Grundgebiete der Elektrotechnik 2 Teil 1 – Elektrische Felder

von Dr.-Ing. Hermann Josef Peifer Professor an der Fachhochschule Aachen

1. Auflage, Frühjahr 2016 Als Manuskript vervielfältigt Nachdruck verboten i

Fachhochschule Aachen

Prof. Dr.-Ing. H. J. Peifer

Vorwort Diese Hilfsblätter betreffen die Lehrveranstaltung „Grundgebiete der Elektrotechnik 2, Teil1 – Elektrische Felder“ an der Fachhochschule Aachen für Studierende in den Bachelor-Studiengängen Elektrotechnik und Mechatronik. Der Teil 1 – Elektrische Felder umfasst 3 Semesterwochenstunden (V2, Ü1). Die vorliegenden Hilfsblätter sind mehr als eine Formelsammlung, besitzen jedoch nicht die Ausführlichkeit und Breite eines Lehrbuches. Es ist nicht Sinn der Hilfsblätter den Besuch der Vorlesung und das Mitschreiben in der Vorlesung zu ersparen, da sowohl die Moderation als auch die ergänzenden Erläuterungen fehlen. Es soll lediglich das Kopieren von Formeln erspart werden, um Zeit zu gewinnen dem Gedankengang zu folgen. Die Abbildungen wurden bewusst unvollständig gehalten. Die Studierenden sind aufgefordert diese während der Vorlesung farbig zu ergänzen. Diese aktive Teilnahme erfordert die Aufmerksamkeit der Studierenden und soll bereits während der Vorlesung den „roten Faden“ einprägen. Ebenfalls wurde der Text auf ein Minimum beschränkt und sollte bei der Nachbearbeitung der Vorlesung durch eigene Notizen ergänzt werden.

Aachen, Frühjahr 2016

Hermann Josef Peifer

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Prof. Dr.-Ing. H. J. Peifer

Inhaltsverzeichnis 1

Erscheinungsformen und Wirkungen elektrischer Ladungen 1.1 Grundlegende Erscheinungen und Folgerungen .......................................................... 1 1.2 Das Coulombsche Gesetz ............................................................................................. 3 1.3 Idealisierte Ladungsverteilungen ................................................................................. 4 1.3.1 Raumladung ...................................................................................................... 4 1.3.2 Flächenladung ................................................................................................... 5 1.3.3 Linienladung ..................................................................................................... 7 1.3.4 Punktladung ...................................................................................................... 8 1.4 Definition der elektrischen Feldstärke ......................................................................... 9 1.5 Bewegte Ladungsträger .............................................................................................. 11 1.5.1 Ladungsträgerarten ......................................................................................... 11 1.5.2 Driftgeschwindigkeit und Beweglichkeit ....................................................... 11 1.5.3 Elektrische Stromdichte .................................................................................. 13 1.5.4 Elektrische Stromstärke .................................................................................. 15 1.6 Erhaltungssatz für elektrische Ladungen ................................................................... 17 1.7 Elektrisches Potential und elektrische Spannung ....................................................... 20

2

Physikalische Felder 2.1 Allgemeine Feldbegriffe (Feldgröße, Feld, Skalarfeld, Vektorfeld) ......................... 23 2.2 Graphische Darstellung und Veranschaulichung ....................................................... 24 2.2.1 Skalarfelder ..................................................................................................... 24 2.2.2 Vektorfelder .................................................................................................... 25 2.3 Arten und Unterscheidungsmerkmale von Vektorfeldern .......................................... 27 2.3.1 Homogene und inhomogene Felder ................................................................ 27 2.3.2 Quellenfelder .................................................................................................. 27 2.3.3 Wirbelfelder .................................................................................................... 27 2.4 Der Begriff des Flusses .............................................................................................. 28 2.4.1 Flußröhren ...................................................................................................... 29 2.4.2 Quantitative Feldlinienbilder .......................................................................... 29

3

Elektrostatische Felder im Vakuum und stofferfüllten Raum 3.1 Die elektrische Feldstärke .......................................................................................... 31 3.1.1 Definition und Feldgleichung ......................................................................... 31 3.1.2 Das elektrische Feld einer Punktladung ......................................................... 31 3.1.3 Das Superpositionsprinzip .............................................................................. 31 3.2 Das elektrische Potential ............................................................................................ 32 3.2.1 Definition ........................................................................................................ 32 3.2.2 Das elektrische Potential einer Punktladung .................................................. 32 3.2.3 Das Überlagerungsprinzip .............................................................................. 32 3.2.4 Die elektrische Spannung ............................................................................... 32 3.2.5 Der zweite Kirchhoffsche Satz ....................................................................... 32 3.3 Die elektrische Erregung ............................................................................................ 33 3.3.1 Influenz-Faradayscher Becher-Doppelplättchen ............................................ 34 3.3.2 Definition und Feldgleichung ......................................................................... 36 3.3.3 Die elektrische Erregung einer Punktladung .................................................. 38 3.4 Die Materialgleichung des elektrostatischen Feldes .................................................. 39 3.5 Grenzbedingungen ...................................................................................................... 43

iii

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3.6

3.7 3.8 4

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Kapazitätsberechnungen ............................................................................................. 45 3.6.1 Einführung des Kapazitätsbegriffes ................................................................ 45 3.6.2 Methoden zur Kapazitätsbeerchnung ............................................................. 46 3.6.2.1 Die QC-Methodik ............................................................................... 46 3.6.2.2 Die UC-Methodik ............................................................................... 47 3.6.3 Parallel- und Reihenschaltung von Kapazitäten ............................................. 48 Energiedichte und Energie des elektrischen Feldes ................................................... 52 Kräfte zwischen Kondensatorelektroden .................................................................... 54

Das stationäre Strömungsfeld 4.1 Die elektrische Stromdichte ....................................................................................... 57 4.2 Die Materialgleichungen des stationären elektrischen Strömungsfeldes ................... 58 4.2.1 Raumgebiete ohne Antrieb ............................................................................. 58 4.2.2 Raumgebiete mit Antrieb................................................................................ 59 4.2.2.1 Die eingeprägte Feldstärke ................................................................. 59 4.2.2.2 Die eingeprägte Stromdichte .............................................................. 60 4.3 Grenzbedingungen ...................................................................................................... 62 4.4 Widerstandsberechnungen.......................................................................................... 64 4.4.1 Einführung des Leitwertbegriffes ................................................................... 64 4.4.2 Methoden zur Widerstandsberechnung .......................................................... 65 4.4.2.1 Die IR-Methodik ................................................................................. 65 4.4.2.2 Die UR-Methodik ............................................................................... 66 4.4.2.3 Parallel- und Reihenschaltung von Widerständen .............................. 67 4.5 Leistungsdichte und Joulsche Verlustleistung ........................................................... 70 4.6 Dualität zwischen dem stationären Strömungsfeld und dem elektrostatischen Feld . 71

Anhang A – Hilfsblätter Hilfsblatt 1 „Vektoren“ ......................................................................................................... A1 Hilfsblatt 2 „Skalarprodukt“.................................................................................................. A2 Hilfsblatt 3 „Vektorprodukt“................................................................................................. A3 Hilfsblatt 4 „Kartesische Koordinaten ( x , y, z) “................................................................... A4 Hilfsblatt 5 „Zylinderkoordinaten (ρ, ϕ, z) “ ......................................................................... A5 Hilfsblatt 6 „Kugelkoordinaten (r, ϑ, ϕ) “ ............................................................................. A6

Anhang B – Übungen Übung 1 „Vektoren“.............................................................................................................. B1 Übung 2 „Koordinatensysteme“............................................................................................ B2 Übung 3 „Coulombsches Gesetz“ ......................................................................................... B3 Übung 4 „Raumladung, Flächenladung und Linienladung“ ................................................. B4 Übung 5 „E-Feld Skalarpotential“ ................................................................................ B5 Übung 6 „Elektrostatische Felder - Kugelsymmetrische Raumladungswolke“.................... B6 Übung 7 „Kapazitätsberechnungen“ ..................................................................................... B7 Übung 8 „Kondensatorschaltungen, Kräfte und Arbeit“ ...................................................... B8 Übung 9 „Stationäres Strömungsfeld - Halbkugelerder“ ...................................................... B9 Übung 10 „Widerstandsberechnungen“ .............................................................................. B10

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Literaturhinweise • Albach, „Elektrotechnik“, Pearson Studium • Albach, „Elektrotechnik - Aufgabensammlung mit Lösungen“, Pearson Studium • Clausert, Wiesemann: „Grundgebiete der Elektrotechnik“, Oldenbourg Verlag • Führer, Heidemann, Nerreter: „Grundgebiete der Elektrotechnik“, Hanser Verlag • Paul: „Elektrotechnik“, Springer Verlag • Bosse: „Grundlagen der Elektrotechnik“, VDI Verlag

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Maxwellsche Gleichungen (Elektrostatik und stationäres Strömungsfeld)  rot E = 0

⇔

  E ∫ ⋅ ds = 0

 E:

elektrische Feldstärke

  D ∫ ⋅ dA = ∫ δdV

 D:

elektrische Flußdichte

ρ:

Raumladungsdichte

 J:

Stromdichte

C = ∂A

 div D = ρ

⇔

A = ∂V

 divJ = 0

⇔

V

  ∫ J ⋅ dA = 0

A = ∂V

Grenzbedingungen    n 12 × (E 2 − E 1 ) = 0    n 12 ⋅ (D 2 − D1 ) = 0    n 12 ⋅ (D 2 − D1 ) = σ    n 12 ⋅ ( J 2 − J1 ) = 0

⇔

E t stetig

⇔

D n stetig

⇔

D n springt um die Flächenladungsdichte σ

⇔

J n stetig

bzw.

Materialgleichungen    D = εoE + P

  D = εE

  J = κE

   J = κ( E + E ( e ) )   (e)  J + J = κE

bzw.

bzw. bzw.

