GRUNDWISSEN MATHEMATIK 10. JAHRGANGSSTUFE (G8) I. KREIS UND KUGEL KREISSEKTOR UND BOGENMAß b

Für einen Kreissektor mit Radius r und Mittelpunktswinkel  gilt:  Bogenlänge: b  360  2 r  Flächeninhalt: Der Quotient

b r

A

 360



 r 2   12 br

r



r

hängt nur von  ab und heißt Bogenmaß des Winkels .

Bezeichnet man mit  den Winkel im Gradmaß und mit x denselben Winkel im Bogenmaß, so gelten folgende Umrechnungen:  x  360  2 ;   2x  360  Beispiele: 1.) Bestimme Radius und Flächeninhalt eines Kreissektors mit Bogenlänge 8cm und Mittelpunktswinkel 120°.  b  360 8cm  360 12 b  2 r  r    cm  3,82cm 360 120  2   2  2

 120  12 48 2   r 2    cm     cm  15,28cm 2 A 360 360     2.) Einige Winkel im Gradmaß () und im Bogenmaß (x): 0° 30° 45° 60° 90° 180°  1 1 1 1  0 x 6 4 3 2

270° 3  2

360° 2

VOLUMEN UND OBERFLÄCHENINHALT DER KUGEL Für eine Kugel mit Radius r gilt: V  43 r 3  Volumen: Oberflächeninhalt:

r

S  4r  2

Beispiel: Gib das Volumen und den Oberflächeninhalt des abgebildeten Körpers in Abhängigkeit von r an. Der Körper setzt sich aus einem Zylinder mit Radius r und Höhe r und einer Halbkugel vom Radius r zusammen: V  VZylinder  VHalbkugel  r 2   r  12  43 r 3   53 r 3  Die Oberfläche besteht aus einem Kreis (Grundfläche), der Mantelfläche des Zylinders und der Oberfläche der Halbkugel: S  AKreis  M Zylinder  S Halbkugel  r 2   2r  r  12  4r 2   5r 2 

r r

2r

II. TRIGONOMETRIE SINUS UND KOSINUS AM EINHEITSKREIS Sei P(x|y) ein Punkt auf dem Einheitskreis und  der Winkel mit der positiven x-Achse als erstem und der Halbgeraden [OP als zweitem Schenkel. Man definiert: sin  : y ; cos  : x y 1

y P(x|y)

0° <  < 90°: sin  > 0 cos  > 0

 cos 

–1

P 90° <  < 180°:

sin 

sin  > 0 cos  < 0

1 x

sin 

 cos 

x

–1 y

y

180° <  < 270°: sin  < 0 cos  < 0

270° <  < 360°:

cos  

sin  < 0 cos  > 0

x

sin 



cos 

x sin  P

P

TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN Um die Sinus- und Kosinusfunktion auch für Winkel kleiner als 0 (Drehung im Uhrzeigersinn) und größer als 2 (mehr als eine vollständige Drehung im Gegenuhrzeigersinn) definieren zu können, legt man fest: sin( x  k  2) : sin x und cos( x  k  2) : cos x für k  ZZ sin(  k  360) : sin  und cos(  k  360) : cos  für k  ZZ Die folgende Abbildung zeigt die Graphen der Funktionen sin: x  sin x und cos: x  cos x. y 1

Gsin

O  Gcos -1

x

Den Graphen oder den Abbildungen am Einheitskreis entnimmt man folgende Zusammenhänge: sin x  sin(  x) ; sin( x)   sin x cos x  cos(2  x) ; cos( x)  cos x

Beispiel: Bestimme alle x  [–2 ], für die gilt: sin x 

1 2

Am Graphen lässt sich erkennen, dass es vier Lösungen gibt: y 1 O

– x4

-1

x3

x1

x

x2

Der Taschenrechner liefert mit 30° die kleinste positive Lösung, also: x1  16  Für die weiteren Lösungen ergibt sich (siehe Graph): x2    16   56  x3     16    76  x4  2  16    116 

DIE ALLGEMEINE SINUSFUNKTION Die Funktion x  a  sin(b  x  c)  a  sin b  ( x  bc ) mit a  0, b  0 und x  IR heißt allgemeine Sinusfunktion. |a| heißt Amplitude,

2 b

heißt Periode.

