Grundlagen der Elektrotechnik 3 Kapitel 7 Operationsverstärker

Prof. Dr.-Ing. I. Willms

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7.1 Eigenschaften von Operationsverstärkern – Verstärker ist ein wesentlicher Bestandteil vieler elektronischer Geräte – Signalverstärkung wird häufig mit Hilfe des Operationsverstärkers realisiert – Dies ist durch integrierten Halbleiterschaltungen seit vielen Jahren möglich geworden – Operationsverstärker (OP‘s) sind genügend preiswert herzustellen – Sie finden einem sehr breiten Anwendungsbereich – Die Bezeichnung Operationsverstärker stammt aus der Analog-Rechentechnik – Die Anwendungen gehen über den Rahmen von Rechenoperationen weit hinaus Schaltsymbol eines OP (ohne Spannungsversorgungs-Anschlüsse):

P



A

N Prof. Dr.-Ing. I. Willms



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7.1 Eigenschaften von Operationsverstärkern Geeignete äußere Beschaltungen eines Operationsverstärkers erlaubt die Realisierung nahezu jeder gewünschten Übertragungseigenschaft! Das Schaltungsdesign mittels OP‘s ist vergleichsweise einfach! Dies ergibt eine universelle Einsatzfähigkeit dieser Bauelemente Die Beschaltungen beinhalten fast immer Rückkopplungen, meist Gegenkopplungen. Damit die Eigenschaften eines so aufgebauten Verstärkers möglichst nur von der äußeren Beschaltung abhängen, müssen an den OP einige Anforderungen gestellt werden. Eigenschaften eines „idealen Operationsverstärkers“: - Unendlich hohe Differenz-Spannungsverstärkung - Unendlich hoher Eingangswiderstand - Verschwindend geringer Ausgangswiderstand Den „idealen OP“ gibt es in der Praxis natürlich nicht. Abhängig z.B. vom Frequenzbereich kommen moderne Bauelemente diesem Ideal aber schon recht nahe! Prof. Dr.-Ing. I. Willms

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7.1 Eigenschaften von Operationsverstärkern Ein Operationsverstärkers ist im wesentlichen ein Differenzverstärker. Steigt die Spannung am nicht-invertierenden Eingang P relativ zum invertierenden Eingang N an, so nimmt auch die Spannung am Ausgang A zu. Reale OP‘s weisen häufig weitere Anschlüsse auf: - Positive und negative Betriebsspannung (incl. Masse). - Weitere Anschlüsse zur Korrektur des Frequenzganges der Leerlaufverstärkung - Zur Verbesserung der Stabilität - Zur Nullpunkteinstellung (Kompensation von Offset-Strömen/Spannungen)

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7.1 Eigenschaften von Operationsverstärkern Die Eingangsspannungs-Ausgangsspannungs-Kennlinie eines Operationsverstarkers ändert sich nahezu linear mit der Eingangsspannung UD= UP-UN. Wie bei jedem aktiven Bauelement ist jedoch die Aussteuerfähigkeit begrenzt. Bei größerer Aussteuerung mündet die Kennlinie in die Sättigungswerte. Der Verstärker wird also übersteuert. Der maximale Aussteuerbereich ist immer etwas kleiner (Größenordnung 2 V) als die Summe von positiver und negativer Versorgungsspannung. UA

U Amax +10V

 UP

UD

 UN

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-0.1mV

+0.1mV U D = U P -U N

UA -10V U Amin

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7.1.1. Wechselstromeigenschaften Mit Hilfe eines Ersatzschaltbildes können die wichtigsten Wechselstromeigenschaften eines Operationsverstarkers beschrieben werden. Kleine Buchstaben mit kleinen Indizes bezeichnen Wechselstromkomponenten, also Signale. Komplexe Größen sind durch Unterstreichen gekennzeichnet.

ip



Za

ud

AC-Ersatzschaltbild des OP

Z ds

in

up

Z ps



~ ua 0

Z ns

un

ua

up

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7.1.1. Wechselstromeigenschaften Wie beim Differenzverstärker gilt:

ud  u p  un

(7.1-1)

Den Mittelwert der Eingangsspannungen nennt man auch Gleichtakt-Eingangsspannung:

u gl  Für die Ströme gilt: id 

u p  un 2

i p  in 2

i gl  i p  i n

(7.1-2)

