Grundlagen der Investitionsrechnung Grundlagen der Investitionsrechnung

 Grundlagen der Investitionsrechnung 27 2 Investition 2.1 Grundlagen der Investitionsrechnung Lernziele Dieses Kapitel vermittelt: ƒ Diegrunds...
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 Grundlagen der Investitionsrechnung

27

2

Investition

2.1

Grundlagen der Investitionsrechnung

Lernziele Dieses Kapitel vermittelt: ƒ DiegrundsätzlichenAufgabenderInvestitionsrechnung ƒ UnterschiedlicheVerfahrenderInvestitionsrechnung

2.1.1

Investitionsbegriffe und -arten

WennesauchnichtdenbetriebswirtschaftlichenInvestitionsbegriff,sonderneineVielzahl unterschiedlicherDefinitionenhierzugibt,sosolldochzunächstdieFrageuntersuchtwer den,wasüberhauptuntereinerInvestitionzuverstehenist.HandeltessichumeineInves tition, wenn ein Unternehmen Schulungsmaßnahmen zur Erhöhung der Fähigkeiten und KenntnisseseinerMitarbeiterdurchführt?GiltdasGleiche,wennUnternehmensressourcen in eine Umstrukturierung oder finanzielle Mittel in die Werbung „investiert“ werden? OderhandeltessichnurdannumeineInvestition,wennVermögensgegenständeerworben werden,dieimLaufederNutzungsdauerabgeschriebenwerdenkönnen? Unterschiedliche Investitionsbegriffe führen zu unterschiedlichen Antworten auf diese Fragen.FolgtmandemBilanzorientiertenInvestitionsbegriff(vgl.hierzuMensch2002, S.2), so ist eine Investition eine Kapitalverwendungsentscheidung, die sich als Vermö genspostenaufderAktivseitederBilanzwiderspiegelt,währendsichFinanzierungsent scheidungen in erster Linie als Disposition der Kapitalstruktur, also als Frage der Kapi talherkunftaufderPassivseitederBilanzzeigen(vgl.Abbildung2.1). Abbildung 2.1

Investition und Finanzierung in der Bilanz

Aktiva Vermögensstruktur = Kapitalverwendung = Investition

Passiva Kapitalstruktur = Kapitalherkunft = Finanzierung

Quelle:eigeneDarstellung  U. Ermschel et al., Investition und Finanzierung, DOI 10.1007/978-3-642-32266-2_2, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2013

28

Investition

So führen gemäß diesem Begriff Investitionen immer zu Veränderungen der Bilanz: Ein Aktivtausch ergibt sich bei Vermögensumschichtungen, wenn also Investitionen mit bereitsvorhandenenMittelndurchgeführtwerden,undeineAktivZeitPassivMehrung ist dann gegeben, wenn für Investitionen solche Finanzierungsmaßnahmen ergriffen werden,diezumZuflussneuerfinanziellerMittelführen.AusdieserSichtwärenSchu lungsmaßnahmen, Werbung oder Umstrukturierungen nicht als Investition, sondern lediglichalsKostenzuinterpretieren. ZueinemanderenErgebnisgelangtman,wennmandenZahlungsorientiertenInvestitions begriffzugrundelegt:InvestitionenlassensichimmeralsReihevonZahlungendarstellen,die inderRegelmiteinerAuszahlungbeginnt(vgl.Götze2008,S.5)undüberdieInvestitions dauerzuEinzahlungsüberschüssenführt(vgl.Abbildung2.2).UnterEinzahlungwirdgemäß kostenrechnerischerDefinitiondabeiderZugangliquiderMittelverstanden.

Abbildung 2.2

Investition als Zahlungsreihe in der Zeit

200

200

200 0

1

2

3

Zeit

-500 Quelle:eigeneDarstellung Finanzierungen hingegen lassen sich als genau gegensätzliche Zahlungsreihe darstellen (vgl. Abbildung 2.3). Hier beginnt die Zahlenreihe mit einer Einzahlung und es folgen während der Finanzierungsdauer entsprechende Auszahlungen, wobei unter Auszahlun gendemgemäßAbgängeliquiderMittelzuverstehensind.

Abbildung 2.3

Finanzierung als Zahlungsreihe in der Zeit

500

1 -200 Quelle:eigeneDarstellung

2 -200

3 -200

Zeit

Grundlagen der Investitionsrechnung

29

DerzahlungsorientierteInvestitionsbegriffistsomitweitergefasstalsderbilanzorientierte Begriff.Auch InvestitioneninWerbung,UmstrukturierungenoderSchulungsmaßnahmen führen zu Auszahlungen und werden deshalb getätigt, um zusätzliche Erlöse oder Ver minderungenderKostenzuerzielen,diesichanentsprechendenEinzahlungsüberschüssen messenlassen. Verwendet man den weiteren zahlungsorientierten Investitionsbegriff, so lässt sich eine VielzahlunterschiedlicherTypologienderInvestitionsartenaufstellen.EineÜbersichtzeigt Abbildung2.4. Abbildung 2.4

              

Übersicht der Investitionsarten

,QYHVWLWLRQVDUWHQ

%LODQ]LHUEDUH,QYHVWLWLRQHQ 

1LFKWELODQ]LHUEDUH,QYHVWLWLRQHQ

)LQDQ]LQYHVWLWLRQHQ

6DFKLQYHVWLWLRQHQ

(UVWLQYHVWLWLRQHQ

(UJ¦Q]XQJV LQYHVWLWLRQHQ

(UKDOWXQJV LQYHVWLWLRQHQ

(UZHLWHUXQJV LQYHVWLWLRQHQ

,PPDWHULHOOH ,QYHVWLWLRQHQ

9HU¦QGHUXQJV LQYHVWLWLRQHQ

Quelle:eigeneDarstellungnachGrob2006,S.4undZimmermann2003,S.12 Bei Olfert und Reichel (2009a) findet man folgende Unterscheidungskriterien (vgl. Abbil dung2.5):   

30

Investition

Abbildung 2.5

    

Grundstruktur der Investitionsarten

$UWHQGHU,QYHVWLWLRQHQ

2EMHNWEH]RJHQH ,QYHVWLWLRQHQ

:LUNXQJVEH]RJHQH ,QYHVWLWLRQHQ

6RQVWLJH ,QYHVWLWLRQHQ

Quelle:eigeneDarstellungnachOlfertundReichel2009a,S.29 DieseInvestitionsartenlassensichnunweiteraufgliedern:WährendmanunterdenBegriff derobjektbezogenenInvestitionenFinanzundSachinvestitionenfassenkann,fallenunter nicht bilanzierbare, immaterielle Investitionen solche in Werbung, Ausbildung oder For schungundEntwicklung.SonstigeInvestitionenlassensichz.B.nachzeitlicherReichweite inoperative,taktischeoderstrategischeInvestitionendifferenzieren.Diewirkungsbezoge nenInvestitionenlassensichentsprechendAbbildung2.6systematisieren. IndieserDarstellungerkenntman,dassdieGesamtheitderInvestitionen(=Bruttoinvestiti onen) sich in solche aufteilen lässt, die zur Erhaltung des Kapitalstocks notwendig sind, undsolche,diezueinerErhöhungdessenführen(=Nettoinvestitionen). Abbildung 2.6

           

Wirkungsbezogene Investitionen Wirkungsbezogene Investitionen

Nettoinvestitionen

Gründungsinvestitionen

Erweiterungsinvestitionen

Ersatzinvestitionen

Ersatzinvestitionen

Rationalisierungsinvestitionen

Bruttoinvestitionen

Quelle:vgl.OlfertundReichel2009a,S.31

Umstellungsinvestitionen

Diversifikationsinvestitionen

Grundlagen der Investitionsrechnung

2.1.2

31

Investition als Entscheidungsproblem

Sicherheit bedeutet, dass kein Zweifel am Eintreten eines bestimmten Ereignisses besteht. InvestitionsentscheidungensindjedochinderRegelmitdemRisikobehaftet,dassdieange strebtenZielsetzungennichterreichtwerden.SoherrschtUnsicherheitbezüglichwesentlicher Faktoren wie der tatsächlichen Höhe der Einzahlungen, der Auszahlungen, der Nutzungs dauerundderEntwicklungdesZinssatzes,dereinenentscheidendenEinflussaufdieProfi tabilität einer Investition hat (vgl. hierzu Däumler, Grabe 2007, S. 167). Insbesondere die PrognosedesUmsatzes,alsoderEinzahlungsseite,istschwierigundhängtdamitzusammen, inwieweiteinBetriebstypdenErwartungenseinesAbnehmerkreisesgerechtwird(vgl.Lieb mannetal.2008,S.438).Allgemeingilt:JegrößerdieAnzahlderalternativenUmweltzustän de,destounkalkulierbareristdieUnsicherheit(vgl.:Liebmannetal.2008,S.438).DieseZu ständederUnsicherheitlassensichnunweiterdifferenzieren(vgl.Abbildung2.7). Abbildung 2.7

Übersicht der Entscheidungssituationen

(QWVFKHLGXQJVVLWXDWLRQHQ

8QVLFKHUKHLW

8QZLVVHQ

6LFKHUKHLW

8QJHZLVVKHLW

5LVLNR

Quelle:eigeneDarstellungnachOlfertundReichel2009a,S.29 SosprichtmanvonUnwissen,wenndiezukünftigenEreignisseunbekanntsind,vonUn gewissheit,wennmanzwarKenntnisüberdiemöglichenEreignissehat,ihreWahrschein lichkeitenaberunbekanntsind,undvonRisiko,wennmanmöglicheEreignisseundderen Wahrscheinlichkeitkennt(vgl.Thomas2005,S.29). NunwirdandenmeistangewandtenVerfahrenderInvestitionsrechnung,beidenenunter AnnahmesichererErwartungenkalkuliertwird,häufigkritisiert,dassdieangenommenen Kalküle ohnehin nicht vorhersehbar sind, und hieraus gefolgert, dass man sich daher zu mindest größeren Rechenaufwand sparen kann. Dem könnte man entgegen halten, dass durchdenEinsatzderInvestitionsrechenverfahrenzumindestdiejenigenInvestitionsalter nativenausgeschlossenwerdenkönnen,dieunterderAnnahmedesEintretensderVoraus sagenimHinblickaufdieZielsetzungaufjedenFallineffektivundineffizientsind.Diesist gegenüber den in der betrieblichen Praxis mitunter vorzufindenden „Bauchentscheidun gen“alsReduzierungvonUnsicherheitzusehen.

32

Investition

Die Bewertung der Investitionsalternativen und damit der Einsatz unterschiedlicher Re chenverfahrenistabhängigvomEntscheidungsproblemundderquantitativenZielsetzung desUnternehmensbzw.derInvestoren(vgl.OlfertundPischulti2011,S.193).ZweiArten vonInvestitionsentscheidungenkönnensichstellen(vgl.WalzundGramlich2004,S.24): 1. dieBeurteilungisolierterEinzelprojekte(Wahleinzelentscheidungen) 2. unddievonKombinationenunterschiedlicherInvestitionsundFinanzierungspro jektezueinemGesamtprogramm.(Wahlprogrammentscheidungen) HierbeiergebensichfolgendekonkreteFragestellungen: 1. IsteineInvestitionvorteilhaft? DieVorteilhaftigkeitlässtsichentsprechendderInvestitionszieleunterschiedlichdefinieren (vgl.OlfertundReichel2009a,S.72):

႑ Rentabilität: ZielderInvestorenisthiereinemöglichsthoheVerzinsungdeseingesetztenKapitals.

႑ Vermögen: DerInvestorstrebtnachReichtum.ImGegensatzzurRentabilitätliegtderFokushier aufGeldeinheiteninFormvonCash.

႑ Gewinn: HierbeikannderabsoluteGesamtgewinnoderderdurchschnittlichePeriodengewinn alsKriteriumherangezogenwerden.

႑ Kosten: SindeinerInvestitionkeineEinzahlungenzuzuordnen,sosinddiemitihrverbundenen KosteneinmöglichesKriteriumderBeurteilung.

႑ Amortisationsdauer: GemäßSicherheitsstrebenderInvestorenistdieAlternativevorzuziehen,diedenRück flussderverauslagtenMittelamschnellstensicherstellt. DieaufgeführtenZielestehenzumTeilimWiderspruchzueinander:Renditestreben(Rentabi lität,Vermögen,Gewinn)undgleichzeitiggroßeSicherheit(schnelleundsichereAmortisati ondeseingesetztenKapitals)gepaartmitmöglichsthoherLiquidität(jederzeitigeVerfügbar keitdeseingesetztenKapitals)lassensichnichtohneweiteresmiteinanderverknüpfen.Siche re Investitionen sind oft unrentabel, rentable Investitionen dagegen oft langfristig und mit erhöhtem Risiko verbunden Gemäß des „magischen Dreiecks“, das dieses Spannungsfeld zwischen Rendite, Sicherheit und Liquidität symbolisieren soll (vgl. Abbildung 2.8), muss sichderInvestorgemäßseinerpersönlichenEinstellungpositionieren.

Grundlagen der Investitionsrechnung

Abbildung 2.8

33

„Magisches Dreieck“ der Investitionsziele

Quelle:eigeneDarstellung 2. WelcheNutzungsdaueristdievorteilhafteste? BeiderBeurteilungverschiedenerInvestitionsalternativenmussimVorfeldaucheineEnt scheidungüberderenNutzungsdauergetroffenwerden(exante).SowohleinzelneInvesti tionen als auch Investitionsketten aus identischen oder verschiedenen Folgeinvestitionen können je nach Nutzungsdauer unterschiedlich profitabel sein, denn sobald die noch zu erwartenden Einzahlungsüberschüsse einer Investition geringer sind als der mit der Wei ternutzungverbundeneWertverlust,soisteineWeiternutzungnichtsinnvoll. 3. WannsolleinebereitsgetätigteInvestitionersetztwerden? Diese als Ersatzproblem bekannte Fragestellung basiert auf den gleichen Zusammenhän gen,unterscheidetsichaberdarin,dasswährendderNutzungsdauerimmerwiederüber prüftwerdenmuss,obeinvorzeitigerErsatzsinnvollist. Eine Übersicht über die Verfahren der Investitionsrechnung gibt Abbildung 2.9. Im Fol genden soll zur Vereinfachung nur auf die klassischen Partialmodelle im Rahmen von Einzelinvestitioneneingegangenwerden. 

34

Investition

Abbildung 2.9

Investitionsrechenmodelle unter Annahme sicherer Erwartungen

,QYHVWLWLRQVHQWVFKHLGXQJHQ

(LQ]HOHQWVFKHLGXQJHQ

3URJUDPPHQWVFKHLGXQJHQ

'HDQ 0RGHOO 7RWDO 0RGHOOH 9R)L

6WDWLVFKH3DUWLDOPRGHOOH

/LQHDUH 3URJUDPPLHUXQJ

.ODVVLVFKH3DUWLDOPRGHOOH

'\QDPLVFKH3DUWLDOPRGHOOH

.RVWHQYHUJOHLFK

.DSLWDOZHUW

*HZLQQYHUJOHLFK

$QQXLW¦WHQ

5HQWDELOLW¦W

,QWHUQHU=LQVIX¡

$PRUWLVDWLRQVGDXHU

'\QDPLVFKH $PPRUWLVDWLRQ

Quelle:eigeneDarstellungnachWalzundGramlich2004,S.30   

Statische Verfahren der Investitionsrechnung

2.2

35

Statische Verfahren der Investitionsrechnung

Lernziele Dieses Kapitel vermittelt: ƒ GrundannahmenundVorgehenderstatischenVerfahren ƒ VorteileundSchwächenderstatischenVerfahren

2.2.1

Grundlagen der statischen Verfahren

DiestatischenVerfahrenerfreuensichtrotzgravierenderSchwächeninderPraxisnochimmer großerBeliebtheit(vgl.WöheundDöring2010,S.595).DiesliegtzumgroßenTeildaran,dass dieseVerfahrenmitgeringemRechenaufwandverbundensindunddasseszurDurchführung wenigmathematischerKenntnissebedarf.Zumanderenisteshistorischbedingt,dasichdie statischenInvestitionsrechenverfahrenausdemRechnungswesenherausentwickelthaben. ZudenStatischenVerfahrenzählendiefolgendenMethoden:

႑ Kostenvergleichsrechnung ႑ Gewinnvergleichsrechnung ႑ Rentabilitätsrechnung ႑ StatischeAmortisationsrechnung. AllengemeinsamsinddiefolgendenGrundannahmen: 1. AlsfürdieBeurteilungeinerInvestitionrelevanteDatenwerdenErgebnisgrößenwie KostenundLeistungenbetrachtet. 2. HierbeiwirdnichtdieSummedergesamtenKostenoderLeistungenüberdieNutzungs dauerbetrachtet,sonderndiesichausdenjeweiligenSummenergebendenDurch schnittsgrößenproPeriode.Dasbedeutet,dassdieseDurchschnittsperiodealsrepräsenta tivfürallezukünftigenPeriodenangesehenwird(vgl.:Ziegenbein1989,S.292). DerzeitlicheAnfalldermitderInvestitionanfallendenZahlungenspieltdabeikeineRolle. So ist es gemäß der statischen Verfahren gleichgültig, wann die anfallenden Kosten und Leistungen innerhalb der Investitionsdauer realisiert werden. Die beiden in Tabelle 2.1 dargestelltenInvestitionsalternativenwerdensomitalsgleichwertigbetrachtet: Tabelle 2.1

Zeitlicher Anfall von Zahlungen zweier Investitionen

(LQ$XV]DKOXQJHQ

W 

W 

W 

,QYHVWLWLRQ$

ದ 





,QYHVWLWLRQ%

ದ 





Quelle:eigeneDarstellung

36

Investition

AuseinfachenökonomischenÜberlegungenherausliegtesaufderHand,dasspotenziellen InvestorenAlternativeAlieberwäre:BeiAlternativeAsinddurchdiehöhereRückzahlung in t = 1 geringere Finanzierungskosten zu leisten oder ein höherer Zinsertrag in t = 2 zu erwartenDerGrundfürdieVorteilhaftigkeitvonAlternativeAliegtinderFinanzmathe matik bzw. der Zinsrechnung. Dies lässt sich aber im Rahmen der statischen Verfahren nichtabbilden,wasauchschoneinenKritikpunktandiesenVerfahrenvorwegnimmt.

2.2.2

Kostenvergleichsrechnung

Vorgehensweise bei der Kostenvergleichsrechnung DieKostenvergleichsrechnungkanndannzurAnwendungkommen,wennesumdieBeur teilungsolcherInvestitionengeht,denenentwederkeineErlösezugeordnetwerdenkönnen oder deren Erlöse gleich sind. So würde zum Beispiel die Anschaffung einer Reinigungs maschinefürdieProduktionshalleneinesIndustriebetriebeskeineamMarktverwertbaren Leistungenerbringen.Voraussetzungdabeisollteabersein,dassdieQualitätderdurchdie InvestitionsalternativenermöglichtenLeistungenidentischist. Grundaussage des Kostenvergleichs ist, dass Investition A der Investition B dann vorzu ziehen ist, wenn gilt (vgl. hierzu und im Folgenden Olfert und Reichel (2009a, S.150 ff.), sowieRautenberg(1993,S.93ff.)): 





K A  K B 



(2.1)

mit: KA=DurchschnittlicheGesamtkostenproPeriodedurchInvestitionA KB=DurchschnittlicheGesamtkostenproPeriodedurchInvestitionB DieseKostenlassensichweiterinfixeundvariableBestandteileaufgliedern: 



K Af  K Av  K Bf  K Bv 



(2.2)

mit: K Af  und K Bf  als fixe Kostenbestandteile und K Av und K Bv  als variable Kostenbestandteile derAlternativenAundB. BeiderErrechnungderfixenundvariablenBestandteilesindfolgendeGrößenzuerfassen:

႑ AlsvariableKosteneinerInvestitionsalternativesinddiespezifischfürsieanfallenden AufwendungenfürLöhne,MaterialoderEnergieverbrauchzuerfassen.Siewerdenim Folgendenmit K v bezeichnetundbeziehensichimmeraufdieDurchschnittsperiode.