Ihr Graph entsteht aus dem Graphen der Sinusfunktion x  sin x durch folgende Schritte: 1. Strecken in x-Richtung mit dem Faktor 1b . 2. Verschieben in x-Richtung um | bc | nach links (c > 0) bzw. nach rechts (c < 0). 3. Strecken bzw. Stauchen in y-Richtung mit dem Faktor |a|. 4. Falls a < 0: Spiegeln an der x-Achse. Beispiel: Zeichne den Graphen der Funktion x  2 sin( 32 x  12 ) im Bereich [–; 2]. y 1

1. Schritt: Strecken in x-Richtung mit dem Faktor 23

O  x -1 y 1

2. Schritt: Verschieben in x-Richtung um | bc | 3 nach rechts (c < 0)

O  x -1 y 2

3. Schritt: Strecken in y-Richtung mit dem Faktor 2

1 O  x -1 -2

III. EXPONENTIALFUNKTION UND LOGARITHMUS

DIE EXPONENTIALFUNKTION Die Funktion x  b  a x mit b  0, a > 0 und a  1 heißt Exponentialfunktion. Ist b > 0, so steigt ihr Graph für a > 1 und fällt für 0 < a < 1. Es gilt stets: 1. Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|b): f(0) = b 2. Erhöht man x um 1, so wird der Funktionswert a mal so groß: f(x+1) = af(x)

x  2 1 2

x

 12

2

y 4

y 4

2

-3

-2

2

1

-1

O

x

3

3 2

x  12  12 

 12

2

2 1

1

2

3 x

-3

Beispiel 1: Auf der Erdoberfläche beträgt der Luftdruck circa 1000hPa (Hektopascal). Pro Kilometer Höhenzunahme verringert sich der Luftdruck um etwa 12%. Gib eine Funktion der Form x  b  a x an, die die Abnahme des Luftdrucks mit der Höhe beschreibt. Dabei sei x die Höhe in km und f(x) der Luftdruck in hPa. Offensichtlich ist b = 1000, da auf der Erdoberfläche (x = 0) der Druck 1000hPa herrscht. Erhöht man x um 1, so fällt der Luftdruck auf 88% seines vorigen Wertes. Also ist a = 0,88. Die gesuchte Funktion lautet: x  1000  0,88 x

-2

-1

O

1

2

3 x

y 1000 800 600 400 200 O

2

4

6

8

10 x

Beispiel 2: Bestimme a und b so, dass der Graph der Funktion x  b  a x durch die Punkte (2|12) und (5|40,5) verläuft. Gleichungssystem: I) 12  b  a 2

 b  12 in (II) a2

II) 40,5  b  a 5  a5 II’) 40,5  12 a2

 40,5  12  a 3

b  12  112  5, 3 a2 ,52

Die Funktion lautet x  5, 3  1,5 x .

 a 3  3,375  a  1,5

DER LOGARITHMUS Die Lösung der Gleichung a x  b mit b > 0, a > 0 und a  1 heißt Logarithmus von b zur Basis a. Schreibweise: x  log a b log a b ist also diejenige Zahl, mit der man a potenzieren muss um b zu erhalten. Zehnerlogarithmen (Logarithmen zur Basis 10) werden oft mit lg bezeichnet: log10 b  lg b Beispiel: log 5 125  3, da 53  125 Rechengesetze für Logarithmen: Es seien a, b, c > 0 und a  1. Dann gilt: 1. log a (b  c)  log a b  log a c 2. log a (b : c)  log a b  log a c 3. log a b d  d log a b 4. log a b 

lg b lg a

Beispiele: 1.) log 4 8  log 4 128  log 4 (8 128)  log 4 1024  5, denn 45  1024 2.) lg 4  lg 6  lg 3  lg(4  6)  lg 3  lg(24 : 3)  lg 8  lg 2 3  3 lg 2  0,9031 3.) log 7 35  1,8271 4.) Löse die folgende Gleichung: log 3 2 x  2  log 3 4 (x  +) log 3 2 x  2  log 3 4 |  log 3 4 log 3 2 x  log 3 4  2 log 3 24x  2 (2. Gesetz) log 3 2x  2 x 2

