = ⃗𝑏 − ⃗𝑎 Die einzelnen Koordinaten des Verbindungsvektors erhält man, indem man die Koordinaten des Ausgangspunkts von den Koordinaten des Endpunkts subtrahiert:
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ Bx − A x 𝑣x ⃗𝑣 = ⎝𝑣y ⎠ = ⎝By − Ay ⎠ Bz − A z 𝑣z
(163)
Im zweidimensionalen Fall entfällt die dritte Koordinate.
Abb. 150: Darstellung einer (zweidimensionalen) Strecke mittels Vektoren.
Mittels des Verschiebungsvektors
⃗𝑣
diesen zum Ortsvektor des Punktes
gelangt man vom Punkt
A
addiert:
⃗𝑎 + ⃗𝑣 = ⃗𝑎 + (⃗𝑏 − ⃗𝑎) = ⃗𝑏
225
A
zum Punkt
B,
indem man
Eine Strecke lässt sich somit wahlweise durch die Angabe zweier Punkte (beziehungsweise deren Ortsvektoren) oder auch durch Angabe eines Ortsvektors sowie des Verschiebungsvektors
⃗𝑣
beider Punkte beschreiben:
AB = ⃗𝑎 + 𝜆 · ⃗𝑣
Der Faktor
0≤𝜆≤1
(164)
ist notwendig, da eine Strecke die Menge
aller
Punkte zwischen
den zwei Endpunkten darstellt; dies ist äquivalent dazu, dass man zum Ausgangspunkt einen
beliebigen
Der Faktor
𝜆
Bruchteil (kleiner oder gleich
1)
des Verschiebungsvektors hinzu addiert.
selbst wird “Linearfaktor” genannt: Er gibt als reiner Zahlenwert (“Skalar”)
an, um welchen Faktor der mit ihm multiplizierte Vektor skaliert, also gestaucht
𝜆
beziehungsweise gestreckt wird. Ist der Wert von
negativ, so wird die Richtung des
mit ihm multiplizierten Vektors umgekehrt.
|𝜆| < 1 |𝜆| > 1
⇐⇒ ⇐⇒
Stauchung Streckung
Beispiel:
In der obigen Abbildung hat der Punkt
B
die Koordinaten
(4; 3).
A
die Koordinaten
Wie lässt sich die Strecke
AB
(1; 2)
und der Punkt
mittels zweier Vektoren
darstellen? Der Verschiebungsvektor ⃗ 𝑣 zwischen
A und B ergibt sich aus der Differenz der beiden
Ortsvektoren:
(︂ )︂ (︂ )︂ (︂ )︂ (︂ )︂ 4 1 4−1 3 ⃗𝑣 = − = = 3 2 3−2 1 Mit dem Punkt
A
als Ausgangspunkt erhält man damit folgende Darstellung der
Verbindungslinie zwischen
A
und
B:
(︂ )︂ (︂ )︂ 1 3 AB = +𝜆· 2 1 Auch hier muss wiederum
0≤𝜆≤1
gelten.
Das Teilverhältnis Für die folgenden Überlegungen wird wiederum eine Strecke einen Punkt auf ihr liegenden Punkt Das so genannte “Teilverhältnis”
AB
T
AB
betrachtet, die durch
in zwei Abschnitte unterteilt wird.
𝜆* > 0 gibt dabei an, in welchem Verhältnis T die Strecke
teilt:
𝜆* = AT : TB Der Wertebereich von
𝜆*
liegt zwischen Null und Unendlich:
226
(165)
Ist der Teilpunkt
Halbiert der Teilpunkt
Nähert sich der Teilpunkt T zunehmend dem Punkt B, so geht der Wert des Teil* verhältnisses 𝜆 gegen Unendlich. Für T = B ist das Teilverhältnis nicht definiert.
T
identisch mit dem Punkt
T
die Strecke
AB,
A,
so ist
so ist
𝜆* = 0.
𝜆* = 1.
A und B sowie das Teilverhältnisses 𝜆* so ergeben AT beziehungsweise TB: ⃒ ⃒ ⃒ 𝜆* ⃒ ⃒ · AB AT = ⃒⃒ * 𝜆 + 1⃒ (166) ⃒ ⃒ ⃒ 1 ⃒ ⃒ · AB TB = ⃒⃒ * 𝜆 + 1⃒
Kennt man die Koordinaten der Punkte sich folgende Streckenlängen für
Beispiel:
Eine Strecke hat die Endpunkte
T,
der die Strecke
AB
A = (1; 1) und B = (9; 7). Wie 2 : 1 teilt, von A entfernt?
weit ist der Punkt
im Verhältnis
T von A entfernt ist, muss die Länge der AT bestimmt werden. Dies ist mittels der obigen Formel möglich, wenn man zunächst die Länge der Strecke AB berechnet: ⃒(︂ )︂ (︂ )︂⃒ ⃒(︂ )︂⃒ √ ⃒ ⃒ ⃒ 9 1 ⃒⃒ ⃒⃒ 8 ⃒⃒ √ 2 ⃒ ⃒ AB = 0B − 0A = ⃒⃒ =⃒ = 8 + 62 = 100 = 10 − ⃒ ⃒ 7 1 6
Um zu bestimmen, wie weit der Punkt Strecke
Mit dem Teilungsverhältnis die Länge der Strecke
𝜆* = 2 : 1 = 2
ergibt sich gemäß der obigen Formel für
AT:
⃒ ⃒ ⃒ 𝜆* ⃒ 2 ⃒ · AB = ⃒ · 10 ≈ 6, 67 AT = ⃒ * ⃒ 𝜆 +1 2+1 Der Teilpunkt
A
T auf der Strecke AB ist somit rund 6, 67 Längeneinheiten vom Punkt
entfernt.
Koordinaten des Teilpunktes Ausgehend vom Punkt
A
gelangt man zum Teilpunkt
𝜆* in die 𝜆* +1
T,
indem man
𝜆=
T,
indem man
𝜆′ = − 𝜆*1+1
Streckengleichung (164) einsetzt. Umgekehrt gelangt man vom Punkt
B
zum Teilpunkt
Streckengleichung einsetzt:
Für den Zum Teilpunkt
T
OT gilt (︂ )︂ −→ 𝜆* · ⃗𝑣 OT = ⃗𝑎 + 𝜆* + 1 (︂ )︂ −→ ⃗ 1 OT = 𝑏 − · ⃗𝑣 𝜆* − 1
gehörenden Ortsvektor
227
somit:
in die
⃗𝑣 = ⃗𝑏 − ⃗𝑎 )︂ (︁ )︁ ⃗ · 𝑏 − ⃗𝑎
Setzt man in die erste der beiden obigen Gleichungen
−→ OT = ⃗𝑎 +
*
(︂
𝜆 +1
𝜆* (︂
= ⃗𝑎 +
𝜆* 𝜆* + 1
)︂
· ⃗𝑏 −
(︂
𝜆* 𝜆* + 1
ein, so erhält man:
)︂ · ⃗𝑎
Um die rechte Seite der Gleichung weiter vereinfachen zu können, kann man ⃗ 𝑎 = 1 · ⃗𝑎 𝜆* +1 setzen; so erhalten alle Terme den gleichen (Haupt-)Nenner und schreiben und 1 = * 𝜆 +1 können somit zusammengefasst werden:
−→ OT =
(︂ (︂
=
𝜆* + 1 𝜆* + 1
)︂
1 𝜆* + 1
)︂
(︂ =
𝜆*
1 +1
𝜆* 𝜆* + 1
)︂
𝜆* · ⃗𝑎 + 𝜆* + 1 )︂ (︁ )︁ * ⃗ · ⃗𝑎 + 𝜆 · 𝑏
)︂
(︂ · ⃗𝑎 + (︂
· ⃗𝑏 −
(︂
𝜆* 𝜆* + 1
)︂ · ⃗𝑎
· ⃗𝑏
In der zweiten Zeile der obigen Gleichung wurde das
Distributivgesetz für Vektoren
ge-
nutzt und die hintere Klammer ausmultipliziert; in der mittleren Zeile wurde dann die * gesetzt, um die additiv beziehungsweise subtraktiv Identität ⃗ 𝑎 = 1·⃗𝑎 genutzt und 1 = 𝜆𝜆* +1 +1 verknüpften Terme auf einen Hauptnenner bringen zu können. Für die Komponenten des Teilpunktes gilt somit:
(︂ T= Für den Mittelpunkt
𝑇M
𝜆*
1 +1
)︂
⎞ Ax + 𝜆* · 𝐵x · ⎝Ay + 𝜆* · 𝐵y ⎠ Az + 𝜆* · 𝐵z ⎛
𝜆* = 1, ⎞
einer Strecke gilt insbesondere
⎛
und somit
(︂ )︂ Ax + 𝐵x 1 ⎝ · Ay + 𝐵y ⎠ TM = 2 Az + 𝐵z
Geraden in einer Ebene Eine Gerade
𝑔
kann, ebenso wie eine Strecke, mittels eines Punktes
dessen Ortsvektors
⃗𝑎
und eines “Richtungsvektors”
⃗𝑣
A
beziehungsweise
dargestellt werden:
𝑔 = ⃗𝑎 + 𝜆 · ⃗𝑣
In diesem Fall kann für
𝜆∈R
(167)
allerdings ein beliebig großer, gegebenenfalls auch
negativer Zahlenwert gewählt werden. Bei der Bezeichnung von Geraden wird der Richtungspfeil weggelassen, da eine Gerade keinen eindeutigen Richtungssinn hat; bei
𝑔
handelt es sich vielmehr um die Menge aller
Punkte, welche die zugehörige Gleichung erfüllen. Soll eine Gerade durch zwei Punkte Richtungsvektor
⃗𝑣
A
und
B
festgelegt werden, so so entspricht der
wiederum dem Verschiebungsvektor (163) beider Punkte.
... to be continued ...
228
Matrizen Bei einer Matrix handelt es sich um eine rechteckige Anordnungen mehrerer Zahlen. Hat eine Matrix
𝑚
Zeilen und
𝑛
Spalten, so sagt man, die Matrix sei vom Typ
(𝑚; 𝑛).
Eine
solche Matrix hat allgemein folgende Gestalt:
⎛
𝐴 (𝑚; 𝑛)
⎞ 𝑎11 𝑎12 · · · 𝑎1𝑛 ⎜ 𝑎21 𝑎22 · · · 𝑎2𝑛 ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ .. . . ⎟ . . ⎝ . . . ⎠ 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 · · · 𝑎𝑚𝑛
In der Literatur werden Matrizen häufig auch durch fettgedruckte Großbuchstaben bezeichnet, in der Praxis werden die Großbuchstaben hingegen üblicherweise unterstrichen. Die in einer Matrix
𝑎ij
𝐴
stehenden Zahlen werden allgemein Elemente oder Komponenten
1 und 𝑛) und 𝑗 den Spaltenindex (eine Zahl zwischen 1 und 𝑛) bezeichnet. Schreibt man (𝑎ij ) in runden Klamder Matrix genannt, wobei
𝑖
den Zeilenindex (eine Zahl zwischen
mern, so ist damit die Gesamtheit aller Komponenten, also wiederum die ganze Matrix gemeint.
Spezielle Matrizen Matrizen können sowohl hinsichtlich der Zahlenwerte ihrer Komponenten als auch hinsichtlich ihrer Form Besonderheiten aufweisen: Beispielsweise werden Matrizen, die ausschließlich Nullen als Werte enthalten, Nullmatrizen genannt. Andererseits können auch gewöhnliche Vektoren als spezielle Matrizen mit einer Spaltenzahl von
𝑛=1
aufgefasst
werden:
⎞ 𝑎1 ⎜ 𝑎2 ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ .. ⎟ ⎝ . ⎠ 𝑎m ⎛
⃗𝑎 := 𝐴 (𝑚; 1)
Matrizen, die hingegen nur eine Zeilenzahl von
𝑚=1
haben, werden entsprechend Zei-
lenvektoren genannt:
(︀ )︀ ⃗𝑎 := 𝐴 (1; 𝑛) = 𝑎1 . . . 𝑎n Ein Zeilenvektor, der die gleichen Elemente hat wie ein Spaltenvektor ⃗ 𝑎, wird häufig auch T mit ⃗ 𝑎 bezeichnet. Das hochgestellte T bedeutet dabei “transponiert”. Allgemein kann zu T jeder Matrix 𝐴 eine transponierte Matrix 𝐴 gebildet werden, indem man die Zeilen und Spalten der Matrix vertauscht:
⎛
⎛
𝐴 (𝑚; 𝑛)
⎞ 𝑎11 𝑎12 · · · · · · · · · 𝑎1𝑛 ⎜ 𝑎21 𝑎22 · · · · · · · · · 𝑎2𝑛 ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ .. . . ⎟ . . ⎝ . . . ⎠ 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 · · · · · · · · · 𝑎𝑚𝑛
229
⇐⇒
𝐴T(𝑛; 𝑚)
⎞ 𝑎11 𝑎12 · · · 𝑎1𝑚 ⎜ 𝑎21 𝑎22 · · · 𝑎2𝑚 ⎟ ⎜ ⎟ . . ⎟ ⎜ .. . . ⎜ . . . ⎟ ⎟ =⎜ . . ⎜ .. ⎟ . . ⎟ ⎜ ⎜ . . . ⎟ . . ⎠ ⎝ .. . . 𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 · · · 𝑎𝑛𝑚
Beim Transponieren einer Matrix bleiben also nur diejenigen Komponenten unverändert, die auf der von links oben nach rechts unten verlaufenden “Hauptdiagonalen” liegen; alle anderen Einträge werden an dieser Diagonalen gespiegelt. Bleibt eine Matrix beim Transponieren unverändert, so nennt man sie symmetrisch. Eine weitere Sonderstellung haben quadratische Matrizen, für deren Zeilen- wie auch Spaltenanzahl
𝑚 = 𝑛 gilt. Für jede derartige Matrix 𝐴 (𝑛; 𝑛) lässt sich eine so genannte 𝐷 (𝑛; 𝑛) angeben, bei der alle Komponenten, die nicht auf der Hauptdia-
Diagonalmatrix
gonalen liegen, gleich Null sind:
⎛
𝐴 (𝑛; 𝑛)
⎞ 𝑎11 𝑎12 · · · 𝑎1𝑛 ⎜ 𝑎21 𝑎22 · · · 𝑎2𝑛 ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ .. . . ⎟ . . ⎠ ⎝ . . . 𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 · · · 𝑎𝑛𝑛
⎛
⇐⇒
𝐷 (𝑛; 𝑛)
⎞ 𝑎11 0 · · · 0 ⎜ 0 𝑎22 · · · 0 ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ .. . . ⎟ . . ⎠ ⎝ . . . 0 0 · · · 𝑎𝑛𝑛
Eine Sonderform einer Diagonalmatrix ist eine so genannte Einheitsmatrix, bei der alle
1 haben. ⎞ ⎛ 1 0 ··· 0 ⎜0 1 · · · 0⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ .. .. .⎟ . ⎝. . .⎠ 0 0 ··· 1
Elemente auf der Hauptdiagonalen den Wert
𝐸 (𝑛; 𝑛)
Eine Gleichheit zweier Matrizen liegt nur dann vor, wenn beide die gleiche Form haben und die Werte aller ihrer Komponenten identisch sind. Es muss also gelten:
𝐴 (𝑚; 𝑛) = 𝐵 (𝑚; 𝑛)
⇐⇒
𝑎𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗
für alle
𝑖, 𝑗
Die Wirkungsweise von Matrizen auf geometrische Objekte wird im übernächsten Abschnitt beschrieben; im nächsten Abschnitt werden zunächst einige grundlegende Rechenregeln für den Umgang mit Matrizen vorgestellt.
Rechenregeln für Matrizen Die wichtigsten Rechenoperationen für Matrizen sind die Addition zweier Matrizen sowie die Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl, einem Vektor oder einer anderen Matrix. Die Rechenregeln für Matrizen basieren auf den üblichen
Grundrechenregeln
der Arith-
metik; man muss diese lediglich in geordneter Weise auf “mehr” Zahlen angewenden.
Addition zweier Matrizen Haben zwei Matrizen die gleiche Form, so können sie addiert beziehungsweise subtrahiert werden, indem die jeweils an gleicher Stelle stehenden Komponenten addiert beziehungsweise subtrahiert werden:
𝐴 (𝑚; 𝑛) + 𝐵 (𝑚; 𝑛) = (𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗 ) (𝑚; 𝑛)
für alle
𝑖, 𝑗
Das Resultat einer Addition beziehungsweise Subtraktion ist wiederum eine Matrix, welche die gleiche Form hat wie jede der beiden ursprünglichen Matrizen.
Beispiel:
230
Welches Ergebnis liefert die Addition der folgenden beiden Matrizen?
(︂ 𝐴=
4 −3 2 9
)︂ 7 1
(︂ )︂ −4 1 −9 𝐵= −1 −7 2
Bei der Matrizen-Addition werden die einzelnen Komponenten beider Matrizen addiert:
(︂ 𝐴+𝐵 =
4 −3 2 9
)︀ (︂(︀ 4 + (−4) )︀ = (︀ 2 + (−1)
)︂ (︂ )︂ 7 −4 1 −9 + 1 −1 −7 2 (︀ )︀ (︀ )︀)︂ (︂ )︂ (−3) + 1 7 + (−9) (︀ )︀ (︀ )︀ = 0 −2 −2 1 2 3 9 + (−7) 1+ 2
Da die Addition beziehungsweise Subtraktion komponentenweise nach den gleichen Rechenregeln wie mit gewöhnlichen Zahlen erfolgt, gilt auch für die Addition beziehungsweise Subtraktion das
Kommutativ- und Assoziativgesetz
:
𝐴+𝐵 =𝐵+𝐴
(168)
(𝐴 + 𝐵) + 𝐶 = 𝐴 + (𝐵 + 𝐶) = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶
(169)
Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl Die Multiplikation einer Matrix mit einer reellen Zahl (einem so genannten “Skalar”) erfolgt ebenfalls komponentenweise: Jedes Element der Matrix Skalars
𝑐
𝐴
wird mit dem Wert des
multipliziert. Man kann also schreiben:
𝑐 · 𝐴 (𝑚; 𝑛) = (𝑐 · 𝑎𝑖𝑗 ) (𝑚; 𝑛)
für alle
𝑖, 𝑗
Das Resultat einer ist wiederum eine Matrix, welche die gleiche Form hat wie die ursprüngliche Matrix.
Beispiel:
Welches Ergebnis erhält man, wenn man folgende Matrix mit
(︂ 𝐴=
𝑐=4
multipliziert?
)︂ 7 −2 0 3
Bei der Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl werden alle Komponenten der Matrizen mit dieser Zahl multipliziert:
(︂ )︂ (︂ )︂ (︂ )︂ 7 −2 4 · 7 4 · (−2) 28 −8 𝑐·𝐴=4· = 0 3 4·0 4· 3 0 12
231
Auch für die Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl gelten das
Assoziativgesetz :
Zudem gilt das
Kommutativ-
und
𝑐·𝐴=𝐴·𝑐
(170)
𝑐1 · (𝑐2 · 𝐴) = (𝑐1 · 𝑐2 ) · 𝐴 = 𝑐1 · 𝑐2 · 𝐴
(171)
Distributivgesetz
in gewohnter Form:
(𝑐1 + 𝑐2 ) · 𝐴 = 𝑐1 · 𝐴 + 𝑐2 · 𝐴 𝑐 · (𝐴 + 𝐵) = 𝑐 · 𝐴 + 𝑐 · 𝐵
(172)
Multiplikation eines Zeilen- mit einem Spaltenvektor Zur Herleitung einer Rechenregel für die Multiplikation zweier Matrizen wird zunächst von der skalaren Multiplikation eines Zeilenvektors mit einem Spaltenvektor ausgegangen. Wie bei einem gewöhnlichen
Skalarprodukt zweier Vektoren
werden dabei die einzelnen
Komponenten des Zeilen- und des Spaltenvektors miteinander multipliziert, und die sich dabei ergebenden Teilergebnisse schließlich summiert.
T ⃗ ⃗𝑎(1; 𝑛) · 𝑏(𝑛,1)
⎛ ⎞ 𝑏1 𝑛 ⎜ 𝑏2 ⎟ ∑︁ ⎜ ⎟ = (𝑎1 , 𝑎2 , . . . , 𝑎n ) · ⎜ .. ⎟ = 𝑎1 · 𝑏1 + 𝑎2 · 𝑏2 + . . . + 𝑎n · 𝑏n = 𝑎i · 𝑏 i ⎝.⎠ 𝑖=1 𝑏n (173)
Damit eines solches Produkt möglich ist, muss der Zeilenvektor ebenso viele Komponenten haben wie der Spaltenvektor. Das Ergebnis des Produkts ist dann eine gewöhnliche Zahl (ein Skalar).
Beispiel:
Welches Ergebnis erhält man, wenn man den Zeilenvektor
⃗𝑎 T = (3, −5, 4) mit dem
⃗𝑏 = (−1 + 2, +1) multipliziert? ⎛ ⎞ −1 T ⃗ ⎝ 2⎠ = 3 · (−1) + (−5) · 2 + 4 · 1 = −9 ⃗𝑎 · 𝑏 = (3, −5, 4) · 1
Spaltenvektor
Das Produkt liefert somit den Wert
⃗𝑎 T · ⃗𝑏 = −9
Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor Multipliziert man nun nicht nur einen Zeilenvektor mit
𝑛
𝑛-spaltige
so wird nach der obigen Regel
Matrix mit einem Spaltenvektor der Länge
232
𝑛,
Komponenten, sondern eine
(173) für jede Zeile der Matrix ein Skalarprodukt mit dem Spaltenvektor gebildet. Hat die Matrix
𝑚
Zeilen, so erhält man folglich
𝑚
einzelne Ergebnisse. Diese werden als
𝑚 geschrieben. ⎛ ⎞ 𝑏1 ⎜ 𝑏2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ .. ⎟ ⎝ . ⎠ 𝑏𝑛 ⎛ ∑︀𝑛 ⎞ 𝑖=1 𝑎1i · 𝑏i ⎜ ∑︀𝑛 ⎟ ⎜ 𝑖=1 𝑎2i · 𝑏i ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ . . ⎝ ⎠ . ∑︀𝑛 𝑖=1 𝑎mi · 𝑏i
Komponenten in einen neuen Spaltenvektor der Länge
𝐴 · ⃗𝑏
⎛
⎞ 𝑎11 𝑎12 . . . 𝑎1𝑛 ⎜ 𝑎21 𝑎22 . . . 𝑎2𝑛 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ .. . . ⎟ .. . . ⎝ . . . . ⎠ 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 . . . 𝑎𝑚𝑛
Beispiel:
Welches Ergebnis erhält man, wenn man die folgende Matrix Vektor ⃗ 𝑏
𝐴
mit dem folgenden
multipliziert?
⎛
⎞ 1 2 2 1⎠ 1 −3
3 ⎝ 1 𝐴= −1 Für die Multiplikation der Matrix
𝐴
⎛
⎞ 3 ⃗𝑏 = ⎝−2⎠ 1
⎛
𝐴 · ⃗𝑏 =
⃗𝑏 ⎞
mit dem Vektor
gilt nach obigem Schema:
3 ⎝−2⎠ 1
⎛
3 ⎝ 1 −1
⎛
⎞ 9 ⎞ ⎛ ⎞ = ⎝ 0⎠ 1 2 3 · 3 + 1 · (−2) + 2 · 1 −8 2 1⎠ ⎝ 1 · 3 + 2 · (−2) + 1 · 1⎠ 1 −3 −1 · 3 + 1 · (−2) + (−3) · 1
Ein Produkt einer Matrix mit einem Vektor kann nur dann gebildet werden, wenn die Anzahl an Spalten der Matrix mit der Anzahl an Zeilen des Vektors übereinstimmt; andernfalls ist die Multiplikation nicht definiert.