Differenz-Eingangsstrom

(7.1-3)

Gleichtakt-Eingangsstrom

(7.1-4)

Die Ausgangs-Wechselspannung u a hängt im wesentlichen von der Differenz-Eingangsspannung u d ab, jedoch hat auch die Gleichtakt-Eingangsspannung u gl einen nicht immer zu vemachlässigenden Einfluß auf die Ausgangsspannung. Man muß daher zwischen zwei verschiedenen Verstärkungen unterscheiden. Prof. Dr.-Ing. I. Willms

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7.1.1. Wechselstromeigenschaften vd 

ua ud

mit

u gl  0

(7.1-5)

ist die Differenz-Spannungsverstärkung. Die Gleichtaktverstärkung ist wie folgt definiert:

ua v gl  u gl

mit

ud  0

(7.1-6)

Beide Definitionen gelten bei einem bestimmten Ruhepunkt und einer bestimmten Last. Eine wichtige Kenngröße bei Operationsverstärkern ist die Differenz-Spannungsverstärkung ohne äußere Last:

vd

Z L 

v

(7.1-7)

Diese Größe wird auch offene Spannungsverstärkung (Open Loop Gain) genannt.

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7.1.2. Gleichstrom-Eigenschaften Die bisher erläuterten Kenngrößen für Wechselstrom sind konstant, solange man sich im linearen Arbeitsbereich des Operationsverstärkers befindet. Durch praktisch immer vorhandene Unsymmetrien in der Eingangsstufe (Differenzverstärker) erhält man zusätzliche Fehler, welche außerdem temperaturabhängig sind. a) Gleichstrom-Ersatzschaltbild, b) Kompensation der Eingangsfehler



P = R1

2I B

U

P’ 0A 0A N’

IP

0V

P 



N

= VU d

=

D

U0

=

IN

Ud

rd

R2 U0

IB

=

I0 2

=

ra

=

IB

A Ua

U0

N



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Ua  0

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7.1.2. Gleichstrom-Eigenschaften Beim realen Operationsverstarker ist die Ausgangsspannung UA auch dann nicht Null, wenn Up= UN= 0 ist. Man definiert eine Offsetspannung U0 als die Spannungsdifferenz, die zwischen den beiden Eingängen liegen muß, damit UA = 0 wird: (7.1-12) UA  0 bei Die Offsetspannung läßt sich im Operationsverstärker selbst oder in einer externen Schaltung kompensieren. Störend macht sich dann nur noch die Offsetspannungsdrift bemerkbar:

U0  U P U N

U 0 ( , t , U B ) 

U 0  U 0 t U 0 U B

U 0 U 0 U 0   t  U B  t U B

U0  U N  0

ist der Temperaturkoeffizient (Typische Werte: 1...100µV je Grad) ist der Langzeitkoeffizient (Größenordnung: 10µV ... 1 mV je Tag) berücksichtigt den Einfluß der Betriebsspannungsschwankungen (Größenordnung: 10 µV /V ... 1 mV/V) Prof. Dr.-Ing. I. Willms

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7.1.2. Gleichstrom-Eigenschaften Weiterhin weist ein realer Operationsverstarker Eingangsruheströme auf. Sie sind durch die Basisströme der Eingangstransistoren bedingt. Ist IP der Eingangsruhestrom am nichtinvertierenden Eingang und IN der Eingangsruhestrom am invertierenden Eingang, dann gilt für den Eingangsruhestrom (input bias current): I I (7.1-13) IB  P N UA  0 bei 2 Die beiden Eingangsruhestrome sind normalerweise nicht genau gleich. Die Differenz beträgt:

I0  I P  I N

I 0  0.1I B

(7.1-14)

Diese Differenz wird Eingangsfehlstrom (Offsetstrom) genannt. In Bild auf S. 9 ist das Gleichstrom-ErsatzschaItbild eines Operationsverstarkers angegeben. Mittels der dargestellten Kompensationsschaltung erhält man einenVerstärker, dessen Eingangsfehlspannung und dessen Eingangsruheströme nahezu verschwinden. Prof. Dr.-Ing. I. Willms