εo :  P: ε: κ:  E (e) :  (e) J :

elektrische Feldkonstante elektrische Polarisation Permittivität Leitfähigkeit eingeprägte Feldstärke (nicht elektrischer Natur) eingeprägte Stromdichte (nicht elektrischer Natur)

Naturkonstanten m s −19 e = 1,602 ⋅ 10 As As ε o = 8,854 ⋅ 10 −12 Vm

Lichtgeschwindigkeit im Vakuum: c 0 = 2,998 ⋅ 10 8 Elementarladung: elektrische Feldkonstante:

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1. Erscheinungsformen und Wirkungen elektrischer Ladungen 1.1 Grundlegende Erscheinungen und Folgerungen Erscheinungen: A)

Stäbe: Glas oder Hartgummi

Mehrere Probekugeln: Watte, Holundermark

B)

Reiben des Hartgummi- und Glasstabes an Leder oder Katzenfell

C)

Berührung der Probekugeln mit dem Hartgummistab Beobachtungen: - Probekugeln stoßen sich gegenseitig ab - Probekugeln werden dann auch vom Hartgummistab abgestoßen. - Probekugeln werden dagegen vom vorher geriebenen Glasstab zunächst angezogen und nach Berührung abgestoßen

D)

Berührt man stattdessen die Probekugeln zuerst mit dem Glasstab Beobachtungen: - Probekugeln stoßen sich wiederum gegenseitig ab - Glasstab wirkt auch abstoßend auf die Probekugeln - Probekugeln werden aber danach von dem vorher geriebenen Hartgummistab angezogen und nach Berührung abgestoßen

Folgerungen: 1) Diese Erscheinung sind durch mechanische Kräfte nicht erklärbar (mal ziehen sie sich an, mal stoßen sie sich ab) 2) Den geriebenen Körpern wird eine elektrische Ladung zugeordnet 3) Wegen der teils anziehenden, teils abstoßenden Kräfte folgt: - Geriebener Glasstab: überschüssige positive Ladung - Geriebener Hartgummistab: überschüssige negative Ladung Eigenschaften von Ladungen: 1) Gleichnamige Ladungen stoßen sich ab, ungleichnamige Ladungen ziehen sich an 2) Elektrische Ladungen können durch Reiben getrennt werden, wobei - eine Ladungsart auf dem geriebenen Körper verbleibt - die andere Ladungsart auf den reibenden Körper übergeht (vgl. elektrostatische Aufladung beim „Schlurfen“ über einen Teppich) 3) Überschüssige Ladung ist durch Berühren anderer Körper übertragbar. -1-

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Anmerkungen: 1) Elektrizitätserzeugung bedeutet allgemein Trennung von Ladung verschiedenen Vorzeichens (mechanisch, thermisch, chemisch, Strahlung etc.). Bei Fotovoltaik sind es z.B. die Lichtquanten, deren Strahlungsenergien zu Ladungstrennungen führen. 2) Transport von elektrischer Ladung bedeutet allgemein elektrischer Strom („Elektron“: griechisch Bernstein. Beim Bernstein wurden die Reibungserscheinungen erstmals beobachtet) 3) Das Formelzeichen für elektrische Ladung ist Q; Einheit: Q As C 4) Elektrische Ladung ist nicht beliebig teilbar. Kleinste Ladungsmenge ist die Elementarladung: e 1,602 10 19 As

1As 1Coulomb 1C 5) Elektrisch geladene Körper ändern den Zustand des sie umgebenen Raumes. Darstellung und Veranschaulichung mittels der Feldtheorie: „Elektrische Felder“. 6) Kräfte auf elektrische Ladungen durch andere elektrische Ladungen werden Coulombsche Kräfte genannt. 7) Elektrische Ladungen kann man weder erzeugen noch vernichten (Ladungsinvarianz), aber umverteilen.

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1.2 Das Coulombsche Gesetz

Q1

r 1 - r2 Q2

r1 z

x

r2 y

Q1Q 2

FQ1

r1

r2

a:

r1 r2 : r1 r2 FQ1

FQ2

4

r

0 1

r2

2

r1 r2 r1 r2

FQ2

Abstand der beiden Punktladungen voneinander Einheitsvektor, zeigt von Q 2 auf Q1 Q1Q 2 mit 4 0a 2

Q1Q 2 Q1Q 2

0 0

abstoßend anziehend

Q1 0

0 anziehend abstoßend

Vorgriff: Die elektrische Feldstärke ist über die Kraft auf eine Probeladung definiert!

FQ1

Q1EQ2 ( r1 )

E Q2 ( r1 ) ist das elektrische Feld am Ort der Punktladung 1 infolge des elektrischen Feldes der Punktladung 2.

FQ2

Q2 E Q1 ( r2 )

E Q1 ( r2 ) ist das elektrische Feld am Ort der Punktladung 2 infolge des elektrischen Feldes der Punktladung 1.

Elektrisches Feld einer Punktladung:

E Q1 ( r2 )

Q1 4 0a 2

bzw.

-3-

E Q 2 ( r1 )

Q2 4 0a 2

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1.3 Idealisierte Ladungsverteilungen Bei vielen elektrischen Erscheinungen kann man von dem Teilchen-Charakter elektrischer Ladungen absehen: In den elektrisch sinnvoll kleinsten Volumina sind noch so viele Elementarteilchen, so dass man sich ihre Gesamtheit kontinuierlich über das betrachtete Volumenelement verschmiert vorstellen kann („Ladungssuppe“). (in Analogie: kontinuierliche Masse statt diskontinuierlicher Atomstruktur) Die Maxwell’sche Theorie ist eine Kontinuumstheorie; sie kennt nicht den Begriff der Elementarladung. 1.3.1 Raumladungen Raumladungszonen treten in nahezu allen elektronischen Bauelementen (z. B. pn-Diode) auf und beeinflussen in entscheidender Weise deren Klemmenverhalten. Die Raumladungsdichte ( r ) ist eine lokale skalare Größe, d. h. jedem Raumpunkt wird ein Skalarwert zugeordnet:

(r)

Einheit:

Q V

As m3

lim

V 0

Q V

dQ dV r

„Ladung pro Volumen“

Die Gesamtladung in einem beliebigen Raumvolumen V0 berechnet sich bei bekannter Raumladungsdichte ( r ) zu: Q(V0 )

lim V

0

-4-

(r) V V V0

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Hierbei wird das Raumvolumen V0 in sehr kleine Teilvolumina V aufgeteilt und deren Ladungsbeiträge Q V aufsummiert. Dabei wird die Raumladungsdichte innerhalb eines Teilvolumens als homogen angenommen (z. B. gleich der Raumladungsdichte im Zentrum dieses Teilvolumens). Im Grenzübergang infinitesimal kleiner Teilvolumina geht die Summe in das Integral über:

Q(V0 )

( r )dV V0

Im Spezialfall einer homogenen Raumladungsdichte ( r ) 0 , ist diese für jedes Teilvomunen gleich groß und kann damit vor die Summe gezogen werden. Als Gesamtladung ergibt sich einfach das Produkt der Raumladungsdichte 0 mit der Summe der Teilvolumina, also dem Raumvolumen V0 : Q(V0 )

0

dV

V0

dV

0

0

V0

V0

1.3.2 Flächenladung Ideale Flächenladungen kommen in der Natur nicht vor. Jedoch gibt es Raumladungbereiche deren Ausdehnung in einer Dimension sehr gering ist. Die Wirkung solcher Bereiche lässt sich häufig mit Hilfe von idealen Flächenladungen hinreichend genau beschreiben. Als Beispiel für eine Flächenladung diene hier die Ladungsverteilung einer geladenen Metallkugel. Es gilt: - gleichnamige Ladungen stoßen sich ab - aufgrund der Leitfähigkeit driften die Ladungen bis auf die Kugeloberfläche auseinander - aus Symmetriegründen ist die Flächenladung homogen (keine bevorzugte Richtung) Damit ergibt sich folgende Ladungsverteilung: Metallkugel Flächenladung

Bringt man zwei geladene Kugeln in direkte Nachbarschaft, dann beeinflussen sich die Ladungen gegenseitig und die Flächenladungen werden inhomogen: Abstoßung bei gleichnamigen Ladungen

Anziehung bei ungleichnamigen Ladungen

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Die Flächenladungsdichte ( r ) ist eine lokale skalare Größe, d. h. jedem Punkt innerhalb der Fläche wird ein Skalarwert zugeordnet:

(r)

Einheit:

Q A

As m2

lim A

0

Q A

dQ dA

r

„Ladung pro Fläche“

Die Gesamtladung in einer beliebigen Fläche A 0 berechnet sich bei bekannter Flächenladungsdichte ( r ) zu: Q(A 0 )

lim A

0

(r) A A A0

Hierbei wird die Fläche A 0 in sehr kleine Teilflächen A aufgeteilt und deren Ladungsbeiträge Q A aufsummiert. Dabei wird die Flächenladungsdichte innerhalb einer Teilfläche als homogen angenommen (z. B. gleich der Flächenladungsdichte im Zentrum dieser Teilfläche). Im Grenzübergang infinitesimal kleiner Teilflächen geht die Summe in das Integral über:

Q(A 0 )

( r )dA A0

Im Spezialfall einer homogenen Flächenladungsdichte ( r ) 0 , ist diese für jede Teilfläche gleich groß und kann damit vor die Summe gezogen werden. Als Gesamtladung ergibt sich einfach das Produkt der Flächenladungsdichte 0 mit der Summe der Teilflächen, also der Fläche A 0 : Q(A0 )

0

dA

A0

dA

0 A0

-6-

0

A0

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1.3.3 Linienladung Ideale Linienladungen kommen in der Natur ebenfalls nicht vor. Jedoch gibt es je nach Abstand des Betrachters Raumladungbereiche deren Ausdehnung in zwei Dimensionen vergleichsweise gering sind. Die Wirkung solcher Bereiche lässt sich häufig mit Hilfe von idealen Linienladungen hinreichend genau beschreiben. Als Beispiel für eine Linienladung diene eine Hochspannungsleitung:

In einem Abstand zu einer Leitung, der groß gegen den Drahtdurchmesser der Leitung ist, kann die Ladung dieser Leitung als Linienladung aufgefasst werden. Die Linienladungsdichte ( r ) ist eine lokale skalare Größe, d. h. jedem Punkt der Linie wird ein Skalarwert zugeordnet:

(r)

Einheit:

Q

As m

Q

lim

dQ d r

0

„Ladung pro Länge“

Die Gesamtladung in einer beliebigen Linie ( r ) zu: Q( 0 )

0

berechnet sich bei bekannter Linienladungsdichte lim

(r)

0 0

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Hierbei wird die Linie 0 in sehr kleine Liniensegmente aufgeteilt und deren Ladungsbeiträge aufsummiert. Dabei wird die Linienladungsdichte innerhalb eines Liniensegments als Q homogen angenommen (z. B. gleich der Linienladungsdichte im Zentrum dieses Liniensegments). Im Grenzübergang infinitesimal kleiner Liniensegmente geht die Summe in das Integral über:

Q( 0 )

( r )d 0

Im Spezialfall einer homogenen Linienladungsdichte ( r ) 0 , ist diese für jedes Liniensegment gleich groß und kann damit vor die Summe gezogen werden. Als Gesamtladung ergibt sich einfach das Produkt der Linienladungsdichte 0 mit der Summe der Liniensegmente, also der Länge 0 : Q( 0 )

0

d

d

0

0

0 0

0

1.3.4 Punktladung In einem Abstand der groß gegen alle drei Dimensionen eines Raumladungsgebietes ist, lässt sich deren Wirkung mit Hilfe einer idealen Punktladung im Zentrum des Raumladungsgebietes hinreichend genau beschreiben. Wie der Name sagt wird dabei die Gesamtladung des Raumladungsgebietes auf einen Punkt zusammengedrückt.