 32

x 2

 9 | 2

(Definition des Logarithmus)

x  18

EXPONENTIALGLEICHUNGEN Gleichungen, in denen die Variable als Exponent auftritt, heißen Exponentialgleichungen. Beispiele: 1.) Löse die folgende Gleichung: 5  32 x  2  6 x  0 (x  ) 5  32 x  2  6 x  0 | 2  6 x 5  32 x  2  6 x

| lg

lg(5  3 )  lg(2  6 x ) 2x

lg 5  lg 32 x  lg 2  lg 6 x lg 5  2 x lg 3  lg 2  x lg 6 |  x lg 6  lg 5 2 x lg 3  x lg 6  lg 2  lg 5

x(2 lg 3  lg 6)  lg 2  lg 5 |: (2 lg 3  lg 6) x

lg 2 lg 5 2 lg 3lg 6

 2,26

2.) Löse die folgende Gleichung: 32 x  30  3 x  81  0 (x  )

32 x  30  3 x  81  0 (3 x ) 2  30  3 x  81  0 | Substitution u : 3 x u 2  30u  81  0 u  30 u 3

900324 2

 30224  15  12

 u  27 | Rücksubstitution

3x  3  3 x  27 x 1  x  3

IV. VIERFELDERTAFEL; BEDINGTE WAHRSCHEINLICHKEITEN

VIERFELDERTAFEL Es seien A und B zwei Ereignisse eines Zufallsexperiments mit der Ergebnismenge . Es gelten folgende Bezeichnungen und Schreibweisen: Die Schnittmenge A  B enthält alle Elemente, die sowohl in A als auch in B enthalten sind. Die Vereinigungsmenge A  B enthält alle Elemente, die in A oder in B oder in beiden Mengen enthalten sind. Die Komplementärmenge A enthält alle Elemente, die in  aber nicht in A enthalten sind. Beispiel:  = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ; A = {2, 4, 6} ; B = {1, 6} A  B = {6} ; A  B = {1, 2, 4, 6} ; A = {1, 3, 5} Zwei Ereignisse A und B zerlegen die Ergebnismenge  in vier Teilmengen: A  B, A  B , A  B und A  B (s. Abb.) Jedes Ergebnis  gehört zu genau einer dieser vier Teilmengen. Die Anzahlen der Elemente dieser vier Mengen bzw. die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten lassen sich in einer Vierfeldertafel darstellen: B

B

A

|A  B|

|A  B |

|A|

A

| A  B|

|A  B|

|A |

|B|

|B|

||



A B

A B A B

AB B

A

B

B

A

P(A  B)

P(A  B )

P(A)

A

P( A  B)

P( A  B )

P( A )

P(B)

P( B )

P()

Beispiel: Von 250 Personen sprechen 192 Englisch (E), 117 Französisch (F) und 83 sprechen beide Sprachen. Wie viel Prozent der Personen sprechen keine der beiden Sprachen?

Vierfeldertafel: F

F

E

83

109

192

E

34

24

58

117

133

250

F

F

E

33,2%

43,6%

76,8%

E

13,6%

9,6%

23,2%

46,8%

53,2%

100%

9,6% der Personen sprechen weder Englisch noch Französisch. Die Daten einer Vierfeldertafel lassen sich auf zwei Arten in einem Baumdiagramm darstellen: 1. Möglichkeit:

P(A)

P(A)

B

P(AB)

B

P(AB)

P(B)

B

P(AB)

P(B)

B

P(AB)

A

P(AB)

A

P(AB)

P(A)

A

P(AB)

P(A)

A

P(AB)

A

A

2. Möglichkeit:

P(B)

