Fachwissenschaftliche Grundlagen Vorlesung im Wintersemester 2011/2012, Universität Landau
Roland Gunesch
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Roland Gunesch (Mathematik)
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Themen heute
paarweise Zuordnung Abbildungen und Funktionen Graphen injektiv, surjektiv, bijektiv Umkehrabbildung Verkettung
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Wiederholung: Paarweise Zuordnung Wir hatten schon folgende Aussagen über paarweise Zuordnung diskutiert, wobei der Begri paarweise zuordnen noch genau de niert werden muss: Wenn zwei endlichen Mengen gleichviele Elementen haben, dann lassen sie sich paarweise zuordnen. Wenn zwei endlichen Mengen verschieden viele Elementen haben, dann lassen sie sich nicht paarweise zuordnen. Zwei unendliche Mengen lassen sich manchmal paarweise zuordnen, auch wenn die eine Menge eine echte Teilmenge der anderen ist: Die Mengen
N
und
N0
Die Mengen
N
und
Z
Die Menge
Z
lassen sich paarweise zuordnen.
lassen sich paarweise zuordnen.
der ganzen Zahlen und die Menge
{2x |
x ∈ Z} der
geraden ganzen Zahlen lassen sich paarweise zuordnen.
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Paarweise Zuordnung mittels Abbildung
Es gelten auÿerdem (das werden wir noch zeigen):
N
und
Z×N
Die Mengen
lassen sich paarweise zuordnen (Begründung folgt noch).
N
und
R
lassen sich nicht paarweise zuordnen
(Begründung folgt ebenfalls noch). Wir werden paarweise Zuordnung genauer de nieren. Zunächst das einfachere Konzept der
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Abbildung.
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Abbildung: einfache De nition De nition Seien Eine nach
A und B
Mengen.
Abbildung f
B)
von
A nach B
ist eine Vorschrift, die jedem
(auch genannt eine
x ∈ A genau ein y ∈ B
Funktion f
von
A
zuordnet.
Wir schreiben:
f :A→B a 7→ f (a) oder wir schreiben:
f :A→B f (a) = ...(hier De nition von f
einfügen).
Beachten Sie die verschiedenen Pfeile. Roland Gunesch (Mathematik)
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Beispiele Beispiel für eine Abbildung:
f
: {0, 1} → {0, 1} 0
7→ 1
1
7→ 0
Beispiel für eine (andere) Abbildung:
f
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: {1, 2, 3} → {6, 7, 8, 9} 1
7→ 7
2
7→ 6
3
7→ 6
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Schreibweisen
Die beiden Beschreibungen
f
:N→N
x 7→ x + 1
oder
f :N→N f (x ) = x + 1 beschreiben beide dasselbe
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f.
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De nitionsmenge, Zielmenge De nition Wenn
f :A→B
eine Abbildung ist, dann heiÿt
A die De nitionsmenge von f
De nitionsbereich Zielmenge von f .
(auch genannt der und
B
heiÿt die
Diese gehören zu
f
von
f ),
dazu und müssen immer angegeben werden.
Zwei Funktionen mit derselben Formel für
f , aber verschiedenen
De nitionsbereichen sind verschiedere Funktionen. Beispiel:
f und
f
: R → R,
: [0, 1] → R,
x 7→ x 2 x 7→ x 2
sind verschieden. Roland Gunesch (Mathematik)
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Unterschied Funktion und Funktionswert De nition Wenn
f :A→B
eine Funktion (Abbildung) ist und
x ∈ A, dann heiÿt
f (x ) der Wert der Funktion f an der Stelle x . Oder auch: f (x ) heiÿt das Bild des Punktes x .
f und f (x ). f (x ) ist keine Funktion, es ist nur ein einzelner Wert. Die Funktion heiÿt nicht f (x ), sondern f . Vorsicht: Verwechseln Sie nicht
Denn:
(Oder, wenn Sie das nicht-eingesetzte Argument betonen möchten, können Sie für die Funktion auch
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f (.) schreiben.)
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Abbildung: Mengentheoretische De nition, Graph De nition
f = (A, B , G ) von Mengen, wobei die Menge A × B ist, d.h.
Eine Abbildung ist ein Tripel
G
erstens Teilmenge von
G ⊆ A × B, und so dass
G
die folgende Eigenschaft hat:
∀x ∈ A ∃! Hierbei heiÿt De nition Diese Menge
y ∈ B : (x , y ) ∈ G .
A wieder De nitionsmenge, und B G
heiÿt der
Zielmenge.
Graph von f . Wir schreiben in Formeln Graph(
f ) = {(x , f (x )) | x ∈ A}.
Es gilt: Graph(
heiÿt
f ).
Beispiele für Graphen Die Funktion
f
: {1, 2, 3} → {6, 7, 8, 9} 1
7→ 7
2
7→ 6
3
7→ 6
hat den Graphen
f ) = {(1, 7),
Graph(
(2, 6), (3, 6)}.
