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C APÍTULO

0

Fracciones y fractales

Resumen del contenido El tema del Capítulo 0 es la investigación de patrones en el diseño fractal. No se intimide si no ha visto fractales anteriormente. El propósito principal del Capítulo 0 es añadir interés visual e ideas nuevas a la revisión de fracciones, decimales, números con signos y exponentes. Las destrezas matemáticas de los estudiantes serán más fuertes, y ellos podrán entender mejor las ideas detrás de ellas, luego de aplicarlas a los fractales. El Capítulo 0 también introduce las ideas de recursión, los procesos aleatorios (random) y el evaluar las expresiones algebraicas, las cuales serán importantes a través del estudio del álgebra y en los cursos de matemáticas futuros.

Etapa 3

El profesor de su estudiante puede seleccionar lecciones del Capítulo 0 para revisar las destrezas e ideas que la clase necesita entender mejor a medida que los estudiantes comienzan su estudio formal del álgebra. Los estudiantes pueden llegar a este curso con varios niveles de preparación y el Capítulo 0 se provee para ayudar a emparejar las destrezas de los estudiantes. No se alarme si el profesor decide que no es necesario estudiar algunas de las lecciones en la clase de su estudiante. El profesor también puede usar el tiempo que él gasta en el Capítulo 0 para ayudar a los estudiantes a ajustarse a los métodos de enseñanza y aprendizaje de Discovering Algebra: hacer investigaciones, trabajar en grupos y usar calculadoras gráficas. Mientras tanto, usted puede usar este tiempo para establecer patrones en la manera que usted trabajará con su estudiante. Este capítulo provee un problema de resumen para que lo discuta con su estudiante. He aquí un resumen de las ideas principales nuevas del Capítulo 0.

Recursión Usar un ejemplo es la manera más fácil de entender la recursión: El primer número impar es el 1; el segundo es 3; el tercero es 5; y así sucesivamente. Usted puede hallar el decimoquinto número impar multiplicando 2 por 15 (para obtener 30) y luego restándole 1. O, puede hallar el decimoquinto número impar por la manera larga contando 1, 3, 5, 7, 9 y así sucesivamente, hasta llegar al 29. Encontrar el decimoquinto número impar sumando 2 repetidamente, comenzando desde el 1, se llama recursión, porque se halla el resultado en cada paso a partir del resultado del paso anterior. Con la tecnología, se pueden hallar resultados recursivos rápidamente. El método recursivo que los estudiantes ven en el Capítulo 0 será útil a medida que estudian el crecimiento lineal en los Capítulos 2 y 3 y el crecimiento exponencial en el Capítulo 6. 1

3

5

7

9

11

13

15

17

19

21

23

25

27

29

Procesos aleatorios y las calculadoras gráficas Un proceso es aleatorio si los resultados individuales son impredecibles. Ejemplos comunes de procesos aleatorios son el lanzar una moneda y el lanzar un dado. Las calculadoras gráficas pueden generar números aleatorios. Si no tiene un dado, puede hacer que la calculadora le muestre un número entero aleatorio entre el 1 y 6 para simular el lanzar de un dado. O puede simular el lanzar una moneda haciendo que la calculadora escoja 1 ó 2 al azar. Si una clase de 30 estudiantes cuentan uno tras otro en (continuado)

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Capítulo 0 • Fracciones y fractales (continuado) voz alta, el profesor puede seleccionar al azar un miembro de la clase haciendo que la calculadora muestre un número entero aleatorio entre 1 y 30. Pero las calculadoras son más flexibles que esto. Por ejemplo, éstas pueden mostrar un número entero aleatorio entre 1 y 100 para simular el escoger a una persona al azar de entre cien.

Evaluar expresiones Su estudiante puede que ya sepa que una expresión matemática es una combinación de números y letras que juntas representan un solo número. Para evaluar una expresión, se reemplaza cada letra con un número. Por ejemplo 3t ⫹ 5a ⫺ 4 es una expresión que significa (3 por t) más (5 por a) menos 4. Si se reemplaza t con 4 y a con 1, la expresión se vuelve (3 ⭈ 4) ⫹ (5 ⭈ 1) ⫺ 4. Esto es equivalente al número 13, el cual es a su vez una expresión. Algunas personas erróneamente usan la palabra ecuación para referirse a una expresión. Una ecuación tiene dos expresiones, una a cada lado de un signo de igualdad (⫽). Las expresiones por sí mismas no incluyen signos de igualdad y no son ecuaciones.