Multiplikation zweier Matrizen Beim so genannten “Falk-Schema”, wie es in der obigen Abbildung dargestellt ist, werden 1
die zu multiplizierenden Matrizen beziehungsweise Vektoren tabellenartig aufgelistet. Die Auswertung erfolgt allgemein nach folgender Regel: Multipliziert man die linken Matrix mit der
𝑗 -ten
𝑖-te
Zeile der
Spalter der rechten Matrix, so erhält man die Komponente
der Ergebnis-Matrix, die dort in der
𝑖-ten
Zeile und
𝑗 -ten
Spalte steht.
1 Bisweilen werden beim Falk-Schema, um eine einfachere Textsatzung zu ermöglichen, entweder die Klammern der Matrizen oder die beiden zueinander senkrechten Tabellenlinien weggelassen.
233
Das Falk-Schema kann also einfach auf die Multiplikation zweier Matrizen ausgeweitet werden: Hierbei wird jeweils an der Stelle, wo sich eine Zeile der linken Matrix mit einer Spalte der rechten Matrix überkreuzt, das entsprechende Skalarprodukt eingetragen.
𝐴·𝐵
⎛
𝑏11
𝑏12
···
𝑏1p
⎞
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
𝑏21
𝑏22
···
𝑏2p
. . .
. . .
..
. . .
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
𝑏n2
···
𝑏n1 ⎛
𝑎11
𝑎12 . . . 𝑎1n
⎞ ⎛ ∑︀𝑛
⎜ ⎟ ⎜ 𝑎21 𝑎22 . . . 𝑎2n ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ . ⎟ . . . ⎜ .. . .. . ⎟ . . ⎝ ⎠ 𝑎m1 𝑎m2 . . . 𝑎mn
∑︀𝑛
.
𝑏np ∑︀𝑛
⎞ 𝑎 · 𝑏 𝑎 · 𝑏 · · · 𝑎 · 𝑏 1i 1i 1i 2i 1i pi 𝑖=1 𝑖=1 𝑖=1 ∑︀𝑛 ∑︀𝑛 ⎜ ∑︀𝑛 ⎟ ⎜ 𝑖=1 𝑎2i · 𝑏1i ⎟ 𝑖=1 𝑎2i · 𝑏2i · · · 𝑖=1 𝑎2i · 𝑏pi ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ . . . .. ⎟ ⎜ . . . . . . . ⎝ ⎠ ∑︀𝑛 ∑︀𝑛 ∑︀𝑛 𝑖=1 𝑎mi · 𝑏1i 𝑖=1 𝑎mi · 𝑏2i · · · 𝑖=1 𝑎mi · 𝑏pi
Auch in diesem Fall ist das Produkt nur dann definiert, wenn die die Anzahl an Spalten der linken Matrix mit der Anzahl an Zeilen des Vektors übereinstimmt. Hat die linke Matrix die Form
(𝑚; 𝑛)
und die rechte Matrix die Form
neue Matrix der Form
(𝑚; 𝑝).
(𝑛; 𝑝),
so erhält man als Ergebnis eine
Multipliziert man zwei quadratische Matrizen mit gleicher
Zeilen- beziehungsweise Spaltenanzahl, so ist die Form der resultierenden Matrix mit der Form der beiden ursprünglichen Matrizen identisch.
Beispiel:
Welches Ergebnis erhält man, wenn man die beiden folgenden Matrizen miteinander multipliziert?
(︂ 𝐴=
2 4 0 −1
⎛
⎞ 1 −3 2⎠ 𝐵 = ⎝−4 2 0
)︂ 1 3
Für die Multiplikation der beiden Matrizen
𝐴
und
𝐵
gilt nach dem obigen Schema:
⎛ 𝐴·𝐵 (︂
2 4 0 −1
−3 2 0
1 ⎝ −4 2
⎞ ⎠
)︀ (︀ )︀)︂ )︂ (︂(︀ 1 2 · 1 + 4 · (−4) + 1 · 2 2 · (−3) + 4 · 2 + 1 · 0 (︀ )︀ (︀ )︀ 3 0 · 1 + (−1) · (−4) + 3 · 2 0 · (−3) + (−1) · 2 + 3 · 0 (︂ )︂ −12 2 ⇒𝐴·𝐵 = 10 −2
Die Bedingung, dass bei der Multiplikation zweier Matrizen auf zueinander passende Spalten- und Zeilenanzahlen geachtet werden muss, zeigt bereits, dass bei diesem Rechenvorgang die Reihenfolge der Faktoren von Bedeutung ist:
Multipliziert man eine Matrix der Form ergibt sich eine Matrix der Form
mit einer Matrix der Form
(3; 2),
so
(3; 2)
mit einer Matrix der Form
(2; 3),
so
(2; 2).
Multipliziert man eine Matrix der Form ergibt sich eine Matrix der Form
(2; 3)
(3; 3).
234
Für die Multiplikation zweier Matrizen gilt folglich im Allgemeinen Kommutativgesetz der Multiplikation
nicht
:
𝐴 · 𝐵 ̸= 𝐵 · 𝐴
(174)
Für die Multiplikation zweier Matrizen gilt allerdings das Assoziativgesetz:
(𝐴 · 𝐵) · 𝐶 = 𝐴 · (𝐵 · 𝐶) = 𝐴 · 𝐵 · 𝐶
(175)
Auch das Distributivgesetz gilt für die Multiplikation zweier Matrizen in folgender Form:
𝐴 · (𝐵 + 𝐶) = 𝐴 · 𝐵 + 𝐴 · 𝐶 Zusätzlich gilt, dass bei jedem Produkt einer Matrix matrix
0
𝐴
mit einer entsprechenden Null-
wiederum eine Nullmatrix entsteht (da jedes einzelnen Skalarprodukt den Wert
Null hat). Multipliziert man hingegen eine beliebige Matrix
𝐸,
(176)
so erhält man die ursprüngliche Matrix
𝐴
𝐴
mit einer Einheitsmatrix
als Ergebnis. Es gilt also (in diesem Fall
sogar unabhängig von der Reihenfolge der Faktoren):
𝐴·0=0·𝐴=0 (177)
𝐴·𝐸 =𝐸·𝐴=𝐸 Eine Division zweier Matrizen ist nicht definiert.
Wirkungsweise von Matrizen Die Wirkungsweise von Matrizen lässt sich gut veranschaulichen, wenn man einzelne Vektoren in einem ebenen Koordinatensystem betrachtet und verschiedene Arten von Matrizen auf diese anwendet. Da es in einem ebenen Koordinatensystem nur zweidimensionale Objekte gibt, benötigen die jeweiligen (Orts-)Vektoren nur zwei Komponenten (𝑥 und relevanten Matrizen haben entsprechend ebenfalls nur
𝑦 ); die für ein solches System (2 × 2) Komponenten.
Skalierungsmatrizen Eine Skalierungsmatrix hat für ein zweidimensionales Koordinatensystem folgende Form:
𝐴 Ska Hierbei ist
𝜆∈R
(︂ )︂ 𝜆 0 = 0 𝜆
(178)
ein beliebiger Zahlenwert.
Multipliziert man eine derartige Matrix mit dem Ortsvektor eines Punktes, so erhält man als Resultat wiederum einen Ortsvektor mit gleicher Richtung; dessen Länge beträgt allerdings das
𝜆-fache
des ursprünglichen Ortsvektors.
Beispiele:
235
𝐴 Ska mit 𝜆 = 1 mit einem Vektor multipliziert, so bleibt dieser unverändert. Dies soll am Beispiel des Punktes P = (3; 2) beziehungsweise − → des zugehörigen Ortsvektors 𝑝 ⃗ = 0P gezeigt werden: (︂ )︂ (︂ )︂ (︂ )︂ (︂ )︂ 1 0 3 1·3+0·2 3 · = = = 𝑝⃗·3 · 3 𝐴 Ska · 𝑝⃗ = 0 1 2 0·3+1·2 2 Wird eine Skalierungsmatrix
Der Vektor
𝑝⃗
wird somit durch die
Wird eine Skalierungsmatrix so wird dieser um den Faktor
Einheits-Matrix
𝐴 Ska mit 𝜆 = 2, 5 2, 5 gestreckt. Dies
nicht verändert.
mit einem Vektor multipliziert, soll am Beispiel eines Rechtecks
gezeigt werden, dessen Eckpunkte folgende Koordinaten haben:
(︀ )︀ A = −2; −1
B=
(︀
)︀ 2; −1
C=
(︀
2; +1
)︀
(︀ )︀ D = −2; +1
Man kann sich die Wirkungsweise der Matrix beispielhaft anhand des Ortsvektors
⃗𝑐 = (2; 1)
des Punktes
(︂ 𝐴 Ska · ⃗𝑐 =
C
veranschaulichen:
)︂ (︂ )︂ (︂ )︂ (︂ )︂ 2, 5 0 2 2, 5 · 2 + 0 · 1 2, 5 · 2 · = = = 2, 5 · ⃗𝑐 0 2, 5 1 0 · 2 + 2, 5 · 1 2, 5 · 1
Die Koordinaten-Berechnung der übrigen neuen Punkte erfolgt nach dem gleichen Schema: Man erhält für jeden der Punkte einen Ortsvektor, der um einen Faktor
2, 5
gestreckt ist.
Abb. 151: Wirkungsweise einer Skalierungsmatrix. Gilt für die Skalierungsgröße
0𝜆 < 1,
so wird der Vektor beziehungsweise ein aus vielerlei
Vektoren bestehendes geometrisches Objekt durch die Matrix originalgetreu verkleinert 1 (gestaucht). Beispielsweise würde im obigen Beispiel ein Skalierungsfaktor von 𝜆 = eine 3 Umkehrung der Skalierung mit dem Faktor 3 zur Folge haben.
𝜆 < 0, so wird jeder Ortsvektor, auf den die Matrix angewenFaktor |𝜆| skaliert, sondern es wird zusätzlich sein Vorzeichen
Gilt für die Skalierungsgröße det wird, nicht nur um den
236
vertauscht. Hierdurch wird die Richtung des Ortsvektors umgedreht: Beispielsweise zeigt ein Vektor, der ursprünglich nach rechts oben gezeigt hat, nach einer Skalierung mit einem negativen Skalierungsfaktor nach links unten. der Ortsvektor beziehungsweise das geometrische Objekt erfährt dadurch eine
zentrische Streckung
am Koordinaten-Ursprung.
Beispiel:
Wird eine Skalierungsmatrix 𝐴 Ska mit 𝜆 = −1, 5 mit einem Ortsvektor multipliziert, so wird dieser um den Faktor 1, 5 gestreckt und um 180 ° um den Koordinatenursprung gedreht. Dies soll am Beispiel eines Rechtecks gezeigt werden, dessen Eckpunkte folgende Koordinaten haben:
A=
(︀
0; 0
)︀
B=
(︀
3;
0
)︀
C=
(︀
3; +2
)︀
D=
(︀
0; +2
)︀
Man kann sich die Wirkungsweise der Matrix wiederum beispielhaft anhand des
⃗𝑐 = (3; 2) des Punktes C veranschaulichen: (︂ )︂ (︂ )︂ (︂ )︂ (︂ )︂ −1, 5 0 3 −1, 5 · 3 + 0 · 2 −1, 5 · 3 · = = = −1, 5 · ⃗𝑐 𝐴 Ska · ⃗𝑐 = 0 −1, 5 2 0 · 3 − 1, 5 · 2 −1, 5 · 2
Ortsvektors
Die Koordinaten-Berechnung der übrigen neuen Punkte erfolgt wiederum nach dem gleichen Schema; man erhält somit ein um den Faktor
1, 5
skaliertes Objekt im
gegenüber liegenden Quadranten.
Abb. 152: Wirkungsweise einer Skalierungsmatrix mit negativem Skalierungsfaktor.
237
Spiegelungsmatrizen: Soll ein (Orts-)Vektor an der
𝑥-
oder an der
𝑦 -Achse
eines zweidimensionalen Koordina-
tensystems gespiegelt werden, so ist dies mittels der folgenden Matrizen möglich:
(︂ Spiegelung an der
Spiegelung an der
𝑥-Achse: 𝐴 Spi =
𝑦 -Achse: 𝐴 Spi
1 0 0 −1
(︂ −1 = 0
0 1
)︂ (179)
)︂
Diese beiden Spiegelungsmatrizen ähneln einer Skalierungsmatrix mit der Skalierungsgröße
1;
auch sie lassen die Länge eines Vektors beziehungsweise die Größe eines durch
mehrere (Orts-)Vektoren festgelegten Objekts unverändert. Der Unterschied zur reinen Skalierung liegt also in dem nun auftretenden Minus-Zeichen.
Beispiel:
Das Rechteck mit den folgenden Eckpunkten soll an der
A=
(︀
1; 1
)︀
B=
(︀
3;
1
)︀
C=
(︀
3; +2
)︀
𝑥-Achse D=
(︀
gespiegelt werden:
1; +2
)︀
Wendet man die obige Spiegelungsmatrix beispielsweise auf den Ortsvektor Punktes
A
⃗𝑎
des
an, so erhält man:
(︂ 𝐴 Spi · ⃗𝑎 =
1 0 0 −1
Die Matrix lässt also die unverändert; die
)︂ (︂ )︂ (︂ )︂ (︂ )︂ 1 1·1+ 0 ·1 1 · = = −1 0 · 1 + (−1) · 1 −1
𝑥-Komponente des Vektors, mit dem sie multipliziert wird,
𝑦 -Komponente
des Vektors hingegen erhält ein umgekehrtes Vor-
zeichen.
Abb. 153: Wirkungsweise einer Spiegelungsmatrix
238
Die Spiegelung an der
𝑦 -Achse
trix lässt hierbei allerdings die
erfolgt nach dem gleichen Prinzip; die entsprechende Ma-
𝑦 -Komponente
des Vektors unverändert, während die
𝑥-
Komponente ein umgekehrtes Vorzeichen erhält. Wendet man die gleiche Spiegelungsmatrix zweimal hintereinander auf einen Vektor beziehungsweise ein geometrisches Objekt an, so stimmt das Resultat mit dem ursprünglichen
𝑥- und anschließend 𝑦 -Achse vor, so erhält man eine Punktspiegelung des ursprünglichen
Objekt überein. Nimmt man hingegen zuerst eine Spiegelung an der eine Spiegelung an der
Objekts um den Koordinatenursprung.
Abb. 154: Zweifache Spiegelung eines Objekts an der
𝑥-
und an der
𝑦 -Achse.
Eine Punktspiegelung ist formal mit einer Skalierung des Objekts mit dem Faktor
−1
𝜆=
identisch. Dies lässt sich unter anderem mittels des Assoziativ-Gesetzes der Matrix-
Multiplikation zeigen:
(︀ )︀ (︀ )︀ 𝐴 Spi,y · 𝐴 Spi,x · ⃗𝑎 = 𝐴 Spi,y · 𝐴 Spi,x · ⃗𝑎 [︂(︂ )︂ (︂ 1 0 −1 = · 0 −1 0 ⏟ ⏞ =
(︂ )︂ −1 0 0 −1
0 1
)︂]︂ ·⃗𝑎
· ⃗𝑎
X
Projektionsmatrizen Mittels einer Projektionsmatrix lässt sich ein Vektor, wie der Name schon sagt, auf die beziehungsweise
𝑦 -Achse
𝑥-
“projezieren”. Anschaulich kann man sich eine solche Projektion
als “Schatten” des Vektors vorstellen, der sich bei einer Beleuchtung des Vektors senkrecht
239
zur jeweiligen Achse ergeben würde. Um einen (Orts-)Vektor auf die
𝑦 -Achse
𝑥-
beziehungsweise
abzubilden, kann jeweils folgende Matrix genutzt werden:
(︂ Projektion auf die
1 0
𝑥-Achse: 𝐴 Pro =
0 0
)︂
0 1
)︂
(180)
(︂ Projektion auf die
0 0
𝑦 -Achse: 𝐴 Pro =
Beispiel:
⃗𝑣 , der die Punkte A = (1; 2) 𝑥-Achse projeziert werden.
Der Vektor auf die
und
Für die senkrechten Projektionen der Punkte
B = (4; 3) A
und
B
miteinander verbindet, soll
ergibt sich durch Anwenden
der entsprechenden Projektionsmatrix auf die zugehörigen Ortsvektoren:
− → Ax = 𝐴 Pro · 0A =
(︂
1 0 0 0
)︂ (︂ )︂ (︂ )︂ 1 1 · = 2 0
− → Bx = 𝐴 Pro · 0B =
(︂
1 0 0 0
)︂ (︂ )︂ (︂ )︂ 4 4 · = 0 3
⃗𝑣 = 0B − 0A erhält man entweder, indem Bx und Ax bildet, oder auch indem man die entsprechende Projektionsmatrix auf den Vektor ⃗ 𝑣 anwendet: (︂ )︂ [︂(︂ )︂ (︂ )︂]︂ (︂ )︂ (︂ )︂ (︂ )︂ 1 0 4 1 1 0 3 3 · 𝐴 Pro · ⃗𝑣 = − = · = 0 0 3 2 0 0 1 0
Den projezierten Vektor
⃗𝑣x
zum Vektor
man die Differenz der Ortsvektoren von
Der “Schatten” des Vektor
−−→ 0Ax + 𝜆 · ⃗𝑣x
mit
0≤𝜆≤1
⃗𝑣
lässt sich somit rechnerisch mittels des Ausdrucks
beschreiben.
2
Drehmatrizen Soll ein Vektor um einen Winkel
𝜙
in positiver Winkelrichtung (also gegen den Uhrzei-
gersinn) um den Koordinatenursprung gedreht werden, so ist dies mittels der folgenden Drehmatrix möglich:
(︂ 𝐴 Dr =
cos (𝜙) − sin (𝜙) sin (𝜙) cos (𝜙)
)︂ (181)
Die Wirkungsweise dieser Matrix kann man sich gut anhand einiger Sonderfälle veranschaulichen:
2 Ist der Zahlenwert der Projektionsmatrix ungleich Eins, so wird der Schatten skaliert und die Projektion entsprechend schräg. Soll ein dreidimensionaler Vektor auf eine Ebene projeziert werden, so kann dies ebenfalls mittels einer Projektionsmatrix erfolgen. Um beispielsweise einen Vektor
⃗𝑣
auf die
folgende Matrix auf den Vektor angewendet werden:
⎛ 1 𝐴 Pro · ⃗𝑣 = ⎝0 0
0 1 0
⎞ ⎛ ⎞ 0 𝑣x 0⎠ · ⎝𝑣y ⎠ = 𝑣x + 𝑣y 0 𝑣z
240
𝑥𝑦 -Ebene
zu projezieren, kann
Abb. 155: Wirkungsweise einer Projektionsmatrix.
Ist der Drehwinkel
𝜙 = 0 °,
so ist
cos (𝜙) = 1
und
sin (𝜙) = 0.
Die Drehmatrix
nimmt in diesem Fall folgende Form an:
(︂
1 0
𝐴 Dr,𝜙=0° =
0 1
)︂
Diese Matrix entspricht der Einheits-Matrix, die jeden Vektor unverändert lässt; eine Drehung um
0°
Ist der Drehwinkel
hat somit keine Auswirkung auf geometrische Objekte.
𝜙 = 180 °,
so ist
cos (𝜙) = −1
und
sin (𝜙) = 0.
Die Drehmatrix
nimmt in diesem Fall folgende Form an:
𝐴 Dr,𝜙=0°
(︂ )︂ −1 0 = 0 −1
Diese Matrix entspricht einer Skalierungsmatrix mit dem Faktor
𝜆 = −1;
diese
bewirkt, wie bereits beschrieben, eine Punktspiegelung eines geometrischen Objekts um den Koordinaten-Ursprung und somit eine Drehung um
Ist der Drehwinkel
𝜙 = 45 °,
so ist
cos (𝜙) = sin (𝜙) =
1 2
·
√
180 °.
2 ≈ 0, 707.
Die Drehma-
trix nimmt in diesem Fall folgende Form an:
√
𝐴 Dr,𝜙=45°
2 = · 2
(︂
1 −1 1 1
)︂
√
2 , der in diesem Fall bei allen Komponenten der Matrix auftritt, be2 wirkt eine Skalierung des geometrischen Objekts; ansonsten besteht der Unterschied
Der Faktor
zu den bisherigen Matrizen darin, dass nun alle Elemente der Matrix von Null verschieden sind. Die Wirkungsweise der obigen Matrix soll anhand einer Drehung der beiden Punkte
A = (3; 0)
und
B = (0; 3)
beziehungsweise der zugehörigen Ortsvektoren
241
⃗𝑎
und
⃗𝑏
um
𝜙 = 45 °
veranschaulicht werden. Man erhält in diesem Fall für die Koordinaten
des neuen Punktes
Aneu :
√ (︂ )︂ (︂ )︂ √ (︂ )︂ 2 2 1 −1 3 3 𝐴 Dr,𝜙=45° · ⃗𝑎 = · · = · 1 1 0 3 2 2 𝐴 Dr,𝜙=45° · ⃗𝑏 =
√ (︂ )︂ (︂ )︂ √ (︂ )︂ 2 2 1 −1 0 −3 · · = · 1 1 3 3 2 2
Abb. 156: Wirkungsweise einer Drehmatrix.
Die neuen Punkte haben somit gerundet die Koordinaten und
Aneu = (2, 121; 2, 121)
Bneu = (−2, 121; 2, 121).
Berechnet man die Länge der neuen Ortsvektoren, so stellt man fest, dass sich diese durch die Anwendung der Drehmatrix nicht geändert haben:
⎯(︃ )︃ (︃ ⎸ √ )︃2 √︂ ⎸ 3 · √2 2 3 · 2 9·2 9·2 √ |⃗𝑎neu | = ⎷ + = + = 9=3 X 2 2 4 4 ⎯(︃ √ )︃2 √︂ √ )︃2 (︃ ⃒ ⃒ ⎸ 3· 2 3· 2 9·2 9·2 √ ⃒⃗ ⃒ ⎸ ⎷ + − = + = 9=3 X ⃒𝑏neu ⃒ = 2 2 4 4 Drehmatrizen bilden geometrische Objekte also längentreu ab. zudem bleibt auch der Winkel zwischen den beiden Ortsvektoren identisch, wie man durch Bildung des
Skalarprodukts
der beiden neuen Vektoren zeigen kann:
⃗𝑎neu · ⃗𝑏neu
√
(︂ )︂ √ (︂ )︂ √ )︀ 2 2 2 (︀ 3 3 = · · · = · 3 · (−3) + 3 · 3 = 0 3 3 2 2 4
242
Da die Ortsvektoren einen von Null verschiedenen Betrag haben und für das Skalarprodukt
⃗𝑎neu · ⃗𝑏neu = |⃗𝑎neu | · |⃗𝑏neu | · cos (𝜙neu )
gilt, muss in diesem Fall
cos (𝜙neu ) = 0
sein, damit die rechte Seite der Gleichung ebenfalls den Wert Null liefert; folglich ist auch der Winkel
𝜙neu
zwischen den neuen Vektoren gleich
90 °.
Bei Drehungen um beliebige Winkel erhält man für die neuen Ortsvektoren meist Werte, die sich nur auf einige Nachkomma-Stellen gerundet angeben lassen; allerdings lässt sich bereits bei vier Nachkomma-Stellen eine für die meisten Zwecke ausreichende Genauigkeit 3
erzielen. In jedem Fall bleiben die gedrehten Objekte längen- und winkeltreu.