Punktladung, Linienladung und Flächenladung sind idealisierte Ladungsverteilungen, die so in der Natur aus energetischen Gründen nicht vorkommen können. In der Praxis sind sie jedoch sehr hilfreich, da sie mathematisch noch einfach zu behandeln sind und in vielen Fällen hinreichend genaue Ergebnisse liefern.

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1.4 Definition der elektrischen Feldstärke Experiment:

In einer Probeladung q ist ein Loch gebohrt, durch das eine Gleitstange geschoben wird. Die Probeladung wird über eine Feder mit der Gleitstange verbunden, so dass die Kraft auf die Probeladung in Richtung der Gleitstange gemessen wird:

F

= Anteil der Kraft auf die Probeladung q in Richtung der Gleitstange

Die Richtung der Kraft stimmt mit derjenigen Richtung von

überein, wo F

maximal wird.

Die Ursache für die Kraft auf die Probeladung ist die elektrische Feldstärke E und wird definiert zu: E( r )

0: q

0:

lim

q

0 l 0

F( r ) q

hinreichend klein, so dass E homogen auf Vermeidung der Beeinflussung des elektrischen Feldes durch Influenzwirkung.

Beispiel: Elektrisches Feld einer Punktladung Q

Positioniert man im Abstand r vom Koordinatenursprung die Probeladung q dann gilt nach dem Coulombschen Gesetz: -9-

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F

qQ er 4 0r 2

Damit ergibt sich für die elektrische Feldstärke, die von einer Punktladung im Koordinatenursprung ausgeht: E( r )

-

Q 4

2 0r

er

Die elektrische Feldstärke zeigt radialsymmetrisch von der positiven Punktladung weg. Der Betrag von E nimmt quadratisch mit dem Abstand von der Punktladung ab.

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1.5 Bewegte Ladungsträger Der Transport von elektrischen Ladungen bzw. Ladungsträgern wird allgemein als Strom bezeichnet. 1.5.1 Ladungsträgerarten Leitermaterial Metall Halbleiter Flüssigkeit/ Elektrolyt Gase/ Plasma

Art der beweglichen Ladungsträger Elektronen Elektronen Löcher (Defektelektronen) Anionen (z.B. Cl-) Kationen (z.B. Na+) Elektronen Ionen

Ladungsvorzeichen + + +

Elektrolyt: den elektrischen Strom leitende und sich durch ihn zersetzende Lösung (z. B.: Salz, Säure, Base). Plasma: elektrisch leitendes, im allgemeinen sehr heißes Gemisch aus weitgehend frei beweglichen negativen Ladungsträgern (Elektronen) und positiven Ladungsträgern (Ionen) sowie elektrisch neutralen Atomen und Molekülen, die sich – ähnlich wie die Atome und Moleküle eines Gases – in ständiger ungeordneter Wärmebewegung befinden. Wir beschränken uns im Folgenden auf die Vorgänge in Metallen. 1.5.2 Driftgeschwindigkeit und Beweglichkeit Die Raumladungsdichte in Metallen ergibt sich aus den negativen Ladungen der Elektronen und der ortsfesten positiven Ladungen der Protonen der Rumpfatome. Da sich diese im stochastischen Mittel in jedem Raumpunkt kompensieren sind Metalle raumladungsfrei. Nur die Elektronen auf der äußeren Schale innerhalb des Atomverbandes (Kristallgitter) sind quasi frei beweglich und können somit zum Ladungstransport beitragen. Durch die Wechselwirkung mit dem Kristallgitter besitzen diese Elektronen eine erratische (umherirrende) Bewegung. Ohne äußere Einflüsse ist diese thermische Bewegung allerdings ungerichtet, da sich die Elektronen mit gleicher Wahrscheinlichkeit in jede Richtung bewegen können. Die quasifrei beweglichen Elektronen bewegen sich im so genannten Elektronengas: abrupte Richtungsänderungen der Geschwindigkeit infolge der Wechselwirkung mit dem Kristallgitter (Rumpfatome) oder den anderen Elektronen unter Auf- bzw. Abgabe von Energie. Um sich von dieser thermischen Bewegung eine Vorstellung zu machen, seien hier die folgenden Größenordnungen des Elektronengases in Metallen bei T=300K genannt: -

Elektronendichte: n 1023cm

3

-

thermische Gerschwindigkeit: v th

-

mittlere freie Flugzeit: t f

-

mittlere freie Weglänge:

107

cm s

50fs m

5nm

o

50 A -11-

100

km s

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Unter dem Einfluss eines äußeren elektrischen Feldes wird auf die Elektronen eine zusätzliche gerichtete Kraft ausgeübt. Deren Einfluss auf die Bewegung der Elektronen im Elektronengas bleibt infolge der ausgeprägten Wechselwirkungen mit dem Kristallgitter allerdings äußerst gering. Als Ergebnis stellt sich eine zur elektrischen Feldstärke proportionale Driftgeschwindigkeit ein. Selbst bei den technisch höchsten Strömen ist die Driftgeschwindigkeit verglichen zur thermischen Geschwindigkeit um etliche Größenordnungen kleiner. Die Driftgeschwindigkeit ist eine lokale vektorielle Größe die prinzipiell für jede Ladungsträgerart k separat zu bestimmen ist (z. B. Elektronen, Löcher etc.). Hierzu denke man sich um den Aufpunkt P (bzw. r ) ein Volumenelement V . Die Driftgeschwindigkeit bestimmt sich dann als Scharmittelwert über alle darin befindlichen Teilchen der Art k .

vD k ( r )

1 Nk

Nk i 1

vi k

v Dk : kollektive Driftgeschwindigkeit der Ladungsträgerart k N k : Anzahl der Teilchen der Art k die sich im Volumenelement V befinden. vi k : individuelle Geschwindigkeit des Teilchens i der Art k Der Proportionalitätsfaktor zwischen Driftgeschwindigkeit und elektrischer Feldstärke wird Beweglichkeit genannt und hängt direkt von den Wechselwirkungen mit dem Kristallgitter ab (Festkörperphysik). Allgemein wird die Beweglichkeit einer Ladungsträgerart k definiert zu

k

:

v Dk E

Dabei gilt: -

positive Ladungsträger: v D

-

negative Ladungsträger: v D

k

k

k

E k

E

-12-

0

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1.5.3 Elektrische Stromdichte Bei bekannter Driftgeschwindigkeit und Raumladungsdichte der beteiligten Ladungsträgerarten bestimmt sich die elektrische Stromdichte J am Ort r zu:

J( r )

Einheit: J

vD

As m m3 s

k Ladungs trägerarte n ( Index k )

( r ) vD k ( r )

A m2

Nur die beweglichen Ladungsträgerarten tragen additiv zum Ladungstransport bei, da nur deren Driftgeschwindigkeiten ungleich Null sind. -

Die elektrische Stromdichte J ( r ) ist eine lokale, vektorielle Größe. Sie gibt den Betrag und die Richtung der pro Flächen- und Zeiteinheit transportierten Ladungen an.

-

Die transportierte Ladung hat nichts mit der Raumladungsdichte ( r ) zu tun. (r)

k Ladungs trägerarte n ( Index k )

(r)

Während zu 𝐉⃗ nur die beweglichen Ladungsträger beitragen, tragen zu 𝛒 auch die unbeweglichen Ladungsträger bei! -

Die Gleichung

J

vD

ist i. A. falsch, da sie nur für den Spezialfall gilt, dass es nur bewegliche Ladungsträger und nur eine Ladungsträgerart gibt. Setzt man in die Gleichung J( r )

k k

( r ) vD k ( r )

die im vorigen Abschnitt gefundene Beziehung

vD k ( r )

k

für pos.Ladungsträger - für neg. Ladungsträger

( r ) E( r )

dann erhält man: J( r )

k

(r)

k

-13-

k

( r ) E( r )

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Der Proportionalitätsfaktor zwischen Stromdichte und elektrischer Feldstärke definiert die elektrische Leitfähigkeit : J

J E

Einheit:

A m2 V m

A Vm

E

S m

(häufig auch

Die Einheit S steht hierbei für Siemens ( 1S

1

Sm ) mm 2

)

Damit bestimmt sich die elektrische Leitfähigkeit zu k

k

k

Hinweis: Ortsfeste, geladene Rumpfatome haben die Beweglichkeit Null! In der Maxwellschen Theorie tauchen nur die Größen -

: Leitfähigkeit : Raumladungsdichte

auf, ohne nach deren physikalischen Ursachen zu fragen! Größen, wie Teilchendichten, Beweglichkeiten und Driftgeschwindigkeiten tauchen in der Maxwellschen Theorie elektromagnetischer Felder nicht auf! Die mikroskopische Sicht des Ladungstransports wurde dennoch eingeführt, da hiermit anschaulich die Phänomene des Rauschens und der Joulschen Verlustleistung erklärt werden können.

-14-

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1.5.4 Elektrische Stromstärke

Die elektrische Stromstärke erhält man durch Integration der Stromdichte J über den Leiterquerschnitt. I J dA Leiter quer schnitt

Anschauung: A) Lege den Leiterquerschnitt so, dass die Stromdichte überall senkrecht hindurch tritt:

Bei homogener Stromdichte gilt für den zylindrischer Leiter: I

J a2

B) Lege den Leiterquerschnitt so, dass die Stromdichte überall unter einem Winkel von 45° hindurch tritt:

Bei homogener Stromdichte gilt für den zylindrischer Leiter: I J 2 a 2 Ergebnis wie bei A!) Bemerkung zu der in vielen Büchern angegebenen Gleichung: -15-

1 2

J a 2 (gleiches

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dQ dt

Diese Gleichung gilt für den Spezialfall, dass es nur bewegliche Ladungsträger und nur eine Ladungsträgerart gibt und bedarf der weiteren Erläuterung:

I

J dA LQ

k LQ k

v Dk d A

k k LQ

v Dk d A

k

dQk dt

dQ k die Ladung der Art k die pro Zeiteinheit durch den Leiterquerschnitt fließt. dt Hiermit ist nicht die zeitliche Änderung der Ladungsdichte der Art k im Leiterquerschnitt gemeint. Diese bleibt beim stationären Strömungsfeld (Gleichstrom) zeitlich konstant. Hierbei ist

-16-

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1.6 Erhaltungssatz für elektrische Ladungen: Die Elementarladung ist unveränderbar gegenüber allen Inertialsystemen, d. h. Koordinatensysteme, die sich geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit bewegen (vgl. dagegen relativistische Massenänderung). Die Wirkungen zweier entgegengesetzt gleich großer Ladungen im gleichen Raumpunkt heben sich nach außen auf. Betrachten wir zunächst ein abgeschlossenes Raumgebiet, d. h. ein Raumgebiet, über dessen Hüllfläche weder Ladungen eingebracht noch ausgebracht wird:

dann bleibt die Gesamtladung in diesem Raumgebiet konstant. Sie kann durch physikalische Vorgänge nicht verändert werden. Eine Umverteilung innerhalb des abgeschlossenen Raumgebiets ist jedoch möglich. ( r , t )dV

Q(V)

konst.