႑ AlsfixeKostensinddiemitderInvestitionverbundenenspezifischenFixkostenwie z.B.solche,diesichdurchWartungsverträgeo.Ä.ergeben,sowiediefüralleInvestiti onenanfallendenkalkulatorischenZinskostenundAbschreibungenzuerfassen.

Statische Verfahren der Investitionsrechnung

37

Erfassung der Abschreibungen: Grundsätzlich wird von linearer, kalkulatorischer Ab schreibung ausgegangen. Die Anschaffungskosten werden damit gleichmäßig auf die ein zelnen Jahre der Nutzung verteilt (vgl. Weber und Weißenberger 2006, S.415), wobei die dabei zu Grunde gelegte Nutzungsdauer nicht technisch, sondern wirtschaftlich bedingt festgelegtwird. SoergibtsichalsAbschreibungderPeriode(AfA):

AfA= 



I L  n





(2.3)

mit: I=Anschaffungswert,L=Restwert,n=Nutzungsdauer ErfassungderZinsen:BasisderErrechnungder(kalkulatorischen)ZinseneinerInvestition istdasdurchschnittlichproPeriodegebundeneKapital(vgl.Abbildung2.10). Abbildung 2.10

Durchschnittlich gebundenes Kapital durch eine Investition

.DSLWDO , GXUFKVFKQLWWOLFKH .DSLWDOELQGXQJ

/

=HLW Q

Q

Quelle:eigeneDarstellung SomiterhältmanhierfürfolgendenAusdruck:

Durchschnittskapital = 



I +L  2

(2.4)

HierausergebensichalsZinskosten:

Zinskosten = 



I +L ¸i  2



(2.5)

38

Investition

Fasst man nun die spezifischen Kosten einer Investition und die Zinsen und Abschrei bungen zusammen, so sind die Durchschnittskosten K durch folgenden Ausdruck dar stellbar:

K = Kf 



I L I L ¸ i Kv  2 n





(2.6)

DasBeispielausTabelle2.2verdeutlichtdasVorgehen.

Tabelle 2.2

Kostenvergleich zweier Anlagen

.RVWHQSUR-DKU

$QODJH

$QODJH









$I$-DKU





=LQVHQ  





VRQVWLJH)L[NRVWHQ





6XPPH)L[NRVWHQ





/¸KQH





%HWULHEVVWRIIH





(QHUJLHNRVWHQ





6XPPHYDULDEOH.RVWHQ





*HVDPWNRVWHQ





'DWHQGHU$QODJH $QVFKDIIXQJVZHUW 1XW]XQJVGDXHU -DKUH 

)L[NRVWHQ

9DULDEOH.RVWHQ

Quelle:eigeneDarstellung Der Vergleich zweier Investitionen mit unterschiedlicher Nutzungsdauer stellt kein Prob lemdar,wennmandavonausgeht,dassnachAbschlussderInvestitionmitderkürzeren Nutzungsdauer eine zumindest gleichwertige Anschlussinvestition getätigt werden kann, diedannmindestenszugleichniedrigenKostenverläuft.DaherkannmanbeimVergleich derInvestitionenvondurchschnittlichenKostenproPeriodeausgehen.

Statische Verfahren der Investitionsrechnung

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Kostenvergleich beim Ersatzproblem EinehäufigeAnwendungssituationderKostenvergleichsrechnungstelltdasErsatzprob lemdar.HieristdieFragezuklären,obeinebereitsdurchgeführteInvestitioneinewei terePeriodefortgeführtoderobeineErsatzinvestitiongetätigtwerdensollte.Zieldieses Investitionscontrolling ist die Revision der Zielerreichung über die Restnutzungsdauer durch Anpassungsentscheidungen zur Gegensteuerung (vgl. Heyd 2000, S.76). So ver gleicht man die Kosten einer neuen Investitionsalternative (neue Anlage), die auf die bereitsgezeigteArterfasstwerden,mitdenendervorhandenenInvestition(alteAnlage), wobeidieseausdenspezifischenfixenundvariablenKosten,denfürdienächstePeriode anfallendenZinsendesgebundenenKapitalsunddemimLaufdernächstenPeriodezu erwartenden Wertverlust bestehen. Existiert zum Zeitpunkt der Prüfung kein Restwert für die alte Anlage mehr, so ist zu klären, ob gilt (vgl. im Folgenden Rautenberg 1993, S.109ff.):

K fA K vA  K fN 



I N  LN I N LN ¸ i + K vN  n 2 

(2.7)

mit:

K fA =spezifischeFixkostenderaltenAnlage

K vA =spezifischevariableKostenderaltenAnlage K fN =spezifischeFixkostenderneuenAnlage

K vN =spezifischevariableKostenderneuenAnlage

I N =AnschaffungswertderneuenAnlage LN =RestwertderneuenAnlage IstdiesderFall,soistdiebisherigeInvestitionfortzuführen. Existiert zum Zeitpunkt der Prüfung jedoch bei der alten Anlage ein Restwert, so ergibt sichfolgenderZusammenhangzurKlärung: LoA L1A ¸ i K vA 2   I N  LN I N LN N N  Kf ¸ i Kv 2 n K fA ( LoA  L1A )







mit:

L0A =RestwertderaltenAnlagezumaktuellenZeitpunkt L1A =RestwertderaltenAnlagezumEndedernächstenPeriode 

(2.8)

40

Investition

Ist dies der Fall, so ist auch hier die bisherige Investition fortzuführen. Das nachfolgende Beispiel (vgl. Tabelle 2.3) soll das Vorgehen des Kostenvergleichs beim Ersatzproblem verdeutlichen.

Tabelle 2.3

Kostenvergleich beim Ersatzproblem

.RVWHQSUR-DKU

DOWH$QODJH

QHXH$QODJH





1XW]XQJVGDXHU -DKUH 





5HVWQXW]XQJVGDXHU









5HVWEXFKZHUWDOWH$QODJH





W W 









=LQVHQ  





/LTXLGDWLRQVYHUOXVW /ದ/ 





6XPPH)L[NRVWHQ





9DULDEOH.RVWHQ





*HVDPWNRVWHQ





'DWHQGHU$QODJH $QVFKDIIXQJVZHUW

=LQVVDW]

)L[NRVWHQ $I$-DKU

Quelle:eigeneDarstellung ImBeispielistdieBeibehaltungderaltenAnlagefüreinweiteresJahrkostengünstiger.

Unterschiedliche Kostenstruktur BeimVergleichalternativerAnlagenspieltdiegeplanteKapazitätsausnutzungeinewichti ge Rolle. Unterscheiden sich zwei Investitionen in ihrer Kostenstruktur, so lässt sich für jedeInvestitioneinNutzungsbereichangeben,innerhalbdessensiediegünstigereAlterna tiveist.FolgendesBeispielveranschaulichtdies(vgl.hierzuRautenberg1993,S.93ff): 

Statische Verfahren der Investitionsrechnung

41

SeiendieKostenfunktionenderInvestitionen1und2durchfolgendeAusdrückegegeben: 

K1 = 16.500 + 2,39 ¸ X



K 2 = 23.570 + 1,50 ¸ X 

und

Manerkennt,dassmitInvestition1imVergleichzuInvestition2zwargeringereFixkosten, dafüraberhöherevariableStückkostenverbundensind. Abbildung 2.11

Ermittlung der kritischen Menge

.RVWHQ ,QYHVWLWLRQJ¾QVWLJHU ,QYHVWLWLRQ J¾QVWLJHU

.

.   =HLW 

0HQJH

Quelle:eigeneDarstellung SounterscheidensichbeideKostenfunktioneninAchsenabschnittundSteigungundhaben damiteinenSchnittpunkt.SetztmanbeideFunktionengleich,soerhältmandiesenPunkt gleicher Kosten (kritische Menge) für die Ausbringungsmenge X=7.944 (vgl. Abbildung 2.11).DerInvestormussalsoplanen,welcheKapazitäteraufDauernutzenwird,ument scheidenzukönnen,welcheInvestitionfürihngünstigerist.

2.2.3

Gewinnvergleichsrechnung

Nurdann,wenn„beiallenInvestitionsalternativenderzurechenbareNettoerlösproStück gleich ist, sowie die Produktions und Absatzmenge ebenfalls nicht von der Alterna tivenwahlabhängt,stimmenkostengünstigsteundgewinngünstigsteAlternativeüberein“ (Troßmann1998,S.95).FürdenFall,dassdieseBedingungennichterfülltsind,istdieKos tenvergleichsrechnungalsonichtanwendbar.HiersetztdieGewinnvergleichsrechnungan, diedieErweiterungderKostenvergleichsrechnungumdieErfolgsseitedarstellt.Quantita tiveundqualitativeUnterschiedevonInvestitionsalternativen,diesichinunterschiedlichen Erlösenwiderspiegeln,werdendurchdiesesVerfahrenerfasst.

42

Investition

Vorteilhaftigkeitskriterium ist somit der durchschnittliche Periodengewinn der Alternati ven.Ererrechnetsichwiefolgt(vgl.hierzuundimFolgendenRautenberg1993,S.101ff.): 



G EK 







(2.9)

mit G=Periodengewinn,E=Periodenerlös undK=durchschnittlichePeriodengesamtkosten Dies lässt sich detailliert darstellen, in dem man vom Erlös (= Preis  Menge) die aus der KostenvergleichsrechnungbekanntenKostensubtrahiert:

G = P¸ X  K f  



I L I L  ¸ i  Kv  2 n

(2.10)

mit P=PreisundX=Menge

Tabelle 2.4

Gewinnvergleich zweier Investitionen



$QODJH

$QODJH









$I$-DKU





=LQVHQ  





VRQVWLJH)L[NRVWHQ





6XPPH)L[NRVWHQ





/¸KQH





%HWULHEVVWRIIH





(QHUJLHNRVWHQ





6XPPHYDULDEOH.RVWHQ





*HVDPWNRVWHQ





'DWHQGHU$QODJH $QVFKDIIXQJVZHUW 1XW]XQJVGDXHU -DKUH 

)L[NRVWHQ

9DULDEOH.RVWHQ

(UO¸VH

Statische Verfahren der Investitionsrechnung

3UHLV

43





0HQJHQ





(UO¸VH





*HZLQQ





Quelle:eigeneDarstellung DasinTabelle2.4dargestellteBeispielsolldasVorgehenveranschaulichen.Manerkennt, dass die Kostennachteile, die mit Anlage 1 verbunden sind, durch die erheblich höheren Erlöse mehr als kompensiert werden und man sich nach Gewinnvergleichsrechnung für dieseInvestitionentscheidenwird.

2.2.4

Rentabilitätsvergleichsrechnung

Vorgehensweise bei der Rentabilitätsvergleichsrechnung Steht nicht mehr die absolute Höhe der durchschnittlichen Periodengewinne im Vorder grund,sondernsolleinemöglichsthoheVerzinsungdeseingesetztenKapitalserzieltwer den,sobietetsichalsMethodezurFeststellungderVorteilhaftigkeitvonInvestitionsalter nativen die Rentabilitätsrechnung an (vgl. hierzu im Folgenden Rautenberg 1993, S.103– 106). In dem der zu erzielende Gewinn ins Verhältnis zum investierten Kapital gesetzt wird,derErfolgalsoinRelationzumEinsatzbewertetwird,berücksichtigtdiesesVerfah ren,dassKapitalnichtunbeschränktverfügbarist. Vorteilhaftigkeitskriterium: Die im Rahmen der Rentabilitätsrechnung ermittelte Verzin sung(r)deseingesetztenKapitalseinerInvestitionwirdbeiVerwendungvonEigenkapital mit der Verzinsung verglichen, die sich durch im Risiko vergleichbare Anlage auf dem Kapitalmarkt ergeben würde. Findet Fremdkapital zur Finanzierung der Investition An wendung, so wird mit dem hierfür zu zahlenden Fremdkapitalzinssatz verglichen. Wird durchEigenundFremdkapitalfinanziert,musseinentsprechendermittelterMischzinssatz aus Eigenkapitalzinssatz und Fremdkapitalzinssatz als Vergleich herangezogen werden (ÜblicherZinssatzisthierbeidersog.WACC(WeightedAverageCostofCapital).Verglei chehierzuGroll(2003,S.40ff.)). SomitergebensichfolgendeEntscheidungsregeln: 1. GiltfürdieermittelteRentabilitätr: rVergleichszinssatz,soisteineInvestitionvorteilhaft. 2. LiegenmehrereAlternativenvor,soistdiemitderhöchstenRentabilitätzuwählen, sofernfürsiedieunter1.genannteBedingungerfülltist. 

44

Investition

Errechnung der Rentabilität: Als Gewinngröße dient der aus der Gewinnvergleichsrech nung bekannte Ausdruck. Da aber mit den jeweiligen Kapitalkosten verglichen wird, die vonUnternehmenzuUnternehmenjenachKapitalstrukturunterschiedlichhochseinkön nen, dürfen diese Kapitalkosten in der Gewinnermittlung nicht bereits abgezogen sein. Falls doch, muss der entsprechende Gewinn um die Zinskosten wieder erhöht werden (= GewinnvorZinsen). Tabelle 2.5

Rentabilitätsvergleich zweier Investitionen



$QODJH

$QODJH









$I$-DKU





VRQVWLJH)L[NRVWHQ





6XPPH)L[NRVWHQ





/¸KQH





%HWULHEVVWRIIH





(QHUJLHNRVWHQ





6XPPHYDULDEOH.RVWHQ





*HVDPWNRVWHQ









0HQJH





(UO¸VH





*HZLQQ YRU=LQVHQ 





'XUFKVFKQLWWOLFKH.DSLWDOELQGXQJ





5HQWDELOLW¦WLQ





'DWHQGHU$QODJH $QVFKDIIXQJVZHUW 1XW]XQJVGDXHU -DKUH 

)L[NRVWHQ

9DULDEOH.RVWHQ

(UO¸VH 3UHLV

Quelle:eigeneDarstellung

Statische Verfahren der Investitionsrechnung

45

Als Kapitalgröße kommt gemäß Durchschnittsprinzip der statischen Verfahren nur das durchschnittlichgebundeneKapitalinFrage.SoergibtsichzurErrechnungderRentabili tätrfolgenderAusdruck: I L  Kv n  I L 2

P¸ X  Kf 





r=



(2.11)



(2.12)

bzw.andersdargestellt:





 ¬ I L  K v ­­­ 2 ¸ žž P ¸ X  K f  žŸ ® n r  I L

DasBeispielinTabelle2.5zeigtdieSystematik.

Ergänzungsinvestitionen bei unterschiedlichen Anschaffungswerten In Tabelle 2.5 fällt auf, dass die beiden miteinander verglichenen Investitionen in ihren Anschaffungswerten starkdifferieren. Soll ein Vergleich aussagekräftig sein, so muss (zu mindestbeiEinsatzvonEigenkapital)beiErrechnungderRentabilitätenbeachtetwerden, mit welchemZinssatz derDifferenzbetrag derAnschaffungswerte (hier 46.500€) angelegt werdenkann.Wasnutztesschließlich,wenneinTeildeszurVerfügungstehendenKapi tals zwar über die Investition rentabel verzinst wird, der übrige Teil des Kapitals aber „brachliegt“?EsmusssomiteineErgänzungsinvestitionüberdenDifferenzbetraginsKal kül einbezogen werden (vgl. Tabelle 2.6). Eine denkbare Variante ist beispielsweise die AnlageamGeldbzw.Kapitalmarkt.

Tabelle 2.6

Rentabilitätsvergleich mit Ergänzungsinvestition



$QODJH

$QODJH









$I$-DKU





VRQVWLJH)L[NRVWHQ





6XPPH)L[NRVWHQ





'DWHQGHU$QODJH $QVFKDIIXQJVZHUW 1XW]XQJVGDXHU -DKUH 

)L[NRVWHQ

9DULDEOH.RVWHQ





46

Investition



$QODJH

$QODJH

/¸KQH





%HWULHEVVWRIIH





(QHUJLHNRVWHQ





6XPPHYDULDEOH.RVWHQ





*HVDPWNRVWHQ









0HQJHQ





(UO¸VH





*HZLQQ YRU=LQVHQ 





'XUFKVFKQLWWOLFKH.DSLWDOELQGXQJ





5HQWDELOLW¦WLQ





(UJ¦Q]XQJVLQYHVWLWLRQ





5HQWDELOLW¦WGHU(UJ¦Q]XQJVLQYHVWLWLRQLQ :HUWYRUJHJHEHQ 





*HVDPWUHQWDELOLW¦WLQ





(UO¸VH 3UHLV

Quelle:eigeneDarstellung

2.2.5

Statische Amortisationsrechnung

Steht für den Investor aufgrund von Sicherheitsstreben die Frage im Vordergrund, wie lange es dauert, bis die durch eineInvestition verauslagten Mittel wieder über den Erlös prozessinsUnternehmenzurückfließen,lässtsichalsMessinstrumentdieAmortisations daueranwenden(vgl.hierzuRautenberg1993,S.106–109).HierbeisindverschiedeneAn sätzemöglich: Betrachtet man die erwarteten Periodengewinne in ihrer absoluten Höhe im zeitlichen Ablauf, so kann man die Amortisationsdauer durch Gegenüberstellung der kumulierten Durchschnittsgewinne (vor Abschreibungen) mit der Anschaffungsauszahlung ermitteln (vgl.Abbildung2.12). 

Statische Verfahren der Investitionsrechnung

Abbildung 2.12

47

Ermittlung der Amortisationsdauer durch Kumulation der Periodengewinne

Quelle:eigeneDarstellung Manerkennt,dassdieAmortisationsdauerimBeispiel3Jahreund6Monatebeträgt.„Als einzigesderPraktikerverfahrenschautdieAmortisationsrechnung–auchPayoffMethode genannt – über den Tellerrand einer repräsentativen Einzelperiode hinaus“ (Wöhe und Döring 2010, S.598). Die gilt allerdings nicht uneingeschränkt, wenn die Amortisations dauer(wieinFormel2.13bzw.2.14dargestellt)dadurchermitteltwird,dassdieAnschaf fungsauszahlunginsVerhältniszumdurchschnittlichenPeriodengewinngesetztwird. 



 t*  Amortisationsdauer =

G = P ¸ X  Kv  K f  i ¸ 



I   G + AfA

I L  2





(2.13)



(2.14)

DieAbschreibungenwerdenauchindieserVariantedemGewinnwiederhinzugerechnet, dasienichtzuAuszahlungenführen.IsteineInvestitionnurdurchEigenkapitalfinanziert, so dass es zu keinen Auszahlungen für Zinsen kommt, oder möchte man nur die reine

48

Investition

operative Ertragskraft der Investition über die Amortisationszeit messen, so kann als Er tragsgrößeauchderGewinnvorZinsenverwendetwerden.Tabelle2.7zeigtdasVerfah renambereitsbekanntenBeispiel.

Tabelle 2.7

Amortisationsrechnung zweier Investitionen



$QODJH

$QODJH









=LQVHQ  





VRQVWLJH)L[NRVWHQ





6XPPH)L[NRVWHQ





/¸KQH





%HWULHEVVWRIIH





(QHUJLHNRVWHQ





6XPPHYDULDEOH.RVWHQ





*HVDPWNRVWHQ









0HQJHQ





(UO¸VH





*HZLQQ YRU$I$ 









'DWHQGHU$QODJH $QVFKDIIXQJVZHUW 1XW]XQJVGDXHU -DKUH 

)L[NRVWHQ

9DULDEOH.RVWHQ

(UO¸VH 3UHLV

$PRUWLVDWLRQVGDXHU 3HULRGHQ 

Quelle:eigeneDarstellung Die maximale Amortisationsdauer ist (im Zusammenhang mit dem gewählten Verfahren) durch die diesbezüglichen Vorstellungen der Investoren festgelegt. Ist die Amortisations dauerjedochlängeralsdieNutzungsdauer,soreichtdiesenichtaus,umdieverauslagten Mittel wieder ins Unternehmen zurückfließen zu lassen. Die Investition ist dann mit Ver lustverbunden.