Scherungsmatrizen Eine Scherungsmatrix bewirkt eine Verformung eines geometrischen Objekts. Allgemein hat eine zweidimensionale Scherungsmatrix folgende Form:
(︂ 𝐴 Sche =
1 0
𝜆 1
)︂ (182)
Die Wirkungsweise einer Scherungsmatrix soll im folgenden anhand des Beispiels
𝜆=1
verdeutlicht werden.
Beispiel:
Wie verändert eine Scherungsmatrix mit
𝜆 = 1
ein Quadrat, das durch folgende
Punkte begrenzt wird?
(︀ )︀ A = −2; −2
B=
(︀
2; −2
)︀
C=
(︀
2;
2
)︀
(︀ D = −2;
2
)︀
Um die Punkte des neuen Vierecks zu erhalten, kann man die Scherungsmatrix auf die Ortsvektoren der einzelnen Eckpunkte anwenden:
(︂
1 0
1 1
(︂
1 0
1 1
(︂
1 0
1 1
(︂
1 0
1 1
𝐴 Sche · ⃗𝑎 = 𝐴 Sche · ⃗𝑏 = 𝐴 Sche · ⃗𝑐 = 𝐴 Sche · 𝑑⃗ =
)︂ (︂ −2 · −2 )︂ (︂ 2 · −2 )︂ (︂ 2 · 2 )︂ (︂ −2 · 2
)︂
(︂
)︂ (︂ )︂ −2 − 2 −4 = = 0−2 −2 )︂ (︂ )︂ (︂ )︂ 2−2 0 = = 0−2 −2 )︂ (︂ )︂ (︂ )︂ 2+2 4 = = 0+2 2 )︂ (︂ )︂ (︂ )︂ −2 + 2 0 = = 0+2 2
Durch die Anwendung der Scherungsmatrix wird ein geometrisches Objekt also “verzerrt”. Der Flächeninhalt des Objekts, im obigen Beispiel eines Quadrats, bleibt bei der Scherung zwar gleich, jedoch ändern sich die Winkel zwischen den einzelnen Seiten.
3 Soll die Drehung in die entgegengesetzte Richtung, also mit dem Uhrzeigersinn erfolgen, so muss das Minus-Zeichen vor die andere Sinus-Komponente der Drehmatrix gesetzt werden:
(︂ 𝐴 Dr, =
cos (𝜙) sin (𝜙)
− sin (𝜙) cos (𝜙)
)︂
(︂ ;
𝐴 Dr, =
243
cos (𝜙) − sin (𝜙)
sin (𝜙) cos (𝜙)
)︂
Abb. 157: Wirkungsweise einer Scherungsmatrix.
Matrizengleichungen Matrizen können auch zur Lösung von
linearen Gleichungssystemen
genutzt werden. Bei
Verwendung von Matrizen können diese sehr kompakt dargestellt werden. Beispielsweise hat ein lineares Gleichungssystem mit drei Unbekannten folgende Form:
𝑎11 · 𝑥1 + 𝑎12 · 𝑥2 + 𝑎13 · 𝑥3 = 𝑏1 𝑎21 · 𝑥1 + 𝑎22 · 𝑥2 + 𝑎23 · 𝑥3 = 𝑏2 𝑎31 · 𝑥1 + 𝑎32 · 𝑥2 + 𝑎33 · 𝑥3 = 𝑏3 In Matrizenschreibweise kann dies folgendermaßen geschrieben werden:
𝐴(3;3) · ⃗𝑥 = ⃗𝑏
(183)
Gesucht sind bei dieser “Matrizengleichung” wiederum die Komponenten des Vektors
⃗𝑥.
𝑥1 , 𝑥2
Man kann allerdings, um die Gleichung zu lösen, nicht einfach
𝑥3 durch 𝐴 und
dividieren, da die Division durch eine Matrix nicht definiert ist. Die Lösung besteht viel−1 mehr darin, eine so genannte “inverse” Matrix 𝐴 zu finden, die bei Multiplikation mit der Matrix
𝐴
4
eine Einheitsmatrix ergibt.
𝐴 · 𝐴−1 = 𝐴−1 · 𝐴 = 𝐸 Hat man eine solche inverse Matrix
𝐴−1
zur Matrix
𝐴
(184)
gefunden, kann man beide Seiten
der obigen Gleichung (183) damit multiplizieren:
𝐴−1 · 𝐴 · ⃗𝑥 = 𝐴−1 · ⃗𝑏 4 Die Schreibweise für die ebenfalls
𝑎−1
𝐴−1 soll auf die Ähnlichkeit zur Schreibweise 𝑎−1 = 𝑎1 für reelle Zahlen hinweisen, · 𝑎 = 1 gilt. Es kann allerdings nicht 𝐴−1 = 𝐴1 sein, da eine Division durch eine
Matrix nicht definiert ist.
244
Mit
𝐴−1 · 𝐴 = 𝐸
folgt damit:
𝐸 · ⃗𝑥 = 𝐴−1 · ⃗𝑏 Da die Einheitsmatrix das neutrale Element bezüglich der Multiplikation ist, also gilt, folgt somit als Lösung für
𝐸 ·⃗𝑥 = ⃗𝑥
⃗𝑥: ⃗𝑥 = 𝐴−1 · ⃗𝑏
(185)
Die eigentliche Aufgabe für die Lösung einer Matrizengleichung besteht nun also darin, zu −1 einer Matrix 𝐴 die inverse Matrix 𝐴 zu finden. Hierzu muss folgende Gleichung gelöst werden:
⎛ 𝐴 · 𝐴−1
⎛
⎞ 𝑎11 𝑎12 . . . 𝑎1𝑛 ⎜ 𝑎21 𝑎22 . . . 𝑎2𝑛 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ .. . . ⎟ .. . . ⎠ ⎝ . . . . 𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 . . . 𝑎𝑛𝑛
⎞ 𝑎 ˆ11 𝑎 ˆ12 . . . 𝑎 ˆ1𝑛 ⎜𝑎 ˆ22 . . . 𝑎 ˆ2𝑛 ⎟ ⎜ ˆ21 𝑎 ⎟ ⎜ .. . . ⎟ .. . . ⎝ . . . . ⎠ 𝑎 ˆ𝑛1 𝑎 ˆ𝑛2 . . . 𝑎 ˆ𝑛𝑛 ⎛ ⎞ 1 0 ... 0 ⎜ 0 1 ... 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ .. . . ⎟ .. . . ⎠ ⎝ . . . . 0 0 ... 1
𝑖, 𝑗 = 1, . . . , 𝑛 sind Unbekannte; es muss also ein Gleichungssystem mit 𝑛2 2 Unbekannten und 𝑛 Gleichungen zur Bestimmung der inversen Matrix gelöst werden. Alle
𝑎 ˆij
mit
... to be continued ...
Determinanten Determinanten stellen neben dem
Gaussschen Lösungsverfahren
ein weiteres nützliches
Werkzeug im Umgang mit linearen Gleichungssystemen dar. Sie ermöglichen unter anderem eine verhältnismäßig einfache und schnelle Untersuchung, ob ein lineares Gleichungssystem eine eindeutige Lösung besitzt oder nicht.
Zweireihige Determinanten Um den Umgang mit Determinanten zu verdeutlichen, werden im folgenden Abschnitt zunächst wiederum lineare Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten betrachtet. Diese lassen sich im Allgemeinen in folgender Form darstellen:
𝑎11 · 𝑥1 + 𝑎12 · 𝑥2 = 𝑏1 𝑎21 · 𝑥1 + 𝑎22 · 𝑥2 = 𝑏2 Allgemein kann ein solches Gleichungssystem gelöst werden, indem man beispielsweise die erste Gleichung mit
𝑎22
und die zweite Gleichung mit
𝑎12
multipliziert. Es folgt:
𝑎11 · 𝑎22 · 𝑥1 + 𝑎12 · 𝑎22 · 𝑥2 = 𝑏1 · 𝑎22 𝑎12 · 𝑎21 · 𝑥1 + 𝑎12 · 𝑎22 · 𝑥2 = 𝑏2 · 𝑎12
245
In dieser Form sind die Koeffizienten von
𝑥2
in beiden Gleichungen identisch. Subtrahiert
man die zweite Gleichung von der ersten, so erhält man eine einzelne Gleichung für
𝑥1 :
𝑎11 · 𝑎22 · 𝑥 − 𝑎12 · 𝑎21 · 𝑥1 = 𝑏1 · 𝑎22 − 𝑏2 · 𝑎12 𝑥1 · (𝑎11 · 𝑎22 − 𝑎12 · 𝑎21 ) = 𝑏1 · 𝑎22 − 𝑏2 · 𝑎12 𝑥 ausgeklammert. Ist die verbleibende für 𝑥1 :
Im zweiten Rechenschritt wurde auf der linken Seite Klammer ungleich Null, so erhält man als Lösung
𝑥1 =
𝑏1 · 𝑎22 − 𝑏2 · 𝑎12 𝑎11 · 𝑎22 − 𝑎12 · 𝑎21
Nach dem gleichen Prinzip kann man im die erste Gleichung des ursprünglichen Glei-
𝑎11 für 𝑥2
𝑎21
chungssystems mit
und die zweite Gleichung mit
mungsgleichung
zu erhalten. Die Lösung lautet dabei:
𝑥2 =
multiplizieren, um eine Bestim-
𝑏2 · 𝑎11 − 𝑏1 · 𝑎21 𝑎11 · 𝑎22 − 𝑎12 · 𝑎21
Die Lösbarkeit des Gleichungssystems hängt also nur davon ab, ob für den Term
𝑎12 ·𝑎21 ) ̸= 0 gilt. Die “Determinante”
(𝑎11 ·𝑎22 −
eines Gleichungssystems wird daher folgendermaßen
definiert:
⃒ ⃒ ⃒𝑎11 𝑎12 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒𝑎21 𝑎22 ⃒ = 𝑎11 · 𝑎22 − 𝑎12 · 𝑎21
(186)
Das Ergebnis dieser Determinante lässt sich nach der so genannten “Regel von Sarrus” berechnen, indem man das Produkt der in der “Hauptdiagonale” stehenden Zahlen (von links oben nach rechts unten) bildet und davon das Produkt der in der “Nebendiagonalen” stehenden Zahlen (von links unten nach rechts oben) subtrahiert. Ist die resultierende Zahl ungleich Null, so ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar. Die Lösungen für
𝑥1
und
𝑥2
lassen sich nach der so genannten Regel von Cramer ebenfalls
in Determinanten-Schreibweise darstellen. Im Nenner steht dabei immer die eigentliche Determinante des Gleichungssystems, im Zähler wird die erste beziehungsweise zweite Spalte der Determinante durch die rechte Seite der Gleichung ersetzt. Somit gilt:
⃒ ⃒ 𝑏1 ⃒ ⃒ 𝑏2 𝑥1 = ⃒⃒ ⃒𝑎11 ⃒𝑎21
⃒ 𝑎12 ⃒⃒ 𝑎22 ⃒ ⃒ 𝑎12 ⃒⃒ 𝑎22 ⃒
und
⃒ ⃒𝑎11 ⃒ ⃒𝑎21 𝑥2 = ⃒⃒ ⃒𝑎11 ⃒𝑎21
⃒ 𝑏1 ⃒⃒ 𝑏2 ⃒ ⃒ 𝑎12 ⃒⃒ 𝑎22 ⃒
(187)
Dreireihige Determinanten Determinanten lassen sich auch für Gleichungssysteme mit drei Gleichungen und drei Unbekannten definieren. In allgemeiner Form lässt sich ein solches Gleichungssystem folgendermaßen beschreiben:
𝑎11 · 𝑥1 + 𝑎12 · 𝑥2 + 𝑎13 · 𝑥3 = 𝑏1 𝑎21 · 𝑥1 + 𝑎22 · 𝑥2 + 𝑎23 · 𝑥3 = 𝑏2 𝑎31 · 𝑥1 + 𝑎32 · 𝑥2 + 𝑎33 · 𝑥3 = 𝑏3
246
Entsprechend lässt sich hierfür eine Determinante in folgender Form definieren:
⃒ ⃒ ⃒𝑎11 𝑎12 𝑎13 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⃒ = 𝑎11 · 𝑎22 · 𝑎33 + 𝑎21 · 𝑎32 · 𝑎13 + 𝑎31 · 𝑎12 · 𝑎23 ⃒ ⃒ ⃒𝑎31 𝑎32 𝑎33 ⃒ − 𝑎31 · 𝑎22 · 𝑎13 − 𝑎21 · 𝑎12 · 𝑎33 − 𝑎11 · 𝑎32 · 𝑎23
(188)
Wiederum lässt sich die Determinante nach der Regel von Sarrus berechnen, indem man die Produkte der in der “Hauptdiagonale” stehenden Zahlen (von links oben nach rechts unten) bildet und davon die Produkte der in der “Nebendiagonalen” stehenden Zahlen (von links unten nach rechts oben) subtrahiert. Ist die resultierende Zahl ungleich Null, so ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar.
Abb. 158: Merkhilfe zur Regel von Sarrus
Die Lösungen für
𝑥1 , 𝑥2
und
𝑥3
lassen sich ebenfalls nach der Regel von Cramer in
Determinanten-Schreibweise darstellen. Im Nenner steht wiederum die eigentliche Determinante des Gleichungssystems, im Zähler wird die erste, zweite beziehungsweise dritte Spalte der Determinante durch die rechte Seite der Gleichung ersetzt. Somit gilt:
⃒ ⃒ 𝑏1 ⃒ ⃒ 𝑏2 ⃒ ⃒ 𝑏3 𝑥1 = ⃒ ⃒𝑎11 ⃒ ⃒𝑎21 ⃒ ⃒𝑎31
𝑎12 𝑎22 𝑎32 𝑎12 𝑎22 𝑎32
⃒ 𝑎13 ⃒⃒ 𝑎23 ⃒⃒ 𝑎33 ⃒ ⃒ 𝑎13 ⃒⃒ 𝑎23 ⃒⃒ 𝑎33 ⃒
und
⃒ ⃒𝑎11 ⃒ ⃒𝑎21 ⃒ ⃒𝑎31 𝑥2 = ⃒ ⃒𝑎11 ⃒ ⃒𝑎21 ⃒ ⃒𝑎31
𝑏1 𝑏2 𝑏2 𝑎12 𝑎22 𝑎32
⃒ 𝑎13 ⃒⃒ 𝑎23 ⃒⃒ 𝑎33 ⃒ ⃒ 𝑎13 ⃒⃒ 𝑎23 ⃒⃒ 𝑎33 ⃒
und
⃒ ⃒𝑎11 ⃒ ⃒𝑎21 ⃒ ⃒𝑎31 𝑥3 = ⃒ ⃒𝑎11 ⃒ ⃒𝑎21 ⃒ ⃒𝑎31
𝑎12 𝑎22 𝑎32 𝑎12 𝑎22 𝑎32
⃒ 𝑏1 ⃒⃒ 𝑏2 ⃒⃒ 𝑏3 ⃒ ⃒ 𝑎13 ⃒⃒ 𝑎23 ⃒⃒ 𝑎33 ⃒
(189)
Mehrreihige Determinanten Auch Gleichungssysteme mit mehr als drei Gleichungen und Unbekannten lassen sich mit der obigen Determinantenmethode (Regel von Cramer) lösen. Dazu müssen Determinanten mit
𝑛 > 3
Reihen berechnet werden. Möchte man für solche Determinanten
eine allgemeine Lösungsregel angeben, so werden die dabei auftretenden Terme jedoch
𝑛-reihige Determinan𝑛! Summanden, bei einer 𝑛 = 4-reihigen Determinante müssten also bereits 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24 Summanden ausgewertet werden , bei einer 𝑛 = 5-reihigen Determinante sogar 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120.
schnell unübersichtlich: Eine Erweiterung der Regel von Sarrus auf ten enthält allgemein
Einfacher ist es im allgemeinen, aus einer minanten mit
(𝑛 − 1)
𝑛-reihigen
Determinante insgesamt
𝑛
Deter-
Reihen zu bilden. Dieses rekursive Entwlicklungsschema, das auch
247
von Computer-Algebra-Systemen zur Berechnung beliebig großer Determinanten genutzt wird, soll hier am Beispiel einer vierreihigen Determinante vorgestellt werden.
Definition: Streicht man in einer Determinante Spalte nante
𝐴
eine beliebige Zeile
𝑖
und eine beliebige
𝑗 , so bezeichnet man die übrigbleibenden Elemente als Unterdetermi𝐷ij . Das Element 𝑎ij , das sich am Schnittpunkt beider Linien befindet,
nennt man Schnittpunktelement.
Abb. 159: Schnittpunktelement
𝑎23 bei Streichung der zweiten Zeile und der dritten Spalte.
Definition: Multipliziert man den Wert der Unterdeterminante 𝐷ij mit dem Faktor (−1)𝑖+𝑗 , so spricht man von der zum Element 𝑎ij adjungierten Unterdeterminante
𝐴ij : 𝐴ij = (−1)𝑖+𝑗 · 𝐷ij
Das Vorzeichen des Faktors
(−1)𝑖+𝑗
(190)
hängt von der Zeilen- und Spaltennummer von
𝑎ij
ab;
ist die Summe beider Zahlen gerade, so ist das Vorzeichen positiv, andernfalls negativ. Anschaulich kann man das Vorzeichen auch anhand einer schachbrettartigen Vorzeichentabelle ablesen.
Abb. 160: Vorzeichen-Schema für die Entwicklung von Unterdeterminanten
Mit den beiden obigen Definitionen kann der so genannte Entwicklungssatz von Leibniz folgendermaßen formuliert werden: “Multipliziert man die Elemente einer beliebigen Reihe mit den jeweiligen adjungierten Unterdeterminanten und addiert die so entstehenden Produkte, so erhält man den Wert der Determinante.” Es ist frei wählbar, nach welcher Reihe (Zeile oder Spalte) man eine Determinante entwickelt. Entwickelt man eine Determinante
𝐴
nach der
248
𝑖-ten
Zeile, so gilt:
𝐴=
𝑛 ∑︁
𝑎ij · 𝐴ij
𝑗=1 Entwickelt man eine Determinante
𝐴
hingegen nach der
𝐴=
𝑛 ∑︁
𝑗 -ten
Spalte, so gilt:
𝑎ij · 𝐴ij
𝑖=1 Zweckmäßig ist es, für die Entwicklung eine Reihe zu wählen, die möglichst viele Nullen enthält.
Beispiel:
Folgende Determinante
𝐴
𝑛 = 4 Reihen ⃒ ⃒ 1 2 ⃒ ⃒ 0 1 𝐴 = ⃒⃒ −1 −2 ⃒ ⃒ 1 2
mit
soll berechnet werden:
⃒ 3 0 ⃒⃒ 2 −1⃒⃒ 3 2 ⃒⃒ 1 0⃒
Zunächst wird die Determinante in Unterdeterminanten mit
𝑛=3
Reihen entwi-
ckelt. Vorteilhaft ist hierbei eine Entwicklung nach der vierten Spalte, da diese zwei Nullen enthält. Nach dem Leibnizschen Entwicklungssatz gilt:
⃒ ⃒ 1 2 ⃒ ⃒ 0 1 𝐴 = ⃒⃒ −1 −2 ⃒ ⃒ 1 2
⃒ ⃒ 3 0 ⃒⃒ ⃒ 0 1 ⃒ ⃒ 2 −1⃒ ⃒ = − 0 · ⃒−1 −2 3 2 ⃒⃒ ⃒ 1 2 1 0⃒ ⃒ ⃒ 1 2 ⃒ 1 − 2 · ⃒⃒ 0 ⃒ 1 2
⃒ ⃒ ⃒ 1 2⃒⃒ 2 ⃒ ⃒ ⃒ 3⃒ + (−1) · ⃒−1 −2 ⃒ 1 1⃒ 2 ⃒ ⃒ ⃒ 1 2 3⃒⃒ ⃒ 1 2⃒⃒ + 0 · ⃒⃒ 0 ⃒ ⃒ −1 −2 1
⃒ 3⃒⃒ 3⃒⃒ 1⃒ ⃒ 3⃒⃒ 2⃒⃒ 3⃒
Alle Determinanten liefern reelle Zahlen als Ergebnisse; mit Null multipliziert ergeben sie ebenfalls Null. Es müssen somit nur die zweite und die dritte Unterdeterminante ausgewertet werden. Hierzu kann die Regel von Sarrus genutzt werden:
⃒ ⃒ 1 2 ⃒ ⃒ 𝐴 = (−1) · ⃒−1 −2 ⃒ 1 2 = (−1) · Die Determinante
𝐴
−2·
0
hat somit den Wert
Um ein lineares Gleichungssystem mit neben der Determinante
⃒ ⃒ ⃒ 1 3⃒⃒ ⃒ ⃒ 3⃒ − 2 · ⃒⃒ 0 ⃒ 1 1⃒
𝐴
𝑛
𝑥j
gilt dann mit
(−2)
3 2 2
⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 1⃒ =4
4.
Gleichungen und Unbekannten zu lösen, müssen
der Koeffizienten
𝑎ij
𝑛 Determinanten 𝐴𝑗 berechnet von 𝐴 durch die Ergebnisspalte 𝑏
auch die
𝑗 -te Spalte 𝑗 = 1, . . . , 𝑛: 𝐴j 𝑥j = 𝐴
werden, die sich ergeben, wenn man die ersetzt. Für die Lösung
2 1 1
Voraussetzung ist bei dieser allgemeinen Regel von Cramer wiederum, dass die Determinante
𝐴
der Koeffizienten ungleich Null ist.
249
Determinanten-Regeln Zum Rechnen mit Determinanten sind zudem folgende Regeln bisweilen nützlich:
Der Wert einer Determinante bleibt gleich, wenn man sie transponiert, also die Zeilen mit den Spalten vertauscht.
Vertauscht man zwei Zeilen miteinander, so ändert sich das Vorzeichen der Determinante. Ebenso ändert sich das Vorzeichen einer Determinante, wenn man zwei Spalten vertauscht.
Der Wert einer Determinante bleibt gleich, wenn die Elemente einer Zeile mit einem beliebigen Faktor multipliziert und das Ergebnis zu den entsprechenden Elementen einer anderen Zeile addiert. Das gleiche gilt, wenn man die mit einem beliebigen Faktor multiplizierten Elemente einer Spalte zu den entsprechenden Elementen einer anderen Spalte addiert.
Eine Determinante hat den Wert Null, wenn alle Elemente einer Zeile oder Spalte gleich Null sind oder wenn je zwei Zeilen beziehungsweise Spalten gleich oder zueinander proportional sind.
Eine Determinante wird mit einem Faktor multipliziert, indem man alle Elemente einer einzelnen Zeile oder einer einzelnen Spalte mit diesem Faktor multipliziert.
Hinweis:
Zu diesem Abschnitt gibt es
Übungsaufgaben .
250
Stochastik Zufallsexperimente und Ereignisse Experimente, die unter gleichen Bedingungen zu gleichen Ergebnissen führen, bezeichnet man als determiniert. Im Rahmen der Wahrscheinlichkeitsrechnung werden hingegen meist zufällige Vorgänge betrachtet.
Zufallsexperimente Als Experiment bezeichnet man allgemein einen Vorgang, der (zumindest prinzipiell) beliebig oft wiederholt werden kann. Dabei ist klar festgelegt, welche Messgröße beobachtet werden soll, jedes mögliche Ergebnis kann also eindeutig festgestellt werden. Eine einzelne Durchführung eines Experiments nennt man Versuch. Ein Experiment, bei dem die Menge aller möglichen Ergebnisse bekannt ist, jedoch nicht das bei der Durchführung eines Versuchs tatsächlich eintretende Ergebnis, bezeichnet man als Zufallsexperiment.