V

Die zeitliche Änderung der Gesamtladung innerhalb des abgeschlossenen Raumgebietes ist Null:

dQ(V) dt

0

Abgeschlossenes Raumgebiet: Die im Volumen V befindliche Ladung ist konstant, wenn über die Hüllfläche keine Ladungen zu- bzw. abfließen können.

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Betrachten wir nun ein nicht abgeschossenes System, d. h. ein Raumgebiet, über dessen Hüllfläche Ladungen ein- und ausgebracht werden:

dann gilt für die Ladung die Kontinuitätsgleichung:

d ( r , t )dV dt V

J dA A

V

Nicht abgeschlossenes Raumgebiet: Die aus dem Volumen V über die Hüllfläche netto abfließenden Ladungen führen zu einer zeitlichen Abnahme der Gesamtladung Q im Volumen V. Bei Ladungsaustausch über einzelne Drähte:

dQ(V, t ) dt

n

Ii

I1 I 2 ... I n

i 1

Ii wird positiv gezählt, wenn er aus der Hüllfläche herauszeigt, andernfalls negativ.

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1. Kirchoffscher Satz (Knotenregel): Im stationären Strömungsfeld gilt

dQ(V, t ) dt

0 . Damit folgt aus der Kontinuitätsgleichung: n

Ii

0

i 1

Im stationären Strömungsfeld ist die Summe aller zufließenden Ströme gleich der Summe aller abfließenden Ströme. Stationäre Felder sind Felder mit zeitlich unveränderlichen Komponenten, d. h. alle zeitlichen Ableitungen sind gleich Null. dJ dt

0

dQ dt

0

d dt

0

(

dv D k dt

0,

d k dt

0)

Beim stationären Strömungsfeld fließen zwar die einzelnen Ladungsträgerarten, aber in jedem Raumpunkt zu jedem Zeitpunkt gleich!

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1.7 Elektrisches Potential und elektrische Spannung Elektrisches Potential: Für stationäre elektrische Felder (

E ds

0 ) lautet die 2te Maxwellsche Gleichung:

t

0

C

wobei C eine beliebige in sich geschlossene Linienkurve ist.

E, d s

(0, ) 2

E ds

0

E, d s

( , ) 2

E ds

0

Das stationäre elektrische Feld ist wirbelfrei! Bei wirbelfreien Feldern ist das Ergebnis des Linienintegrals von einem Punkt P1 zu einem Punkt P2 unabhängig von einem speziellen Weg:

E ds C

0

E ds C1

E ds

0

C2 P2

E ds C1

E ds C2

E ds C3

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E ds P1

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Ordnet man den Punkten P1 und P2 jeweils ein elektrisches Potential zu, mit der Bedingung P2

E ds

1

2

P1

dann darf sich dieses Potential auf Flächen, die von den Feldlinien der elektrischen Feldstärke E senkrecht durchstoßen werden nicht ändern „Äquipotentialflächen“

P1

E ds

0 auf einem Weg bei dem E

ds

P1

Weiterhin gilt dann für den Potentialabfall entlang einer Feldlinie:

d

E ds

E ds

da E || d s

wobei das elektrische Feld E wegen dem Minuszeichen vom höheren Potential zum niedrigeren Potential zeigt (geschichtlich bedingt)! Jedem Raumpunkt wird damit ein elektrisches Potential ( r ) zugeordnet. Das elektrische Potential ist eine lokale, skalarwertige Größe. Es wurde anschaulich gezeigt, dass einem wirbelfreien elektrischen Feld E( r ) (vektorwertig) ein elektrisches Potential ( r ) (skalarwertig) zugeordnet werden kann. Umgekehrt kann das elektrische Feld E( r ) aus dem elektrischen Potential ( r ) wieder eindeutig zurück berechnet werden:

E( r )

grad ( r )

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Über die mathematische Interpretation des „Gradienten-Operators“ soll an dieser Stelle nicht weiter  eingegangen werden, vielmehr wird hier auf die Ausführungen in der Mathematik verwiesen. Dennoch soll das Ergebnis hier bereits für kartesische Koordinaten vorweggenommen werden: E

x

ex

y

ey

z

ez

Das elektrische Potential ist bis auf eine Konstante eindeutig. Die Konstante geht bei der Bildung des Gradienten (Ableitung nach dem Ort) verloren. Der Vorteil des (Skalar)-Potentials besteht in der äquivalenten Darstellung eines Vektorfeldes durch ein Skalarfeld (dies gilt ganz allgemein für wirbelfreie Vektorfelder) Elektrische Spannung: Die elektrische Spannung zwischen zwei Punkten ist die Potentialdifferenz zwischen ihnen: P2

U12

1

P1

E ds

2 P1

E ds

(

2

1

)

U 21

P2

( U12 : Spannung von 1 nach 2; U 21 : Spannung von 2 nach 1) Die elektrische Spannung ist eine integrale Größe. Da sie nicht einem Raumpunkt zugeordnet werden kann ist sie keine Feldgröße! 2. Kirchoffscher Satz (Maschenregel): n

E ds C

0

U ij

0

(mit Identität der Knoten n+1 und 1)

i 1 j i 1

U12

1

2

U 23

2

3

( U 34 ) U 31

-22-

U12 U 23 U 31 3

1

0

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2 Physikalische Felder Obwohl im Rahmen dieser Vorlesung nur stationäre elektrische Felder behandelt werden, sollen hier dennoch für die allgemeine Darstellung zeitveränderliche physikalischer Felder betrachtet werden.

2.1 Allgemeine Feldbegriffe Feldgröße: Physikalische Größe, die in jedem Raumpunkt eines Raumes einen eindeutigen bestimmten Wert annimmt. Feld: Gesamtheit aller auftretenden Werte einer Feldgröße innerhalb des Raumes. Das physikalische Feld beschreibt also einen bestimmten physikalischen Zustand eines Raumes. Der Raum selbst ist „Träger“ dieses Feldes.



Skalarfeld: Die Feldgröße ist eine skalare (ungerichtete) Größe.  Beispiel: T( r , t ) Temperatur  ( r , t ) Potential



Vektorfeld: Die Feldgröße ist eine vektorielle (gerichtete) Größe.   Beispiel: v( r , t ) Geschwindigkeit   J ( r , t ) Stromdichte

Der Strom I bzw. die Spannung U sind keine Feldgrößen, da sie nicht einem Raumpunkt zugeordnet werden können.

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2.2 Graphische Darstellung und Veranschaulichung Momentaufnahme des Feldes zu einem Zeitpunkt t 0 oder zeitliche Sequenz von einzelnen Momentaufnahmen zu äquidistanten Zeitpunkten. 2.2.1 Skalarfelder Niveaus: Flächen im Raum mit überall gleichem Funktionswert.  Z. B. ( r , t 0 )  1  kons tan t 3D: Niveauflächen ( auch Äquipotentialflächen) 2D: Niveaulinien (auch Äquipotentiallinien) 2D-Beispiel: Höhenlinien eines Berges H(x, y)

H H3 H(x,y)

H2 H1

y x

Niveaulinien H1 , H 2 , H 3

y

H3 H2 H1

x

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2.2.2 Vektorfelder Vektoren in einzelnen Raumpunkten: Da jedem Raumpunkt ein Vektor zugeordnet ist, muss eine Auswahl getroffen werden. Z. B. äquidistantes Gitter 2D Beispiel:

- Betrag - Richtung x

y

äquidistantes Gitter

Feldlinien: Raumkurven (Linien) die in jedem Raumpunkt tangential zum zugehörigen Feldvektor verlaufen. 2D Beispiel:

x - nur Richtung

y

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Definition von Feldlinien: (am Beispiel des elektrischen Feldes)   d s der Linie verläuft parallel oder antiparallel zum Feldvektor E    d s , E  (0, ) 2

   1) ds  E( r , t )  0    2) d s  E( r , t )  0

  Beide Bedingungen zusammen ergeben ds , E  0 , so dass die Linie in Feldrichtung verläuft.

Beispiel: Feldlinien einer Punktladung

z Q

y

x

  E( r ) 

Q  er 4r 2

Feldlinien gehen strahlenförmig vom Ursprung weg.

Beweis: 1)

  ds  E  0



    (dr er  rd e  r sin  de )  E r (r)er  0

Diese Gleichung ist für beliebige r , E r (r ) nur dann Null, wenn d  0 und d  0   ds  dr er  2)

  ds  E  0  



 Q  dr er  er  0 4r 2

 a) falls Q  0 folgt dr  0 , d. h. die Feldlinien zeigen in Richtung von e r  b) falls Q  0 folgt dr  0 , d. h. die Feldlinien zeigen in Richtung von  er

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2.3 Arten und Unterscheidungsmerkmale von Vektorfeldern 2.3.1 Homogene und inhomogene Felder Physikalische Felder lassen sich hinsichtlich ihrer räumlichen Verteilung unterscheiden in homogene und inhomogene Felder.    Homogene Felder: F( r , t )  f ( r ) Betrag und Richtung sind unabhängig vom Ort    Inhomogene Felder: F( r , t )  f ( r ) Betrag und/oder Richtung sind abhängig vom Ort

 Aufgabe: Ordnen Sie die Felder E1 

  Q  e und E 2  E 0 er entsprechend zu. 2 r 4 0 r

Feldlinien können in sich geschlossen sein („Wirbel“) oder in bestimmten Punkten anfangen („Quellen“) und in anderen Punkten enden („Senken“). Allgemeine Vektorfelder können als Überlagerung von „Quellenfeldern“ und „Wirbelfeldern“ aufgefasst werden. Senken sind dabei als negative Quellen den Quellenfeldern zugeordnet.

2.3.2 Quellenfelder Reine Quellenfelder sind wirbelfreie Felder, d. h.

  F   ds  0 C

C: beliebige geschlossene Linienkurve

2.3.3 Wirbelfelder Reine Wirbelfelder sind quellenfreie Felder, d. h.

  F   dA  0 A

A: beliebige geschlossene Hüllfläche

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2.4 Der Begriff des Flusses  Das Flächenintegral einer vektoriellen Größe F über eine gewählte Fläche A innerhalb eines Feldraumes wird in Anlehnung an Strömungsfelder von Flüssigkeiten und Gasen allgemein als „Fluss“ bezeichnet. Dieser Fluss ist der gewählten Fläche zugeordnet:

   (A, t ) :  F( r , t )  dA A

Der Begriff des Flusses durch eine Randkurve macht nur für quellenfreie Felder Sinn. Im betrachteten Raumbereich werden dann weder Feldlinien erzeugt noch vernichtet: Jede beliebige Fläche mit der gleichen Randkurve C liefert dann den gleichen Fluss.