P(B)

B

B

Beispiel: Mit den Daten aus dem vorherigen Beispiel ergeben sich folgende Baumdiagramme:

76,8%

23,2%

F

33,2%

F

43,6%

46,8%

F

13,6%

53,2%

F

9,6%

E

33,2%

E

13,6%

76,8%

E

43,6%

23,2%

E

9,6%

E

E

oder:

46,8%

53,2%

F

F

BEDINGTE WAHRSCHEINLICHKEITEN Es seien A und B zwei Ereignisse eines Zufallsexperiments mit P(A)  0. Die bedingte Wahrscheinlichkeit PA(B) ist dann die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von B, wenn A bereits eingetreten ist. B) Es gilt: PA (B)  P(AP(A) Beim zugehörigen Baumdiagramm stehen die bedingten Wahrscheinlichkeiten an den Zweigen der zweiten Stufe:

P(A)

P(A)

PA(B)

B

P(AB)

PA(B)

B

P(AB)

PA(B)

B

P(AB)

PA(B)

B

P(AB)

A

A

Beispiel: Mit den Daten aus dem vorherigen Beispiel ergibt sich das folgende Baumdiagramm:

76,8%

23,2%

Denn:

43,2%

F

33,2%

56,8%

F

43,6%

58,6%

F

13,6%

41,4%

F

9,6%

E

E

PE (F) 

P(E  F) P(E)

PE (F) 

43, 6% 76 ,8%

 56,8%

PE (F) 

13, 6% 23, 2%

 58,6%

PE (F) 

9 , 6% 23, 2%

 41,4%

, 2%  33 76 ,8%  0,432  43,2%

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person, von der man weiß, dass sie Englisch spricht, auch Französisch spricht, beträgt hier also 43,2%.

V. GANZRATIONALE FUNKTIONEN

POTENZFUNKTIONEN Die Funktion x  a  x n mit n heißt Potenzfunktion n-ten Grades. a > 0, n gerade:

a > 0, n ungerade:

-3

-2

-1

y 3

y 3

2

2

1

1

O

1

2

3 x

-3

-2

O -1

-1 -2

-1

x  0,5x x  0,5x3 x  0,5x5

-2

1

2

3 x

x  0,5x2 x  0,5x4 x  0,5x6

-3

-3

Die Graphen für a < 0 entstehen aus den Graphen mit a > 0 durch Spiegelung an der x-Achse. Beispiel: Bestimme a und n so, dass der Graph der Funktion x  a  x n durch (–2|1,6) und (3|–5,4) verläuft. Gleichungssystem: I) 1,6  a  (2) n

 a

1, 6 ( 2 ) n

in (II)

II)  5,4  a  3n II’)  5,4 

1, 6 ( 2 ) n

 3n



5, 4 1, 6

 ( 32 ) n

  3,375  (1,5) n

 1,5 n  3,375

 n  log1,5 3,375  3 a

1, 6 ( 2 )3

 0,2

Die Funktion lautet x  0,2  x 3 . GANZRATIONALE FUNKTIONEN Die Funktion x  a n x n  a n1 x n1  an2 x n2  ...  a1 x  a0 mit reellen Koeffizienten und natürlichen Exponenten heißt ganzrationale Funktion n-ten Grades. Der Funktionsterm heißt Polynom n-ten Grades. Das Verhalten einer ganzrationalen Funktion wird für betragsmäßig große x-Werte durch den Summanden mit dem höchsten Exponenten bestimmt. Beispiel:  3 x 7  1,4 x 5  10 x 2  4 ist ein Polynom 7. Grades. x  3 x 7  1,4 x 5  10 x 2  4 ist eine ganzrationale Funktion 7. Grades. Der höchste Exponent ist ungerade, der zugehörige Koeffizient negativ. Der Graph verläuft also „von links oben nach rechts unten“.

