Hochschule für Technik und Architektur Bern Abteilung Elektrotechnik und Elektronik BFH Bereich Elektro- und Informationstechnik

Elektrotechnik Grundlagen

Kapitel 2

Einfache Gleichstromkreise

2002 Kurt Steudler (/ET_02.doc)

STR – ING Elektrotechnik 2-2 _____________________________________________________________________ Inhaltsverzeichnis

2

Einfache Gleichstromkreise................................................................ 5

2.1

Quelle und Last...................................................................................... 5

2.2

Das elektrische Feld .............................................................................. 6 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5 2.2.6 2.2.7 2.2.8 2.2.9

2.3

Der elektrische Stromkreis................................................................... 15 2.3.1 2.3.2 2.3.3

2.4

Bauformen ....................................................................................................... 22 Normreihen. Farbencode ................................................................................ 25 Toleranzen. Belastbarkeit................................................................................ 26 Temperaturabhängigkeit ................................................................................. 27

Die belastete reale Quelle ................................................................... 28 2.7.1 2.7.2 2.7.3 2.7.4

2.8

Der leerlaufende Spannungsteiler................................................................... 20 Der kurzgeschlossene Stromteiler .................................................................. 20 Der belastete Spannungsteiler ........................................................................ 21

Das Bauelement Widerstand ............................................................... 22 2.6.1 2.6.2 2.6.3 2.6.4

2.7

Die Serieschaltung von Widerständen ............................................................ 17 Die Parallelschaltung von Widerständen ........................................................ 18 Kombinationen ................................................................................................ 19

Der Spannungsteiler und der Stromteiler............................................. 20 2.5.1 2.5.2 2.5.3

2.6

Der Stromkreis ................................................................................................ 15 Definitionen...................................................................................................... 15 Die KIRCHHOFF’schen Sätze ........................................................................ 16

Die Serie- und Parallelschaltung von Widerständen............................ 17 2.4.1 2.4.2 2.4.3

2.5

Die elektrische Ladung und ihre Wirkung ......................................................... 6 Die elektrischen Feldgrössen ............................................................................ 7 Äquipotentialflächen .......................................................................................... 9 Feldstärke E und felderzeugende Ladung Q .................................................. 10 Elektrische Influenz. Ladungstrennung ........................................................... 10 Relative Dielektrizitätskonstante ..................................................................... 12 Die Kapazität C ............................................................................................... 12 Energie und Kraft im elektrostatischen Feld ................................................... 13 Energiedichte .................................................................................................. 14

Die reale Quelle............................................................................................... 28 Innenwiderstand und Innenleitwert der idealen Quelle ................................... 31 Der einfache Stromkreis mit realer Quelle ...................................................... 31 Leistung im Lastwiderstand............................................................................. 32

Schaltungen. Das Dezibel - Mass........................................................ 36 2.8.1 2.8.2 2.8.3

Die abgeglichene WHEATSTONE – Brücke................................................... 36 Fehlerortmessung ........................................................................................... 37 Dezibel und Neper........................................................................................... 38

______________________________________________________________________ Kurt Steudler 2-2 str

STR – ING Elektrotechnik 2-3 _____________________________________________________________________ Literaturverzeichnis L 2-1 L 2-2 L 2-3 L 2-4 L 2-5

Dabrowski G., Bauelemente der Elektronik, AT Verlag, Aarau/Schweiz, 1972. Frohne Heinrich, Löcherer Karl-Heinz und Müller Hans, Grundlagen der Elektrotechnik, Verlag B.G. Teubner, Stuttgart – Leipzig, 1996, ISBN 3-519-46400-4. Gren Joachim und Krause Joachim, Metzler Physik, Verlag Schroedel, Hannover, 1998, ISBN 3-507-10700-7. ® MATHCAD 2000. Mathematiksoftware, die sich für numerische Rechnungen und Laborauswertungen eignet. Tabellenbuch Informations- und Telekommunikationstechnik, Verlag Dr. Max Gehlen, Bad Homburg vor der Höhe, 1998, ISBN 3-441-92102-x

Tabellenverzeichnis Tabelle 2-1 Tabelle 2-2 Tabelle 2-3 Tabelle 2-4 Tabelle 2-5 Tabelle 2-6 Tabelle 2-7 Tabelle 2-8 Tabelle 2-9

Permitivitätszahlen ....................................................................................................... 12 Normreihe E - 12 .......................................................................................................... 25 Farbencode .................................................................................................................. 26 Toleranzen ................................................................................................................... 26 Temperaturkoeffizienten verschiedener Materialien .................................................... 27 Temperaturkoeffizienten in der Norm .......................................................................... 28 Grosse Zahlen.............................................................................................................. 28 dB relativ ...................................................................................................................... 39 dB absolut .................................................................................................................... 39

Figurenverzeichnis Fig. 2-1 Fig. 2-2 Fig. 2-3 Fig. 2-4 Fig. 2-5 Fig. 2-6 Fig. 2-7 Fig. 2-8 Fig. 2-9 Fig. 2-10 Fig. 2-11 Fig. 2-12 Fig. 2-13 Fig. 2-14 Fig. 2-15 Fig. 2-16 Fig. 2-17 Fig. 2-18 Fig. 2-19 Fig. 2-20 Fig. 2-21 Fig. 2-22 Fig. 2-23 Fig. 2-24 Fig. 2-25

Quelle - Verbraucher ...................................................................................................... 5 Einfacher Stromkreis...................................................................................................... 5 Elektroskop (Aus [L 2-3] S.179) ..................................................................................... 6 Elektrisches Feld zwischen zwei metallischen Platten .................................................. 7 Elektrische Felder. (Aus [L 2-3] S.183) .......................................................................... 8 Feld zweier Punktladungen. (Aus [L 2-3] S.185) ........................................................... 9 Äquipotentialflächen..................................................................................................... 10 Influenz. Ladungstrennung........................................................................................... 11 Plattenkondensator ...................................................................................................... 13 Energie im Kondensator............................................................................................... 14 elektrischer Stromkreis................................................................................................. 15 Ideale Spannungsquelle............................................................................................... 15 Ideale Stromquelle ....................................................................................................... 15 Idealer Leerlauf ............................................................................................................ 16 Idealer Kurzschluss ...................................................................................................... 16 Knotensatz ................................................................................................................... 16 Maschensatz ................................................................................................................ 17 Serieschaltung.............................................................................................................. 17 Parallelschaltung .......................................................................................................... 18 Parallelschaltung von zwei Widerständen ................................................................... 19 Serie- und Parallelschaltung ........................................................................................ 19 Graph zu Serie- und Parallelschaltung. (Mit [L 2-4]).................................................... 19 Leerlaufender Spannungsteiler .................................................................................... 20 Leerlaufender Spannungsteiler .................................................................................... 20 Belasteter Spannungsteiler .......................................................................................... 21

______________________________________________________________________ Kurt Steudler 2-3 str

STR – ING Elektrotechnik 2-4 _____________________________________________________________________ Fig. 2-26 Fig. 2-27 Fig. 2-28 Fig. 2-29 Fig. 2-30 Fig. 2-31 Fig. 2-32 Fig. 2-33 Fig. 2-34 Fig. 2-35 Fig. 2-36 Fig. 2-38 Fig. 2-39 Fig. 2-40 Fig. 2-41 Fig. 2-42 Fig. 2-43 Fig. 2-44 Fig. 2-45 Fig. 2-46 Fig. 2-47 Fig. 2-48 Fig. 2-49 Fig. 2-50 Fig. 2-51 Fig. 2-52 Fig. 2-53 Fig. 2-54