Beispiel:
In einer Urne befinden sich 50 gleichartige Kugeln mit den Nummern
1, 2, . . . , 50.
Eine Kugel wird blind gezogen und anschließend ihre Nummer notiert. Es können dabei 50 mögliche Ergebnisse auftreten, wobei die Nummer der gezogenen Kugel
𝑘
genannt wird. Für die einzelnen Versuchsergebnisse werden üblicherweise Kurzbezeichnungen eingeführt, beispielsweise
𝑘
für das Ergebnis “Die gezogene Kugel hat die Nummer
Versuchsergebnisse fasst man zu einer so genannten Ergebnismenge
𝑘 ”. Alle möglichen Ω zusammen. Im
obigen Fall gilt beispielsweise:
Ω = { 1, 2, . . . , 50 } Die einzelnen, voneinander verschiedenen Ergebnisse eines Zufallsexperiments werden allgemein mit
𝜔1 , 𝜔2 , . . .
bezeichnet. Allgemein besteht eine Ergebnismenge also aus folgen-
den Elementen:
Ω = { 𝜔1 , 𝜔2 , . . . , 𝜔n }
251
Mehrstufige Zufallsexperimente Einstufige Zufallsexperimente, wie beispielsweise das Ziehen
einer
Kugel aus einer Urne,
können zu mehrstufigen Zufallsexperimenten zusammengesetzt werden. Hierbei wird das zu Grunde liegende einstufige Zufallsexperiment mehrfach ausgeführt.
Beispiel:
Eine Münze wird zweimal geworfen. Bei jedem Wurf kann entweder das Ergebnis “Kopf ”
(𝐾)
oder “Zahl”
(𝑍)
eintreten. Insgesamt lassen sich die möglichen Versuch-
sergebnisse durch ein Tupel zweier Werte beschreiben. Für die Ergebnismenge gilt in diesem Fall also:
Ω = { (𝐾, 𝐾), (𝐾, 𝑍), (𝑍, 𝐾), (𝑍, 𝑍) } Die Ergebnismenge im obigen Beispiel lässt sich auch als
Produktmenge {𝐾, 𝑍} × {𝐾, 𝑍}
der Ergebnismengen eines einmaligen Werfens einer Münze darstellen. Allgemein lässt
𝑘 -stufiges Zufallsexperiment mit genannten “ 𝑘 -Tupeln”) beschreiben.
sich ein (so
Hilfe von geordneten Zahlenpaaren der Länge
𝑘
Abb. 161: Baumdiagramm eines dreimailigen Münzwurfes.
Eine Ergebnismenge kann durch einen so genannten Ergebnisbaum veranschaulicht werden. Jedem Ergebnis entspricht dabei einem Weg durch den Ergebnisbaum.
Ereignisse Ereignisse werden formal durch Teilmengen von
Ω
beschrieben.
Beispiel:
Eine Urne enthält
15 Kugeln, wobei je zwei Kugeln mit den Nummern 0, 1, 2, 3, 4 und 5, 6, 7, 8, 9 vorkommen. Es wird eine Kugel blind Nummer notiert, die Ergebnismenge ist also Ω = {0, 1, 2, . . . , 9}.
je eine Kugel mit den Nummern gezogen und ihre
252
Fasst man das Zufallsexperiment als Glücksspiel auf, bei dem man gewinnt, wenn eine Nummer
≥ 5
gezogen wird, so tritt dieses Ereignis genau dann ein, wenn
die gezogene Nummer gleich Menge
5, 6, 7, 8
9
oder
ist, das Versuchsergebnis also zur
𝑀 = {5, 6, 7, 8, 9} gehört. Das Ereignis ist also durch die Menge 𝑀
eindeutig
beschrieben.
𝑀 von Ω ein Ereignis. Ist die Teilmenge mit Ω (𝑀 = Ω), so spricht man von einem sicheren Ereignis, ist die Teilmenge gleich der leeren Menge (𝑀 = ∅), so handelt es sich um ein unmögliches Ereignis. Beinhaltet 1 die Teilmenge genau ein Element 𝜔 , so nennt man das Ereignis elementar. Allgemein beschreibt jede Teilmenge
identisch
Die Menge aller möglichen Ereignisse, also die Menge aller Teilmengen von eignismenge
Ω,
heißt Er-
2
𝒫(Ω).
Da es sich bei Ereignissen um Mengen handelt, können diese ebenfalls durch Mengenoperationen miteinander verknüpft werden:
Betrachtet man die Schnittmenge einem UND-Ereignis (𝑀1 und
𝑀1 ∩ 𝑀1
𝑀1 ).
Betrachtet man die Vereinigungsmenge von einem ODER-Ereignis (𝑀1 und
zweier Ereignisse, so spricht man von
𝑀1 ∪ 𝑀1
zweier Ereignisse, so spricht man
𝑀1 ).
Betrachtet man die Komplementmenge
𝑀1
eines Ereignisses, so spricht man von
𝑀1 ).
einem Gegenereignis (nicht
Vereinigungs-, Schnitt- und Komplementmengen lassen sich nach den Rechenregeln der Mengenlehre weitere Ereignisse formulieren beziehungsweise Beschrei-
Durch Bildung von
bungen von Ereignissen vereinfacht werden.
𝑀1
Können zwei Ereignisse
𝑀2
und
nicht gleichzeitig eintreten, ist also
𝑀1 ∩ 𝑀2 = ∅, 𝑀 und dem
so nennt man die Ereignisse unvereinbar. Dies ist stets bei einem Ereignis entsprechenden Gegenereignis
𝑀
der Fall, es sind jedoch auch weitere Fälle möglich.
Beispiel:
Ein Würfel wird zweimal geworfen und jeweils die Augenzahl notiert. Dabei werden folgende Ereignisse betrachtet:
– 𝑀1 :
“Die
Summe
der
Augenzahlen
ist
7”,
also
𝑀1
=
gleich”,
also
𝑀1
=
gleich
{(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}.
– 𝑀2 :
“Pasch:
Die
beiden
Augenzahlen
sind
{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}. In diesem Beispiel gilt
Hinweis:
𝑀1 ∩ 𝑀2 = ∅,
Zu diesem Abschnitt gibt es
1 Zwischen dem Ergebnis
die Ergeignisse sind also unvereinbar.
Übungsaufgaben .
{𝜔} besteht ein formaler Unterschied: WähΩ ist, ist {𝜔} ein Element der Ereignismenge 𝒫(Ω). 2 In der Mengenlehre bezeichnet man 𝒫(Ω) als Potenzmenge von Ω. Eine 𝑛-elementige Menge besitzt 𝑛 2 Teilmengen, für |Ω| = 𝑛 ist also |𝒫(Ω)| = 2𝑛 . Zu einem Zufallsexperiment mit einer 𝑛-elementigen 𝑛 Ergebnismenge gibt es also 2 mögliche Ereignisse.
rend
𝜔
𝜔
und dem Elementarereignis
ein Element der Ergebnismenge
253
Wahrscheinlichkeitsmaße Die relative Häufigkeit Um die relative Häufigkeit eines Ereignisses wird dieses Häufigkeit
𝑀
𝑛 mal durchgeführt und gezählt, wie oft das ℎ(𝑀 ) ist dabei folgendermaßen definiert: ℎ(𝑀 ) =
Die Größe
bei einem Zufallsexperiment zu bestimmen, Ereignis
𝑀
eintritt. Die relative
𝑧(𝑀 ) 𝑛
𝑧(𝑀 ) wird dabei “absolute” Häufigkeit des Ereignisses 𝑀 genannt und gibt an, 𝑀 bei dem Zufallsexperiment insgesamt eingetreten ist.
wie häufig das Ereignis
Bei großen Versuchszahlen gilt für die relative Häufigkeit das so genannte Gesetz der großen Zahlen: Die relative Häufigkeit gend großen Wert von
𝑛
ℎ(𝑀 )
eines Ereignisses
𝑀
weicht bei einem genü-
nur wenig von einem bestimmten, für das Ereignis charakteris-
tischen Wert ab.
𝑀 aus den Elementen 𝜔1 , . . . , 𝜔𝑚 , von 𝑛 Versuchen:
Besteht die Menge bei einer Reihe
ℎ(𝑀 ) =
𝑧({𝜔1 }) + 𝑧({𝜔2 }) + . . . + 𝑧({𝜔n }) 𝑧(𝑀 ) = = ℎ({𝜔1 }) + ℎ({𝜔2 }) + . . . + ℎ({𝜔n }) 𝑛 𝑛
Die relative Häufigkeit von Elementarereignisse, die in
𝑀 ist also gleich der 𝑀 enthalten sind.
Allgemein gilt für die relative Häufigkeit stets unmögliches und und
𝑀2
so gilt für die relative Häufigkeit
ℎ(𝑀 ) = 1
Summe der relativen Häufigkeiten aller
0 ≤ ℎ(𝑀 ) ≤ 1,
wobei
ℎ(𝑀 ) = 0
für ein
für ein sicheres Ereignis gilt. Sind zudem zwei Ereignisse
unvereinbar, d.h. gilt
𝑀1 ∩ 𝑀2 = ∅,
so gilt
𝑀1
ℎ(𝑀1 ∪ (𝑀2 ) = ℎ(𝑀1 ) + ℎ(𝑀2 ).
Die Wahrscheinlichkeit Als Wahrscheinlichkeit bezeichnet man ein Maß für das Eintreten eines Ereignisses
𝑀.
Prinzipiell kann nach dem empirischen Gesetz der großen Zahlen für die Wahrscheinlichkeit folgende Festsetzung genutzt werden:
𝑃 (𝑀 ) = lim ℎ(𝑀 ) 𝑛→∞
In der Praxis lassen sich jedoch stets nur eine begrenzte Zahl
𝑛 an Versuchen durchführen.
Man definiert den Wahrscheinlichkeitsbegriff daher über folgende Axiome:
Definition: Eine Abbildung der Form
𝑀 ⊂ 𝒫(Ω) → 𝑃 (𝐴) ∈ R
heißt Wahrscheinlichkeits-
maß, wenn folgende Eigenschaften (“Axiome von Kolmogoroff ”) erfüllt sind:
Nichtnegativität: Für alle
𝑀 ∈ 𝒫(Ω)
gilt:
𝑃 (𝑀 ) ≥ 0
254
𝑀 = Ω,
Normiertheit: Ist
so gilt:
𝑃 (Ω) = 1
Additivität: Für
𝑀1 ∩ 𝑀2 = ∅
gilt:
𝑃 (𝑀1 ∪ 𝑀2 ) = 𝑃 (𝑀1 ) + 𝑃 (𝑀2 )
Die Zahl
𝑀1 , 𝑀2 , . . ., 𝑀𝑖 ∩ 𝑀𝑗 = ∅ für 𝑖 ̸= 𝑗
Die Additivität gilt auch für mehrere Ereignisse
wenn diese
paarweise unvereinbar sind, d.h. wenn
gilt.
𝑝(𝑀 )
wird dabei als Wahrscheinlichkeit des Ereignisses
𝑀
bezeichnet.
Zu einem Zufallsexperiment sind beliebig viele unterschiedliche Wahrscheinlichkeitsmaße denkbar. Welches Maß dabei das “Richtige” ist, hängt von den physikalischen Gegebenheiten des Experiments ab. Bei einem “normalen” Würfel erwartet man beispielsweise, dass 1 die Wahrscheinlichkeit 𝑃 für jede Augenzahl gleich ist; hat der Würfel jedoch kleine 6 Unregelmäßigkeiten, so können diese zur Folge haben, dass nicht mehr alle Elementarereignisse gleich wahrscheinlich sind. Zusätzlich zu den obigen Axiomen gelten als Folgerungen einige weitere Eigenschaften für Wahrscheinlichkeitsmaße:
Ist
𝑃 (𝑀 )
die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses
Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses
Ist
𝑀,
so ist
¯ ) = 1 − 𝑃 (𝑀 ) 𝑃 (𝑀
die
¯ .1 𝑀
𝑀1 ⊂ 𝑀2 , so gilt 𝑃 (𝑀1 ) ≤ 𝑃 (𝑀2 ). Diese Eigenschaft wird auch “Monotonieregel” 2
genannt.
¯ 2 ) = 𝑃 (𝑀1 ) − 𝑃 (𝑀1 ∩ 𝑀2 ). 𝑃 (𝑀1 ∩ 𝑀
Es gilt stets:
Diese Eigenschaft wird auch
3
“Zerlegungsregel” genannt.
Es gilt stets:
𝑃 (𝑀1 ∪ 𝑀2 ) = 𝑃 (𝑀1 ) + 𝑃 (𝑀2 ) − 𝑃 (𝑀1 ∩ 𝑀2 )
Diese Eigenschaft wird
4
auch “Additionsregel” genannt.
Wahrscheinlichkeit bei Laplace-Experimenten Sind alle Elementarereignisse gleich wahrscheinlich, so bezeichnet man das Zufallsexperiment als “Laplace-Experiment”. Wahrscheinlichkeiten, die unter dieser Annahme berechnet werden, nennt man entsprechend “Laplace-Wahrscheinlichkeiten”.
1 Dass diese Gleichung gilt, folgt aus
¯ ) = 𝑃 (𝑀 ) + 𝑃 (𝑀 ¯ ). 1 = 𝑃 (Ω) = 𝑃 (𝑀 ∪ 𝑀 ¯ 𝑀2 = (𝑀2 ∩ 𝑀1 ) ∪ 𝑀1 zeigen:
2 Dass diese Gleichung gilt, lässt sich wegen
¯1 ) ∪ 𝑀1 ) = 𝑃 (𝑀2 ∩ 𝑀 ¯1 ) + 𝑃 (𝑀1 ) 𝑃 (𝑀2 ) = 𝑃 ((𝑀2 ∩ 𝑀 Wegen
¯1 ) 0 ≤ 𝑃 (𝑀2 + 𝑀
folgt
𝑃 (𝑀1 ) ≤ 𝑃 (𝑀2 ). ¯2 ) + (𝑀1 ∩ 𝑀2 ). Damit gilt ebenfalls 𝑃 (𝑀1 ∩ 𝑀 ¯2 ) = 𝑀1 = (𝑀1 ∩ 𝑀
3 Diese Eigenschaft ergibt sich aus
𝑃 (𝑀1 ) − 𝑃 (𝑀1 ∩ 𝑀2 ).
4 Diese Eigenschaft gilt wegen
der obigen Beziehung gilt zudem
¯1 )) = 𝑃 (𝑀1 ) + 𝑃 (𝑀2 ∩ 𝑀 ¯1 ). Aufgrund 𝑃 (𝑀1 ∪ 𝑀2 ) = 𝑃 (𝑀1 ∪ (𝑀2 ∩ 𝑀 ¯1 )) = 𝑃 (𝑀2 ) − 𝑃 (𝑀1 ∩ 𝑀2 ). Ein Einsetzen der zweiten 𝑃 (𝑀2 ∩ (𝑀
Gleichung in die erste liefert die Additionsregel.
255
𝑛
Hat ein Laplace-Experiment jedes Elementarereignis
{𝜔}.
|Ω| = 𝑛, so gilt 𝑃 = 𝑛1 𝑀 = {𝜔1 , 𝜔2 , . . . , 𝜔k } mit 𝑘 ≤ 𝑛
Elementarereignisse, d.h. ist
Für ein Ereignis
für gilt
entsprechend:
𝑃 (𝑀 ) =
Anzahl der günstigen Ergebnisse Anzahl der möglichen Ergebnisse
=
|𝑀 | |Ω|
Um die Anzahl der günstigen und der möglichen Ergebnisse zu bestimmen, werden üblicherweise Methoden aus der Kombinatorik genutzt.
Kombinatorik In der Kombinatorik wird untersucht, wie viele unterschiedliche Möglichkeiten sich bei der Anordnung einer bestimmten Anzahl an Objekten ergeben, je nachdem, ob dabei die Reihenfolge der Objekte berücksichtigt wird und/oder die Objekte wiederholt auftreten können.
Permutationen Eine Menge mit
𝑛
Elementen soll unter Berücksichtigung der Reihenfolge angeordnet
werden, wobei jedes Element nur einmal vorkommen darf. Wie viele verschiedene Anordnungen sind dabei möglich? Diese Grundfrage lässt sich beantworten, indem Schritt für Schritt geprüft wird, wie viele Möglichkeiten sich bei der Besetzung jeder einzelnen Stelle ergeben. Für die Besetzung der ersten Stelle gibt es
𝑛
Möglichkeiten, da noch kein Element vergeben wurde. Für
die Besetzung der zweiten Stelle bleiben nur noch
𝑛−1
Möglichkeiten, da ein Element
bereits an der ersten Stelle vergeben wurde. Für die Besetzung der dritten Stelle bleiben entsprechend noch
𝑛−2
Möglichkeiten, und so weiter. Für die letzte Stelle bleibt nur
noch ein Element übrig, somit gibt es auch nur eine Möglichkeit die Stelle zu besetzen. Jede Besetzung einer einzelnen Stelle kann mit jeder Besetzung einer anderen Stelle kombiniert werden. Damit entspricht die Anzahl an
𝑛-Permutationen,
d.h. an Anordnungen
mit Berücksichtigung der Reihenfolge und ohne Wiederholung der Elemente, dem Produkt aller Möglichkeiten für die einzelnen Stellen:
𝑛! = 𝑛 · (𝑛 − 1) · (𝑛 − 2) · . . . · 1 Dabei wird mit
𝑛!
(gelesen:
𝑛
Fakultät) die
Produktfolge
von
(191)
1
bis
𝑛
bezeichnet.
Beispiel:
Auf wie viele verschiedene Arten lassen sich ein roter, ein grüner, ein blauer, ein gelber und ein weißer Ball in einer Reihe hintereinander legen? Da es sich insgesamt um fünf Bälle handelt und jeder Ball die erste Position in der Reihe einnehmen kann, gibt es für die Besetzung der ersten Stelle keiten. Für jede mögliche Besetzung der ersten Stelle gibt es
4
5
Möglich-
Möglichkeiten, die
zweite Stelle zu besetzen, und für jede dieser Anordnungen existieren wiederum
256
3
Möglichkeiten zur Besetzung der dritten Stelle. Schließlich gibt es für jede dieser An-
2
ordnungen dreier Bälle
Möglichkeiten zur Besetzung der vierten Stelle. Die fünfte
Stelle ist automatisch festgelegt, da jeweils nur
1
Besetzungsmöglichkeit vorliegt.
Insgesamt ergibt sich damit folgende Anzahl an Möglichkeiten:
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120 Es gibt somit
120
verschiedene Möglichkeiten, die fünf Bälle der Reihe nach anzu-
ordnen.
Permutationen mit nicht unterscheidbaren Objekten Sind
𝑚
von den insgesamt
𝑛
Objekten nicht unterscheidbar, so können diese auf
𝑚!
ver-
schiedene Arten auf ihre Positionen verteilt werden. Da alle diese Möglichkeiten nur eine einzige Anordnung liefern, würden sie in der Permutations-Gleichung (191) fälschlicherweise zu einem
𝑚!-fachen
an Kombinationsmöglichkeiten führen.
Um die Einschränkung an unterschiedlichen Anordnungen zu berücksichtigen, muss Gleichung (191) durch
𝑚! dividiert werden. Die Anzahl an 𝑛-Permutationen mit 𝑚 identischen
Objekten ist somit gleich Sind allgemein jeweils
𝑛! . 𝑚!
𝑚1 , 𝑚2 , . . .
der insgesamt
𝑛
Objekte identisch, so lässt sich die
Anzahl an Permutationen (unterschiedlichen Anordnungen) folgendermaßen berechnen:
𝑛 𝑚1 ! · 𝑚2 ! · . . .
(192)
Beispiele:
Auf wie viele verschiedene Arten lassen sich die Ziffern
001
anordnen?
In diesem Fall treten zwei gleichartige Objekte (die zwei Nullen) auf. Für die Anzahl der möglichen Permutationen gilt somit:
3! 3·2·1 = =3 2! 2·1 Es sind somit drei verschiedene Permutationen
(001, 010, 100)
möglich.
Auf wie viele verschiedene Arten lassen sich die Buchstaben des Wortes “Mississippi” anordnen? Wären
alle
39 916 800
elf
Buchstaben
voneinander
verschieden,
so
gäbe
es
11! =
unterschiedliche Anordnungsmöglichkeiten. Von diesen Anordnun-
gen sind allerdings
4! · 4! · 2!
identisch, da es sich bei den vier Buchstaben “i”,
den vier Buchstaben “s” und den zwei Buchstaben “p” um nicht unterscheidbare Objekte handelt, und die verschiedenen Anordnungsmöglichkeiten der gleichen Buchstaben jeweils zu nur einer einzigen zusammenfallen. Insgesamt ergibt sich somit folgende Anzahl an möglichen Anordnungen:
11! 39 916 800 = = 34 650 4! · 4! · 2! 1 152 Es gibt also
34 650
verschiedene Möglichkeiten, die elf Buchstaben unter Be-
rücksichtigung der Reihenfolge anzuordnen.
257
Variationen Bei einer Variation wird aus einer Menge von
𝑛-Elementen
eine Auswahl an
𝑘
Elementen
entnommen; dabei wird die Reihenfolge der entnommenen Elemente berücksichtigt.
Variationen ohne Wiederholung Wird aus einer Menge mit
𝑛
Elementen eine Anzahl an
𝑘 ≤𝑛
Elementen entnommen,
wobei kein Element mehrfach vorkommen darf, so ergibt sich (unter Berücksichtigung der Reihenfolge) eine bestimmte Anordnung der Anordnung
(𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , . . . , 𝑎k )
zweiten Stelle sind nur noch
(𝑛 − 2)
Elemente. Mathematisch wird eine solche
als “Tupel” bezeichnet.
An der ersten Stelle des Tupels kann jedes der Stelle
𝑘
1
𝑛 Elemente auftreten. Für die Besetzung der
(𝑛−1) Möglichkeiten vorhanden, für die Besetzung der dritten 𝑘 -ten Stelle gibt es schließlich (𝑛 − 𝑘 + 1)
Möglichkeiten. Für die Besetzung
verschiedene Möglichkeiten. Die Anzahl an möglichen Tupeln ist somit insgesamt gleich:
𝑛! = 𝑛 · (𝑛 − 1) · (𝑛 − 2) · . . . · (𝑛 − 𝑘 + 1)! (𝑛 − 𝑘)!
(193)
𝑛! = 𝑛! = 𝑛! geschrieben (𝑛−𝑛)! 0! werden. Dieser Fall entspricht somit einer Permutation der 𝑛 Elemente beziehungsweise Da
0! = 1
gilt, kann im Fall
𝑘 = 𝑛 die
der Gleichung (191). Im Fall
𝑘 0
Ω
werden zwei Ereignis-
betrachtet. Dann bezeichnet man folgenden
Ausdruck als bedingte Wahrscheinlichkeit von
𝑃𝑀1 (𝑀2 ) =
𝑀2
unter der Bedingung
𝑀1 :
𝑃 (𝑀1 ∩ 𝑀2 ) 𝑃 (𝑀1 )
2 Da jedes Element mehrfach vorkommen darf, ist bei Kombinationen mit Wiederholung auch möglich.
260
𝑘>𝑛
Handelt es sich bei
𝑃 (𝑀1 )
und
𝑃 (𝑀2 )
um Laplace-Wahrscheinlichkeiten, so
gilt:
𝑃𝑀1 (𝑀2 ) =
𝑃 (𝑀1 ∩ 𝑀2 ) |𝑀1 ∩ 𝑀2 | = 𝑃 (𝑀1 ) |𝑀1 |
Die obige Definition lässt sich auch, insbesondere bei der Nutzung von Baumdiagrammen, als Produktsatz formulieren. Es gilt für die Wahrscheinlichkeit, dass sowohl
𝑀2
𝑀1
als auch
eintreten:
𝑃 (𝑀1 ∩ 𝑀2 ) = 𝑃 (𝑀1 ) · 𝑃𝑀1 (𝑀2 ) Für bedingte Wahrscheinlichkeiten gelten zudem folgende Regeln:
Multiplikationsregel: In einem Ergebnisbaum stellt jeder Knoten ein Elementarereignis dar. Die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ereignisses entspricht dabei dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten aller Elementarereignisse längs des zugehörigen Weges.
