TEMA 1: FRACCIONES Y DECIMALES. 1.1 Numeros racionales Ejemplo Vamos a ver si los siguientes números son fraccionarios o no: 8 16 64 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1 2 8 Esto nos permite escribir un número de muchas formas distintas, lo que nos será de utilidad más adelante para sumar (restar) fracciones. Ahora, los números naturales y los enteros los podemos escribir de muchas formas distintas pero todas equivalentes. 3 6 9 3 6 9 3 6 9 .............. 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 Se trata de un número entero que se puede escribir en forma de número fraccionario. 3. 141 592 653 589 793 238 5 Hay fracciones que se aproximan a este valor pero no hay ninguna fracción que sea igual a . 7 14 21 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 10 15 20 Esto también es un número fraccionario pues es el cociente indicado de dos números naturales. Su división no es exacta.

Ejemplos de simplificación de fracciones. Se pide simplificar las siguientes fracciones: 15 15 3 5 es una fracción irreducible 27 3 9 27 36 36 9 4 4 2 2 es una fracción irreducible 54 9 6 6 2 3 54 Otra forma de hacerlo: 36 36 18 2 es una fracción irreducible 54 54 18 3

Ejemplos de fracciones equivalentes. Determina si los siguientes pares de fracciones son equivalentes: 6 y 27 14 63 Imposible pues una es positiva y la otra negativa. 6 y 27 63 14 Vamos a comprobar si producto de medios es igual a producto de extremos: 6 63

378

14 27

378

Como me da lo mismo las fracciones son equivalentes. Otra forma de hacerlo: simplifiquemos las fracciones dadas: 6 3 7 14 27 3 7 63 Como me queda la misma fracción irreducible, son equivalentes.

Ejemplos de comparación de fracciones Compara los siguientes pares de fracciones: 7 y 5 6 6 5 7 6 6 O lo que es lo mismo: 5 7 6 6 19 y 26 13 13 1

26 19 13 13 7 y 5 4 6 Se hace primero el m. c. m. 4, 6 12. Ahora calculamos fracciones equivalentes a las dadas con denominador 12: 12 4 7 7 3 7 21 4 12 12 12 12 6 5 5 2 5 10 6 12 12 12 21 10 5 Claramente es , o lo que es lo mismo 7 12 12 4 6 Tareas 20-09-2013: ejercicios 2 y 3, página 21.

1.2 Operaciones con fracciones Ejemplo de sumas y restas de fracciones 7 5 6 6 9 6 11 11 7 13 4 6 21 26 12

5

7 12 2 6 6 6 9 3 11 11 12 4 7 12 6 12 12 47 12

Se cumple que m. c. m. 4, 6

22

13

3

3 7 12

12 pues

2 13 12

21 12 22

4 6

26 12

2

3

126 7 4 126 6 5 126 9 8 126 126 126 18 4 21 5 14 8 72 105 112 145 fracción irreducible. 126 126 126 126 126 126 126 Se cumple que m. c. m. 7, 6, 9 7 2 3 2 126 4 7

5 6

8 9

7 pues

6 9

7 2

3 32

Ejemplos de productos de fracciones Realiza los siguientes productos de fracciones: 3 2 3 2 6 3 2 5 5 1 5 1 5 7 11 7 11 7 11 77 3 3 1 3 1 3 4 7 4 7 28 5 3 5 3 15 12 10 12 10 120 24 8 5 9 5 9 45 9 3 Otra forma de hacer esto es: 12 10 12 2 4 2 8 5 9 1 9 1 3 3

Ejemplos de cociente de fracciones Realiza los siguientes cocientes de fracciones: 3 2 3 5 15 3 2 5 5 1 1 2 2 7 11 7 11 7 1 7 3 3 1 3 11 33 4 7 4 3 12 5 5 7 3 35 12 10 12 9 108 54 5 5 9 10 50 25 Tareas 25-09-2013: todas las actividades de la página 22

Ejemplos de inversas de fracciones 2

Calcula la inversa de cada una de las siguientes fracciones y comprueba que es la inversa: 3 su inversa 1 3 1 3 1 3 Comprobación: 3 1 3 3 5 su inversa 7 7 5 35 Comprobación: 5 7 1 7 5 35 Aviso a navegantes: 1 3 1 3 1 Ejemplo al caso: 1 3 1 3 3