y 10 5

-2

-1

O -5 -10

1

2 x

Ist f eine ganzrationale Funktion n-ten Grades und x = a eine Nullstelle von f, also f(a) = 0, so lässt sich f(x) schreiben als: f ( x)  ( x  a)  g ( x) Dabei ist g(x) ein Polynom vom Grad n – 1. g(x) erhält man durch die Polynomdivision f ( x) : ( x  a ) . Eine ganzrationale Funktion n-ten Grades besitzt also höchstens n Nullstellen. Das Verhalten eines Graphen in der Nähe einer Nullstelle hängt von der Vielfachheit der Nullstelle ab: Ist die Nullstelle von ungerader Ordnung, findet ein Vorzeichenwechsel der Funktionswerte statt, bei Nullstellen von gerader Ordnung nicht. Beispiele: 1.) Die Funktion x  5( x  4)( x  6) 2 ( x  9) 3 besitzt eine einfache Nullstelle bei x  4 , eine doppelte Nullstelle bei x  6 und eine dreifache Nullstelle bei x  9 . 2.) Bestimme alle Nullstellen der Funktion x  3 x 3  3x 2  66 x  120 Durch systematisches Probieren findet man die Nullstelle x1 = 2. Polynomdivision: (3x3 – 3x2 – 66x + 120) : (x – 2) = 3x2 + 3x – 60 – (3x3 – 6x2) 3x2 – 66x – (3x2 – 6x) – 60x + 120 – (– 60x + 120) 0 Die weiteren Nullstellen erhält man, indem man das erhaltene Polynom gleich Null setzt: 3 x 2  3 x  60  0 |: 3 x 2  x  20  0 x  1 2180  129  x2  4; x3  5 Die Funktion lässt sich also so schreiben: x  3( x  2)( x  4)( x  5) y 3

3.) Bestimme den Funktionsterm der abgebildeten ganzrationalen Funktion f vierten Grades. Die Funktion f hat einfache Nullstellen bei x = 0 und x = 3 und eine doppelte Nullstelle bei x = –2: f ( x)  a  x  ( x  3)  ( x  2) 2 Es ist f (2)  3,2 : a  2  (2  3)  (2  2)  3,2  32a  3,2 a  0,1

Gf

2 1 -3

-2

-1

O

1

2

3

2



f ( x)  0,1x( x  3)( x  2) 2

-1 -2 -3

(2|–3,2) -4

4 x

VI. EIGENSCHAFTEN VON FUNKTIONSGRAPHEN

VERSCHIEBUNG

Gf

y 2

Es seien f und g zwei Funktionen mit g ( x)  f ( x  a )  b . Der Graph von g entsteht durch Verschieben des Graphen von f um a in xRichtung und um b in y-Richtung.

b

1

a -5

-4

-3

-2

-1

Gg

O

1

2

3 x

-1

Beispiel: f : x  4 x 2  5x  1 Bestimme den Term der Funktion g, deren Graph gegenüber dem Graphen von f um 3 nach links und 2 nach oben verschoben ist. g ( x)  f ( x  (3))  2  f ( x  3)  2  4( x  3) 2  5( x  3)  1  2  4 x 2  24 x  36  5 x  15  3   4 x 2  19 x  24

STRECKUNG Es seien f, g und h drei Funktionen mit g ( x)  f (k  x) und h( x)  k  f ( x) und es sei k  0 . Der Graph von g entsteht durch Streckung des Graphen von f in x-Richtung mit dem Faktor 1k . Der Graph von h entsteht durch Streckung des Graphen von f in y-Richtung mit dem Faktor k.

g ( x)  f (2 x)

Beispiel:

h( x )  2 f ( x )

y 2

Gg

y 2

Gf

1 -3

-2

O

-1

Gh Gf

1 1

2

3 x

-3

-2

-1

O

-1

-1

-2

-2

1

2

3 x

SPIEGELUNG Es seien f, g und h drei Funktionen mit g ( x)  f ( x) und h( x)   f ( x) . Der Graph von g entsteht durch Spiegelung des Graphen von f an der y-Achse. Der Graph von h entsteht durch Spiegelung des Graphen von f an der x-Achse.

g ( x)  f ( x)