Belasteter Spannungsteiler. (Mit [L 2-4]) ..................................................................... 21 Fehler der Abweichung zum leerlaufenden Spannungsteiler. (Mit [L 2-4]).................. 22 Drahtwiderstand (unifilar und bifilar). (Aus [L 2-1], S.56) ............................................. 22 Widerstand mit Abgriff (Potentiometer). (Aus [L 2-1], S.57) ........................................ 22 Schichtwiderstand. (Aus [L 2-1], S.59)......................................................................... 23 Schichtwiderstand gewendelt, gerillt. (Aus [L 2-1], S.60) ............................................ 23 Schichtwiderstand mit Abgriff (Trimmer). (Aus [L 2-1], S.65) ...................................... 24 Potentiometer und Trimmer. (Aus [L 2-4]) ................................................................... 24 SMD oder Chip Widerstand (Bild Philips) .................................................................... 25 Farbkennzeichnung...................................................................................................... 26 Leistungshyperbel ........................................................................................................ 27 Reale Quelle................................................................................................................. 29 Messung an realer Quelle ............................................................................................ 29 Quellenkennlinien......................................................................................................... 30 Quellenersatzschaltbilder............................................................................................. 30 Stromkreis mit realer Quelle 1...................................................................................... 31 Stromkreis mit realer Quelle 2...................................................................................... 31 Quellenkennlinien und Arbeitspunkt ............................................................................ 32 Messung an realer Quelle ............................................................................................ 32 Leistung im Lastwiderstand. (Mit [L 2-4]) ..................................................................... 33 Fehlanpassung. Erklärungsmodell............................................................................... 34 Verhalten von UL, IL, PL und r. Graph linear in RL / Ri. (Mit [L 2-4]) ............................. 35 Verhalten von UL, IL, PL und r. Graph logarithmisch in RL / Ri. (Mit [L 2-4]) ................. 36 WHEATSTONE - Brücke ............................................................................................. 36 Brückenschaltungen..................................................................................................... 37 Widerstandsmessung................................................................................................... 37 Fehlerort nach Murray.................................................................................................. 37 Fehlerort nach Varley................................................................................................... 38

______________________________________________________________________ Kurt Steudler 2-4 str

STR – ING Elektrotechnik 2-5 _____________________________________________________________________

2

Einfache Gleichstromkreise

2.1

Quelle und Last Der idealisierte Gleichstromkreis besteht aus • Quellen, das heisst aus Elementen, in denen nichtelektrische Energie in elektrische Energie umgeformt wird, • Verbrauchern, das heisst Elementen, in denen elektrische in nichtelektrische Energie umgewandelt wird und • Verbindungsleitungen, die Quellen und Verbraucher untereinander ver1 binden und als verlustfrei betrachtet werden. Elektrische Energie

Mechanische Energie Chemische Energie Licht Kernenergie Wärme Fig. 2-1

Verbraucher

Quelle

Elektrischer Stromkreis

Mechanische Energie chemische Energie Licht Kernenergie Wärme

Quelle - Verbraucher

Zwischen der Spannung U am Verbraucher und dem Strom I durch den Verbraucher (Widerstand) besteht ein funktionaler Zusammenhang: U = f(I) = U(I) I = f(U) =I(U)

(2-1)

Die Funktion U(I) beziehungsweise I(U), das heisst die Charakteristik des Verbrauchers (Widerstandes) hängt von dessen Atomstruktur ab. Quelle

Fig. 2-2

1

Verbraucher

Einfacher Stromkreis

Diese ideale Annahme gilt, soweit nichts anderes gesagt wird.

______________________________________________________________________ Kurt Steudler 2-5 str

STR – ING Elektrotechnik 2-6 _____________________________________________________________________ 2.2

Das elektrische Feld Die Untersuchung der Elektrizität und der mit ihr zusammenhängenden Erscheinungen wird dadurch erschwert, dass wir kein Sinnesorgan besitzen das elektrische Vorgänge unmittelbar wahrnehmen kann. 2 Wir müssen aufgrund von Erscheinungen (Phänomenen) auf die zugrunde liegenden Tatsachen schliessen. Damit wir trotzdem zu Vorstellungen kommen, schaffen wir uns Modelle, das heisst Abbildungen der Wirklichkeit. Ergänzend zu den im Kapitel 1 gemachten Ausführungen folgen weitere Feststellungen.

2.2.1 Die elektrische Ladung und ihre Wirkung Das elektrische Feld beschreibt Erscheinungen, die durch geladene Materie bewirkt werden. Materie setzt sich aus kleinsten Einheiten, aus Atomen zusammen. Atome bestehen aus Protonen, Neutronen und Elektronen (einfaches Atommodell) und wir3 ken in der Regel ladungsneutral. Protonen tragen die positive, Elektronen die negative Elementarladung e = 1,602⋅10-19 As = 1,602⋅10-19 C. Sobald sich in einem Material die Zahl der Protonen von der Zahl der Elektronen unterscheidet, erscheint eine nach aussen wirkende Ladung. Die Ladungsmenge ergibt sich aus der Differenz der Anzahl Protonen und Elektronen und kann positiv (Elektronenmangel) oder negativ (Elektronenüberschuss) sein.

Fig. 2-3

Elektroskop (Aus [L 2-3] S.179)

Werden die beiden unterschiedlich geladenen Kugeln leitend verbunden, geht der Ausschlag der beiden Elektroskope

2 3 4

4

zurück.

Phänomenologie. Phänomenologisches Vorgehen. BOHR sches Atommodell. BOHR Niels, 7.10.1885-18.11.1962, dänischer Physiker, Atommodell 1913, Nobelpreis 1922. Elektroskop oder statisches Voltmeter. Gründet zur Anzeige auf den Kräften zwischen Ladungen. Festes und bewegliches Metallplättchen sind elektrische verbunden.

______________________________________________________________________ Kurt Steudler 2-6 str

STR – ING Elektrotechnik 2-7 _____________________________________________________________________ Elektrische Ladungen üben gegenseitig Kräfte aufeinander aus. Ursache dieser Kräfte ist ein besonderer, durch die Ladung geschaffener Raumzustand, den wir elektrisches Feld nennen. Wird das elektrische Feld von ruhender Ladung erzeugt, sprechen wir von einem elektrostatischen Feld. Elektrische Felder sind gerichtete Felder, also Vektorfelder. Ein elektrisches Feld kann erzeugt werden mit einer Einrichtung, die Ladungen zu trennen vermag, mit einer Quelle.

+

Quelle

+ +++ ++ +Q _ __ __

Fig. 2-4

E

E

d

-Q

Elektrisches Feld zwischen zwei metallischen Platten

Die Quelle U bewirkt eine Ladungstrennung. Die obere Metallplatte weist einen Elektronenmangel, die untere einen Elektronenüberschuss, auf. Der Zustand bleibt erhalten, wenn die Quelle entfernt wird. Die beiden Metallplatten zeigen sich dann als unterschiedlich geladene Körper. Die Anordnung speichert Ladung (Ladungsspeicher). Elektrische Ladungen treten paarweise auf. Einer positiven Ladung steht eine negative Ladung gegenüber. Erscheint eine Einzelladung, dann ist ihre Gegenladung sehr weit entfernt. 5

Eine Anordnung nach Fig. 2-4 nennen wir Kondensator. Der Isolator zwischen den 6 beiden metallischen Platten (hier Luft oder Vakuum) heisst Dielektrikum. 2.2.2 Die elektrischen Feldgrössen Auf eine kleine Menge Ladung, eine Probeladung ∆Q, in einem elektrischen Feld wirkt eine Kraft F, die sich proportional zur Ladungsmenge verhält. Mit F ~ ∆Q lässt sich mit der Proportionalitätskonstante E auch schreiben F = E⋅∆Q. Die Proportionalitätskonstante E macht eine Aussage über die Stärke des elektrischen Feldes und wird daher elektrische Feldstärke genannt.

5 6

lat.: condensus; sehr dicht, dicht gedrängt, «Verdichter». Der Kondensator ist ein Ladungsspeicher. Bezeichnung für eine Substanz, die Elektrizität nicht oder nur sehr wenig leitet, aber durch Reibung oder Ladung selber elektr. erregt werden kann (z.B. Bernstein, Quarz, Glimmer). Ein absoluter Nichtleiter ist das Vakuum.

______________________________________________________________________ Kurt Steudler 2-7 str

STR – ING Elektrotechnik 2-8 _____________________________________________________________________ Allgemein ist die Kraft F eine gerichtete Grösse, ein Vektor. Die Ladung Q stellt sich als skalare Grösse dar. Damit muss die elektrische Feldstärke E eine gerichtete Grö7 sse, ein Vektor, sein. r r F = ∆Q ⋅ E

oder

r r F E= ∆Q

(2-2)

Feldstärke E und Kraft F haben bei positiver Probeladung +∆Q die gleiche und bei negativer Probeladung -∆Q entgegengesetzte Richtung. Das elektrische Feld wird oft in Feldlinien dargestellt. Feldlinien geben an, in welcher Richtung die Kraft auf eine positive Probeladung wirkt.