Dynamische Investitionsrechenverfahren

49

In beiden oben dargestellten Varianten wurde den Periodengewinnen die Anschaffungs auszahlunggegenübergestellt.ManfindetaberauchhäufigdenAnsatz,dieAnschaffungs auszahlungbeiderBerechnungderAmortisationsdauerumdennachAblaufderInvestiti onsdauer zu erwartenden Restwert zu reduzieren. Hierfür spricht, dass die Realisation dieses Restwertes i. d. R. nicht vom Investitionserfolg abhängig und daher mit weniger Risikobelastetist.Dagegensprichtallerdings,dassauchdieserRestwertzumgebundenen Kapital zählt und er als Einzahlungsüberschuss interpretierbar ist, der erst zum Ende der Investitionsdauererfolgt.

2.3

Dynamische Investitionsrechenverfahren

Lernziele Dieses Kapitel vermittelt: ƒ dieÜbertragungdesBarwertprinzipsaufdieInvestitionsrechnung ƒ dassdieunterschiedlichenVerfahrenverschiedenenZielsetzungenderInvestorenent sprechen ƒ dassInvestitionsdauerentscheidungenEinflussaufdieProfitabilitätvonEinzelinvesti tionenundInvestitionskettenhaben ƒ denEinflussvonSteuernaufdieVorteilhaftigkeitvonInvestitionen

2.3.1

Einführung in die dynamische Investitionsrechnung

DassogenannteBarwertprinzip(vgl.hierzuKap.1)istdiezentraleBasisdermehrperiodi schen Instrumente der Wirtschaftlichkeitsrechnung. Es soll daher im Folgenden nochmals kurzthematisiertwerden(vgl.hierzuauchZimmermann2003,S.43ff.). Unterscheiden sich zwei Investitionen, die je aus einer Auszahlung und einer Einzahlung bestehen, nur durch die Reihenfolge dieser Zahlungen, so führt dies durch die Durch schnittsbildungindenStatischenInvestitionsrechenverfahrennichtzueinerunterschiedli chenBewertungderAlternativen,obwohlesaufderHandliegt,dass einInvestordieIn vestitiontätigenwird,diemiteinerEinzahlungbeginnt(Spezialfall:KaufeinesNutzfahr zeugsbeispätererZahlung).Esistdahernotwendig,denZeitpunktderZahlungenindie Berechnung einzubeziehen. Die Quantifizierung der zeitlichen Unterschiede von Zahlun gengeschiehtdurchVerzinsung.Verleihtmanz.B.einenGeldbetrag,so:

႑ verzichtetmanaufLiquidität, ႑ kannindieserZeitkeinenGewinnmitdemGelderwirtschaften ႑ undhatüberdiesdasRisiko,denverliehenenBetragnichtzurückzuerhalten. DerPreisfürdieseNachteileistderZins,wobeidieVerzinsungnormalerweiseumsogrö ßerist,jelängermanaufeineZahlungwartet.EinemBetragK0(dieNullstehtfürdenjetzi

50

Investition

genZeitpunkt)entsprichtalsoeindurchVerzinsunghöhererBetragK1(dieEinsstehtz.B. für den Zeitpunkt nach einem Jahr oder einer Periode) oder umgekehrt betrachtet ist der BetragK1aufdenjetzigenZeitpunktbezogengenauK0wert(s.Abbildung2.13).Damitist K0derBarwertderZahlungK1. Abbildung 2.13

Indifferenz zweier Zahlungen zu zwei Zeitpunkten

.DSLWDO

.



.

 W =HLW

Quelle:eigeneDarstellung Definition: DerBarwerteinerinZukunftliegendenZahlungistderBetrag,derdieserzukünftigenZahlung heuteentspricht. EntschließtsicheinUnternehmen,GeldfüreineInvestitionzuverwenden,sostehti.d.R. amAnfang(t=0)einInvestitionsbetrag(I0),demüberdieLaufzeitderInvestitionentspre chendeEinzahlungsüberschüsse(zt)folgen. EineÜbertragungdesBarwertprinzipsaufdieInvestitionsrechnungbedeutetnun,dassdie unterschiedlichen Zeitpunkte der Zahlungen zu unterschiedlicher Bewertung dieser füh ren. Um die Vorteilhaftigkeit einer Investition beurteilen zu können, müssen deshalb alle mitihrverbundenenZahlungenaufeinenZeitpunktbezogenwerden.Diehiermiterreichte AussagekraftderVerfahrenistmiterheblichgrößeremRechenaufwandverbundenalsdie Durchführung der Statischen Verfahren. Als Einwand gegen die dynamischen Verfahren wird deshalb häufig angeführt, dass diese aufgrund ihrer Komplexität in der Unterneh menspraxiseherseltenAnwendungfinden.DiesemEinwandmussaberentgegengehalten werden, dass die Qualität eines Messinstrumentes nicht dadurch schlechter wird, dass

Dynamische Investitionsrechenverfahren

51

seine Anwendung Entscheidungsträgern zu aufwendig erscheint. Insofern sollte denjeni gen,diedieFragestellen,werdenninderPraxissorechnet,entgegnetwerden,dassdies zumindestdiebesserInformiertensind.InZeitenschwierigerMarktbedingungenistesim Interesse der Unternehmen, im Sinne einer entscheidungsorientierten Betriebswirtschafts lehreInstrumentezurVerfügungzuhaben,diezueinerVerminderungdesUnternehmens risikosdurchqualitativbessereInformationenbeitragen.Soistesnichtverwunderlich,dass in den vergangenen Jahrzehnten ein verstärkter Einsatz der dynamischen Verfahren zu vermerkenist(vgl.Blohmetal.2006,S.44).

2.3.2

Kapitalwertmethode

Kapitalwert bei jährlicher Zahlung und jährlicher Verzinsung Der Grundgedanke der Kapitalwertmethode ist, dass alle Einzahlungen und alle Auszah lungen,diedurcheineInvestitionverursachtsind,aufdenZeitpunkt0mitdemKalkulati onszinssatz des Investors abgezinst werden. Ist die Differenz der so erhaltenen Barwerte derZahlungengrößeralsNull,soistdieInvestitionfürdenInvestorvorteilhaft(vgl.hierzu imFolgendenZimmermann2003,S.77ff.). Die Durchführung einer Investition beginnt in aller Regel mit einer Anschaffungsauszah lungzumZeitpunkt0(I0).ImLaufederNutzungsdauer(n)entstehenwährendderPerio den (t) Einzahlungen (et) und Auszahlungen (at), die sich zu Einzahlungsüberschüssen (zt=etat)zusammenfassenlassen.AmEndederNutzungsdauernkanneinRestwertder Investition(Ln)vorhandensein,derwieeinezusätzlicheEinzahlungzubetrachtenist.Bil det man nun die Differenz der Barwerte aller Ein und Auszahlungen, so lässt sich der KapitalwerteinerInvestitionsodarstellen: n

C0  I 0 œ zt ¸ qt Ln ¸ qn

t =1   mitq=1+i



(2.15)



Somit bringt der Kapitalwert die zu erwartende Erhöhung oder Verminderung des Geld vermögensbeigegebenemVerzinsungsanspruchinHöhedesKalkulationszinssatzesiund wertmäßig auf den Beginn des Investitionszeitraums bezogenzum Ausdruck (vgl. Blohm etal.2006,S.51).DieSummederabgezinstenEinzahlungsüberschüsse(inklusiveRestwert) wirdauchalsErtragswertEbezeichnet,wobeidieserBegriffirreführendist,daessichhier nichtumabgezinsteGewinne,sondernumabgezinsteCashflowshandelt.Graphischlässt sich dieser Sachverhalt folgendermaßen darstellen (Abbildung 2.14). Somit ergeben sich fürdenKapitalwertdreimöglicheFälle:

52

Investition

Abbildung 2.14

Ertragswert einer Investition

.DSLWDO

G

G

(UWUDJVZHUW G









W

Quelle:eigeneDarstellung SomitergebensichfürdenKapitalwertdreimöglicheFälle: 1. DerErtragswertEderInvestitionistgrößeralsdieAnschaffungsauszahlung (Abbildung2.15): 



E  I0

  C0  0



DieInvestitionistalsovorteilhaft 2. DerErtragswertEderInvestitionistkleineralsdieAnschaffungsauszahlung (Abbildung2.16): 



E  I0

  C0  0



DieInvestitionistalsonichtvorteilhaft. 3. DerErtragswertEderInvestitionistgenausogroßwiedieAnschaffungsauszahlung (Abbildung2.17) 



E  I0

  C0  0



FinanzanlageundSachinvestitionsindgleichwertig.

Dynamische Investitionsrechenverfahren

Abbildung 2.15

53

Positiver Kapitalwert

.DSLWDO ]

] &

,

]









W

Quelle:eigeneDarstellung Abbildung 2.16

Negativer Kapitalwert

.DSLWDO ]

& ] , ( ]



Quelle:eigeneDarstellung 







W

54

Investition

Abbildung 2.17

Kapitalwert in Höhe Null

.DSLWDO ]

] , ( ]









W

Quelle:eigeneDarstellung FürdenFallkonstanterEinzahlungsüberschüsse(zt=z=konstant)lässtsichderAusdruck für den Kapitalwert unter Zuhilfenahme des nachschüssigen Rentenbarwertfaktors (s.Kap.1)wiefolgtvereinfachen(Formel(2.16))(vgl.hierzuZimmermann2003,S.93): C0   I 0 z ¸





qn 1 Ln ¸ q  n  qn ¸ i



(2.16)

Kapitalwert bei jährlicher Zahlung und unterjährlicher Verzinsung Auch hier kann auf Kap. 1 verwiesen werden (vgl. hierzu und im Folgenden auch Peters 2009,S.82ff.).ErfolgtdieVerzinsungaufeinJahrsogiltAusdruck(1.3),beinJahrengilt Ausdruck(1.6). BeiderÜbertragungdiesesZusammenhangesaufdieErrechnungdesKapitalwertesmuss mannundavonausgehen,dassdiejährlichenEinzahlungsüberschüssenachihremEingang unterjährlich verzinst werden, bzw. bei der Ermittlung des Barwertes des Ertragswertes muss auch unterjährlich abgezinst werden. Somit ergibt sich hier für den Kapitalwert (Formel(2.17)): m¸t





n  i¬ C0  I 0 œ zt ¸ žž1 ­­­ ž Ÿ ® m t =1

m¸n

 i¬ Ln ¸ žž1 ­­­ Ÿž m ®

 (2.17)

Dynamische Investitionsrechenverfahren

55

Kapitalwert bei jährlicher Zahlung und stetiger Verzinsung Für die stetige Verzinsung. gilt gleiches wie für die unterjährige Verzinsung. Die Berech nung erfolgte in Kap. 1 nach Ausdruck (1.11) (vgl. hierzu und im Folgenden auch Peters 2009,S.89). Bei der Übertragung dieses Zusammenhanges auf die Errechnung des Kapitalwertes muss nun davon ausgegangen werden, dass die jährlichen Einzahlungsüberschüsse nach ihrem Eingang stetig verzinst werden, bzw. bei der Ermittlung des Barwertes des Ertragswertes mussauchstetigabgezinstwerden.SomitergibtsichhierfürdenKapitalwert(Formel(2.18)): n



C0  I 0 œ zt ¸ ei¸t Ln ¸ ei¸t 





(2.18)

t =1

Kapitalwert bei stetiger Zahlung und stetiger Verzinsung Bisher wurde vereinfachend angenommen, dass die Einzahlungsüberschüsse einmal im Jahr, und zwar am Ende des Jahres erfolgen. Diese Annahme ist jedoch realitätsfremd. Vielmehristdavonauszugehen,dasssich sowohlEinalsauch Auszahlungenmehroder wenigergleichmäßigüberdasJahrverteilen.DieVerzinsungderEinzahlungsüberschüsse muss diesem kontinuierlichen Zahlungsstrom angepasst werden. Dies kann über die Be trachtungdesKapitalwertesbeistetigerZahlungundVerzinsungmethodischerfasstwer den(vgl.hierzuauchRödderetal.1997,S.173). Abbildung 2.18

Barwerte der Einzahlungsüberschüsse bei jährlicher Zahlung

z t * e  i*t









W

,QWHUYDOOEUHLWH 

Quelle:eigeneDarstellung Schließlichistanzunehmen,dassz.B.einHandelsbetrieb,derineineKühlthekeinvestiert, dasganzeJahrübermitRückflüssenausdemVerkaufseinerKühlwarerechnenkann.Will

56

Investition

man diesen stetigen Zufluss der Einzahlungsüberschüsse in das Modell integrieren und geht man dabei von stetiger Verzinsung aus, so kann man den Wert des Kapitalwertes durchfolgendenZusammenhangherleiten: Die Barwerte der einzelnen jährlich erfolgten Einzahlungsüberschüsse bei stetiger Verzin sungsindinAbbildung2.18veranschaulicht. D. h. der Wert z.B. des zweiten Einzahlungsüberschusses ist durch den Ausdruck (2.19) gegeben: 



Barwert  z2 ¸ ei¸2 ¸ 1 





(2.19)

TeiltmandenzweitenEinzahlungsüberschussin2gleichgroßeTeilzahlungenzudenZeit punktent=1,5undt=2auf,soändertdasdieDarstellungwiefolgt(Abbildung2.19): Abbildung 2.19

Barwerte der Einzahlungsüberschüsse bei zwei gleichen Teilzahlungen

z t * e  i*t









W

,QWHUYDOOEUHLWHQ  Quelle:eigeneDarstellung D. h. der Wert des zweiten Einzahlungsüberschusses ist jetzt durch den Ausdruck (2.20) gegeben: 



Barwert  z2 ¸ ei¸1,5 ¸ 0,5 z2 ¸ ei¸2 ¸ 0,5 

(2.20)

VerkürztmandieIntervallezwischendenTeilzahlungen,alsoteiltmanz2in(infinitesimal kleine) viele Teilzahlungen, so erkennt man, dass jetzt der Barwert des zweiten Einzah lungsüberschussesdurchdieFlächeunterderKurvegegebenist(Abbildung2.20):

Dynamische Investitionsrechenverfahren

Abbildung 2.20

57

Barwerte der Einzahlungsüberschüsse bei vielen kleinen gleichen Teilzahlungen

d t * e  r *t





W





Quelle:eigeneDarstellung D. h. der Wert des zweiten Einzahlungsüberschusses ist jetzt durch den Ausdruck (2.21) gegeben: 2







Barwert  ¨ z2 ¸ ei¸t dt 



(2.21)

t 1

Bei der Übertragung dieses Zusammenhanges auf die Errechnung des Kapitalwertes muss manalsonundavonausgehen,dassdiestetigeingehendenTeilzahlungenderEinzahlungs überschüssenachihremEingangstetigverzinstwerden,bzw.beiderErmittlungdesBarwer tesdesErtragswertesderTeilzahlungenmussauchstetigabgezinstwerden.Somitergibtsich hierfürdenKapitalwert(Formel(2.22)(vgl.hierzuauchZimmermann2003,S.379): n

C0 

I0 

zt ˜ ei˜t dt  Ln ˜ ei˜n  

³

(2.22)

t 0



Für die Annahme konstanter Einzahlungsüberschüsse (zt = z) lässt sich Ausdruck (2.22) wesentlichvereinfachen: n

C0 

I0  z

³e

 i ˜t

dt  Ln ˜ e  i ˜n

t 0



(2.23) 



Die Stammfunktion von e  i ˜t  ist i 1 ·e  i ˜t . Setzt man dies in Ausdruck (2.23) ein, so erhält man: 



C0

 I 0  z( i 1 ˜ e  i˜t )

n 0

 L n ˜ e  i˜n 

(2.24)

58

Investition

SetztmandieobereGrenzenunddieuntereGrenze0indieStammfunktionein,solässt sichAusdruck(2.24)durcheinigeUmformungeninAusdruck(2.25)überleiten:





C0

 I0  z ˜

ei ˜n  1 i ˜ ei˜n

 L n ˜ e  i˜n 



(2.25)

Sonderfall „Ewige Rente“ EinensehreinfachenFallstelltdieErrechnungdesKapitalwertesunterderAnnahmeder unbegrenztenNutzungsdauerdar(vgl.Zimmermann2003,S.92–94).DieserFallwirdnun wieder mittels der vereinfachenden Annahme jährlicher Zahlung und Verzinsung darge stellt.FolgendesBeispielsolldiesverdeutlichen: EinInvestorerwägtdenKaufeinesGrundstücksfür670.000€,daserfürunbegrenzteDau erverpachtenkann.AlsPachtwerdenproJahr38.779€erwartet.DerZinssatzbeiAnlage der670.000€aufdemKapitalmarktbeträgt5,64%.ErrechnetunserInvestordenKapital wert seiner Investition (bei jährlicher Zahlung und jährlicher Verzinsung), so geht er von der bekannten Formel für den Kapitalwert bei konstanten Einzahlungsüberschüssen aus (s.Ausdruck(2.26)): C0



 I0  z ˜



qn  1 qn ˜ i

 Ln ˜ q n 



(2.26)



(2.27)



(2.28)

DieslässtsichumformeninAusdruck(2.27):

C0 

 I0  z ˜



qn  n

qn qn

q ˜i

 Ln ˜

1 qn



Herauskürzenvonqnergibt(Ausdruck(2.28)):

C0





 I0  z ˜

1 i

1 qn

 Ln ˜

1 qn



Da man von unbegrenzter Nutzungsdauer ausgeht, wird n unendlich groß. Damit wird auchqnunendlichgroß,daqgrößerals1ist,undsomitnimmtderGrenzwertvon1/qnden Wert0an.DamitvereinfachtsichAusdruck(2.28)undderKapitalwertbei„EwigerRente“ istwiefolgtgegeben(Ausdruck(2.29)):







z C0  I 0  i





(2.29)

ImobigenBeispielbeträgtderKapitalwertsomitca.17.571€.KonsumierteinInvestoralso nur die Zinsen, die er aus seiner Investition kontinuierlich erhält, so hält die Investition theoretisch„ewig“.

Dynamische Investitionsrechenverfahren

59

Kapitalwert und Steuern — das Steuerparadoxon SteuernaufdasEinkommenunddenErtragminderndenTeildesGewinns,derdenInves torenübrigbleibt.NunscheintesaufderHandzuliegen,dasseineBerücksichtigungder Steuern eine den Kapitalwert mindernde Wirkung hat. Dies muss aber nicht so sein. Das folgende(starkvereinfachende)Beispielsollveranschaulichen,dassdurchdieEinrechnung vonSteuerneinbishernegativerKapitalwertpositivwerdenkann,dassdurchdenEinfluss derSteuernalsoeinebisheralsnichtvorteilhafteInvestitionalsvorteilhafteingestuftwer denkann(vgl.Götze(2008,S.134),sowieHutzschenreuter(2009,S.138–140)). Beispiel:FüreineInvestitionsindfolgendeDatengegeben: 

I 0  11.152 €

i = 12% z = 3.670 €

n = 4 L4  0



(a)ErrechnungdesKapitalwertesohnedieBerücksichtigungvonSteuern: C0  11.152 3.670 ¸





1,124  1  4,93  1,124 ¸ 0,12

DieInvestitionistsomitnachdemKriteriumdesKapitalwertesnichtvorteilhaft. (b)ErrechnungdesKapitalwertesunterBerücksichtigungvonSteuern: Durch die Berücksichtigung von Steuern sind weitere Daten notwendig. Zunächst der Steuersatzselber:ErseiimBeispiels=0,5(also50%).BasisderzuentrichtendenSteuern istabernichtdervolleEinzahlungsüberschussvon3.670€,sondernderumdieabzugsfähi gen Abschreibungen geminderte Einzahlungsüberschuss. Die (lineare) Abschreibung pro Jahrerrechnetsich,indemmandieAnschaffungsauszahlungI0durchdieLaufzeitteilt:

Abschreibung  



11.152  2.788  4

DerKapitalwertergibtsichnundurchfolgendenAusdruck(2.30):





   I ¬ ¯ q n 1 C0  I 0 ¡ z  žž z  0 ­­­ ¸ s° ¸ n  ¡¢ žŸ n ® °± q ¸ i

(2.30)

AlsoimBeispiel:

C0

ª º 1,064  1 11.152  «3.670  (3.670  2.788) ˜ 0,5» ˜  » 1,064 ˜ 0,06 «¬ Steuern ¼ 

z nach Steuern

36,83

60

Investition

ZinsenfürFremdkapitalsindhinsichtlichderEinkommensteuerabzugsfähigbzw.Zinsen fürErträgesindderSteuerzuunterziehen.DieswirdbeiderobigenBerechnungdesKapi talwertesdurchReduzierungdesZinssatzesauf i nach Steuern  i ¸ 1  s berücksichtigt.ImBei spielmussdaherderZinssatzauf6% (i nach Steuern  0,06

º

q nach Steuern  1,06) reduziertwer

den. Dies hat zur Folge, dass die um die Steuern verminderten Einzahlungsüberschüsse viel schwächer abgezinst werden und der Kapitalwert positiv wird. Somit ist die ehedem alsnichtvorteilhafteingestufteInvestitiondurchdieBerücksichtigungderSteuernvorteil haftzusehen(vgl.Götze2008,S.134).DieobigeBeschreibungdesSachverhaltesstelltaber einestarkeVereinfachungdar,diepräziseBerücksichtigungvonSteueraspektenimInvesti tionskalkülgestaltetsichinderPraxisrechtaufwendig.(vgl.Trautmann2007,S.70).