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7. 2. Rückgekoppelte Operationsverstärker Rückkopplungsschaltungen lassen sich je nach Abnahme und Einspeisung des Rückkopplungssignals in vier Gruppen einteilen: Das Rückkopplungssignal kann proportional zur Ausgangsspannung (spannungsgesteuert) oder proportional zum Ausgangsstrom (stromgesteuert, eher seltene Anwendung) sein. Die Einspeisung des Rückkopplungssignals kann parallel oder in Serie zum Eingang erfolgen. Im ersten Fall summieren sich Eingangs- und Rückkopplungsstrom, im zweiten Fall Eingangs- und Rückkopplungsspannung.





ue



Z1

ue ua



iL uL

ZL

S Z0

Z0

Spannungsgesteuerte Spannungsrückkopplung Prof. Dr.-Ing. I. Willms

ZL

Stromgesteuerte Spannungsrückkopplung Grundlagen der Elektrotechnik 3 S. 12

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7. 2. Rückgekoppelte Operationsverstärker Durch Eingangs- und Ausgangsnetzwerke können die Schaltungen noch erweitert werden. Die Rückführung kann an den invertierenden oder nichtinvertierenden Eingang angeschlossen werden (Mit- oder Gegenkopplung). Welche Art der Kopplung auftritt, hängt nicht nur von der Polung der Anschlußklemmen ab von grossem Einfluss ist auch der Phasenfrequenzgang. Die Schaltungen (auf dieser und der vorigen Seite) sind so dargestellt, daß bei Verwendung von Widerständen bei tiefen Frequenzen eine Gegenkopplung auftritt. Z1

i1

Z0

ue

i0 i n

iL  

Z0

ua

ZL

Spannungsgesteuerte Stromrückkopplung Prof. Dr.-Ing. I. Willms

i0

in



uL

ZL

ue

 Stromgesteuerte Stromrückkopplung Grundlagen der Elektrotechnik 3 S. 13

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7. 2. Rückgekoppelte Operationsverstärker Spannungsgesteuerter Spannungsrückkopplung: Der durch die Widerstände Z 0 und Z 1 fließende Strom ist proportional zur Ausgangsspannung. Die am Widerstand Z 0abfallende Spannung wird in den invertierenden Eingang eingespeist. Die Eingangsspannung wird an den nichtinvertierenden Eingang gelegt. Stromgesteuerte Spannungsrückkopplung: Die an Z 0 abfallende Rückkopplungsspannung ist proportional zum Laststrom. Spannungsgesteuerter Stromrückkopplung: Der Knotenpunkt S besitzt nahezu Massepotential. Der der Ausgangsspannung proportionale Rückkopplungsstrom i1 addiert sich am Punkt S zum Eingangsstrom i 0 . Stromgesteuerter Stromrückkopplung: Hier entspricht der Rückkopplungsstrom dem Laststrom. Am Knotenpunkt S summieren sich wieder Eingangs- und Rückkopplungsstrom. Prof. Dr.-Ing. I. Willms

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7. 3. Invertierender Verstärker In folgenden ist ein invertierenden Verstärkers mit reeller Beschaltung in spannungsgesteuerter Stromrückkopplung angegeben. Ein idealer Operationsverstärker (mit verschwindenden Offsets) ist durch folgende Eigenschaften gekennzeichnet: Offene Spannungsverstärkung

| v | V  

Gleichtaktunterdrückung

| G | ,| v gl | Vgl  0

Ausgangsimpedanz

Za  0 IP  IN  0

Eingangsruheströme R0

ue

in un

i1

R0

R1

 un 

ua  Vun

ua

Invertierender Verstärker Prof. Dr.-Ing. I. Willms

Zur Berechnung der Spannung un und der Ausgangsspannung ua Grundlagen der Elektrotechnik 3 S. 15