Fig. 2-5

Elektrische Felder. (Aus [L 2-3] S.183)

In der Anordnung nach Fig. 2-4 verlaufen alle Feldlinien parallel. Das elektrische 8 Feld im Plattenkondensator ist homogen. Bewegen wir in Fig. 2-4 eine positive Probeladung ∆Q von der unteren Platte zur oberen Platte, wirkt auf sie die Kraft F = E⋅∆Q ; dabei sei d der Abstand der beiden metallischen Platten. Es ist die Energie W = F⋅d = E⋅∆Q⋅d aufzuwenden, um die Probeladung von der einen zur anderen Platte zu bringen.

7 8

-1

-1

Die Dimension der elektrischen Feldstärke E ergibt sich aus NC zu Vm . Die Randzone wird dabei nicht betrachtet.

______________________________________________________________________ Kurt Steudler 2-8 str

STR – ING Elektrotechnik 2-9 _____________________________________________________________________ Es gilt auch W = U⋅I⋅t = U⋅∆Q und durch gleichsetzen wird E⋅d = U. Für das homogene Feld gilt: U E= (2-3) d Entlang eines sehr kurzen Wegstückes gilt ∆U = E⋅∆l. Für ein inhomogenes E - Vektorfeld lässt sich verallgemeinert sagen: n r → U1,2 = ∑ E ⋅ ∆l

(2-4)

i =1

Fig. 2-6

Feld zweier Punktladungen. (Aus [L 2-3] S.185)

Das Feld zweier Punktladungen kann als Überlagerung der beiden Radialfelder verstanden werden.

Das Radialfeld einer Punktladung ist proportional zur Ladung Q und umgekehrt proportional zu Radius r im Quadrat: Q E ~ (2-5) r2

2.2.3 Äquipotentialflächen Im elektrischen Feld finden sich Flächen mit gleichbleibendem Potential ϕk, sogenannte Äquipotentialflächen. Die Spannungsdifferenz U1,2 lässt sich auch ausdrücken als Differenz zwischen den Potentialen zweier Äquipotentialflächen ϕ1 und ϕ2. U1,2 = ϕ1 - ϕ2

(2-6)

______________________________________________________________________ Kurt Steudler 2-9 str

STR – ING Elektrotechnik 2 - 10 _____________________________________________________________________

+ +++ ++ +Q E +

ϕ1 _ __ __ Fig. 2-7

U1,2

ϕ2

Quelle

E

-Q

Äquipotentialflächen

2.2.4 Feldstärke E und felderzeugende Ladung Q Die Feldstärke E ist der felderzeugenden Ladung Q proportional. Werden zwei Platten in einer Anordnung nach Fig. 2-4 in unterschiedlichen Abstand d gebracht und die zu E = U/d gehörende felderzeugende Ladung Q gemessen, lässt sich E ~ Q ermitteln. Wird der Versuch mit Platten unterschiedlicher Fläche A wiederholt, lässt sich feststellen, dass sich der Quotient Q/E proportional zur Fläche A verhält. Aus Q/E ~ A ergibt sich, dass E ~ Q/A. Für das homogene Feld zwischen zwei Platten ergibt sich Q = ε0 ⋅ E = D A

(2-7) 9

Der Quotient Q/A = D heisst Flächenladungsdichte und ε0 ist die elektrische Feld10 konstante mit ε0 = 8,8542 10-12 C/Vm.

2.2.5 Elektrische Influenz. Ladungstrennung Wird ein Leiter in ein elektrostatisches Feld gelegt, dann werden sich die in ihm befindenden freien Elektronen aufgrund der Kräfte, die auf die Ladungen wirken, innerhalb des Leiters verschoben. Die Elektronen wandern auf jene Seite des Leiters, die dem positiven Potential zugewandt ist. 11 Wir nennen diesen Vorgang «Influenz». 9 10 11

Die Flächenladungsdichte wird auch Verschiebungsdichte oder Verschiebungsflussdichte genannt. D ist wie E eine vektorielle Grösse. Die elektrische Feldkonstante wird auch Dielektrizitätskonstante des Vakuums genannt. lat.: influere, einfliessen; influo, hineinfliessen, unvermerkt eindringen, sich einschleichen. Influenza: Grippe. Influenzmaschine: Elektrisiermaschine (Ladungstrennung).

______________________________________________________________________ Kurt Steudler 2 - 10 str

STR – ING Elektrotechnik 2 - 11 _____________________________________________________________________

Quelle E +Q -Q +∆Q +

Metallische Probeplättchen

+

-∆Q

-

Fig. 2-8

Influenz. Ladungstrennung

Es werden zwei aneinander liegende metallische Plättchen in das elektrische Feld E 12 gebracht und dort getrennt. Zwischen den Plättchen entsteht ein feldfreier Raum. In die beiden metallischen Plättchen mit der Fläche ∆A dringen, solange diese sich im Feld befinden, gleichviele Feldlinien ein und wieder aus. Durch die Influenz wanderten die Elektronen in der Probefläche ∆A auf die der +Q - Platte zugewandte Seite.

Nehmen wir die Plättchen getrennt aus dem Feld, bleibt die Ladung je erhalten. Es wurde die Ladung ∆Q influenziert und zwischen den beiden Probeflächen besteht ein umgekehrt gerichtetes Feld E, das gleich gross ist wie das äussere Feld E=U/d. Es gilt ∆Q = ε0 ⋅ E = D (2-8) ∆A Der so gefundene Zusammenhang gilt auch im inhomogenen Feld, wenn die Probeplatten genügend klein sind. In einer sehr kleinen Umgebung kann das Feld als angenähert homogen angesehen werden.

12

Eine Anordnung, in der innerhalb eines Feldes ein feldfreier Raum vorhanden ist, wird «Faradayscher Käfig» genannt.

______________________________________________________________________ Kurt Steudler 2 - 11 str

STR – ING Elektrotechnik 2 - 12 _____________________________________________________________________ 2.2.6 Relative Dielektrizitätskonstante Die Menge der influenzierten Ladung ist abhängig vom Dielektrikum, das heisst vom Material im Feldraum. In den meisten Dielektrika (nichtleitende Stoffe) ist D ~ 13 E, das heisst es gilt r r r D = ε ⋅ E = ε 0 ⋅ εr ⋅ E

(2-9) 14

Die Proportionalitätskonstante ε heisst Dielektrizitätskonstante. ε setzt sich zusammen aus einer Konstanten ε0, der Dielektrizitätskonstanten des Vakuums (elektrische Feldkonstante) und einer materialabhängigen Grösse εr, der 15 relativen Dielektrizitätskonstanten. ε0

-12

-1

= 8,8542⋅10 C(Vm) -12 = 8,8542⋅10 As/Vm -1 16 = 8,8542 pFm

Dielektrizitätskonstante, des Vakuums elektrische Feldkonstante, Permittivität relative Dielektrizitätskonstante, Dielektrizitätszahl, relative Permittivität, Permittivitätszahl

εr

Permittivität εr einiger Stoffe: Stoff Bariumtitanat Glas Glimmer Luft Vakuum Tabelle 2-1

εr >1000 4 .. 12 5 .. 8 1,0006 1

Stoff Plexiglas Porzellan PTFE, Teflon® Transformatorenöl Wasser (destilliert) Pertinax

εr 3 6 2,1 2,3 81 4,8

Permitivitätszahlen

2.2.7 Die Kapazität C Zwei gegenüberliegende Metallplatten stellen einen Ladungsspeicher dar. Solche Ladungsspeicher nennen wir Kondensator (hier Plattenkondensator). Zwischen den 5 Platten befindet sich das Dielektrikum.