Beispiel: Gg

h( x )   f ( x ) y

Gf

y 3

Gf

1

2 -3

1 -3

-2

-1

O

-2

-1

O

1

2

3 x

-1 1

2

3 x

-2

Gh

SYMMETRIE Es sei f eine Funktion mit der Definitionsmenge . Der Graph von f ist genau dann achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn für alle x   gilt: f ( x)  f ( x) Der Graph von f ist genau dann punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn für alle x   gilt: f ( x)   f ( x) Beispiele: 1.) f : x  x( x 3  x) f ( x)   x[( x) 3  ( x)]   x( x 3  x)  x( x 3  x)  f ( x)  Achsensymmetrie zur y-Achse 2.)

f : x  x 2 sin x f ( x)  ( x) 2 sin( x)  x 2 ( sin x)   x 2 sin x   f ( x)  Punktsymmetrie zum Ursprung

3.)

f : x  2x3  x 1 f ( x)  2( x) 3  ( x)  1  2 x 3  x  1  Keine Symmetrie zum Koordinatensystem

Eine ganzrationale Funktion heißt gerade (ungerade), wenn im Funktionsterm nur x-Potenzen mit geraden (ungeraden) Exponenten auftreten. Die Graphen von geraden Funktionen sind achsensymmetrisch zur y-Achse. Die Graphen von ungeraden Funktionen sind punktsymmetrisch zum Ursprung. Beispiele: 1.) f ( x)  4 x 8  3x 2  2  4 x 8  3 x 2  2 x 0

 Achsensymmetrie zur y-Achse

2.)

f ( x)  3 x 7  16 x 3  4 x  3 x 7  16 x 3  4 x1

3.)

f ( x )   x 3  4 x  8   x 3  4 x1  8 x 0

 Punktsymmetrie zum Ursprung

 Keine Symmetrie zum Koordinatensystem

VII. GRENZWERTE IM UNENDLICHEN

Kommen die Funktionswerte f(x) einer Funktion f für beliebig groß werdende x-Werte einem Wert a beliebig nahe, so heißt a Grenzwert der Funktion f für x gegen unendlich. Entsprechendes gilt für den Grenzwert für x gegen minus unendlich. Schreibweisen: lim f ( x)  a bzw. lim f ( x)  a x 

x  

Die Gerade y = a ist waagrechte Asymptote von Gf.

lim f ( x)  a

lim f ( x)  a

x 

x 

y

y

a

a x x

Wachsen die Funktionswerte f(x) einer Funktion f für wachsende x über alle Grenzen, so existiert zwar kein Grenzwert für x   , jedoch verwendet man die Schreibweise lim f ( x)   . x 

Entsprechendes gilt für lim f ( x)   , lim f ( x)   und lim f ( x)   . x 

x 

Es existiert kein Grenzwert. Man schreibt: lim f ( x)   und lim f ( x)   x 

x 

x 

Es existiert kein Grenzwert. y

y

x

x

Besitzt eine Funktion für x   oder für x   einen Grenzwert, so heißt sie dort konvergent. Ansonsten heißt die Funktion dort divergent. Beispiele: Bestimme, falls möglich, für die folgenden Funktionen die Grenzwerte für x   und x   . 4x 1 1.) f : x  2x  3 2.) g : x  x 5  3 x 4  x  4 3.) h : x  2 sin x

1.)

4 x  1 x(4  1x ) 4  1x   2 x  3 x(2  3x ) 2  3x Für x   nähern sich 1x und 40 lim f ( x)  lim f ( x)  2 x  x   20 f ( x) 

3 x

dem Wert Null an. Daher gilt:

2.) g ( x)  x 5  3 x 4  x  4 Der Funktionsgraph verläuft „von links unten nach rechts oben“. Es existieren keine Grenzwerte für x   . Man schreibt: lim g ( x)   ; lim g ( x)   x 

x 

3.) h( x)  2 sin x Die Funktionswerte schwanken zwischen –2 und 2. Es existieren keine Grenzwerte für x   .