Grundlagen der Elektrotechnik: Kapitel 3

Grundlagen der Elektrotechnik Kapitel 3: Wichtige Schaltungen der Elektrotechnik 3 3.1 3.2 3.2.1 3.2.2 3.3 3.4

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Wichtige Schaltungen der Elektrotechnik Belasteter Spannungsteiler Messschaltungen Wheatstone-Messbrücke Kompensationsschaltung Stern-Dreiecktransformation Aufgaben

3-1

2 2 4 4 6 7 8

Grundlagen der Elektrotechnik: Kapitel 3 3.

Wichtige Schaltungen der Elektrotechnik

An dieser Stelle sollen Schaltungsvarianten mit einer besonderen Bedeutung in der Elektrotechnik behandelt werden. Dabei handelt es sich um Grundschaltungen, die für besondere Anwendungen entwickelt wurden, wie z. B. die Messtechnik. 3.1

Belasteter Spannungsteiler

Die für den unbelasteten Spannungsteiler geltenden Zusammenhänge wurden bereits angegeben. Diese Schaltung wird eingesetzt, wenn die Versorgungsspannung eines Systems größer als die Nennspannung des anzuschließenden Verbrauchers ist. Der Spannungsteiler wird dann häufig als Widerstand mit variablem Abgriff ausgeführt. An einen Festanschluss und den variablen Abgriff wird dann der Verbraucher angeschlossen (Abbildung 3.1.1). I1

U1 R1 U

IL R R2

RL

UL

U2 I2

Abbildung 3.1.1: Variabler Spannungsteiler mit angeschlossenem Verbraucher Über den veränderlichen Spannungsteiler kann nun die Lastspannung UL eingestellt werden. Setzt man die Spannungsteilerregel an, muss die Parallelschaltung des Teilwiderstandes R2 mit dem Lastwiderstand RL beachtet werden. Gleichung 3.1.1 R2 || R L UL U2 U  R1  ( R2 || RL ) Bildet man das Spannungsverhältnis U2 zu U ergibt sich Gleichung 3.1.2 Gleichung 3.1.2 R2  R L U2 R2  R L R2  R L   R2  R L U R1  ( R2  R L )  R2  R L R1  R2  R L Da die Werte für R1 und R2 meist nicht direkt bekannt sind, sondern oftmals über die Schleiferstellung ermittelt werden müssen, ist es sinnvoll, sie durch Ausdrücke von R zu ersetzen. Dabei soll angenommen werden, dass es sich bei dem Widerstand R um einen Widerstand mit verstellbarem Mittelabgriff handelt (Abbildung 3.1.2). Es gilt dann Gleichung 3.1.3. R2    R mit  [0..1] und R1  R  R2  R  (1   ) Gleichung 3.1.3 Es folgt daher für Gleichung 3.1.2:

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Grundlagen der Elektrotechnik: Kapitel 3

Schleiferstellung  Endstellung =1

R1

R2

Anfangsstellung =0

R

Abbildung 3.1.2: Widerstand mit Mittelabgriff

U2   R  RL   R  RL   2 2 U R  (1   )  (  R  RL )    R  RL   R  R  RL    R 2    R  RL    R  RL Gleichung 3.1.4 U2   RL   RL   2 U   R    R  RL   R  (1   )  RL Damit lässt sich der Laststrom ermitteln. U U  Gleichung 3.1.5 IL  2  R L   R  (1   )  R L Damit lassen sich Grenzwertbetrachtungen für die Schleiferstellungen =0 und =1 anstellen. U Gleichung 3.1.6   0  I L  0 und   1  I L  RL Dies stimmt mit den in Abbildung 3.1.1 dargestellten Verhältnissen überein. Es kann weiterhin aus Gleichung 3.1.4 ein Kennlinienfeld für den Laststrom in Abhängigkeit von Schleiferstellung und Lastwiderstand entwickelt werden (Abbildung 3.1.3). Die Kurven weisen eine deutliche Krümmung auf. Je kleiner der Lastwiderstand im Verhältnis zum Schleifwiderstand R wird, desto stärker wird die Krümmung. Für einen Widerstand von RL gegen unendlich ergibt sich aus Gleichung 3.1.4:

U2/U, 1 IL/ILmax

unbelastet R=RL

R=10RL

RL

0 0

1



Abbildung 3.1.3: Kennlinienfeld des belasteten Spannungsteilers

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Grundlagen der Elektrotechnik: Kapitel 3 U2  U Für RL=0 ergibt sich U2=0.

3.2

Gleichung 3.1.7

Messschaltungen

Zur Bestimmung eines ohmschen Widerstands können ein Amperemeter und ein Voltmeter verwendet werden. Misst man den Strom durch den Widerstand und den Spannungsabfall am Widerstand, kann der Widerstandswert nach dem ohmschen Gesetz berechnet werden. Als Messschaltung kommen die in Abbildung 3.2.1 angegebenen Schaltungen in Frage. a)

b) V R

V R

IR

A

IR

A

UR

UR

Abbildung 3.2.1: Messschaltungen zur Bestimmung eines ohmschen Widerstands Beide Schaltungen sind mit einem prinzipiellen Messfehler behaftet. Da ein ideales Amperemeter einen Innenwiderstand von Null Ohm hat und das Messergebnis nicht beeinflusst, hat ein reales Amperemeter sehr wohl einen messbaren Innenwiderstand. Ein idealer Spannungsmesser hat hingegen einen Innenwiderstand von Unendlich, ein realer jedoch einen endlichen. Bei Schaltung a) wird daher zum Widerstandsstrom vom Amperemeter der Strom durch den Spannungsmesser addiert. Die Spannung wird korrekt gemessen. Die Schaltung wird daher als spannungsrichtig bezeichnet. Im Fall b) wird vom Spannungsmesser der Spannungsabfall am Amperemeter mit gemessen. Der Strom wird korrekt angegeben. Entsprechen wird die Schaltung auch als stromrichtig bezeichnet. 3.2.1 Wheatstone-Messbrücke Um diese prinzipiellen Fehler bei der Bestimmung von Widerständen zu vermeiden, wurden Messbrücken entwickelt. Sie bilden einen doppelten Spannungsteiler. Der prinzipielle Aufbau der Wheatstone-Messbrücke ist in Abbildung 3.2.1.1 dargestellt. Dabei handelt es sich um zwei parallel geschaltete Spannungsteiler. Die Widerstände des Spannungsteilers sind dabei so zu bemessen, dass der Stromfluss durch das Amperemeter zu Null wird. Ist dies der Fall, teilt sich bei beiden Spannungsteilern die Versorgungsspannung im gleichen Verhältnis auf die Widerstände auf. Es gilt dann Gleichung 3.2.1.1. Gleichung 3.2.1.1 R3 R1 U 3  U1  U  U  R1  R2 R3  R4 Ebenso muß Gleichung 3.2.1.2 Gültigkeit haben. Gleichung 3.2.1.2 R2 R4 U4  U2  U  U  R1  R2 R3  R4 Bildet man daraus den Quotienten der Spannungsabfälle, erhält man die Abgleichbedingung (Gleichung 3.2.1.3). 14.10.2014

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Grundlagen der Elektrotechnik: Kapitel 3