13 14 15 16

Bei den Dielektrika werden polare und unpolare Stoffe unterschieden. Die Dielektrizitätskonstante ist bei einigen Stoffen, zum Beispiel Bariumtitanat, nicht konstant, sondern vom angelegten E - Feld abhängig. Bekannt ist auch die elektrische Suszeptibilität χ. Es gilt χ = εr - 1 oder εr = 1 +χ F steht für Farad zu Ehren von M. FARADAY

______________________________________________________________________ Kurt Steudler 2 - 12 str

STR – ING Elektrotechnik 2 - 13 _____________________________________________________________________

+

Quelle

+ +++ ++ 1 +Q _ __ __

Fig. 2-9

E

E

-Q

d

2

Plattenkondensator

Die Ladung Q auf den beiden Platten ist proportional abhängig von der angelegten Spannung U: Q ~ U. Es gilt: Q~U oder Q = C ⋅U (2-10) Die Proportionalitätskonstante C nennen wir Kapazität. Die Kapazität ist ein Mass für die Speicherfähigkeit des felderzeugenden Plattenpaares. Die Grösse von C ist abhängig von den geometrischen Abmessungen einerseits und vom eingebrachten Dielektrikum andererseits. Im homogenen Feld gilt D⋅A = Q . Darin stellt A die Fläche einer metallischen Kondensatorplatte dar. Zudem sind D = ε⋅E und U = E⋅d. Zusammengestellt wird ε⋅A 17,18 (2-11) C= d Die Beziehung Q = I⋅t = C⋅U muss in jedem Augenblick erfüllt sein. Dies gilt auch, wenn U = u(t), wenn sich die Spannung in der Zeit ändert.

2.2.8 Energie und Kraft im elektrostatischen Feld Im Feld eines geladenen Kondensators ist Energie gespeichert. Die Menge dieser Arbeit lässt sich bestimmen. Zwischen den beiden Elektroden 1 und 2 eines Plattenkondensators werde eine kleine Probeladung ∆Q eingebracht. Auf diese Probeladung ∆Q wirkt die ∆F = ∆Q⋅E . Bringen wir die Probeladung ∆Q von der oberen Platte 1 auf die untere Platte 2, wird • die Spannung zwischen den Platten um ∆U verkleinert und • die Energie im Feld nimmt um ∆W ab.

17 18

-1

Aus der Formel ergibt sich die Dimension der Kapazität C zu [C] = AsV = F Farad. Zu Ehren von Michael FARADAY, 22.9.1791-25.81867, brit. Physiker und Chemiker, entdeckt das Benzol, die Gesetze der elektromagn.Induktion, den F'schen Käfig und so weiter.

______________________________________________________________________ Kurt Steudler 2 - 13 str

STR – ING Elektrotechnik 2 - 14 _____________________________________________________________________ Es gilt für ∆W im homogenen Feld → → r → Q ∆W = ∑ ∆Fk ⋅ ∆l k = ∑ ∆Q ⋅ E ⋅ ∆l k = U ⋅ ∆Q = ⋅ ∆Q C k k

Bringen wir die gesamte Ladung Q von der oberen auf die untere Platte, berechnet sich die gesamte Energie zu 2 Q Q2 Q ⋅ U C ⋅ U ⋅ ∆Qi = = = 2⋅C 2 2 i C

W = ∑ ∆Wi = ∑ i

U

(2-12)

∆W i

Q C

Q ∆Qi Fig. 2-10

Energie im Kondensator

Kraftwirkung Die beiden Platten ziehen sich mit der Kraft F an. F ergibt sich zu F=

ε ⋅ A ⋅ U2 2 ⋅ d2

(2-13)

2.2.9 Energiedichte Beim betrachteten Kondensator ist die Energie im Feld gespeichert. In vielen Fällen interessiert die Energiedichte w in elektrischen Feldern. Betrachten wir ein kleines Volumenelement ∆V und die darin enthaltene Energie ∆W, ergibt sich die Energiedichte w aus dem Verhältnis von ∆W zu ∆V. Im betrachteten Kondensator wird die Energiedichte w zu

w=

∆W W ε ⋅ E 2 D 2 E ⋅ D = = = = ∆V V 2 2⋅ε 2

(2-14)

______________________________________________________________________ Kurt Steudler 2 - 14 str

STR – ING Elektrotechnik 2 - 15 _____________________________________________________________________

2.3

Der elektrische Stromkreis

2.3.1 Der Stromkreis Der elektrische Stromkreis besteht aus idealen Quellen und Widerständen (Verbrauchern). Diese Elemente sind durch ideale Leitungen miteinander verbunden. (Vgl. 2.3.2)

R1 U

R2 I2

Fig. 2-11

I

R3 R4

U2

elektrischer Stromkreis

Der Spannungspfeil an der Quelle zeigt vom positiven zum negativen Pol oder Anschluss. Der Spannungspfeil an der Quelle ist der technischen Stromrichtung in der 19 Quelle entgegengesetzt. Am Verbraucher (R1, R2, R3, R4) zeigen der Spannungspfeil und der Strompfeil in der 20 gleichen Richtung. 2.3.2 Definitionen 2.3.2.1

Die ideale Spannungsquelle

U

Ul

Ul I Fig. 2-12 2.3.2.2

Ideale Spannungsquelle

Die ideale Stromquelle

U Ik Ik Fig. 2-13

19 20

Eine Spannungsquelle ist ideal, wenn an ihren Klemmen eine konstante Spannung besteht. Dies unabhängig vom Strom, der dieser Quelle entnommen wird.

I

Eine Stromquelle ist ideal, wenn an ihren Klemmen ein konstanter Strom fliesst. Dies gilt unabhängig von der Spannung, die über den Klemmen herrscht.

Ideale Stromquelle

Die technische Stromrichtung ist der Flussrichtung der Elektronen entgegengesetzt. VZS. Verbraucherzählpfeilsystem.

______________________________________________________________________ Kurt Steudler 2 - 15 str

STR – ING Elektrotechnik 2 - 16 _____________________________________________________________________ 2.3.2.3

Der ideale Leerlauf

I

A

Fig. 2-14 2.3.2.4

B

Zwischen zwei Anschlussklemmen besteht ein idealer Leerlauf, wenn zwischen diesen Klemmen kein Strom fliesst. Dies unabhängig von der Spannung, die zwischen diesen Klemmen besteht.

I

Idealer Leerlauf

Der ideale Kurzschluss

I

Fig. 2-15

A

U=0

Zwischen zwei Anschlussklemmen besteht ein idealer Kurzschluss, wenn zwischen diesen Klemmen keine Spannung besteht. Dies gilt unabhängig vom Strom, der durch diese Klemmen fliesst.

B I

Idealer Kurzschluss

2.3.3 Die KIRCHHOFF’schen Sätze 21

2.3.3.1

Der Knotensatz

Unter einem Knoten verstehen wir einen Verbindungspunkt der Anschlüsse von 22 Quellen und Verbrauchern. I

R1 Knoten I1 Fig. 2-16

I2

R2

K

Knotensatz

In einem Knoten gilt: n

∑ Ik = 0

(2-15)

k =1

Die Gesamtsumme der einem Knoten zufliessenden und von ihm wegfliessenden Ströme ist gleich Null. Dabei werden die zufliessenden Ströme mit einem positiven und die wegfliessenden 23 Ströme mit einem negativen Vorzeichen versehen. 21

22 23

Robert KIRCHHOFF, 12.3.1824 – 17.10.1887, Physiker, Professor in Breslau, Heidelberg und Berlin. Strahlungsgesetz und Kirchhoffsche Sätze. Vorlesungen über mathematische Physik und Mechanik, 4 Bände gesammelte Abhandlungen. Eine Verbindung mehrerer Anschlüsse durch löten, schrauben, wire-wrap, klemmen und so weiter. In einem Stromkreis, einem geschlossenen System, kann keine Ladung Q verloren gehen.