Problema de resumen Usted y su estudiante pueden discutir el ejemplo en las páginas 15 y 16 en el libro de texto Discovering Algebra y usar Dynamic Algebra Exploration en www.keymath.com/DA para explorar la curva de sombrero más a fondo. ¿Qué procedimiento recursivo generará la última columna en la tabla mostrada? Largo total (Número de segmentos por el largo de los segmentos) Número de etapa

Número de segmentos

Largo de cada segmento

Forma fraccional

0

1

1

1⭈1

1

1 ⭈ 5 ⫽ 51

1 1 1 ⭈ ᎏ3ᎏ ⫽ ᎏ3ᎏ

2

5 ⭈ 5 ⫽ 52

1 1 1 ᎏᎏ ⭈ ᎏ ᎏ ⫽ ᎏ ᎏ 3 3 3

...

...

17

517

冢ᎏ13ᎏ冣

2

17

冢冣 冢冣

1 51 ⭈ ᎏ3ᎏ

1

5 ⫽ ᎏ3ᎏ

1

1.67

冢 冣 ⫽ 冢ᎏ53ᎏ冣

1 52 ⭈ ᎏ3ᎏ

2

2

2.78 ...

...

冢冣

1.00

...

冢冣

1

冢 冣 ⫽ 冢ᎏ53ᎏ冣

1 517 ⭈ ᎏ3ᎏ

17

Forma decimal

17

5907.84

Discuta estas preguntas con su estudiante desde el punto de vista de un estudiante para su estudiante: ● ● ● ●

¿A cuál columna se refiere el problema? ¿Qué significa una regla o un procedimiento recursivo? ¿Cuál puede ser un valor de comienzo para esta columna? ¿Cómo puedes llegar de una fila a la próxima en la tabla? (continuado)

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Capítulo 0 • Fracciones y fractales (continuado) ¿Qué regla recursiva captura ese cambio? ● Si entras esa regla recursiva en tu calculadora gráfica, ¿obtienes los mismos valores que los mostrados en la tabla? ● ¿Puedes hacer que la calculadora dé la respuesta en una forma fraccional al igual que en una forma decimal? ¿Cómo? ● ¿La regla recursiva refleja cómo se hizo el fractal? ¿Cuál es la conexión? 2 ● ¿Qué pasaría si el segmento original en la Etapa 0 fuese sólo ᎏ3ᎏ de largo? ¿Cambiaría eso la tabla y la fórmula? ● ¿Qué otros cambios en el problema original puedes explorar? Algunas de estas preguntas tienen varias posibles respuestas válidas. No es importante que usted sepa todas las respuestas. En cambio, a medida que habla de las respuestas, asegúrese de que su estudiante dé una buena explicación de por qué una respuesta es razonable. En particular, una respuesta de “sí” o “no” no es suficiente. Anime a su estudiante a hacer preguntas también. ●

Respuestas ejemplares Las preguntas se refieren a las columnas acerca del largo total del fractal en las diferentes etapas. Un procedimiento recursivo da la primera etapa y describe cómo llegar de una etapa a la próxima. Aquí, para llegar del largo de una etapa a la próxima, multiplica por 5 y divide por 3, o multiplica por ᎏ53ᎏ. La multiplicación por 5 refleja el hecho que cada segmento es reemplazado por cinco segmentos; dividir por 3 refleja el hecho que cada segmento es ᎏ13ᎏ del largo de cada segmento viejo. Si el fractal comenzó más corto pero siguió la misma regla para obtener la próxima 5 etapa, el largo total en cada etapa cambiaría, pero cada etapa aún sería ᎏ3ᎏ del largo de la etapa anterior. Calculator Note 0A da información acerca de trabajar con fracciones en una calculadora. Anime a su estudiante a ser imaginativo al sugerir otras maneras de cambiar el problema original.

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Capítulo 0 • Ejercicios de repaso Nombre

Periodo

Fecha

1. (Lección 0.1) Usa este patrón fractal para contestar las preguntas. Asume

que el área del cuadrado de la Etapa 0 es 1.