Bewertung der Kapitalwertmethode DieKapitalwertmethodestelltdieBasisderdynamischenVerfahrendarundisteininThe orie und Praxis verbreitetes Verfahren (vgl. Wöhe und Döring 2010, S.605). Wendet man diesesaberaufsolchealternativenInvestitionenan,diesichinihrerNutzungsdaueroder in ihrer Anschaffungsauszahlung unterscheiden, so ist eine differenzierte Betrachtung vonnöten. KapitalwertmethodebeiunterschiedlicherNutzungsdauer: DasfolgendeBeispielverdeutlichtdieProblematik(Tabelle2.8):

Tabelle 2.8

Kapitalwerte bei unterschiedlicher Nutzungsdauer

7

,QYHVWLWLRQ$

,QYHVWLWLRQ%



෥

෥























ದ





ದ





ದ

&





L 

Quelle:eigeneDarstellung 

Dynamische Investitionsrechenverfahren

61

Manerkennt,dassnachKapitalwertverfahrenInvestitionAvorteilhaftererscheint,obwohl die jährlichen Einzahlungsüberschüsse der Investition B zu Anfang deutlich höher sind undbereitsnach3Periodengeflossensind.Nunmussmanaberunterstellen,dasseinIn vestor, der sich für Alternative B entscheidet, nach Ablauf der Nutzungsdauer von drei JahrenwiederumeineAnschlussinvestitiontätigenkann. Geht man davon aus, dass die Anschlussinvestition eine Finanzinvestition auf dem Kapi talmarktist,sonimmtderKapitalwertdieserAnschlussinvestitionbeiAnnahmedesVoll kommenenKapitalmarktes1denWertNullan.IndiesemFallistInvestitionAdievorteil haftereAlternative. Lässt man aber zu, dass bei Investition B nach dem dritten Jahr eine identische Nachfol ge(sach)investitionmöglichist(esistschließlichnichtdavonauszugehen,dassderUnter nehmer,derz.B.ineineProduktionsanlageinvestierthat,nachAblaufderNutzungsdauer der Anlage seine Produktionstätigkeit einstellt), so muss man zur Vergleichbarkeit den Kapitalwert zweier nacheinander erfolgender Investitionen vom Typ B betrachten (vgl. hierzuauchJung2010,S.854).Dieslässtsichdurchführen,indemmandenKapitalwertder Folgeinvestition(deralszusätzlicheZahlungzumEndederdrittenPeriodeberücksichtigt wird)aufdenZeitpunkt0diskontiert.AlssogenannterKettenkapitalwertergibtsichsomit dieSummeausbeidenKapitalwerten:





C0K  12.492, 41 12.492, 41¸ 1,13  21.878,15 

Dasbedeutet,dassderInvestorbesserzweimalinFolgeInvestitionBdurchführensollteals einmalInvestitionA. KapitalwertmethodebeiunterschiedlicherAnschaffungsauszahlung: UnterscheidensichzweiInvestitionsalternativenAundBinderHöheihrerAnschaffungs auszahlung(wobeiI0(A) 0 º Investition ist vorteihaft, Wenn C0  0 º z = 0 º indifferent zur Finanzinvestition,  



Wenn C0  0 º z < 0 º Investition ist nicht vorteilhaft.

Beim Vergleich verschiedener Investitionen ist die mit der höchsten Annuität zu wählen (relativeVorteilhaftigkeit). LiegenbeieinerInvestitionkonstanteEinzahlungsüberschüssevorundexistiertnachAb laufderNutzungsdauerkeinRestwertmehr,solässtsichdieAnnuitätohneden„Umweg“ derErmittlungdesKapitalwerteserrechnen: DasichdieAnnuitätgemäßAusdruck(2.31)durch z

qn ˜ i qn  1

˜ C 0 errechnetundindiesem

FallderKapitalwertdurchAusdruck(2.32)gegebenist, C0 =  I 0 z ¸





qn 1  qn ¸ i



(2.32)

ergibtsichhierdurchMultiplikationmitdemWiedergewinnungsfaktorAusdruck(2.33): z = I 0 ¸





qn ¸ i z qn 1



(2.33)

AnnuitätenmethodeundKapitalwertverfahrenführenimmerdannzumgleichenErgebnis hinsichtlichderBeurteilungvonInvestitionsalternativen,wenndieseinderNutzungsdau erübereinstimmen. 

Dynamische Investitionsrechenverfahren

63

Liegenjedoch Alternativen mit unterschiedlicher Nutzungsdauer vor,so ist eine differen zierteBetrachtungvonnöten. VeranschaulichensolldiesdasBeispielausTabelle2.8:ErrechnetmanhierdieAnnuitäten fürdiebeidenInvestitionsalternativen,soerhältman: z ( A) = 15.972,32 ¸





1,16 ¸ 0,1  3.667,36  1,16  1

mit z (A)=AnnuitätderInvestitionAund z ( B) = 12.492, 41¸





1,13 ¸ 0,1  5.023,38  1,13  1

mit z (B)=AnnuitätderInvestitionB Dagilt,dass z (B)> z (A),erscheintnachdemKriteriumderAnnuitätAlternativeBgüns tiger,obwohlderenKapitalwertniedrigerist. Um zwei Investitionsalternativen mit unterschiedlicher Nutzungsdauer vergleichbar zu machen,habenwirbeiderKapitalwertmethodeabereineAnschlussinvestitioninsKalkül gezogen.ÜberträgtmandiesesVorgehenaufdieAnnuitätenmethode,somussmanbeider ErrechnungderAnnuitätderInvestitionmitderkürzerenLaufzeitvomKettenkapitalwert ausgehen, wobei als Betrachtungszeitraum die Summe der Laufzeiten der aufeinander folgendenInvestitionengewähltwird. Geht man nun bei der Anschlussinvestition von einer identischen Sachinvestition aus, so ergibtsichimBeispielalsAnnuität: z = (C 0 + C 0 ¸ q  3 ) ¸



q6 ¸ i 1,16 ¸ 0,1 = (12.492, 41 + 12.492, 41 ¸ 1,13 ) ¸  5.023,38  6 q 1 1,16  1

Dies ist derselbe Wert wie bei Betrachtung nur der ersten Investition des Typs B allein. Darauslässtsicheinerseitsfolgern,dassunterdengewähltenAnnahmendieAnnuitäten methode ein adäquates und wenig aufwendiges Verfahren zur Beurteilung von Investiti onsalternativen mit unterschiedlicher Laufzeit darstellt (vgl. hierzu Röhrich 2007, S.79), wobeidieBerücksichtigungvonKettenkapitalwertennichtnotwendigist.Zumanderenist feststellen, dass man so zu einem anderen Ergebnis hinsichtlich der Vorteilhaftigkeit der AlternativenkommtalsbeiderKapitalwertmethode. AnderssiehtderFalljedochaus,wennmanalsAnschlussinvestitionnureineFinanzinves tition,alsodieAnlagedesidentischenBetragesaufdemKapitalmarktzulässt.Dahierder KapitalwertderFolgeinvestitiondenWertNullhat,erhältmanalsAnnuitätfürAlternative BbeieinemBetrachtungszeitraumvon6Jahren: z = (C 0 + 0 ¸ q  3 ) ¸



q6 ¸ i 1,16 ¸ 0,1 = (12.492, 41 + 0 ¸ 1,13 ) ¸  2.868,35  6 q 1 1,16  1

64

Investition

Man erkennt, dass unter diesen Annahmen Kapitalwert und Annuitätenmethode zum gleichenErgebnisführen,imBeispielalsoInvestitionAalsvorteilhafterzubewertenist.

2.3.4

Die Methode des internen Zinsfußes

Vorteilhaftigkeitskriterium der Methode des internen Zins Als interner Zinsfuß oder interner Zins ist der Zinssatz zu verstehen, mit dem sich die Sachinvestition bei gegebenen Einzahlungsüberschüssen verzinst. Somit kann der interne ZinssatzalseinkritischerZinssatzfürdieabsoluteVorteilhaftigkeiteinerInvestitionsalter nativeangesehenwerden(vgl.Götze2008,S.100). DieDarstellungamEinperiodenfallsolldiesveranschaulichen(s.Abbildung2.21). Abbildung 2.21

Interner Zinsfuß im Einperiodenfall

.DSLWDO

]

Quelle:eigeneDarstellung GehtmanbeispielsweisevoneineminvestiertenKapitalvon70.000€(=I0)ausunderhält man(inklusiveRestwert)nacheinerPeriodeeinenRückflussvon77.000€(=z1),soergibt dieseineVerzinsungvon7.000€,also10%.BildetmandenBarwertdesEinzahlungsüber schusses von 77.000€ durch Diskontierung mit diesem Zinssatz 10%, so erhält man als Ergebniswieder70.000€,alsoI0.DamitergibtsichimBeispielalsKapitalwert: 



C0  I 0 z1 ¸ q1  70.000 77.000 ¸ 1,11  0



Dynamische Investitionsrechenverfahren

65

Somit ist der „Interne Zinsfuß“ der Zinssatz i*, bei dem der Kapitalwert einer Investition Nullist. Erzielt (oder bezahlt) man beispielsweise auf dem Kapitalmarkt einen Zinssatz von 8% (gemäßUnterstellungdesvollkommenenKapitalmarktesgilti=Sollzins=Habenzins),so mussman,umdenKapitalwertzuerrechnen,z1mitdiesemKapitalmarktzinsdiskontieren: 

C0  I 0 ¸z1 ¸ q1  70.000 77.000 ¸ 1,081  1.296,30  0 



Somitistdie VerzinsungdurchdieSachinvestition(10%)besseralsdieFinanzinvestition (8%)bzw.dieRückflüsseausderSachinvestitionübersteigendieKapitalkosten.Liegtaber derKapitalmarktzinssatzbei12%,soerhältmanalsKapitalwertderInvestition: 

C0

 I 0  z1 ˜ q 1

 70.000  77.000 ˜ 1,12 1

 1.250  0 

IndiesemFallistdieSachinvestitionabzulehnen,dadieRückflüssedieKapitalkostennicht abdecken bzw. man auf dem Kapitalmarkt höhere Rückflüsse erhalten würde. Hieraus kannmandasVorteilhaftigkeitskriteriumderMethodedesinternenZinsfußesableiten. IstderinterneZinsfußhöher(niedriger)alsderKapitalmarktzinssatz,soistdieSachinvesti tionvorteilhaft(nichtvorteilhaft).Abbildung2.22verdeutlichtdiesenZusammenhang. Abbildung 2.22

Zinssatz und Kapitalwert

&

L L





L !L

Quelle:eigeneDarstellung

.DSLWDOPDUNW]LQVL

66

Investition

Berechnung des internen Zinsfußes DieErmittlungdesinternenZinsfußesi*erfolgtdurchNullsetzendesKapitalwertesC0und anschließendesAuflösenderGleichungnachi*.DadieKapitalwertfunktioneinPolynomn ten Grades darstellt, lässt sich für eine Nutzungsdauer größer zwei keine analytische Lö sungmehrfinden,sodasshiereineNäherungslösungz.B.durchlineareInterpolationoder über das Newton Verfahren gefunden werden muss (vgl. Wöhe und Döring 2010, S.609 bzw. Kruschwitz 2009, S.112 f.). Bei der linearen Interpolation geschieht die Annäherung dadurch, dass man beliebig zwei Zinssätze auswählt, die zum einen (i2) einen schwach negativen(C02)undzumandern(i1)einenschwachpositivenWert(C01)fürdenKapitalwert liefernmüssen.EinsetzeninAusdruck(2.34)ergibteineNäherungslösungfüri*(vgl.Olfert undReichel2009a,S.221f.undNüchter2003,S.871). i* x i1 +





C01 . (i2  i1 )   C01  C02



(2.34)

mit i1  i2 und C01  0 und C02  0  EineanalytischeLösunglässtsichindenfolgendenFällenermitteln(vgl.hierzuauchWol ke2010,S.66ff.,sowieBitzetal.2002,S.121ff.): 1. Fall: Nur ein Einzahlungsüberschuss in t = 1. Hier ist der Kapitalwert durch folgenden Ausdruckgegeben: 



C0 = –I 0 + z1 · (1 + i*) –1 = 0   º i* =





z1 – I0  I0







(2.35)



(2.36)

Beispiel2.1 Eine Gärtnerei investiert in 2.560 Setzlinge einer einjährigen Pflanze. Pro Setzling muss 1,86€investiertwerden.ManrechnetmiteinemErlösproPflanzenacheinemJahrvon 2,15€.DerKapitalmarktzinssatzsei6,5%.WelcheninternenZinsfußerrechnetman? Lösung: 



i*

2560 ˜ 2,15  2560 ˜ 1,86 2560 ˜ 1,86

0,1556 

DieserWertisterheblichgrößeralsderdesKapitalmarktzinssatzes. DieInvestitionistalsovorteilhaft. 

Dynamische Investitionsrechenverfahren

67

2.Fall:EinEinzahlungsüberschussint=n.HieristderKapitalwertdurchfolgendenAus druckgegeben: 



C0 i* 



 I 0  zn ˜ (1  i* ) n  n



zn 1  I0







(2.37)





(2.38)

Beispiel2.2 EineSchnapsbrennereiinvestiertindieHerstellungvon70.000leinesqualitativhochwerti gen Weinbrandes. Hierfür fallen pro Liter 16,50€ an Produktionskosten an Außerdem müssenLagereinrichtungenfür17.600€beschafftwerden.DerWeinbrandmusszehnJahre lagern,dannerwartetman,ihnproLiterfür32€indenHandelverkaufenzukönnen.Der Kapitalmarktzinssatzseiwieder6,5%.WelcheninternenZinsfußerrechnetman? Lösung: 



i*  10

70000 ¸ 32 – 1  6.7%  70000 ¸16,5 + 17600

DieserWertistauchgrößeralsderdesKapitalmarktzinssatz. AuchdieseInvestitionistalsovorteilhaft! 3.Fall:ZweiEinzahlungsüberschüsseint=1undt=2.HieristderKapitalwertdurchfol gendenAusdruckgegeben: 



C0 = –I 0 + z1·(1+ i*) –1 + z2 ·(1+i*) –2 = 0   i*





r

z2 z2 z  1 2  1 1   I0 4I0 2I0



(2.39) (2.40)

Beispiel2.3 UnsereGärtnereiinvestiertjetztin3.650SetzlingeeinerPflanze.ProSetzlingmuss1,86€ investiert werden. Man rechnet damit, 1.650 Pflanzen nach einem Jahr zu einem Stück preis von 2,25 € und die anderen 2.000 für 2,45 € pro Stück verkaufen zu können. Der Kapitalmarktzinssatzseiwieder6,5%.WelcheninternenZinsfußerrechnetman? Lösung:

1650 ˜ 2, 25  1650 ˜ 2, 25  1 16,6%  2000 ˜ 2, 45  3650 ˜ 1,86 4 ˜ 3650 ˜ 1,86 2 2 ˜ 3650 ˜ 1,86 2





i*

DieserWertistdeutlichgrößeralsderdesKapitalmarktzinssatz. AuchdieseInvestitionistalsovorteilhaft!

68

Investition

4. Fall: Interner Zinsfuß bei ewiger Rente. Hier ist der Kapitalwert durch folgenden Aus druckgegeben:

C0 =–I0 

 º i* =





z 0 i*  

z  I0



(2.41)  

(2.42)

Beispiel2.4 EinUnternehmererwirbteinGrundstückfür243.000€undverpachtetdiesesaufunbe fristete Dauer für jährlich 19.800€. Als Kapitalmarktzinssatz wird wieder 6,5% ange nommenWelcheninternenZinsfußerrechnetman? Lösung: 



i* 

19800  8,2%  243000

DieserWertistgrößeralsderdesKapitalmarktzinssatzes. DieInvestitionistvorteilhaft. DieMethodedesinternenZinsfußesistinderLiteraturausökonomischenwiemathemati schenGründennichtunproblematisch(vgl.Kruschwitz2009,S.106ff.).Geradeamdritten Fallisterkennbar,dassdiesesVerfahrenmathematischnichteindeutigist.Sokannmanin Ausdruck(2.40)diepositiveoderdienegativeWurzelziehen,waszuvölligunterschiedli chenErgebnissenführt(vgl.Swoboda1977,S.69ff.).DarüberhinauskönnenInvestitionen je nach Gestalt der Kapitalwertfunktion mehrere interne Zinssätze (Fall der Mehrdeutig keit)odergarkeineninternenZinssatzaufweisen(FallderNichtexistenz)(vgl.Kruschwitz 2009,S.111).Möchtemansicherstellen,dassgenaueinpositiverinternerZinssatzexistiert, so muss man zunächst prüfen, ob es sich bei der betrachteten Investition um eine so ge nannte Normalinvestition handelt (Fall der Eindeutigkeit). Eine Normalinvestition muss dreiKriterienerfüllen(vgl.BussevonColbeundLaßmann1990,S.110f.):

႑ DieInvestitionfängtmiteinerAuszahlungan. ႑ DieZahlungsreihederInvestitionhatgenaueinenVorzeichenwechsel(nachdenAus zahlungenfolgennurnochEinzahlungsüberschüsse).

႑ DieSummeallerEinzahlungsüberschüsseistohneBerücksichtigungvonZinsund ZinseszinsabsolutbetrachtetgrößeralsdieSummeallerAuszahlungen. Beispiel2.5 EineInvestitionweistfolgendeZahlungsreihe(110,35,50,45)auf.PrüfenSie,obessich hierumeineNormalinvestitionhandelt. 

Dynamische Investitionsrechenverfahren

69

Lösung: 9

ZahlungsreihebeginntmiteinerAuszahlung

9

EinmaligerVorzeichenwechsel

9

ErfüllungdesDeckungskriteriums(SummeallerEinzahlungen=130>SummeAus zahlungen=110)

Æ

EshandeltsichumeineNormalinvestition!