______________________________________________________________________ Kurt Steudler 2 - 16 str

STR – ING Elektrotechnik 2 - 17 _____________________________________________________________________ Umgeformt und für die praktische Anwendung geeigneter ergibt sich n

m

i =1

k =1

∑ Ii zufliessend = ∑ Ik wegfliessend

(2-16)

In einem Knoten ist die Summe der zufliessenden Ströme gleich der Summe der wegfliessenden Ströme. 2.3.3.2

Der Maschensatz 24

Eine Masche entsteht, wenn wir mehrere Elemente (Verbraucher, Quellen) in der Weise durchlaufen, dass keines der Elemente mehr als einmal durchlaufen wird und Anfangs- und Endpunkt zusammenfallen. R2

R4 U2

I

Fig. 2-17

U4

R1

R3

U1

U3

U

Maschensatz

Die Summe aller Spannungen entlang einer Masche ist gleich Null. Dabei werden die Spannungen in Laufrichtung mit positivem, die Spannungen entgegen der Laufrichtung mit negativem Vorzeichen versehen. Entlang einer Masche gilt n

∑ Uk = 0

(2-17)

k =1

2.4

Die Serie- und Parallelschaltung von Widerständen

2.4.1 Die Serieschaltung von Widerständen In der Serieschaltung werden die Widerstände hintereinander geschaltet. R1

R2 A

Fig. 2-18

24

I B

Rk

Rn-1

Rn

Uk

Serieschaltung

Bis jetzt kennen wird folgende Elemente: Widerstand, ideale Spannungsquelle, ideale Stromquelle.

______________________________________________________________________ Kurt Steudler 2 - 17 str

STR – ING Elektrotechnik 2 - 18 _____________________________________________________________________ In den Knoten A, B, C und so weiter gilt die Kirchhoffsche Knotenregel, das heisst die Ströme Ik sind in allen Rk gleich gross. Ik = I. Mit der Maschenregel wird der Gesamtwiderstand R R=

n R ⋅I n U = ∑ k k = ∑ Rk = R I k =1 I k =1

(2-18)

Der Gesamtwiderstand einer Serieschaltung ist gleich der Summe der Werte der Einzelwiderstände. Der Gesamtwiderstand R ist stets grösser als der höchste Wert der beteiligten Widerstände. 2.4.2 Die Parallelschaltung von Widerständen In der Parallelschaltung werden die Anschlussklemmen der Widerstände parallel zusammengeschaltet. A U

R1

R2

Rk Ik

B Fig. 2-19

Rn-1

Rn

Parallelschaltung

Über jedem Widerstand liegt die gleiche Spannung U an und es gilt für den Leitwert der einzelnen Widerstände Gk = Ik / U. Mit der Knotenregel ist der Gesamtstrom gleich der Summe der Einzelströme. Damit wird G=

n I n n 1 I 1 = = ∑ k = ∑ Gk = ∑ U R k =1 U k =1 k =1 R k

(2-19)

Der Gesamtleitwert G ist gleich der Summe der Einzelleitwerte und Der Gesamtwiderstandes ist gleich dem Reziprokwert der Summe der Reziprokwerte der Einzelwiderstände. Der Gesamtwiderstand ist stets kleiner als der tiefste Wert der beteiligten Widerstände. Sind nur zwei Widerstände an der Schaltung beteiligt, ergeben sich folgende Formeln R=

R1 ⋅ R 2 R1 + R 2

und R1 =

R2 ⋅ R R2 − R

(2-20)

______________________________________________________________________ Kurt Steudler 2 - 18 str

STR – ING Elektrotechnik 2 - 19 _____________________________________________________________________ A R

R1

R2

B Fig. 2-20

Parallelschaltung von zwei Widerständen

2.4.3 Kombinationen Wenn drei oder mehr Widerstände so zusammengesetzt werden, dass gleichzeitig Serie- und Parallelschaltungen entstehen, muss mit den Formeln 2.4.1 nach 2.4.2 und kombiniert gerechnet werden. Wie gross wird der Widerstand RAB zwischen den Klemmen A und B der Schaltung nach Fig. 2-21 mit einem einstellbaren Widerstand (Potentiometer). R AB = R1 || [(1 − x ) ⋅ R + R 2 || x ⋅ R] mit R1 = p⋅R , R2 = q⋅R und 0 ≤ x ≤ 1 wird

Beispiel:

A R1

R2

R

(1-x)R xR

B Fig. 2-21

)

(

R AB p ⋅ q + x − x2 = R (1 + p) ⋅ q + (1 + p) ⋅ x − x 2

Serie- und Parallelschaltung

0.5

0.5

f(x) = R AB / R

0.4

0.3 f( x) 0.2

0.1

0

0

0 0

Fig. 2-22

0.2

0.4

0.6 x

0.8

1 1

Graph zu Serie- und Parallelschaltung. (Mit [L 2-4])

______________________________________________________________________ Kurt Steudler 2 - 19 str

STR – ING Elektrotechnik 2 - 20 _____________________________________________________________________ 2.5

Der Spannungsteiler und der Stromteiler

2.5.1 Der leerlaufende Spannungsteiler Sind zwei oder mehr Widerstände in Serie geschaltet, verhalten sich die Spannungen über den Widerständen proportional zu den Widerständen.

R1 IA UE R2

A

U1 R1 = U2 R 2

UA B

Fig. 2-23

Leerlaufender Spannungsteiler

Mit IA = 0 ist der Spannungsteiler nicht belastet. Für den unbelasteten Spannungsteiler gilt die Spannungsteilerformel U A = UE ⋅

R2 G1 = UE ⋅ R1 + R 2 G1 + G2

(2-21)

2.5.2 Der kurzgeschlossene Stromteiler R2

IE A

IA

UA = 0

R1

Sind zwei oder mehr Widerstände parallel geschaltet, verhalten sich die Ströme durch die Widerständen umgekehrt proportional zu den Widerständen.

B

Fig. 2-24

I1 R 2 = I2 R1 Leerlaufender Spannungsteiler

Mit UA = 0 ist der Stromteiler kurzgeschlossen und es gilt die Stromteilerformel IA = IE ⋅

R1 G2 = IE ⋅ R1 + R 2 G1 + G2

(2-22)

______________________________________________________________________ Kurt Steudler 2 - 20 str

STR – ING Elektrotechnik 2 - 21 _____________________________________________________________________ 2.5.3 Der belastete Spannungsteiler Aus der Spannungsteilerformel wird für den mit RX belasteten Spannungsteiler U A = R 2 // R x und umgeformt UE R1 + R 2 // R x UA = R2 ⋅ Rx UE R1 ⋅ R 2 + R x ⋅ (R1 + R 2)

IA ≠ 0 R1 UE

Fig. 2-25

R2

RX

UA

Belasteter Spannungsteiler

K⋅X // , worin K = R1 R 2 und X = R x Daraus ergibt sich U A = UE 1 + X R1 R1 // R 2 mit 0 ≤ X < ∞ ; 0 ≤ K ≤ 1 12

12

10

u(x) = UA/UE

8 u ( x) 6

K

4

2 0

Fig. 2-26

0

5 5

0

5

10 x x = Rx/(R1//R2)

15

20

25

30 30

K=10

Belasteter Spannungsteiler. (Mit [L 2-4])

Frage: Bis zu welchem Wert A muss Rx ≥ (R1//R2)⋅A erfüllt sein, damit eine Berechnung von UA mit dem leerlaufenden Spannungsteiler um höchstens b% vom wirklichen Wert abweicht.

______________________________________________________________________ Kurt Steudler 2 - 21 str

STR – ING Elektrotechnik 2 - 22 _____________________________________________________________________ 100

100 90

Faktor zu Rx > A(R1//R2)

80 70 60 A( b )

50 40 30 20 10

0

0

0 0

Fig. 2-27

2.6

2

4

6

8

10 12 b Fehler in b Prozent

14

16

18

20 20

Fehler der Abweichung zum leerlaufenden Spannungsteiler. (Mit [L 2-4])

Das Bauelement Widerstand

2.6.1 Bauformen Der Widerstand R ist die Eigenschaft eines Bauelementes dem OHM‘ schen Gesetz zu gehorchen. Das Bauelement selber wird auch als Widerstand bezeichnet. Die einfachste Bauform ergibt sich aus dem Widerstand eines Leiters:

Fig. 2-28

Drahtwiderstand (unifilar und bifilar). (Aus [L 2-1], S.56)

Diese Bauform wird benutzt für die Herstellung von Widerständen hoher Leistung und von Widerständen mit einem Abgriff (Trimmpotentiometer).

Fig. 2-29

Widerstand mit Abgriff (Potentiometer). (Aus [L 2-1], S.57)

______________________________________________________________________ Kurt Steudler 2 - 22 str

STR – ING Elektrotechnik 2 - 23 _____________________________________________________________________ Häufig im Einsatz sind gewendelte Kohle- oder Metallschichtschichtwiderstände.