Additionsregel: Besteht ein Ereignis in einem Ereignisbaum aus mehreren Wegen, so ist die zugehörige Wahrscheinlichkeit gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Wege.
Stochatisch unabhängige Ereignisse unabhängig, wenn
𝑀1
auf die Wahrscheinlich-
die Ergebnismenge eines Zufallsexperiments und
𝑀1
und
Ein Ereignis
𝑀2
keit von
𝑀2
ist von einem Ereignis
𝑀1
keinen Einfluss hat.
Definition: Ist
Ω
eignisse mit
𝑃 (𝑀1 ) > 0,
so nennt man
𝑀2
𝑀2
zwei Er-
stochastisch unabhängig von
𝑀1 ,
wenn gilt:
𝑃𝑀1 (𝑀2 ) = 𝑃 (𝑀2 ) Andernfalls heißt Ist ein Ereignis
𝑀2
𝑀2
stochastisch abhängig von
stochastisch unabhängig vom Ereignis
stochastisch unabhängig von
𝑃𝑀2 (𝑀1 ) =
𝑀1 .
𝑀2 ,
𝑀1 ,
so ist umgekehrt auch
𝑀1
denn in diesem Fall gilt:
𝑃 (𝑀1 )(𝑀2 ) · 𝑃 (𝑀1 ) 𝑃 (𝑀2 ) · 𝑃 (𝑀1 ) 𝑃 (𝑀1 ∩ 𝑀2 ) = = = 𝑃 (𝑀1 ) 𝑃 (𝑀2 ) 𝑃 (𝑀2 ) 𝑃 (𝑀2 )
Als Sonderfall von stochastischer Unabhängigkeit gilt
𝑃 (𝑀1 ∩ 𝑀2 ) = 𝑃 (𝑀1 ) · 𝑃 (𝑀2 ) stets
auch dann, wenn die Wahrscheinlichkeit von mindestens einem der beiden Ereignisse gleich Null ist. Allgemein gilt für alle stochastisch unabhängigen Ereignisse:
𝑀1
und
𝑀2
sind stochastisch unabhängig
Sind zwei Ereignisse
𝑀1
und
𝑀2
⇔
𝑃 (𝑀1 ∩ 𝑀2 ) = 𝑃 (𝑀1 ) · 𝑃 (𝑀2 )
stochastisch unabhängig, so gilt dies auch für die Ge-
genereignisse. In diesem Fall sind somit auch die Ereignisse
𝑀1 ∩ 𝑀2
stochastisch unabhängig.
261
𝑀1 ∩ 𝑀 2 , 𝑀 1 ∩ 𝑀2
sowie
Bernoulli-Experimente Als Bernoulli-Experiment bezeichnet man ein Zufallsexperiment mit nur zwei möglichen Ergebnissen. Meist verwendet man dabei als Ergebnismenge bol für das Eintreten des Ereignisses (“Treffer”) und
0
Ω = {0, 1}, wobei 1 als Sym-
als Symbol für das Nichteintreten
des Ereignisses (“Niete”) benutzt wird. Zusätzlich ist es üblich, mit scheinlichkeit für einen Treffer und mit
𝑞 = 𝑃 ({0})
𝑝 = 𝑃 ({1}) die Wahr-
die Wahrscheinlichkeit für eine Niete
zu bezeichnen. Wird ein Bernoulli-Experiment mehrfach durchgeführt, wobei sich die einzelnen Versuchen nicht beeinflussen und die Trefferwahrscheinlichkeiten bei allen Versuchen gleich groß sind, so spricht man von einer Bernoulli-Kette. Eine solche Bernoulli-Kette lässt sich ebenfalls durch einen Ergebnisbaum veranschaulichen. Betrachtet man ein Ereignis mit genau
𝑘 Treffern, so lassen sich mittels des Ergebnisbaums
folgende Gesetzmäßigkeiten herleiten:
Jeder einzelne Weg im Ereignisbaum, der über setzt sich aus
𝑘
𝑘
Teilstücken mit der Wahrscheinlichkeit
mit der Wahrscheinlichkeit
𝑛 − 𝑘 Nullen führt, 𝑝 sowie (𝑛 − 𝑘) Teilstücken
Einsen und
𝑞 = (1 − 𝑝) zusammen. Nach der Multiplikationsregel für
bedingte Wahrscheinlichkeiten ist somit die Wahrscheinlichkeit für jeden Weg mit 𝑘 𝑛−𝑘 genau 𝑘 Treffern gleich 𝑝 · 𝑞 .
Um die Anzahl an Wegen mit genau
𝑘
Einsen zu ermitteln, muss bestimmt werden,
auf wie viele verschiedene Arten es möglich ist,
𝑘
Einsen auf
𝑛
Stellen zu verteilen.
Es handelt sich hierbei um Kombinationen ohne Wiederholung, da jeder Weg nur einmal gezählt werden darf und die Reihenfolge, in der die einzelnen Wege gezählt werden, ohne Bedeutung ist. Dies entspricht dem klassischen “Lotto-Problem”, d.h. (︀𝑛)︀ 𝑛! verschiedene Kombinationen. es gibt = 𝑘!·(𝑛−𝑘)! 𝑘 Aus beiden Eigenschaften ergibt sich folgende Wahrscheinlichkeit, dass bei einer BernoulliKette mit einer Länge
𝑛
und einer Wahrscheinlichkeit
𝑝
genau
(︂ )︂ 𝑛 𝑃 (𝑇 = 𝑘) = · 𝑝𝑘 · 𝑞 𝑛−𝑘 𝑘
𝑇 =𝑘
Treffer auftreten:
(197)
Diese Formel wird häufig als “Formel von Bernoulli” bezeichnet.
Summenwahrscheinlichkeiten bei Bernoulli-Ketten Bezeichnet man bei einer Bernoulli-Kette mit einer Länge lichkeit
𝑝
das Ereignis “genau
𝑘
Treffer” mit
𝑀k ,
𝑛
und einer Trefferwahrschein-
so gilt:
𝑃 (𝑇 ≤ 𝑘) = 𝑃 (𝑀0 ∪ 𝑀1 ∪ . . . ∪ 𝑀k ) und
𝑃 (𝑇 ≥ 𝑘) = 𝑃 (𝑀k ∪ 𝑀k+1 ∪ . . . ∪ 𝑀n )
262
Alle Ereignisse
𝑀i ,
die jeweils
𝑇 =𝑖
Treffer bedeuten, sind paarweise stochastisch unab-
hängig; die einzelnen Wahrscheinlichkeiten können also addiert werden. Für ein Bernoulli-Experiment mit einer Länge
𝑛
und einer Trefferwahrscheinlichkeit
gelten somit folgende Regeln:
Für mindestens
𝑘
Treffer:
𝑃 (𝑇 ≥ 𝑘) =
𝑛 (︂ )︂ ∑︁ 𝑛 𝑖=𝑘
Für höchstens
𝑘
𝑘 (︂ )︂ ∑︁ 𝑛 𝑖=0
Für mindestens
· 𝑝𝑖 · 𝑞 𝑛−𝑖
Treffer:
𝑃 (𝑇 ≤ 𝑘) =
𝑖
𝑙
und höchstens
𝑘
𝑖
· 𝑝𝑖 · 𝑞 𝑛−𝑖
Treffer:
𝑃 (𝑙 ≤ 𝑇 ≤ 𝑘) =
𝑘 (︂ )︂ ∑︁ 𝑛 𝑖=𝑙
... to be continued ...
263
𝑖
· 𝑝𝑖 · 𝑞 𝑛−𝑖
𝑝
Beschreibende Statistik In der beschreibenden Statistik geht es um die Erfassung, Auswertung und Darstellung von experimentell oder empirisch gewonnenen Daten. Dabei werden eÂndliche Mengen an Objekten hinsichtlich bestimmter Eigenschaften untersucht. Dabei werden allgemein folgende Schritt durchlaufen:
Zunächst müssen in der beschreibenden Statistik alle für die Analyse relevanten Daten vollständig erhoben werden.
Das bei der Daten-Erhebung gewonnene, oftmals sehr umfangreiche Datenmaterial muss als nächstes in eine übersichtliche Form gebracht werden, üblicherweise in eine Tabelle oder eine Graphik.
Anschließend kann mit der Analyse der Daten begonnen werden. Hierbei lassen sich die Daten beispielsweise mittels wichtiger Kennzahlen wie Mittelwert und Streuungsmaß charakterisieren, ebenso können beispielsweise zeitliche Trends oder Abhängigkeiten zwischen mehreren Größen untersucht werden.
Zuletzt können die Ergebnisse der Analyse interpretiert werden.
Merkmale, Merkmalsträger und Grundgesamtheit Als (Untersuchungs-)Merkmal wird die interessierende statistische Information bezeichnet. Ein einzelnes Objekt, das dieses Merkmal besitzt, nennt man Merkmalsträger. Die möglichen Werte, die ein Merkmal annehmen kann, heißen Merkmalswerte oder Ausprä1
gungen dieses Merkmals. Die Menge an Objekten
𝐺, die hinsichtlich einem oder mehrerer zu untersuchender Merk-
male gleichwertig sind, wird als “Grundgesamtheit” oder “Population” bezeichnet. Bei der Festlegung der Grundgesamtheit werden müssen klare Abgrenzungen getroffen werden, beispielsweise müssen räumliche oder zeitliche Einschränkung vorliegen; die Mitglieder der Grundgesamtheit müssen somit nicht nur Träger des Untersuchungsmerkmals sein, sondern auch übereinstimmende Abgrenzungsmerkmale besitzen.
1 Ein Merkmal kann auch als eine Abbildung Merkmalsträger
𝑔∈𝐺
auf Ausprägungen
𝑚∈𝑀
𝑋 : 𝐺 → 𝑀
aufgefasst werden, welche die einzelnen
abbildet:
𝑋(𝑔) = 𝑚 Eine derartige Abbildung ist nicht zwingend eindeutig: Ein Merkmalsträger kann mehrere MerkmalsAusprägungen aufweisen; beispielsweise kann eine Person in mehreren Vereinen aktiv sein, mehrere Sprachen sprechen usw.
264
Beispiel:
Bei einem naturwissenschaftlichen Experiment sind die einzelnen Messungen die Merkmalsträger, die ihrerseits Messdaten als Merkmale enthalten.
Bei einer Inventur werden zu einem bestimmten Zeitpunkt alle Objekte eines räumlich abgegrenzten Bereichs beispielsweise hinsichtlich ihrer Funktionsfähigkeit als Merkmal untersucht.
Die Mächtigkeit
𝑛 = |𝐺|
der Grundgesamtheit ist gleich der Anzahl ihrer Objekte. In
Tabellen werden die einzelnen zu untersuchenden Merkmale häufig einem Buchstaben
A, B . . . zugeordnet, die einzelnen zu einem jeweiligen Merkmalsträger gehörenden Merkmalswerte werden zeilenweise durchnummeriert und in der jeweiligen Spalte eingetragen. Meist ist bei einer Daten-Erhebung nicht möglich, alle Mitglieder der Grundgesamtheit zu untersuchen (“Vollerhebung”). In diesem Fall muss sich die Statistik mit einer kleineren, möglichst repräsentativen Stichprobe auskommen und von dieser auf die Gesamtheit schließen.
Qualitative und quantitative Merkmale Merkmale können allgemein in zwei Gruppen unterteilt werden:
Qualitative Merkmale lassen sich nur verbal beschreiben, es können nur Namen oder Klassenbezeichnungen als Werte vorkommen. Handelt es sich bei den Merkmalswerten um Namen, so spricht man auch von artmäßigen Merkmalen. Beispiele für derartige Merkmale sind Familiennamen, Geschlecht, Farbbezeichnungen, usw. Handelt es sich bei den Merkmalswerten um Klassenbezeichnungen, so spricht man auch von intensitätsmäßig abgestuften Merkmalen. Ein Beispiele hierfür sind Schulnoten (“sehr gut”, “gut”, usw.). Qualitative Merkmale lassen sich zudem in “häufbare” und “nicht häufbare” Merkmale unterscheiden. Ein qualitatives Merkmal ist häufbar, wenn ein Merkmalsträger mehrere Merkmalswerte gleichzeitig aufweisen kann; beispielsweise kann eine Person gegebenenfalls mehrere Berufsausbildungen absolviert haben. Ein qualitatives Merkmal ist nicht häufbar, wenn ein Merkmalsträger nur genau einen Merkmalswert aufweisen kann; beispielsweise hat jede Person genau eine Augenfarbe.
Quantitative
Merkmale können als Vielfaches einer Einheit ausgedrückt werden,
beispielsweise Zeitdauer, Energiebedarf, usw. Können bei einem quantitativen Merkmal nur ganzzahlige Werte auftreten, so spricht man von einem diskreten Merkmal. Ein Beispiel hierfür sind Stückzahlen. Können bei einem quantitativen Merkmal beliebige Werte auftreten, so spricht man von einem stetigen oder kontinuierlichen Merkmal. Beispiele hierfür sind Zeitdauern, Längenangaben, usw.
265
Um eine Vielzahl unterschiedlicher quantitativer Messwerte abzubilden, können diese in einzelne Intervalle zusammengefasst werden. Anstelle (sehr) viele Einzelergebnisse aufzulisten, genügt es damit, die Anzahl an Werten in den einzelnen Intervallen anzugeben. Üblicherweise werden zwischen
5
und
20
einzelne Intervallen mit jeweils gleich großen
Intervallen und eindeutig zuzuordnenden Intervallgrenzen gewählt. Durch diese Methode gehen zwar einerseits die statistischen Informationen der Einzelmessungen teilweise verloren, andererseits werden dafür die Ergebnisse “komprimiert” und somit übersichtlicher.
Statistische Mess-Skalen Mittels einer Mess-Skala können die möglichen Merkmalswerte nach bestimmten Ordnungsprinzipien darstellt werden. Für qualitative Merkmale werden Nominal- oder Ordinalskalen verwendet, für quantitative Merkmale kommen oftmals Intervall- oder Verhältnisskalen zum Einsatz. Im folgenden Abschnitt werden diese Skalen näher beschrieben.
Nominalskala Eine Nominalskala hat die möglichen Namen eines quantitativen Merkmals als Skalenwerte. Diese werden gleichberechtigt nebeneinander angeordnet. Die einzelnen Namen können zur Unterscheidung von artmäßigen Merkmalen genutzt werden, entsprechen jedoch keiner Rangordnung. Nehmen die einzelnen Namen zu viel Platz ein, so können ihnen auch Abkürzungen oder Nummern als Schlüsselwerte zugewiesen werden.
Ordinalskala Eine Ordinalskala hat die Klassenbezeichnungen eines quantitativen Merkmals als Skalenwerte. Im Gegensatz zu einer Nominalskala sind die einzelnen Klassenbezeichnungen nicht gleichwertig, sondern entsprechen einer Rangordnung in auf- oder absteigender Folge.
Intervall- und Verhältnisskala Bei diesen beiden Skalentypen handelt es sich um metrische Skalen, vergleichbar mit einem Meterstab. Als Skalenwerte werden Vielfache einer Grundeinheit abgetragen. Eine metrische Skala heißt Intervallskala, wenn der Nullpunkt willkürlich gewählt ist; in diesem Fall können zwar Differenzen zwischen zwei Werten sinnvoll interpretiert werden, Quotienten hingegen nicht; Beispielsweise entsprechen Temperatur wie
10 °C,
20 °C
nicht einer doppelt so hohen
wenn man vom absoluten Temperaturnullpunkt
𝑇0 = −273 °C
ausgeht. Ist der Nullpunkt einer Skala eindeutig festgelegt, so spricht man von einer Verhältnisskala. In diesem Fall sind auch Quotienten von einzelnen Werten sinnvoll interpretierbar. Beispiele hierfür sind Gewichtsangaben, Geldmengen, Stückzahlen, absolute Temperaturangaben usw.
266
Graphische Darstellungen statistischer Daten Bisweilen ist es praktisch, statistische Informationen als Diagramme graphisch darzustellen; diese müssen einerseits eindeutig beschriftet sein und sollten andererseits möglichst übersichtlich gestaltet werden.
Bei einem Histogramm werden auf der waagrechten Achse die einzelnen Intervalloder Klassengrenzen abgetragen. Über den einzelnen Intervallen werden Rechtecke gezeichnet, deren Höhe die absoluten oder relativen Häufigkeiten des jeweiligen Intervalls oder der jeweiligen Klasse darstellen.
Todo: Tortendiagramm, Liniendiagramm, Boxplot usw.
Umgang mit ungenauen Messwerten Als Messfehler werden Differenzen zwischen gemessenen Werten und den unbekannten wahren Werten der jeweiligen Messgrößen bezeichnet. Sie lassen sich grundsätzlich in zwei Arten unterteilen – in systematische und statistische (zufällige) Fehler.
Systematische Fehler Systematische Fehler entstehen durch mangelhafte Messverfahren, beispielsweise durch defekte Messgeräte, falsche Eichungen, oder Vernachlässigung von störenden Einflussgrößen. Je nach Fehler weichen die gemessenen Werte entweder nach oben oder nach unten von den tatsächlichen Werten ab. Systematische Fehler werden “reproduzierbar” genannt, denn bei erneuten Messvorgängen treten sie unter gleichen Bedingungen erneut auf. Wird der Fehler gefunden, so kann er berücksichtigt und eventuell korrigiert werden.
Statistische Fehler Statistische Fehler entstehen zufällig, beispielsweise durch Schwankungen in Messgeräten oder durch ein ungenaues Ablesen von analogen Messgeräten. Die Abweichungen der gemessenen Werte können unabhängig vom Fehler sowohl nach oben als auch nach unten von den tatsächlichen Werten abweichen. Statistische Fehler können nicht nie komplett vermieden werden. Die Messgenauigkeit kann jedoch erhöht werden, indem mehrere Messungen oder Stichprobentests unter gleichen Bedingungen durchgeführt werden. Die Summe aller nicht erfassbaren systematischen und zufälligen Fehler ergibt den Größtfehler einer Datenaufnahme beziehungsweise Messung. Setzt sich ein Ergebnis rechnerisch aus mehreren gemessenen Größen zusammen, so hat auch dieses einen Fehler, der sich aus den Fehlern der Einzelgrößen ergibt. Dabei gelten für verschiedene Rechenoperationen verschiedene Regeln:
267
Bei Summen und Differenzen (also
𝑦 = 𝑥1 + 𝑥2
oder
𝑦 = 𝑥1 − 𝑥2 )
werden die
Absolutfehler der Einzelgrößen quadriert und addiert; die Quadratwurzel aus diesem Wert liefert schließlich den Fehler der Ergebnisgröße:
∆𝑦 =
√︀ (∆𝑥1 )2 + (∆𝑥2 )2
Bei Produkten und Quotienten (also
𝑦 = 𝑥1 · 𝑥2
oder
𝑦 = 𝑥1 : 𝑥2 )
werden die
relativen Fehler unter der Wurzel quadratisch addiert:
∆𝑦 = 𝑦
Bei Potenzen und Wurzeln (also
√︃(︂
∆𝑥1 𝑥1
𝑦 = 𝑥𝑥1 2 )
)︂2
(︂ +
∆𝑥2 𝑥2
)︂2
wird der relative Fehler von y bestimmt
durch
∆𝑦 ∆𝑥1 = 𝑥2 · 𝑦 𝑥1 Dies gilt auch für
𝑥2 < 1
(Wurzeln).
Mittelwerte und Streuungsmaße Nicht nur bei der Fehlerrechnung hat man bei statistischen Analysen als Ziel, die Gesamtheit aller Merkmalswerte mit einigen charakteristischen Größen zusammenzufassen; diese sollten beispielsweise einen durchschnittlichen Wert sowie die Streuung der Merkmalswerte um diesen Durchschnittswert beziffern.
Mittelwerte Mit “Mittelwert” bezeichnet man umgangssprachlich meist das so genannte arithmetische Mittel; bisweilen sind allerdings auch andere Durchschnittswerte wie Median- oder Modalwerte besser zur Beschreibung einer Häufigkeitsverteilung geeignet.
Arithmetisches Mittel Hat man eine Folge von Messwert
𝑥𝑖
𝑛
gemessenen Elementarereignissen vorliegen, so schwanken die
der Ereignisse um den Mittelwert
𝑥¯ = Der Mittelwert
𝑥¯
1 · 𝑛
𝑥¯,
𝑛 ∑︁
der folgendermaßen definiert ist:
𝑥i
(198)
𝑖=1
wird auch als “arithmetisches Mittel” der Zahlenfolge bezeichnet. Die
Abweichungen der einzelnen Ereignisse
𝑥i
von diesem Mittelwert betragen:
∆𝑥i = 𝑥i − 𝑥¯ Der Mittelwert ist zwar anschaulich und einfach zu berechnen, allerdings empfindlich gegen unerwartet hohe beziehungsweise niedrige Merkmalswerte, so genannte “Ausreißer”.
268
Gewichtetes arithmetisches Mittel Das gewichtete (arithmetische) Mittel ist arithmetische Mittel einer Häufigkeitsverteilung. Man verwendet diesen Wert, wenn die Merkmalswerte mit unterschiedlichen Häufigkeiten gewichtet sind. Um das gewichtete Mittel zu berechnen, multipliziert man zunächst die unterschiedlichen Merkmalswerte
𝑥i
mit ihrer jeweiligen
Häufigkeit 𝑧i ;
anschließend addiert man alle re-
sultierenden Produkt-Werte und teilt das Ergebnis durch die Anzahl
𝑛
aller Messungen:
𝑛 1 ∑︁ 𝑥¯ = · 𝑧i · 𝑥i 𝑛 𝑖=1
(199)
𝑧i gege𝑛 ben, so genügt es, diese mit den jeweiligen Merkmalswerten 𝑥i zu multiplizieren und die Hat man anstelle der (absoluten) Häufigkeiten
𝑧i
die relativen Häufigkeiten
ℎi =
resultierenden Produkte zu addieren:
𝑥¯ =
𝑛 𝑛 𝑛 ∑︁ ∑︁ 𝑧𝑖 1 ∑︁ · 𝑧i · 𝑥i = · 𝑥𝑖 = ℎi · 𝑥i 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑖=1 𝑖=1
(200)
Beispiel:
Bei der Statistischen Erhebung “Mikrozensus 2015” hat sich die in der folgenden Tabelle dargestellte Häufigkeitsverteilung für die Anzahl an Kindern (unter
18 Jah-
ren) in Haushalten und Familien ergeben (Quelle: Destatis). Wie viele Kinder gibt es durchschnittlich je Familie? Kinder je Haushalt
Anzahl
0 1 2 3 4 5
3 376 4 251 2 916 697 126 42 11 408
(oder mehr)
Insgesamt
𝑧
an Familien in
1000
Da die unterschiedlichen Kinder-Anzahlen unterschiedlich gewichtet sind, muss zur Bestimmung des Durchschnittwerts mit der Formel für das gewichtete arithmetische Mittel gerechnet werden:
𝑥¯ =
𝑛 1 ∑︁ · 𝑧i · 𝑥i 𝑛 𝑖=1
1 · (3 376 · 0 + 4 251 · 1 + 2 916 · 2 + 697 · 3 + 126 · 4 + 42 · 5) ≈ 1, 13 11 408 Je Familie gibt es in Deutschland somit durchschnittlich (nur) rund 1, 13 Kinder unter 18 Jahren. 𝑥¯ =
269
Geometrisches Mittel Sind die Merkmalswerte relative Änderungen, wie es beispielsweise bei Wachstumraten oder Leistungssteigerungen der Fall ist, so wird bevorzugt das geometrische Mittel Durchschnittswert verwendet. Sie die einzelnen Merkmalswerte positiv, so kann das geometrische Mittel
𝑥¯G =
√
𝑥¯G
𝑥1 , 𝑥2 , . . . , 𝑥n
𝑥¯G
als
allesamt
folgendermaßen berechnet werden:
𝑥1 · 𝑥2 · . . . · 𝑥n
(201)
Beispiel:
In einer bestimmten Bakterien-Kultur erhöhte sich in drei Tagen die Zahl der Bakterien pro Einheit von
100
auf
700.