1.3 La fracción como operador Ejemplos de fracción de una cantidad En una fiesta hay 450 caramelos para repartir entre los asistentes. Pero mi grupo de colegas consigue hacerse con los 3 de forma fraudulenta. ¿Cuántos caramelos nos comeremos? 5 450 5 3 90 3 270 Tenemos que calcular los 3 de 450 5 Nos comeremos 270 caramelos. En una fiesta hay caramelos para repartir entre todos los asistentes. Si mis colegas y yo, conseguiemos comernos 3 de los caramelos (270 en total). ¿Cuántos caramelos había para 5 repartir entre los asistentes? 270 5 3 1350 3 450 Tenemos que hacer 270 5 3 Tenemos 600 kg de patatas buenas que son los 5 de una partida que se salvo de una 7 inundación. ¿Cuántos kilos de patatas teníamos antes de la inundación? 600 7 5 4200 5 840 Tenemos que hacer 600 7 5 Teníamos 840 kg de patatas. María coge los 4 de los 100 caramelos de la fiesta de Ana. Luego, María le da a su hijo, Juan, los 5 6 de los caramelos que ha cogido. ¿Cuántos caramelos se comerá Juan? 9 Una forma de hacerlo sería: 1º paso: 4 de 100 100 5 4 20 4 80 caramelos coge María. 5 160 2º paso: 6 de 80 80 9 6 53. 333 333 333 333 333 333 caramelos se come 9 3 Juan Pero estos dos pasos los puedo resumir en uno solo: 4 6 100 2400 480 160 se comería Juan. 5 9 45 9 3 Juan tiene un campo de cultivo de 840 m 2 . Los 3 partes están dedicadas a las hortalizas, 5 mientras que el resto lo dedica a trigo. ¿Cuántos m 2 tiene plantados de trigo? 5 3 2 Si 3 son de hortalizas, el resto será 1 3 5 5 5 5 2 2 2 840 1680 Ahora calculamos los de 840 840 336 5 5 5 5 Dedicamos 336 m 2 a trigo. Tareas 26-09-2013: todos los ejercicios de la página 23

1.4 Números decimales Ejemplos de números decimales Etiqueta adecuadamente los siguientes números decimales. 4 4. 0 es un número decimal exacto 14 2 2. 0 es un número decimal exacto 7 6. 79 es un número decimal exacto 3

15 1. 875 es un número decimal exacto 8 2. 345345345345. . . . . . . . . . . . . . . . es un número decimal períodico puro: su periodo es de tres cifras 345 17 1. 888 888 888 888 888 888 9 1. 888888888888888. . . . . . . . . 1. 8 es un número decimal 9 períodico puro: su periodo es de una cifra 8. 6. 0789898989898989. . . . . . . . . . . . . . . . es un número decimal períodico mixto: su anteperíodo es de dos cifras (07) y su periodo es de dos cifras (89) 8 0. 228 571 428 571 428 571 43 0. 228 571 428 571 428 571 4. . . . . . 35 0. 2285714 es un número decimal períodico mixto: su anteperíodo es de una cifra (2) y su periodo es de seis cifras (285714). 1. 2468101214161820222426. . . . . . . . . . . . . . . es un número decimal no exacto ni períodico 3 3 1. 442 249 570 307 408 382 3 es un número decimal no exacto ni períodico Se cumple que todas las raíces no exactas son números decimale no exactos ni períodicos.

Ejemplos de paso de fracción a decimal. Convierte en decimal los siguientes números fraccionarios: 7 7 10 0. 7 número decimal exacto 10 9 9 125 0. 072 número decimal exacto 125 Vamos a encontrar la expresión decimal de esta fracción completando hasta encontrar una potencia de 10. 9 9 9 23 72 72 0. 072 3 125 1000 53 23 5 10 3 Tareas 27-09-2013: todos los ejercicios de la página 25

1.5 Paso de decimal a fracción Ejemplo de paso de decimal a fracción Convierte los siguientes números decimales en fracciones: 9 0. 9 10 809 8. 09 100 89 0. 00089 100000 0. 898989898. . . . . . 0. 89 es un número decimal periódico puro con dos cifras en el período. Llamamos N

0. 89

Multiplicamos por 100 la expresión anterior porque tenemos dos cifras de período 100N 89. 89 Por lo tanto, obtenemos dos números que tienen el mismo período que desaparecerá si los restamos. 100N

89. 89

N

0. 89

99N

89

89 es la fracción generatriz de 0. 89 99 Tareas 27-09-2013: todos los ejercios de la página 26 Despejamos N

N

0. 89567567567. . . . . . . . . . . . 0. 89567 es un número decimal períodico mixto con dos cifras de anteperíodo (89) y tres cifras de perído (567). En primer, llamamos N períodico puro.