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7. 3. Invertierender Verstärker Legt man an die Schaltung eine positive Eingangsspannung ue an, so wird sich am invertierenden Eingang - da die Ausgangsspannung un im ersten Augenblick noch Null ist - eine Spannung der folgenden Höhe einstellen: R1 u n  ue (7.3-1) R1  R0 Diese Spannung wird verstärkt, und die Ausgangsspannung würde auf hohe negative Werte entsprechend der Beziehungua  Vun ansteigen. Da jedoch der Ausgang auf den invertierenden Eingang zurückwirkt, wird die Spannung un gleichzeitig wieder verkleinert. Es liegt also eine Gegenkopplung vor. Im Gleichgewichtszustand wird sich am Punkt S die gegenüber dem Anfangszustand eine wesentlich kleinere Spannung einstellen: u n  ue

R1 R1  R0 (1  V )

(7.3-2)

Wegen V >> 1 gilt dann:

u n  ue

R1 R1  VR0

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(7.3-3) Grundlagen der Elektrotechnik 3 S. 16

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7. 3. Invertierender Verstärker Damit läßt sich die Größe der im Gleichgewichtszustand auftretenden Ausgangsspannung berechnen:

u n  ue

R1 R1  VR0

ua  Vun   Für V 

R1 R0

VR1 R1 ue   ue R1  R0V R1 / V  R0

(7.3-4)

erhält man:

ua  

R1 ue R0

ua R1  ue R0 Prof. Dr.-Ing. I. Willms

(7.3-5)

(7.3-6)

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7. 3. Invertierender Verstärker Das Minuszeichen besagt, daß die Ausgangsspannung gegenüber der Eingangsspannung invertiert ist. Bei großer offener Spannungsverstärkung V ist die Verstärkung des beschalteten Operationsverstärkers nur noch durch das Verhältnis der Widerstände R1 und R0 gegeben. Änderungen von V infolge vom Exemplarstreuungen, Temperaturänderungen und Nichtlinearitäten wirken sich auf den beschalteten Verstärker praktisch nicht aus.

ua    0 wird, d.h. u Der Gleichgewichtszustand der Schaltung stellt sich so ein, daß n V der Punkt S in Bild 5.3-1 liegt praktisch auf Massepotential. Er wird daher als .,virtuelle Masse" bezeichnet.

Damit lassen sich in der Regel die Operationsverstärkerschaltungen in vereinfachter Form berechnen.

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7. 3. Invertierender Verstärker Zusammenfassend kann man feststellen: Bei jedem beschalteten Operationsverstärker muss geprüft werden, ob Mit- oder Gegenkopplung vorliegt. Maßgeblich für eine Gegenkopplung ist, daß die Ausgangsgröße der Eingangsgröße entgegenwirkt. Bei Gegenkopplung kann man die sich einstellende Ausgangsspannung berechnen.

Bei Mitkopplung tritt in vielen Fällen eine Schwingneigung der Schaltung auf. Dazu reicht jede auch extrem geringe phasenrichtige Einkopplung des Ausgangssignals für V > 1.

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7. 3.1. Kompensation von Eingangsruhestrom und Offsetspannung Bisher wurden die bei einem realen Operationsverstärker die Eingangsruheströme vernachlässigt: I P  I N  I B Diese erzeugen je nach der Größe des jeweiligen Widerstandes am Eingang des Operationsverstärkers eine Spannung, die wie eine zusätzliche Offsetspannung wirkt. R1

R1

R0

ue

IN



IP



R0 // R1

Kompensation des Eingangsruhestromes Prof. Dr.-Ing. I. Willms

R0

ua





ue U0 =

ua

Zur Berechnung der Auswirkung der Offsetspannung auf den Ausgang Grundlagen der Elektrotechnik 3 S. 20

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7. 3.1. Kompensation von Eingangsruhestrom und Offsetspannung In der Schaltung nach obigem Bild bewirkt der Ruhestrom IN am N-Eingang einen Spannungsabfall I N ( R0 || R1 ) . Wird nun der P-Eingang des Verstärkers nicht direkt, sondern über einen Widerstand R0 || R1 mit Masse verbunden, so fällt wegen I P  I N an diesem Eingang etwa die gleiche Spannung ab. Damit kann die Wirkung des Eingangsruhestromes weitgehend kompensiert werden. Lediglich der Offsetstrom I 0  I P  I N bewirkt noch eine kleine Spannungsdifferenz. Die auftretende Gleichtaktaussteuerung U Gl  I B ( R0 || R1 ) kann meistens vernachlässigt werden. Ein weiterer Fehler entsteht durch die Offsetspannung U0, die eine überlagerte Gleichspannung am Ausgang bewirkt. Aus dem obigen Ersatzschaltbild ergibt sich: ue  U 0 u a  U 0 (ue  U 0 ) R1   0  ua  U 0  0 (7.3-24) R0 R1 R0 R R ua   1 ue  (1  1 )U 0 R0 R0 Die überlagerte Gleichspannung hat also die Größe: R (7.3-25) U a 0  (1  1 )U 0 R0 Prof. Dr.-Ing. I. Willms