Der Graph der Funktion
f
:R→R
x 7→ x 2
ist eine (parabelförmige) Kurve. Roland Gunesch (Mathematik)
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Wertemenge, Bildmenge De nition Wenn
f :A→B
eine Abbildung (Funktion) ist, dann heiÿt die Menge
f (A) := {f (x ) | x ∈ A} die
Wertemenge oder die Bildmenge oder das Bild von f . Wir schreiben
statt
f (A) auch
f ) := f (A).
Bild(
Hierbei dürfen wir die Bildmenge nicht verwechseln mit der Zielmenge
f ) ⊆ B , aber nicht immer Bild(f ) = B . Anders gesagt: Es gilt immer f (A) ⊆ B , aber nicht immer f (A) = B .
B.
Es gilt immer Bild(
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Beispiel De nitions-, Werte- und Bildmenge Beispiel: Die Funktion
f
: {1, 2, 3} → {6, 7, 8, 9} 1
7→ 7
2
7→ 6
3
7→ 6
hat De nitionsmenge (De nitionbereich)
A = {1, 2, 3},
hat Zielmenge (Zielbereich)
B = {6, 7, 8, 9} und hat Wertemenge (Bildmenge, Bild) Bild(
f ) = {6, 7}.
Hier ist also die Wertemenge eine echte Teilmenge der Zielmenge. Roland Gunesch (Mathematik)
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Bilder von allgemeinen Teilmengen
Es gibt auch Bilder von Teilmengen der De nitionsmenge ist, dann ist das Bild der Teilmenge
M
gegeben durch
f (M ) := {f (x ) | x ∈ M } = {y ∈ B In dieser Formel ist
f
A : Wenn M ⊆ A
| ∃x ∈ M :
f (x ) = y }.
jetzt eine Abbildung, die Mengen als Argument (in
der Klammer) erwartet und als Ergebnis auch Mengen liefert.
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Urbild
De nition Sei
f :A→B
eine Abbildung. Wenn
N ⊆B
eine Teilmenge des Zielbereichs
ist, dann de nieren wir
f −1 (N ) = {x ∈ A | ∃y ∈ N : f (x ) = y } und nennen diese Menge das Dazu muss
f
Urbild der Menge N
unter
f.
nicht invertierbar (De nition folgt noch) sein.
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Beispiele Urbild Beispiele: Sei
f
die Funktion
f
: {1, 2, 3} → {6, 7, 8, 9}
Dann sind die Urbilder der Mengen
1
7→ 7
2
7→ 6
3
7→ 6.
{6}, {7, 8}
und
{8 , 9 }
gegeben durch
f −1 ({6}) = {2, 3},
f −1 ({7, 8}) = {1}, f −1 ({8, 9}) = {}. Roland Gunesch (Mathematik)
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Injektiv
De nition Sei
f f
f :A→B
heiÿt
eine Abbildung.
injektiv, wenn gilt: Jedes Element y ∈ B
getroen. Also:
Äquivalent:
f (x ) = f (˜x ) x 6= x˜
x = x˜.
=⇒ f (x ) 6= f (˜ x ).
Es muss aber nicht jedes Element aus
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=⇒
wird höchstens einmal von
B
getroen werden.
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Surjektiv
De nition Sei
f
f :A→B
heiÿt
von
f
eine Abbildung.
surjektiv, wenn gilt: Jedes Element y ∈ B
wird mindestens einmal
getroen. Also:
∀y ∈ B ∃x ∈ A : Es muss aber nicht jedes Element aus
B
f (x ) = y . nur einmal getroen werden. Es
ist erlaubt, dass manche Elemente mehrmals getroen werden.
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Bijektiv
De nition Sei
f
f :A→B
heiÿt
eine Abbildung.
bijektiv, wenn gilt: f
Dann gilt: Jedes Element Also:
ist injektiv und
y ∈B
f
wird genau einmal von
∀y ∈ B ∃!x ∈ A :
f
getroen.
f (x ) = y .
Für bijektive Abbildung sagen wir auch kurz
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ist surjektiv.
Bijektion.
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Bijektiv (Beispiele) Beispiele: Die Abbildung
f
: [0, 1] → [0, 1],
x 7→ x 2
ist bijektiv (injektiv und surjektiv). Die Abbildung
f
: [0, 1] → [−1, 1],
x 7→ x 2
ist injektiv aber nicht surjektiv. Die Abbildung
f
: [−1, 1] → [0, 1],
x 7→ x 2
ist surjektiv aber nicht injektiv. Die Abildung
f
: [−1, 1] → [−1, 1],
x 7→ x 2
ist weder surjektiv noch injektiv. Roland Gunesch (Mathematik)
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Umkehrabbildung Wenn die Abbildung
f :A→B
Abbildung
(genannt
bijektiv ist, dann de nieren wir die
f −1 : B → A
Umkehrabbildung) durch
f −1 : B → A f (x ) 7→ x . Diese Vorschrift macht bei bijektiven Abbildungen Sinn und gibt dann wieder eine Abbildung. Deswegen: Für bijektiv können wir auch sagen
.
umkehrbar oder invertierbar
Aber Vorsicht: es gibt mehrere Arten von Umkehrbarkeit.