Gefragt ist nach der durchschnittlichen prozen-
tualen Zunahme (je Tag). Die durchschnittliche Zunahme soll mit
𝑥 bezeichnet werden. Für die Zahl der Bak-
terien nach dem ersten Tag ergibt sich damit:
100 + 100 · 𝑥 = 100 · (1 + 𝑥) Für den zweiten Tag ist der Wert
100 · (1 + 𝑥) der neue Ausgangswert. Stellt man die 100 durch 100·(1+𝑥)
obige Gleichung für den zweiten Tag auf, so muss also lediglich
ersetzt werden. Man erhält als Anzahl der Bakterien nach dem zweiten Tag:
100 · (1 + 𝑥) + 100 · (1 + 𝑥) · 𝑥 = 100 · (1 + 𝑥)2
.
100 ausgeklammert und anschließend der resultierende Term zusammengefasst: 100 · [(1 + 𝑥) + (1 + 𝑥) · 𝑥] = 100 · (1 + 𝑥 + 𝑥 + 𝑥2 ). Der Term in der Klammer kann als (1 + 2 · 𝑥 + 𝑥2 ) geschrieben 2 werden und entspricht somit der binomischen Formel (1 + 𝑥) . Hierbei wurde zunächst der gemeinsame Faktor
Für den dritten Tag erhält man mit
100 · (1 + 𝑥)2
als neuem Ausgangswert:
100 · (1 + 𝑥)2 + 100 · (1 + 𝑥)2 · 𝑥 = 100 · (1 + 𝑥)3
.
Hierbei wurde zunächst wiederum der gemeinsame Faktor
100
ausgeklammert und
anschließend der resultierende Term in der Klammer ausmultipliziert. Man erhält 2 2 3 2 3 so 100 · [(1 + 2 · 𝑥 + 𝑥 ) + (𝑥 + 2 · 𝑥 + 𝑥 )], was sich zu 100 · (1 + 3 · 𝑥 + 3 · 𝑥 + 𝑥 ) 3 zusammenfassen lässt; dies entspricht wiederum der binomischen Formel (1 + 𝑥) . Der Wert des letzten Ausdrucks soll gemäß der Angabe gleich
500 sein; es muss also
gelten:
100 · (1 + 𝑥)3 = 700 700 ⇒ (1 + 𝑥)3 = 100 √︂ 3 700 (1 + 𝑥) = 100 √︂ 3 700 𝑥= − 1 ≈ 0, 91 100 Die durchschnittliche Wachstumsrate beträgt somit rund
270
91%.
Es kann gezeigt werden, dass das geometrische Mittel einer Merkmals-Reihe der Länge
𝑛
allgemein nach diesem Prinzip berechnet werden kann:
√︃ 𝑥¯G =
Endwert
𝑛
Hat ein Merkmal zu Beginn der Messungen einen Wert
𝑛
einem gleichmäßigen Wachstum über
(202)
Anfangswert
𝑤1 ,
so erhält man allgemein bei
Zeitschritte den neuen Wert
𝑤2
gemäß folgender
Formel:
𝑤2 = 𝑤1 · (1 + 𝑥)𝑛 Hierbei bezeichnet
𝑥
wiederum die Zuwachsrate je Zeitschritt.
Beispiel:
50 Eur betrug, stieg im ersten Jahr auf 70 Eur, 40 Eur. Wie groß ist die mittlere Wachstumsrate?
Der Wert einer Aktie, deren Kaufpreis fiel jedoch im zweiten Jahr auf
Für die relative Wachstumsrate
𝑥1
im ersten Jahr gilt:
𝑥1 = Für die relative Wachstumsrate
𝑥2
im zweiten Jahr gilt dafür:
𝑥2 = 𝑥¯G
Für das geometrische Mittel
𝑥¯G =
√
70 = 1, 4 50
40 ≈ 0, 5714 70
zwischen diesen beiden Werten beträgt:
𝑥1 · 𝑥 2 =
√︀ 1, 4 · 0, 5714 ≈ 0, 8944
Der Wert des geometrischen Mittels ist in diesem Fall kleiner als
1, was eine Verrin-
gerung des ursprünglichen Werts bedeutet. Die jährliche “Wachstumsrate” beträgt also
0, 8944 − 1 ≈ −0, 1056,
also rund
−10, 56%.
Wie man an den beiden Beispielen erkennen kann, wird das geometrische Mittel vor allem zur Bestimmung des Durchschnittswertes von Verhältniszahlen genutzt, wobei die Veränderungen meist in jeweils gleichen zeitlichen Abschnitten angegeben sind.
Harmonisches Mittel Das harmonische Mittel wird dann verwendet, wenn die Merkmalswerte in Form von Quotienten vorliegen, wie dies beispielsweise bei der Berechnung von DurchschnittsGeschwindigkeiten oder Bevölkerungsdichten der Fall ist.
𝑥1 , 𝑥2 , . . . , 𝑥n müssen allesamt positiv oder allesamt negativ Mittel 𝑥 ¯H lässt sich dann schrittweise folgendermaßen berechnen:
Die einzelnen Merkmalswerte sein; das harmonische
Man dividiert die einzelnen Merkmalswerte figkeiten
𝑧i
𝑥i durch ihre jeweiligen (absoluten) Häu-
und bildet dabei jeweils die Kehrwerte der Ergebnisse.
271
Alle so erhaltenen Kehrwerte werden aufsummiert und der Kehrwert dieser Summe gebildet.
Der Kehrwert dieser Summe wird mit der Anzahl
𝑛=
∑︀
𝑧i
multipliziert.
Die Formel zur Berechnung des harmonischen Mittels lautet also:
∑︀ 𝑧i 𝑧1 + 𝑧2 + . . . 𝑥¯H = 𝑧1 = ∑︀ 𝑧i 𝑧2 + 𝑥2 + . . . 𝑥1 𝑥i
(203)
Beispiele:
Ein Fahrradfahrer fährt eine anschließend mit
30 km/h
5 km
lange Strecke zunächst mit
10 km/h
bergauf,
bergab. Wie groß ist die Durchschnittsgeschwindigkeit
des Fahrers? Die beiden auftretenden Merkmalswerte sind treten mit den Häufigkeiten
𝑧1 = 𝑧2 = 5 km
𝑥1 = 10 km/h
und
𝑥2 = 30 km/h;
sie
auf. Da es sich bei den Merkmalswer-
ten um Quotienten handelt, muss zur Berechnung des Durchschnittswertes auf das harmonische Mittel zurückgegriffen werden:
𝑥¯H =
(5 + 5) km 𝑧1 + 𝑧2 = 15 km/h 𝑧1 𝑧2 = 5 km 5 km + 𝑥2 km + km 𝑥1 10 30 h
h
Die geringe Geschwindigkeit fällt stärker ins Gewicht, da der Fahrer bergauf mehr Zeit benötigt als bergab.
Die Bevölkerungszahlen der Bundesländer Bayern und Baden-Württemberg sind in der folgenden Tabelle dargestellt (Quelle: Wikipedia, Stand: Dezember 2016). Wie 2 viel Einwohner je km gibt es durchschnittlich in diesen beiden Ländern? Land
Fläche in
Baden-Württemberg
35 751 70 550
Bayern
km2
Einwohner
Einwohner je
10 879 618 12 843 514
304 182
km2
Sind auch die absoluten Einwohnerzahlen bekannt, so kann man diese aufsummieren und das Resultat durch die Gesamtfläche dividieren. Kennt man hingegen nur die 2 Einwohnerzahlen je km , so kann man zur Berechnung des Durchschnittswerts die Formel für das harmonische Mittel verwenden:
𝑥¯H =
1 (35 751 + 70 550) km2 𝑧1 + 𝑧2 = ≈ 210, 4 2 2 𝑧1 𝑧2 35 751 km + 𝑥2 km2 + 70 550 km 1 1 𝑥1 304
km2
182
km2
Die durchschnittliche Bevölkerungsdichte in diesen beiden Bundesländern liegt somit unterhalb des Durchschnittwerts für ganz Deutschland (laut obiger Quelle rund 230 km1 2 , Stand: Dezember 2016). Wie man an den Beispielen erkennen kann, wird das harmonische Mittel dann verwendet, wenn die Gewichtungen in der gleichen Einheit vorliegen wie der Zähler oder der Nenner des Merkmals.
272
Median Wesentlich unempfindlicher gegenüber Ausreißern ist der so genannte Medianwert. Sortiert man alle Merkmalswerte in aufsteigender Reihenfolge, so entspricht der Medianwert genau dem Wert, der sich in der Mitte dieser Liste befindet.
ungeradzahligen
Anzahl von 𝑛 Elementarereignissen ent𝑛+1 in der Liste; der Medianwert entspricht spricht der mittlere Platz der Position 2 somit dem Wert 𝑥 n+1 der Liste:
Bei einer Liste mit einer
[
2
]
𝑀 𝑒 = 𝑥[ n+1 ] 2
Bei einer Liste mit einer
geradzahligen Anzahl von 𝑛 Elementarereignissen entspricht
der Median dem Durchschnitt aus den beiden mittig gelegenen Werten:
𝑀𝑒 =
)︀ 1 (︀ · 𝑥[ n+1 ] + 𝑥[ n+1 ] 2 2 2
Der Median ist somit ebenfalls schnell und einfach zu bestimmen.
Modalwert Der Modalwert, bisweilen auch “Modus” genannt, gibt den Wert einer Messreihe an, der am häufigsten beobachtet wurde. Üblicherweise wird der Modalwert nur dann verwendet, wenn sich die damit verbundene Häufigkeit deutlich von den restlichen Häufigkeiten unterscheidet; der Modalwert sollte also ein herausragender Wert sein. Da die restlichen Merkmalswerte unberücksichtigt bleiben, wird der Modalwert von Ausreißern nicht beeinflusst.
Streuungsmaße Zusätzlich zum Mittelwert sollte stets (mindestens) ein Streuungsmaß angegeben werden, das angibt, wie stark die tatsächlichen Merkmalswerte vom Mittelwert abweichen. Beispielsweise sind bei “genauen” Messungen die Abweichungen nur gering, während sie sich bei “ungenauen” Messungen über einen größeren Skalenbereich erstrecken.
Spannweite und Quantile Als Spannweite
𝑅,
im Englischen “range” genannt, bezeichnet man die Differenz aus dem
größten und dem kleinsten beobachteten Merkmalswert:
𝑅 = 𝑥max − 𝑥min Die Spannweite ist zwar ein einfaches und anschauliches Streuungsmaß, gibt allerdings keine näheren Informationen über die konkrete Verteilung der Merkmalswerte an und ist
273
zudem anfällig gegenüber so genannten “Ausreißern”, also einzelnen ungewöhnlich niedrigen oder hohen Werten. Besser geeignet sind daher meist so genannte Quantils-Angaben: Hierbei sortiert man zunächst alle Merkmalswerte ihrer Größe nach und untergliedert diese dann in mehrere Teile:
Bei Quartilen wird die Gesamtheit aller Merkmalswerte in vier gleich große Bereiche unterteilt.
Bei Dezilen wird die Gesamtheit aller Merkmalswerte in zehn gleich große Bereiche unterteilt.
Die Berechnung der einzelnen Quantile erfolgt in ähnlicher Weise wie die Berechnung des
Median -Werts;
beispielsweise gibt das erste Quartil an, dass
kleiner und folglich
75%
25%
aller Merkmalswerte 2
aller Werte größer als der Wert des ersten Quartils sind.
Wert des zweiten Quartils gibt entsprechend an, dass
50%
Der
der Merkmalswerte kleiner
beziehungsweise größer als dieser Wert sind; dieser Wert ist somit mit dem Median-Wert identisch.
Standardabweichung Als Schwankungsbreite wird gewöhnlich die Wurzel aus der mittleren quadratischen Abweichung vom Mittelwert angegeben. Diese Größe wird Standardabweichung
⎯ ⎸ ⎸ 𝜎=⎷
𝜎
genannt:
𝑛 ∑︁ 1 · (𝑥i − 𝑥¯)2 𝑛 − 1 𝑖=1
Die Standardabweichung ist, abgesehen von statistischen Schwankungen, unabhängig von der Anzahl
𝑛
der Einzelmessungen.
... to be continued ...
Hinweis:
Zu diesem Abschnitt gibt es
Übungsaufgaben .
2 Zur Berechnung des ersten Quartilswert prüft man, ob man bei einer Merkmalsliste der Länge den Term
𝑛
für
𝑛+1 4 eine ganzzahlige Zahl erhält. Ist dies der Fall, so gilt für den ersten Quartilswert:
𝑞1 = 𝑥[ n+1 ] 4 𝑛+1 4 nicht ganzzahlig ist, so interpoliert man zwischen diesem und dem darauf folgenden Wert. Bezeich𝑛+1 net man den Nachkomma-Anteil von 4 mit 𝑅, so ergibt sich als Formel für den ersten Quartilswert: Ist
(︁ )︁ 𝑞1 = 𝑥[ n+1 ] + 𝑅 · 𝑥[ n+1 +1] − 𝑥[ n+1 ] 4 4 4
274
Übungsaufgaben und Lösungen Übungsaufgaben Aufgaben zur Logik Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf den Abschnitt
Logik .
Weshalb stellt folgende Gleichung eine Aussageform dar?
𝑥2 − 5 · 𝑥 + 6 = 0 Welcher Wahrheitswert ergibt sich für den Variablenwert
𝑥 = 1,
welcher für
𝑥 = 2?
Lösung
Wie lässt sich die folgende Aussage in der mathematischen Kurzform ausdrücken? “Wenn eine Zahl
𝑥
durch
10
teilbar ist, so ist sie auch durch
2
teilbar.”
Lösung
Wie lassen sich die beiden folgenden beiden Aussagen in mathematischer Kurzform zu einer einzigen wahren Aussage zusammenfügen?
𝐴1 : 𝐴2 :
“Das Viereck ist ein Quadrat.” “Das Viereck hat vier gleich große Innenwinkel.”
Was für eine Art der Aussage erhält man hierbei, wenn man die zweite Aussage um den Zusatz “und es hat gleich lange Seiten” ergänzt?
Lösung
Weshalb sind folgende beide Aussagen aus rein logischer Sicht falsch formuliert?
–
“Rauchen UND Umgang mit offenen Licht ist verboten!”
275
–
“Drink OR drive!”
Lösung
Welche Aussage entsteht durch eine Adjunktion (ODER-Verknüpfung) der Aussagen
𝐴1 : 1 < 2
und
𝐴2 : 1 = 2? Welchen Wahrheitswert 𝐴2 , welchen die Gesamtaussage?
haben die beiden Aussagen
𝐴1
beziehungsweise
Lösung
Welche Aussage entsteht durch die Konjunktion (UND-Verknüpfung) der Aussagen
𝐴1 : 134
ist durch 2 teilbar. und
wert haben die beiden Aussagen
𝐴2 : 134 ist durch 3 teilbar.? Welchen Wahrheits𝐴1 beziehungsweise 𝐴2 , welchen die Gesamtaussa-
ge?
Lösung
Welche Gesamt-Aussage ergibt sich durch eine Antivalenz der Aussagen “Der Zug fährt nach Hamburg” und “Der Zug fährt nach Buxtehude”?
Lösung
Welche Aussage ergit die Implikation der Aussagen “Die Erde ist ein Würfel” und “Die Sonne ist eine Pyramide”? Welchen Wahrheitswert hat diese Aussage?
Lösung
Welchen Wahrheitswert hat die Aussage
5 = 12 ∨
√
16 = 4?
Lösung
Aufgaben zur Mengenlehre Mengenoperationen Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf den Abschnitt
Mengenoperationen .
(*) Welche Ergebnismenge ergibt sich bei der Bildung der Vereinigungsmenge
M2 ,
wenn
M1 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑}
und
M2 = {𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓 }
Lösung
276
ist?
M1 ∪
(*) Welche Ergebnismenge ergibt sich bei der Bildung der Schnittmenge zweier Mengen a)
M1 ∩ M2 ,
wenn diese folgende Elemente beinhalten:
M1 = {1, 2, 3, 4} ;
b)
M2 = {2, 4, 6, 8, 10} c)
M1 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑} ; M2 = {𝑚, 𝑛, 𝑜, 𝑝, 𝑞}
M1 = { 39 , 4, 52 } ; M2 = {33 ,
√
9, 7}
d)
M1 = {𝑥 | 𝑥 < 5} ; M2 = {𝑥 | 𝑥 ≥ 3}
Lösung
M1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} und M2 = Differenzmenge M1 ∖ M2 die Mengen M1
(*) Wie lässt sich anhand der beiden Mengen
{4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} zeigen, dass bei einer und M2 im Allgemeinen nicht vertauscht werden
können?
Lösung
Abbildungen und Funktionen Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf den Abschnitt
tionen und Operationen .
Abbildungen, Funktionen, Rela-
(*) In folgender Abbildung ist eine Abbildung von Elementen der Menge Elemente der Menge
M2
M1
auf
dargestellt.
Wie lässt sich diese Abbildung als Menge darstellen? Kann die Abbildung auch als Funktion aufgefasst werden?
Lösung
Aufgaben zur Arithmetik Grundrechenarten und Rechenregeln Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf den Abschnitt
regeln .
277
Grundrechenarten und Rechen-
(*) Wie lassen sich folgende Terme zusammenfassen? a)
3 · 𝑎 − 2 · 𝑏 − (6 · 𝑎 + 3 · 𝑏) − (−3 · 𝑎 − 𝑏)
b)
5 · 𝑎 · 𝑏 · (−2) · 𝑏2 · 𝑐 ·
1 2 · 𝑎 · 𝑏 · 𝑐2 2
Lösung
Bruchrechnung Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf den Abschnitt
Bruchrechnung .
(*) Wie müssen die jeweiligen Definitionsbereiche eingeschränkt werden, damit folgende Bruchterme definiert sind?
a)
5·𝑎−3 4·𝑎
b)
2·𝑎+4·𝑏 𝑏−7
c)
8 (𝑐 + 3) · (𝑐 − 2)
d)
2·𝑐 + 5·𝑑 + 1 3 · 𝑑2 + 1
Lösung
(*) Wie lassen sich folgende Bruchterme vereinfachen?
a)
8·𝑎−3·𝑏 5·𝑎−6·𝑏 − 𝑎2 − 𝑏 2 𝑎2 − 𝑏 2
mit
|𝑎| = ̸ |𝑏|
b)
𝑐 + 𝑑 (𝑐 − 𝑑) · 𝑐 − 𝑑 (𝑐 + 𝑑)2
mit
|𝑐| = ̸ |𝑑|
c)
8 · 𝑒2 · 𝑓 4·𝑒·𝑓 : 3 · 𝑔 · ℎ 6 · 𝑔 2 · ℎ2
mit
𝑒, 𝑓, 𝑔, ℎ ̸= 0
Lösung
Potenzen, Wurzeln und Logarithmen Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf den Abschnitt
rithmen .
278
Potenzen, Wurzeln und Loga-
(**) Wie lassen sich folgende Wurzelterme vereinfachen? a)
√ 2
163
c)
√ ( 2 7)4
e)
√︁ √︀ √ 3 7· 7· 37
b) d)
f)
(5 · √ 4
√
2)2
𝑎8 · 𝑏 4
3
(︃ √ )︃−6 3 3 √ 2 6
Lösung
Aufgaben zur elementaren Algebra Gleichungen Lineare Gleichungen Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf den Abschnitt
Für welchen Wert
𝑥
Lineare Gleichungen .
gilt die folgende Gleichung?
10 · 𝑥 + 3 3·𝑥+4 2·𝑥+6 − 5 = 11 − − 3 2 3
Lösung
Quadratische Gleichungen Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf den Abschnitt
Quadratische Gleichungen .
Welche Lösungsmengen haben folgende Gleichungen? a)
𝑥2 − 6 · 𝑥 + 8 = 0
b)
3 · 𝑥2 + 4 · 𝑥 − 15 = 0
Lösung
Wie lässt sich folgende Gleichung mit Hilfe des Satzes von Vieta lösen?
𝑥2 − 9 · 𝑥 + 20 = 0 Wie lautet die Produktform dieser Gleichung?
Lösung
279
Algebraische Gleichungen Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf den Abschnitt
ren Grades .
Algebraische Gleichungen höhe-
Von der folgenden Gleichung dritten Grades sei die Lösung
𝑥1 = 3
bekannt. Wie
lauten die anderen beiden Lösungen der Gleichung?
𝑥3 − 6 · 𝑥2 − 𝑥 + 30 = 0
Lösung
Wie lauten die Lösungsmengen folgender Gleichungen? a)
2 · 𝑥3 − 5 · 𝑥2 − 12 · 𝑥 = 0
b)
𝑥4 − 13 · 𝑥2 + 36 = 0
Lösung
Bruch-, Produkt- und Wurzelgleichungen Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf den Abschnitt
gleichungen .
Bruch-, Produkt- und Wurzel-
Bruch- und Produktgleichungen
Welche Lösungsmenge hat folgende Gleichung?
3 · 𝑥 · (𝑥 − 5) = 6 · (𝑥 − 5)
Lösung
Welche Lösungsmenge hat folgende Gleichung?
3 · 𝑥 + 13 4−3·𝑥 = 2 · 𝑥 + 10 4−2·𝑥
Lösung
280
Wurzelgleichungen
Weshalb hat die folgende Gleichung keine Lösung?
√
𝑥−5+
√ 2−𝑥=1
Lösung
Welche Lösungsmengen haben folgende Gleichungen? a)
√
𝑥+1=𝑥−5
b)
√
3·𝑥+7=2−2·𝑥
Lösung
Exponential- und Logarithmusgleichungen Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf den Abschnitt
gleichungen .
Exponential- und Logarithmus-
Welche Lösungsmengen haben folgende Exponential-Gleichungen? a)
3𝑥 = 12
b)
22·𝑥+2 = 43·𝑥−15
Lösung
Welche Lösungsmengen haben folgende Logarithmus-Gleichungen? a)
log 𝑥 (125) = 3
b)
log5 (3 · 𝑥 − 2) = 4
Lösung
Ungleichungen Quadratische Ungleichungen Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf den Abschnitt
Welche Lösungsmenge hat folgende Ungleichung?
𝑥2 + 9 · 𝑥 + 14 < 0
Lösung
281
Quadratische Ungleichungen .
Betragsungleichungen Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf den Abschnitt
Betragsungleichungen .