0. 89567 , multiplicamos por 100 para obtener un número decimal

100N 89. 567 Ahora, multiplicamos este por 1000 para obtener otro número decimal períodico puro con el 4

mismo período. 100000N 89567. 567 Ahora al restar estos dos números me desaparecerá el período: 100000N

89567. 567

100N

89. 567

99900N

89478

89478 1657 es la fracción generatriz de 0. 89567 99900 1850 Tareas 02-10-2013: todas las actividades de la página 27 Despejamos N

N

1.6 Cálculo con porcentajes Ejemplos de utilización de porcentajes Calcula el 20% de 5900 euros. 20 de 5900 5900 100 20 59 20 1180 euros 20% de 5900 100 20% de 5900 1 20 20% 0. 2 100 1 0. 2 5900 1180 euros 2. De una clase de 21 alumnos, sólo 14 han aprobado las Matemáticas. ¿Qué porcentaje de la clase ha suspendido la materia? 14 100 100 21 14 66. 666 666 666 666 666 667 67% han aprobado la materia. 21 Entonces 100 67 33% han suspendido la materia 21 14 7 alumnos han suspendido 7 100 100 21 7 33. 333 333 333 333 333 333 33% han suspendido la materia 21 Tareas 02-10-2013: todos los ejercicios de la página 28 3 En el concesionario de Renault venden un Clio Sport 16V por 34.000 euros. Si tenemos que añadir a este precio el IVA del 21%, ¿Cuál es el precio final de mi coche? 21% de 34000 21 34000 34000 100 21 100 340 21 7140 euros de IVA El precio final será 34000 7140 41 140 euros El índice de variación es 100 21 % 121% Calculamos el 121% de 34000 121 34000 121 340 100 41 140 euros es el precio final 1.

EXPLICACIÓN

4

5

El precio final es 21 34000 41140 34000 7140 1 34000 100 100 34000 21 34000 34000 100 21 34000 121 100 100 100 100 100 En la tienda de deportes de la esquina venden la equipación del Celta de Vigo, que cuesta 120 euros. Si los precios suben un 5%, ¿Cuál será el precio de venta ahora? Como nos aumentan el precio un 5%, el índice de variación será 100 5 105%. Es decir, el nuevo precio será el 105% de 120 105 120 105 1. 2 126. 0 euros cuesta ahora la camiseta. 100 En el concesionario de Renault venden un Clio Sport 16V por 34.000 euros. Si tenemos que restar a este precio el IVA del 21%, pues tenemos el carnet de familia numerosa, ¿Cuál es el precio final de mi coche? Primera forma

5

21 34000 21 340 7140 euros nos descontarán. 100 7140 26 860 euros pagaré.

Calculamos el 21% de 34000 El precio final será 34000 Segunda forma

El precio final será 100 21 79% del precio inicial 79 34000 79 340 26 860 euros pagaré 79% de 34000 100 Tareas 03-10-2013: todos los ejercicios de la página 29 6 El nuevo Porsche Cayman me ha costado 123.700 euros después de que me apliquen un descuento del 9%. ¿Cuál es el precio real del coche? La parte que hemos pagado del precio original es 100 9 91% 91 Entonces el precio inicial será 123700 100 123700 0. 91 1359 34. 0 7 euros pagaría si lo comprase sin descuento. 7 Me he comprado la PS4 con antelación, por lo que me han cobrado un recargo del 15% sobre el precio de fábrica. Si he pagado 450 euros por ella, ¿Cuál es el precio de fábrica? El precio de 450 es el 100 15 115% del precio de fábrica. 115 Este será 450 450 1. 15 391. 30 euros es el precio de fábrica. 100 Tareas 03-10-2013: todos los ejercicios de la página 30

1.7 Interés compuesto Ejemplos El Banco Santander tiene un depósito a 5 años con un interés anual del 1.25%. El BBVA tiene un depósito a 3 años con un interés anula del 2.75%. ¿Dónde es más interesante invertir una suma 120000 euros? Banco Santander 5 C F 120000 1 1. 25 120000 1 0. 0125 5 100 120000 1. 064 082 153 625 488 281 2 1 276 89. 8 6 euros es el capital final 1 0. 0125 5 1. 064 082 153 625 488 281 2 BBVA 3 120000 1 0. 0275 3 C F 120000 1 2. 75 100 120000 1. 084 789 546 875 1301 74. 75 euros es el capital final 1 0. 0275 3 1. 0275 3 1. 084 789 546 875 Tareas 03-10-2013: todos los ejercicios de la página 32 1.