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Umkehrabbilung (Beispiel) Beispiele: Die Abbildung
f
: {1, 2, 3} → {6, 7, 8} 1
7→ 6
2
7→ 7
3
7→ 8
ist bijektiv. Sie hat die Umkehrabbildung
f −1 : {6, 7, 8} → {1, 2, 3}
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6
7→ 1
7
7→ 2
8
7→ 3.
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Identität als Abbildung
Sei
A eine beliebige Menge. Die Identitätsabbildung auf der Menge A ist
gegeben durch idA
: A → A,
x 7→ x .
Die Identitätsabbildung ist bijektiv. Sie hat die Umkehrabbildung
−1
idA
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= idA .
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Zwei Bedeutungen von
f
−1
f −1 darf nicht verwechselt werden mit dem Urbild −1 (N ) mit N ⊆ B . (Mengenabbildung), also mit f −1 bedeutet also zwei verschiedene Dinge. Die Schreibweise f −1 ist Es gilt zum Glück: Das Bild von N ⊆ B unter der Umkehrabbildung f − 1 genau das Urbild von N unter der Mengenabbildung f . Die Umkehrabbildung
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Verkettung von Abbildungen
De nition Wenn
f :A→B
de nieren wir die
eine Abbildung ist und
Verkettung von f
g :B →C g durch
eine Abbildung, dann
und
g ◦f : A → C, (g ◦ f )(x ) := g (f (x )). Aussprache:
g nach f. Zuerst wird f
angewendet, dann
g.
Ausgewertet wird also von rechts nach links. Die Reihenfolge ist wichtig.
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Verkettung (Beispiel) Beispiel:
f : Z → Z, x 7→x + 1 g : Z → Z, x 7→ x 2 . : Z → Z gegeben durch x 7→ (x + 1)2 . 2 Dagegen wäre f ◦ g : Z → Z gegeben durch x 7→ x + 1. dasselbe (z.B. für x = 1). Dann ist
g ◦f
Dies ist nicht
Es gilt also kein Kommutativgesetz.
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Für mehrfache Verkettungen gilt das Assoziativgesetz: Seien
g :B →C
und
h:C →D
f : A → B,
Abbildungen. Dann gilt:
h ◦ (g ◦ f ) = ( h ◦ g ) ◦ f . Beweis: Übung.
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Verkettung mit sich selbst, beliebig oft Wenn
f : A → A eine Abbildung ist mit gleicher De nitionsmenge und f beliebig oft mit sich selbst verkettet werden. D.h.
Zielmenge, dann darf die Ausdrücke
f f ◦f f ◦f ◦f f ◦f ◦f ◦f ...
sind alle sinnvoll de niert. Wegen dem Assoziativgesetz müssen hier keine Klammern geschrieben werden.
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Paarweise Zuordnung, präzise de niert Mit Abbildungen können wir unsere Idee der paarweisen Zuordnung präzise de nieren: De nition
A und B heiÿen paarweise zuordenbar, wenn es eine bijektive Abbildung f : A → B gibt. In diesem Fall heiÿt f eine paarweise Zuordnung zwischen den Mengen A und B . Wir sagen auch, f ist eine Bijektion zwischen den Mengen A und B .
Die beiden Mengen
Es genügt auch, dass es eine
Bijektion zwischen den Mengen B
gibt, d.h. eine bijektive Abbildung
g : B → A. So ein g
und
A
gibt es genau dann,
f : A → B gibt. Wenn es eine Bijektion f zwischen den Mengen A und B gibt und eine Bijektion g zwischen B und C, dann gibt es auch eine Bijektion zwischen A und C , nämlich g ◦ f : A → C . wenn es eine Bijektion
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Beispiele (paarweise Zuordnung) Beispiele: Die Mengen
N0
und
N
sind paarweise zuordenbar mit der Bijektion
f
: N0 → N,
x 7→ x + 1.
Die Mengen
Z
und
N
sind paarweise zuordenbar mit der Bijektion
Die Mengen
Q
und
N
sind paarweise zuordenbar mit einer Methode
R
und
N
sind nicht paarweise zuordenbar. Dies läÿt sich
namens
Cantors Diagonalverfahren.
Die Mengen beweisen.
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![Grundlagen. [ 1 ] Allgemeine Grundlagen](https://kipdf.com/img/300x300/grundlagen-1-allgemeine-grundlagen_5ab189b31723dd369cf8020f.jpg)