Fig. 2-30

Schichtwiderstand. (Aus [L 2-1], S.59)

Fig. 2-31

Schichtwiderstand gewendelt, gerillt. (Aus [L 2-1], S.60)

Widerstände mit einem Abgriff (Potentiometer, Trimmer) können ebenfalls beschichtet sein.

______________________________________________________________________ Kurt Steudler 2 - 23 str

STR – ING Elektrotechnik 2 - 24 _____________________________________________________________________

Fig. 2-32

Schichtwiderstand mit Abgriff (Trimmer). (Aus [L 2-1], S.65)

Fig. 2-33

Potentiometer und Trimmer. (Aus [L 2-5])

Heute werden Widerstände vornehmlich in SMD Bauformen eingesetzt („Chip“ Wi25 derstände.

25

SMD: Surface Mounted Devices: „oberflächenmontiertes Bauelement“. Grössen im mm Bereich.

______________________________________________________________________ Kurt Steudler 2 - 24 str

STR – ING Elektrotechnik 2 - 25 _____________________________________________________________________

Fig. 2-34

SMD oder Chip Widerstand (Bild Philips)

2.6.2 Normreihen. Farbencode 2.6.2.1

Die Normreihen

Der Widerstandsbereich käuflicher Widerstände liegt etwa zwischen 1Ω bis 10MΩ, 26 das heisst im Bereich von etwa 7 Dekaden. Obgleich Widerstände für jeden Wert herstellbar sind, werden nur bestimmte Werte angeboten. Die Werte sind in E - X Reihen normiert. X steht für die Anzahl Werte pro Dekade. Bekannt für Bauelemente der Elektronik sind die Reihen E – 6, E – 12, E – 24, E – 48, E – 96, und E – 192. Für praktische Arbeiten ist es geeignet, die Reihe E – 12 auswendig zu kennen. Wert 10 12 15 18 22 27 Tabelle 2-2

Farbe 1 braun braun braun braun rot rot

Farbe 2 schwarz rot grün grau rot violett

Wert 33 39 47 56 68 82

Farbe 1 orange orange gelb grün blau grau

Farbe 2 orange weiss violett blau grau rot

Normreihe E - 12

Die Reihen entstehen als geometrische Reihen aus n

Wert = 10 ⋅ 10k 2.6.2.2

worin n = Re ihenwert und k = 0,1, 2...(n − 1)

(2-23)

Der Farbencode

Die Bauelemente der Elektronik sind mit Zahlen bedruckt oder häufiger mit einem Farbencode versehen. Die Farben stehen für Zahlen und erleichtern das Auffinden des gesuchten Wertes. Für praktische Arbeiten ist es geeignet, den Farbencode auswendig zu kennen. 26

Dekade bezeichnet ein Verhältnis von 1:10 oder 10:1: 10 bis 100, 1kΩ bis 10kΩ und so weiter.

______________________________________________________________________ Kurt Steudler 2 - 25 str

STR – ING Elektrotechnik 2 - 26 _____________________________________________________________________ Zahl 0 1 2 3 4 Tabelle 2-3 2.6.2.3

.s .bn .r .og .gb

Farbe schwarz braun rot orange gelb

Zahl 5 6 7 8 9

.gn .bl .v .gu .w

Farbe grün blau violett grau weiss

Farbencode

Anwendung des Farbencode

1. Wertziffer 2. Wertziffer

Multiplikator Fig. 2-35

Toleranz

Mit den beiden Wertziffern wird der Reihenwert angegeben. Beispiel: Ring 1 orange, Ring 2 weiss meint 39. Der Multiplikator multipliziert den Reihenwert mit 10 hoch Farbe. Beispiel: Gelb = 104. Rot – violett – grün entspricht R = 2,7 MΩ.

Farbkennzeichnung

Bei Metallschichtwiderständen wird der Reihenwert mit drei Ziffern angegeben. Der Multiplikator erscheint als vierter Ring. 2.6.3 Toleranzen. Belastbarkeit 2.6.3.1

Toleranzen

Die Bauelemente der Elektronik weisen Toleranzen auf. Die möglichen Toleranzen sind den Normreihen zugeordnet mit Reihe E–6 E – 12 E – 24 E - 48 Tabelle 2-4

Toleranz 20 % 10 % 5% 2%

Farbe Farblos Silber oder weiss Gold oder grau rot

Reihe E – 96 E – 192

Toleranz 1% 0,5 % 0,25 % 0,1 %

Farbe Braun Grün Blau Violett

Toleranzen

Ein Widerstand von 18 kΩ aus der Reihe E – 12 mit 10 % Toleranz kann demnach Werte zwischen 16,2 kΩ und 19,8 kΩ annehmen. Die Toleranzen sind so zugeordnet, dass die Fehlerbänder die ganze Dekade abdecken. Bei Metallschichtwiderständen ist die Toleranz als fünfter Ring aufgetragen.

______________________________________________________________________ Kurt Steudler 2 - 26 str

STR – ING Elektrotechnik 2 - 27 _____________________________________________________________________ 2.6.3.2

Belastung

Die einem Widerstand zugeführte elektrische Energie wird in Wärme umgesetzt, die abgeführt werden muss, wenn der Widerstand nicht zerstört werden soll. Zudem darf eine Höchstspannung am Element nicht überschritten werden, um Durchschläge zu vermeiden. U

Leistungshyperbel UMax

U = PMax / I Arbeitsbereich Fig. 2-36

I

Leistungshyperbel

Die Angaben der Hersteller sind zu beachten. 2.6.4 Temperaturabhängigkeit Die Widerstandswerte sind bei 20 °C spezifiziert und temperaturabhängig nach der Formel R(ϑ) = R20⋅(1 + α⋅∆ϑ). Der Temperaturkoeffizient α in 1/Kelvin (K-1) ist vom verwendeten Widerstandsmaterial abhängig. Material

Drahtwiderstände

Temperaturkoeffizient α

CrNi: < 250⋅10-6 K-1 Konstantan: < 100⋅10-6 K-1 unkritisch

Zulässige Temperatur Tabelle 2-5

Kohleschichtw Metallschicht- Edelmetalliderstände widerstände schichtwiderCrNi stände Au/Pt -6 -1 - 200⋅10 K 200⋅10-6 K-1 0 bis bis bis -6 -1 ± 50⋅10-6 K-1 350⋅10-6 K-1 - 1200⋅10 K - 55 °C bis + 155 °C

- 65 °C bis + 175 °C

- 65 °C bis + 155 °C

Temperaturkoeffizienten verschiedener Materialien

Der Temperaturkoeffizient wird bei Metallschichtwiderständen als sechster Ring angegeben. Dies mit der Zuordnung

______________________________________________________________________ Kurt Steudler 2 - 27 str

STR – ING Elektrotechnik 2 - 28 _____________________________________________________________________

α 250⋅10-6 K-1 100⋅10-6 K-1 50⋅10-6 K-1 15⋅10-6 K-1 25⋅10-6 K-1 Tabelle 2-6

.s .bn .r .og .gb

Farbe schwarz braun rot orange gelb

α 20⋅10-6 K-1 10⋅10-6 K-1 5⋅10-6 K-1 1⋅10-6 K-1

.gn .bl .v .gu

Farbe grün blau violett grau

Temperaturkoeffizienten in der Norm

Toleranzen und Temperaturkoeffizienten werden oft auch in „ppm“ oder „ppb“ angegeben. • ppm Parts per Million Anzahl Teile auf 1 Million Teile • ppb Parts per Billion Anzahl Teile auf 1 Milliarde Teile So entsprechen 50⋅10-6 K-1 dem Wert 50 ppm K-1 oder 4⋅10-7 entsprechen 400 ppb. Es ist zu beachten, dass „billion“ nicht Billion, sondern Milliarde meint: American (U.S.A., Russland)

British

1.E+06

Million

one million

one million

1.E+09

Milliarde

one billion

one thousand million(s)

1.E+12

Billion

one trillion

one billion

1.E+15

Billiarde

one quatrillion

one thousand billion(s)

1.E+18

Trillion

one quintillion

one trillion

1.E+21

Trilliarde

one sextillion

one thousand trillion(s)

1.E+24

Quatrillion

one septillion

one quatrillion

Tabelle 2-7

Grosse Zahlen

Wenn also die Schweiz über ein Bruttoinlandprodukt BIP von 260 billion $ verfügt, sind das nicht 390 Billionen CHF, sondern „nur“ 245 Milliarden Euro.