EJERCICIOS FINALES DEL TEMA Calcula paso a paso y comprueba el resultado con la calculadora utilizando las reglas del paréntesis. e 1 23 5 32 32 1 8 5 9 32 1 8 4 32 1 32 32 1 1 2 f 3 7 2 24 3 49 16 46 16 46 16 30 Tareas 04-10-2013: todos los ejercicios que faltan del 1 2 Calcula mentalmente. e 36 4 7 3 10 7 30 7 23 2 3 3 f 2 9 8 9 8 17 Tareas 04-10-2013: todos los ejercicios que faltan del 2 3 Agrupa las fracciones que sean equivalentes. 21 24 4 14 10 15 3 49 36 5 21 15 35 7 Vamos a calcular la fracción irreducible de todas: 1.

6

21 21 7 3 7 49 49 7 24 24 12 2 36 36 12 3 14 14 7 2 21 21 7 3 10 10 5 2 15 15 5 3 15 15 5 3 7 35 35 5 Concluimos que: 15 3 21 7 49 35 14 10 24 36 21 15 4 5 Tareas 04-10-2013: 4 5 En cada apartado, reduce a común denominador y ordena de menor a mayor: 11 , 7 , 3 , 1 , 5 , 5 c 24 4 8 6 12 3 Tenemos que calcular el mínimo común múltiplo de los denominadores. 24

233

4

22

8

23

6

2

3

m. c. m. 24, 4, 8, 6, 12, 3

233

2

12

2 3

3

3

24 Se cojen los factores primos comunes y no comunes con el mayor exponente. 11 24 24 4 7 7 6 7 42 4 24 24 24 3 9 24 8 1 4 6 24 5 10 24 12 5 40 3 24 40 4 9 10 11 La ordenación será: 42 24 24 24 24 24 24 Tareas 04-01-2013: todos los ejercicios que faltan del 5 6 Expresa como suma de un número entero y una fracción propia, igual que se hace en el ejemplo: 8 6 2 6 2 2 2 3 3 3 3 3 Una fracción se dice que es propia si su numerador es más pequeño que el denominador. 16 14 2 14 2 c 2 2 7 7 7 7 7 3 2 1 2 1 d 1 1 2 2 2 2 2 Tareas 04-01-2013: todos los ejercicios que faltan del 6 7 Calcula y simplifica mentalmente. 2 3 1 6 1 7 a. 2 1 3 3 3 3 2 2 2 2 1 2 1 e 2 3 3 1 3 2 6 3 7 7 21 7 21 7 7 i 21 49 3 3 1 3 1 7

Tareas 09-01-2013: todos los ejercicios que faltan del 7 8 Calcula mentalmente el número que se pide en cada caso: c Los siete décimos de una cantidad son 210. ¿Cuál es esa cantidad? La cantidad será x. Tenemos que 7 de x 210 10 7 x 210 10 210 10 30 10 x 300 es la cantidad pedida 7 1 Tareas 09-10-2013: todos los ejercicios que faltan del 8 9 Expresa como número decimal las siguientes fracciones 233 0. 235 353 535 353 535 353 54 0. 235 es un número decimal períodico mixto. 990 13 0. 590 909 090 909 090 909 09 0. 590 es un número decimal períodico mixto. 22 Tareas 09-10-2013: todos los ejercicios que faltan del 9 10 Clasifica los siguientes números racionales en decimales exactos o periódicos (intenta dar la respuesta antes de hacer la división) 81 0. 324 es un número decimal exacto 250 Tareas 09-10-2013: todos los ejercicios que faltan del 10 11 Escribe tres números que estén comprendidos entre cada par de decimales. c 0. 28 y 0. 29 0. 28 0. 281 0. 283 0. 287 0. 29 Es una posible solución. f 4. 5 y 4. 4 4. 5 4. 49 4. 45 4. 41 4. 4 Tareas 09-10-2013: todos los ejercicios que faltan del 11 12 Ordena de menor a mayor en cada apartado. b

1. 32; 1. 3 2; 1. 32; 1. 3

1. 3 1. 32 1. 3 2 1. 32 Tareas 09-10-2013: todos los ejercicios que faltan del 12 13 Expresa en forma de fracción 103 c 1. 03 100 f 14. 3 número decimal periódico puro. Llamamos N 14. 3 Como tenemos una cifra de periodo, multiplicamos por 10 la expresión anterior: 10N 143. 3 Tenemos dos números decimales periódicos puros con el mismo periodo que al restarlos me desaparecerá el periodo. 10N