I

I3

I1 U1

R1

R3

U3

A

U

I4

I2 U2

R2

R4

U4

Abbildung 3.2.1.1: Wheatstone-Messbrücke

U 1 U 3 R1 R3 Gleichung 3.2.1.3    U 2 U 4 R2 R4 Wie der Spannungsteiler kann diese Messbrücke mit einem Schleifdrahtwiderstand realisiert werden, der die Kombination R1 und R2 ersetzt. Der Widerstand R3 wird weiterhin durch einen Normwiderstand RN mit hoher Langzeitkonstanz und vernachlässigbarer Temperaturabhängigkeit ersetzt. An Stelle des Widerstands R4 wird der unbekannte, auszumessende Widerstand RX eingesetzt. Das Verhältnis von R1 und R2 wird dabei über den Mittelabgriff solange geändert, bis der Amperemeter keinen Stromfluss mehr anzeigt. Über die Einstellung am Schleifdraht kann dann der unbekannte widerstand mit Hilfe des bekannten Normwiderstands berechnet werden. Abbildung 3.2.1.2 zeigt das Prinzipbild der Messbrücke. Der unbekannte Widerstand berechnet sich dann nach Gleichung 3.2.1.4.

IN

I

U1 U

A

R

U2

RN

UN

R1

IX R2

UX

RX

Abbildung 3.2.1.2: Realisierungsform der Wheatstone-Meßbrücke 14.10.2014

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Grundlagen der Elektrotechnik: Kapitel 3 Gleichung 3.2.1.4

R  R1 R3 R  (1   ) RN     RX  N R2 R4 R  RX 1  3.2.2 Kompensationsschaltung

Eine Messschaltung zur genauen Bestimmung von Spannungen bildet die Kompensationsschaltung (Abbildung 3.2.2.1). Der Strom IA kann mittels zweier Maschenumläufe bestimmt werden.

I

U1 U

R1 A

R

U2

UA

RA

IA

R2

UX

Abbildung 3.2.2.1: Schaltung zur Spannungsmessung Gleichung 3.2.2.1 U  U 2  U 1  0  U  R2   I  I A   R1  I  0 Daraus ergibt sich: U  R2  I  R2  I A  R1  I  0 Der zweite Maschenumlauf ergibt: Gleichung 3.2.2.2 U X  U 2  U A  0  U X  R2   I  I A   R A  I A  0 Aus dem ersten Maschenumlauf (Gleichung 3.2.2.1) folgt die Bestimmungsgleichung für den Strom I. U  R2  I A Gleichung 3.2.2.3 I R1  R2 Setzt man dies in Gleichung 3.2.2.2 ein, ergibt sich:  U  R2  I A   R1  R2   I A    RA  I A  0 U X  R2    R  R 1 2   Werden alle Ausdrücke gleichnamig gemacht, ergibt sich:  R1  R2   U X  R2  U  R22  I A  I A  R1  R2  I A  R22  I A  R1  R A  I A  R A  R2  0 Für den Strom IA ergibt sich daraus Gleichung 3.13. R U  R U X Gleichung 3.2.2.4 IA  2 R1  R2  R A  R Für den Fall, dass IA=0 gilt, liegt ein unbelasteter Spannungsteiler vor mit den entsprechenden Zusammenhängen. 14.10.2014

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Grundlagen der Elektrotechnik: Kapitel 3 3.3

Stern-Dreiecktransformation (nur Elektrotechnik)

Für den Fall einer unabgeglichenen Messbrücke (Abbildung 3.3.1) ist es notwendig den Strom I2 zu bestimmen, um den unbekannten Widerstand R4 zu ermitteln. Betrachtet man die Schaltung genau, ist ersichtlich, dass sie mit Strom- und Spannungsteilerregel nicht berechenbar ist. Gelänge es, eine der Beiden Dreieckschaltungen in eine Sternschaltung umzuwandeln, sind wieder die Gesetze von Strom- und Spannungsteiler anwendbar. Für diese Umwandlung gelten Gleichungen 3.3.1 bis 3.3.3.