 F(r, t)

dA

dA

dA

Beispiel: Flüssigkeitsströmung durch ein Teesieb

Wasserhahn

  v( r )

kleines Teesieb A1 C

großes Teesieb A2

  v   dA  0 

    v  d A  v    dA

A

A1

A2

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2.4.1 Flussröhren Eine Flussröhre ist ein ringförmiges Teilvolumen eines Feldraumes, dessen Mantelflächen von keinen Feldlinien durchsetzt werden:    F( r )  dA Mantel  0

Da über den Mantel nichts rein und raus fließt, muss alles was am Anfang der Flussröhre rein fließt am Ende wieder heraus fließen. Da das Feld innerhalb der Flussröhre quellenfrei ist, können dort weder Feldlinien erzeugt noch vernichtet. Beispiel: Elektrisches Feld einer Punktladung

z

y dA x A1

  D  0 E dA A2     1   D  dA   D  dA  2 A1

A2

Da das elektrische Feld quadratisch mit dem Abstand vom Ursprung abnimmt, muss der Querschnitt der Flussröhre quadratisch mit dem Abstand zunehmen.

2.4.2 Quantitative Feldlinienbilder Einteilung des Feldraumes in Flussröhren mit jeweils gleichem Teilfluss. Jede Röhre wird durch eine Feldlinie charakterisiert, die als Repräsentant für alle Feldlinien durch die Röhre in deren Mittellinie gezeichnet wird.



Ergebnis sind Feldlinienbilder mit folgenden Eigenschaften:   

Feldliniendichte ist proportional zum Betrag der Feldgröße Richtung des Feldes verläuft tangential zur Feldlinie Richtungssinn des Feldes wird durch Zählpfeil der Feldlinie gekennzeichnet

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3 Elektrostatische Felder im Vakuum und stofferfüllten Raum Definition: Elektrostatische Felder sind Felder ruhender Ladungen, d. h. zeitlich unveränderlich und ohne Energieumwandlung.

3.1 Die elektrische Feldstärke 3.1.1 Definition und Feldgleichung Definition:

Feldgleichung:

E( r )

F( r ) 0 q 0

E ds

lim

q

l

0

C beliebig

„wirbelfrei“

„Kraft auf Probeladung q“ 3.1.2 Das elektrische Feld einer Punktladung Punktladung Q im Koordinatenursprung: E( r )

Q 4

0

r2

er

3.1.3 Das Superpositionsgesetz Das elektrische Feld mehrerer Punktladungen Q1 , Q 2 , …, Q n :

E( r )

n

Ei ( r )

mit

Ei ( r )

i

Qi 4

0

r

ri

2

r r

ri ri

E i ( r ) ist die Feldstärke am Ort r nur infolge der Ladung Q i am Ort ri .

Elektrische Felder aufgrund von Punktladungen dürfen superponiert werden (vektorielle Addition).

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3.2 Das elektrische Potential 3.2.1 Definition P

E ds

(r)

0

(r )

( P)

(P )

E ds

E( r )

grad ( r )

P

C

3.2.2 Das elektrische Potential einer Punktladung Punktladung Q im Koordinatenursprung mit der Normierung (r

) 0:

Q

(r)

4

0

r

3.2.3 Das Überlagerungsprinzip Das elektrische Potential mehrerer Punktladungen Q1 , Q 2 , …, Q n : n

(r)

i

(r)

mit

i

(r)

4

i

i

Qi 0 r

ri

( r ) ist das elektrische Potential am Ort r nur infolge der Ladung Q i am Ort ri .

Die elektrischen Potentiale von Punktladungen dürfen überlagert werden (skalare Addition). Die resultierende elektrische Feldstärke ergibt sich durch Bildung des Gradienten: E( r )

grad ( r )

3.2.4 Die elektrische Spannung Die elektrische Spannung ist die Potentialdifferenz zwischen zwei Punkten: Pj

Uij

i

Pi

E ds

j Pi

E ds

(

j

i

)

U ji

Pj

3.2.5 Der zweite Kirchhoffsche Satz n

U ij

0

(mit Identität der Knoten n+1 und 1)

i 1 j i 1

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3.3 Die elektrische Erregung Beobachtungen: Leiterfolie auf Äquipotentialfläche:

Leiterfolie (Querschnitt)

+

Äquipotentialfläche im Feld

keine Feldverzerrung

Leiter im elektrischen Feld:

Leiter

+

Feld

Influenzladungen auf dem Leiter

Kraft auf Influenzladungen:

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3.3.1 Influenz – Faradayscher Becher - Doppelplättchen Faradayscher Becherversuch:

a)

b)

c)

d)

a) ungeladener Metallkasten mit kleiner Öffnung b) Einführung einer positiven Ladung (auf einer Kugel) Influenzladungen auf der Innenseite (-) und auf der Außenseite (+) c) Berührung des Kastenbodens: Kugel wird entladen. Beobachtung: Entladung der Kugel im Inneren ist außerhalb des Kastens nicht nachweisbar Schlussfolgerung: Influenzladung auf der Innenseite ist betragsmäßig gleich der Ladung der Kugel d) Herausnahme der ungeladenen Kugel führt zu keiner weiteren Änderung Die gesamte Influenzladung auf der Innen- und Außenseite ist für b) betragsmäßig jeweils gleich der Größe der Ladung der Kugel Im Faradayschen Becherversuch erfolgt durch wiederholtes Entladen einer geladenen Kugel eine Ladungsakkumulation des Metallkastens Anwendung beim Van-de-Graaff-Generator (Elektrostatischer Hochspannungsgenerator) Sprühelektrode = Metallspitze unter hoher Spannung (Feldstärke an der Spitze > Durchschlagsfestigkeit der Luft) Van de Graaff-Generatoren: bis 10MV Technischer Einsatz: Ionenimplatation in der Halbleitertechnologie

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Influenz - Doppelplättchenversuch: a) Metallsches Doppelplättchen (Fläche

A ) auf einer Äquipotentialfläche

b) Trennung der Plättchen (vertikal) im Feld

c) Herausführung der getrennten Plättchen aus dem Feld

Ergebnis:

Influenzierte Ladung

q:

oberes Plättchen: unteres Plättchen:

0 0

AE AE

As „Elektrische Feldkonstante“ Vm Durch das elektrostatische Feld werden im metallischen Leiter Ladungen influenziert, d. h. auf der Leiteroberfläche werden durch Ladungsverschiebungen lokal positive oder negative Flächenladungen erzeugt. Die Gesamtladung des metallischen Leiters bleibt unverändert. 0

8,854 10

12

Der metallische Leiter selbst ist im Inneren feldfrei ( E 0 ) oder anders ausgedrückt: Die Verteilung der influenzierten Flächenladungen ist immer derart, dass der metallische Leiter im Inneren feldfrei ist (Überlagerung des externen Feldes und des Feldes der Flächenladungen). Gedankenexperiment: Würde man die resultierenden Flächenladungen einfrieren, dann wäre dieses Gebiet weiterhin feldfrei.

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3.3.2 Definition und Feldgleichung Beobachtung: Die influenzierte Ladung beim Doppelplättchenversuch ist abhängig von Größe der elektrischen Feldstärke Fläche des Doppelplättchens Orientierung der Plättchen zum Feld Permittivität des Mediums Definition der elektrischen Erregung:

D A

lim A

0

q max A

0 : A klein genug, so dass E homogen auf

A

Der Betrag der elektrischen Erregung ist definiert über die maximale Menge der influenzierten Ladung pro Fläche.

q

q max cos

Die Menge der influenzierten Ladung hängt von der Ausrichtung des Doppelplättchens zum elektrischen Feld ab: D dA cos

D dA dq

Die Richtung des Flächenvektors dA des Doppelplättchens bei der die maximale Ladung influenziert wird, stimmt mit der Richtung der elektrischen Erregung D überein. Die elektrische Erregung D wird auch elektrische Verschiebungsdichte genannt, da sie über die Verschiebung der Ladungen definiert ist.

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Feldgleichung der elektrischen Erregung: Ausmessen des Flusses der elektrischen Erregung über eine gedachte Hüllfläche mit Hilfe eines Doppelplättchens:

D dA Hüll fläche

Mess vorschrift

dq

Erfahrung / Experiment

qi

Die Erfahrung zeigt, dass der Fluss von D durch eine beliebige geschlossene Hüllfläche und für beliebige Materie gleich der algebraischen Summe der eingeschlossenen Ladung ist. Für die Feldgleichung gilt allgemein:

D dA A

dV V

Hierbei ist V das Volumen, das von der Hüllfläche A eingeschlossen wird. Die eingeschlossene Ladung ist hier über das Volumenintegral der Raumladungsdichte erfasst. Positive Ladungen sind Quellen und negative Ladungen Senken der elektrischen Erregung D

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3.3.3 Die elektrische Erregung einer Punktladung Punktladung Q im Koordinatenursprung:

Aus Symmetriegründen muss das elektrische Feld vom Koordinatenursprung aus gesehen in jede Richtung gleich sein. D( r )

D r (r )e r

nur r-Abhängigkeit nur r-Komponente D dA A

dV V

Wähle als Hüllfläche eine konzentrische Kugelschale mit dem Radius r , da aus Symmetriegründen die elektrische Erregung auf diesen Flächen vom Betrag überall gleich groß sind und in radialer Richtung zeigen ( D // dA ).

D r (r ) 4 r 2

Q

bzw.

D r (r )

Q 4 r2

Damit gilt für die elektrische Erregung einer Punktladung im Koordinatenursprung: D( r )

Q er 4 r2

Weiterhin gilt nach dem Coulombsche Gesetz für die elektrische Feldstärke im Vakuum: E( r )

Q 4 D

0

r2 0

er E

im Vakuum

Die Beziehung zwischen D und E im stofferfüllten Raum wird im folgenden Abschnitt behandelt.

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3.4 Die Materialgleichungen des elektrostatischen Feldes Dielektrikum: Elektrisch nicht leitender Stoff (Isolator) der ein elektrisches Feld im Gegensatz, zu einer geerdeten Metallplatte nicht abschirmt sondern durchlässt. Experiment 1 ( U

konst ):

An einen vorher ungeladenen Kondensator wird eine Spannungsquelle geschaltet. Die elektrische Feldstärke im Kondensator ist: E

U d

Die Ladung auf den Platten wird gemessen zu: Q

U

A d

0

E 0A

Schiebt man nun zwischen die Kondensatorplatten ein Dielektrikum, dann erhöht sich die Ladung auf den Platten: Q

U

0

r

d

A

E

0

r

A

r

: relative Permittivität des Dielektrikums

Die Fähigkeit bei fest vorgegebener Spannung ( E konst ) Ladungen auf den Kondensatorplatten zu influenzieren wir durch Dielektrika ( r 1 ) verstärkt.

