POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Monomio: Monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen entre las variables son...
POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Monomio: Monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen entre las variables son el producto y la potencia de exponente natural. Ejemplo: 2x2 y3 z Partes de un monomio: • • •
Coeficiente. E s e l n ú m e r o q u e a p a r e c e m u l t i p l i c a n d o a l a s v a r i a b l e s . Parte literal. Está constituida por las letras y sus exponentes. Grado. Es la suma de todos los exponentes de las letras o variables. Monomios semejantes: Son aquellos monomios que tienen la misma parte literal. Ejemplo: 2 x 2 y 3 z e s s e m e j a n t e a 5x2 y3 z Operaciones con monomios: Suma. Sólo podemos sumar monomios semejantes. La suma de los monomios es otro monomio que tiene la misma parte literal y cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes. Ejemplo: 2x2 y3 z + 3x2 y3 z = 5x2 y3 z Si los monomios no son semejantes se obtiene un polinomio. Producto de un número por un monomio El producto de un número por un monomio es otro monomio semejante cuyo coeficiente es el producto del coeficiente de monomio por el número. Ejemplo: 5 · (2x2 y3 z) = 10x2 y3 z Multiplicación de monomios
La multiplicación de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el producto de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene multiplicando las potencias que tenga la misma base. Ejemplo: (5x2 y3 z) · (2 y2 z2) = 10 x2 y5 z3
División de monomios
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La división de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el cociente de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene dividiendo las potencias que tenga la misma base. Ejemplo: Potencia de un monomio Para realizar la potencia de un monomio se eleva, cada elemento de éste, al exponente de la potencia. Ejemplo: (2x3)3 = 23 · (x3)3 = 8x9 (−3x2)3 = (−3)3 · (x2)3 = −27x6
Polinomio Un polinomio es una expresión algebraica de la forma: P(x) = an xn + an Siendo an, an
-1
- 1
xn
- 1
+ an
- 2
xn
- 2
+ ... + a1 x1 + a0
... a1 , ao números, llamados coeficientes.
n un número natural. x. la variable o indeterminada an es el coeficiente principal. ao es el término independiente. El grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable.
Valor numérico de un polinomio Es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un número cualquiera.
Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado. Ejemplo: P(x) = 2x3 + 5x − 3 P(x) +
Q(x) = 4x − 3x2 + 2x3
Q(x) = 4x3 − 3x2 + 9x − 3
Producto de polinomios Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio. Ejemplo: P(x) · Q(x) = (2x2 − 3) · (2x3 − 3x2 + 4x) = 4x5 − 6x4 + 2x3 + 9x2 − 12x
Cociente de polinomios
Regla de Ruffini
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Es un procedimiento para realizar divisiones de polinomios en las que el divisor es un binomio del tipo ( x – a) siendo a un número real. Para explicar los pasos a aplicar en la regla de Ruffini vamos a tomar de ejemplo la división: (x4 − 3x2 + 2 ) : (x − 3) 1Si el polinomio no es completo, lo completamos añadiendo los términos que faltan con ceros. 2 Colocamos los coeficientes del dividendo en una línea. 3Abajo a la izquierda colocamos el opuesto del término independendiente del divisor. 4Trazamos una raya y bajamos el primer coeficiente.
El último número obtenido, 56 , es el resto. 5El cociente es un polinomio de grado inferior en una unidad al dividendo y cuyos coeficientes son los que hemos obtenido. x3 + 3 x2 + 6x +18
Teorema del resto El resto de la división de un polinomio P(x), entre un polinomio de la forma (x − a) es el valor numérico de dicho polinomio para el valor: x = a.
Teorema del factor El polinomio P(x) es divisible por un polinomio de la forma
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(x − a) si y sólo si P(x = a) = 0. Al valor x = a se le llama raíz o cero de P(x). Raíces de un polinomio son los valores de x que anulan el polinomio. Factorización de polinomios Consiste en expresar un polinomio como producto de polinomios del menor grado posible. Ejemplo: x4 − 2x2 + 3 = (x2 + 1) · (x +
) · (x −
)
Raíces de un polinomio Son cada uno de los valores de la variable para los cuales el valor numérico del polinomio es cero. Raíces enteras. Son divisores del término independiente siempre que este no sea nulo. Máximo común divisor y mínimo común múltiplo de polinomios. El máximo común divisor, de varios polinomios es el polinomio de mayor grado que es divisor común de todos ellos. Para hallar el MCD de varios polinomios se descomponen estos en factores y se toman los factores comunes elevados al menor exponente. El mínimo común múltiplo, mcm, de varios polinomios es el polinomio de menor grado que es múltiplo de todos ellos. Para hallar el mcm de varios polinomios se descomponen estos en factores y se toman los factores comunes y los no comunes elevados al mayor exponente. Ejemplo: P(x)= x3-9x2+24x-16=(x-1)(x-4)2
Q(x)= 2x4-12x3+120x-64=
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(x-1)2(x+4)(x-8).2 MCD[P(x),Q(x)]=x-1 mcm[P(x),Q(x)]=2(x-1)2(x-4)2(x+4)(x-8) Fracciones algebraicas Una
fracción
algebraica
es
el
cociente
de
dos
polinomios
y
se
representa por:
Dos fracciones algebraicas
son equivalentes, y lo representamos por:
si se verifica que P(x) · S(x) = Q(x) · R(x). Ejemplo: Suma y diferencia de fracciones algebraicas
La suma de fracciones algebraicas con el mismo denominador es otra fracción algebraica con el mismo denominador y cuyo numerador es la suma de los numeradores. Ejemplo:
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Para sumar fracciones con distinto denominador, primero se reducen las fracciones a común denominador, posteriormente se suman los numeradores. Ejemplo:
Producto de fracciones El producto de dos fracciones algebraicas es otra fracción algebraica donde el numerador es el producto de los numeradores y el denominador es el producto de los denominadores.
Ejemplo: Cociente de fracciones El cociente de dos fracciones algebraicas es otra fracción algebraica con numerador el producto del numerador de la primera por el denominador de la segunda, y con denominador el producto del denominador de la primera por el numerador de la segunda.