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7.3.2. Mit Vierpolen beschalteter invertierender Verstärker Bisher kamen als Eingangsbeschaltung und zur Rückkopplung Zweipole zur Anwendung. In der Praxis werden aber auch Vierpole, und zwar meistens T-Glieder verwendet Z 11

Z 01

Z 02

i1 i0

ue

 S

Z 03



Z 12 Z 13 A

ua

Bei der Ermittlung des Frequenzganges der Schaltung wird ein idealer OP vorausgesetzt. Der Punkt S liegt praktisch auf Massepotential. Da in den idealen Verstärker kein Strom hineinfließt, gilt für den Summenpunkt S:

i 0  i1  0

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7.3.2. Mit Vierpolen beschalteter invertierender Verstärker Die Berechnung der Ströme ergibt:

i0 

i1 

Damit gilt:

ue Z Z Z 01  Z 02  01 02 Z 03



ue Z 01  Z 02 

Z 01 Z 02 Z 03

ua Z 11  Z 12 

Z 11 Z 12 Z 13

ua Z Z Z 11  Z 12  11 12 Z 13

Z 11 Z 12 u Z 13 A( p)  a   Z Z ue Z 01  Z 02  01 02 Z 03 Z 11  Z 12 

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(7.3-26)

(7.3-27)

(7.3-28)

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7.4. Nichtinvertierender Verstärker

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7.4. Nichtinvertierender Verstärker Ein nichtinvertierenden Verstärker verwendet die spannungsgesteuerte Spannungsgegenkopplung. Die von der Ausgangsspannung ua abhängige Spannung un wird in den invertierenden Eingang eingespeist. Es liegt hier eine Gegenkopplung vor. Beim idealen Operationsverstärker verschwindet die Differenzspannung.

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7.4. Nichtinvertierender Verstärker  Im nebenstehend skizzierten Fall gilt außerdem:

u p  ue R0 u n  ue  ua R1  R0

ue



R1

ua un

R0

(7.4-1)

Damit folgt:

ua  ue

ud

Nichtinvertierender Verstärker

R1  R0 R0

ua R  1 1 ue R0

(7.4-2)

 ue



(7.4-3)

ua

Spannungsfolger Prof. Dr.-Ing. I. Willms

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7.4. Nichtinvertierender Verstärker Der nichtinvertierende Verstärker hat folgende Eigenschaften: - Keine Invertierung des Eingangssignals - Die Verstärkung ist größer bzw. im Grenzfall gleich Eins - Unendlich großer Eingangswiderstand (bei Verwendung des idealen OP‘s) Da der Ausgangswiderstand des Verstärkers sehr niederohmig ist, wird der nichtinvertierende Verstärker in der Praxis oft als Impedanzwandler eingesetzt. In der folgenden Betrachtung soll der Einfluss einer endlichen Leerlaufverstärkung untersucht werden:

un 

R0 ua R1  R0

(7.4-4)

ua  ue  u n ud  V

(7.4-5)

ue 1 u n 1 R0     ua V ua V R1  R0

(7.4-6)

Man erkennt, daß für V   dieses Ergebnis in Gl. (7.4-3) übergeht. Prof. Dr.-Ing. I. Willms

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7.4. Nichtinvertierender Verstarker Beim nichtinvertierenden Verstärker mit realem OP tritt eine vergleichsweise hohe Gleichtaktspannung auf. Die folgende Rechnung zeigt, wie dadurch zusätzliche Fehler entstehen können. Mit

un 

R0 ua R1  R0

u gl  ue

u d  ue  u n

ua  Vud  Vgl u gl  V (ue  un )  Vgl u gl

 R0  u  V 1 resultiert: a    ue (V  Vgl ) R1  R0   Nutzt man die Näherung

1  1 x 1 x

(7.4-7)