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Experiment 2 ( Q

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konst ):

a) Vakuum

b) Metall

c) Dielektrikum

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Die im Experiment festgestellten Effekte können durch Polarisationserscheinungen erklärt werden: D

0

E P

P : Polarisation

Da die Polarisation bei fester Ladung der Kondensatorplatten das elektrische Feld E schwächt, spricht man hier auch von Gegenerregung. Wir beschränken uns hier auf lineare Dielektrika, d. h. die Polarisation ist proportional zum elektrischen Feld: P

0

E

: elektrische Suszeptibilität

Anschauung:

Ursache der Polarisation: Dipole aufgrund - Ionenkristalle (Anionen, Kationen) - permanente Dipole (z. B. H2O) - Verschiebung der negativen Elektronenhülle gegenüber der positiven Atomhülle

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Die Materialgleichung für lineare Materie lautet: D

0

(1

)E

0

r

E

mit

r

(1

)

oder kurz D

E

mit

0 r

: Permittivität des Dielektrikums

Dielektrikum

Relative Permittivität

Luft

1,00059

Destilliertes Wasser

81

Kunststoff

2 … 4

Keramik

10 … 10000

elektrochemisch gebildetes Oxid o Al2O3 o Ta2O5

8 27

elektrochemische Doppelschicht (adsorbierte H2O Molekülschicht)

13

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3.5 Grenzbedingungen Elektrische Erregung:

n12 (D2 D1 )

D2 n

D1n

Fall A (ohne Flächenladung): Zwei Dielektrika (1) und (2) grenzen aneinander. Da beide nicht leitend sind, kann an der Grenzfläche keine Ladung zufließen 0.

D2 n

D1n

Fall B (mit Flächenladung): Ein Dielektrikum (1) grenzt an Metall (2). Da das Metall (2) leitend ist, kann an die Grenzfläche Ladung zufließen. Die elektrischen Felder im Metall (2) müssen verschwinden, da sonst Ladungstransport stattfinden würde E 2 0 und D2 0 .

D1n

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Bemerkung: -

Ein idealer Leiter ist definitionsgemäß kein Dielektrikum! Ein metallischer Leiter besitzt bewegliche Ladungsträger, während das Dielektrikum an die Materie gebundene Dipole aufweist. Der Grenzfall 2 für Dielektrikum (2) liefert zwar das gleiche elektrische Feld im Dielektrikum (1) wie bei einem benachbarten Metall (2), jedoch gilt im Dielektrikum (2) D2 n 0 , während im Metall D 0 ist.

Elektrische Feldstärke:

n12 (E 2 E1 ) 0

E2t

E1t

Wegen der Stetigkeit der Tangentialkomponente der elektrischen Feldstärke gilt gleichfalls die Stetigkeit des elektrischen Potentials an der Grenzfläche: 1

2

Brechungsgesetze:

tan tan tan tan

1

1

2

2

1

2

2

1

„Brechungsgesetz für Feldlinien“

„Brechungsgesetz für Äquipotentialflächen:“

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3.6 Kapazitätsberechnungen Im Rahmen dieser Lehrveranstaltung werden nur Zweielektrodenanordnungen betrachtet. 3.6.1 Einführung des Kapazitätsbegriffes Der Quotient aus der Elektrodenladung Q1 der Elektrode 1 (bzw. Q 2 der Elektrode 2) und der Spannung U12 (bzw. U 21 1 2 1 ) zwischen den Elektroden 1 und 2 (bzw. 2 und 1) heißt 2 Kapazität C :

C

Q1 U12

D dA A1 2

E ds

Q2 U 21

1

D dA A2 1

C E ds

2

Hinweis: Für die Zweielektrodenanordnung gilt Ladungserhaltung beim Aufladen

Q1

Q2 .

Beispiel: Plattenkondensator (bei Vernachlässigung von Randstörungen) Vor: 1) D , E sind homogen 2) D , E // d s 3) D , E // dA

D dA Cidealer Platten kondensator

A1 2

E ds 1

-45-

EA Ed

A d

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3.6.2 Methoden zur Kapazitätsberechnung Für die Kapazitätsbestimmung gibt es zwei wesentliche Methoden: 1) eingeprägte Ladung Q

2) eingeprägte Spannung U

3.6.2.1 Die QC-Methodik: Prinzip: Auf eine Elektrode des Kondensators wird die Testladung Q und auf die zweite Elektrode die Ladung Q aufgebracht. Diese Methode ist immer dann sinnvoll, wenn die elektrische Erregung auf einer Äquipotentialfläche überall den gleichen Betrag aufweist und in eine Richtung des gewählten Koordinatensystems zeigt.

Q

Testladung vorgeben

D

Symmetrie

E

E

U

U

D

Q eA A

( D auf einer Äquipotentialfläche A konstant)

D

E ds enlang einer Feldlinie

C

C

Q U

Beispiel: Plattenkondensator mit longitudinal abhängiger Permittivität

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3.6.2.2 Die UC-Methodik: Prinzip: An dem Kondensator wird eine Testspannung U eingeprägt und die resultierende Ladung bestimmt. Diese Methode ist immer dann sinnvoll, wenn die elektrische Feldstärke entlang einer Feldlinie überall den gleichen Betrag aufweist und in eine Richtung des gewählten Koordinatensystems zeigt.

U

Testspannung vorgeben

P

Symmetrie

E

E

grad

D

D

E

Q

Q

Es

0

( E entlang einer Feldlinie s konstant)

D dA Äqui potential fläche

C

C

Q U

Beispiel: Plattenkondensator mit lateral abhängiger Permittivität

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3.6.3 Parallel- und Reihenschaltung von Kapazitäten Reihenschaltung: Beispiel Plattenkondensator:

D dA

Der Fluss der elektrischen Erregung ist durch jede Querschnittfläche gleich

Q

A1 ,A 2

Ersatzschaltung:

Q Q1

Q2

Q3

Qn

U U1 U 2 U3

Un

Cges

Q U

U1 U 2

1 Cges

1 C1

1 C2

1 C3

Q U3

Un

U1 Q

U2 Q

1 Cn

-48-

1 U3 Q

Un Q

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Parallelschaltung: Beispiel Plattenkondensator:

E ds

Die Pot entialdifferenz zwischen den beiden Elektroden ist überall gleich

0

s1 ,s 2

Ersatzschaltung:

Q Q1 Q2 Q3

U

U1

U2

Qn

U3

Cges

Q U

Cges

C1 C2 C3

Un

Q1 Q2 Q3 U

Qn

Q1 U

Q2 U

Cn

-49-

Q3 U

Qn U

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Die QC-Methodik entspricht der Reihenschaltung infinitesimaler Kondensatoren: 1 C

d

1 C

1 dU Q

ds A

bzw. Die UC-Methodik entspricht der Parallelschaltung infinitesimaler Kondensatoren: C

dC

1 dQ U

dA d

Lösungsstrategie zur Berechnung von Kondensatoren: 1) Wahl eines geeigneten Koordinatensystems 2) Grenzbedingungen - ideal leitende Elektroden ( E und D stehen senkrecht auf Metall) - unterschiedliche Dielektrika ( E t stetig und D n stetig) 3) Feldlinienbild mit Äquipotentialflächen einzeichnen 4) Symmetrieüberlegungen a) Muss im betrachteten Feldbereich der Betrag der elektrischen Erregung D auf einer Äquipotentialfläche überall gleich groß sein QC-Methodik (Reihenschaltung infinitesimaler Kondensatoren) b) Muss im betrachteten Feldbereich der Betrag der elektrischen Feldstärke E entlang einer Feldlinie überall gleich groß sein UC-Methodik (Parallelschaltung infinitesimaler Kondensatoren)

-50-

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Festkondensatoren (Auswahl):

Dielektrikum

Typ und Eigenschaften

Kunststoff

gewickelte, metallbedampfte Kunststofffolien Dicke des Dielektrikums d 1 3 m Relative Permittivität r 2 4 typische C-Werte: 10pF 10 F Standardkondensator (SMD oder bedrahtet)

Keramik

keramische Vielschichtkondensatoren: abwechselnd Schichten aus dielektrischen Keramiken ( d 1 3 m ) und metallischen Elektroden in Parallelschaltung Relative Permittivität - paraelektrische Keramik: r 10 100 - ferroelektrische Keramik: r 1000 10000 hochwertiger Standardkondensator (SMD) C-Werte: 1pF 3,3 F

elektrochemisch gebildetes Oxid

Dielektrikum = Oxidhaut ( d 0,05 0,5 m ) eines anodisch oxidierten Metalls (Al-Folie oder Tantal-Sinterkörper) Bezeichnung: Elektrolytkondensator oder kurz Elko Relative Permittivität r 8 (Al2O3), r 27 (Ta2O5) Vorteil: große C-Werte ( 10mF ) Nachteil: hoher Leckstrom, nur NF-Bereich

elektrochemische Doppelschicht

Dielektrikum = adsorbierte H2O-Molekülschicht ( d 0,1nm !) auf Edelmetallfolie (o. ä.) Relative Permittivität r 13 (ausgerichtete H2O-Moleküle) Vorteil: extrem große C-Werte ( 1F ) Nachteil: sehr niedrige Nennspannungen, sehr hoher Leckstrom, nur NF-Bereich

-51-

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3.7 Energiedichte und Energie des elektrischen Feldes Experiment: Aufladung eines Plattenkondensators auf die Ladung Q

Sukzessive Übertragung einer geringen Ladungsmenge q von der unteren Elektrode auf die obere Elektrode mit einem Ladungslöffel, bis die obere Elektrode die Ladung Q und die untere Elektrode die Ladung Q trägt.