Aberauchökonomischbetrachtet,kannesbeimVorteilhaftigkeitsvergleichzwischenmeh rerenInvestitionsalternativenmithilfedesinternenZinsfußeszuwidersprüchlichenErgeb nissenimVergleichzurKapitalwertmethodekommen.DerGrundliegtinderunterschied lichen Annahme, wie die notwendigen Ergänzungsmaßnahmen wegen unterschiedlicher Nutzungsdauern, Einzahlungsüberschüsse oder auch Investitionsauszahlungen erfolgen sollen.BeiderKapitalwertmethodewerdenunterderAnnahmedesvollkommenenKapi talmarktesalleErgänzungsmaßnahmenzueinemeinheitlichenZinssatzvorgenommen.Im GegensatzdazuwirdbeiderMethodedesinternenZinsfußesvonderimplizitenWieder anlageprämisseausgegangen(vgl.BussevonColbeundLaßmann1990,S.115).Dasbedeu tet,dassalleErgänzungsmaßnahmenzuminternenZinsderjeweiligenInvestitionsalterna tive durchgeführt werden, also zu ganz unterschiedlichen Zinssätzen. Der Kapitalwert ist somit gleich Null, so dass die Ergänzungsmaßnahmen wie bei der Kapitalwertmethode keinenEinflussaufdieEntscheidungnehmen.DieseAnnahmeistjedochökonomischge sehen nicht plausibel, da nicht einzusehen ist, warum unterschiedlich hohe Einzahlungs überschüsse der Alternativen zu unterschiedlich hohen Zinssätzen anzulegen sind bzw. eine Ergänzungsmaßnahme zwangsweise in die betrachtete Investition erfolgen muss. Plausibelwärehingegen,dassdieErgänzungsmaßnahmenunabhängigvondenbetrachte tenInvestitionenvorzunehmensind.ErsetztmandieseimplizitePrämissederWiederanla ge zum internen Zinssatz durch die explizite Prämisse, dass alle erforderlichen Ergän zungsmaßnahmen bis zum Ende des Planungszeitraums zur durchschnittlichen Unter nehmensrentabilität (einheitlicher Kalkulationszinssatz) angelegt werden, so lassen sich auch wieder relative Vorteilhaftigkeiten durch den Vergleich der modifizierten Zinssätze durchführen. Diese Methode wird in der Literatur als Baldwin bzw. modifizierte interne ZinsfußMethodebezeichnet(vgl.BussevonColbeundLaßmann1990,S.118f.). Belässt man es hingegen bei der impliziten Wiederanlageprämisse, so führen die Kapital wertmethode und die Methode des internen Zinsfußes im Fall zwei sich ausschließender AlternativennurdannzumgleichenErgebnis,wennaufdieBerechnungderinternenZins füße der beiden Investitionsalternativen verzichtet wird und stattdessen der interne Zins der so genannten Differenzinvestition bestimmt wird. Die Differenzinvestition ergibt sich aus der Differenz der beiden Zahlungsreihen, wobei diejenige Zahlungsreihe mit der ge ringerenAuszahlungvonderanderenInvestitionabgezogenwird.Handeltessichbeider Differenzinvestition um eine Normalinvestition, so ist das Ergebnis für den internen Zins eindeutig.IstderinterneZinsderDifferenzinvestitiongrößeralsdievorgegebeneVerzin sungdesInvestors,soistdieInvestitionmitderhöherenKapitalbindungderanderenvor zuziehen(vgl.BussevonColbeundLaßmann1990,S.115).

70

Investition

2.3.5

Methode der dynamischen Amortisationsdauer

Ein in der Praxis häufig herangezogenes (zusätzliches) Kriterium zur Beurteilung von In vestitionsprojekten ist die Errechnung der Amortisationsdauer (PayOffPeriode) (vgl. Zimmermann2003,S.173).HierfragtsichderInvestor,inwelcherZeitsicheineInvestition amortisierthat,alsowanndasverauslagteKapitalüberdieRückflüsseunterBeachtungder Zinsrechnung (dynamisches Verfahren) zurückgeflossen ist. In der PayOffPeriode errei chen die bis dahin erzielten, abgezinsten Einzahlungsüberschüsse genau den Wert der Anschaffungsauszahlung.FürdiesenZeitpunktt*giltalso: t*





C0

 I 0  ¦ zt ˜ q t

0



(2.43)

t 1

In dem in Tabelle 2.9 dargestellten, sehr speziellen Beispiel wird zur Veranschaulichung genau mit Ablauf der vierten Periode ein Kapitalwert von 0 erreicht. Normalerweise ge schieht dies aber innerhalb einer Periode. Dann kann der genaue, unterjährige Zeitpunkt derAmortisationggf.mithilfederlinearenInterpolationbestimmtwerden,wennvonkon tinuierlichenRückflüssenderInvestitionenausgegangenwird.

Tabelle 2.9

Dynamische Amortisationsdauer

=LQVVDW]L ,  W

]W

T෥W

]W T෥W

&









෥









෥









෥































Quelle:eigeneDarstellung FürdenFallkonstanterEinzahlungsüberschüsselässtsichdieDynamischeAmortisations dauerauchallgemeinerrechnen: *

 



C0

I0  z ˜

qt  1 *

qt ˜ i

0



(2.44)

Dynamische Investitionsrechenverfahren

71

LöstmanAusdruck(2.44)mitHilfederLogarithmusrechnungnacht*auf,soresultiert:

ln 



t



*

z z  I0 ˜ i   ln q



(2.45)

Beispiel2.6 EineInvestitionmiteinerLaufzeitvon17JahrenführtzueinerAnschaffungsauszahlung von199.600€undjährlichenkonstantenEinzahlungsüberschüssenvon36.850€.DerKa pitalmarktzinssatz ist im Beispiel 7,3%. Nach wie viel Jahren ist die Investition dyna mischamortisiert? Lösung: ln





2.3.6

t* 

36850 36850 –199600 ¸ 0,073  7,14  ln1,073

Endwertmethode und vollständige Finanzpläne

BisherwurdendieZahlungsreihenderInvestitionenimmeraufdenZeitpunktt=0bezo gen, also der Barwert errechnet. Dies muss aber nicht sein. Der Wert der Zahlungsreihen lässt sich auch durch Aufzinsen aller Zahlungen für den Zeitpunkt zum Ende der Nut zungsdauerberechnen. DerhierbeiresultierendeEndwertstelltdenGeldvermögenszuwachsdar,derbezogenauf den letzten Zeitpunkt des Planungszeitraums durch ein Investitionsobjekt bewirkt wird (vgl.Götze2008,S.110).DieabsoluteVorteilhaftigkeitistbeiAnnahmeeinesvollkomme nenKapitalmarktesgegeben,wennderEndwertgrößeralsNullist,bzw.einInvestitions objektistrelativvorteilhaft,wennseinVermögenswertgrößeristalsanderezurAuswahl stehendeAlternativen. DerEndwertlässtsichwiefolgtdarstellen: n





Cn

 I 0 ˜ q n  ¦ zt ˜ q n  t  Ln 



(2.46)

t 1

Man erkennt, dass jeder Einzahlungsüberschuss über die Restnutzungsdauer n–t aufgezinst wird. Alternativ kann der Endwert auch dadurch ermittelt werden, dass der KapitalwertC0aufgezinstwird: 



Cn

n § n t n · ¨  I 0  ¦ zt ˜ q  Ln ˜ q ¸ ˜ q   t 1 © ¹

(2.47)

Hierauskannmanableiten,dassEndwertmethodeundKapitalwertmethodebezüglichder BeurteilungderVorteilhaftigkeiteinerInvestitionletztlichzumgleichenErgebniskommen.

72

Investition

EineausdemEndwertverfahrenabgeleiteteMethodeistdieErstellungeinesvollständigen Finanzplanes(VoFi).DieserbeinhaltetmehrereVorteile:

႑ SeineErstellungistohnegrößerenmathematischenAufwandmöglichund ႑ esisteineDifferenzierungdesZinssatzesinSollundHabenzinsmöglich(Aufgabedes vollkommenenKapitalmarktes). DieSystematikdiesesVerfahrenslässtsichaneinemBeispielerläutern(vgl.hierzuundim FolgendenZimmermann2003,S.281ff): Beispiel2.7(s.Tabelle2.10) EineInvestitionseimiteinerAnschaffungsauszahlungvon100.000€verbunden.Esste hen eigene Mittel in Höhe von 30.000€ zur Verfügung, der Rest muss fremdfinanziert werden,wobeidiesesmiteinemSollzinssatzvon10%verzinstwird.DiejährlichenEin zahlungsüberschüssewerdenimBeispielvollständigzurTilgungundzurBezahlungder Zinsenverwendet.VerbleibendeÜberschüssewerdenamFinanzmarktzueinemHaben zinssatzvon5%wiederangelegt(Kontenausgleichgebot).DerZahlungsverlaufundder darausresultierendeEndwertlassensichausfolgenderTabelleentnehmen:

Tabelle 2.10

Vollständiger Finanzplan (VoFi) einer Investition

=HLWSXQNW

W

W

W

W

W











=DKOXQJVUHLKHGHU6DFKLQYHVWLWLRQ

෥









.DSLWDO

෥

෥







6ROO]LQVHQ



෥







.DSLWDO



෥

෥





6ROO]LQVHQ





෥





)LQDQ]LQYHVWLWLRQ











+DEHQ]LQVHQ











)LQDQ]LQYHVWLWLRQ











+DEHQ]LQVHQ











(QGZHUW











(LJHQNDSLWDO

Quelle:eigeneDarstellungnachZimmermann2003,S.281f. Der Endwert von 87.048€ ist der Wert des durch die Investition erreichten Eigenkapitals nachAblaufderNutzungsdauern=4.

Dynamische Investitionsrechenverfahren

73

Entscheidungskriterium ist also hier die Höhe des Endwertes alternativer Investitionen. WürdedasEigenkapitalimBeispielstattdessenzu5%angelegt,ergäbesichimVergleich 4 zurSachinvestitioneinEndwertvon30.000€1,05 =36.465€.

2.3.7

Investitionsdauerentscheidungen mit Hilfe der Kapitalwertmethode

Einmalige Investition In der bisherigen Betrachtung war die Nutzungsdauer bei einer Investition immer vorge geben. Die Nutzungsdauer einer Investition kann aber durch unterschiedliche Faktoren determiniertsein(vgl.hierzuimFolgendenZimmermann2003,S.367ff.).Sounterscheidet man(vgl.Mensch2002,S.163):

႑ rechtlicheNutzungsdauer(Lizenzen,Verträge,Gesetzeetc.), ႑ technischeNutzungsdauer(maximaleLaufleistungeinesFahrzeugs) ႑ ökonomische(wirtschaftliche)Nutzungsdauer Die technische und rechtliche Nutzungsdauer sind als Restriktionen zu betrachten, inner halbderendieökonomischeNutzungsdauerzubestimmenist.EinePrüfungderökonomi schen Nutzungsdauer kann sowohl vor Durchführung einer Investition (Nutzungsdauer bzw. ExanteProblem), als auch während der Laufzeit der Investition (Ersatz bzw. Ex postProblem)erfolgen,denneinebereitsgetätigteInvestitionkannnatürlichauchvorzei tigbeendetwerden,wenndiesökonomischsinnvollist. ZurAnalysedesErsatzproblemseignetsichbesondersdieAnnuitätenmethode(vgl.hierzu Jung2011,S.131).HierwirdbeimVergleicheinerbereitsgetätigtenInvestitionmiteinerzu erwägenden Ersatzinvestition der zum Zeitpunkt des Vergleichs existierende Restwert L0 der alten Anlage als Anschaffungsauszahlung I0 interpretiert, da dieser Wert das aktuell durchdiebestehendeAnlagegebundeneKapitaldarstellt,undnalsRestlaufzeitdefiniert. SomitergibtsichalsAnnuitäteineraltenAnlage: 



zalt

n n § t n · q ˜ i  ¨  L0  ¦ zt ˜ q  Ln ˜ q ¸ ˜ n t 1 © ¹ q 1

(2.48)

Die Annuität der Ersatzinvestition errechnet man auf dem üblichen Weg gemäß Aus druck(2.31). DasfolgendeBeispiel(Tabelle2.11undTabelle2.12)solldiesesVorgehenveranschaulichen:

74

Tabelle 2.11

Investition

Annuität der alten Alte Anlage

$OWH$QODJH 5HVWQXW]XQJVGDXHU-DKUH/ / L  ]W E]Z/ 

T෥W

]W ¸ T෥W



෥



෥

































-DKU

6XPPH &



Quelle:eigeneDarstellung Also: 

zalt 

1,14 ¸ 0,1 ¸ 97.235,33  30.674,91 1,14 – 1 

ImVergleichhierzudieneueAnlage:

Tabelle 2.12

Annuität der neuen Anlage

1HXH$QODJH 1XW]XQJVGDXHU-DKUH, / L  -DKU

]W E]Z/ 

T෥W

]W ¸ T෥W



෥



෥

















































6XPPH &

Quelle:eigeneDarstellung



Dynamische Investitionsrechenverfahren

Also:



zneu 

75

1,16 ¸ 0,1 ¸ 102.134,08  23.450,74  1,16 – 1

DaimBeispieldieAnnuitätderaltenAnlagehöheristalsdiederneuen,istesnichtsinn voll,diealteAnlagezumaktuellenZeitpunktzuersetzen. Will man hingegen ex ante die optimale Nutzungsdauer einer einmalig zu tätigenden In vestition bestimmen, so lässt sich dies mit Hilfe des Kapitalwertverfahrens leicht bewerk stelligen. Hierzu werden für eine Investition die Kapitalwerte bei unterschiedlichen Nut zungsdauernermitteltunddieDauergewählt,fürdiederKapitalwertamhöchstenist(vgl. Götze2008,S.242).AlsRestwertwirdderjeweiligeamEndeeinerPeriodenochvorhande neRestwertLteingerechnet.Dasfolgende,inTabelle2.13dargestellteBeispielveranschau lichtdiesesVorgehen:

Tabelle 2.13

Optimale Nutzungsdauer einer einmaligen Investition

=LQVVDW]L ,  W

]W

T෥W

]W ¸ T෥W

/W

&



෥



෥

































































Quelle:eigeneDarstellung Man erkennt, dass der zum Ablauf der Periode 3 erzielte Kapitalwert der höchste ist. Er errechnetsichdurch: 

C0 =–120.600 + 32.443,20 + 28.910 + 49.995 + 48.240 ¸ 1,1–3 = 26.976,44 

Zweimalige Investition Folgen mehrere Investitionen aufeinander, so können sie nicht mehr einzeln betrachtet werden, sondern sie müssen als Investitionsprogramm begriffen werden, für die ein ge meinsamer kumulierter Kapitalwert, der so genannte Kettenkapitalwert errechnet werden kann(vgl.hierzuBurchertundHering2002,S.247).HierbeistelltsichdieFrage,wielang dieNutzungsdauerdererstenundderFolgeinvestitionseinsoll.Mangehthierzuinzwei Schrittenvor:

76

Investition

1.Schritt:ZunächstermitteltmandieoptimaleNutzungsdauerderFolgeinvestition. 2.Schritt:BerechnungderoptimalenNutzungsdauerdererstenInvestitionunterBerücksich tigung des maximalen Kapitalwertes der zweiten Investition. Hierbei wird der Kapitalwert der Folgeinvestition als zusätzlicher Einzahlungsüberschuss zum Ende der Nutzungsdauer der ersten Investition betrachtet. Folglich muss er, damit ein gemeinsamer Kapitalwert für den Zeitpunkt t = 0 errechnet werden kann, entsprechend der Nutzungsdauer der ersten Investitionabgezinstwerden.Dieskannmanformalwiefolgtdarstellen(Ausdruck(2.49)): nopt



C0 K (nopt . )

n

( I 0  ¦ zt ˜ q t  Lnopt ˜ q opt )  C02max. ˜ q t 1 

 nopt



(2.49)

C01

mit C01=KapitalwertdererstenInvestition C02max.=maximalerKapitalwertderzweitenInvestition C0K=Kettenkapitalwert nopt.=optimaleNutzungsdauerdererstenInvestition Diese Vorgehensweise soll für zwei aufeinander folgende identische Investitionen gezeigt werden.AlsBeispieldienendieDatenausTabelle2.13.Hierwurdebereitsermittelt,dass die optimale Nutzungsdauer dreiPerioden beträgt und man dabei einen Kapitalwert von 26.976,44€ erzielen kann. Betrachtet man diesen Betrag wie beschrieben als zusätzliche ZahlungamEndederersten(identischen)Investition,soerrechnetmandieoptimaleNut zungsdauerdererstenInvestitiongemäßAusdruck(2.49).ImBeispiel(Tabelle2.14)erhält manwiederumalsoptimaleNutzungsdauer3Perioden.

Tabelle 2.14

Optimale Nutzungsdauer zweimaliger identischer Investitionen

=LQVVDW]L ,  W

]W

TದW

]WyTದW

/W

&W

& ¸ T෥W

&N



ದ



ದ

























































































Quelle:eigeneDarstellung 

Dynamische Investitionsrechenverfahren

77

1

z t=EinzahlungsüberschussvonInvestition1int –t

q =Abzinsungsfaktor 1

L t=RestwertderInvestition1zumZeitpunktt 1

C t=KapitalwertderInvestition1beieinerLaufzeitvont 2

–t

C ¸ q =tfachabgezinsterKapitalwertderInvestition2 k

C0 =Kettenkapitalwert

Optimale Nutzungsdauer bei unendlicher Investitionskette Wird eine Investition nicht nur einmal identisch wiederholt, sondern mmal, so lässt sich derKettenkapitalwertwiefolgtdarstellen(Ausdruck(2.50)): C0 k (n)  C0 C0 ·





1 1 1 C0 · 2 n ...... mn qn q q



(2.50)



mitC0K(n)=KettenkapitalwertinAbhängigkeitderNutzungsdauern. Dieskannumgeformtwerdenin: m



§ 1 · § 1 · 1 ¨ n ¸ ¨ n ¸ 1 q q C0 k (n) C0 © ¹ C0 © ¹ 1 1 1 n 1 n q q

m

m

§ 1 · ¨ n¸ q C0  C0 © ¹  1 1 1 n 1 n q q

(2.51)

m

§ 1 · GehtmannunvoneinerunendlichenInvestitionsketteaus(m=),sogilt ¨ n ¸ 0 .Des ©q ¹ halbvereinfachtsichderTerm(2.51)zuAusdruck(2.52)(vgl.hierzuFischer2009,S.44–45): C0 k ( n )





C0 1 1 n q

C0

qn  q 1 n





(2.52)

ErweitertmandasBeispielausTabelle2.14,indemmandieInvestitionjetztunendlich oftidentischwiederholt,lässtsichdieoptimaleNutzungsdauerinTabelle2.15ablesen:  

78

Investition

Tabelle 2.15

Optimale Nutzungsdauer bei unendlicher, identischer Investition

=LQVVDW]L ,  W

]W

TದW

]WyTದW

/W

&

&N Q 



ದ



ದ













































































Quelle:eigeneDarstellung Manerkennt,dassderhöchsteKettenkapitalwertimBeispielbeieinerNutzungsdauervon einerPeriodefürdieeinzelnenInvestitionenerreichtwird.            

Investitionsrechnung unter Unsicherheit

2.4

79

Investitionsrechnung unter Unsicherheit

Lernziele Dieses Kapitel vermittelt: ƒ wiemanUnsicherheitundRisikodefinierenkann ƒ welcheEntscheidungsregelnbeiUnsicherheitzutreffen ƒ wieriskanteInvestitionenbewertetwerdenkönnen.

2.4.1

Formen der Unsicherheit

IndenvorherigenKapitelnsindwirannahmegemäßvoneinersicherenWeltausgegangen. Alle Inputgrößen, die in die Investitionsrechnung einfließen, haben wir bisher als feste, sichereGrößenangenommen.TatsächlichsinddieseInputgrößen,wiez.B.derprognosti zierte Cashflow (z), die geplante Nutzungsdauer (n) sowie der Kalkulationszinssatz (i) innerhalb der Kapitalwertmethode, als zukünftige, unsichere Daten anzusehen (vgl. Ab bildung2.23). Abbildung 2.23

Unsichere Inputgrößen am Beispiel der Kapitalwertmethode

n

C0

8QVLFKHUH ,QSXWJU¸¡HQ

¦ z t ˜ 1  i

t

t 0

Quelle:eigeneDarstellung Die Frage ist, wie in der Investitionsrechnung mit dieser Unsicherheit umzugehen ist. In derEntscheidungstheoriewirdbeiUnsicherheitüblicherweiseinUngewissheitsundRisi kosituationenunterschieden(vgl.Bambergetal.2008).VonUnwissen(vgl.Abbildung2.7) wirdindiesemKapitelabgesehen,dakeinerleiQuantifizierungmöglichist.Ungewissheits situationensindtypischerweisedadurchgekennzeichnet,dassderInvestorzwareineunge fähre Vorstellung darüber hat, welches Ausmaß z.B. die zukünftigen Cashflows haben könnten, er aber keinerlei Vorstellungen darüber hat, mit welcher Wahrscheinlichkeit die jeweiligen Cashflows eintreten könnten. Wenn er es könnte, so läge eine Risikosituation vor, und der Investor könnte für die unsicheren Inputgrößen eine Verteilungsfunktion angeben(vgl. Abbildung2.24).DabeiistesfürdieweitereBewertungderunsicherenIn vestitionenunerheblich,obdieseWahrscheinlichkeitenübereineStatistikermitteltwurden, sog. objektive Wahrscheinlichkeiten, oder mittels Erfahrung und Intuition des Investors, sog.subjektiveWahrscheinlichkeit(vgl.PerridonundSteiner2009,S.96).