I

U1

R1

R3

U3 R2

I1

I3

I2

U U2 U5

R5

R4

U4

I5

I4

Abbildung 3.3.1: Unabgeglichene Messbrücke

R2  R3 R1  R2  R3 R1  R3 R2*  R1  R2  R3 R1  R2 R3*  R1  R2  R3 Für den umgekehrten Transformationsweg gelten Gleichungen 3.3.4 bis 3.3.6 R2*  R3* * * R1  R2  R3  R1*

Gleichung 3.3.1

R1*  R3* R2  R  R  R2*

Gleichung 3.3.5

R1* 

* 1

* 3

Gleichung 3.3.2 Gleichung 3.3.3

Gleichung 3.3.4

Gleichung 3.3.6 R1*  R2* R3  R  R  R3* Die Transformation wird nach der in Abbildung 3.3.2 dargestellten Anordnung durchgeführt. Die zu den Konten A, B und C fließenden Ströme bleiben dabei in Größe und Richtung erhalten. * 1

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* 2

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Grundlagen der Elektrotechnik: Kapitel 3

IA

A

IA A

U1

R1

U3

*

R3

U2 *

R2 B IB

R3 C

U2

IC

*

R1 C

B *

U3

IB

Abbildung 3.3.2: Stern-Dreiecktransformation

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*

R2

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*

U1

IC

Grundlagen der Elektrotechnik: Kapitel 3 3.4

Aufgaben

Aufgabe 3.4.1 Bestimmen Sie die Verlustleistung eines belasteten Spannungsteilers in Abhängigkeit vom Schleifwiderstand R, der Schleiferstellung  und dem Lastwiderstand RL. Aufgabe 3.4.2 Gegeben ist der in Abbildung 3.4.2.1 dargestellte Spannungsteiler. Bestimmen Sie den Laststrom IL und die Lastspannung UL zunächst allgemein (Formel) und als Zahlenwert. U=100V R=20 RL=40

R

R R

U

RL

UL

IL Abbildung 3.4.2.1: Spannungsteiler zu 3.4.2 Aufgabe 3.4.3 Gegeben ist ein belasteter Spannungsteiler (Abbildung 3.4.3.1). Der Spannungsteiler arbeitet auf einen nichtlinearen Widerstand mit der in Abbildung 3.4.3.2 dargestellten Kennlinie. Die Spannung U beträgt 20V, der Widerstand R hat einen Wert von 8 und die Schleiferstellung beträgt =0,5. Bestimmen Sie den Laststrom IL und die Spannung UL.

I

U

IL R RL

UL

Abbildung 3.4.3.1: Belasteter Spannungsteiler

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Grundlagen der Elektrotechnik: Kapitel 3

I/A 6 5 4 3 2 1 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

U/V

Abbildung 3.4.3.2: Widerstandskennlinie von RL in Aufgabe 3.4.3 Aufgabe 3.4.4 (nur Elektrotechnik) Weisen Sie die Richtigkeit der Transformationsvorschrift für die Widerstände bei DreieckSterntransformation nach. Aufgabe 3.4.5 Die Messschaltung zur Spannungsbestimmung mittels Kompensation befindet sich im abgeglichenem Zustand. Der Wert für  ist dann 0,5. Der Widerstand RA beträgt die Hälfte des Schleifwiderstandes. Die unbekannte Spannungsquelle UX wird nun umgepolt. Bestimmen Sie den Strom durch RA.

I U1 U

R1

UA A

R

U2

RA

IA

R1

UX

Abbildung 3.4.5.1: Abgeglichene Schaltung Aufgabe 3.4.6 Gegeben ist die Schaltung in Abbildung 3.4.6.1. Der markierte Schaltungsteil soll in eine Dreieckschaltung umgewandelt werden. Bestimmen Sie dazu den Querwiderstand in der resultierende Brückenschaltung, den Strom durch diesen Widerstand und den Spannungsabfall. 14.10.2014

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Grundlagen der Elektrotechnik: Kapitel 3

A IA U1

2R

R U

2R C

B U2

IB U3

U4

2R

U5

Abbildung 3.4.6.1: Umzuformende Schaltung

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IC

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R