Welche Lösungsmenge hat folgende Ungleichung?
|𝑥 − 1| < 4
Lösung
Lineare Gleichungssysteme Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf den Abschnitt
Lineare Gleichungssysteme .
Welche Lösung hat das folgende Gleichungssystem?
(I) :
4 · 𝑥1 + 2 · 𝑥2 = −6
(II) :
2 · 𝑥1 − 3 · 𝑥2 = −7
Lösung
Am Ende eines Trainings prahlt ein Tennis-Spieler gegenüber dem anderen: “Hätte ich auch noch den letzten Satz gewonnen, so hätte ich insgesamt doppelt so viele Sätze gewonnen wie Du!” Daraufhin meint der andere: “Gib’ doch nicht so an... hättest Du auch den vorletzten verloren, dann hätten wir jeweils gleich viele gewonnen!” Wie viele Sätze haben die beiden Spieler jeweils gewonnen?
Lösung
Haben folgende Gleichungssysteme eine eindeutige Lösung? Wenn ja, wie lautet diese? a)
2 · 𝑥1 + 8 · 𝑥2 =
4
−5 · 𝑥1 + 4 · 𝑥2 =
20
7 · 𝑥1 + 4 · 𝑥2 = −16 b)
3 · 𝑥1 + 7 · 𝑥2 =
15
5 · 𝑥1 − 4 · 𝑥2 = −2 −2 · 𝑥1 + 1 · 𝑥2 = −4
Lösung
282
Wie lautet die Lösungsmenge des folgenden Gleichungssystems in Abhängigkeit von
𝑥3 ? 1 · 𝑥1 + 2 · 𝑥2 + 2 · 𝑥3 = −6 −1 · 𝑥1 + 2 · 𝑥2 − 1 · 𝑥3 =
4
Lösung
Aufgaben zur elementaren Geometrie Stereometrie Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf den Abschnitt
Zum Reinigen einer Arbeitsfläche werden
Stereometrie .
𝑉ges = 5 ml
Desinfektionsmittel mittels
einer Sprühflasche aufgetragen. Wie viele Tropfen entstehen dabei, wenn man einen Durchmesser von
1 𝜇m
je Tropfen annimmt?
Lösung
Aufgaben zur Analysis Eigenschaften von Funktionen Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf den Abschnitt
Eigenschaften von Funktionen .
Stetigkeit
Untersuche die folgende Funktion auf Stetigkeit an der Stelle
{︃ 1 − 𝑥2 𝑓 (𝑥) = 𝑥−1
für für
𝑥0 = 1:
𝑥 ∈ ] − ∞; 1] 𝑥 ∈ [ 1; ∞[
Lösung
Ist die Funktion
𝑓 (𝑥) =
1 mit dem Definitionsbereich 𝑥2
Lösung
283
D = R ∖ {0}
global stetig?
Differentialrechnung Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf den Abschnitt
Ist eine an einer Stelle
𝑥0
Differentialrechnung .
differenzierbare Funktion an dieser Stelle auch stetig? Ist
umgekehrt eine an einer Stelle
𝑥0
stetige Funktion an dieser Stelle auch differenzier-
bar?
Lösung
Wie lautet die Ableitung der folgenden Funktion (mit
𝑓 (𝑥) =
𝑐 ∈ R+ ):
𝑐·𝑥 − 𝑐2
𝑥2
Lösung
Integralrechnung Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf den Abschnitt
Integralrechnung .
Integrationsmethoden
𝑡1 = 30 s mit konstant 𝑉˙ =
Ein zunächst leeres Waschbecken wird bis zu einem Zeitpunkt von Wasser gefüllt, wobei der Volumenstrom in diesem Zeitabschnitt Δ𝑉1 = 0, 3 sl beträgt. Anschließend wird der Wasserzufluss gestoppt. Δ𝑡1 Ab dem Zeitpunkt 𝑡2
= 45 s wird dann der Ablauf des Waschbeckens geöffnet, wobei 2 = 1, 2 sl ausfließt. 𝑉˙ = Δ𝑉 Δ𝑡2
das Wasser mit einem konstanten Volumenstrom von Wieviel Wasser wird zum Zeitpunkt 𝑡3
= 50 s noch im Waschbecken enthalten sein?
Lösung
Welchen Wert hat das Integral
∫︀ 1 0
𝑥 · 𝑒𝑥 · d𝑥?
Lösung
284
Aufgaben zur Linearen Algebra und analytischen Geometrie Determinanten Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf den Abschnitt
Wie lässt sich folgende Determinante mittels der
Determinanten .
Regel von Sarrus
berechnen?
⃒ ⃒ ⃒ 1 3 −2⃒⃒ ⃒ ⃒−1 −5 4⃒⃒ ⃒ ⃒ 0 7 −2⃒
Lösung
Wie lassen sich folgende lineare Gleichungssysteme mittels der
Regel von Cramer
berechnen?
1 · 𝑥1 + 5 · 𝑥 2 = 8 3 · 𝑥1 − 9 · 𝑥2 = −24
a)
5·𝑥1 + 2·𝑥2 − 3·𝑥3 = −2·𝑥1 − 7·𝑥2 + 3·𝑥3 = 3·𝑥1 − 9·𝑥2 + 1·𝑥3 =
b)
11 1 15
Lösung
Aufgaben zur Stochastik Zufallsexperimente und Ereignisse
Für ein einmaliges Werfen eines sechskantigen Würfels werden folgende Ereignisse vorgeschlagen:
– 𝜔1 : “Die gewürfelte Zahl ist eine gerade Zahl.” – 𝜔2 : “Die gewürfelte Zahl ist eine Primzahl.” – 𝜔3 : “Die gewürfelte Zahl ist Eins.” Weshalb ist
{𝜔1 , 𝜔2 , 𝜔3 }
kein Ereignisraum?
Lösung
285
Aufgaben zur Statistik Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf den Abschnitt
Beschreibende Statistik .
Mittelwerte und Streuungsmaße
Bei der Statistischen Erhebung “Mikrozensus 2015” hat sich die in der folgenden Tabelle dargestellte Häufigkeitsverteilung für die Anzahl an Kindern in Haushalten und Familien ergeben (Quelle: Destatis). Wie viele Kinder gibt es durchschnittlich je Haushalt? Kinder je Haushalt
Anzahl an Haushalten Anzahl
0 1 2 3 4 5
(oder mehr)
Insgesamt
29 365 5 977 4 098 1 057 205 72 40 774
Lösung
286
𝑧
in
1000
ℎ in % 72, 02% 14, 66% 10, 05% 2, 56% 0, 50% 0, 18% 100%
Lösungen Lösungen zur Logik Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die
Übungsaufgaben
zum Abschnitt
Logik .
Die Gleichung stellt eine Aussageform dar, da in ihr als Charakteristikum (mindestens) eine unbestimmte Variable auftritt. Weist man der Variablen den Wert Aussage
1 − 5 + 6 = 0,
𝑥=1
zu, so geht die Aussageform über in die
was offensichtlich als Wahrheitswert “falsch” hat. Weist
man der Variablen hingegen den Wert
𝑥=2
zu, so ergibt sich die wahre Aussage
4 − 10 + 6 = 0.
Zurück zur Aufgabe
𝑥” lautet 10|𝑡 (“Zehn teilt 𝑥”). Da es sich bei der Aussage um eine Folgerung (“Implikation”) handelt, kann also
Die mathematiche Kurzschreibweise für “10 ist Teiler von geschrieben werden:
⇒
10|𝑥
2|𝑥
Zurück zur Aufgabe
Die beiden Aussagen lassen sich nur mit einer Implikation sinnvoll verknüpfen. Jedes Quadrat hat vier gleich große Innenwinkel. Umgekehrt ist jedes Viereck mit vier gleich großen Innenwinkel zwar ein Rechteck, aber nicht zwingend ein Quadrat. Zusammengefasst gilt also:
𝐴1
⇒
𝐴2
Wird die zweite Aussage um den Zusatz “und es hat gleich lange Seiten” ergänzt, so sind die erste und die zweite Aussage äquivalent zueinander. In diesem Fall kann man also schreiben:
. . .𝐴1
⇔
𝐴2,neu
Zurück zur Aufgabe
–
Bei einer UND-Verknüpfung müssen beide Bedingungen gleichzeitig erfüllt sein, damit ihr Wahrheitswert “wahr” ist (die Aussage also zutrifft). Demnach wäre es bei der Anweisung “Rauchen UND Umgang mit offenen Licht ist verboten!” aus rein logischer Sicht immer noch erlaubt,
entweder
zu rauchen
oder
Umgang
mit offenem Licht zu haben; es darf nur nicht beides zugleich eintreten. In der Praxis ist es allerdings wohl auch bei einer derart schlampig formulierten Warnung empfehlenswert, sicherheitshalber beides zu unterlassen...
287
–
Bei dem wohl eher in Kneipen anzutreffenden Wandspruch “drink OR drive” sollte es wohl eher “drink XOR drive”
heißen, denn so gilt die ODER-
Verknüpfung für die Fälle “not drink and drive” und “drink and not drive”, allerdings auch für “drink and drive”. Insbesondere vor letzterem ist aber dringend abzuraten... Während des Studiums hieß es bei uns daher: “Don’t drink and d(e)rive!” ;-)
Zurück zur Aufgabe
Durch eine Adjunktion der Aussagen ge
1 ≤ 2.
Die Aussage
𝐴1
𝐴1 : 1 < 2 und 𝐴2 : 1 = 2 entsteht die Aussa𝐴2 hingegen ist falsch. Die ODER-
ist wahr, die Aussage
Verknüpfung beider Aussagen ist wahr (da zumindest eine der beiden Teilaussagen wahr ist).
Zurück zur Aufgabe
Durch eine Konjunktion der Aussagen
134
𝐴1 : 134 ist durch 2 teilbar. und 𝐴2 : 134 ist durch 2 und 3 teilbar.? Die
ist durch 3 teilbar. entsteht die Aussage
Aussage
𝐴1
ist wahr, die Aussage
𝐴2
hingegen ist falsch. Die UND-Verknüpfung
beider Aussagen ist falsch (die nicht beide Aussagen zugleich wahr sind).
Zurück zur Aufgabe
Die Antivalenz der beiden Aussagen ergibt die Aussage “Der Zug fährt entweder nach Hamburg oder Berlin”. Ob der Wahrheitswert dieser Gesamt-Aussage wahr oder falsch ist, hängt selbstverständlich vom jeweiligen Zug ab. Wir können allerdings o.B.d.A. annehmen, der Zug sei intakt und habe nur genau diese zwei Fahrt-Optionen: Dann trifft stets genau eine der beiden Aussagen zu (niemals keine, niemals beide zugleich).
Zurück zur Aufgabe
Die Implikation beider Aussagen liefert die Gesamt-Aussage “Wenn die Erde ein Würfel ist, dann ist die Sonne eine Pyramide.” Beide Teil-Aussagen sind falsch, die Implikation hingegen richtig (da eine Folgerung aus einer falschen Aussage definitionsgemäß stets wahr ist).
Zurück zur Aufgabe
Die Adjunktion (ODER-Verknüpfung) einer wahren und einer falschen Aussage (im Computer-Bereich: “Bedingung”) ist stets wahr; die Gesamt-Aussage ergibt somit den logischen Wert “wahr”.
Zurück zur Aufgabe
288
Lösungen zur Mengenlehre Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die
re .
Übungsaufgaben zum Abschnitt Mengenleh-
Eine Vereinigungsmenge enthält alle Elemente, die zu (mindestens) einer der beiden Teilmengen gehören. Für
M1 ∪ M2
ergibt sich im gegebenen Fall somit:
M1 ∪ M2 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑} ∪ {𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓 } = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓 }
Zurück zur Aufgabe
Eine Schnittmenge enthält alle Elemente, die gleichzeitig zu beiden Teilmengen gehören. Für a) c)
M1 ∩ M2
ergibt sich in den einzelnen Fäll somit:
{1, 2, 3, 4} ∩ {2, 4, 6, 8, 10} = {2, 4} √ { 39 , 4, 52 } ∩ {33 , 9, 7} = {3}
b)
{𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑} ∩ {𝑚, 𝑛, 𝑜, 𝑝, 𝑞} = ∅
d)
{𝑥 | 𝑥 < 5} ∩ {𝑥 | 𝑥 ≥ 3} = {𝑥 | 3 ≤ 𝑥 < 5}
Zurück zur Aufgabe
Als Differenzmenge
M1 ∖ M2
ergibt sich für diese beiden Mengen:
M1 ∖ M2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ∖ {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} = {1, 2, 3} M2 ∖ M1 = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} ∖ {1, 2, 3, 4, 5, 6} = {7, 8, 9, 10} Es ist somit offensichtlich
(M1 ∖ M2 ) ̸= (M2 ∖ M1 ).
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Abbildungen und Funktionen Die folgenden Lösungen beziehen sich auf auf die
dungen, Funktionen, Relationen und Operationen .
Übungsaufgaben
Die Abbildung kann als Teil der Produktmenge zeichnet man diese Teilmenge als
𝐹,
M1 × M2
zum Abschnitt
Abbil-
aufgefasst werden; be-
so gilt:
𝐹 = {(1; 6), (1; 8), (3; 7), (5; 9)} Die Abbildung ist keine Funktion, da das Element
deutig
auf ein Element der Menge
M2
1
aus der Menge
abgebildet wird.
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289
M1 nicht ein-
Lösungen zur Arithmetik Grundrechenarten und Rechenregeln Übungsaufgaben
Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die
chenarten und Rechenregeln .
zum Abschnitt
Grundre-
a) Durch Addition beziehungsweise Subtraktion können nur gleichartige Terme zusammengefasst werden (beispielsweise ergibt
𝑎 + 𝑎 + 𝑎 = 3 · 𝑎, 𝑎 + 𝑏 + 𝑐
lässt sich
hingegen nicht weiter vereinfachen). Im konkreten Fall müssen zunächst die Klammern aufgelöst werden:
=3 · 𝑎 − 2 · 𝑏 − (6 · 𝑎 + 3 · 𝑏) − (−3 · 𝑎 − 4 · 𝑏) =3 · 𝑎 − 2 · 𝑏 − 6 · 𝑎 − 3 · 𝑏 + 3 · 𝑎 + 4 · 𝑏 Hierbei wurde berücksichtigt, dass ein Minus-Zeichen vor einer Klammer das Vorzeichen aller Terme innerhalb der Klammer vertauscht. Nun können die einzelnen Vielfachen von
𝑎-
beziehungsweise
𝑏
sortiert und zusammengefasst werden. Man
erhält damit
3·𝑎 − 2·𝑏 − 6·𝑎 − 3·𝑏 + 3·𝑎 + 4·𝑏 = 3 · 𝑎 − 6 · 𝑎 + 3 · 𝑎 − 3 · 𝑏 − 2 · 𝑏 + 4 · 𝑏 = −𝑏 Das Sortieren der einzelnen Summanden ist optional und wird meist nicht explizit geschrieben; im obigen Beispiel wurden die Terme nur zwecks der besseren Übersichtlichkeit explizit sortiert.
b) Um Terme miteinander zu multiplizieren, multipliziert man einerseits die Koeffizienten (mit ihren Vorzeichen) sowie die Variablen miteinander. Im konkreten Fall ergibt sich damit:
5 · 𝑎 · 𝑏 · (−2) · 𝑏2 · 𝑐 · = 5 · (−2) ·
1 2 · 𝑎 · 𝑏 · 𝑐2 2
1 · 𝑎 · 𝑎2 · 𝑏2 · 𝑏 · 𝑐 · 𝑐2 = −5 · 𝑎3 · 𝑏3 · 𝑐3 2
Ebenso wie bei der Multiplikation von Zahlen können somit auch Produkte von gleichartigen Variablen zu Potenzen zusammengefasst werden.
Zurück zur Aufgabe
Bruchrechnung Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die
nung .
Übungsaufgaben
290
zum Abschnitt
Bruchrech-
Bei der Angabe eines Definitionsbereichs muss sichergestellt werden, dass der Nenner eines Bruchterms nicht Null wird. Konkret muss also gelten: a)
5·𝑎−3 4·𝑎
⇒ 4 · 𝑎 ̸= 0
⇐⇒
𝑎 ̸= 0
b)
2·𝑎+4·𝑏 𝑏−7
⇒ 𝑏 − 7 ̸= 0
⇐⇒
𝑏 ̸= 7
c)
8 (𝑐 + 3) · (𝑐 − 2)
⇒ (𝑐 + 3) ̸= 0
und
d)
2·𝑐 + 5·𝑑 + 1 ⇒ 𝑑 2 > −1 3 · 𝑑2 + 1
In Teilaufgabe d)
(𝑐 − 2) ̸= 0
⇐⇒
⇐⇒
𝑐 ̸= −3 ∧ 𝑐 ̸= 2
keine Einschränkung nötig!
wurde die Tatsache genutzt, dass das Quadrat einer Zahl stets
positiv ist.
Zurück zur Aufgabe
a) Die beiden Bruchterme haben den gleichen Nenner; folglich lassen sich ihre Zähler unmittelbar zusammenfassen:
8 · 𝑎 − 3 · 𝑏 − (5 · 𝑎 − 6 · 𝑏) 3·𝑎+3·𝑏 8·𝑎−3·𝑏 5·𝑎−6·𝑏 − = = 2 2 2 2 2 2 𝑎 −𝑏 𝑎 −𝑏 𝑎 −𝑏 𝑎2 − 𝑏2 Im Zähler kann nun
3
als gemeinsamer Faktor ausgeklammert werden; der Nenner
kann als binomische Formel geschrieben werden. Damit ergibt sich:
3·𝑎+3·𝑏 3 · (𝑎 + 𝑏) 3 = = 2 2 𝑎 −𝑏 (𝑎 + 𝑏) · (𝑎 − 𝑏) 𝑎−𝑏 Im letzten Rechenschritt wurde der gemeinsame Faktor
(𝑎 + 𝑏)
b) Bei dem Produkt der beiden Bruchterme kann der Faktor ebenso kann der verbleibende Zählerterm
(𝑐 + 𝑑)
gekürzt.
(𝑐−𝑑) gekürzt werden;
gegen das Quadrat dieses Terms
im Nenner gekürzt werden. Damit ergibt sich:
𝑐 + 𝑑 (𝑐 − 𝑑) (𝑐 + 𝑑) · (𝑐 −𝑑) 𝑐+𝑑 1 · = = = 2 2 2 𝑐 − 𝑑 (𝑐 + 𝑑) (𝑐 −𝑑) · (𝑐 + 𝑑) (𝑐 + 𝑑) 𝑐+𝑑 ...
c)
Dividieren heißt mit dem Kehrbruch multiplizieren. Damit ergibt sich:
8 · 𝑒2 · 𝑓 6 · 𝑔 2 · ℎ2 8 · 𝑒2 · 𝑓 4·𝑒·𝑓 : = · 3 · 𝑔 · ℎ 6 · 𝑔 2 · ℎ2 3·𝑔·ℎ 4·𝑒·𝑓 Dieses Produkt enthält sowohl im Zähler wie auch im Nenner ausschließlich Produkte; die einzelnen Faktoren können somit folgendermaßen gekürzt werden:
8 · 𝑒2 · 𝑓 · 6 · 𝑔 2 · ℎ2 2 · 2 · 𝑒2 · 𝑔 2 · ℎ2 = =4·𝑒·𝑔·ℎ 3·𝑔·ℎ·4·𝑒·𝑓 𝑒·𝑔·ℎ
Zurück zur Aufgabe
291
Potenzen, Wurzeln und Logarithmen Übungsaufgaben
Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die
Wurzeln und Logarithmen .
a)
zum Abschnitt
Potenzen,
Die Wurzel kann folgendermaßen umgestellt werden:
√ √ 3 3 2 2 16 = 16 2 = ( 16)3 = 43 = 64
b) Beim Quadrieren eines Produkts werden alle Faktoren einzeln quadriert, es gilt 𝑐 𝑐 𝑐 also (𝑎 · 𝑏) = 𝑎 · 𝑏 . Man erhält damit:
(5 ·
c)
√
2)2 = 52 ·
√
2
2 = 25 · 2 = 50
In der Darstellung als allgemeine Potenz ergibt sich für die Wurzel:
√ 4 2 ( 7)4 = 7 2 = 72 = 49
c)
Auch in diesem Fall ist eine Darstellung der Wurzel als allgemeine Potenz hilf(𝑎𝑏 )𝑐 = 𝑎𝑏·𝑐 ergibt sich:
reich. Mit dem Zusammenhang
√ 4
3
3
3
3
𝑎8 · 𝑏4 = (𝑎8 · 𝑏4 ) 4 = 𝑎8· 4 · 𝑏4· 4 = 𝑎6 · 𝑏3
e) Der Term lässt sich vereinfachen, indem man die einzelnen Wurzeln schrittweise “zusammenzieht”:
√︂ √︁ √︁ √︁ √︁ √︁ √ √ √ √ √ 3 3 3 3 √ 3 3 6 3 9 3 7· 7· 7= 7· 73 · 7 = 7 · 74 = 7 · 72 = 73 · 72 = 75
√︂ 3
√
3 durch den gleichwertigen Ausdruck 73 √ √ √ 3 3 3 ersetzt und damit das Produkt der Wurzeln 73 · 7 zu einer Wurzel 73 · 7 zu-
Im ersten Schritt wurde für der Faktor
7
sammengefasst. Dadurch konnte die Quadrat- und die innere Kubikwurzel als eine einzige Wurzel geschrieben werden. Ein ähnliches Vorgehen wurde dann nochmals angewendet. Eine alternative, vielleicht übersichtlichere Schreibweise erhält man, wenn man die einzelnen Wurzeln als allgemeine Potenzen darstellt:
√︂ 3
(︂ (︁ √︁ )︁ 21 )︂ 13 (︂ (︁ 4 )︁ 21 )︂ 13 (︁ )︁ 13 (︁ 5 )︁ 13 √ 1 2 5 3 7 · 7 · 7 = 7 · 7 · 73 = 7 · 73 = 7 · 73 = 73 = 79 ...
f ) Zunächst kann man das Minus im Exponenten beseitigen, indem man Zähler und Nenner vertauscht:
(︃ √ )︃−6 (︃ √ )︃6 3 2 3 6 √ = √ 2 3 6 3
292
Für eine weitere Vereinfachung ist es empfehlenswert, die Wurzeln als allgemeine 𝑏 𝑐 𝑏·𝑐 Potenzen darzustellen und den Zusammenhang (𝑎 ) = 𝑎 zu nutzen:
(︃ √ )︃6 (︃ 1 )︃6 1 2 6 62 6 2 ·6 63 √ = = = = 24 1 1 3 32 3 33 3 3 ·6
Zurück zur Aufgabe
Lösungen zur elementaren Algebra Gleichungen Lineare Gleichungen Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die
Gleichungen .
Übungsaufgaben
zum Abschnitt
Lineare
Zur Lösung der Gleichung empfiehlt es sich, beide Seiten der Gleichung mit dem Hauptnenner
2·3=6
der auftretenden Terme zu multiplizieren.
10 · 𝑥 + 3 3·𝑥+4 2·𝑥+6 − 5 = 11 − − 3 2 3 )︂ (︂ (︂ )︂ 10 · 𝑥 + 3 3·𝑥+4 2·𝑥+6 − 5 = 6 · 11 − − 6· 3 2 3 Multipliziert man die Klammern aus, so können die auftretenden Brüche durch Kürzen beseitigt werden. Man erhält dadurch:
....2 · (10 · 𝑥 + 3) − 30 = 66 − 3 · (3 · 𝑥 + 4) − 2 · (2 · 𝑥 + 6) Die Gleichung kann durch ein Ausmultiplizieren der Klammern weiter vereinfacht werden:
20 · 𝑥 + 6 − 30 = 66 − 9 · 𝑥 − 12 − 4 · 𝑥 − 12 Zum Auflösen werden alle
𝑥-Terme auf eine Seite der Gleichung, alle anderen Terme
auf die andere Seite der Gleichung gebracht. Damit folgt:
20 · 𝑥 + 13 · 𝑥 = 66 − 24 + 24 33 · 𝑥 = 66 𝑥=2 Die Lösung der Gleichung lautet somit
𝑥 = 2.