80

Investition

Abbildung 2.24

Formen der Unsicherheit

Unsicherheit

Ungewissheit

Risiko

Investor kann den Ereignisraum determinieren, diesem aber keine Eintrittswahrscheinlichkeiten zuordnen

Investor kann sowohl den Ereignisraum als auch die Eintrittswahrscheinlichkeiten determinieren

Quelle:eigeneDarstellung InderInvestitionstheoriegibteseineVielzahlanVerfahren,wiediealsunsicherangesehe nen Investitionen zu beurteilen sind. Je nachdem, ob die verschiedenen Verfahren Ein trittswahrscheinlichkeiten berücksichtigen oder nicht, wollen wir sie entweder der Unge wissheitsoderderRisikosituationzuordnen(vgl.Abbildung2.24). Innerhalb der Ungewissheitssituation entstammen der klassischen Entscheidungstheorie folgende Verfahren, wobei die grundsätzliche Lebenseinstellung des Investors bzw. seine EinstellungzurUnsicherheiteinegroßeBedeutungerhält:

႑ MiniMaxRegel (absoluterPessimist)

႑ MaxiMaxRegel (absoluterOptimist)

႑ HurwiczRegel (FeinjustierungderLebenseinstellungüberOptimismusgrad)

႑ LaplaceRegel (neutraleLebenseinstellung)

႑ SavageNiehansRegel (relativerPessimist)

႑ KrelleRegel (FeinjustierungderUngewissheitüberPräferenzfunktion)

Investitionsrechnung unter Unsicherheit

81

Ohne im Detail auf jedes dieser Verfahren unter Ungewissheit eingehen zu wollen, kann folgendesfestgehaltenwerden:AlldiesenVerfahrenistgemeinsam,dassderInvestorsich zunächst Gedanken über seine grundsätzliche Lebenseinstellung zu unsicheren Aktionen machen muss. Ist er beispielsweise ein absoluter Pessimist (Optimist), so wird er sich bei der Wahleinzelentscheidung an dem schlechtmöglichsten (bestmöglichen) Ausgang eines Investitionsprojekts orientieren, was der Vorgehensweise der MiniMaxRegel (MaxiMax Regel)entspricht.SetzterdasschlechtmöglichsteErgebnisjeUmweltzustandinRelationzu denanderenAlternativenundwähltdarausjeAlternativedasjeweilsMaximaleheraus,so wird sich ein pessimistischer Investor für diejenige Alternative mit dem kleinsten dieser Werte entscheiden (SavageNiehansRegel). Die oben aufgeführten EntscheidungsRegeln konnten sich in der Investitionspraxis nicht durchsetzten, da es dem Investor regelmäßig schwerfällt,seineLebenseinstellungzuunsicherenEreignissenzuquantifizieren.Ausführ liche Darstellungen mit Beispielsrechnungen zu diesen Verfahren finden sich zur Genüge inderLiteratur(vgl.Schäfer2005,S.229ff.sowieBiegetal.2006,S.155ff.).Etablierthaben sichinderInvestitionsrechnungunterUngewissheitjedochdasKorrektursowiedasSensi tivitätsverfahren trotz ihrer erheblichen Schwächen. Beide Verfahren eignen sich sowohl fürRealalsauchfürFinanzinvestitionen.SiekommenregelmäßigbeiWahleinzelentschei dungen zum Einsatz. Auf diese wollen wir später genauer eingehen (vgl. Kap. 2.4.2 und2.4.3). Zum Schluss seien noch die FuzzySetVerfahren erwähnt, welche spezielle Verfahren bei EntscheidungssituationenunterUnschärfedarstellen.Alsunscharfkanndabeisowohldie individuelle Einstellung zur Unsicherheit, als auch die gesamte Lebensplanung des Ent scheidersbishinzurZielsetzungangesehenwerden.UmtrotzdiesererheblichenWidrig keiteneineEntscheidungaufquantitativerBasisherbeizuführen,hatZadehdieFuzzySet Theorieentwickelt(vgl.Zadeh1965).WirwollendieseTheoriehiernichtweitervertiefen, da sie zum einen sehr speziell ist und zum anderen sich in der Investitionspraxis bisher nichtdurchzusetzenvermag.EinengutenÜberblicküberallgemeineEntscheidungsverfah ren bei Unschärfe erhält der interessierte Leser bei Rommelfanger und Eickemeier (2002). EineAnwendungderFuzzySetTheorieaufInvestitionsundFinanzentscheidungenfindet sichdagegenbeiMöbius(1997). WendenwirunsderRisikosituationzu.DasPrinzip,dasPrinzipsowiedasBernoul liPrinzipsindklassischeEntscheidungsverfahren,dieuniversellauchindenunterschied lichsten Bereichen der Betriebswirtschaftslehre zum Einsatz kommen. Wie auch schon bei denvorgestelltenVerfahrenunterUngewissheit,mussderInvestorsichhinsichtlichseiner Lebenseinstellung zu unsicheren Ereignissen erklären. Der Unterschied besteht lediglich darin,dassjetztnichtmehrvonOptimismusbzw.PessimismusdesInvestorsdieRedeist, sonderndiesmalseineEinstellungzumRisikoabgefragtwird.HierdifferenziertdieLitera turgewöhnlichzwischenRisikofreude,RisikoscheueundRisikoneutralität(vgl.Trautmann 2007,S.239ff.). In der Praxis der Investitionsbeurteilung finden das Erwartungswertprinzip und das  PrinzipgroßenAnklang,diewiederumGrundlagefürvieleweitereVerfahrenderInvesti tionsrechnung unter Risiko darstellen. Insbesondere die Bewertung einer Investition nach

82

Investition

Erwartungs und Risikogesichtspunkten finden sich sowohl bei Einzelfinanzinvestitions alsauchbeiProgrammfinanzinvestitionEntscheidungen(PortfolioSelectionTheorie)wie der. Deswegen wollen wir diese beiden Verfahren im Anschluss vertiefen (vgl. Kap. 2.4.4 und2.4.5). Die MonteCarloSimulation, als spezielles Verfahren innerhalb der Risikoanalyse, ist eine Weiterentwicklung der Szenarioanalyse, die innerhalb der Sensitivitätsverfahren zumEinsatzkommt.DerInvestorerhältbeidiesemVerfahrenkeineneindeutigenErgeb nisvorschlag,sonderneineWahrscheinlichkeitsverteilungderOutputgröße,wiez.B.den KapitalwerteinerInvestitionbeiVermögensstreben.DiesessogenannteRisikoprofildes betrachtetenInvestitionsprojektesgibtdemInvestordarüberAuskunft,wiewahrschein lichesist,dassdieInvestitioneinFlopwird(Kapitalwert0).DaherkannindiesemZusammenhangbeiderMonteCarloSimulationauch nichtvoneinemEntscheidungsverfahrenimengerenSinne,sondernnurvoneinemEnt scheidungshilfeverfahren die Rede sein. Die Entscheidung selber über das Investitions projekt muss der Investor in Abstimmung mit seiner persönlichen Risikoeinstellung treffen. Da dieses Verfahren in der Praxis sehr beliebt ist, soll es in Kap. 2.4.6 näher be schriebenwerden. DiekapitalmarktorientiertenAnsätze,wiedasCapitalAssetPricingModel(CAPM)oder das Adjusted Present ValueModell (APV), stellen gewissermaßen eine Weiterentwick lung des Korrekturverfahrens dar. Auch hier kommt es zu (Risiko)Aufschlägen beim Kalkulationszinsfuß, die jedoch im Gegensatz zum Korrekturverfahren nicht subjektiv, sondern aufgrund von Beobachtungen am Kapitalmarkt erfolgen. Diese Ansätze kom meninderPraxisinsbesondereinderUnternehmensbewertungbzw.beiderfundamen talenAktienanalysezumEinsatz.WirwollenaufdieseVerfahrenhiernichtweitereinge hen.DerinteressierteLeserseiandieentsprechendeLiteraturverwiesen(vgl.z.B.Götze 2008,S.353ff.;Kruschwitz2009,S.405ff.;Möbius/Pallenberg2011,S.139ff.). Die in Abbildung 2.25 aufgeführten Verfahren haben ihren Ursprung aus den unter schiedlichstenTheorienundVerwendungszwecken.DiedortgenanntenVerfahrensmög lichkeiten bei Unsicherheit haben wir nach der Unsicherheitssituation differenziert. Sie lassensichjedochauchnachanderenKriteriensystematisieren,wiez.B.nachderArtder Investitionsentscheidung in Einzel und Programmentscheidungen (vgl. Blohm et al. 2006; Götze 2008) oder nach der Art der Investition in Sach und Finanzinvestition. Be trachten wir abschließend die Einzel und Programmentscheidungen. Zur Erinnerung: beiEinzelentscheidungenmusssichderInvestorauseinerVielzahlverschiedenerHand lungsalternativenfüreineinzigesInvestitionsprojektentscheiden.LiegtdieInvestitions dauer fest, so spricht man auch von Wahleinzelentscheidungen, ansonsten liegt eine Investitionsdauerentscheidung vor. Kann der Investor jedoch mehrere Investitionen gleichzeitigrealisieren,sohandeltessichumProgrammentscheidungen(vgl.Kruschwitz 2009,S.6).

Investitionsrechnung unter Unsicherheit

Abbildung 2.25

83

Entscheidungsverfahren bei Unsicherheit

Unsicherheit

Ungewissheit ƒMiniMax-Regel ƒMaxiMax-Regel ƒHurwicz-Regel ƒLaplace-Regel ƒSavage-Niehans-Regel ƒKrelle-Regel ƒKorrekturverfahren ƒSensitivitätsverfahren ƒFuzzy-Set-Verfahren

Risiko ƒ-Prinzip ƒ--Prinzip ƒBernoulli-Prinzip ƒMonte-Carlo-Simulation ƒEntscheidungsbaumverfahren ƒProgammierungsorientierte Ansätze ƒKapitalmarktorientierte Ansätze (z.B. CAPM) ƒOptionspreistheoretische Anätze (z.B. Realoptionen) ƒPortfolio Selection-Modell

Quelle:eigeneDarstellung InnerhalbderEinzelentscheidungenwerdeninderLiteraturfolgendeVerfahrenaufgeführt:

႑ Korrekturverfahren ႑ Sensitivitätsanalyse ႑ Risikoanalyse(MonteCarloSimulation) ႑ Entscheidungsbaumverfahren(starrePlanung) ႑ KapitalmarktorientierteAnsätze(CAPM) ႑ OptionspreistheoretischeAnsätze(Realoptionen) InnerhalbderProgrammentscheidungenunterUnsicherheitfindensichdieVerfahren:

႑ Sensitivitätsanalyse ႑ ProgrammierungsorientierteAnsätze(ChanceConstrainedProgramming) ႑ PortfolioSelectionAnsatz ႑ Entscheidungsbaumverfahren(flexiblePlanung) ႑ FuzzySetModelle

84

Investition

DawirhiernichtalleVerfahrenimEinzelnenbesprechenkönnen,wollenwirunsaufdiein derPraxisgängigstenMethodenkonzentrieren.DazuzählensicherlichdasKorrekturund SensitivitätsverfahrenimFallderUngewissheitsowiedasErwartungswert(Prinzip),das Prinzip und die MonteCarloSimulation im Fall der Risikosituation. Einzelinvestiti onsverfahrensollendabeiimVordergrundstehen.

2.4.2

Korrekturverfahren

DasKorrekturverfahrengehtwiedieMiniMaxRegelvoneinempessimistischenMenschen aus. Der Pessimismus kommt dadurch zum Tragen, dass für die unsicheren Inputgrößen jeweiligeZubzw.Abschlägevorgenommenwerden.Sowirdbeispielsweisevomprognos tiziertenCashflowund/odervonderkalkuliertenNutzungsdauereinpauschalerAbschlag und/oder beim Kalkulationszinssatz ein pauschaler Aufschlag in Form einer „Risikoprä mie“vorgenommen,umeineQuasiSicherheitzuerzeugen.MitdenverändertenInputgrö ßen können nun je nach Zielsetzung des Investors alle Verfahren unter Sicherheit zum Einsatz kommen. Die Auswirkungen davon sind unmittelbar einleuchtend: das Investiti onsprojektwirdschlechtbzw.„tot“gerechnet.FolgendesBeispielsolldiesverdeutlichen: Beispiel2.8(Korrekturverfahren) EineInvestorinstehtvorderEntscheidung,obsieineinProjektmitfolgendenDatenin vestierensoll:DieInvestitionsauszahlungint=0beläuftsichauf100Mio.€.Dieweite renCashflowsztfürdiegesamteLaufzeitvon4JahrenwerdenentsprechendderTabelle prognostiziert: W











]W

ದ









DieInvestorinstrebtnachmaximalemVermögenundbeurteiltdieseInvestitionmittels der Kapitalwertmethode. Bei einem unterstellten Kalkulationszinsfuß von 10% ergibt sicheinKapitalwertinHöhevonca.7,2Mio.€.DaderKapitalwertpositivist,erscheint dasProjektabsolutvorteilhaft. Die Investorin ist pessimistisch und stuft dieses Projekt als äußerst unsicher ein. Sie nimmt daher hinsichtlich der Investitionsauszahlung einen pauschalen Aufschlag von 10% und bezüglich der weiteren CashflowReihe einen pauschalen Abschlag in Höhe von10%vor:Die„neue“Zahlungsreihesiehtwiefolgtaus: W











]W

ದ









Den Kalkulationszinsfuß belässt die Investorin hingegen bei 10%. Nach erneuter Be rechnung des Kapitalwertes stellt sich heraus, dass das vormals vorteilhafte Projekt plötzlichunvorteilhaftgewordenist.DerKapitalwertbeträgtnun13,5Mio.€.Diepau schaleKorrekturderZahlungsreiheum10%,dienichtrationalnachvollziehbarist,son

Investitionsrechnung unter Unsicherheit

85

dernausdem„Bauchgefühl“derInvestorinresultiert,hatalsodazugeführt,dassdieIn vestition„tot“gerechnetwurde. KommenwirzurBewertungdesKorrekturverfahrens:

႑ UnterstellungeinespessimistischenInvestors ႑ BerücksichtigungnurnegativerZukunftslagen ႑ ZukunftslageneineFragedes„Fingerspitzenbzw.Bauchgefühls“ ႑ GefahrderKumulationderKorrekturen ႑ GeringerPlanungsundRechenaufwand AufgrunddesgeringenPlanungsundRechenaufwandsistdasKorrekturverfahreninder Praxis beliebt. Die anderen aufgeführten Punkte sind jedoch so negativ, dass das Korrek turverfahrenaustheoretischerSichtklarabzulehnenist.

2.4.3

Sensitivitätsverfahren

DieSensitivitätsanalyseisteininderPraxissehrbeliebtesVerfahren.Siekommtentweder in Form einer Szenarioanalyse oder einer KritischeWerteRechnung zur Anwendung. FolgendezweiFragestellungenversuchtmanmitdiesemVerfahrenzubeantworten:

႑ WieverändertsichderZielfunktionswertbeivorgegebenenVariationeneineroder mehrererInputgrößen?(Szenarioanalyse)

႑ WelchenWertdarfeineInputgrößeannehmen,wenneinvorgegebenerZielfunk tionswertmindestenserreichtwerdensoll?(Verfahrender„kritischenWerte“) Die Szenarioanalyse ist eine Weiterentwicklung des Korrekturverfahrens. Auch hier wer den die Auswirkungen einer Variation der Inputgrößen, wie z.B. die Investitionsauszah lung oder der zukünftigen Cashflows, auf deren Outputgröße, z.B. der Kapitalwert, be trachtet.DerUnterschiedzumKorrekturverfahrenliegtdarin,dassmansichnichtaufein einzigesSzenariobeschränkt,sonderni.d.R.dreiverschiedeneSzenarienbetrachtet:worst case,mostlikelycaseundbestcase.Dermostlikelycasesolldabeidenmöglichstenoder auch „wahrscheinlichsten“ Fall repräsentieren. Eine Abweichung sowohl nach oben (best case) als auch nach unten (worst case) runden die Betrachtung der Unsicherheit ab. Die Annahme eines pessimistischen Investors, wie beim Korrekturverfahren, wird hier also aufgegeben.DerInvestorerhältaberdurchdiegleichzeitigeBetrachtungderunterschiedli chen Szenarien keine klareEntscheidungsempfehlungmehr.Die Unsicherheit wird durch dieSzenarienbildunglediglichetwastransparentergemacht. Bei der Methode der kritischen Werte wird geschaut, in wie weit die Veränderung einer unsicheren Inputgröße das Ergebnis der Beurteilung so stark beeinflusst, dass es zur Ab lehnungdesProjektesführt.BezogenaufdieKapitalwertmethodebedeutetdies:Wiesehr dürfensichdieInputgrößenjedefürsichbetrachtetverändern,ohnedassderKapitalwert negativ wird und damit die Investition gefährdet wird? Diese Fragestellung haben wir

86

Investition

bereits bei der InternenZinsfußMethode oder der dynamischen Amortisationsrechnung kennen gelernt. Bei der InternenZinsfußMethode (Amortisationsrechnung) haben wir nachdemjenigenZinssatz(Laufzeit)als kritischenWertgesucht,beidemderKapitalwert der Investition gerade den Wert Null annimmt. Nun können bei einer Investition auch andereWertealsderZinssatz(i)bzw.derZinsfaktor(q)oderdieNutzungsdauer(T)ange sehenwerden.WirdderprognostizierteCashflowinseineBestandteilezerlegt,dannlassen sichfolgendeGrößenidentifizieren(vgl.Götze2008,S.364;Blohmetal.2006,S.233):

႑ Anschaffungsauszahlung(I0) ႑ Verkaufspreis(p) ႑ Absatzbzw.ProduktionsmengebeiGütern(x) ႑ produktionsabhängigeAuszahlungenbeiGütern(av) ႑ produktionsunabhängigeAuszahlungenbeiGütern(Af) ႑ Liquidationserlös/Restwert(L) FormalbetrachtetgiltbezogenaufdenKapitalwertC0einerInvestition: T

C0 =œ z t ·q –t  0 



!

t0

T

C0 =I0 œ ((P–a v )·x–Af )·q –t L·q –T  0





(2.53)

t 1

Unterstellen wir einmal, dass erstens die Frage nach dem kritischen Verkaufspreis) von InteresseistunddasszweitensderVerkaufspreis,dieAbsatzunddie (pkrit) Produktions menge,dieproduktionsabwieunabhängigenAuszahlungenüberdiegesamteNutzungs dauer der Investition konstant sind, so lässt sich die obige Gleichung modifizieren und nachdemkritischenVerkaufspreisleichtumformen: T

C0 =I0 œ ((pkrit – a v )·x–Af )·q –t L·q –T  0 t 1

T

C0 =I0 ((pkrit – a v )·x–Af )· œ q +L·q )  0 –t





 

(2.54)



(2.55)