VR0 R0 1  u R1  R0 V R1  R0  e   Vgl ua V  Vgl 1 V 1

dann ergibt sich:

ue  1 R0   Vgl  (7.4-8)    1   (7.4-9) ua  V R1  R0   V  Der Vergleich mit Gl. (7.4-6) zeigt den Einfluss der endlichen Gleichtaktunterdrückung auf die Verstärkung. Prof. Dr.-Ing. I. Willms

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7.5. Niederfrequenz-Verstärker

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7.5. Niederfrequenz-Verstärker Die Kondensatoren C0 und C2 bilden hier für Wechselspannungen höherer Frequenz einen Kurzschluß. Die Schaltung arbeitet dann als nichtinvertierenderVerstärker mit der Verstärkung ue R  1 1 (7.5-1 )

ua

C2

R0

 

ue

IB R1

R2

R0

R2

ua

UN

UP





= U0

R1 I B

ua

C0

Niederfrequenz-Verstärker Prof. Dr.-Ing. I. Willms

Zur Erläuterung der Gleichstromverhältnisse beim Niederfrequenz-Verstärker Grundlagen der Elektrotechnik 3 S. 30

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7.5. Niederfrequenz-Verstärker Erläuterung der Gleichspannungsverhältnisse (Berücksichtigung der Eingangsruheströme): Die Offsetspannung kann man sich in Reihe mit einem der beiden Eingänge des Verstärkers geschaltet denken. Damit gilt:

U P   I B R2

U N  U a 0  U 0  I B R1

Damit erhalt man mit UP = UN für die Ausgangsoffsetspannung:

U a 0  U 0  I B  R1  R2 

(7.5-2)

Damit der Einfluss des Eingangsruhestromes klein bleibt, wählt man R1 » R2. Der Eingangswiderstand der Schaltung ist praktisch gleich R2. Bei UP= 1 V, IB= 1 µA ergibt sich z.B. R2 = 1 MW.

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7.5. Niederfrequenz-Verstärker Für die Systemfunktion der Schaltung erhält man: R2 pT2  ue ( p ) u p ( p )  ue ( p ) mit T2  R2C2 1  pT2 R2  1/ pC2

un ( p )  ua ( p )

R0  1/ pC0 1  pT0  ua ( p ) R1  R0  1/ pC0 1  pT1

u p ( p )  un ( p ) A( p ) 

1  pT1  pT2 ua ( p )  ue ( p ) 1  pT0 1  pT2 

T1  ( R1  R0 )C0

T0  R0C0

(7.5-3 )

Für p   ergibt sich wieder:

ua ( p ) pT1 pT2 T1 R1    1 ue ( p ) pT0 pT2 T0 R0 Prof. Dr.-Ing. I. Willms

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7.6. Analoge Rechenschaltungen

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7.6.1. Umkehraddierer Da der Knotenpunkt S der folgenden Schaltung praktisch Massepotential hat, können hier über Widerstände R0v weitere Spannungsquellen angeschlossen werden, ohne dass eine gegenseitige Beeinflussung der Spannungsquellen auftritt. Jede der Eingangsspannungen uev speist einen Strom in den Knotenpunkt S ein. Die Schaltung eignet sich zum Addieren von Spannungen oder auch zum Summieren von Strömen. Beim Summieren von Strömen können die Widerstände R0v = 0 gesetzt werden. Wendet man die Knotenregel auf den Summationspunkt S an, dann erhält man:

ue1 ue 2 u u u     ev    en  a  0 R01 R02 R0 v R0 n R1 Prof. Dr.-Ing. I. Willms

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7.6.1. Umkehraddierer Daraus folgt:

R1 R1 R1 R1 ua  ue1  ue 2    uev    uen R01 R02 R0 v R0 n R0n

RN



R02 R01

uen

ue 2

(7.6-1)