Etapa 0

Etapa 1

Etapa 2

a. Describe el patrón y dibuja la Etapa 3. b. ¿Cuál es el área del cuadrado más pequeño en la Etapa 3? Escríbelo en

forma exponencial. c. ¿Cuál es el área total de los cuadrados sin sombrear en la Etapa 2? ¿En la

Etapa 3? 2. (Lecciones 0.1, 0.2) Haz los siguientes cálculos. Deja tu respuesta en

forma fraccional. 3 2 a. ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ 5 20 5 1 b. 1 ⫺ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ 3 12 2 1 c. ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ 3 5 2 1 1 1 d. ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ 3 2 6 9

冢

冣

冢

冣

3. (Lección 0.2) Reescribe la expresión 35 como una multiplicación repetida,

y halla su valor. 4. (Lección 0.4) Haz los siguientes cálculos. Verifica tus resultados en tu

calculadora. a. 2 ⭈ ⫺4 ⫹ 1 b. 3 ⫺ 5 ⭈ (1 ⫺ 4) c. 6 ⫼ ⫺2 ⭈ 4 d. 2 ⫺ (2 ⭈ 3 ⫺ 2)

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S O LU C I O N E S A LO S E J E R C I C I O S D E R E PA S O D E L C A P Í T U LO 0

1. a. Para crear la Etapa 3, divide cada cuadrado blanco de la Etapa 2 en cuatro cuadrados y sombrea el cuadrado superior derecho.

冢 冣

9 b. 1 ⫺ ᎏ1ᎏ 2

Haz los cálculos en el paréntesis primero.

1 ᎏᎏ 4

Resta y reduce.

2•1 ᎏ c. ᎏ 3•5 2 ᎏᎏ 15

Etapa 3

b. En cada etapa, el área del cuadrado más pequeño es 1 ᎏᎏ por el área del cuadrado más pequeño en la 4 etapa anterior. En la Etapa 1, el área del cuadrado 1 más pequeño es ᎏ4ᎏ; en la Etapa 2, es 1 1 1 2 1 1 1 1 3 ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ, ó ᎏᎏ ; y en la Etapa 3, es ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ , ó ᎏᎏ . 冢4冣 冢4冣 4 4 4 4 4 c. El buscar un patrón en las etapas anteriores te ayudará. El área de la región sin sombrear en la Etapa 0 es 1. El área de la región sin sombrear en la Etapa 1 es ᎏ34ᎏ. En la Etapa 2, el área de la región sin sombrear es 9 3 3 ᎏᎏ ⭈ ᎏᎏ , ó ᎏᎏ. De este patrón, el área de la región sin 16 4 4 sombrear en cada etapa es ᎏ34ᎏ por el área de la región sin sombrear en la etapa anterior. En la 3 Etapa 3, el área es 冢ᎏ34ᎏ冣 , ó ᎏ267ᎏ4 . 2 4 3 2. a. ᎏ5ᎏ ⭈ ᎏ4ᎏ ⫹ ᎏ2ᎏ 0 8 3 ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ 20 20 11 ᎏᎏ 20

6

Multiplica numeradores y denominadores. Multiplica.

冢

冣

2 1 3 2 ᎏᎏ d. ᎏ3ᎏ ⫹ ᎏ2ᎏ ⫺ ᎏ1ᎏ 8 ⫹ 18

冢 冣

2 1 5 ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫺ ᎏ ᎏ 3 2 18 12 9 5 ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫺ ᎏᎏ 18 18 18 16 8 ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ 18 9

Halla un denominador común. Suma. Halla un denominador común. Simplifica la expresión y reduce la fracción.

3. 3 ⭈ 3 ⭈ 3 ⭈ 3 ⭈ 3 ⫽ 243 4. a. b. c. d.

2 ⭈ ⫺4 ⫹ 1 ⫽ ⫺8 ⫹ 1 ⫽ ⫺7 3 ⫺ 5 ⭈ (1 ⫺ 4) ⫽ 3 ⫺ 5 ⭈ ⫺3 ⫽ 3 ⫺ (⫺15) ⫽ 18 6 ⫼ ⫺2 ⭈ 4 ⫽ ⫺3 ⭈ 4 ⫽ ⫺12 2 ⫺ (2 ⭈ 3 ⫺ 2) ⫽ 2 ⫺ (6 ⫺ 2) ⫽ 2 ⫺ 4 ⫽ ⫺2

Multiplica para obtener un denominador común. Multiplica. Suma los numeradores.

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