Durch die Übertragung der Ladung baut sich ein elektrisches Feld auf, welches proportional zu der bis dahin übertragenen Ladung Q Q ist: D

Q A

E

Q A

U

d

Q A

Die äußere Arbeit, die bei diesem Feld zur Überführung der Ladungsmenge q erforderlich ist, beträgt:

A

qE d

qU

0

Zum Aufbau des elektrischen Feldes mit einem Ladungslöffel ist eine mit dem Fortschritt der Ladungsübertragung zunehmende Arbeitsintensität verbunden: zu Beginn: am Ende:

wenig Feld wenig Arbeit viel Feld viel Arbeit

Die gesamte zum Aufladen des Kondensators erforderliche Arbeit ist am Ende im Kondensator in Form von elektrischer Energie gespeichert: Q Q

Wel

Q Q

A Q 0

Q 0

Im Grenzübergang q Q Q

Wel Q 0

Q Q

qU

d Q dQ A

Q

A U Q 0 d

q

d Q A

dQ folgt: d Q2 A 2

Q Q

Q 0

d Q2 A2

-52-

1 QU 2

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Damit ergibt sich die im Kondensator gespeicherte elektrische Energie Wel zu: Wel

1 QU 2

1 Q2 2 C

1 CU 2 2

Einheit: Wel

VAs

J

(Joule)

Würde man den Kondensator anschließend mit einem Ladungslöffel wieder entladen, dann erhält man die gespeicherte elektrische Energie in Form von verrichteter Arbeit am Ladungslöffel zurück. Die elektrische Energie ist eine integrale Größe und kann nicht einem Raumpunkt zugeordnet werden. Für die räumliche Verteilung der elektrischen Energie im Feldvolumen des Kondensators, also der elektrischen Energiedichte w el , gilt für lineare Materie (ohne Beweis): w el

1 E D 2

1 D2 2

1 2 E 2

VAs m3

Einheit: w el

J m3

Die elektrische Energiedichte ist eine skalare Feldgröße und damit jedem Raumpunkt zugeordnet. Bei bekannter räumlicher Verteilung der Energie bestimmt sich die gesamte elektrische Energie durch Integration über das Feldvolumen:

Wel

w el dV Feld volumen

Beweis: Hierzu teilt man das gesamte Feldvolumen in Flussröhrensegmente ( dV

dA d s ) auf mit

D // d s und E // dA . Dann gilt:

Wel Feld volumen

1 E D dA d s 2

1 D dA E d s 2 Feld volumen

1 D dA E d s 2 alle Fluss Feld röhren

1 QU 2

linie

Beispiel: Parallelschaltung eines geladenen mit einem ungeladenen Kondensator mit gleicher Kapazität C : Für den Schaltvorgang bei t 0 gilt Ladungserhaltung, so dass sich die Ladung Q hälftig auf die beiden gleich großen Kondensatoren verteilt

t

0 : We11

t

0 : We11

1 Q2 2 C 1 Q 2 2 C

We12

0

We12

1 Q 2 2 C

2

Wel1

Wel2

Wel1

Wel2

2

Frage: Wo ist die Differenzenergie geblieben?

-53-

Q2 2C Q2 4C

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3.8 Kräfte zwischen Kondensatorplatten

Aufgrund der ungleichnamigen Ladungen ist offensichtlich, dass auf die Kondensatorplatten anziehende Kräfte wirken und damit das Dielektrikum zusammendrücken. Zur Berechnung dieser Kräfte wird im Folgenden das Prinzip der virtuellen Verrückung x x x angewandt. Fall A: Virtuelle Verrückung mit Q

Aa

Wel

Wel

1 Q2 2 C

1 Q2 x 2 A

Energieerhaltung: Aa

Wel

Wel

konst Fa x : äußere Arbeit, die in Form von mechanischer Arbeit (Kraft mal Weg) bei der virtuellen Verrückung zugeführt wird. Wel x : Änderung der elektrischen Energie bei der x virtuellen Verrückung

Wel x

x Q konst

Fa x

1 Q2 x 2 A 1 Q2 x 2 A

Fa

1 Q2 2 A

Zur Vergrößerung des Plattenabstandes ist eine positive Kraft erforderlich, d. h. die Kondensatorplatten ziehen sich an. Die Kraft ist für Q

konst unabhängig vom Abstand x der Kondensatorplatten.

Würde man die Kondensatorplatten tatsächlich mechanisch auseinanderziehen, würde die dabei geleistete mechanische Arbeit ( A a ) die im Kondensator gespeicherte elektrische Energie ( Wel Energiedichte.

Aa ) entsprechend vergrößern: Vergrößerung des Feldbereiches bei gleicher

-54-

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Fall B: Virtuelle Verrückung mit U

Aa

konst

Fa x : äußere Arbeit, die in Form von mechanischer Arbeit (Kraft mal Weg) bei der virtuellen Verrückung zugeführt wird. Wel x : Änderung der elektrischen Energie bei der x virtuellen Verrückung

Wel

A Batt

Wel

Q

1 CU 2 2

CU

1 AU2 2 x

Wel

AU x

Energieerhaltung: Aa

Fa

Q U : Arbeit die bei der virtuellen Verrückung von der Batterie geleistet wird

Q

ABatt

Q xU

Wel x

1 AU2 x 2 x2

x U konst

AU x x2

x konst

Wel

Fa x

AU2 x x2

A Batt

AU2 x x2

1 AU2 x 2 x2

1 AU2 2 x2

Zur Vergrößerung des Plattenabstandes ist eine positive Kraft erforderlich, d. h. die Kondensatorplatten ziehen sich an. Die Kraft ist für U

konst abhängig vom Abstand x der Kondensatorplatten.

Würde man die Kondensatorplatten tatsächlich mechanisch auseinanderziehen, würden die dabei geleistete mechanische Arbeit ( A a ) und die Abnahme der im Kondensator gespeicherten elektrischen Energie ( Wel

Aa ) der Batterie ( A Batt

2 Aa ) zugeführt.

Die Kraft bei einem bestimmten Abstand x muss unabhängig davon sein, wie der virtuelle Verrückungsprozess durchgeführt wird ( Q konst bzw. U konst )! Beide angegebenen Kräfte lassen sich mit Q

CU

A U ineinander überführen. x

Merkregel: Die Kraft ist immer so gerichtet, dass ein abgeschlossenes System (ohne Energiezufuhr) ein Energieminimum einnimmt bzw. ein offenes System (mit Energiezufuhr) ein Energiemaximum einnimmt. -55-

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-56-

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4 Das stationäre elektrische Strömungsfeld Definition: Stationäre Strömungsfelder sind zeitlich unveränderliche Felder (Beharrungszustand), die mit einer Energieumwandlung verbunden sind.

4.1 Die elektrische Stromdichte Physikalisch:

J( r )

k Ladungs trägerarte n ( Index k )

( r ) vD k ( r )

(vgl. Kap.1.4.3)

In der Maxwellschen Theorie (Kontinuumstheorie) sind keine Driftgeschwindigkeiten definiert, sondern nur Leitfähigkeiten und Ströme. Das Partikelbild dient jedoch der Anschauung! Definition: J

lim A

A

0

0:

I max A

A klein genug, so dass J homogen auf

A

Der Betrag der elektrischen Stromdichte ist definiert über den maximalen Strom pro Fläche. I

I max cos

Der Strom durch das Flächenelement hängt von der Ausrichtung der Fläche zum Feld ab:

J dA cos

J dA

dI

Die Richtung des Flächenvektors dA bei der der maximale Strom durch das Flächenelement fließt, stimmt mit der Richtung der elektrischen Stromdichte J überein. Feldgleichung:

J dA

0

(vgl. Kap. 1.5)

A

Beim stationären Strömungsfeld ist der Fluss von J durch eine beliebige geschlossene Hüllfläche und für beliebige Materie immer gleich Null.

-57-

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4.2 Die Materialgleichungen des stationären elektrischen Strömungsfeldes Aufgrund der Joulschen Verluste kommen in einem nicht angetriebenen System alle Ströme zum erliegen. Der Antrieb eines elektrischen Systems ist nichtelektrischer Natur und kann in Raumgebieten mit Antrieb bei der Materialgleichung durch die eingeprägte Feldstärke E e bzw. die eingeprägte Stromdichte J e berücksichtigt werden. Diese Größen sind nichtelektrischer Natur (z. B. mechanisch, chemisch etc.) und damit nicht zu verwechseln mit den elektrischen Größen E und J , obwohl sie die gleichen Einheiten besitzen. 4.2.1 Raumgebiete ohne Antrieb Die Maxwellsche Theorie ordnet jedem Raumpunkt eine Leitfähigkeit ( r ) zu:

J

E

Man kann dies auch als „Ohmsches Gesetz für einen Raumpunkt“ auffassen (vgl.  I Einteilung der Leitfähigkeit:

Wirkungen des elektrischen Stromes: Mechanische Wirkung Wärmewirkung Chemische Wirkung

Kräfte, Drehmomente … Wärme, Licht … Elektrolyse …

-58-

GU ).

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4.2.2 Raumgebiete mit Antrieb Der Antrieb für elektrische Ströme ist nichtelektrischer Natur und wird in der Materialgleichung durch die Zusatzgrößen eingeprägte Feldstärke E e und eingeprägte Stromdichte J e berücksichtigt. 4.2.2.1 Eingeprägte Feldstärke J

Ee )

(E

E e hat nichts mit der elektrischen Feldstärke zu tun! E e ist die nicht elektrische Ursache für das Strömungsfeld:

E ds

0

E e ds

aber:

C

(E E e ) d s

0

0

C

C

Beispiel: „Ersatzspannungsquelle“

J dA

(E E e ) dA

0

A

0

A B

B

EA B

E

B

B

EeAB

Ee IB

B B

Uq

IB

AB

0

B BA B

0

RB

E ds

E

0

B

UB

0

UB

E

B

C

UB

Uq

I BR B

Diese Gleichung lässt sich unter Anwendung von Ersatzschaltbild reproduzieren: -59-

U 0 und

I 0 mit folgendem

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„Ersatzspannungsquelle“

Hinweis: Die „Spannung“ U q existiert physikalisch nicht! Obwohl Sie bei der Anwendung von

U 0 wie eine Spannung aufgefasst wird, ist damit keine Potentialdifferenz verbunden, sondern sie ist lediglich eine Hilfsgröße zur Beschreibung eines Antriebes nicht elektrischer Natur! 4.2.2.2 Eingeprägte Stromstärke

J

Je

E

J e hat nichts mit der elektrischen Stromdichte zu tun! J e ist die nicht elektrische Ursache für das Strömungsfeld: J dA

0

J e dA

aber:

A

A

A

Beispiel: „Ersatzsstromquelle“

E ds C

0

(

J

Je

) ds

(J e

0

0

C

-60-

J e ) dA

0

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J

B B

JAB

Je

B

UB

0

B

B

JeAB

AB B

UB

B

AB

0

B

Iq

GB

J dA

0

JAB

IB

0

IB

JAB

A

IB

Iq

U BG B

Diese Gleichung lässt sich unter Anwendung von Ersatzschaltbild reproduzieren:

U 0 und

I 0 mit folgendem

„Ersatzstromquelle“

I 0 Hinweis: Der „Strom“ I q existiert physikalisch nicht! Obwohl er bei der Anwendung von wie ein Strom aufgefasst wird, ist damit kein Ladungstransport verbunden, sondern er ist lediglich eine Hilfsgröße zur Beschreibung eines Antriebes nicht elektrischer Natur!