RN

R1

S





RP

ue1





ue1

 Umkehraddierer Prof. Dr.-Ing. I. Willms

ua

ue 2

RP

ua

Subtrahierschaltung Grundlagen der Elektrotechnik 3 S. 35

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7.6.2. Subtrahierer In der Subtrahierer-Schaltung liegen die Eingänge des OP‘s nicht auf Nullpotential. Zur Berechnung der Ausgangsspannung soll daher von den Spannungen am P- bzw. N-Eingang ausgegangen werden. Für den idealen Operationsverstärker gilt dann:

up 

Rp Rp 

Rp



Mit u p  un folgt dann:

ue 2 

1 1

1



ue 2 

 1

ue 2

un 

RN ue1 

RN

RN 

RN





ua



ue1  1

1



ua

1



ua   (ue 2  ue1 )



 ue1  ua 1 

(7.6-3)

Die Schaltung bildet also die Differenz der beiden Eingangsspannungen und multipliziert sie mit dem Faktor α. Da die Eingänge des Verstärkers nicht auf Nullpotential liegen, muss überprüft werden, ob der zulässige Gleichtaktbereich des Verstärkers nicht überschritten wird. Prof. Dr.-Ing. I. Willms

Grundlagen der Elektrotechnik 3 S. 36

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7.6.3. Integrator Das Bild zeigt die Schaltung eines Umkehrintegrators. Unter Voraussetzung eines idealen Operationsverstärkers erhält man die folgenden Gleichungen: C

i1

i0  i1  0 ue i0  R0

R0

i1  C1

i0

dua dt

ue du du u  C1 a  0  a   e R0 dt dt R0C1

1

 

ue

(7.6-19)

Daraus berechnet sich die Ausgangsspannung ua zu :

ua

Umkehrintegrator

t

1 ua   ue dt  U a 0  R0C1 0

(7.6-20)

Ua0 ist die Spannung, die zu Beginn der Integration am Ausgang der Schaltung vorhanden ist. Das Produkt R0C1 = T1 hat die Dimension einer Zeit (Integrierzeit). Prof. Dr.-Ing. I. Willms

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7.6.3. Integrator Ist die Eingangsgröße ue(t) zur Zeit t=0 eine Sprungfunktion, so ist die Integrierzeit die Zeit, bei der von Null an beginnend die Ausgangsspannung ua gerade die Größe der Eingangsspannung ue erreicht hat: ue U E0 1

0 .5



t

ua U E0 0 .5 T1 1

t T1  R 0 C 1

Zeitlicher Verlauf der Ausgangsspannung bei sprungförmigem Verlauf am Eingang Prof. Dr.-Ing. I. Willms

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7.6.4. Differentiator Hier ist die Prinzipschaltung eines Differentiators dargestellt. Bei idealem OP gilt: i0  i1  0

i0  C0

due dt

C0

u i1  a R1 ue

du u C0 e  a  0 dt R1

ua   R1C0

R1

i1

due dt

i0

 

ua

Prinzipschaltung des Differentiators

Die Systemfunktion des Differentiators hat die Form: u ( p) TD  R1C0 mit A( p )   a  pTD ue ( p )

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7.6.4. Differentiator Die angegebene Prinzipschaltung des Differentiators ist in dieser einfachen Form meistens nicht brauchbar (z.B. nicht reeller Eingangswiderstand und Verstärkung des Rauschens bei hohen Frequenzen).

Durch Einfügen eines Widerstandes R0 in Reihe zur Kapazität C0 erhält man eine besser brauchbare Schaltung (mit niedrigerem Rauschen). Für die Systemfunktion der Schaltung erhält man:

ua ( p ) Z1 ( p )   ue ( p ) Z 0 ( p ) Prof. Dr.-Ing. I. Willms

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7.6.4. Differentiator Mit R1C1=T1 und R0C0=T0 ergibt sich : C1

R / pC1 R1 Z1 ( p )  1  R1  1/ pC1 1  pT1 Z 0 ( p)  R0  1/ pC0  R0

1  pT0 pT0

u ( p ) R1 pT0  a  . ue ( p ) R0 (1  pT0 )(1  pT1 )

R1 R0

ue

 C0



Für pT0  1 und pT1  1 gilt:



ua ( p ) R1  . pT0 ue ( p) R0

Für p   gilt: 

ua

Verbesserte Schaltung des Differentiators

ua ( p) R1 1  . ue ( p) R0 pT1

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7.6.4. Differentiator Die Schaltung arbeitet damit für Frequenzen 0 < w