MTG

Grundwissen Mathematik

10. Klasse

1 Der Kreis und der Kreissektor Umfang eines Kreises mit Radius r: u = 2 r π Fläche eines Kreises mit Radius r: A = r²π

1.1 Der Kreissektor Bogenlänge eines Kreisessektors mit Radius r und Mittelpunktswinkel µ : µ bSektor = 2rπ 360°

Fläche eines Kreisessektors mit Radius r und Mittelpunktswinkel µ: µ r²π ASektor = 360°

Aufgaben: Lösungsidee: Trage das gleichseitige Dreieck mit Seitenlänge 4a ein (Innenwinkel: 60°!).

U = 2πa + 2b60° =

14 πa 3

Höhe im gleichseitigen Dreieck hier: h =

1 3 ⋅ 4a 2

 19  A = AKreis + 2 ⋅ ASektor − ADreieck = a2  π − 4 3  3 

2 Die Kugel Berechne jeweils den Durchmesser einer Kugel mit

a) d = 15,9 cm

625 cm²

b) d = 2 ⋅ c) d = 2 ⋅

4π 3

= 14,1 cm

3 ⋅ 900 cm³ 4π

d) Mit 1,2 ⋅ 512 cm³ =

= 12,0 cm

4 r³π gilt: d = 10,5 cm 3

3 Sinus-; Kosinus- und Tangenswerte für beliebige Winkel 1. Zurückführung auf den I. Quadranten Berechne durch Zurückführung auf spitze Winkel. a) 1110°= 3·360°+30° sin 1110°=0,5

b) 1140°= 3·360°+60° cos 1140°=0,5

c) 1485°= 4·360°+45° tan 1485°=1

d) 765°=2·360°+45° 1 sin 765°= 2 2

e) 1110°= 4·360°+60° tan 1500°= 3

2. Gleichungen Bestimme sämtliche Lösungen für 0° ≤ φ 0; a

≠ 1)

In jedem Koordinatensystem findest du zwei Funktionen aus einer „Funktionsfamilie“. Erläutere nun, wie der eine Graph aus dem anderen Graphen hervorgeht, und bestimme die Gleichungen der zugehörigen Funktionen.

a)

b) y

y

x

0

rot: f(x) = 2x

0

rot: f(x) = 4x x

schwarz: f(x) = -2 – 1

1 schwarz: f(x) = −   4

Spieglung an der x-Achse und Verschiebung um 1 nach unten

Spiegelung an der x- und der y-Achse

x

7.2 Der Logarithmus 1. Fasse zusammen und vereinfache – falls möglich. b) log2 x

a) 1

c) 0

d) 0

2. Drücke durch einen einzigen Logarithmusterm aus.

a) log6

d) log2

ab c

m3 n4

b) log2

e) log2

m np

m2 n2

c) log2 (m5 n2)

f) log6

a 2b 3 c4

x

8 Funktionen Aufgaben zur Polynomdivision

(a) (x3 – x2 – 4x + 4) : (x – 1) = x² - 4 (b) (x3 + 3x2 – 4) : (x2 + x – 2) = x + 2 (c) (4x2 + 4x + 1) : (6x + 3) = (d) (– 4x3 + 8x2 + 23x) : (9x2 – 18x + 9) = − 49 x +

3x ( x − 1) 2

(e) (15x3 – 3x + 5x4 – 11x2 + 2) : (5x2 – 1) = x² + 3x - 2 (f) (x5 – 1) : (x – 1) = x4 + x³ + x² + x + 1 (g) (2x3 – x2) : (x3 + x2) = 2 −

3 x +1

Grober Verlauf des Graphen ganzrationaler Funktionen Lösung I: f(x) = x3 - 16x a) D = IR b) SP mit der y-Achse: x = 0; Sy(0/0) SP mit der x-Achse = Nullstellen (NST): N1(0/0); N2(-4/0); N3(4/0) einfache NST c) lim f(x) = +∞ und lim f(x) = -∞ x → +∞

x → −∞

d)

-4

4

Lösung II: f(x) = x3 - 6x2 + 9x a) D = IR b) SP mit der y-Achse: x = 0; Sy(0/0) SP mit der x-Achse = Nullstellen (NST): N1(0/0) einfache NST;

3

c)

N2(3/0) doppelte NST lim f(x) = +∞ und lim f(x) = -∞ x → +∞

x → −∞

d) siehe Skizze Lösung III: f(x) = x3 - 2x2 - 5x + 6 a) D = IR b) SP mit der y-Achse: x = 0; Sy(0/6) SP mit der x-Achse = Nullstellen (NST): N1(-2/0); N2(1/0); N3(3/0) einfache NST c) lim f(x) = +∞ und lim f(x) = -∞ x → +∞

x → −∞

d) siehe Skizze Lösung IV: f(x) = x5 – x4 – 13x3 + 13x2 + 36x – 36 a) D = IR b) SP mit der y-Achse: x = 0; Sy(0/-36) SP mit der x-Achse = Nullstellen (NST): N1(-6/0); N2(-4/0); N3(2/0); N4(4/0); N5(6/0) einfache NST c) lim f(x) = +∞ und lim f(x) = -∞ x → +∞

x → −∞

d) siehe Skizze

9 Der Grenzwert oder das Verhalten im „Unendlichen“ Bestimme für die folgenden Funktionen das Grenzverhalten für x → ±∞ . a)

f(x) = 2 +

3 x

b)

lim f(x) = 2

x → −∞

lim f(x) = 2

x → +∞

d)

f(x) = (3x + 1) ⋅ cos x

e)

lim f(x) = - ∞ lim f(x) = ∞ sin x x³

lim f(x) = 0

x → −∞

lim f(x) = 0

x → +∞

3

−x

2

lim f(x) = ∞

x → +∞

f)

2x² x+1

lim f(x) = - ∞

x → −∞

lim f(x) = ∞

x → +∞

f(x) =

6x − 1 4x² + 2

lim f(x) = 0

x → −∞

lim f(x) = ∞

f(x) =

x

lim f(x) = 0

lim f(x) = 0

x → +∞

h)

f(x) = 3 ⋅ 2 x → −∞

x → −∞

x → +∞

f(x) =

f(x) = x

c)

lim f(x) = - ∞

x → −∞

g)

−2x + 3 3x + 5 −2 lim f(x) = x → −∞ 3 −2 lim f(x) = x → +∞ 3

f(x) =

x → +∞

i)

f(x) =

8x² − x 4x² + 2x

lim f(x) = 2

x → −∞

lim f(x) = 2

x → +∞