143. 3

N

14. 3

9N

129. 0

N

129 9

43 3

Tareas 09-10-2013: todos los ejercicios que faltan del 13 15 Calcula paso a paso y, después, comprueba el resultado con la calculadora utilizando las teclas de fracción y paréntesis. 5 5 2 1 c 2 1 1 5 2 6 3 4 2 3 5 5 2 1 3 5 2 2 6 12 2 3 30 10 2 1 8 22 11 12 8 2 2 8 12 12 12 2 3 12 6 6 6 8

11 4 11 6 11 6 6 6 4 4 Tareas 09-10-2013: todos los ejercicios que faltan del 15 16 Calcula y comprueba con la calculadora 2 2 1 2 c 13 2 1 3 3 9 3 2 1 2 2 6 2 3 5 13 1 2 13 9 9 3 3 9 3 3 5 13 1 2 18 2 18 3 3 9 9 3 9 3 9 2 Tareas 09-10-2013: todos los ejercicios que faltan del 16 17 Reduce a una fracción 7 3 21 21 5 8 40 40 21 3 21 10 7 c 1 5 3 1 2 40 10 40 3 4 5 2 10 10 10 Tareas 09-10-2013: todos los ejercicios que faltan del 17 18 Efectúa y simplifica descomponiendo en factores. 12 35 3 4 5 7 3 5 5 c 7 36 7 4 9 9 3 90 14 9 10 7 2 10 2 f 1 35 36 5 7 4 9 5 4 Tareas 09-10-2013: todos los ejercicios que faltan del 18 21 Calcula los porcentajes siguientes: 2. 5 14300 2. 5 143 357. 5 e 2. 5% de 14300 100 f 130% de 250 1. 3 250 325. 0 Tareas 09-10-2013: todos los ejercicios que faltan del 21 22 ¿Qué porcentaje representa? d 340 de 200 340 1. 7 170% 200 Tareas 09-10-2013: todos los ejercicios que faltan del 22 23 Calcula, en cada caso, la cantidad inicial de lo que conocemos. d El 150% es 57 57 1. 5 38. 0 El 150% de 38 es 57 Tareas 09-10-2013: todos los ejercicios que faltan del 23 24 ¿Por qué número hay que multiplicar para que se produzca uno de estos resultados? a. Aumenta un 12% 100 12 112 112% de la cantidad inicial multiplicamos por 112 1. 12 100 b. Disminuye el 37% 100 37 63 63% de la cantidad inicial multiplicamos por 63 0. 63 100 Tareas 11-10-2013: todos los ejercicios que faltan del 24 25 Calcula el índice de variación y la cantidad final. a. 325 aumenta el 28% Indice de variación 100 28 128 128% La cantidad final 325 1. 28 416. 0 b. 87 disminuye el 80% Indice de variación 100 80 20 20% La cantidad final 87 0. 2 17. 4 Tareas 11-10-2013: todos los ejercicios que faltan del 25 26 ¿Qué porcenaje de aumento o de disminución corresponde a estos índices de variación? a. 1. 54 154% 154 100 54 aumento de 54% b. 0. 18 18% 18 100 82 disminución de 82% Tareas 11-10-2013: todos los ejercicios que faltan del 26 Tareas 11-10-2013: 28 9

31 ¿En cuánto se convertirá un capital de 18000 euros al 5% anual si se mantiene en el banco

durante dos años y medio? t r Se aplica C f C i 1 100 2.5 5 Será C f 18000 1 18000 1. 05 2.5 20335. 073 795 046 822 992 20335. 07 euros 100 Tareas 11-10-2013: 32 33 ¿En cuánto se transformará un capital de 28500 euros colocado al 0.36% mensual durante dos años y medio? t r Se aplica C f C i 1 100 0. 36 30 28500 1. 0036 30 31744. 203 843 990 146 315 31744. 20 euros Será C f 28500 1 100 2 años y medio 24 meses y seis 30 meses Tareas 11-10-2013: 34 35 Una mezcla de cereales está compuesta por 7 de trigo, 9 de avena y el resto de arroz. 15 25 a. ¿Qué parte de arroz tiene la mezcla? El todo será 1. El arroz será lo que queda de quitarle al todo el trigo y la avena: 9 75 35 27 13 de arroz tiene la mezcla. 7 1 75 75 75 75 15 25 b ¿Qué cantidad de cada cereal habrá en 600 g de mezcla? 7 de 600 trigo 600 15 7 280 g de trigo 15 9 de 600 avena 600 25 9 216 g de avena 25 arroz 13 de 600 600 75 13 104 g de arroz 75 Tareas 11-10-2013: 36, 37

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