2 Die Kugel Berechne jeweils den Durchmesser einer Kugel mit
a) d = 15,9 cm
625 cm²
b) d = 2 ⋅ c) d = 2 ⋅
4π 3
= 14,1 cm
3 ⋅ 900 cm³ 4π
d) Mit 1,2 ⋅ 512 cm³ =
= 12,0 cm
4 r³π gilt: d = 10,5 cm 3
3 Sinus-; Kosinus- und Tangenswerte für beliebige Winkel 1. Zurückführung auf den I. Quadranten Berechne durch Zurückführung auf spitze Winkel. a) 1110°= 3·360°+30° sin 1110°=0,5
b) 1140°= 3·360°+60° cos 1140°=0,5
c) 1485°= 4·360°+45° tan 1485°=1
d) 765°=2·360°+45° 1 sin 765°= 2 2
e) 1110°= 4·360°+60° tan 1500°= 3
2. Gleichungen Bestimme sämtliche Lösungen für 0° ≤ φ 0; a
≠ 1)
In jedem Koordinatensystem findest du zwei Funktionen aus einer „Funktionsfamilie“. Erläutere nun, wie der eine Graph aus dem anderen Graphen hervorgeht, und bestimme die Gleichungen der zugehörigen Funktionen.
a)
b) y
y
x
0
rot: f(x) = 2x
0
rot: f(x) = 4x x
schwarz: f(x) = -2 – 1
1 schwarz: f(x) = − 4
Spieglung an der x-Achse und Verschiebung um 1 nach unten
Spiegelung an der x- und der y-Achse
x
7.2 Der Logarithmus 1. Fasse zusammen und vereinfache – falls möglich. b) log2 x
a) 1
c) 0
d) 0
2. Drücke durch einen einzigen Logarithmusterm aus.
Grober Verlauf des Graphen ganzrationaler Funktionen Lösung I: f(x) = x3 - 16x a) D = IR b) SP mit der y-Achse: x = 0; Sy(0/0) SP mit der x-Achse = Nullstellen (NST): N1(0/0); N2(-4/0); N3(4/0) einfache NST c) lim f(x) = +∞ und lim f(x) = -∞ x → +∞
x → −∞
d)
-4
4
Lösung II: f(x) = x3 - 6x2 + 9x a) D = IR b) SP mit der y-Achse: x = 0; Sy(0/0) SP mit der x-Achse = Nullstellen (NST): N1(0/0) einfache NST;
3
c)
N2(3/0) doppelte NST lim f(x) = +∞ und lim f(x) = -∞ x → +∞
x → −∞
d) siehe Skizze Lösung III: f(x) = x3 - 2x2 - 5x + 6 a) D = IR b) SP mit der y-Achse: x = 0; Sy(0/6) SP mit der x-Achse = Nullstellen (NST): N1(-2/0); N2(1/0); N3(3/0) einfache NST c) lim f(x) = +∞ und lim f(x) = -∞ x → +∞
x → −∞
d) siehe Skizze Lösung IV: f(x) = x5 – x4 – 13x3 + 13x2 + 36x – 36 a) D = IR b) SP mit der y-Achse: x = 0; Sy(0/-36) SP mit der x-Achse = Nullstellen (NST): N1(-6/0); N2(-4/0); N3(2/0); N4(4/0); N5(6/0) einfache NST c) lim f(x) = +∞ und lim f(x) = -∞ x → +∞
x → −∞
d) siehe Skizze
9 Der Grenzwert oder das Verhalten im „Unendlichen“ Bestimme für die folgenden Funktionen das Grenzverhalten für x → ±∞ . a)