–T

t 1

 Nachpkritumgeformt: T

p krit 





–I0 (a v ·x +A f )· œ q –t – L·q –T ) t 1

T

x œ q –t t 1



Investitionsrechnung unter Unsicherheit

87

Beispiel2.9(Sensitivitätsanalyse–kritischeWerte)nachGötze(2008,S.365) AusKapazitätsgründensolleineweitereMaschineangeschafftwerden,damitzusätzlich 1.000MengeneinheitendesProduktsgefertigtundverkauftwerdenkönnen(Annahme: Produktionsmenge=Absatzmenge,FertigungnureinerProduktart).DieNutzungsdauer der Alternative liegtbei 5 Jahren.Mit einem Liquidationserlös am Ende derNutzungs daueristnichtzurechnen.DieproduktionsabhängigenAuszahlungenproStückwerden beidieserMaschinemit50GEveranschlagt.DieproduktionsunabhängigenAuszahlun genbelaufensichproPeriodeauf16.000GE.DieInvestitionkostet100.000GE.DerKal kulationszinssatzbeträgt10%undderPreisproMengeneinheitdesProduktssollinner halbdesgesamtenPlanungshorizontsbeikonstanten100GEliegen.DerKapitalwertist unter dieser Voraussetzung mit 28.886,74 GE positiv. Welchen Verkaufspreis muss das Produktmindestenserzielen,damitsichdieInvestitionnachwievorrechnet? Lösung: DieDatenindieobigeGleichungeingesetzt,ergibt: 5

pkrit 

100.000 (50·1.000 16.000) œ1,1– t ) t 1

5

1.000œ1,1

 92,38

–t

t 1



WieistdiesesErgebnisnunzuinterpretieren?BezogenaufdenursprünglichenVerkaufs preisvon100GEdarfderVerkaufspreismaximalum7,62%nachuntenabweichen,damit diebetrachteteInvestitionkeinFlopwird,vorausgesetzt,dieanderenInputgrößenbleiben ceterisparibusunverändert.BetrachtenwirdieanderenInputgrößenundfragendortnach denkritischenWerten,soerhältmanfolgendeErgebnisse(Tabelle2.16):

Tabelle 2.16

Sensibilität der Inputgrößen (Kritische Werte) auf die Outputgröße

Inputgrößen

KritischeWerte

AbweichungvomAusgangswert

A0

128.886,74GE

+28,9%

p

92,38GE

7,6%

av 

57,62GE

+15,2%

X

847,60Stückx

15,2%

Af

23.620,30GE

+47,6%

i

20,76%

+107,6%

T

36,7Jahre

26,6%

Quelle:eigeneDarstellung

88

Investition

WiedieTabelleverdeutlicht,istderVerkaufspreisderkritischsteWertvonallenInputgrö ßen,daerlediglichca.7,6%nachuntenabweichendarf.Amunkritischstenistdagegendie Höhe des Kalkulationszinssatzes. Dieser darf sogar um mehr das Doppelte anwachsen, ohnedassderErfolgderInvestitiongefährdetwäre. Kommen wir zur Bewertung des Sensitivitätsverfahrens. In Wirklichkeit findet die Unsi cherheitbeiderSensitivitätsanalyseauchkeinedirekteBerücksichtigung,weswegeninder LiteraturauchhiervonInvestitionsentscheidungenunterQuasiSicherheitgesprochenwird (vgl.Breuer2001,S.7ff.).Esbleibtfestzuhalten:

႑ KeinEntscheidungsverfahren,sonderneineSensibilitätsanalyse ႑ FlexibleAnwendungsmöglichkeitenaufverschiedeneInvestitionstypen ႑ UnrealistischeAnnahmeüberKonstanzderanderenInputgrößen ႑ KeineAussagenüberEintrittswahrscheinlichkeitenderGrößen ႑ GeringerRechenaufwand

2.4.4

Das Erwartungswertverfahren (μ-Prinzip)

DasErwartungswertverfahren,auchPrinzipoderBayesRegelgenannt,isteinVerfahren aus der klassischen Entscheidungstheorie und kommt bei Risikosituationen zum Einsatz. Es geht von einem risikoneutralen Investor aus, da der Entscheider ausschließlich das er warteteInvestitionsergebnisinFormbeispielsweisedesVermögensoderdererwarteten Rendite zur Entscheidungsgrundlage macht. Das Risiko bzw. die Chance einer Abwei chung vom Erwartungswert wird bei dieser Betrachtung prinzipiell ausgeschlossen. Vo raussetzung für die Anwendung dieses Verfahrens ist, dass der Investor die Wahrschein lichkeitsverteilung der zukünftigen, unsicheren Erwartungswerte angeben kann. Die Ziel größe des Investors je Umweltzustand i wird als zufallsabhängige (stochastische) Größe definiert.Dabeiistesunerheblich,obdieWahrscheinlichkeiten(pi)subjektiver(geschätzt) oderobjektiver(aufgrundvonStatistiken)Natursind.BezogenaufdieKapitalwertmetho de,rücktbeiAnwendungdesErwartungswertverfahrensdererwarteteKapitalwert(E[C0]) in den Fokus des Investors. Formal gilt für die Ermittlung des erwarteten Kapitalwertes einerInvestitionsalternativebeiAnnahmediskreterZufallsvariablen(C0,i): 



I

I

i 1

i 1

E[C0 ]  œ C0,i ·pi mit œ pi  1 



(2.56)

DieverschiedenenKapitalwertejeUmweltzustandresultierenausdenunsicherenInputgrö ßen, wie z.B. dem Cashflow oder der Nutzungsdauer. Bei Wahleinzelentscheidungen sind alleAlternativenjabsolutvorteilhaft,dieeinenpositivenerwartetenKapitalwertaufweisen. RelativvorteilhaftistdieAlternativemitdemmaximalenerwartetenKapitalwert.Formalgilt:

Investitionsrechnung unter Unsicherheit





89

E[C0 ] j >0 l Investition ist absolut vorteilhaft E[C0 ] j l max! Investition ist relativ vorteilhaft



Natürlich lässt sich das Erwartungswertverfahren auch problemlos auf die interne Zins fußmethodeübertragen.IndiesemFallwürdederInvestorseineInvestitionsentscheidung nachdererwartetenRenditeausrichten(vgl.z.B.Schäfer2002,S.238f.). Beispiel2.10(Erwartungswertverfahren) Einem Investor stehen drei Investitionsalternativen (A, B und C) zur Auswahl, die je nach Umweltzustand drei verschiedene Ausprägungen annehmen können. Die jeweili genUmweltzuständeSi tretenmitunterschiedlichenWahrscheinlichkeitenein:S1 =20%, S2=50%,S3=30%.DiejeweiligenAusprägungendesKapitalwertsjeAlternativekönnen SiederfolgendenMatrixentnehmen: 

6

6

6

$

ದ





%

ದ





&







Bestimmen Sie die Vorteilhaftigkeit der drei Alternativen nach dem Erwartungswert prinzip,wennderInvestornachmaximalenVermögenstrebt. Lösung: Nach der obigen Formel errechnen wir die erwartetenKapitalwerte für unsere drei Al ternativen.FürdieersteAlternativej=1gilt: 3





E[C0 ]1  œ C0, i ·pi  5 ¸ 20% 6 ¸ 50% 18 ¸ 30%  7, 4  i 1

DieeinzelnenErgebnissesindinderTabellezusammengetragen: $OWHUQDWLYHQ (UZDUWXQJVZHUW

$

%

&







WiemanderTabelleentnehmenkann,sindalledreiInvestitionenabsolutvorteilhaft,da ihrerwarteterKapitalwertpositivist.DaderInvestorannahmegemäßnachmaximalem Vermögenstrebt,würdeersichfürdieAlternativeBentscheiden. Anhand des Beispiels konnte man sehr gut erkennen, dass das Erwartungswertprinzip auch als eine Weiterentwicklung der Szenarioanalyse (vgl. Kap. 2.4.3) bezeichnet werden kann.WirhabenfürunsereZielgrößeKapitalwertdreiSzenarien(S1 =worstcase,S2 =most likelycase,S3 =bestcase)unterstellt,denenwirjetztaberauchimGegensatzzurSzenario analyse Eintrittswahrscheinlichkeiten zuordnen konnten. Erst dadurch waren wir in der

90

Investition

Lage,diedreierhaltenenErgebnisse(Kapitalwerte)zueinerKennzahl(Erwartungswert)zu verdichten.DerInvestoristdamitwiederindieLageversetztworden,eineEntscheidung unter Unsicherheit über den direkten Vergleich der Ergebnisse herbeizuführen, und nicht wiebeiderSzenarioanalyselediglichdieRisikosituationtransparentzumachen. Das Prinzip ist in der Literatur nicht unumstritten. Dabei wird oft „das Petersburger Spiel“–einSpielerwirfteineMünzesoofthoch,biszumerstenMaldieMünzseite„Zahl“ angezeigtwird.DerSpielererhälteinenGewinninAbhängigkeitderAnzahlWürfen.Die n Zahlungbeläuftsichauf2 angeführt,beidemderErwartungswerttheoretischunendlich großist.(vgl.Trautmann2007,S.236f.).EinempotenziellenMitspielermüsstedieBeteili gung am Spiel theoretisch beliebig viel wert sein, wenn er sich nach dem erwarteten Ge winn orientiert. Tatsächlich wird es trotz hoher Gewinnaussichten schwierig sein, einen Mitspielerzufinden,derbereitwäre,einenhohenGeldbetrageinzusetzen,umandiesem Spielteilnehmenzukönnen.DiesesParadoxonzwischenTheorieundPraxishatBernoulli dazuveranlasst,einneuesPrinzipzuentwickeln:dasBernoulliPrinzip(vgl.Kap.2.4.6). KommenwirzurBewertungdesErwartungswertprinzips:

႑ AngabeeinerWahrscheinlichkeitsverteilungbezüglichderunsicherenInputgrößen oderderOutputgrößenotwendig

႑ RisikoeinerAbweichungvomErwartungswertbleibtunberücksichtigt(risikoneutraler Investor)

႑ FlexibleAnwendungsmöglichkeitaufzahlreicheVerfahrenderInvestitionunterSi cherheit(z.B.KapitalwertundInterneZinsfußMethode)

႑ ParadoxonzwischenTheorieundPraxis(PetersburgerSpiel)

2.4.5

Die Erwartungswert-Varianz-Regel(μ--Prinzip)

EntscheidungennachdemErwartungswertunddessenStreuung,kurz Prinzip,bezie henexplizitdieRisikoeinstellungdesInvestorsindieEntscheidungsfindungmitein.Dabei wirdalsgeeignetesRisikomaßdieStandardabweichung inBezugzumErwartungswert gesetzt.AlsErgebniserhältmaneinenPräferenzwert (, ).DurchdieseKomprimierung derbeidenKennzahlenund zueinerKennzahlkanneszuInformationsverlustenkom men,diedasErgebnisverfälschenkönnen.Esistdurchausdenkbar,dassEntscheidungen auf der Grundlage des  Prinzips in Widerspruch zum Dominanzprinzip stehen (vgl. Busse von Colbe und Laßmann 1990, S.170). Dieses Dominanzprinzip sagt aus, dass eine Alternative der anderen überlegen ist, sofern die zu betrachtende Zielgröße der einen Al ternative in jedem Umweltzustand größer oder gleich ist als die der anderen Alternative. Folglich muss der Entscheider, bevor er das  Prinzip auf ein Entscheidungsproblem anwenden will, zunächst als sog. Vorauswahlregel das Dominanzprinzip anwenden, und ggf.diedominiertenAlternativenzuvoraussortieren. 

Investitionsrechnung unter Unsicherheit

91

KommenwirzurückzurRisikoeinstellung:IstderInvestorrisikoaffin(risikoavers),sowird erbeiderEntscheidungsfindungdiepositive(negative)AbweichungvomErwartungswert berücksichtigen.JenachStärkederAffinitätbzw.AversionzudenRisiken,wirddieStan dardabweichung vom Investor mehr oder weniger stark in Bezug zum Erwartungswert gesetzt.BeieinfacherRelationderRisikenzumErwartungswertlautendieEntscheidungs kriterieninAbhängigkeitderRisikoeinstellung: 



' (μ, ) = μ+ l Max! (für risikoaffinen Investor) ' (μ, ) = μ – l Max! (für risikoaversen Investor)



WirddasRisikobzw.dieChancevollkommenausgeblendet(s=0),sohabenwireswieder miteinemrisikoneutralenInvestorzutun.DasErwartungswertprinzipistalsoeinSpezial falldes Prinzips. Wenden wir das  Prinzip auf Investitionsentscheidungen an, so sind zunächst in einem erstenSchrittdieErwartungswerteunddieStandardabweichungenjeAlternativezubestim men.IneinemzweitenSchrittwerdendiesebeidenKennzahlenjenachRisikoeinstellungdes Investors zum Präferenzwert ( ) verdichtet. Eine Investition j ist absolut vorteilhaft, wenn

j>0ist.RelativvorteilhaftistdiejenigeInvestition,deren jmaximalist.Formalgilt: 



'j (μ, T ) > 0 l Investition j ist absolut vorteilhaft 'j (μ, T ) l max! l Investition j ist relativ vorteilhaft



WiederErwartungswertallgemeinberechnetwird,habenwirbereitsinKap.2.4.4gesehen. DieStandardabweichungbzw.dieVarianz(2)einerdiskretenZufallsvariablenberechnen sichformalwiefolgt: I





T 2  œ (C0,i – N ) 2 · pi (Varianz) i 1





T

I

œ (C

0, i



(2.57)

– N) 2 · pi (Standardabweichung)  

(2.58)

 

i 1

BetrachtenwirdasnachfolgendeBeispielzumErwartungswertverfahrenundergänzenes nachkleinenModifikationenhinsichtlichderRisikoeinstellungumdas Prinzip: Beispiel2.11(Prinzip) Einem Investor stehen drei Investitionsalternativen (A, B und C) zur Auswahl, die je nach Umweltzustand drei verschiedene Ausprägungen annehmen können. Die jeweili genUmweltzuständeSi tretenmitunterschiedlichenWahrscheinlichkeitenein:S1 =20%, S2=50%,S3=30%.DiejeweiligenAusprägungendesKapitalwertsjeAlternativekönnen SiederfolgendenMatrixentnehmen: 

92

Investition



6

6

6

$

ದ





%

ದ





&







Bestimmen Sie die Vorteilhaftigkeit der drei Alternativen nach dem  Prinzip, wenn derInvestornachmaximalenVermögenstrebt.GehenSiedabeivoneinemmäßigrisiko scheuen,starkrisikoaversenundvoneinemmäßigrisikofreudigenInvestorausundver gleichenSieIhreErgebnisse. Lösung: Die Erwartungswerte der Kapitalwerte je Alternative haben wir bereits in Kap. 2.4.4 (vgl.Tab.) berechnet. Die Standardabweichung für die Alternative A ergibt sich durch EinsetzenderDateninobigeGleichung: 

T1 = (–5 – 7,4)2 ·20 % + (6 – 7,4)2 · 50 % + (18 – 7,4)2 · 30 % = 8,1 

DieErwartungswerteundStandardabweichungenfüralledreiAlternativensindinfol genderTabellezusammengefasst: $OWHUQDWLYHQ

$

%

&

(UZDUWXQJVZHUW







6WDQGDUGDEZHLFKXQJ







ImzweitenSchrittwirddieRisikoeinstellungdesInvestorsberücksichtigt.Hiersollge mäßAufgabenstellungvoneinemstarkundmäßigrisikoaversensowievoneinemmäßig risikoaffinen Investor ausgegangen werden. Der Vollständigkeit halber betrachten wir auch noch den risikoneutralen Entscheider. Die Ergebnisse können der nachfolgenden Tabelleentnommenwerden: 

ULVLNRDYHUV

ULVLNRQHXWUDO˩

ULVLNRIUHXGLJ˩˰

VWDUN˩෥˰

P¦¡LJ˩෥˰

$

ದ

ದ





%

ದ







&











Richten wir zunächst unser Augenmerk auf den Fall des mäßig risikoscheuen Investors. Die Standardabweichung wird in einfacher Form vom Erwartungswert subtrahiert ( ). Folglich ergibt sich für Alternative A ein Wert von 0,7 (= 7,4 – 8,1). Diese Alternative ist also nicht absolut vorteilhaft für den Investor. Lediglich für die Alternative B und C sind

Investitionsrechnung unter Unsicherheit

93

dieverdichtetenKennzahlen positiv.DaderWertderAlternativeCmit3,2amgrößten ist,wirdsichdiesermäßigrisikoscheueInvestor,dersichnachdem Prinzipverhält,für diese Alternative entscheiden. Diese Entscheidung wird bei einem stark risikoaversen In vestor manifestiert. Alternative B wäre in diesem Fall auch nicht mehr absolut gesehen vorteilhaft,daderkomprimierteWert mit2,9negativist. BeieinemmäßigrisikoaffinenInvestordrehtsichdieEntscheidung.HiererscheintAlterna tive A mit einem Wert von 15,5 am vorteilhaftesten. Der risikoneutrale Investor dagegen würde sich für die Alternative B entscheiden. , was genau dem erwarteten Kapitalwert entspricht,isthiermit7,5maximal.DiesesErgebniskennenwirbereitsausdemBeispiel3a (vgl.Kap.2.4.4). KommenwirzurBewertungdes Prinzips:

႑ AngabeeinerWahrscheinlichkeitsverteilungbezüglichderunsicherenInputgrößen oderderOutputgrößenotwendig

႑ Risiko/ChanceeinerAbweichungvomErwartungswertwirdexplizitberücksichtigt ႑ StärkederRisikoeinstellung(Risikoaversionundaffinität)lässtsichüberdieAddition bzw.SubtraktionderKennzahlenundsrelativfeinsteuern

႑ FlexibleAnwendungsmöglichkeitaufzahlreicheVerfahrenderInvestitionunterSi cherheit(z.B.KapitalwertundInterneZinsfußMethode)

႑ AnwendungdesDominanzprinzipsalsVorauswahlregel,umggf.widersprüchliche ErgebnissedessPrinzipszuvermeiden Dem  Prinzip kommt in der Investitions und Finanzierungstheorie eine sehr große Bedeutung zu. Weitere Verfahren der Investitionsrechnung unter Unsicherheit, wie z.B. das Entscheidungsbaumverfahren, die MonteCarloSimulation und die Portfoliotheorie, basierenaufdiesemKonzept.Flexibilitätbeweistdas Prinzipauchhinsichtlichdeszu betrachtetenRisikomaßes.Esistdurchausmöglich,stattderVarianzbzw.derStandardab weichungaucheinanderesRisikomaßzuverwenden,wiez.B.denVariationskoeffizienten (vgl.BussevonColbeundLaßmann1990,S.171). Als Fazit lässt sich festhalten, dass die ErwartungswertVarianzRegel eine sowohl in der Theorie als auch in der Praxis bevorzugte Möglichkeit des Umgangs mit Investitionsent scheidungenbeiRisikosituationendarstellt.