Zurück zur Aufgabe
293
Quadratische Gleichungen Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die
sche Gleichungen .
Übungsaufgaben
zum Abschnitt
Quadrati-
a)
Die Lösungsformel für quadratische Gleichungen (“Mitternachtsformel”) liefert 2 für die gegebene Gleichung 𝑥 − 6 · 𝑥 + 8 = 0 mit 𝑎 = 1, 𝑏 = −6 und 𝑐 = 8:
𝑥1,2 =
−𝑏 ±
√
𝑏2 − 4 · 𝑎 · 𝑐 +6 ± = 2·𝑎
√
36 − 4 · 8 6±2 = 2 2
Somit ergeben sich folgende Lösungen:
𝑥1 =
6−2 =2 2
𝑥2 =
Die Lösungsmenge der Gleichung lautet somit
6+2 =4 2
L = {2; 4}.
3 · 𝑥2 + 4 · 𝑥 − 15 = 0 sind in die “Mitternachtsformel” die Werte 𝑎 = 3, 𝑏 = 4 und 𝑐 = −15 einzusetzen. Man erhält damit: √︀ √ √ −4 ± 16 − 4 · 3 · (−15) −4 ± 196 −𝑏 ± 𝑏2 − 4 · 𝑎 · 𝑐 = = 𝑥1,2 = 2·𝑎 6 6 √ Die Wurzel 196 ergibt den Wert 14. Als Lösungen erhält man damit: b) Zum Lösen der Gleichung
𝑥1 =
−4 − 14 = −3 6
−4 + 14 5 = 6 3 {︀ }︀ L = −3; 53 .
𝑥2 =
Die Lösungsmenge der Gleichung lautet somit
Zurück zur Aufgabe
Der Satz von Vieta ist insbesondere dann nützlich, wenn eine quadratische Gleichung 2 der Form 1 · 𝑥 + 𝑏 · 𝑥 + 𝑐 = 0 vorliegt und 𝑏 sowie 𝑐 ganze Zahlen sind. Man prüft dann als erstes, durch welche Produkt zweier Zahlen sich die Zahl darstellen lässt. Im Fall
𝑐 = 20
𝑐
ergeben sich folgende Möglichkeiten:
20 = 20 · 1 = 10 · 2 =5·4 Ebenfalls möglich sind die Produkte
(−20) · (−1), (−10) · (−2)
und
(−5) · (−4).
Eine dieser drei beziehungsweise sechs Möglichkeiten gibt die beiden Lösungen der Gleichung an. Um zu prüfen, welche der obigen Möglichkeiten die Gleichung löst, bildet man die Summen der einzelnen Wertepaare:
20 + 1 = 21 10 + 2 = 12 5+4=9
294
Das “richtige” Wertepaar erkennt man daran, dass die Summe einen Wert ergibt, der mit dem Wert von
(−𝑏) = 9.
(−𝑏)
identisch ist. In dieser Aufgabe ist
𝑏 = −9,
also ist
Die Lösung der Gleichung lautet somit:
𝑥1 = 4 ;
𝑥2 = 5
Als Produktform lässt sich die Gleichung damit wie folgt schreiben:
𝑥2 − 9 · 𝑥 + 20 = 0
⇐⇒
(𝑥 − 4) · (𝑥 − 5) = 0
Zurück zur Aufgabe
Algebraische Gleichungen Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die
Gleichungen höheren Grades .
Existiert die Lösung Linearfaktor
(𝑥 − 3)
𝑥1 = 3,
Übungsaufgaben zum Abschnitt Algebraische
so kann der Gleichungsterm in ein Produkt aus dem
und einem Restterm zerlegt werden. Dieser kann mittels einer
Polynom-Division ermittelt werden; es muss also folgende Rechnung durchgeführt werden:
(𝑥3 − 6 · 𝑥2 − 1 · 𝑥 + 30) : (𝑥 − 3) = ? 3 Als erstes prüft man, mit welchem Faktor 𝑥 zu multiplizieren ist, um 𝑥 zu erhalten; 2 2 als Ergebnis kann man 𝑥 auf die rechte Seite schreiben. Das Produkt aus 𝑥 · (𝑥 − 3) muss dann vom ursprünglichen Term abgezogen werden. Man erhält:
(𝑥3 −6 · 𝑥2 −1 · 𝑥 +30) : (𝑥 − 3) = 𝑥2 + ? −(𝑥3 −3 · 𝑥2 ) −3 · 𝑥2
−1 · 𝑥 +30 𝑥 zu multiplizieren ist, um −3·𝑥2 −3 · 𝑥 auf die rechte Seite schreiben.
Als nächstes ist also zu prüfen, mit welchem Faktor zu erhalten; als Ergebnis kann man wiederum Das Produkt aus
−3 · 𝑥 · (𝑥 − 3)
muss vom verbleibenden Term abgezogen werden.
Man erhält:
(𝑥3 −6 · 𝑥2 −1 · 𝑥 −(𝑥3 −3 · 𝑥2 ) −3 · 𝑥2 −( −3 · 𝑥2
+30) : (𝑥 − 3) = 𝑥2 − 3 · 𝑥 + ?
−1 · 𝑥 +30 +9 · 𝑥) −10 · 𝑥 +30
295
Um den verbleibenden Term zu erhalten, muss
(𝑥 − 3)
mit dem Faktor
(−10)
mul-
tipliziert werden. Man erhält also:
(𝑥3 −6 · 𝑥2 −1 · 𝑥 −(𝑥3 −3 · 𝑥2 ) −3 · 𝑥2 −( −3 · 𝑥2 −(
+30) : (𝑥 − 3) = 𝑥2 − 3 · 𝑥 − 10
−1 · 𝑥 +30 +9 · 𝑥) −10 · 𝑥 +30 −10 · 𝑥 +30) 0
Der bei der Polynomdivision verbleibende Rest-Term ist also
𝑥2 −3·𝑥−10. Setzt man
diesen Term gleich Null, so kann man die verbleibenden Lösungen der ursprünglichen Gleichung berechnen:
𝑥2 − 3 · 𝑥 − 10 = 0 Diese quadratische Gleichung kann wahlweise mittels der Mitternachtsformel oder (in diesem Fall wohl einfacher) mittels des Satzes von Vieta gelöst werden. Man erhält:
𝑥2 = −2
𝑥3 = 5
Die Lösungsmenge der ursprünglichen Gleichung lautet somit
L = {−2; 3; 5}.
Zurück zur Aufgabe
2 · 𝑥3 − 5 · 𝑥2 − 12 · 𝑥 = 0 enthält auf der linken Zahlenterm; es kann somit 𝑥 ausgeklammert werden:
a) Die Gleichung keinen
Gleichungs-Seite
2 · 𝑥3 − 5 · 𝑥2 − 12 · 𝑥 = 0 ⇒ 𝑥 · (2 · 𝑥2 − 5 · 𝑥 − 12) = 0 Man erhält damit unmittelbar
𝑥1 = 0
als erste Lösung der Gleichung. Die übrigen
Lösungen erhält man, wenn man den Restterm gleich Null setzt (denn ein Produkt ist stets dann Null, wenn einer der Faktoren gleich Null ist):
2 · 𝑥2 − 5 · 𝑥 − 12 = 0 𝑐 = −12: √︀ √ √ +5 ± 25 − 4 · 2 · (−12) +5 ± 121 −𝑏 ± 𝑏2 − 4 · 𝑎 · 𝑐 = = 𝑥2,3 = 2·𝑎 4 4 √ Wurzel 121 ergibt den Wert 11. Als Lösungen erhält man damit:
Mittels der “Mitternachtsformel” erhält man mit
Die
𝑥2 =
+5 − 11 3 =− 4 2
Die Lösungsmenge der Gleichung lautet also
296
𝑎 = 2, 𝑏 = −5
𝑥3 =
+5 + 11 =4 4
L = {− 32 ; 0; 4}.
und
𝑥4 − 13 · 𝑥2 + 36 = 0
enthält auf der linken Seite nur 𝑥-Terme 2 mit geraden Exponenten; man kann daher 𝑥 durch eine neue Variable 𝑧 ersetzen b)
Die Gleichung
(“Substitution”). Für diese neue Variable ergibt sich folgende Gleichung:
𝑧 2 − 13 · 𝑧 + 36 = 0 Diese quadratische Gleichung kann wahlweise mittels der Mitternachtsformel oder (in diesem Fall wohl einfacher) mittels des Satzes von Vieta gelöst werden. Man erhält:
𝑧1 = 4
𝑧2 = 9
Die ursprüngliche Gleichung hat höchstens vier Lösungen, da der größte auftretende Exponent gleich vier ist. Diese Lösungen ergeben sich mit den obigen Lösungen für
𝑧
folgendermaßen:
𝑥21,2 = 4
⇐⇒
𝑥23,4 = 9
⇐⇒
Man erhält damit als Lösungen
√ 𝑥1,2 = ± 4 √ 𝑥3,4 = ± 9
𝑥1 = −2, 𝑥2 = +2, 𝑥3 = −3
und
𝑥4 = +3.
Durch
Einsetzen dieser Werte in die ursprüngliche Gleichung kann/muss geprüft werden, ob es sich tatsächlich um Lösungen der ursprünglichen Gleichung handelt, da durch das Quadrieren beziehungsweise Wurzelziehen (keine Äquivalenzumformung!) “Scheinlösungen” entstehen können. Da die obigen Werte tatsächlich die Gleichung erfüllen, ergibt sich als Lösungsmenge der Gleichung
L = {−3; −2; 2; 3}.
Zurück zur Aufgabe
Bruch-, Produkt- und Wurzelgleichungen Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die
Produkt- und Wurzelgleichungen .
Übungsaufgaben
zum Abschnitt
Bruch-,
Bruch- und Produktgleichungen
Bei der Gleichung handelt es sich um eine Produkt-Gleichung; für den Definitionsbereich gilt
D = R,
es dürfen also alle reellen Zahlen für
𝑥
eingesetzt werden.
Um die Gleichung zu lösen, ist es hilfreich, alle die Variable auf die linke Seite zu sortieren. Dadurch erhält man:
3 · 𝑥 · (𝑥 − 5) = 6 · (𝑥 − 5) 3 · 𝑥 · (𝑥 − 5) − 6 · (𝑥 − 5) = 0
297
𝑥
beinhaltende Terme
Auf der linken Seite kann nun der Term
(𝑥 − 5)
ausgeklammert werden. Daraus
ergibt sich:
(3 · 𝑥 − 6) · (𝑥 − 5) = 0 Ein Produkt hat genau dann den Wert Null, wenn einer der Faktoren Null ist. Die Gleichung ist somit in den folgenden beiden Fällen erfüllt:
3·𝑥−6=0 𝑥−5=0
⇐⇒ ⇐⇒
Die Lösungsmenge der Gleichung ist somit
𝑥=2 𝑥=5
L = {2; 5}.
Hinweis: Würde man im ersten Schritt durch (𝑥 − 5) dividieren, so bliebe nur noch die Lösung
𝑥=2
übrig. Bei einer Division einer Gleichung durch einen Term muss
also stets darauf geachtet werden, dass dieser Term ungleich Null ist; gegebenenfalls muss eine Fallunterscheidung vorgenommen und dieser Fall – im obigen Beispiel
𝑥=5
– separat untersucht werden.
Zurück zur Aufgabe
Bei Bruchgleichungen muss ausgeschlossen sein, dass die Nenner der auftretenden Terme gleich Null werden; es muss also gelten:
2 · 𝑥 + 10 ̸= 0 4 − 2 · 𝑥 ̸= 0
⇐⇒ ⇐⇒
𝑥 ̸= −5 𝑥 ̸= 2
und
Um die Gleichung zu lösen, ist es empfehlenswert, beide Seiten der Gleichung mit dem Hauptnenner
(2·𝑥+10)·(4−2·𝑥) zu multiplizieren. Nach dem Kürzen entfallen
dadurch die Nenner:
4−3·𝑥 3 · 𝑥 + 13 = 2 · 𝑥 + 10 4−2·𝑥 (2· 𝑥+ 10) · (4 − 2 · 𝑥) · (3 · 𝑥 + 13) ( 2 ·(𝑥(+(10 (
(4 − 3 · 𝑥) · (2 · 𝑥 + 10) · (4−2· 𝑥) = 4− 2·𝑥
⇒ (4 − 2 · 𝑥) · (3 · 𝑥 + 13) = (4 − 3 · 𝑥) · (2 · 𝑥 + 10) Um diese Gleichung weiter zu vereinfachen, müssen die Terme auf beiden Seiten ausmultipliziert werden, denn ansonsten wäre ein Sortieren der Gleichung in VariablenTerme und reine Zahlen-Terme nicht möglich. Man erhält:
12 · 𝑥 + 52 − 6 · 𝑥2 − 26 · 𝑥 = 8 · 𝑥 + 40 − 6 · 𝑥2 − 30 · 𝑥 −6 · 𝑥2 − 14 · 𝑥 + 52 = −6 · 𝑥2 − 22 · 𝑥 + 40 Sortiert man nun alle
𝑥-Terme
auf die linke und alle übrigen Terme auf die rechte
Seite, so entfällt der quadratische Term. Übrig bleibt eine lineare Gleichung mit folgender Lösung:
Die Lösungsmenge der Gleichung
8 · 𝑥 = −12 3 𝑥 =− 2 3 ist somit L = {− }. 2
Zurück zur Aufgabe
298
Wurzelgleichungen
Betrachtet man (ohne jegliche algebraische Umformung) den Definitionsbereich der Gleichung, so stellt man fest, dass dieser der leeren Menge
𝑥,
nämlich keinen Wert für die Variable und
∅
entspricht: Es gibt
so dass die beiden Bedingungen
𝑥−5≥0
2 − 𝑥 ≥ 0 gleichzeitig erfüllt sind. Da dies nicht möglich ist, kann die Gleichung 𝑥 ∈ R erfüllt werden.
folglich für keine reelle Zahl
Zurück zur Aufgabe
a)
Die Definitionsmenge ergibt sich, da reellwertige Wurzeln nicht negativ sein
dürfen, aus folgenden Ungleichungen:
√
𝑥+1≥0 𝑥−5≥0
⇐⇒ ⇐⇒
𝑥 ≥ −1 𝑥≥5
Da beide Bedingungen zugleich gelten müssen und die zweite Bedingung
𝑥 ≥ −1 hinreichend D = [5; ∞[.
erste Bedingung der Gleichung
𝑥≥5
die
mit einschließt, gilt für den Definitionsbereich
Um die Gleichung zu lösen, können die Terme auf beiden Seiten in einem ersten Rechenschritt quadriert werden. Man erhält hierbei:
𝑥 + 1 = (𝑥 − 5)2 Diese Gleichung entspricht nun einer quadratischen Gleichung. Um sie zu lösen, werden alle Terme auf die linke Seite sortiert und anschließend Klammer der qua2 dratische Term (𝑥 − 5) ausgewertet:
(𝑥 − 5)2 − 𝑥 − 1 = 0 (𝑥2 − 10 · 𝑥 + 25) − 𝑥 − 1 = 0 Da in der resultierenden Gleichung alle Operatoren die gleiche Priorität haben und vor der Klammer kein Minuszeichen steht, können die Klammern weggelassen werden. Die
𝑥-Terme
sowie die Zahlenwerte können noch folgendermaßen zusammen-
gefasst werden:
𝑥2 − 11 · 𝑥 + 24
=0
Diese Gleichung kann beispielsweise mit der Lösungsformel für quadratische Glei-
𝑎 = 1, 𝑏 = −11 und 𝑐 = 24 erhält man: √ √ √ 11 − 121 − 4 · 24 11 − 25 −𝑏 − 𝑏2 − 4 · 𝑎 · 𝑐 = = =3 𝑥1 = 2·1 2√ √2 · 𝑎 √ −𝑏 + 𝑏2 − 4 · 𝑎 · 𝑐 11 + 121 − 4 · 24 11 + 25 𝑥1 = = = =8 2·𝑎 2·1 2
chungen gelöst werden. Mit
299
Man könnte nun annehmen, dass die Lösungsmenge gleich
L = {3; 8} ist – doch das
D = [5; ∞[ der ursprünglichen Gleichung schließt die 𝑥1 = 3 der späteren quadratischen Gleichung aus. Der Grund für das Hinzu-
ist falsch! Die Definitionsmenge Lösung
kommen der “Scheinlösung” liegt im ersten Rechenschritt, nämlich dem Quadrieren beider Seiten der Gleichung. Da diese Umformung keine Äquivalenz-Umformung ist, können – wie in diesem Beispiel – weitere Lösungen hinzukommen. Neben einem Blick auf den Definitionsbereich schließt auch ein Einsetzen der erhaltenen Lösungen in die ursprüngliche Gleichung die Scheinlösung Lösungsmenge lautet also
𝑥1 = 3
aus. Die
L = {8}.
b) Der Definitionsbereich dieser Gleichung muss folgende beide Bedingungen erfüllen:
3·𝑥+7≥0 2−2·𝑥≥0 Der Definitionsbereich
D
⇐⇒ ⇐⇒
𝑥 ≥ −2 13 𝑥≤1
der Gleichung entspricht somit dem Intervall
[−2 13 ; 1].
Durch ein Quadrieren der Gleichung ergibt sich:
(︁√
3·𝑥+7
)︁2
= (2 − 2 · 𝑥)2
3 · 𝑥 + 7 = 4 − 8 · 𝑥 + 4 · 𝑥2 Durch das Quadrieren wird die Wurzelgleichung somit zu einer quadratischen Gleichung. Durch ein Sortieren der einzelnen Terme auf die linke Gleichungsseite kann diese auf Normalform gebracht werden:
4 · 𝑥2 − 11 · 𝑥 − 3 = 0 Mittels der “Mitternachtsformel” kann diese Gleichung gelöst werden, wenn man für
𝑎 = 4, 𝑏 = −11
Die
𝑐 = −3 setzt: √︀ √ √ +11 ± 121 − 4 · 4 · (−3) 11 ± 169 −𝑏 ± 𝑏2 − 4 · 𝑎 · 𝑐 = = 𝑥1,2 = 2·𝑎 8 8 √ Wurzel 169 ergibt den Wert 13. Als Lösungen erhält man damit: und
𝑥1 = Nur die Lösung
𝑥1
11 − 13 1 =− 8 4
ist im Definitionsbereich
𝑥2 =
11 + 13 =3 8
D der Gleichung enthalten, 𝑥2
hingegen
stellt eine durch das Quadrieren der Gleichung entstandene Scheinlösung dar. Die 1 Lösungsmenge der Gleichung lautet somit L = {− }. 4
Zurück zur Aufgabe
300
Exponential- und Logarithmusgleichungen Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die
und Logarithmusgleichungen .
a)
Übungsaufgaben zum Abschnitt Exponential-
Die Gleichung kann gelöst werden, indem beide Seiten logarithmiert werden:
3𝑥 = 12 ⇒ log (3𝑥 ) = log (12) 10-er-Logarithmus war/ist hierbei willkürlich. Nun kann allerdings die log𝑎 (𝑏𝑐 ) = 𝑐 · log𝑎 𝑏 genutzt werden (siehe Rechenregeln für Logarith-
Die Wahl des Rechenregel
men ), so dass sich folgende Gleichung ergibt:
𝑥 · log (3) = log 12 log (12) ≈ 2, 262 ⇒ 𝑥= log (3) Die Gleichung gilt also für
𝑥 ≈ 2, 262.
b)
Die Gleichung kann gelöst werden, indem beide Seiten auf die gleiche Basis 2 gebracht werden. Auf der rechten Seite der Gleichung nämlich 4 = 2 gesetzt werden:
22·𝑥+2 = 43·𝑥−15 (︀ )︀3·𝑥−15 22·𝑥+2 = 22 Diese Umformung hat den Vorteil, dass nun die Rechenregel
(︀ 𝑏 )︀𝑐 𝑎 = 𝑎𝑏·𝑐 angewendet
werden kann:
22·𝑥+2 = 22·(3·𝑥−15) 22·𝑥+2 = 26·𝑥−30 Sind die Basen auf beiden Seiten der Gleichung identisch, so müssen auch die Exponenten gleich sein. Es muss also gelten:
2 · 𝑥 + 2 = 6 · 𝑥 − 30 4 · 𝑥 = 32 𝑥=8 Die Gleichung hat somit die Lösung
𝑥 = 8.
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a)
Die Definitionsmenge der Gleichung ist
D = {𝑥 | 𝑥 > 0, 𝑥 ̸= 1}.
Gemäß der Definition eines Logarithmus kann die Gleichung auch wie folgt geschrieben werden:
log𝑥 (125) = 3
301
⇐⇒
𝑥3 = 125
Zieht man bei der Gleichung auf der rechten Seite die dritte Wurzel, so erhält man:
𝑥=
√ 3 125 = ±5
Unter Berücksichtigung der Definitionsmenge lautet die Lösung somit
L = {5}.
b) Um die Gleichung zu lösen, werden zunächst beide Seiten der Gleichung als Expolog 𝑥 nenten zur Basis 5 geschrieben. Auf der linken Seite entfällt dabei wegen 5 5 = 𝑥 der Logarithmus:
log5 (3 · 𝑥 − 2) = 4 ⇒ 3 · 𝑥 − 2 = 54 3 · 𝑥 − 2 = 625 3 · 𝑥 = 627 𝑥 = 209 𝑥 = 209.
Die Gleichung hat somit die Lösung
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Ungleichungen Quadratische Ungleichungen Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die
sche Ungleichungen .
Übungsaufgaben
zum Abschnitt
Quadrati-
Mittels des Satzes von Vieta kann man schnell ermitteln, dass die Gleichung
9 · 𝑥 + 14 = 0
die Nullstellen
𝑥1 = 2
und
𝑥2 = 7
𝑥2 +
besitzt; man kann die Ungleichung
also auch folgendermaßen darstellen:
𝑥2 + 9 · 𝑥 + 14 < 0 ⇐⇒ (𝑥 − 2) · (𝑥 − 7) < 0 Die Ungleichung ist dann erfüllt, wenn einer der beiden Faktoren auf der linken Seite größer Null und der andere kleiner Null ist. Mit dieser Fallunterscheidung ergibt sich:
–
Für
(𝑥 − 2) > 0
und
(𝑥 − 7) < 0: 𝑥−2>0
𝑥−72
und
Die Lösungsmenge für diesen Fall ist somit
302
𝑥 0: 𝑥−20
und
𝑥7
und
Die Lösungsmenge für diesen Fall ist die leere Menge, also
L2 = ∅.
Die Gesamt-Lösungsmenge ist gleich der Vereinigungsmenge beider Fälle; es ist somit
L = L1 ∪ L2 = ]2; 7[.
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Betragsungleichungen Die folgenden Lösungen beziehen sich auf die
gleichungen .
Der Term
|𝑥 − 1|
−(𝑥 − 1).
Mit dieser Fallunterscheidung ergibt sich:
–
Für
ist, sofern
𝑥≥1
Übungsaufgaben
ist, identisch mit
⇐⇒
Die Lösungsmenge für diesen Fall ist somit Für
𝑥 − 1,
Betragsun-
andernfalls identisch mit
𝑥 ≥ 1: 𝑥−1