2.7

Die belastete reale Quelle

2.7.1 Die reale Quelle Reale Quellen sind Energiewandler oder Einrichtungen, die Ladung zu trennen vermögen. Zwischen den Klemmen einer realen Quelle besteht eine Spannung U. Wird ein Widerstand (Verbraucher) an die Klemmen angeschlossen, das heisst wird die Quelle belastet, dann fliesst ein Strom IL durch diesen Widerstand und es ______________________________________________________________________ Kurt Steudler 2 - 28 str

STR – ING Elektrotechnik 2 - 29 _____________________________________________________________________ herrscht eine Spannung UL an diesem Widerstand, an der Last RL. Reale Quelle IL

+ RL

Fig. 2-37

UL

Unabhängig von der praktischen Ausführung können wir bei einer realen Quelle weder von einer Stromquelle, noch von einer Spannungsquelle nach 2.3.2 sprechen.

Reale Quelle

Näheren Aufschluss erhalten wir durch eine Messung mit der nachfolgenden Messanordnung, die einen veränderbaren Lastwiderstand RL enthält. IL + UL

Ul

RL

Fig. 2-38

UL = UL(RL)

Ik IL = IL(RL)

RL

Messung an realer Quelle

Die grösste Spannung Ul wird bei RL → ∞ gemessen, das heisst wenn die Quelle leer läuft. Die Spannung an einer Quelle im unbelasteten Zustand wird Leerlaufspannung Ul genannt. Mit RL = 0 wird der grösste Strom Ik gemessen, das heisst wenn die Quelle kurzgeschlossen wird. Der Strom aus einer Quelle im kurzgeschlossenen Zustand wird Kurzschluss27 strom Ik genannt. Aus dem Graph UL(RL) und dem Graph IL(RL) mit je der unabhängigen Variablen RL kann die Funktion UL = UL(IL) beziehungsweise IL = IL(UL) gebildet werden. Die Funktion UL = UL(IL) beziehungsweise IL = IL(UL) ist bei vielen Quelle über ei28 nen grossen Bereich ab Ul linear.

27 28

Reale Quellen dürfen nicht kurzgeschlossen werden. In den meisten Fällen führt der Kurzschluss zur Zerstörung der Quelle. Linear von 0 bis Ik / 5 ... Ik / 3

______________________________________________________________________ Kurt Steudler 2 - 29 str

STR – ING Elektrotechnik 2 - 30 _____________________________________________________________________ U

I

RL

Ul UL

GL

Ik IL

UL = UL(IL)

IL = IL(UL)

I Ik

IL Fig. 2-39

U Ul

UL

Quellenkennlinien

Aus dieser Erkenntnis bilden wir das Modell

29

einer realen Quelle mit

U UL = UL (IL ) = Ul − l ⋅ IL = Ul − Ri ⋅ IL Ik und I IL = IL (UL ) = Ik − k ⋅ UL = Ik − Gi ⋅ UL Ul

(2-24)

(2-25)

Das Modell der realen Quelle dient der praktischen Anwendung, das heisst der Berechnung von Schaltkreisen. Als Ersatzschaltbilder einer realen Quelle, das heisst einer Zusammensetzung aus idealen Bauelementen bieten sich an eine: • ideale Spannungsquelle mit einem in Serie geschalteten Widerstand oder • ideale Stromquelle mit einem parallel geschalteten Widerstand +

Ri Ul

= a) Fig. 2-40

Ik

=

Ri

b)

c)

Quellenersatzschaltbilder

Die beiden Ersatzschaltbilder zur realen Quelle sind identisch. Der Innenwiderstand Ri beziehungsweise der Innenleitwert Gi ist in beiden Ersatzschaltungen gleich gross. Der Innenwiderstand ist untrennbar mit der idealen Quelle verbunden. Sie bilden zusammen eine Ganzheit. Die Spannung über Ri in b) beziehungsweise der Strom durch Ri in c) können weder gemessen noch getrennt von der Leerlaufspannung oder dem Kurzschlussstrom beschrieben werden.

29

Modell: Vorstellung, Abbildung der Wirklichkeit.

______________________________________________________________________ Kurt Steudler 2 - 30 str

STR – ING Elektrotechnik 2 - 31 _____________________________________________________________________ 2.7.2 Innenwiderstand und Innenleitwert der idealen Quelle Der Quelleninnenwiderstand oder Quellenwiderstand ergibt sich aus dem Verhältnis der Leerlaufspannung Ul zum Kurzschlussstrom Ik. Der Quellenwiderstand der idealen Spannungsquelle ist gleich Null und der Innenleitwert geht gegen unendlich. Der Quellenwiderstand der idealen Stromquelle geht gegen unendlich und der Innnenleitwert ist gleich Null 2.7.3 Der einfache Stromkreis mit realer Quelle 2.7.3.1

Spannung am und Strom durch den Lastwiderstand RL

Ideale Quelle Ul

Fig. 2-41

Reale Quelle

UL

UL = Ul ⋅

RL

RL Ri + RL

IL = Ul ⋅

1 Ri + RL

UL = Ik ⋅

Ri ⋅ RL Ri + RL

Stromkreis mit realer Quelle 1

Ideale Quelle Ik

Fig. 2-42

IL

Ri

IL Ri Reale Quelle

UL

RL IL = Ik ⋅

Ri Ri + RL

Stromkreis mit realer Quelle 2

______________________________________________________________________ Kurt Steudler 2 - 31 str

STR – ING Elektrotechnik 2 - 32 _____________________________________________________________________ 2.7.3.2

Grafische Darstellung der Quellenkennlinie

U

RL1

Ul UL1

Ik

I

GL1

IL1

RL2

UL2

GL2

IL2

I IL1 Fig. 2-43

Ik

IL2

U UL1

UL2

Ul

Quellenkennlinien und Arbeitspunkt

Die Darstellung nach Fig. 2-39 beziehungsweise Fig. 2-43 nennen wir die Quellenkennlinie. Darin sind die Grössen Ul, Ik, Ri, Gi die Kenngrössen der Quelle. Die Quellenkennlinie aus der Messung von UL und IL mit einer Messanordnung nach Fig. 2-38. Wird die reale Quelle nacheinander mit einem, zwei oder mehr verschiedenen Lastwiderständen belastet, ergeben sich ein, zwei oder mehr Arbeitspunkte, die auf der Quellenkennlinie liegen. Die Quellenkennlinie lässt sich aus Messungen ermitteln: • Ul und den Daten eines Lastwiderstandes (UL und RL oder UL und IL oder IL und RL) • den Daten aus zwei Lastfällen (mit je den vorherigen Kombinationen) Sobald die Quellenkennlinie mit den Quellenkennwerten bekannt ist, lässt sich jeder Lastfall (beliebiges RL) berechnen. 2.7.4 Leistung im Lastwiderstand 2.7.4.1

Leistungsberechnung und Anpassung

Wir betrachten die von einer realen Quelle an einen Lastwiderstand RL abgegebene Leistung. Der Lastwiderstand sei variabel: 0 < RL < ∞. IL Ri Ul Fig. 2-44

UL

RL

PL = UL ⋅ IL

Messung an realer Quelle

PL = IL ⋅ UL = Ul ⋅

RL RL 1 ⋅ Ul ⋅ = U2l ⋅ Ri + RL Ri + RL (Ri + RL )2

(2-26)

______________________________________________________________________ Kurt Steudler 2 - 32 str

STR – ING Elektrotechnik 2 - 33 _____________________________________________________________________ Mit der normierten Leistung P0 = Ul ⋅ Ik kann geschrieben werden

RL Ri

PL = P0  R  2 L 1 + R  i  

(2-27)

Mit PL / P0 = y und RL / Ri = x wird y( x ) =

x

(2-28)

[1 + x ]2

0.3

0.2 y ( x) 0.1

0

Fig. 2-45

0 0.01 0.01

0.1

1 x( z)

10

100 100

Leistung im Lastwiderstand. (Mit [L 2-4])