2.4.6

Das Bernoulli-Prinzip

DasBernoulliPrinzipgehtaufdenMathematikerDanielBernoulliimJahr1738zurückund gerietbiszurWiederentdeckungimJahr1944durchJohnvonNeumannundOskarMor gensterninVergessenheit(vgl.Kruschwitz(2009,S.327)unddiedortaufgeführteLiteratur Bernoulli 1738). Als Entscheidungsgrundlage dient der erwartete Risikonutzen des Ent scheiders oder auch Bernoulli bzw. NeumannMorgensternNutzen genannt (vgl. Busse vonColbeundLaßmann1990,S.172).DerEntscheiderbewertetgemäßseinerindividuellen

94

Investition

Risikoeinstellung jede mögliche Ausprägung des Zielwertes in Form einer Nutzenfunktion, um anschließend diese verschiedenen Nutzenwerte mit der jeweiligen Eintrittswahrschein lichkeitdesUmweltzustandeszugewichten.AlsErgebnisdiesesBewertungsprozesseserhält der Entscheider einen Präferenzwert für die betrachtete Alternative, den erwarteten Risiko nutzen. Werden diese verschiedenen erwarteten Risikonutzen je Alternative miteinander verglichen,sowähltderEntscheiderdiejenigemitdemmaximalenNutzenaus. Da das BernoulliPrinzip von einem rational handelnden Menschen ausgeht, basieren die weiteren Überlegungen auf einem Rationalitätspostulat bzw. einem Axiomensystem, das ausdenAxiomenVergleichbarkeit,Transitivität,Stetigkeit,Beschränkung,Dominanzund Unabhängigkeit der möglichen Ausprägungen besteht. Auf eine weitere Beschreibung dieses Axiomensystems wollen wir hier verzichten. Der interessierte Leser sei an die ent sprechendeLiteraturverwiesen(vgl.z.B.Kruschwitz2009,S.335f.). Beziehen wir nun die allgemeinen Aussagen des BernoulliPrinzips wieder auf Investiti onsentscheidungen unter Risiko und wählen als ökonomische Größe den Kapitalwert. Dann ergibt sich der erwartete Risikonutzen aus einer Investition E[C0,i)] aus der Summe mitderjeweiligenEintrittswahrscheinlichkeitpi gewichtetenNutzen(Utility)derverschie denenKapitalwerteu(C0,i)jeUmweltzustandi: 



I

I

i 1

i 1

E[u (C0,i )]  œ u (C0,i ) · pi mit œ pi  1 



(2.59)

BeiWahleinzelentscheidungensindalleAlternativenjabsolutvorteilhaft,dieeinenpositi ven erwarteten Risikonutzen aufweisen. Relativ vorteilhaft ist die Alternative mit dem maximalenerwartetenRisikonutzen.Formalgilt: 



E[u (C0 )] j > 0 l Investition ist absolut vorteilhaft E[u (C0 )] j l max! l Investition ist relativ vorteilhaft



Streng genommen erfolgt also beim BernoulliPrinzip wie beim Prinzip ebenfalls eine Verdichtung der Unsicherheit durch die Berechnung eines Präferenzwertes (erwarteter Risikonutzen).JedocherfolgtdieseKonzentrationzueinerKennzahlnichterstamSchluss derBerechnungen,sondernbereitsamAnfanginFormeinerRisikonutzenfunktion,aufdie sich der Investor zuvor festgelegt hat. Diese Risikonutzenfunktion soll den persönlichen NutzenderbetrachtetenInvestitioninAbhängigkeitseinerindividuellenRisikoeinstellung widerspiegeln. Durch die Gestalt der Risikonutzenfunktion soll also die individuelle Risi koeinstellung zum Ausdruck kommen. Dabei werden grundsätzlich drei verschiedene Risikonutzenfunktionenbetrachtet:

႑ KonkaveRisikonutzenfunktionfürrisikoscheueInvestoren ႑ KonvexeRisikonutzenfunktionfürrisikofreudigeInvestoren ႑ LineareRisikonutzenfunktionfürrisikoneutraleInvestoren DietypischeGestaltdieserRisikonutzenfunktionenistinAbbildung2.26dargestellt.

Investitionsrechnung unter Unsicherheit

Abbildung 2.26

95

Risikonutzenfunktionen bei unterschiedlicher Risikoeinstellung

u(x)

Risikoneutralität Risikoaversion

;(UJHEQLVJU¸¡H

Risikoaffinität

x Quelle:eigeneDarstellung DerVollständigkeithalbersollauchnocheinevierteRisikonutzenfunktion,dievonFried man;Savage,erwähntwerden(vgl.Bambergetal.2008).DieseFunktion,diewirimWeite rennichtweiterverfolgenwollen,bestehtsowohlauskonkavenwieauskonvexenStücken und soll die empirisch belegte, zum Teil widersprüchliche Einstellung des Entscheiders zum Risiko abbilden. Zu denken wäre anMenschen, die an Glückspielen, wie der staatli chen Lotterie oder Spielwetten, teilnehmen (Risikosympathie) und sich gleichzeitig gegen SachundPersonenrisikenbeiVersicherungenabsichern(Risikoaversion). BeispielefürkonkaveRisikonutzenfunktionenbeiRisikoaversionsind:

႑ u(x)=lnx ႑ u(x)= x  BeispielefürkonvexeRisikonutzenfunktionenbeiRisikoaffinitätsind:

႑ u(x)=x2 ႑ u(x)=ex BeispielefürlineareRisikonutzenfunktionenbeiRisikoneutralitätsind:

႑ u(x)=2x 1

႑ u(x)= 3 x  DieRisikonutzenfunktionenerhältmandurchBefragungdesInvestorsbzw.durchHerbei führung hypothetischer Risikosituationen. Dabei werden, einmal vereinfachend gesagt, fiktive Fragen gestellt, dessen Beantwortung eine Messung des Nutzens für bestimmte Risikosituationen ermöglichen und damit Rückschlüsse auf die Gestalt der Risikonutzen funktiongebensoll.DieseFrageundAuswertetechnikwollenwirhierimEinzelnennicht

96

Investition

weitervertiefen.DerinteressierteLeserseiandieentsprechendeLiteraturverwiesen(vgl. z.B.Bambergetal.2008,S.76ff.oderTrautmann2007,S.237ff.). AnhanddesBeispiels3wollenwirmitleichtmodifizierterAufgabenstellungdietheoreti schenAusführungenzumBernoulliPrinzipnunverdeutlichen: ModifiziertesBeispiel2.12(Prinzip) Einem Investor stehen drei Investitionsalternativen (A, B und C) zur Auswahl, die je nach Umweltzustand drei verschiedene Ausprägungen annehmen können. Die jeweili genUmweltzuständeSi tretenmitunterschiedlichenWahrscheinlichkeitenein:S1 =20%, S2=50%,S3=30%.DiejeweiligenAusprägungendesKapitalwertsjeAlternativekönnen SiederfolgendenMatrixentnehmen: 

6

6

6

$

ದ





%

ದ





&







Bestimmen Sie die Vorteilhaftigkeit der drei Alternativen nach dem BernoulliPrinzip, wennderInvestornachmaximalemRisikonutzenstrebt.GehenSiedabeivoneinemrisi koscheuenInvestoraus,dessenRisikoeinstellungüberfolgendeFunktionsehrgutzum Ausdruckkommt: 



u (C 0 )  C 0

C0 2 10 C0



Lösung: Da die Risikonutzenfunktion des Investors bereits bekannt ist, können wir gleich zur BewertungderdreiAlternativenkommen. StellvertretendfürAlternativeAberechnenwirineinemerstenSchrittzunächstdieNut zenwertefürdieverschiedenenKapitalwertejeUmweltzustand: Umweltzustand i =1:u (C0,1 ) = C0,1  

C0,12 10 C0,1

Umweltzustand i = 2:u (C0,1 ) = C0,1   Umweltzustand i = 3:u (C0,1 ) = C0,1  

C0,12 10 C0,1 C0,12 10 C0,1

 5

 6

(5) 2  10  10  5

(6) 2  3,75  10 6

18 

(18) 2  6, 43  10 18

DieseBerechnungenwiederholenwirfürjedeAlternativeundkönnenalsZwischenergeb nisfolgendeNutzenmatrixerstellen:

Investitionsrechnung unter Unsicherheit



97

6

6

6

$

ದ





%

ದ





&







In einem nächsten Schritt ermitteln wir den erwarteten Risikonutzen je Alternative. Für AlternativeAergibtsich: 1



E[u (C0,1 )] A  œ u (C0,1 )· pi  10·20 % 3, 75·50 % 6, 43·30 % 1,8 i 1



Berechnen wir den erwarteten Risikonutzen der anderen zwei Alternativen ebenso, so erhaltenwirdienachfolgendenErgebnisse: $OWHUQDWLYHQ

$

%

&

(>X .: @







DerVergleichdererwartetenRisikonutzenjeAlternativemachtdeutlich,dassfürdenIn vestordieAlternativeBoptimalist,daderNutzenfürihndortmaximalist. KommenwirzurBewertungdesBernoulliPrinzips:

႑ AufwendigeFrageundAuswertungsprozedurbeiderErstellungderRisikonutzen funktionerschwertdieschnelleAnwendbarkeit

႑ AnwendungnursinnvollbeiAnnahmeeinesrationalhandelndenMenschen(Anerken nungdeszugrundeliegendenAxiomensystems)

႑ UnterstellungeinerdiskretenWahrscheinlichkeitsverteilungderZielgröße ႑ TransparenterEntscheidungsfindungsprozess Wegen der oben genannten, in erster Linie kritischen Punkte, hat das BernoulliPrinzip keinegroßepraktischeRelevanzinderInvestitionsrechnung.   

98

Investition

2.5

Kontrollaufgaben

Lernziele Dieses Kapitel vermittelt: ƒ KontrollaufgabenzudenFragestellungenderInvestition Aufgabe 2.1 Ein Bauunternehmer möchte eine neue Betonmischmaschine anschaffen und hat hierzu 2 Alternativen: Anlage 1 kostet 12.790€, Anlage 2 hingegen 13.700€. Die fixen KostendesBetriebsderAnlagesindbeibeidenAlternativenidentischundbetragen430€ pro Jahr. Die Betriebskosten für Anlage 1 belaufen sich auf 12,20€ und für Anlage 2 auf 10,75€ pro m3 Beton. Es wird eine jährliche Menge von 2.860 m3 Beton geplant und die KapazitätenreichenbeibeidenAnlagenhierzuaus.DerRestwertnachderfürbeideAnla gen geplanten Nutzungsdauer von 8 Jahren liegt jeweils bei 15%. Führen Sie einen stati schenKostenvergleichdurch.GehenSiehierbeivoneinemZinssatzvon7,9%aus. Aufgabe 2.2 Der Eigentümer der Autovermietung „Time Rent“ will ein neues Fahrzeug anschaffen und hat hierzu zwei Alternativen: Für Typ 1 liegt ihm ein Kaufangebot für 29.660€vor.FürSteuernundVersicherungkalkulierter10%desAnschaffungspreisesals fixeKostenproJahr.Erschätzt,dassdasFahrzeug3Jahrelangvermietetwerdenkann.Pro MonatrechnetermiteinerLaufleistungvon4.500km,wobeilautFachpresseeinWertver lust von 1% pro 2.500 km Laufleistung erwartet wird. Außerdem fallen 0,12€ pro km an variablenKostenan.Manglaubt,dasFahrzeugfür0,40€prokmvermietenzukönnen. FürTyp2liegteinAngebotüber32.460€vor.AuchhierwerdenfürSteuernundVersiche rung 10% des Anschaffungspreises pro Jahr und ein Wertverlust von 1% pro 2500 km veranschlagt. Man glaubt auch dieses Fahrzeug über drei Jahre nutzen zu können und erwartet dabei variable Kosten von 0,13€ pro km. Als monatliche Laufleistung zu einem Preis von 0,45€ pro km werden 4200 km geschätzt. Der Zinssatz bei beiden Alternativen beträgt6,5%. a) FührenSieeineGewinnvergleichsrechnungdurch. b) FührenSieeineRentabilitätsrechnungdurch. c) WarumführtmanhierkeineKostenvergleichsrechnungdurch? d) WasergibtsichbeieinerAmortisationsrechnung? Aufgabe2.3EinKapitalwirdmiteinemZinssatzvon6,35%proJahrverzinst.Nachfünf JahrenbeträgtK5148.000€.WiehochistdasKapitalnach32Jahren?Wiehochwareszum Zeitpunktt=0? Aufgabe 2.4 Ein Darlehen über 334.000€ soll über 26 Jahre in jährlichen Annuitäten zu rückgezahltwerden.AlsZinssatzsind5,85%vereinbart.WiehochsinddiejährlichenAn nuitäten?WiehochsinddieRaten,wennkeineTilgungvereinbartist(TilgungderDarle henssummeamEndeineinerSumme)? 

Kontrollaufgaben

99

Aufgabe2.5EinKapitalwirdzehnJahremiteinemZinssatzvon5,7%verzinst.Nachdem zehntenJahrhebtderSparerdieHälftedesAnfangskapitalsabundlässtdenRestwieder zehnJahremiteinemZinsvon6,3%verzinsen.NachAblaufdes20.Jahreszahltmanihm 380.753€aus.WiehochwardasAnfangskapital? Aufgabe2.6EinKapitalwird26JahremiteinemZinssatzvon5,74%verzinst.JedesMal, wenndieBankdieZinsenvergütet,legtderSparernocheinmal1.990€dazu.Wiehochwar dasKapitalzumZeitpunktt=0,wennesnach26Jahren288.475€beträgt? Aufgabe2.7„OmaSchütterchen“(73Jahrealt)bietetihrerEnkelinan,ihrzumEndejeden JahresdenBetragvon1.000€zuzahlen(beginnendzumZeitpunktt=1),damitdiesege nug Geld in eine spätere Ehe einbringen kann. Da die Enkelin den Gesundheitszustand ihrerGroßmutterkritischbetrachtet,schlägtsieihrvor,ihrstattderjährlichenZahlungen sofort (zum Zeitpunkt t = 0) einen großen Betrag über 10.000€ zu schenken. Ab welchem AlterderOmamusssichdieEnkelindarüberärgern,denEinmalbetraggewähltzuhaben? Aufgabe2.8EinekleineAutowerkstattverkauftderzeitmitzweiMonteurenproJahrins gesamt 3.105 Werkstattstunden. Der Verkaufspreis liegt bei 45€ pro Stunde. Die beiden MonteureerhaltenhierfüreinenStundenlohnvon11€.DurchdenKaufeinerneuenHebe bühne könnten die Reparaturarbeiten an den Kundenfahrzeugen 3% schneller erfolgen, sodass 3% mehr Stunden verkauft werden könnten. Da die Monteure nach verkaufter Stundebezahltwerden,würdensichnatürlichauchdieLohnkostenentsprechenderhöhen. DieNutzungsdauerderHebebühnewirdauf15Jahreveranschlagt.DerAnschaffungspreis beträgt 25.000€, als Zinssatz kalkuliert man 7,5%. Man erwartet, dass die Bühne nach 15JahrennurnochwertloserSchrottist. a) ErrechnenSiedenKapitalwertdieserInvestition. b) ErrechnenSiedieAmortisationsdauer. Aufgabe2.9EineFluggesellschaftkannfürzweiJahrebefristetdieRechteerwerben,Flüge zwischen Düsseldorf und Bangkok durchzuführen. Die Rechte haben einen Preis von 10.000.000€.HierfürmusseinzusätzlichesLangstreckenflugzeugangeschafftwerden,das man gebraucht für 6.000.000 € erwerben könnte. Man erwartet, dass dieses Flugzeug pro Jahr 2,5 Mio. Flugkilometer zurücklegen wird, und man glaubt, pro 10.000 Flugkilometer EinnahmeninHöhevon110.000€zuerzielen,denenKosteninHöhevon75.000€gegen überstehen. Außerdem müssen pro Jahr für Pflege und Wartung desFlugzeugs noch ein mal110.000€veranschlagtwerden.InzweiJahrenhatdasFlugzeugnocheinenWertvon 2.000.000€undessolldannhierfürverkauftwerden.DerKapitalmarktzinsbeträgt5,7%. DieInvestitionsplanererrechnendeninternenZinsfußderInvestition.ZuwelchemErgeb niskommensie?WerdensiedieRechtekaufen?BegründenSiedieEntscheidung. Aufgabe 2.10 Nehmen Sie zu folgender Aussage Stellung: Die dynamischen Verfahren basierenalleaufderKapitalwertmethodeundführendaherzuidentischerBeurteilungder VorteilhaftigkeitvonInvestitionen. 

100

Investition

Aufgabe 2.11 Ein Fertigungsbetrieb, der spezielle energiesparende Neonröhren herstellt, beleuchtetseineeigenenFabrikhallenmit1.600RöhrenauseigenerFertigung.DadieRöh ren mit zunehmender Betriebsdauer weniger Energie verbrauchen, soll die optimale Nut zungsdauerderRöhrenermitteltwerden.DieRöhrenhabenHerstellungskostenvon16,5€ pro Stück und halten 4 Jahre. Im ersten Jahr der Nutzung liegt die ersparte Energie pro Röhrebei11€,imzweitenJahrbei7€,imdrittenJahrbei2€undimviertenJahrspartman nurnoch1€.ErmittelnSiedieoptimaleNutzungsdauerbeiunendlichhäufigerReinvesti tion.DerKalkulationszinssatzliegtbei7,4%. Aufgabe2.12WirwohnenaufdemLand.Aberauchhieristallesteurergeworden–insbe sonderediegutefrischeÖkoMilch.Wirerwägendeshalb,selbereineKuhzuhalten.Wir verbrauchen pro Tag 4,5 l Frischmilch, die 0,70€ pro Liter kostet. Der benachbarte Bauer MüllerbietetunsKlara,eineMilchkuh,für1.500€an.Wirschätzen,dassKlaraproJahrfür 350€ Futter braucht, denn ansonsten kann sie auf unserer Wiese weiden (und nachts die Sträucher der Nachbarn anknabbern), wodurch wir noch einmal 50€ für Rasenmäher benzin sparen. Bauer Müller meint, dass Klara noch eine Lebenserwartung von 7 Jahren hat,empfiehltmiraber(alsdieKindernichtzuhören),Klaranach5JahreninFrischfleisch zutransformieren,dasiedannwohlnocheinenRestwertvon400€habenwird.DerZins satzbeträgt6,8%. a) ÜberprüfenSiemittelsKapitalwertmethode,obichKlarakaufensoll. b) SollmanKlarawirklichnach5Jahrenschlachten? Aufgabe 2.13 Die Stadtväter Stuttgarts möchten die Attraktivität ihrer Stadt steigern und planen deshalb eine Ausstellung von Weltformat. Dabei denkt man entweder an eine KunstausstellungüberClaudeMonet(A1)oderaneineAutomobilAusstellung(A2),die die Entwicklungsgeschichte des Automobils in einem noch nie da gewesenen Ausmaß dokumentierensoll.DiegeschätztenBesucherzahlensindvondreiverschiedenenUmwelt zuständen (Sj) abhängig. Falls der Zustand S1 (Eintrittswahrscheinlichkeit 30%) eintreten sollte,dannwürden490.000MenschendieMonetund810.000dieAutomobilAusstellung besuchen. Wenn jedoch der Zustand S2 (Eintrittswahrscheinlichkeit 45%) eintreten sollte, dann würden zur Kunstausstellung 360.000 und zur AutomobilAusstellung lediglich 250.000 Besucher erwartet. Bei Eintritt des letztmöglichen Zustandes würden dagegen 640.000KundendieKunstund490.000dieAutoschaubesuchen. Für welche der beiden Alternativen sollten sich die Stadtväter entscheiden, wenn sie den Risikonutzen maximieren möchten und dabei von der Risikonutzenfunktion u(x) = x1/2 ausgehen? Aufgabe2.14DerUnternehmerSüßbesitzteineKeksfabrik.ErmöchteseinSortimentum Vollwertkekse erweitern und plant deshalb den Kauf einer neuen Teigmaschine. Sie soll 40.000€kosten.ZusätzlichmussfürdieErrichtungderMaschineeineeinmaligeAusgabe in Höhe von 4.000€ geleistet werden. Die betriebsgewöhnliche Nutzungsdauer der Teig maschine beträgt 3 Jahre. Für diese drei Jahre hat Süß die nachfolgenden Daten (in€) zu sammengestellt,wobeialleZahlungenamJahresendeerfolgen.

Kontrollaufgaben

-DKU

101







9HUNDXIVSUHLVMH3DFNXQJ







9DULDEOH.RVWHQMH3DFNXQJ







)L[H.RVWHQMH-DKU







In einer Kekspackung befinden sich 25 Vollwertkekse. Süß plant eine jährliche Produkti onsmenge von 300.000 Keksen, die auch vom Markt aufgenommen wird. Die angestrebte Mindestverzinsungliegtbei9%. a) BeurteilenSieanhandderKapitalwertmethode,obsichdieInvestitionfürSüßlohnt. b) Angenommen,dieNachfragenachVollwertkeksenistvonSüßfürdaszweiteunddrit teJahrzuhocheingeschätztworden.EslassensichindenbetreffendenJahrennur 250.000Kekseabsetzen.WürdenSieunterdiesenVoraussetzungenheutedieTeigma schinekaufen? c) Süßistverunsichertundmöchtenunwissen,wievieleKekseermindestensabsetzen muss,damitsichdieInvestitionfürihnlohnt.HelfenSieihm.

http://www.springer.com/978-3-642-32265-5