-61-

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4.3 Grenzbedingungen Elektrische Stromdichte:

n 12 (J 2

J1 )

Mit Hilfe der Materialgleichung folgt unstetig für 1 2.

2

0

E 2n

J 2n 1

J1n

E1n , d. h. die Normalkomponente von E ist

Elektrische Feldstärke:

n 12 (E 2

Mit Hilfe der Materialgleichung folgt für

1

2

E1 )

0

J 2t

J 1t

2

1

E2t

E1t

, d. h. die Tangentialkomponente von J ist unstetig

.

-62-

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Wegen der Stetigkeit der Tangentialkomponente von E gilt gleichfalls die Stetigkeit des Skalarpotentials an der Grenzfläche: 1

2

Brechungsgesetze:

tan tan tan tan

1

1

2

2

1

2

2

1

„Brechungsgesetz für Feldlinien“

„Brechungsgesetz für Äquipotentialflächen:“

Konsequenz für ideale Leiter (

2

):

J n stetig

E 2n

E1n 2

E t stetig

J2t

J

Merke: Im ideal leitenden Metall ist die elektrische Feldstärke identisch dem Nullvektor Das elektrische Potential ist im idealen Leiter überall konstant.

-63-

J1t

0

E1t

0

E2t

0

2

0

Die Feldlinien für E , J treten senkrecht in den idealen Leiter ein bzw. aus. Über die Stromverteilung im idealen Leiter ist keine Aussage möglich.

0

2

2 1t 1

E2

E 2n

1

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4.4 Widerstandsberechnungen Im Folgenden wird die Widerstandberechnung durch die Berechnung des Leitwertes ersetzt um die Dualität zum elektrostatischen Feld besser herauszustellen. 4.4.1 Einführung des Leitwertbegriffes Der Quotient aus der elektrischen Stromstärke I1 (bzw. I 2 ) von Elektrode 1 nach 2 (bzw. 2 nach 1) und dem Spannungsabfall U12 1 2 (bzw. U 21 2 1 ) zwischen Elektrode 1 und 2 (bzw. 2 und 1) heißt elektrischer Leitwert G . Der Kehrwert heißt elektrischer Widerstand R .

G

I1 U12

J dA A1 2

E ds 1

I2 U 21

J dA A2 1

R

G E ds

1 G

2

Beispiel: langer, linienförmiger Leiter Vor: 1) J , E sind homogen 2) J , E // d s 3) J , E // dA

J dA G

A1 2

E ds 1

-64-

EA E

A

1 R

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4.4.2 Methoden zur Widerstandsberechnung Für die Widerstandsberechnung gibt es zwei wesentliche Methoden: 1) eingeprägter Strom I

2) eingeprägte Spannung U

4.4.2.1 Die IR-Methodik Prinzip: An einem Widerstand wird ein Teststrom I eingeprägt und der resultierende Spannungsabfall U bestimmt. Diese Methode ist immer dann sinnvoll, wenn die elektrische Stromdichte auf einer Äquipotentialfläche überall den gleichen Betrag aufweist und in eine Richtung des gewählten Koordinatensystems zeigt. I

Teststrom vorgeben

J

Symmetrie

E

E

U

U

J

I eA A

( J auf einer Äquipotentialfläche A konstant)

J

E ds enlang Feldlinie

R

R

U I

Beispiel: Schichtwiderstand mit longitudinal abhängiger Leitfähigkeit

-65-

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4.4.2.2 Die UR-Methodik Prinzip: An einen Widerstand wird eine Testspannung U eingeprägt und der resultierende Strom I bestimmt. Diese Methode ist immer dann sinnvoll, wenn die elektrische Feldstärke entlang einer Feldlinie überall den gleichen Betrag aufweist und in eine Richtung des gewählten Koordinatensystems zeigt.

U

Testspannung vorgeben

P

Symmetrie

E

E

grad

J

J

E

I

I

Es

0

( E entlang einer Feldlinie s konstant)

J dA Äquipotential fläche

R

R

U I

Beispiel: Schichtwiderstand mit lateral abhängiger Leitfähigkeit

-66-

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4.4.2.3 Parallel- und Reihenschaltung von Leitwerten bzw. Widerständen Reihenschaltung:

J dA 0

Durch jede Querschnittfläche fließt der gleiche Strom

A1 , A 2

Ersatzschaltung:

I I1 U

I2

I3

In

U1 U 2 U3

U1 U 2

R ges

U I

R ges

R1 R 2

R3

Un

U3 I

Un

Rn

1 G1

1 G2

1 G3

-67-

1 Gn

1 G ges

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Parallelschaltung:

E ds

0

Die Potentialdifferenz zwischen den beiden Elektroden ist überall gleich

s1 ,s2

Ersatzschaltung:

I I1 U

I2

U1

I3 U2

In U3

I1 I 2

G ges

I U

G ges

G1 G 2

G3

Un

I3 U

In

Gn

1 R1

1 R2

1 R3

-68-

1 Rn

1 R ges

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Die IR-Methodik entspricht der Reihenschaltung infinitesimaler Widerstände: R

dR

1 dU I

ds A

bzw. Die UR-Methodik entspricht der Parallelschaltung infinitesimaler Leitwerte:

G

dG

1 dI U

dA d

Lösungsstrategie zur Berechnung von Widerständen: 1) Wahl eines geeigneten Koordinatensystems 2) Grenzbedingungen - ideal leitende Elektroden ( E und J stehen senkrecht auf Metall) - unterschiedliche Leitfähigkeiten ( E t stetig und J n stetig) 3) Feldlinienbild mit Äquipotentialflächen einzeichnen 4) Symmetrieüberlegungen a) Muss die elektrische Stromdichte J auf einer Äquipotentialfläche überall gleich groß sein IR-Methodik bzw. Reihenschaltung infinitesimaler Widerstände b) Muss die elektrische Feldstärke E entlang einer Feldlinie überall gleich groß sein UR-Methodik bzw. Parallelschaltung infinitesimaler Leitwerte

-69-

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4.5 Leistungsdichte und Joulsche Verlustleistung Die Leistungsdichte gibt die Energie pro Volumen und Zeit an, die durch den Stromtransport (bewegte Ladungsträger) an das Kristallgitter abgegeben wird; d. h. Umwandlung der über das elektrische Feld aufgenommenen kinetischen Energie der Ladungsträger in Wärme (Gitterschwingungen des Kristalls). Da diese Energie dem elektrischen Feld entnommen wird, spricht man hier von Joulschen Verlusten. Allgemein gilt (ohne Beweis): p

Einheit: p

E J

J sm3

W m3

„Leistungsdichte“

Hieraus lässt sich die Joulsche Verlustleistung P durch Integration über das Feldvolumen berechnen:

P

pdV V

E JdV V

Teilt man das gesamte Feldvolumen in Stromröhrensegmente ( dV

dA d s ) auf mit J // d s und

E // dA . Dann gilt:

P

J E dA d s Feld volumen

J dA E d s Feld volumen

J dA alle Fluss röhren

E ds

UI

Feld linie

Damit ergibt sich die in einem Widerstand umgesetzte Joulsche Verlustleistung P zu:

P

UI RI 2

U2 R

Einheit: P

-70-

W

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4.6 Dualität zwischen dem stationären Strömungsfeld und dem elektrostatischen Feld Stationäres Strömungsfeld:

J I

Elektrostatik:

E

D

J dA

Q

D dA

2

U

2

E ds

U

E ds

1

G

G

E

1

I U

A V

C

S

C

Leitfähigkeit bzw. Fähigkeit des Stromtransportes

Zeitlich unveränderlich mit Energieumwandlung

As V

Q U

C V

F

Aufnahmefähigkeit von Ladung

Zeitlich unveränderlich ohne Energieumwandlung

-71-

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-72-

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Anhang A - Hilfsblätter Hilfsblatt 1 „Vektoren“ Vektoren sind gerichtete Größen, sie besitzen einen Betrag und eine Richtung. Der Betrag | ⃗| reelle Zahl.

besteht aus Zahlenwert und Einheit. Der Zahlenwert ist eine nicht negative ⃗⃗

Der Einheitsvektor ⃗ ist ein dimensionsloser Vektor mit dem Betrag 1. Er dient der Angabe einer betragsunabhängigen Richtung des Vektors ⃗. Der Normalenvektor ⃗⃗ ist ein Einheitsvektor der auf einer Grenzfläche senkrecht steht. a

ea

Addition:

⃗

n12

⃗⃗

⃗⃗

⃗

a+b

a

b

Subraktion:

⃗

⃗⃗

⃗⃗

⃗

a- b

a

b

-b

Multiplikation mit Skalar:

⃗⃗

⃗

⃗

a

b2=1,5 a

| | ⃗

| |

⃗

b1=-0,5 a

Der Ortsvektor ⃗ ist ein Vektor, der ausgehend vom Ursprung eines Koordinatensystems zu einem Punkt P im 3dimensionalen Raum zeigt. Er dient der Adressierung von Raumpunkten. Ein Vektorfeld ⃗ ⃗ ist die Gesamtheit einer orts- und zeitabhängigen vektoriellen Feldgröße innerhalb des Raumes. P z

r y

x

-A1-

f (r,t)

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Hilfsblatt 2 „Skalarprodukt“ Das Skalarprodukt ⃗ ⃗⃗ zweier Vektoren ⃗ und ⃗⃗ ist definiert durch ⃗ ⃗⃗ wobei

| ⃗|| ⃗⃗|

der von ⃗ und ⃗⃗ eingeschlossenen Winkel ist ⃗ ⃗⃗

mit

Eigenschaften: 1) ⃗ ⃗⃗ wenn ⃗ ⃗⃗ 2) ⃗ , , ⃗ ⃗⃗

, ⃗⃗ oder ⃗ ⃗⃗ genau dann wenn ⃗

⃗⃗

| ⃗| 3) ⃗ , ⃗ ⃗ | ⃗| mit bzw. ⃗⃗ , ⃗⃗ ⃗⃗ | ⃗⃗| 4) ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ Kommutativität 5) ⃗ ⃗⃗ ( ⃗ ⃗⃗) ⃗ ( ⃗⃗) 6) ⃗ ( ⃗⃗ ⃗) ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ wobei ⃗, ⃗⃗, ⃗ beliebige Vektoren sind

| ⃗⃗|

mit

Interpretation: Der Anteil von ⃗ senkrecht zu ⃗⃗ (bzw. der Anteil von ⃗⃗ senkrecht zu ⃗) bleibt beim Skalarprodukt unberücksichtigt. Nur der jeweils parallele Anteil wird berücksichtigt „Filter für -Anteile“ ⃗ ⃗⃗

⃗ ⃗⃗

:

:

a

b cosj

a

j

j b

a II

a cosj

Beispiel: ⃗⃗

(⃗

a cosj