Der Graph zeigt, dass das Maximum der Leistung bei x = 1 erreicht wird, das heisst für RL = Ri Das Maximum lässt sich auch analytisch herleiten. Im Fall RL = Ri sprechen wir von Leistungsanpassung oder kurz von Anpassung. Es werden UL = Ul / 2 und IL = Ik / 2. Es lassen sich drei Fälle unterscheiden: a) RL >> Ri : Spannungsspeisung. UL ist von RL nur wenig unabhängig. Beispiel: Energieverteilung. b) RL = Ri : Leistungsanpassung. Der Quelle wird die höchstmögliche Leistung PMax entnommen. Beispiel: Anwendungen in der Nachrichtentechnik. c) RL Ri 2.7.4.3

Zusammenstellung

Mit x = RL / Ri lassen sich das Spannungsverhalten an der Last, das Stromverhalten durch die Last, das Leistungsverhalten in der Last und der Reflexionsfaktor normiert darstellen. 1

1

r( x) i( x) 0.5

u ( x) p ( x)

0

Fig. 2-47

0

0 0

0.5

1

1.5 x( z)

2

2.5

3 3

Verhalten von UL, IL, PL und r. Graph linear in RL / Ri. (Mit [L 2-4])

Es sind mit RL / Ri = x U x I 1 P 4⋅x x −1 u(x ) = L = , i( x ) = L = , p( x ) = L = , r(x) = Ul 1 + x Ik 1 + x PMax (1 + x )2 x +1

(2-33)

Aufgabe: Leiten Sie diese Funktionen her.

In der Fig. 2-47 erfolgt die Darstellung linear in RL / Ri = x, wobei der Reflexionsfaktor r in seinem Betrag |r| eingetragen ist. Die Fig. 2-48 zeigt eine logarithmische Darstellung in RL / Ri = x.

______________________________________________________________________ Kurt Steudler 2 - 35 str

STR – ING Elektrotechnik 2 - 36 _____________________________________________________________________ 1

1

0.5 r( x) i( x) 0

u ( x) p ( x)

0.5

1

Fig. 2-48

2.8

1 0.01 0.01

0.1

1 x( z)

10

100 100

Verhalten von UL, IL, PL und r. Graph logarithmisch in RL / Ri. (Mit [L 2-4])

Schaltungen. Das Dezibel - Mass

2.8.1 Die abgeglichene WHEATSTONE – Brücke Die WHEATSTONE

Ri

Ul

– Brücke dient der Messung von Widerständen.

R1

R3 I5

U R5 U2

Fig. 2-49

30

R2 R4

U4

Die Brücke gilt als abgeglichen, wenn im Widerstand R5 kein Strom fliesst. In diesem Fall gelten R2 U2 = U ⋅ und R1 + R 2 R4 U4 = U ⋅ R3 + R 4

WHEATSTONE - Brücke

Wenn in R5 kein Strom fliesst und damit die Brücke abgeglichen ist, müssen U2 und U4 gleich gross sein. U2 = U4 und damit R1 ⋅ R 4 = R 2 ⋅ R 3

beziehungsweise

R1 R 3 = R2 R4

(2-34)

Die Brücke ist abgeglichen, wenn die Produkte diagonal gegenüberliegender Widerstände gleich gross sind.

30

Sir Charles WHEATSTONE (1802 – 1875). Forschung über Optik und Elektrizität. Engl. Physiker.

______________________________________________________________________ Kurt Steudler 2 - 36 str

STR – ING Elektrotechnik 2 - 37 _____________________________________________________________________ Die Brückenschaltung wird verwendet, um Widerstände zu messen. Dazu wird R5 mit einem Messinstrument ersetzt, das es ermöglicht, den Strom auf Null abzugleichen. Wesentlich ist die Empfindlichkeit des Instrumentes und nicht dessen Genauigkeit. Es kommt nur darauf an, den stromlosen Zustand festzustellen. Weitere Brückendarstellungen sind

R5

R5 Fig. 2-50

R5

Brückenschaltungen

2.8.2 Fehlerortmessung

Fig. 2-51

2.8.2.1

Widerstandsmessung

Fehlerort nach Murray

Fig. 2-52

Fehlerort nach Murray

Mit der Fehlerortmessung soll der Ort ermittelt werden, wo ein Kabel zwischen ______________________________________________________________________ Kurt Steudler 2 - 37 str

STR – ING Elektrotechnik 2 - 38 _____________________________________________________________________ zum Beispiel zwei Zentralen einen Erdschluss aufweist. Voraussetzung ist, dass die Daten der intakten Kabel genau bekannt sind. 2.8.2.2

Fehlerort nach Varley

Fig. 2-53

Fehlerort nach Varley

Aufgabe: Was ist in 2.8.2.1 und 2.8.2.2 unter Rs zu verstehen ? Beweisen Sie die in 2.8.2.1 und 2.8.2.2 gegebenen Formeln.

2.8.3 Dezibel und Neper 2.8.3.1

Relatives Mass

Neben den absoluten Werten wie kV oder mA und so weiter interessieren in der Elektrotechnik oft auch Verhältnisse von Grössen. Das Verhältnis von zwei Spannungen, zwei Strömen oder von zwei Leistungen. Für die Darstellung von Verhältnissen eignet sich der lineare Massstab schlecht, wenn sich die Verhältnisgrösse über mehrere Dekaden erstreckt. Es wird zu einem logarithmischen Massstab, zum Dezibel (Decibel, dB) übergegangen. Es gelten folgende Definitionen (Rechenvorschriften):

•

Spannungsverhältnis in Dezibel

31

U  dB U1 = 20 ⋅ log10  1   U2  U

(2-35)

I  dB I1 = 20 ⋅ log10  1   I2  I

(2-36)

2

•

Stromverhältnis in Dezibel

2

31

Früher wurde auch das Neper verwendet. Dabei gilt U1/U2 in Np = ln(U1/U2). Zwischen dem auf dem Brigg‘ schen Logarithums (Basis 10) gründenden Dezibel und dem auf dem natürlichen Logarithmus basierenden Neper kann umgerechnet werden: 1 Np ≙ 8,686 dB und 1 dB ≙ 0,115 Np.

______________________________________________________________________ Kurt Steudler 2 - 38 str

STR – ING Elektrotechnik 2 - 39 _____________________________________________________________________ •

Leistungsverhältnis in Dezibel

P  dB P1 = 10 ⋅ log10  1   P2  P

(2-37)

2

Beispiele Verhältnis 1 √2 2 3 10 20 1/√2 0.5 0,01 Tabelle 2-8 2.8.3.2

Spannungs- oder Stromverh. in dB 0 3 6 9,54 ≈ 10 20 26 -3 -6 - 40

Leistungsverhältnis in dB 0 1,5 3 4,77 ≈ 5 10 13 - 1,5 -3 - 20

dB relativ

Absolutes Mass

Werden Grössen auf einen bestimmten Wert bezogen, ergeben sich die absoluten dB – Masse. Solche Bezugswerte sind beispielsweise 1 µV, 2⋅10-4 µbar, 1 mW (an 600Ω, 75Ω, 60Ω, 50Ω ) Damit entsprechen 169,54 dBµV einer Spannung von U = 300 V und 30 dBm einer Leistung von 1 W. Sind dBm in dBµV oder dBµV in dBm umzurechnen, muss der zugehörige Widerstand bekannt sein: Pegel 0 dBm

30 dBm

0 dBµV 120 dBµV

Tabelle 2-9

Systemwiderstand in Ω 600 75 50 600 75 50 600 75 50 600 75 50

entsprechen

entsprechen

774,6 mV 273,86 mV 223,61 mV 24,495 V 8,66 V 7,071 V 1,667 fW 13,333 fW 20 fW 1,667 mW 13,333 mW 20 mW

117,78 dBµV 108,75 dBµV 107 dBµV 147,78 dBµV 138,75 dBµV 137 dBµV - 117,78 dBm - 108,75 dBm - 107 dBm 2,22 dBm 11,25 dBm 13 dBm

dB absolut

A dBm am Bezugswiderstand R entsprechen wieviel B dBµV ?   R B in dBµV = 90 + 10 ⋅ log10   + A dBµV Ω  

(2-38)

Beweisen Sie diese Umrechnungsformel.

______________________________________________________________________ Kurt Steudler 2 - 39 str